Ya ya: perkembangan aritmatika- ini bukan mainan untukmu :) Baiklah teman-teman, jika Anda membaca teks ini, maka bukti batas internal memberi tahu saya bahwa Anda belum mengetahui apa itu perkembangan aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti itu: SANGAT!) ingin mengetahuinya. Oleh karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan langsung ke pokok permasalahan.
Pertama, beberapa contoh. Mari kita lihat beberapa kumpulan angka:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Apa kesamaan dari semua rangkaian ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Namun sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari elemen sebelumnya dengan nomor yang sama.
Nilailah sendiri. Set pertama hanyalah angka-angka yang berurutan, setiap set berikutnya lebih banyak satu dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, selisih angka-angka yang berdekatan sudah lima, tetapi selisihnya tetap konstan. Dalam kasus ketiga, ada akar-akarnya sama sekali. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yaitu dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya hanya bertambah sebesar $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).
Jadi: semua barisan seperti itu disebut barisan aritmatika. Mari kita berikan definisi yang tegas:
Definisi. Barisan bilangan yang setiap bilangan berikutnya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama persis disebut barisan aritmatika. Besarnya perbedaan angka-angka tersebut disebut selisih perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.
Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah perkembangannya sendiri, $d$ adalah selisihnya.
Dan hanya beberapa catatan penting. Pertama, kemajuan hanya dipertimbangkan dipesan urutan angka: angka-angka tersebut boleh dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Nomor tidak dapat diatur ulang atau ditukar.
Kedua, barisan itu sendiri bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan barisan aritmatika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu dalam semangat (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah merupakan perkembangan yang tak ada habisnya. Elipsis setelah angka empat sepertinya mengisyaratkan bahwa masih ada beberapa angka lagi yang akan datang. Banyak sekali, misalnya. :)
Saya juga ingin mencatat bahwa kemajuan dapat meningkat atau menurun. Kita telah melihat peningkatan - himpunan yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh perkembangan yang menurun:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Oke oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi selebihnya, saya rasa, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:
Definisi. Perkembangan aritmatika disebut:
- meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari elemen sebelumnya;
- menurun jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari elemen sebelumnya.
Selain itu, ada yang disebut barisan "stasioner" - barisan tersebut terdiri dari bilangan berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).
Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan kemajuan yang meningkat dan kemajuan yang menurun? Untungnya, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:
- Jika $d \gt 0$, maka perkembangannya meningkat;
- Jika $d \lt 0$, maka perkembangannya jelas menurun;
- Terakhir, ada kasus $d=0$ - dalam hal ini seluruh perkembangan direduksi menjadi barisan stasioner dari angka-angka identik: (1; 1; 1; 1; ...), dll.
Mari kita coba menghitung selisih $d$ untuk tiga perkembangan menurun yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan mengurangi angka di sebelah kiri dari angka di sebelah kanan. Ini akan terlihat seperti ini:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Seperti yang bisa kita lihat, dalam ketiga kasus tersebut, perbedaannya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita sedikit banyak memahami definisinya, sekarang saatnya mencari tahu bagaimana perkembangan dijelaskan dan properti apa yang dimilikinya.
Syarat perkembangan dan rumus perulangan
Karena elemen-elemen dari barisan kita tidak dapat ditukar, mereka dapat diberi nomor:
\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Kanan\)\]
Elemen-elemen individual dari himpunan ini disebut anggota suatu perkembangan. Mereka ditandai dengan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dst.
Selain itu, seperti yang telah kita ketahui, suku-suku yang berdekatan dari perkembangan tersebut dihubungkan dengan rumus:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah Kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Singkatnya, untuk mencari suku ke $n$ suatu perkembangan, Anda perlu mengetahui suku ke $n-1$ dan selisih $d$. Rumus ini disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan bilangan apa pun hanya dengan mengetahui bilangan sebelumnya (dan sebenarnya semua bilangan sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun menjadi suku pertama dan selisihnya:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]
Anda mungkin pernah menemukan rumus ini. Mereka suka memberikannya dalam berbagai macam buku referensi dan buku solusi. Dan dalam buku pelajaran matematika yang masuk akal, ini adalah salah satu yang pertama.
Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.
Tugas No.1. Tuliskan tiga suku pertama barisan aritmatika $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.
Larutan. Jadi, kita mengetahui suku pertama $((a)_(1))=8$ dan selisih perkembangannya $d=-5$. Mari kita gunakan rumus yang baru saja diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(sejajarkan)\]
Jawaban: (8; 3; −2)
Itu saja! Harap dicatat: kemajuan kami menurun.
Tentu saja, $n=1$ tidak dapat diganti - istilah pertama sudah kita ketahui. Namun, dengan mengganti kesatuan, kami yakin bahwa bahkan untuk suku pertama, rumus kami berhasil. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika yang dangkal.
Tugas No.2. Tuliskan tiga suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku ketujuh sama dengan −40 dan suku ketujuh belas sama dengan −50.
Larutan. Mari kita tuliskan kondisi masalahnya dalam istilah yang familiar:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(sejajarkan) \kanan.\]
\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Kanan.\]
Saya beri tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Sekarang perhatikan bahwa jika kita mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kita berhak melakukan ini, karena kita mempunyai sistem), kita mendapatkan ini:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \kanan)=-50-\left(-40 \kanan); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(sejajarkan)\]
Begitulah mudahnya menemukan perbedaan perkembangannya! Yang tersisa hanyalah mengganti bilangan yang ditemukan ke dalam persamaan sistem mana pun. Misalnya, yang pertama:
\[\begin(matriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]
Sekarang, setelah mengetahui suku pertama dan selisihnya, tinggal mencari suku kedua dan ketiga:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(sejajarkan)\]
Siap! Masalah terpecahkan.
Jawaban: (−34; −35; −36)
Perhatikan sifat menarik dari perkembangan yang kita temukan: jika kita mengambil suku $n$th dan $m$th dan mengurangkannya satu sama lain, kita mendapatkan selisih perkembangan dikalikan dengan angka $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]
Sederhana namun sangat properti yang berguna, yang pasti perlu Anda ketahui - dengan bantuannya Anda dapat mempercepat penyelesaian banyak masalah perkembangan secara signifikan. Berikut ini contoh jelasnya:
Tugas No.3. Suku kelima suatu barisan aritmatika adalah 8,4 dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari perkembangan ini.
Larutan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu mencari $((a)_(15))$, kita perhatikan hal berikut:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(sejajarkan)\]
Tetapi dengan kondisi $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, maka $5d=6$, dari mana kita mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(sejajarkan)\]
Jawaban: 20.4
Itu saja! Kami tidak perlu membuat sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama serta selisihnya - semuanya diselesaikan hanya dalam beberapa baris.
Sekarang mari kita lihat jenis masalah lainnya - mencari suku negatif dan positif dari suatu perkembangan. Bukan rahasia lagi bahwa jika suatu perkembangan meningkat, dan suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku-suku positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: kondisi perkembangan yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.
Pada saat yang sama, tidak selalu mungkin untuk menemukan momen ini secara langsung dengan menelusuri elemen-elemennya secara berurutan. Seringkali, soal ditulis sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungannya akan memakan beberapa lembar kertas—kita hanya akan tertidur saat menemukan jawabannya. Oleh karena itu, mari kita coba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.
Tugas No.4. Berapa banyak suku negatif pada barisan aritmatika −38.5; −35.8; ...?
Larutan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, dari situ langsung kita cari perbedaannya:
Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga perkembangannya meningkat. Suku pertama adalah negatif, jadi suatu saat kita akan menemukan bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan hal ini akan terjadi.
Mari kita coba mencari tahu: sampai kapan (yaitu sampai apa bilangan asli$n$) ketentuan negatifnya dipertahankan:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah Kanan ((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1 \kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah Kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \end(sejajarkan)\]
Baris terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, kita hanya puas dengan nilai bilangan bulat dari bilangan tersebut (apalagi: $n\in \mathbb(N)$), sehingga bilangan terbesar yang diperbolehkan adalah $n=15$, dan tidak berarti 16 .
Tugas No.5. Dalam perkembangan aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Tentukan bilangan suku positif pertama dari barisan tersebut.
Ini akan menjadi masalah yang sama persis dengan masalah sebelumnya, tetapi kita tidak mengetahui $((a)_(1))$. Namun suku-suku tetangganya sudah diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, sehingga kita dapat dengan mudah mencari perbedaan perkembangannya:
Selain itu, mari kita coba nyatakan suku kelima melalui suku pertama dan selisihnya menggunakan rumus standar:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(sejajarkan)\]
Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan tugas sebelumnya. Mari kita cari tahu di titik mana angka positif akan muncul dalam urutan kita:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah Kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(sejajarkan)\]
Solusi bilangan bulat minimum dari pertidaksamaan ini adalah angka 56.
Harap dicatat: dalam tugas terakhir semuanya bermuara pada ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi $n=55$ tidak cocok untuk kita.
Sekarang kita telah mempelajari cara memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita pelajari sifat lain yang sangat berguna dari perkembangan aritmatika, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak setara di masa depan. :)
Rata-rata aritmatika dan lekukan yang sama
Mari kita perhatikan beberapa suku berurutan dari barisan aritmatika meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:
Suku-suku barisan aritmatika pada garis bilanganSaya secara khusus menandai istilah arbitrer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, dll. Karena aturan yang akan saya ceritakan sekarang berlaku sama untuk "segmen" mana pun.
Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita ingat rumus kekambuhan dan tuliskan untuk semua anggota yang ditandai:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(sejajarkan)\]
Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(sejajarkan)\]
Jadi kenapa? Dan fakta bahwa suku $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - keduanya juga dihapus dari $((a)_(n) )$ pada jarak yang sama sama dengan $2d$. Kita dapat melanjutkannya tanpa batas waktu, tetapi maknanya diilustrasikan dengan baik oleh gambar
Syarat-syarat perkembangannya terletak pada jarak yang sama dari pusat Apa artinya ini untuk kita? Artinya $((a)_(n))$ dapat ditemukan jika bilangan tetangganya diketahui:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Kita telah memperoleh pernyataan yang sangat bagus: setiap suku suatu barisan aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku tetangganya! Selain itu: kita dapat mundur dari $((a)_(n))$ ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah - dan rumusnya akan tetap benar:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Itu. kita dapat dengan mudah menemukan $((a)_(150))$ jika kita mengetahui $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Pada pandangan pertama, tampaknya fakta ini tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak soal yang dirancang khusus untuk menggunakan mean aritmatika. Lihatlah:
Tugas No.6. Tentukan semua nilai $x$ yang bilangan $-6((x)^(2))$, $x+1$, dan $14+4((x)^(2))$ merupakan suku-suku yang berurutan perkembangan aritmatika (dalam urutan yang ditunjukkan).
Larutan. Karena bilangan-bilangan ini adalah anggota suatu barisan, kondisi rata-rata aritmatika terpenuhi untuk bilangan-bilangan tersebut: elemen pusat $x+1$ dapat dinyatakan dalam elemen-elemen tetangganya:
\[\begin(sejajarkan) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(sejajarkan)\]
Ternyata klasik persamaan kuadrat. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.
Jawaban: −3; 2.
Tugas No.7. Temukan nilai $$ yang bilangan $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk barisan aritmatika (dalam urutan itu).
Larutan. Mari kita nyatakan kembali suku tengah melalui mean aritmatika suku-suku tetangganya:
\[\begin(sejajarkan) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \kiri| \cdot 2 \kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(sejajarkan)\]
Persamaan kuadrat lagi. Dan sekali lagi ada dua akar: $x=6$ dan $x=1$.
Jawaban 1; 6.
Jika dalam proses penyelesaian suatu masalah Anda menemukan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin akan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada teknik luar biasa yang memungkinkan Anda memeriksa: apakah kita sudah menyelesaikan masalah dengan benar?
Katakanlah dalam soal No. 6 kita menerima jawaban −3 dan 2. Bagaimana kita dapat memeriksa kebenaran jawaban tersebut? Mari kita sambungkan ke kondisi aslinya dan lihat apa yang terjadi. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang harus membentuk barisan aritmatika. Mari kita substitusikan $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]
Kami mendapat angka −54; −2; 50 yang berbeda 52 tentu merupakan barisan aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]
Sekali lagi merupakan kemajuan, tetapi dengan selisih 27. Dengan demikian, masalah terselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa sendiri masalah kedua, tetapi saya akan segera mengatakan: semuanya juga benar di sana.
Secara umum, saat menyelesaikan masalah terakhir, kami menemukan masalah lain fakta yang menarik, yang juga perlu diingat:
Jika tiga bilangan sedemikian rupa sehingga bilangan kedua merupakan rata-rata aritmatika dari bilangan pertama dan terakhir, maka bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.
Di masa depan, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk secara harfiah “membangun” kemajuan yang diperlukan berdasarkan kondisi masalah. Namun sebelum kita melakukan “konstruksi” tersebut, kita harus memperhatikan satu fakta lagi, yang langsung mengikuti apa yang telah dibahas.
Mengelompokkan dan menjumlahkan elemen
Mari kita kembali ke sumbu bilangan lagi. Mari kita perhatikan ada beberapa anggota perkembangan, mungkin di antaranya. bernilai banyak anggota lainnya:
Ada 6 elemen yang ditandai pada garis bilanganMari kita coba menyatakan “ekor kiri” melalui $((a)_(n))$ dan $d$, dan “ekor kanan” melalui $((a)_(k))$ dan $d$. Ini sangat sederhana:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(sejajarkan)\]
Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut ini sama:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]
Sederhananya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan suatu bilangan $S$, dan kemudian mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke arah yang berlawanan (ke arah satu sama lain atau sebaliknya menjauh), Kemudian jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Hal ini dapat direpresentasikan dengan jelas secara grafis:
Lekukan yang sama memberikan jumlah yang sama Memahami fakta ini akan memungkinkan kita memecahkan masalah dengan cara yang lebih mendasar level tinggi kesulitan daripada yang kami pertimbangkan di atas. Misalnya, ini:
Tugas No.8. Tentukan selisih barisan aritmatika yang suku pertamanya 66 dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.
Larutan. Mari kita tuliskan semua yang kita ketahui:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]
Jadi, kita tidak mengetahui perbedaan perkembangan $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun berdasarkan perbedaan tersebut, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan). \end(sejajarkan)\]
Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya mengambil total pengali 11 dari braket kedua. Jadi, hasil kali yang diinginkan adalah fungsi kuadrat terhadap variabel $d$. Oleh karena itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita memperluas tanda kurung, kita mendapatkan:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, koefisien suku tertinggi adalah 11 - ini adalah bilangan positif, jadi kita sebenarnya berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:
jadwal fungsi kuadrat- parabola
Harap diperhatikan: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada titik puncaknya dengan absis $((d)_(0))$. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini menggunakan skema standar (ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan lebih masuk akal untuk diperhatikan bahwa titik sudut yang diinginkan terletak pada sumbu simetri parabola, maka titik $((d)_(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(sejajarkan) & f\kiri(d \kanan)=0; \\ & 11\cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(sejajarkan)\]
Itu sebabnya saya tidak terburu-buru membuka tanda kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat-sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absisnya sama dengan mean angka aritmatika−66 dan −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Apa yang diberikan oleh angka yang ditemukan kepada kita? Dengan itu, produk yang dibutuhkan mengambil nilai terkecil (omong-omong, kami tidak pernah menghitung $((y)_(\min ))$ - ini tidak diwajibkan dari kami). Selain itu, angka ini adalah selisih dari perkembangan aslinya, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)
Jawaban: −36
Tugas No.9. Di antara bilangan $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ masukkan tiga bilangan sehingga bersama-sama dengan bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.
Larutan. Intinya, kita perlu membuat barisan lima angka, yang angka pertama dan terakhirnya sudah diketahui. Mari kita nyatakan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:
\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]
Perhatikan bahwa angka $y$ adalah “tengah” barisan kita - jaraknya sama dari angka $x$ dan $z$, dan dari angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan kalau dari angka $x$ dan $z$ kita masuk saat ini kita tidak bisa mendapatkan $y$, maka situasinya berbeda dengan berakhirnya perkembangan. Mari kita ingat mean aritmatika:
Sekarang, dengan mengetahui $y$, kita akan mencari angka sisanya. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ yang baru saja kita temukan. Itu sebabnya
Dengan menggunakan alasan serupa, kami menemukan jumlah sisanya:
Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban sesuai urutan sisipannya di antara angka aslinya.
Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Tugas No.10. Di antara angka-angka 2 dan 42, sisipkan beberapa angka yang bersama-sama dengan angka-angka tersebut membentuk barisan aritmatika, jika diketahui jumlah angka pertama, kedua, dan terakhir yang disisipkan adalah 56.
Larutan. Terlebih lagi tugas yang sulit, yang, bagaimanapun, diselesaikan menurut skema yang sama seperti skema sebelumnya - melalui mean aritmatika. Soalnya kita tidak tahu persis berapa angka yang perlu dimasukkan. Oleh karena itu, mari kita asumsikan dengan pasti bahwa setelah memasukkan semuanya akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, perkembangan aritmatika yang diperlukan dapat direpresentasikan dalam bentuk:
\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Namun perhatikan bahwa angka $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari angka 2 dan 42 di tepinya dengan satu langkah ke arah satu sama lain, yaitu.. ke tengah urutan. Dan ini berarti itu
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Namun kemudian ungkapan yang tertulis di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(sejajarkan)\]
Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangannya:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah Kanan d=5. \\ \end(sejajarkan)\]
Yang tersisa hanyalah menemukan suku-suku yang tersisa:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(sejajarkan)\]
Jadi, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri barisan - angka 42. Total yang harus dimasukkan hanya 7 angka: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Masalah kata dengan perkembangan
Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa hal secara relatif tugas-tugas sederhana. Sesederhana itu: bagi sebagian besar siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, soal-soal ini mungkin terasa sulit. Meskipun demikian, ini adalah jenis soal yang muncul di OGE dan Ujian Negara Terpadu matematika, jadi saya sarankan Anda membiasakan diri dengannya.
Tugas No.11. Tim memproduksi 62 bagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya mereka memproduksi 14 bagian lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak bagian yang diproduksi tim pada bulan November?
Larutan. Jelasnya, jumlah bagian yang diurutkan berdasarkan bulan akan mewakili perkembangan aritmatika yang meningkat. Lebih-lebih lagi:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \end(align)\]
November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada bulan November.
Tugas No.12. Workshop penjilidan buku pada bulan Januari berjumlah 216 buku, dan setiap bulan berikutnya menjilid 4 buku lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?
Larutan. Semua sama:
$\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(align)$
Desember adalah bulan terakhir, bulan ke-12 dalam setahun, jadi kita mencari $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.
Nah, jika Anda sudah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: Anda telah berhasil menyelesaikan “kursus petarung muda” dalam perkembangan aritmatika. Anda dapat dengan aman melanjutkan ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus jumlah perkembangan, serta konsekuensi penting dan sangat berguna darinya.
Dalam matematika, kumpulan bilangan apa pun yang mengikuti satu sama lain, yang disusun dengan cara tertentu, disebut barisan. Dari semua barisan bilangan yang ada, ada dua kasus menarik yang dibedakan: barisan aljabar dan barisan geometri.
Apa yang dimaksud dengan perkembangan aritmatika?
Harus segera dikatakan bahwa perkembangan aljabar sering disebut aritmatika, karena sifat-sifatnya dipelajari oleh cabang matematika - aritmatika.
Perkembangan ini adalah barisan bilangan yang setiap suku berikutnya berbeda dari suku sebelumnya dengan bilangan tetap tertentu. Ini disebut selisih barisan aljabar. Untuk lebih jelasnya, kami melambangkannya dengan huruf latin d.
Contoh barisan tersebut adalah sebagai berikut: 3, 5, 7, 9, 11 ..., di sini Anda dapat melihat bahwa bilangan tersebut adalah 5 nomor lebih banyak 3 adalah 2, 7 lebih dari 5 juga 2, dan seterusnya. Jadi, pada contoh yang disajikan, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.
Apa saja jenis-jenis barisan aritmatika?
Sifat barisan bilangan yang berurutan ini sangat ditentukan oleh tanda bilangan d. Jenis perkembangan aljabar berikut ini dibedakan:
- meningkat ketika d positif (d>0);
- konstan ketika d = 0;
- menurun ketika d negatif (d<0).
Contoh yang diberikan pada paragraf sebelumnya menunjukkan kemajuan yang meningkat. Contoh barisan menurun adalah barisan bilangan berikut: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... Perkembangan tetap, sebagai berikut definisinya, adalah himpunan bilangan-bilangan identik.
periode kemajuan yang ke-n
Karena kenyataan bahwa setiap bilangan berikutnya dalam perkembangan yang dipertimbangkan berbeda konstanta d dari bilangan sebelumnya, suku ke-nnya dapat dengan mudah ditentukan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui tidak hanya d, tetapi juga a 1 - suku pertama dari perkembangan tersebut. Dengan menggunakan pendekatan rekursif, seseorang dapat memperoleh rumus perkembangan aljabar untuk mencari suku ke-n. Bentuknya seperti: an = a 1 + (n-1)*d. Rumus ini cukup sederhana dan dapat dipahami secara intuitif.
Cara menggunakannya juga tidak sulit. Misalnya, pada barisan yang diberikan di atas (d=2, a 1 =3), kita mendefinisikan suku ke-35. Menurut rumusnya akan sama dengan: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.
Rumus jumlah
Pada suatu barisan aritmatika, penjumlahan n suku pertamanya merupakan soal yang sering ditemui, begitu pula dengan penentuan nilai suku ke-n. Rumus jumlah suatu barisan aljabar dituliskan dalam bentuk berikut: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, disini ikon ∑ n 1 menandakan bahwa mereka dijumlahkan dari 1 sampai istilah ke-n.
Ekspresi di atas dapat diperoleh dengan menggunakan properti rekursi yang sama, namun ada cara yang lebih mudah untuk membuktikan validitasnya. Mari kita tuliskan 2 suku pertama dan 2 suku terakhir dari jumlah ini, nyatakan dalam bilangan a 1, a n dan d, dan kita peroleh: a 1, a 1 +d,...,an -d, a n. Sekarang perhatikan bahwa jika kita menambahkan suku pertama ke suku terakhir, maka suku tersebut akan sama persis dengan jumlah suku kedua dan suku kedua dari belakang, yaitu a 1 +an. Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa jumlah yang sama dapat diperoleh dengan menjumlahkan suku ketiga dan suku kedua dari belakang, dan seterusnya. Dalam kasus sepasang bilangan dalam barisan tersebut, kita memperoleh jumlah n/2, yang masing-masing sama dengan a 1 +a n. Artinya, kita memperoleh rumus perkembangan aljabar di atas untuk jumlah: ∑ n 1 = n*(a 1 +an)/2.
Untuk sejumlah suku n yang tidak berpasangan, rumus serupa diperoleh jika Anda mengikuti alasan yang dijelaskan. Ingatlah untuk menambahkan sisa suku, yang berada di tengah perkembangan.
Mari kita tunjukkan cara menggunakan rumus di atas menggunakan contoh perkembangan sederhana yang diperkenalkan di atas (3, 5, 7, 9, 11…). Misalnya, kita perlu menentukan jumlah 15 suku pertamanya. Pertama, mari kita definisikan 15. Dengan menggunakan rumus suku ke-n (lihat paragraf sebelumnya), kita peroleh: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Sekarang kita bisa menerapkan rumus untuk jumlah barisan aljabar: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.
Menarik untuk mengutip fakta sejarah yang menarik. Rumus jumlah suatu barisan aritmatika pertama kali diperoleh oleh Carl Gauss (ahli matematika terkenal Jerman abad ke-18). Ketika dia baru berusia 10 tahun, gurunya memintanya untuk menemukan jumlah angka dari 1 hingga 100. Mereka mengatakan bahwa Gauss kecil memecahkan masalah ini dalam beberapa detik, memperhatikan bahwa dengan menjumlahkan angka dari awal dan akhir barisan. berpasangan, Anda selalu bisa mendapatkan 101, dan karena ada 50 jumlah tersebut, dia dengan cepat memberikan jawabannya: 50*101 = 5050.
Contoh penyelesaian masalah
Untuk melengkapi topik barisan aljabar, kami akan memberikan contoh penyelesaian masalah menarik lainnya, sehingga memperkuat pemahaman tentang topik yang sedang dibahas. Misalkan diberikan suatu barisan tertentu yang diketahui selisih d = -3, serta suku ke-35 a 35 = -114. Kita perlu mencari suku ke-7 dari barisan tersebut a 7 .
Terlihat dari kondisi soal, nilai a 1 tidak diketahui, oleh karena itu rumus suku ke-n tidak dapat digunakan secara langsung. Metode rekursi juga merepotkan, sulit diterapkan secara manual, dan kemungkinan besar terjadi kesalahan. Mari kita lanjutkan sebagai berikut: tuliskan rumus untuk a 7 dan a 35, kita mendapatkan: a 7 = a 1 + 6*d dan a 35 = a 1 + 34*d. Kurangi yang kedua dari ekspresi pertama, kita mendapatkan: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Berikut ini: a 7 = a 35 - 28*d. Tetap mengganti data yang diketahui dari rumusan masalah dan menuliskan jawabannya: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.
Kemajuan geometris
Untuk mengungkap topik artikel lebih lengkap, kami memberikan deskripsi singkat tentang jenis perkembangan lainnya - geometris. Dalam matematika, nama ini dipahami sebagai barisan bilangan yang setiap suku berikutnya berbeda dari suku sebelumnya dengan faktor tertentu. Mari kita nyatakan faktor ini dengan huruf r. Ini disebut penyebut dari jenis perkembangan yang sedang dipertimbangkan. Contoh barisan bilangan ini adalah: 1, 5, 25, 125, ...
Seperti dapat dilihat dari definisi di atas, barisan aljabar dan geometri memiliki gagasan yang serupa. Perbedaan di antara keduanya adalah perubahan yang pertama lebih lambat dibandingkan yang kedua.
Kemajuan geometri juga dapat meningkat, konstan atau menurun. Jenisnya bergantung pada nilai penyebut r: jika r>1, maka terjadi perkembangan yang meningkat, jika r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.
Rumus perkembangan geometris
Seperti halnya aljabar, rumus suatu barisan geometri direduksi menjadi menentukan suku ke-n dan jumlah n sukunya. Di bawah ini adalah ungkapan-ungkapan tersebut:
- a n = a 1 *r (n-1) - rumus ini mengikuti definisi barisan geometri.
- ∑ n 1 = a 1 *(rn -1)/(r-1). Perlu diperhatikan bahwa jika r = 1, maka rumus di atas memberikan ketidakpastian sehingga tidak dapat digunakan. Dalam hal ini, jumlah n suku akan sama dengan hasil kali sederhana a 1 *n.
Sebagai contoh, carilah jumlah 10 suku barisan 1, 5, 25, 125, ... Diketahui bahwa a 1 = 1 dan r = 5, kita peroleh: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Nilai yang dihasilkan adalah contoh nyata seberapa cepat perkembangan geometri bertambah.
Mungkin yang pertama kali menyebutkan perkembangan ini dalam sejarah adalah legenda papan catur, ketika seorang teman salah satu Sultan, setelah mengajarinya bermain catur, meminta gandum untuk jasanya. Selain itu, jumlah butirnya seharusnya sebagai berikut: satu butir harus diletakkan di kotak pertama papan catur, di kotak kedua dua kali lebih banyak dari kotak pertama, di kotak ketiga dua kali lebih banyak dari kotak kedua, dan seterusnya. . Sultan bersedia memenuhi permintaan ini, tetapi dia tidak tahu bahwa dia harus mengosongkan semua sampah di negaranya untuk menepati janjinya.
Atau aritmatika adalah jenis barisan numerik terurut, yang sifat-sifatnya dipelajari dalam mata pelajaran aljabar sekolah. Artikel ini membahas secara rinci pertanyaan bagaimana mencari jumlah suatu barisan aritmatika.
Kemajuan macam apa ini?
Sebelum melanjutkan ke pertanyaan (bagaimana mencari jumlah suatu barisan aritmatika), ada baiknya memahami apa yang sedang kita bicarakan.
Setiap barisan bilangan real yang diperoleh dengan menjumlahkan (mengurangi) suatu nilai dari setiap bilangan sebelumnya disebut barisan aljabar (aritmatika). Definisi ini jika diterjemahkan ke dalam bahasa matematika berbentuk:
Aku disini - nomor seri elemen deret a i . Jadi, dengan mengetahui hanya satu nomor awal, Anda dapat dengan mudah memulihkan seluruh rangkaian. Parameter d dalam rumus disebut selisih perkembangan.
Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa untuk rangkaian bilangan yang dipertimbangkan, persamaan berikut berlaku:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Artinya, untuk mencari nilai elemen ke-n secara berurutan, selisih d harus dijumlahkan dengan elemen pertama a sebanyak 1 n-1 kali.
Berapa jumlah barisan aritmatika: rumus
Sebelum memberikan rumus untuk jumlah yang ditunjukkan, ada baiknya mempertimbangkan kasus khusus sederhana. Mengingat perkembangan bilangan asli dari 1 hingga 10, Anda perlu mencari jumlahnya. Karena hanya ada sedikit suku dalam barisan (10), maka masalah dapat diselesaikan secara langsung, yaitu dengan menjumlahkan semua elemen secara berurutan.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Satu hal yang menarik perlu dipertimbangkan: karena setiap suku berbeda dari suku berikutnya dengan nilai yang sama d = 1, maka penjumlahan berpasangan suku pertama dengan suku kesepuluh, suku kedua dengan suku kesembilan, dan seterusnya akan memberikan hasil yang sama. Benar-benar:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Seperti yang Anda lihat, hanya ada 5 dari jumlah ini, yaitu tepat dua kali lebih kecil dari jumlah elemen deret tersebut. Kemudian mengalikan banyaknya penjumlahan (5) dengan hasil setiap penjumlahan (11), Anda akan mendapatkan hasil yang diperoleh pada contoh pertama.
Jika kita menggeneralisasi argumen-argumen ini, kita dapat menulis ekspresi berikut:
S n = n * (a 1 + an) / 2.
Ungkapan ini menunjukkan bahwa tidak perlu menjumlahkan semua elemen dalam satu baris, cukup mengetahui nilai a 1 pertama dan an terakhir, serta jumlah suku n.
Dipercaya bahwa Gauss pertama kali memikirkan persamaan ini ketika dia mencari solusi untuk masalah yang diberikan oleh guru sekolahnya: jumlahkan 100 bilangan bulat pertama.
Jumlah elemen dari m ke n: rumus
Rumus yang diberikan pada paragraf sebelumnya menjawab pertanyaan bagaimana mencari jumlah suatu barisan aritmatika (elemen pertama), namun seringkali dalam soal perlu menjumlahkan serangkaian angka di tengah barisan tersebut. Bagaimana cara melakukannya?
Cara termudah untuk menjawab pertanyaan ini adalah dengan memperhatikan contoh berikut: misalkan kita perlu mencari jumlah suku dari ke-m sampai ke-n. Untuk menyelesaikan soal tersebut, Anda harus menyajikan segmen tertentu dari m ke n perkembangannya dalam bentuk deret bilangan baru. Dalam representasi ini, suku ke-m a m akan menjadi suku pertama, dan a n akan diberi nomor n-(m-1). Dalam hal ini, dengan menerapkan rumus standar untuk penjumlahan, diperoleh ekspresi berikut:
S m n = (n - m + 1) * (am + an) / 2.
Contoh penggunaan rumus
Mengetahui cara mencari jumlah suatu barisan aritmatika, ada baiknya mempertimbangkan contoh sederhana penggunaan rumus di atas.
Di bawah ini diberikan urutan nomor, Anda harus mencari jumlah suku-sukunya, dimulai dari tanggal 5 dan diakhiri dengan tanggal 12:
Angka-angka yang diberikan menunjukkan bahwa selisih d sama dengan 3. Dengan menggunakan ekspresi elemen ke-n, Anda dapat mencari nilai suku ke-5 dan ke-12 dari perkembangan tersebut. Ternyata:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Mengetahui nilai-nilai bilangan pada ujung-ujung barisan aljabar yang ditinjau, serta mengetahui bilangan-bilangan dalam deret yang ditempatinya, Anda dapat menggunakan rumus jumlah yang diperoleh pada paragraf sebelumnya. Ternyata:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Perlu diperhatikan bahwa nilai ini dapat diperoleh dengan cara yang berbeda: pertama carilah jumlah 12 elemen pertama menggunakan rumus standar, lalu hitung jumlah 4 elemen pertama menggunakan rumus yang sama, lalu kurangi jumlah kedua dari jumlah pertama.
Misalnya, barisan \(2\); \(5\); \(8\); \(sebelas\); \(14\)... merupakan barisan aritmatika, karena setiap elemen berikutnya berbeda tiga dari elemen sebelumnya (dapat diperoleh dari elemen sebelumnya dengan menambahkan tiga):
Pada deret ini, selisih \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), sehingga setiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya. Perkembangan seperti ini disebut meningkat.
Namun, \(d\) juga bisa berupa bilangan negatif. Misalnya, dalam barisan aritmatika \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... selisih perkembangan \(d\) sama dengan minus enam.
Dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari elemen sebelumnya. Kemajuan ini disebut menurun.
Notasi perkembangan aritmatika
Kemajuan ditunjukkan dengan huruf Latin kecil.
Bilangan yang membentuk barisan disebut anggota(atau elemen).
Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan barisan aritmatika, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan jumlah elemen secara berurutan.
Misalnya, barisan aritmatika \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri dari elemen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.
Dengan kata lain, untuk perkembangan \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Memecahkan masalah perkembangan aritmatika
Pada prinsipnya, informasi yang disajikan di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika (termasuk yang ditawarkan di OGE).
Contoh (OGE).
Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi \(b_1=7; d=4\). Temukan \(b_5\).
Larutan:
Menjawab: \(b_5=23\)
Contoh (OGE).
Diketahui tiga suku pertama suatu barisan aritmatika: \(62; 49; 36…\) Tentukan nilai suku negatif pertama barisan tersebut..
Larutan:
|
Kita diberikan elemen pertama dari barisan tersebut dan mengetahui bahwa itu adalah barisan aritmatika. Artinya, setiap unsur berbeda satu sama lain dengan bilangan yang sama. Mari kita cari tahu yang mana dengan mengurangkan elemen sebelumnya dari elemen berikutnya: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Sekarang kita dapat mengembalikan perkembangan kita ke elemen (negatif pertama) yang kita perlukan. |
|
|
Siap. Anda dapat menulis jawabannya. |
Menjawab: \(-3\)
Contoh (OGE).
Diberikan beberapa elemen barisan aritmatika yang berurutan: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tentukan nilai elemen yang diberi tanda huruf \(x\).
Larutan:
|
|
Untuk mencari \(x\), kita perlu mengetahui seberapa besar perbedaan elemen berikutnya dengan elemen sebelumnya, dengan kata lain, selisih perkembangannya. Mari kita cari dari dua elemen bertetangga yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Dan sekarang kita dapat dengan mudah menemukan apa yang kita cari: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Siap. Anda dapat menulis jawabannya. |
Menjawab: \(7,5\).
Contoh (OGE).
Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tentukan jumlah enam suku pertama barisan ini.
Larutan:
|
Kita perlu mencari jumlah enam suku pertama dari perkembangan tersebut. Tapi kita tidak tahu artinya; kita hanya diberikan elemen pertama. Oleh karena itu, pertama-tama kita menghitung nilainya satu per satu, menggunakan apa yang diberikan kepada kita: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Jumlah yang dibutuhkan telah ditemukan. |
Menjawab: \(S_6=9\).
Contoh (OGE).
Dalam perkembangan aritmatika \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Temukan perbedaan dari perkembangan ini.
Larutan:
Menjawab: \(d=7\).
Rumus penting untuk perkembangan aritmatika
Seperti yang Anda lihat, banyak masalah pada perkembangan aritmatika dapat diselesaikan hanya dengan memahami hal utama - bahwa perkembangan aritmatika adalah rantai angka, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambahkan angka yang sama ke yang sebelumnya (the perbedaan kemajuan).
Namun, terkadang ada situasi di mana memutuskan “langsung” sangatlah merepotkan. Misalnya, bayangkan pada contoh pertama kita tidak perlu mencari elemen kelima \(b_5\), melainkan elemen ketiga ratus delapan puluh enam \(b_(386)\). Haruskah kita menambahkan empat \(385\) kali? Atau bayangkan dalam contoh kedua dari belakang Anda perlu mencari jumlah tujuh puluh tiga elemen pertama. Anda akan bosan menghitung...
Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu mereka tidak menyelesaikan masalah secara “langsung”, tetapi menggunakan rumus khusus yang diturunkan untuk perkembangan aritmatika. Dan yang utama adalah rumus suku ke-n barisan tersebut dan rumus jumlah suku pertama \(n\).
Rumus suku ke-\(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) adalah suku pertama dari barisan tersebut;
\(n\) – jumlah elemen yang diperlukan;
\(a_n\) – suku barisan dengan bilangan \(n\).
Rumus ini memungkinkan kita dengan cepat menemukan elemen ketiga ratus atau sejuta, hanya mengetahui elemen pertama dan perbedaan perkembangannya.
Contoh.
Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Temukan \(b_(246)\).
Larutan:
Menjawab: \(b_(246)=1850\).
Rumus jumlah n suku pertama: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana
\(a_n\) – suku terakhir yang dijumlahkan;
Contoh (OGE).
Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi \(a_n=3.4n-0.6\). Tentukan jumlah suku \(25\) pertama dari barisan tersebut.
Larutan:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Untuk menghitung jumlah dua puluh lima suku pertama, kita perlu mengetahui nilai suku pertama dan kedua puluh lima. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Sekarang mari kita cari suku ke dua puluh lima dengan mensubstitusikan dua puluh lima ke dalam \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Nah, sekarang kita bisa dengan mudah menghitung jumlah yang dibutuhkan. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Jawabannya sudah siap. |
Menjawab: \(S_(25)=1090\).
Untuk jumlah \(n\) suku pertama, kamu bisa mendapatkan rumus lain: kamu hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) alih-alih \(a_n\) gantikan rumusnya dengan \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kita mendapatkan:
Rumus jumlah n suku pertama: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana
\(S_n\) – jumlah yang diperlukan dari \(n\) elemen pertama;
\(a_1\) – suku pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbedaan perkembangan;
\(n\) – jumlah total elemen.
Contoh.
Tentukan jumlah suku \(33\)-ex pertama dari barisan aritmetika: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Larutan:
Menjawab: \(S_(33)=-231\).
Masalah perkembangan aritmatika yang lebih kompleks
Sekarang Anda memiliki semua informasi yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika. Mari kita selesaikan topik ini dengan mempertimbangkan masalah di mana Anda tidak hanya perlu menerapkan rumus, tetapi juga berpikir sedikit (dalam matematika ini bisa berguna ☺)
Contoh (OGE).
Tentukan jumlah semua suku negatif dari barisan tersebut: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Larutan:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Tugasnya sangat mirip dengan yang sebelumnya. Kita mulai menyelesaikan hal yang sama: pertama kita temukan \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Sekarang saya ingin mengganti \(d\) ke dalam rumus jumlah... dan di sini muncul sedikit perbedaan - kita tidak tahu \(n\). Dengan kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambahkan. Bagaimana cara mengetahuinya? Mari kita berpikir. Kami akan berhenti menambahkan elemen ketika kami mencapai elemen positif pertama. Artinya, Anda perlu mengetahui jumlah elemen ini. Bagaimana? Mari kita tuliskan rumus untuk menghitung elemen apa pun dari barisan aritmatika: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kasus kita. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Kita perlu \(a_n\) menjadi lebih besar dari nol. Mari kita cari tahu pada \(n\) hal ini akan terjadi. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Kita bagi kedua ruas pertidaksamaan dengan \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Kita transfer minus satu, tak lupa ganti tandanya |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Mari kita hitung... |
|
|
\(n>65.333…\) |
...dan ternyata unsur positif pertama mempunyai bilangan \(66\). Oleh karena itu, negatif terakhir memiliki \(n=65\). Untuk berjaga-jaga, mari kita periksa ini. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Jadi kita perlu menambahkan elemen \(65\) pertama. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Jawabannya sudah siap. |
Menjawab: \(S_(65)=-630,5\).
Contoh (OGE).
Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Temukan jumlah dari elemen \(26\) hingga \(42\) inklusif.
Larutan:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Dalam soal ini Anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi tidak dimulai dari yang pertama, tetapi dari \(26\). Untuk kasus seperti ini kami tidak mempunyai rumusnya. Bagaimana cara memutuskan? |
|
|
Untuk perkembangan kita \(a_1=-33\), dan selisih \(d=4\) (bagaimanapun juga, kita menambahkan empat ke elemen sebelumnya untuk mencari elemen berikutnya). Mengetahui hal ini, kita mencari jumlah elemen \(42\)-y pertama. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Sekarang jumlah elemen \(25\) pertama. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Dan terakhir, kami menghitung jawabannya. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Menjawab: \(S=1683\).
Untuk perkembangan aritmatika, ada beberapa rumus lagi yang tidak kami bahas dalam artikel ini karena rendahnya kegunaan praktisnya. Namun, Anda dapat menemukannya dengan mudah.
Beberapa orang memperlakukan kata “perkembangan” dengan hati-hati, sebagai istilah yang sangat kompleks dari cabang matematika yang lebih tinggi. Sedangkan barisan aritmatika yang paling sederhana adalah kerja meteran taksi (yang masih ada). Dan memahami esensi (dan dalam matematika tidak ada yang lebih penting daripada "memahami esensi") dari suatu barisan aritmatika tidaklah begitu sulit, setelah menganalisis beberapa konsep dasar.
Urutan bilangan matematika
Barisan bilangan biasanya disebut barisan bilangan yang masing-masing mempunyai bilangan tersendiri.
a 1 adalah anggota pertama barisan tersebut;
dan 2 adalah suku kedua barisan tersebut;
dan 7 adalah anggota ketujuh dari barisan tersebut;
dan n adalah anggota barisan ke-n;
Namun, tidak ada kumpulan angka dan angka yang menarik minat kami. Kita akan memusatkan perhatian kita pada barisan bilangan yang nilai suku ke-n berhubungan dengan bilangan urutnya melalui hubungan yang dapat dirumuskan dengan jelas secara matematis. Dengan kata lain: nilai numerik dari bilangan ke-n adalah suatu fungsi dari n.
a adalah nilai anggota barisan bilangan;
n adalah nomor serinya;
f(n) adalah suatu fungsi, dimana bilangan urut dalam barisan numerik n adalah argumennya.
Definisi
Barisan aritmatika biasanya disebut barisan bilangan yang setiap suku berikutnya lebih besar (lebih kecil) dari suku sebelumnya dengan bilangan yang sama. Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah sebagai berikut:
a n - nilai anggota perkembangan aritmatika saat ini;
a n+1 - rumus angka berikutnya;
d - selisih (angka tertentu).
Mudah untuk menentukan bahwa jika selisihnya positif (d>0), maka setiap anggota deret berikutnya yang ditinjau akan lebih besar dari suku sebelumnya dan barisan aritmatika tersebut akan meningkat.
Pada grafik di bawah ini mudah untuk melihat mengapa barisan bilangan disebut “bertambah”.
Dalam hal perbedaannya negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Nilai anggota yang ditentukan
Kadang-kadang perlu untuk menentukan nilai suatu suku sembarang a n dari suatu barisan aritmatika. Hal ini dapat dilakukan dengan menghitung nilai seluruh anggota barisan aritmatika secara berurutan, mulai dari yang pertama hingga yang diinginkan. Namun, jalur ini tidak selalu dapat diterima jika, misalnya, perlu mencari nilai suku lima ribu atau delapan juta. Perhitungan tradisional akan memakan banyak waktu. Namun, barisan aritmatika tertentu dapat dipelajari dengan menggunakan rumus tertentu. Ada juga rumus untuk suku ke-n: nilai suatu suku suatu barisan aritmatika dapat ditentukan sebagai jumlah suku pertama barisan tersebut dengan selisih barisan tersebut, dikalikan dengan banyaknya suku yang diinginkan, dikurangi dengan satu.
Rumusnya bersifat universal untuk menaikkan dan menurunkan perkembangan.
Contoh penghitungan nilai suatu suku tertentu
Mari kita selesaikan soal mencari nilai suku ke-n suatu barisan aritmatika berikut ini.
Kondisi: terdapat barisan aritmatika dengan parameter:
Suku pertama barisan tersebut adalah 3;
Selisih deret bilangan tersebut adalah 1,2.
Tugas: Anda perlu mencari nilai 214 suku
Penyelesaian: untuk menentukan nilai suatu suku, kita menggunakan rumus:
a(n) = a1 + d(n-1)
Mengganti data dari pernyataan masalah ke dalam ekspresi, kita mendapatkan:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Jawab: Suku ke-214 barisan tersebut sama dengan 258,6.
Keuntungan dari metode penghitungan ini jelas - seluruh solusi membutuhkan tidak lebih dari 2 baris.
Jumlah sejumlah suku tertentu
Sangat sering, dalam deret aritmatika tertentu, perlu untuk menentukan jumlah nilai beberapa segmennya. Untuk melakukan ini, juga tidak perlu menghitung nilai setiap suku lalu menjumlahkannya. Cara ini dapat diterapkan jika jumlah suku yang jumlah perlu dicari sedikit. Dalam kasus lain, akan lebih mudah menggunakan rumus berikut.
Jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika dari 1 ke n sama dengan jumlah suku pertama dan suku ke-n, dikalikan banyaknya suku n dan dibagi dua. Jika dalam rumus nilai suku ke-n diganti dengan ekspresi paragraf artikel sebelumnya, kita peroleh:
Contoh perhitungan
Misalnya, mari kita selesaikan masalah dengan kondisi berikut:
Suku pertama barisan tersebut adalah nol;
Perbedaannya adalah 0,5.
Soal tersebut memerlukan penentuan jumlah suku deret tersebut dari 56 hingga 101.
Larutan. Mari kita gunakan rumus untuk menentukan besarnya perkembangan:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Pertama, kita menentukan jumlah nilai 101 suku perkembangan dengan mensubstitusi kondisi tertentu dari masalah kita ke dalam rumus:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Tentunya untuk mengetahui jumlah suku-suku barisan dari ke-56 ke ke-101, S 55 perlu dikurangkan dari S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Jadi, jumlah perkembangan aritmatika untuk contoh ini adalah:
s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5
Contoh penerapan praktis perkembangan aritmatika
Di akhir artikel, mari kita kembali ke contoh barisan aritmatika yang diberikan di paragraf pertama - Argometer (meteran mobil taksi). Mari kita pertimbangkan contoh ini.
Naik taksi (yang mencakup perjalanan sejauh 3 km) dikenakan biaya 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar dengan tarif 22 rubel/km. Jarak tempuh 30 km. Hitung biaya perjalanan.
1. Ayo buang 3 km pertama yang harganya sudah termasuk biaya pendaratan.
30 - 3 = 27 km.
2. Perhitungan selanjutnya tidak lebih dari penguraian suatu deret bilangan aritmatika.
Nomor anggota - jumlah kilometer yang ditempuh (dikurangi tiga kilometer pertama).
Nilai anggota adalah penjumlahannya.
Suku pertama dalam soal ini akan sama dengan 1 = 50 rubel.
Selisih perkembangan d = 22 r.
bilangan yang kita minati adalah nilai suku ke (27+1) barisan aritmatika - pembacaan meter pada akhir kilometer ke 27 adalah 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Perhitungan data kalender untuk jangka waktu yang lama didasarkan pada rumus yang menjelaskan urutan numerik tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit secara geometris bergantung pada jarak benda langit ke bintang. Selain itu, berbagai deret bilangan berhasil digunakan dalam statistik dan bidang matematika terapan lainnya.
Jenis barisan bilangan lainnya adalah geometri
Perkembangan geometri dicirikan oleh tingkat perubahan yang lebih besar dibandingkan dengan perkembangan aritmatika. Bukan suatu kebetulan bahwa dalam politik, sosiologi, dan kedokteran, untuk menunjukkan tingginya kecepatan penyebaran suatu fenomena tertentu, misalnya penyakit pada masa epidemi, mereka mengatakan bahwa prosesnya berkembang secara eksponensial.
Suku ke-N suatu deret bilangan geometri berbeda dengan suku sebelumnya karena dikalikan dengan suatu bilangan konstan - penyebutnya, misalnya suku pertama adalah 1, maka penyebutnya juga sama dengan 2, maka:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - nilai suku saat ini dari barisan geometri;
b n+1 - rumus suku berikutnya dari barisan geometri;
q adalah penyebut barisan geometri (bilangan konstan).
Jika grafik barisan aritmatika berbentuk garis lurus, maka barisan geometri memberikan gambaran yang sedikit berbeda:
Seperti halnya aritmatika, barisan geometri memiliki rumus untuk nilai suatu suku sembarang. Suku ke-n suatu barisan geometri sama dengan hasil kali suku pertama dan penyebut barisan tersebut pangkat n dikurangi satu:
Contoh. Kita mempunyai barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan 3 dan penyebut barisan tersebut sama dengan 1,5. Mari kita cari suku ke-5 dari perkembangan tersebut
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Jumlah sejumlah suku tertentu juga dihitung menggunakan rumus khusus. Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri sama dengan selisih antara hasil kali suku ke-n barisan tersebut dan penyebutnya dan suku pertama barisan tersebut, dibagi dengan penyebutnya dikurangi satu:
Jika b n diganti dengan rumus yang telah dibahas di atas, maka nilai jumlah n suku pertama deret bilangan yang ditinjau akan berbentuk:
Contoh. Perkembangan geometri dimulai dengan suku pertama sama dengan 1. Penyebutnya ditetapkan menjadi 3. Mari kita cari jumlah delapan suku pertama.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
