Cara mencari modulus dan cosinus arah suatu vektor. Rumus menghitung cosinus arah vektor untuk permasalahan spasial. C) dua batasan yang luar biasa

Kosinus arah suatu vektor.

Kosinus arah vektor a adalah cosinus sudut yang dibentuk vektor dengan sumbu koordinat positif.

Untuk mencari kosinus arah vektor a, koordinat vektor yang bersesuaian perlu dibagi dengan nilai absolut vektor tersebut.

Properti: Jumlah kuadrat cosinus arahnya sama dengan satu.

Jadi dalam kasus masalah pesawat arah kosinus vektor a = (ax; ay) ditentukan dengan rumus:

Contoh penghitungan cosinus arah suatu vektor:

Tentukan arah cosinus dari vektor a = (3; 4).

Solusi: |a| =

Jadi masuk jika terjadi masalah spasial arah kosinus vektor a = (ax; ay; az) ditentukan dengan rumus:

Contoh penghitungan cosinus arah suatu vektor

Tentukan cosinus arah dari vektor a = (2; 4; 4).

Solusi: |a| =

Arah vektor dalam ruang ditentukan oleh sudut yang dibentuk vektor dengan sumbu koordinat (Gbr. 12). Kosinus sudut-sudut ini disebut cosinus arah vektor: , , . Dari sifat-sifat proyeksi :, , . Karena itu, Sangat mudah untuk menunjukkan hal itu 2) koordinat vektor satuan apa pun bertepatan dengan arahnya kosinus: .

"Cara mencari cosinus arah suatu vektor"

Dilambangkan dengan alpha, beta dan gamma sudut yang dibentuk oleh vektor a dengan arah sumbu koordinat positif (lihat Gambar 1). Kosinus sudut-sudut ini disebut kosinus arah vektor a.

Karena koordinat a pada sistem koordinat persegi panjang kartesius sama dengan proyeksi vektor pada sumbu koordinat, maka a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gamma). Maka: cos (alfa)=a1||a|, cos(beta) =a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Dalam hal ini |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Jadi cos (alfa)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/akar(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Perlu diperhatikan sifat utama cosinus arah. Jumlah kuadrat cosinus arah suatu vektor sama dengan satu. Memang, cos^2(alpha)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Cara pertama

Contoh: diberikan: vektor a=(1, 3, 5). Temukan arahnya kosinus. Larutan. Sesuai dengan apa yang kami temukan, kami menulis: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91. Dengan demikian, jawabannya dapat dituliskan dalam bentuk berikut: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16;0,5;0,84).

Cara kedua

Untuk mencari kosinus arah vektor a, Anda dapat menggunakan teknik menentukan kosinus sudut menggunakan hasil kali skalar. Dalam hal ini yang kami maksud adalah sudut antara a dan vektor satuan arah koordinat kartesius persegi panjang i, j dan k. Koordinatnya masing-masing adalah (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Perlu diingat bahwa produk skalar vektor didefinisikan sebagai berikut.

Jika sudut antar vektor adalah φ, maka hasil kali skalar dua angin (menurut definisi) adalah bilangan yang sama dengan hasil kali modulus vektor dan cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Maka jika b=i, maka (a, i) = |a||i|cos(alpha), atau a1 = |a|cos(alpha). Selanjutnya, semua tindakan dilakukan mirip dengan metode 1, dengan mempertimbangkan koordinat j dan k.

DEFINISI

Vektor disebut pasangan titik terurut dan (yaitu, diketahui secara pasti titik mana pada pasangan ini yang pertama).

Poin pertama disebut awal vektor, dan yang kedua adalah miliknya tamat.

Jarak antara awal dan akhir suatu vektor disebut panjang atau modul vektor.

Vektor yang awal dan akhirnya berimpit disebut nol dan dilambangkan dengan ; panjangnya dianggap nol. Sebaliknya, jika panjang vektornya positif, maka disebut bukan nol.

Komentar. Jika panjang suatu vektor sama dengan satu, maka disebut ortom atau vektor satuan dan ditunjuk.

CONTOH

Latihan	Periksa apakah suatu vektor adalah lajang.
Larutan	Mari kita hitung panjang suatu vektor, itu sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinat: Karena panjang vektor sama dengan satu, berarti vektor tersebut orth.
Menjawab	Vektor satuan.

Vektor bukan nol juga dapat didefinisikan sebagai segmen berarah.

Komentar. Arah vektor nol tidak ditentukan.

Kosinus arah suatu vektor

DEFINISI

Kosinus arah suatu vektor tertentu disebut kosinus sudut-sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan arah positif sumbu koordinat.

Komentar. Arah suatu vektor ditentukan secara unik oleh kosinus arahnya.

Untuk mencari cosinus arah suatu vektor, vektor perlu dinormalisasi (yaitu membagi vektor dengan panjangnya):

Komentar. Koordinat suatu vektor satuan sama dengan kosinus arahnya.

DALIL

(Properti cosinus arah). Jumlah kuadrat cosinus arah sama dengan satu:

ini adalah kosinus sudut yang dibentuk vektor dengan sumbu koordinat positif. Kosinus arah secara unik menentukan arah vektor. Jika suatu vektor mempunyai panjang 1, maka cosinus arahnya sama dengan koordinatnya. Secara umum untuk vektor dengan koordinat ( A; B; C) arah cosinusnya sama:

dimana a, b, g adalah sudut yang dibuat oleh vektor dengan sumbu X, kamu, z masing-masing.

21) Penguraian suatu vektor menjadi vektor satuan. Vektor satuan sumbu koordinat dilambangkan dengan , sumbu dengan , dan sumbu dengan (Gbr. 1).

Untuk setiap vektor yang terletak pada bidang, terjadi pemuaian sebagai berikut:

Jika vektor terletak di ruang angkasa, maka pemuaian vektor satuan sumbu koordinat berbentuk:

22)Produk titik dua vektor bukan nol dan bilangan yang sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor tersebut dan kosinus sudut antara keduanya disebut:

23)Sudut antara dua vektor

Jika sudut antara dua vektor lancip, maka hasil kali skalarnya positif; jika sudut antara vektor-vektor tersebut tumpul, maka hasil kali skalar vektor-vektor tersebut adalah negatif. Hasil kali skalar dua vektor bukan nol sama dengan nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut ortogonal.

24) Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua vektor.

Syarat agar vektor tegak lurus
Vektor tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali skalarnya nol Diberikan dua buah vektor a(xa;ya) dan b(xb;yb). Vektor-vektor ini akan tegak lurus jika persamaan xaxb + yayb = 0.

25) Produk vektor dari dua vektor.

Hasil kali vektor dua vektor yang tidak segaris adalah vektor c=a×b yang memenuhi syarat berikut: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Vektor a, b, c membentuk triplet vektor sebelah kanan.

26) Vektor kolinear dan koplanar..

Vektor-vektor dikatakan segaris jika absis vektor pertama berhubungan dengan absis vektor kedua seperti halnya ordinat vektor pertama terhadap ordinat vektor kedua. A (xa;ya) Dan B (xb;ya). Vektor-vektor ini kolinear jika xa = xb Dan ya = kamu b, Di mana R.

Vektor −→ A,−→B dan −→ C disebut sebidang, jika ada bidang yang sejajar.

27) Hasil kali campuran tiga vektor. Produk campuran vektor- hasil kali skalar vektor a dan hasil kali vektor vektor b dan c. Tentukan hasil kali campuran vektor a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Larutan:

1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Jarak antara dua titik pada suatu bidang. Jarak antara dua titik tertentu sama dengan akar kuadrat dari jumlah selisih kuadrat koordinat yang sama dari titik-titik tersebut.

29) Pembagian segmen dalam hubungan ini. Jika titik M(x; y) terletak pada garis yang melalui dua titik tertentu ( , ) dan ( , ), dan diberikan relasi dimana titik M membagi ruas , maka koordinat titik M ditentukan dengan rumus

Jika titik M merupakan titik tengah ruas tersebut, maka koordinatnya ditentukan dengan rumus

30-31. Kemiringan garis lurus disebut garis singgung sudut kemiringan garis ini. Kemiringan suatu garis lurus biasanya dilambangkan dengan huruf k. Kemudian menurut definisi

Persamaan garis lurus dengan kemiringan memiliki bentuk dimana k- kemiringan garis lurus, B– suatu bilangan real. Dengan menggunakan persamaan garis lurus dengan koefisien sudut, Anda dapat menentukan garis lurus apa pun yang tidak sejajar dengan sumbunya Oi(untuk garis lurus yang sejajar sumbu ordinat, koefisien sudutnya tidak ditentukan).

33. Persamaan umum garis lurus pada bidang. Persamaan bentuk Ada persamaan umum suatu garis Oks. Tergantung pada nilainya konstanta A, B dan C kasus khusus berikut mungkin terjadi:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – garis lurus melalui titik asal

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - garis lurus sejajar sumbu Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – garis lurus sejajar sumbu Oy

B = C = 0, A ≠0 – garis lurus berimpit dengan sumbu Oy

A = C = 0, B ≠0 – garis lurus berimpit dengan sumbu Ox

34.Persamaan garis dalam segmen pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oks memiliki bentuk dimana A Dan B- beberapa bukan nol bilangan real. Nama ini bukan suatu kebetulan nilai absolut angka A Dan B sama dengan panjang ruas yang dipotong oleh garis lurus tersebut sumbu koordinat Sapi Dan Oi masing-masing (segmen dihitung dari titik asal). Jadi, persamaan garis dalam segmen memudahkan untuk membuat garis ini dalam sebuah gambar. Untuk melakukan ini, Anda harus menandai titik-titik dengan koordinat dan dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang, dan menggunakan penggaris untuk menghubungkannya dengan garis lurus.

35. Persamaan normal suatu garis mempunyai bentuk

dimana jarak garis lurus ke titik asal;  – sudut antara garis normal terhadap garis dan sumbu.

Persamaan normal dapat diperoleh dari persamaan umum (1) dengan mengalikannya dengan faktor normalisasi, tanda  berlawanan dengan tanda tersebut sehingga .

Kosinus sudut antara garis lurus dan sumbu koordinat disebut cosinus arah,  – sudut antara garis lurus dengan sumbu,  – antara garis lurus dan sumbu:

Dengan demikian, persamaan normalnya dapat dituliskan dalam bentuk

Jarak dari titik ke garis lurus ditentukan oleh rumus

36. Jarak antara suatu titik dan suatu garis dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

dimana x 0 dan y 0 adalah koordinat titik, dan A, B dan C adalah koefisien dari persamaan umum garis

37. Mengurangi persamaan umum suatu garis menjadi normal. Persamaan dan bidang dalam konteks ini tidak berbeda satu sama lain selain jumlah suku dalam persamaan dan dimensi ruang. Oleh karena itu, pertama-tama saya akan menceritakan segala sesuatu tentang bidang itu, dan pada akhirnya saya akan membuat reservasi tentang garis lurus.
Misalkan diberikan persamaan umum bidang: Ax + By + Cz + D = 0.
;. kita mendapatkan sistemnya: g;Mc=cosb, MB=cosa Mari kita bawa ke bentuk normal. Caranya, kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan faktor normalisasi M. Kita mendapatkan: Maks+Mvu+MCz+MD=0. Dalam hal ini MA=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa kita memperoleh sistem:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Menjumlahkan semua persamaan sistem, kita mendapatkan M*(A2 +B2+C2)=1 Sekarang yang tersisa hanyalah menyatakan M dari sini untuk mengetahui faktor normalisasi mana yang harus dikalikan dengan persamaan umum asli untuk menghasilkannya ke bentuk normal:
M=-+1/ROOT KV A2 +B2 +C2
MD harus selalu lebih kecil dari nol, oleh karena itu tanda bilangan M diambil berlawanan dengan tanda bilangan D.
Dengan persamaan garis lurus semuanya sama, hanya dari rumus M sebaiknya hilangkan saja suku C2.

Kapak + Oleh + Cz + D = 0,

38.Persamaan umum bidang dalam ruang disebut persamaan bentuk

Di mana A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

Dalam ruang tiga dimensi dalam sistem koordinat Cartesian, setiap bidang digambarkan dengan persamaan derajat 1 (persamaan linier). Dan kembali, apa saja persamaan linier mendefinisikan sebuah pesawat.

40.Persamaan bidang dalam segmen. Dalam sistem koordinat persegi panjang Oksiz dalam ruang tiga dimensi persamaan bentuk , Di mana A, B Dan C– bilangan real yang bukan nol disebut persamaan bidang dalam segmen. Nilai absolut dari angka A, B Dan C sama dengan panjang ruas yang dipotong bidang pada sumbu koordinat Sapi, Oi Dan Ons masing-masing, dihitung dari titik asal. Tanda angka A, B Dan C menunjukkan ke arah mana (positif atau negatif) segmen tersebut diplot pada sumbu koordinat

41) Persamaan bidang normal.

Persamaan normal suatu bidang adalah persamaannya yang ditulis dalam bentuk

dimana , , adalah cosinus arah bidang normal, e

p adalah jarak dari titik asal ke bidang. Saat menghitung arah cosinus dari suatu normal, harus diasumsikan bahwa ia diarahkan dari titik asal ke bidang (jika bidang melewati titik asal, maka pilihan arah positif dari normal tidak berbeda).

42) Jarak dari suatu titik ke bidang.Biarkan bidang diberikan oleh persamaan dan sebuah poin diberikan. Kemudian jarak titik ke bidang ditentukan dengan rumus

Bukti. Jarak suatu titik ke suatu bidang, menurut definisi, adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik ke bidang tersebut

Sudut antar bidang

Misalkan bidang-bidang dan ditentukan oleh persamaan dan , masing-masing. Anda perlu mencari sudut antara bidang-bidang ini.

Bidang-bidang tersebut, berpotongan, membentuk empat sudut dihedral: dua sudut tumpul dan dua sudut lancip atau empat sudut siku-siku, dan kedua sudut tumpul sama besar, dan kedua sudut lancip juga sama besar. Kami akan selalu mencari sudut tajam. Untuk menentukan nilainya, kita ambil sebuah titik pada garis perpotongan bidang-bidang tersebut dan pada titik tersebut pada masing-masing bidang

bidang, kita menggambar garis tegak lurus terhadap garis perpotongan.

Properti:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

b) definisi operasi linier

jumlah dua vektor yang tidak segaris adalah vektor yang berasal dari titik asal vektor-vektor yang sama sepanjang diagonal jajar genjang yang dibangun pada vektor-vektor tersebut

Selisih vektor adalah jumlah dari suatu vektor dan vektor yang berlawanan dengan vektor tersebut: . Mari kita hubungkan titik-titik awal vektor dan , kemudian vektor diarahkan dari ujung vektor ke ujung vektor.

Pekerjaan vektor dengan bilangan disebut vektor dengan modulus , dan di dan di . Secara geometris, perkalian dengan suatu bilangan berarti “meregangkan” vektor dengan suatu faktor, mempertahankan arah di dan mengubah ke arah sebaliknya di .

Dari aturan di atas untuk menjumlahkan vektor dan mengalikannya dengan angka, berikut pernyataan yang jelas:

1. (penjumlahan bersifat komutatif);

2. (penambahan bersifat asosiatif);

3. (keberadaan vektor nol);

4. (keberadaan vektor yang berlawanan);

5. (penambahan bersifat asosiatif);

6. (perkalian dengan suatu bilangan bersifat distributif);

7. (penjumlahan vektor bersifat distributif);

c) hasil kali skalar dan sifat-sifat dasarnya

Produk titik dua vektor bukan nol adalah bilangan yang sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor tersebut dan kosinus sudut antara keduanya. Jika setidaknya salah satu dari dua vektor adalah nol, maka sudut di antara keduanya tidak ditentukan, dan hasil kali skalar dianggap sama dengan nol. Produk skalar dari vektor dan dilambangkan

, dimana dan berturut-turut adalah panjang vektor dan , dan merupakan sudut antara vektor dan .

Hasil kali skalar suatu vektor dengan vektor itu sendiri disebut kuadrat skalar.

Properti produk skalar.

Untuk sembarang vektor, hal berikut ini benar: sifat perkalian titik:

sifat komutatif suatu hasil kali skalar;

properti distributif atau ;

properti asosiatif atau , di mana bilangan real sembarang;

kuadrat skalar suatu vektor selalu non-negatif jika dan hanya jika vektornya nol.

D) hasil kali vektor dan sifat-sifatnya

produk vektor vektor a ke vektor b disebut vektor c, yang panjangnya secara numerik sama dengan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor a dan b, tegak lurus terhadap bidang vektor-vektor tersebut dan diarahkan sedemikian rupa sehingga putaran terkecil dari a ke b di sekitar vektor c berlawanan arah jarum jam jika dilihat dari ujung vektor c

Rumus untuk menghitung perkalian vektor dari vektor

Karya seni vektor dua vektor a = (a x; a y; a z) dan b = (b x; b y; b z) pada sistem koordinat kartesius merupakan vektor yang nilainya dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

• Perkalian silang dua vektor bukan nol a dan b sama dengan nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut segaris.
• Vektor c sama produk vektor vektor bukan nol a dan b tegak lurus terhadap vektor tersebut.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

Persamaan garis lurus pada bidang datar

A) persamaan garis lurus dengan koefisien sudut

Kemiringan garis lurus disebut garis singgung sudut kemiringan garis ini.

Kemiringan suatu garis lurus biasanya dilambangkan dengan huruf k. Kemudian menurut definisi.

Jika garis lurus sejajar dengan sumbu ordinat, maka kemiringannya tidak ada (dalam hal ini dikatakan juga kemiringannya menuju tak terhingga).

Kemiringan positif suatu garis menunjukkan kenaikan grafik fungsinya, kemiringan negatif menunjukkan penurunan. Persamaan garis lurus dengan koefisien sudut berbentuk y=kx+b, dengan k adalah koefisien sudut garis, b adalah suatu bilangan real. Dengan menggunakan persamaan garis lurus dengan koefisien sudut, Anda dapat menentukan garis lurus apa pun yang tidak sejajar dengan sumbu Oy (untuk garis lurus yang sejajar dengan sumbu ordinat, koefisien sudut tidak ditentukan).

B) jenis persamaan garis lurus

Persamaannya ditelepon persamaan umum lurus di permukaan.

Persamaan derajat pertama apa pun dalam dua variabel X Dan kamu baik , Di mana A, DI DALAM Dan DENGAN– beberapa bilangan real, dan A Dan DI DALAM tidak sama dengan nol pada saat yang sama, mendefinisikan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang Oks pada bidang, dan setiap garis pada bidang diberikan persamaan bentuk .

Persamaan garis berbentuk , dimana A Dan B– beberapa bilangan real selain nol dipanggil persamaan garis lurus dalam segmen. Nama ini bukan kebetulan, karena nilai absolutnya adalah angka A Dan B sama dengan panjang ruas yang dipotong oleh garis lurus pada sumbu koordinat Sapi Dan Oi masing-masing (segmen dihitung dari titik asal).

Persamaan garis berbentuk , dimana X Dan kamu- variabel, dan k Dan B– beberapa bilangan real dipanggil persamaan garis lurus dengan kemiringan (k– kemiringan)

Persamaan kanonik suatu garis pada bidang dalam sistem koordinat kartesius persegi panjang Oks seperti , di mana dan adalah beberapa bilangan real, dan pada saat yang sama bilangan tersebut tidak sama dengan nol.

Jelasnya, garis lurus yang ditentukan oleh persamaan garis kanonik melewati titik tersebut. Pada gilirannya, angka dan penyebut pecahan mewakili koordinat vektor arah garis ini. Dengan demikian, persamaan kanonik lurus dalam sistem koordinat persegi panjang Oks pada bidang berhubungan dengan garis lurus yang melalui suatu titik dan mempunyai vektor arah .

Persamaan parametrik garis pada bidang terlihat seperti , di mana dan adalah beberapa bilangan real, dan pada saat yang sama tidak sama dengan nol, dan merupakan parameter yang mengambil nilai real apa pun.

Persamaan garis parametrik membentuk hubungan implisit antara absis dan ordinat titik-titik pada garis lurus dengan menggunakan parameter (karena itulah nama persamaan garis jenis ini).

Sepasang angka yang dihitung dari persamaan parametrik suatu garis untuk beberapa nilai sebenarnya dari parameter tersebut mewakili koordinat suatu titik tertentu pada garis tersebut. Misalnya saja ketika kita punya , yaitu titik yang koordinatnya terletak pada garis lurus.

Perlu dicatat bahwa koefisien dan untuk parameter di persamaan parametrik garis adalah koordinat vektor arah garis tersebut

Persamaan garis yang melalui dua titik

Misalkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis yang melalui titik-titik tersebut adalah:

Jika salah satu penyebutnya sama dengan nol, maka pembilangnya harus sama dengan nol.Pada bidang datar, persamaan garis yang tertulis di atas disederhanakan:

jika x 1 ≠ x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2.

Pecahan = k disebut lereng lurus.

C) menghitung sudut antara dua garis lurus

jika diberikan dua garis y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut didefinisikan sebagai

.

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2. Dua garis tegak lurus jika k 1 = -1/ k 2.

Dalil. Garis Ax + Bу + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sejajar jika koefisien A 1 = λA, B 1 = λB sebanding. Jika juga C 1 = λC, maka garis-garisnya berimpit. Koordinat titik potong dua garis dicari sebagai penyelesaian sistem persamaan garis tersebut.

D) syarat kesejajaran dan tegak lurus dua garis lurus

Syarat paralelisme dua garis:

a) Jika garis-garis tersebut diberikan persamaan dengan koefisien sudut, maka syarat perlu dan cukup untuk paralelismenya adalah persamaan koefisien sudutnya:

k 1 = k 2 .

b) Untuk kasus ketika garis diberikan oleh persamaan di pandangan umum(6), syarat perlu dan cukup untuk paralelismenya adalah bahwa koefisien untuk koordinat arus yang bersesuaian dalam persamaannya adalah proporsional, yaitu.

Syarat tegak lurus dua garis lurus:

a) Dalam hal garis-garis diberikan oleh persamaan (4) dengan koefisien sudut, syarat perlu dan cukup untuk tegak lurusnya adalah bahwa koefisien sudutnya berbanding terbalik besarnya dan berlawanan tanda, yaitu.

Kondisi ini juga dapat dituliskan dalam bentuk

k 1 k 2 = -1.

b) Jika persamaan garis diberikan dalam bentuk umum (6), maka syarat tegak lurusnya (perlu dan cukup) adalah memenuhi persamaan tersebut

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Batas fungsi

A) batas urutan

Konsep limit digunakan oleh Newton pada paruh kedua abad ke-17 dan oleh ahli matematika abad ke-18 seperti Euler dan Lagrange, namun mereka memahami limit secara intuitif. Definisi ketat pertama dari limit barisan diberikan oleh Bolzano pada tahun 1816 dan Cauchy pada tahun 1821.

Nomor tersebut dipanggil membatasi urutan nomor , jika barisan tersebut sangat kecil, yaitu semua elemennya, mulai dari suatu elemen tertentu, memiliki nilai absolut yang lebih kecil daripada bilangan positif yang telah ditentukan sebelumnya.

Suatu barisan bilangan yang mempunyai limit berupa bilangan real disebut konvergen ke nomor ini. Jika tidak, urutannya akan dipanggil berbeda . Apalagi jika tidak terbatas, maka limitnya dianggap sama dengan tak terhingga.

Selain itu, jika semua elemen suatu barisan tak berbatas, dimulai dari suatu bilangan tertentu, mempunyai tanda positif, maka limit barisan tersebut dikatakan sebagai ditambah tak terhingga .

Jika unsur-unsur suatu barisan tak berbatas, dimulai dari suatu bilangan tertentu, mempunyai tanda negatif, maka dikatakan limit barisan tersebut sama dengan dikurangi tak terhingga .

B) limit fungsi

Batas fungsi (membatasi nilai fungsi) V titik tertentu, yang membatasi domain definisi suatu fungsi, adalah nilai yang cenderung menjadi nilai fungsi yang dipertimbangkan ketika argumennya cenderung ke suatu titik tertentu.

Batas fungsi merupakan generalisasi dari konsep limit suatu barisan: pada mulanya limit suatu fungsi pada suatu titik dipahami sebagai limit suatu barisan unsur-unsur daerah nilai suatu fungsi yang tersusun dari bayangan titik-titik suatu barisan. barisan elemen-elemen domain definisi suatu fungsi yang konvergen pada suatu titik tertentu (batas yang dipertimbangkan); jika batasan tersebut ada, maka fungsi tersebut dikatakan konvergen ke nilai yang ditentukan; jika limit tersebut tidak ada, maka fungsinya dikatakan divergen.

Batas fungsi- salah satu konsep dasar analisis matematika. Nilainya disebut membatasi (nilai batas) suatu fungsi di suatu titik jika untuk sembarang barisan titik yang konvergen tetapi tidak mengandung salah satu elemennya (yaitu, dalam lingkungan tertusuk), barisan nilai fungsi tersebut konvergen ke .

Nilainya disebut membatasi (nilai batas) berfungsi pada titik jika untuk setiap bilangan positif yang diambil terlebih dahulu terdapat bilangan positif yang bersesuaian sedemikian rupa sehingga untuk semua argumen yang memenuhi syarat, pertidaksamaan terpenuhi.

C) dua batasan yang luar biasa

· Batas luar biasa pertama:

Konsekuensi

·

·

·

· Batasan luar biasa kedua:

Konsekuensi

1.

2.

3.

4.

5. Untuk ,

6.

D) fungsi yang sangat kecil dan sangat besar

Fungsi kamu=f(x) ditelepon kecil sekali pada x→sebuah atau kapan X→∞, jika atau , mis. fungsi yang sangat kecil adalah fungsi yang limit pada suatu titik tertentu adalah nol.

jika berfungsi kamu=f(x) dapat diwakili dengan x→sebuah sebagai jumlah dari suatu bilangan konstan B dan besarnya sangat kecil α(x): f (x)=b+ α(x) Itu .

Sebaliknya jika , maka f (x)=b+α(x), Di mana kapak)– sangat kecil di x→sebuah.

Akibat wajar 1. Jika dan, maka.

Akibat wajar 2. Jika c= konstanta, lalu.

Jika fungsinya f(x) sangat besar di x→sebuah, lalu fungsi 1 /f(x) sangat kecil di x→sebuah.

Jika fungsinya f(x)- sangat kecil di x→sebuah(atau x→∞) dan tidak hilang, kalau begitu kamu= 1/f(x) tidak terbatas fungsi yang bagus. sifat paling sederhana yang sangat kecil dan tak terhingga fungsi yang bagus dapat ditulis menggunakan relasi kondisional berikut: A≠ 0

D) pengungkapan ketidakpastian. aturan L'Hopital

jenis ketidakpastian utama: nol dibagi nol ( 0 hingga 0), tak terhingga dibagi tak terhingga, nol dikalikan tak terhingga, tak terhingga dikurangi tak terhingga, satu pangkat tak terhingga, nol pangkat nol, tak terhingga pangkat nol.

aturan L'Hopital sangat banyak digunakan untuk perhitungan batas ketika ada ketidakpastian dalam bentuk nol dibagi nol, tak terhingga dibagi tak terhingga.

Ketidakpastian seperti ini meliputi ketidakpastian nol kali tak terhingga dan tak terhingga dikurangi tak terhingga.

Jika dan jika berfungsi f(x) Dan g(x) dapat terdiferensiasi di lingkungan titik tersebut

Apabila ketidakpastian tidak hilang setelah penerapan aturan L'Hopital, maka ketidakpastian dapat diterapkan kembali.

Perhitungan turunan

A) aturan diferensiasi fungsi yang kompleks

Biarlah fungsi yang kompleks , di mana fungsi adalah argumen perantara. Kami akan menunjukkan cara mencari turunan suatu fungsi kompleks, mengetahui turunan fungsi tersebut (kami akan menyatakannya dengan) dan turunan fungsi tersebut.

Teorema 1. Jika suatu fungsi mempunyai turunan di suatu titik X, dan fungsi tersebut mempunyai turunan di titik (), maka fungsi kompleks di titik tersebut X mempunyai turunan, dan = .

Jika tidak, turunan fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi tertentu terhadap argumen perantara dan turunan argumen perantara.

B) diferensiasi suatu fungsi yang ditentukan secara parametrik

Misalkan fungsi tersebut diberikan dalam bentuk parametrik, yaitu dalam bentuk:

dimana fungsi dan didefinisikan dan kontinu selama interval variasi parameter tertentu . Mari kita cari selisih ruas kanan dan kiri masing-masing persamaan:

Untuk mencari turunan keduanya, kita lakukan transformasi berikut:

B) konsep turunan logaritma suatu fungsi

Turunan logaritma dari suatu fungsi positif disebut turunannya. Sejak , maka menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks kita memperoleh hubungan turunan logaritma berikut:

.

Dengan menggunakan turunan logaritma, akan lebih mudah untuk menghitung turunan biasa jika logaritma menyederhanakan bentuk fungsinya.

Inti dari diferensiasi ini adalah sebagai berikut: pertama, cari logaritmanya fungsi yang diberikan, dan baru kemudian turunannya dihitung. Biarkan beberapa fungsi diberikan. Mari kita ambil logaritma ruas kiri dan kanan ekspresi ini:

Dan kemudian, dengan menyatakan turunan yang diinginkan, hasilnya adalah:

D) turunan fungsi terbalik

Jika y=f(x) dan x=g(y) adalah sepasang fungsi yang saling invers, dan fungsi y=f(x) mempunyai turunan f"(x), maka turunan dari fungsi invers g"( x)=1/f" (x).

Jadi, turunan dari fungsi yang saling invers merupakan besaran timbal balik. Rumus turunan fungsi invers:

D) turunan fungsi implisit

Jika suatu fungsi dari satu variabel dijelaskan dengan persamaan kamu=F(X), dimana variabelnya kamu berada di sisi kiri, dan sisi kanan hanya bergantung pada argumen X, lalu mereka mengatakan bahwa fungsi tersebut diberikan secara eksplisit. Misalnya, fungsi berikut ditentukan secara eksplisit:

kamu=dosa X,kamu=X 2+2X+5,kamu=lncos X.

Namun, dalam banyak permasalahan, fungsinya dapat ditentukan secara implisit, yaitu sebagai persamaan

F(X,kamu)=0.

untuk mencari turunannya kamu′( X) fungsi yang ditentukan secara implisit tidak perlu diubah menjadi bentuk eksplisit. Untuk melakukan ini, mengetahui persamaannya F(X,kamu)=0, lakukan saja hal berikut:

Pertama, Anda perlu membedakan kedua ruas persamaan terhadap variabelnya X, berasumsi bahwa kamu− adalah fungsi terdiferensiasi X dan menggunakan aturan untuk menghitung turunan fungsi kompleks. Dalam hal ini, turunan dari nol (di sisi kanan) juga akan sama dengan nol.
Komentar: Jika ruas kanannya bukan nol, mis. persamaan implisitnya adalah

F(X,kamu)=G(X,kamu),

lalu kita bedakan ruas kiri dan kanan persamaan tersebut.

Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk turunannya kamu′( X).

Konsep turunan

A) definisi turunan

Turunan dari suatu fungsi diferensiasi integrasi.

kamu XX

Definisi turunan

Pertimbangkan fungsinya F(X X 0. Lalu fungsinya F(X) adalah dapat dibedakan pada intinya X 0, dan dia turunan ditentukan oleh rumus

F′( X 0)=limΔ X→0Δ kamuΔ X=limΔ X→0F(X 0+Δ X)−F(X 0)Δ X.

Turunan dari suatu fungsi adalah salah satu konsep dasar matematika, dan dalam analisis matematis turunannya, bersama dengan integralnya, menempati tempat sentral. Proses mencari turunannya disebut diferensiasi. Operasi kebalikannya - memulihkan fungsi dari turunan yang diketahui - disebut integrasi.

Turunan suatu fungsi pada suatu titik tertentu mencirikan laju perubahan fungsi pada titik tersebut. Perkiraan laju perubahan dapat diperoleh dengan menghitung rasio perubahan fungsi Δ kamu untuk perubahan yang sesuai dalam argumen Δ X. Dalam definisi turunan, hubungan tersebut dianggap dalam batas pada kondisi Δ X→0. Mari beralih ke rumusan yang lebih ketat:

Definisi turunan

Pertimbangkan fungsinya F(X), yang domainnya berisi beberapa interval terbuka di sekitar titik X 0. Lalu fungsinya F(X) adalah dapat dibedakan pada intinya X 0, dan dia turunan ditentukan oleh rumus

F′( X 0)=limΔ X→0Δ kamuΔ X=limΔ X→0F(X 0+Δ X)−F(X 0)Δ X.

B) makna geometris turunan

Turunan suatu fungsi, dihitung untuk suatu nilai tertentu, sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh arah positif sumbu dan arah positif garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi ini di titik dengan absis:

Jika suatu fungsi mempunyai turunan berhingga di suatu titik, maka fungsi tersebut dapat didekati fungsi linear

Fungsi tersebut disebut bersinggungan dengan titik Bilangan.

D) tabel turunan fungsi dasar paling sederhana