Isi artikel

ANALISIS MATEMATIKA, cabang matematika yang menyediakan metode studi kuantitatif berbagai proses perubahan; berkaitan dengan studi tentang laju perubahan (kalkulus diferensial) dan penentuan panjang kurva, luas dan volume bangun ruang yang dibatasi oleh kontur dan permukaan lengkung (kalkulus integral). Biasanya masalah analisis matematis penyelesaiannya dikaitkan dengan konsep limit.

Analisis matematika dimulai pada tahun 1665 oleh I. Newton dan (sekitar tahun 1675) secara independen oleh G. Leibniz, meskipun pekerjaan persiapan yang penting dilakukan oleh I. Kepler (1571–1630), F. Cavalieri (1598–1647), P. Fermat (1601–1665), J. Wallis (1616–1703) dan I. Barrow (1630–1677).

Untuk membuat presentasi lebih jelas, kami akan menggunakan bahasa grafis. Oleh karena itu, semoga bermanfaat bagi pembaca untuk membaca artikel GEOMETRI ANALITIS sebelum mulai membaca artikel ini.

KALKULU DIFERENSIAL

Garis singgung.

Pada Gambar. 1 menunjukkan potongan kurva kamu = 2X – X 2, tertutup di antaranya X= –1 dan X= 3. Ruas kurva yang cukup kecil ini terlihat lurus. Dengan kata lain, jika R adalah titik sembarang pada kurva ini, maka ada garis lurus tertentu yang melalui titik tersebut dan merupakan perkiraan kurva di lingkungan kecil titik tersebut R, dan semakin kecil lingkungannya, semakin baik perkiraannya. Garis seperti ini disebut bersinggungan dengan kurva di titik tersebut R. Tugas utama kalkulus diferensial adalah membangun metode umum yang memungkinkan seseorang menemukan arah garis singgung di titik mana pun pada kurva di mana terdapat garis singgung. Tidak sulit membayangkan sebuah kurva dengan jeda yang tajam (Gbr. 2). Jika R adalah puncak dari jeda tersebut, maka kita dapat membuat garis lurus perkiraan PT 1 – di sebelah kanan titik R dan perkiraan garis lurus lainnya RT 2 – di sebelah kiri titik R. Namun tidak ada satupun garis lurus yang melalui suatu titik R, yang mendekati kurva dengan sama baiknya di sekitar titik tersebut P baik di kanan maupun di kiri, maka garis singgung pada titik tersebut P tidak ada.

Pada Gambar. 1 garis singgung DARI ditarik melalui titik asal TENTANG= (0,0). Kemiringan garis ini adalah 2, yaitu. ketika absis berubah 1, ordinatnya bertambah 2. Jika X Dan kamu– koordinat titik sembarang DARI, lalu, menjauh dari TENTANG ke kejauhan X unit ke kanan, kita menjauh TENTANG pada 2 kamu unit ke atas. Karena itu, kamu/X= 2, atau kamu = 2X. Ini adalah persamaan tangen DARI ke kurva kamu = 2X – X 2 pada titik TENTANG.

Sekarang perlu dijelaskan alasannya, di luar himpunan garis yang melalui suatu titik TENTANG, garis lurus dipilih DARI. Apa perbedaan garis lurus dengan kemiringan 2 dengan garis lurus lainnya? Ada satu jawaban sederhana, dan sulit menahan godaan untuk memberikannya dengan menggunakan analogi garis singgung lingkaran: garis singgung DARI hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan kurva, sedangkan garis nonvertikal lainnya melewati titik tersebut TENTANG, memotong kurva dua kali. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut.

Sejak ekspresi kamu = 2X – X 2 dapat diperoleh dengan pengurangan X 2 dari kamu = 2X(persamaan garis lurus DARI), lalu nilainya kamu ada sedikit pengetahuan untuk grafik kamu untuk garis lurus di semua titik kecuali titik tersebut X= 0. Oleh karena itu, grafiknya ada dimana-mana kecuali titik TENTANG, terletak di bawah DARI, dan garis serta grafik ini hanya mempunyai satu titik yang sama. Apalagi jika kamu = mx- persamaan garis lain yang melalui suatu titik TENTANG, maka pasti akan ada dua titik potong. Benar-benar, mx = 2X – X 2 tidak hanya kapan X= 0, tetapi juga pada X = 2 – M. Dan hanya kapan M= 2 kedua titik potong tersebut berimpit. Pada Gambar. 3 menunjukkan kasus ketika M kurang dari 2, jadi di sebelah kanan TENTANG titik persimpangan kedua muncul.

Apa DARI– satu-satunya garis lurus nonvertikal yang melalui suatu titik TENTANG dan hanya memiliki satu titik yang sama dengan grafik, bukan properti terpentingnya. Memang benar, jika kita beralih ke grafik lain, akan segera menjadi jelas bahwa sifat tangen yang kita catat tidak terpenuhi dalam kasus umum. Misalnya, dari Gambar. 4 jelas bahwa di dekat titik (1,1) grafik kurva kamu = X 3 didekati dengan baik oleh garis lurus RT yang, bagaimanapun, memiliki lebih dari satu kesamaan dengannya. Namun, kami ingin mempertimbangkannya RT bersinggungan dengan grafik ini di titik R. Oleh karena itu, kita perlu menemukan cara lain untuk menyorot garis singgung selain cara yang sangat membantu kita pada contoh pertama.

Mari kita asumsikan hal itu secara langsung TENTANG dan titik sewenang-wenang Q = (H,k) pada grafik kurva kamu = 2X – X 2 (Gbr. 5) ditarik garis lurus (disebut garis potong). Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan kurva X = H Dan kamu = k, kami mengerti k = 2H – H 2, oleh karena itu, koefisien sudut garis potong sama dengan

Sangat kecil H arti M mendekati 2. Apalagi memilih H cukup dekat dengan 0 yang bisa kita lakukan M mendekati 2. Kita dapat mengatakan itu M"cenderung ke batas" sama dengan 2 kapan H cenderung nol, atau berapapun batasnya M sama dengan 2 jam H cenderung nol. Secara simbolis tertulis seperti ini:

Kemudian garis singgung grafik di titik tersebut TENTANG didefinisikan sebagai garis lurus yang melalui suatu titik TENTANG, dengan kemiringan sama dengan batas ini. Definisi garis singgung ini berlaku dalam kasus umum.

Mari kita tunjukkan keuntungan pendekatan ini dengan satu contoh lagi: mari kita cari kemiringan garis singgung grafik kurva kamu = 2X – X 2 kapan saja P = (X,kamu), tidak terbatas pada kasus paling sederhana kapan P = (0,0).

Membiarkan Q = (X + H, kamu + k) – titik kedua pada grafik, terletak di kejauhan H di sebelah kanan dari R(Gbr. 6). Kita perlu menemukan kemiringannya k/H garis potong PQ. Dot Q berada di kejauhan

di atas sumbu X.

Membuka tanda kurung, kita menemukan:

Mengurangi persamaan ini kamu = 2X – X 2, tentukan jarak vertikal dari titik tersebut R ke titik Q:

Oleh karena itu, kemiringannya M garis potong PQ sama

Sekarang itu H cenderung nol, M cenderung 2 – 2 X; Kami akan mengambil nilai terakhir sebagai koefisien sudut garis singgung PT. (Hasil yang sama akan terjadi jika H mengambil nilai negatif, yang sesuai dengan pemilihan suatu titik Q di sebelah kiri P.) Perhatikan kapan X= 0 hasil yang didapat sama dengan yang sebelumnya.

Ekspresi 2 – 2 X disebut turunan dari 2 X – X 2. Di masa lalu, turunan disebut juga "rasio diferensial" dan "koefisien diferensial". Jika dengan ekspresi 2 X – X 2 menunjuk F(X), yaitu

maka turunannya dapat dilambangkan

Untuk mengetahui kemiringan garis singgung grafik fungsi kamu = F(X) pada titik tertentu, perlu dilakukan penggantian Fў ( X) nilai yang sesuai dengan titik ini X. Jadi, kemiringannya Fў (0) = 2 jam X = 0, Fў (0) = 0 pada X= 1 dan Fў (2) = –2 pada X = 2.

Turunannya juga dilambangkan padaў , mati/dx, D x kamu Dan Du.

Fakta bahwa kurva kamu = 2X – X 2 dekat suatu titik tertentu secara praktis tidak dapat dibedakan dari garis singgungnya pada titik ini, memungkinkan kita untuk menyebut koefisien sudut garis singgung sebagai “koefisien sudut kurva” pada titik singgung. Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa kemiringan kurva yang kita pertimbangkan mempunyai kemiringan 2 di titik (0,0), kita juga dapat mengatakan bahwa ketika X= 0 tingkat perubahan kamu relatif X sama dengan 2. Di titik (2,0) kemiringan garis singgung (dan kurva) adalah –2. (Tanda minus artinya seiring bertambahnya X variabel kamu berkurang.) Di titik (1,1) garis singgungnya mendatar. Kami bilang itu kurva kamu = 2X – X 2 memiliki nilai stasioner pada saat ini.

Tinggi dan rendah.

Kami baru saja menunjukkan kurva itu F(X) = 2X – X 2 stasioner di titik (1,1). Karena Fў ( X) = 2 – 2X = 2(1 – X), jelas kapan X, kurang dari 1, Fў ( X) positif, dan karena itu kamu meningkat; pada X, besar 1, Fў ( X) negatif, dan karena itu kamu berkurang. Jadi, di sekitar titik (1,1), ditunjukkan pada Gambar. 6 huruf M, arti pada tumbuh sampai pada titik tertentu M, diam di suatu titik M dan menurun setelah titik tersebut M. Titik ini disebut “maksimum” karena nilainya pada pada titik ini melebihi nilainya di lingkungan yang cukup kecil. Demikian pula, “minimum” didefinisikan sebagai titik di sekitar semua nilai kamu melebihi nilainya pada pada saat ini. Bisa juga terjadi meskipun merupakan turunan dari F(X) pada suatu titik tertentu dan lenyap; tandanya di sekitar titik tersebut tidak berubah. Titik yang bukan merupakan titik maksimum dan minimum disebut titik belok.

Sebagai contoh, mari kita cari titik stasioner pada kurva

Turunan dari fungsi ini sama dengan

dan menuju ke nol pada X = 0, X= 1 dan X= –1; itu. pada titik (0,0), (1, –2/15) dan (–1, 2/15). Jika X sedikit kurang dari –1, kalau begitu Fў ( X) negatif; Jika X sedikit lebih dari –1, kalau begitu Fў ( X) positif. Oleh karena itu, titik (–1, 2/15) adalah maksimum. Demikian pula dapat ditunjukkan bahwa titik (1, –2/15) adalah titik minimum. Tapi turunannya Fў ( X) bernilai negatif sebelum dan sesudah titik (0,0). Oleh karena itu, (0,0) adalah titik belok.

Ilmu yang mempelajari bentuk kurva, serta fakta bahwa kurva tersebut memotong sumbunya X pada F(X) = 0 (yaitu kapan X= 0 atau ) izinkan kami menyajikan grafiknya kira-kira seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 7.

Secara umum, jika kita mengecualikan kasus yang tidak biasa (kurva yang mengandung segmen lurus atau jumlah tikungan yang tidak terbatas), ada empat pilihan untuk posisi relatif kurva dan garis singgung di sekitar titik singgung. R. (Cm. beras. 8, yang garis singgungnya mempunyai kemiringan positif.)

1) Di kedua sisi titik R kurva terletak di atas garis singgung (Gbr. 8, A). Dalam hal ini dikatakan kurva pada titik tersebut R cembung ke bawah atau cekung.

2) Di kedua sisi titik R kurva terletak di bawah garis singgung (Gbr. 8, B). Dalam hal ini, kurva dikatakan cembung ke atas atau cembung saja.

3) dan 4) Kurva terletak di atas garis singgung pada salah satu sisi titik R dan di bawah - di sisi lain. Pada kasus ini R– titik belok.

Membandingkan nilai Fў ( X) di kedua sisi R dengan nilainya pada saat itu R, seseorang dapat menentukan yang mana dari empat kasus ini yang harus dihadapinya dalam suatu masalah tertentu.

Aplikasi.

Semua hal di atas mempunyai penerapan penting dalam berbagai bidang. Misalnya, jika sebuah benda dilempar vertikal ke atas dengan kecepatan awal 200 kaki per detik, maka tingginya S, di mana mereka akan ditempatkan T detik dibandingkan dengan titik awal

Dengan melanjutkan dengan cara yang sama seperti pada contoh yang kita bahas, kita temukan

besaran ini menjadi nol di c. Turunan Fў ( X) positif hingga nilai c dan negatif setelahnya. Karena itu, S meningkat menjadi , kemudian menjadi stasioner, dan kemudian menurun. Demikian gambaran umum gerak benda yang dilempar ke atas. Dari situ kita mengetahui kapan tubuh mencapai titik tertingginya. Selanjutnya, substitusi T= 25/4V F(T), kita mendapatkan 625 kaki, tinggi angkat maksimum. Dalam masalah ini Fў ( T) mempunyai arti fisik. Turunan ini menunjukkan kecepatan gerak benda dalam sekejap T.

Sekarang mari kita pertimbangkan aplikasi jenis lain (Gbr. 9). Dari selembar karton dengan luas 75 cm2, Anda perlu membuat sebuah kotak dengan alas persegi. Berapa ukuran kotak tersebut agar volumenya maksimal? Jika X– sisi dasar kotak dan H adalah tingginya, maka volume kotak tersebut adalah V = X 2 H, dan luas permukaannya adalah 75 = X 2 + 4xh. Mengubah persamaan, kita mendapatkan:

Turunan dari V ternyata setara

dan menuju ke nol pada X= 5. Lalu

Dan V= 125/2. Grafik suatu fungsi V = (75X – X 3)/4 ditunjukkan pada Gambar. 10 (nilai negatif X dihilangkan karena tidak memiliki arti fisik dalam masalah ini).

Derivatif.

Tugas penting kalkulus diferensial adalah penciptaan metode yang memungkinkan Anda menemukan turunan dengan cepat dan mudah. Misalnya, mudah untuk menghitungnya

(Turunan suatu konstanta tentu saja nol.) Tidak sulit untuk mendapatkan aturan umum:

Di mana N– bilangan bulat atau pecahan apa pun. Misalnya,

(Contoh ini menunjukkan betapa bergunanya eksponen pecahan.)

Berikut beberapa rumus terpenting:

Ada juga aturan berikut: 1) jika masing-masing dari dua fungsi G(X) Dan F(X) mempunyai turunan, maka turunan jumlahnya sama dengan jumlah turunan fungsi-fungsi tersebut, dan turunan selisihnya sama dengan selisih turunannya, yaitu.

2) turunan hasil kali dua fungsi dihitung dengan rumus:

3) turunan perbandingan dua fungsi berbentuk

4) turunan suatu fungsi dikalikan dengan suatu konstanta sama dengan konstanta dikalikan dengan turunan dari fungsi tersebut, yaitu.

Seringkali nilai suatu fungsi harus dihitung langkah demi langkah. Misalnya untuk menghitung dosa X 2, kita perlu menemukannya terlebih dahulu kamu = X 2, lalu hitung sinus bilangan tersebut kamu. Kami menemukan turunan dari fungsi kompleks tersebut menggunakan apa yang disebut “aturan rantai”:

Dalam contoh kita F(kamu) = dosa kamu, Fў ( kamu) = karena kamu, karena itu,

Aturan ini dan aturan serupa lainnya memungkinkan Anda untuk segera menuliskan turunan dari banyak fungsi.

Perkiraan linier.

Fakta bahwa, dengan mengetahui turunannya, dalam banyak kasus kita dapat mengganti grafik suatu fungsi di dekat suatu titik tertentu dengan garis singgungnya pada titik tersebut sangatlah penting, karena lebih mudah untuk bekerja dengan garis lurus.

Ide ini diterapkan langsung dalam menghitung perkiraan nilai fungsi. Misalnya, cukup sulit menghitung nilai kapan X= 1,033. Namun Anda dapat menggunakan fakta bahwa angka 1,033 mendekati 1 dan itu. Dekat X= 1 kita dapat mengganti grafik tersebut dengan kurva singgung tanpa membuat kesalahan serius. Koefisien sudut garis singgung tersebut sama dengan nilai turunannya ( X 1/3)ў = (1/3) X–2/3 pada x = 1, mis. 1/3. Karena titik (1,1) terletak pada kurva dan koefisien sudut garis singgung kurva pada titik tersebut adalah 1/3, maka persamaan tangennya berbentuk

Di garis lurus ini X = 1,033

Nilai yang diterima kamu harus sangat dekat dengan nilai sebenarnya kamu; dan memang hanya 0,00012 lebih banyak dari yang sebenarnya. Dalam analisis matematis, metode telah dikembangkan yang memungkinkan untuk meningkatkan keakuratan perkiraan linier semacam ini. Metode ini memastikan keandalan perhitungan perkiraan kami.

Prosedur yang baru saja dijelaskan menyarankan satu notasi yang berguna. Membiarkan P– titik yang sesuai dengan grafik fungsi F variabel X, dan biarkan fungsinya F(X) dapat dibedakan. Mari kita gantikan grafik kurva di dekat titik tersebut R bersinggungan dengan itu yang ditarik pada titik ini. Jika X berubah berdasarkan nilai H, maka ordinat garis singgungnya akan berubah sebesar H H F ў ( X). Jika H sangat kecil, maka nilai terakhir berfungsi sebagai perkiraan yang baik terhadap perubahan ordinat yang sebenarnya kamu seni grafis. Jika sebaliknya H kita akan menulis simbol dx(ini bukan produk!), tetapi perubahan ordinat kamu mari kita tunjukkan mati, lalu kita dapatkan mati = F ў ( X)dx, atau mati/dx = F ў ( X) (cm. beras. sebelas). Oleh karena itu, sebagai gantinya Mati atau F ў ( X) simbol ini sering digunakan untuk menunjukkan turunan mati/dx. Kenyamanan notasi ini terutama bergantung pada tampilan eksplisit aturan rantai (diferensiasi fungsi kompleks); dalam notasi baru rumusnya terlihat seperti ini:

dimana tersirat bahwa pada tergantung pada kamu, A kamu pada gilirannya tergantung pada X.

Besarnya mati disebut diferensial pada; pada kenyataannya itu tergantung pada dua variabel yaitu: dari X dan kenaikan dx. Ketika kenaikan dx ukurannya sangat kecil mati mendekati perubahan nilai yang sesuai kamu. Tapi asumsikan bahwa kenaikannya dx sedikit, tidak perlu.

Turunan dari suatu fungsi kamu = F(X) yang kami tunjuk F ў ( X) atau mati/dx. Seringkali dimungkinkan untuk mengambil turunan dari turunannya. Hasilnya disebut turunan kedua dari F (X) dan dilambangkan F ўў ( X) atau D 2 kamu/dx 2. Misalnya jika F(X) = X 3 – 3X 2, lalu F ў ( X) = 3X 2 – 6X Dan F ўў ( X) = 6X– 6. Notasi serupa digunakan untuk turunan orde tinggi. Namun, untuk menghindari jumlah guratan yang banyak (sama dengan orde turunannya), maka turunan keempat (misalnya) dapat dituliskan sebagai F (4) (X), dan turunannya N-urutan sebagai F (N) (X).

Dapat ditunjukkan bahwa kurva di suatu titik berbentuk cembung ke bawah jika turunan keduanya positif, dan cembung ke atas jika turunan keduanya negatif.

Jika suatu fungsi mempunyai turunan kedua, maka terjadi perubahan nilai kamu, sesuai dengan kenaikan dx variabel X, kira-kira dapat dihitung menggunakan rumus

Perkiraan ini biasanya lebih baik daripada perkiraan yang diberikan oleh diferensial Fў ( X)dx. Ini sama dengan mengganti bagian kurva bukan dengan garis lurus, tetapi dengan parabola.

Jika fungsinya F(X) maka ada turunan dari orde yang lebih tinggi

Suku sisanya mempunyai bentuk

Di mana X- beberapa nomor di antaranya X Dan X + dx. Hasil di atas disebut rumus Taylor dengan sisa suku. Jika F(X) memiliki turunan dari semua pesanan, biasanya Rn® 0 jam N ® Ґ .

KALKULU INTEGRAL

Kotak.

Saat mempelajari luas bangun datar lengkung, aspek baru analisis matematis terungkap. Orang Yunani kuno mencoba memecahkan masalah semacam ini, yang menentukan, misalnya, luas lingkaran adalah salah satu tugas yang paling sulit. Archimedes mencapai kesuksesan besar dalam memecahkan masalah ini, yang juga berhasil menemukan luas segmen parabola (Gbr. 12). Dengan menggunakan penalaran yang sangat kompleks, Archimedes membuktikan bahwa luas ruas parabola adalah 2/3 luas persegi panjang yang dibatasi dan oleh karena itu, dalam hal ini sama dengan (2/3)(16) = 32/ 3. Seperti yang akan kita lihat nanti, hasil ini dapat dengan mudah diperoleh dengan metode analisis matematis.

Pendahulu Newton dan Leibniz, terutama Kepler dan Cavalieri, memecahkan masalah penghitungan luas bangun lengkung menggunakan metode yang sulit disebut masuk akal secara logis, tetapi ternyata sangat bermanfaat. Ketika Wallis pada tahun 1655 menggabungkan metode Kepler dan Cavalieri dengan metode Descartes (geometri analitik) dan memanfaatkan aljabar yang baru muncul, panggung telah sepenuhnya siap untuk kemunculan Newton.

Wallis membagi gambar tersebut, yang luasnya perlu dihitung, menjadi garis-garis yang sangat sempit, yang masing-masing kira-kira dianggapnya persegi panjang. Kemudian dia menjumlahkan luas persegi panjang yang mendekati dan dalam kasus yang paling sederhana memperoleh nilai jumlah luas persegi panjang yang cenderung ketika jumlah garis cenderung tak terhingga. Pada Gambar. Gambar 13 menunjukkan persegi panjang yang bersesuaian dengan beberapa pembagian menjadi potongan-potongan area di bawah kurva kamu = X 2 .

Teorema utama.

Penemuan besar Newton dan Leibniz memungkinkan untuk menghilangkan proses yang melelahkan untuk mencapai batas jumlah luas. Hal itu dilakukan berkat tampilan baru pada konsep kawasan. Intinya adalah kita harus membayangkan luas di bawah kurva yang dihasilkan oleh suatu ordinat yang bergerak dari kiri ke kanan dan menanyakan berapa laju perubahan luas yang disapu oleh ordinat tersebut. Kunci untuk menjawab pertanyaan ini akan kita peroleh jika kita mempertimbangkan dua kasus khusus dimana luasnya telah diketahui sebelumnya.

Mari kita mulai dengan luas di bawah grafik fungsi linier kamu = 1 + X, karena dalam hal ini luas dapat dihitung dengan menggunakan geometri dasar.

Membiarkan A(X) – bagian bidang yang tertutup di antara garis lurus kamu = 1 + X dan sebuah segmen oke(Gbr. 14). Ketika berkendara QP daerah yang tepat A(X) meningkat. Pada kecepatan berapa? Tidak sulit untuk menjawab pertanyaan ini, karena kita tahu bahwa luas trapesium sama dengan hasil kali tingginya dan setengah jumlah alasnya. Karena itu,

Laju perubahan wilayah A(X) ditentukan oleh turunannya

Kami melihatnya Aў ( X) bertepatan dengan ordinatnya pada poin R. Apakah ini suatu kebetulan? Mari kita coba periksa parabola yang ditunjukkan pada Gambar. 15. Daerah A (X) di bawah parabola pada = X 2 dalam rentang dari 0 hingga X sama dengan A(X) = (1 / 3)(X)(X 2) = X 3/3. Laju perubahan area ini ditentukan oleh ekspresi

yang tepat bertepatan dengan ordinatnya pada titik bergerak R.

Jika kita berasumsi bahwa aturan ini berlaku dalam kasus umum seperti itu

adalah laju perubahan luas di bawah grafik fungsi kamu = F(X), maka ini dapat digunakan untuk perhitungan dan bidang lainnya. Faktanya, rasionya Aў ( X) = F(X) menyatakan teorema dasar yang dapat dirumuskan sebagai berikut: turunan, atau laju perubahan luas sebagai fungsi dari X, sama dengan nilai fungsi F (X) pada titik X.

Misalnya untuk mencari luas di bawah grafik suatu fungsi kamu = X 3 dari 0 sampai X(Gbr. 16), katakanlah

Jawaban yang mungkin berbunyi:

sejak turunan dari X 4/4 benar-benar sama X 3. Di samping itu, A(X) sama dengan nol di X= 0, sebagaimana mestinya jika A(X) memang sebuah area.

Analisis matematis membuktikan bahwa tidak ada jawaban lain selain ungkapan di atas A(X), tidak ada. Mari kita tunjukkan bahwa pernyataan ini masuk akal dengan menggunakan alasan heuristik (tidak ketat) berikut. Misalkan ada solusi kedua DI DALAM(X). Jika A(X) Dan DI DALAM(X) “mulai” secara bersamaan dari nilai nol di X= 0 dan berubah dengan kecepatan yang sama sepanjang waktu, maka nilainya tidak mungkin X tidak bisa menjadi berbeda. Mereka harus bertepatan dimana-mana; oleh karena itu, ada solusi unik.

Bagaimana Anda bisa membenarkan hubungan tersebut? Aў ( X) = F(X) secara umum? Pertanyaan ini hanya dapat dijawab dengan mempelajari laju perubahan luas sebagai fungsi X secara umum. Membiarkan M– nilai terkecil dari fungsi tersebut F (X) dalam rentang dari X sebelum ( X + H), A M– nilai terbesar dari fungsi ini dalam interval yang sama. Kemudian bertambahnya luas saat berpindah dari X Ke ( X + H) harus diapit di antara luas dua persegi panjang (Gbr. 17). Alas kedua persegi panjang itu sama besar H. Persegi panjang yang lebih kecil mempunyai tinggi M dan daerah mh, masing-masing lebih besar, M Dan Mh. Pada grafik luas versus X(Gbr. 18) terlihat jelas bahwa ketika absis berubah menjadi H, nilai ordinat (yaitu luas) bertambah sebesar jumlah antara mh Dan Mh. Kemiringan garis potong pada grafik ini adalah antara M Dan M. apa yang terjadi ketika H cenderung nol? Jika grafik suatu fungsi kamu = F(X) kontinu (yaitu tidak mengandung diskontinuitas), maka M, Dan M cenderung F(X). Oleh karena itu, kemiringannya Aў ( X) grafik luas sebagai fungsi dari X sama F(X). Inilah kesimpulan yang perlu dicapai.

Leibniz mengusulkan luas daerah di bawah kurva kamu = F(X) dari 0 hingga A penamaan

Dalam pendekatan yang ketat, apa yang disebut integral tentu ini harus didefinisikan sebagai batas jumlah tertentu seperti yang dilakukan Wallis. Mengingat hasil yang diperoleh di atas, jelas bahwa integral ini dihitung asalkan kita dapat menemukan fungsi tersebut A(X), yang hilang ketika X= 0 dan mempunyai turunan Aў ( X), sama dengan F (X). Menemukan fungsi seperti itu biasanya disebut integrasi, meskipun akan lebih tepat untuk menyebut operasi ini anti-diferensiasi, yang berarti bahwa dalam beberapa hal ini adalah kebalikan dari diferensiasi. Dalam kasus polinomial, integrasinya sederhana. Misalnya jika

yang mudah diverifikasi dengan membedakannya A(X).

Untuk menghitung luasnya A 1 di bawah kurva kamu = 1 + X + X 2 /2, diapit di antara ordinat 0 dan 1, kita tulis saja

dan, menggantikan X= 1, kita peroleh A 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. Persegi A(X) dari 0 hingga 2 sama dengan A 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. Seperti yang dapat dilihat dari Gambar. 19, luas antara ordinat 1 dan 2 sama dengan A 2 – A 1 = 11/3. Biasanya ditulis sebagai integral tertentu

Volume.

Alasan serupa membuat penghitungan volume benda revolusi menjadi sangat mudah. Mari kita tunjukkan hal ini dengan contoh menghitung volume bola, masalah klasik lain yang berhasil dipecahkan oleh orang Yunani kuno, dengan menggunakan metode yang mereka ketahui, dengan susah payah.

Mari kita putar bagian bidang yang berada di dalam radius seperempat lingkaran R, pada sudut 360° terhadap sumbu X. Hasilnya, kita mendapatkan belahan bumi (Gbr. 20), yang volumenya kita nyatakan V(X). Kita perlu menentukan tingkat kenaikannya V(X) dengan meningkatnya X. Pindah dari X Ke X + H, mudah untuk memverifikasi bahwa pertambahan volume lebih kecil dari volume P(R 2 – X 2)H silinder bundar dengan jari-jari dan tinggi H, dan lebih dari volume P[R 2 – (X + H) 2 ]H radius dan tinggi silinder H. Oleh karena itu, pada grafik fungsi V(X) koefisien sudut garis potongnya adalah antara P(R 2 – X 2) dan P[R 2 – (X + H) 2 ]. Kapan H cenderung nol, kemiringannya cenderung

Pada X = R kita mendapatkan

untuk volume belahan bumi, dan karena itu 4 hal 3/3 untuk volume seluruh bola.

Metode serupa memungkinkan seseorang menemukan panjang kurva dan luas permukaan lengkung. Misalnya jika A(X) – panjang busur PR pada Gambar. 21, maka tugas kita adalah menghitung Aў( X). Pada tingkat heuristik, kita akan menggunakan teknik yang memungkinkan kita untuk tidak menggunakan jalur biasa hingga batas yang diperlukan untuk pembuktian hasil yang ketat. Mari kita asumsikan laju perubahan fungsi A(X) pada titik R sama seperti jika kurva tersebut diganti dengan garis singgungnya PT pada intinya P. Tapi dari Gambar. 21 langsung terlihat saat melangkah H ke kanan atau ke kiri titik tersebut X bersama RT arti A(X) berubah menjadi

Oleh karena itu, laju perubahan fungsi A(X) adalah

Untuk menemukan fungsinya sendiri A(X), Anda hanya perlu mengintegrasikan ekspresi di sisi kanan persamaan. Ternyata integrasi cukup sulit untuk sebagian besar fungsi. Oleh karena itu, pengembangan metode kalkulus integral merupakan bagian besar dari analisis matematika.

Antiturunan.

Setiap fungsi yang turunannya sama dengan fungsi tertentu F(X), disebut antiturunan (atau primitif) untuk F(X). Misalnya, X 3 /3 – antiturunan untuk fungsi tersebut X 2 sejak ( X 3 /3)ў = X 2. Tentu saja X 3/3 bukan satu-satunya antiturunan dari fungsi tersebut X 2 karena X 3 /3 + C juga merupakan turunan dari X 2 untuk konstanta apa pun DENGAN. Namun, berikut ini kami setuju untuk menghilangkan konstanta aditif tersebut. Secara umum

Di mana N adalah bilangan bulat positif, karena ( xn + 1/(N+ 1))ў = xn. Relasi (1) terpenuhi dalam pengertian yang lebih umum jika N ganti dengan bilangan rasional apa pun k, kecuali –1.

Fungsi antiturunan arbitrer untuk fungsi tertentu F(X) biasanya disebut integral tak tentu dari F(X) dan menyatakannya dalam bentuk

Misalnya, sejak (dosa X)ў = cos X, rumusnya valid

Dalam banyak kasus dimana terdapat rumus untuk integral tak tentu suatu fungsi tertentu, rumus tersebut dapat ditemukan di banyak tabel integral tak tentu yang diterbitkan secara luas. Integral dari fungsi dasar berbentuk tabel (termasuk pangkat, logaritma, fungsi eksponensial, fungsi trigonometri, fungsi trigonometri invers, serta kombinasi hingga yang diperoleh dengan menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian). Dengan menggunakan integral tabel, Anda dapat menghitung integral fungsi yang lebih kompleks. Ada banyak cara untuk menghitung integral tak tentu; Yang paling umum adalah metode substitusi variabel atau substitusi. Terdiri dari kenyataan bahwa jika kita ingin mengganti integral tak tentu (2) X ke beberapa fungsi terdiferensiasi X = G(kamu), maka agar integralnya tetap tidak berubah, itu perlu X digantikan oleh Gў ( kamu)du. Dengan kata lain, kesetaraan

(penggantian 2 X = kamu, dari mana 2 dx = du).

Mari kita sajikan metode integrasi lain - metode integrasi per bagian. Hal ini didasarkan pada rumus yang sudah diketahui

Dengan mengintegrasikan sisi kiri dan kanan, dan memperhatikan hal itu

Rumus ini disebut rumus integrasi per bagian.

Contoh 2. Anda perlu menemukannya. Sejak co X= (dosa X)ў , kita dapat menulis itu

Dari (5), dengan asumsi kamu = X Dan ay= dosa X, kita mendapatkan

Dan sejak (–kos X)ў = dosa X kami menemukan itu

Perlu ditekankan bahwa kami membatasi diri hanya pada pengenalan singkat terhadap subjek yang sangat luas yang telah mengumpulkan banyak teknik cerdik.

Fungsi dua variabel.

Karena kurva kamu = F(X) kami mempertimbangkan dua masalah.

1) Temukan koefisien sudut garis singgung kurva pada suatu titik tertentu. Masalah ini diselesaikan dengan menghitung nilai turunannya Fў ( X) pada titik yang ditentukan.

2) Temukan luas di bawah kurva di atas ruas sumbu X, dibatasi oleh garis vertikal X = A Dan X = B. Permasalahan ini diselesaikan dengan menghitung integral tertentu.

Masing-masing masalah ini mempunyai analogi dalam kasus permukaan z = F(X,kamu).

1) Temukan bidang singgung permukaan pada suatu titik tertentu.

2) Temukan volume di bawah permukaan di atas bagian pesawat xy, dibatasi oleh kurva DENGAN, dan dari samping – tegak lurus terhadap bidang xy melewati titik-titik kurva batas DENGAN (cm. beras. 22).

Contoh berikut menunjukkan bagaimana masalah ini diselesaikan.

Contoh 4. Temukan bidang singgung permukaan

pada titik (0,0,2).

Sebuah bidang didefinisikan jika dua garis berpotongan yang terletak di dalamnya diberikan. Salah satu garis lurus ini ( aku 1) kita naik pesawat xz (pada= 0), detik ( aku 2) – di dalam pesawat yz (X = 0) (cm. beras. 23).

Pertama-tama, jika pada= 0, maka z = F(X,0) = 2 – 2X – 3X 2. Turunan sehubungan dengan X, dilambangkan Fў X(X,0) = –2 – 6X, pada X= 0 bernilai –2. Lurus aku 1 diberikan oleh persamaan z = 2 – 2X, pada= 0 – bersinggungan dengan DENGAN 1, garis perpotongan permukaan dengan bidang pada= 0. Demikian pula jika X= 0, maka F(0,kamu) = 2 – kamu – kamu 2 , dan turunannya terhadap pada seperti

Karena Fў kamu(0,0) = –1, kurva DENGAN 2 – garis perpotongan permukaan dengan bidang yz– mempunyai garis singgung aku 2 diberikan oleh persamaan z = 2 – kamu, X= 0. Bidang singgung yang diinginkan memuat kedua garis aku 1 dan aku 2 dan ditulis dengan persamaan

Ini adalah persamaan sebuah bidang. Selain itu, kami menerima langsung aku 1 dan aku 2, dengan demikian, dengan asumsi, pada= 0 dan X = 0.

Fakta bahwa persamaan (7) benar-benar mendefinisikan bidang singgung dapat diverifikasi pada tingkat heuristik dengan mencatat bahwa persamaan ini mengandung suku orde pertama yang termasuk dalam persamaan (6), dan suku orde kedua dapat direpresentasikan dalam bentuk -. Karena ekspresi ini negatif untuk semua nilai X Dan pada, kecuali X = pada= 0, permukaan (6) terletak di bawah bidang (7) di semua tempat, kecuali titik R= (0,0,0). Kita dapat mengatakan bahwa permukaan (6) pada titik tersebut cembung ke atas R.

Contoh 5. Temukan bidang singgung permukaan z = F(X,kamu) = X 2 – kamu 2 di asal 0.

Di permukaan pada= 0 kita punya: z = F(X,0) = X 2 dan Fў X(X,0) = 2X. Pada DENGAN 1, garis persimpangan, z = X 2. Pada intinya HAI kemiringannya sama dengan Fў X(0,0) = 0. Di pesawat X= 0 kita punya: z = F(0,kamu) = –kamu 2 dan Fў kamu(0,kamu) = –2kamu. Pada DENGAN 2, garis persimpangan, z = –kamu 2. Pada intinya HAI kemiringan kurva DENGAN 2 sama Fў kamu(0,0) = 0. Karena garis singgung ke DENGAN 1 dan DENGAN 2 adalah sumbu X Dan pada, bidang singgung yang memuatnya adalah bidang z = 0.

Namun, di sekitar titik asal, permukaan kita tidak berada pada sisi yang sama pada bidang singgung. Memang, sebuah kurva DENGAN 1 dimana-mana, kecuali titik 0, terletak di atas bidang singgung dan kurva DENGAN 2 – masing-masing di bawahnya. Permukaan memotong bidang singgung z= 0 pada garis lurus pada = X Dan pada = –X. Permukaan seperti itu dikatakan memiliki titik pelana di titik asal (Gbr. 24).

Derivatif parsial.

Dalam contoh sebelumnya kami menggunakan turunan dari F (X,kamu) Oleh X dan oleh pada. Sekarang mari kita pertimbangkan turunan tersebut dalam pengertian yang lebih umum. Jika kita mempunyai fungsi dua variabel, misalnya, F(X,kamu) = X 2 – xy, maka kita dapat menentukan di setiap titik dua “turunan parsialnya”, salah satunya dengan mendiferensiasikan fungsinya terhadap X dan memperbaiki pada, yang lain – membedakan dengan pada dan memperbaiki X. Turunan pertama dilambangkan sebagai Fў X(X,kamu) atau ¶ F/¶ X; kedua - bagaimana F fў kamu. Jika kedua turunan campuran (oleh X Dan pada, Oleh pada Dan X) kontinu, maka ¶ 2 F/¶ Xkamu= ¶ 2 F/¶ kamuX; dalam contoh kita ¶ 2 F/¶ Xkamu= ¶ 2 F/¶ kamuX = –1.

Turunan parsial Fў X(X,kamu) menunjukkan laju perubahan fungsi F pada titik ( X,kamu) ke arah peningkatan X, A Fў kamu(X,kamu) – laju perubahan fungsi F ke arah peningkatan pada. Tingkat perubahan fungsi F pada titik ( X,pada) searah garis lurus yang membentuk sudut Q dengan arah sumbu positif X, disebut turunan dari fungsi tersebut F terhadap; nilainya merupakan kombinasi dua turunan parsial dari fungsi tersebut f pada bidang singgung hampir sama (kecil dx Dan mati) perubahan sejati z di permukaan, namun menghitung diferensial biasanya lebih mudah.

Rumus yang telah kita bahas dari metode perubahan variabel, yang dikenal sebagai turunan fungsi kompleks atau aturan rantai, dalam kasus satu dimensi ketika pada tergantung pada X, A X tergantung pada T, memiliki bentuk:

Untuk fungsi dua variabel, rumus serupa berbentuk:

Konsep dan notasi diferensiasi parsial mudah digeneralisasikan ke dimensi yang lebih tinggi. Khususnya, jika permukaan ditentukan secara implisit oleh persamaan F(X,kamu,z) = 0, persamaan bidang singgung permukaan dapat diberikan bentuk yang lebih simetris: persamaan bidang singgung di titik ( x(x 2 /4)], lalu diintegrasikan X dari 0 sampai 1. Hasil akhirnya adalah 3/4.

Rumus (10) juga dapat diartikan sebagai integral ganda, yaitu. sebagai batas jumlah volume “sel” dasar. Setiap sel tersebut memiliki basis D X D kamu dan tingginya sama dengan tinggi permukaan di atas suatu titik pada alas persegi panjang ( cm. beras. 26). Dapat ditunjukkan bahwa kedua sudut pandang pada rumus (10) adalah setara. Integral ganda digunakan untuk mencari pusat gravitasi dan berbagai momen yang ditemui dalam mekanika.

Pembenaran yang lebih ketat terhadap peralatan matematika.

Sejauh ini kami telah menyajikan konsep dan metode analisis matematis pada tingkat intuitif dan tidak ragu untuk menggunakan bentuk geometris. Tinggal kita mempertimbangkan secara singkat metode-metode yang lebih ketat yang muncul pada abad ke-19 dan ke-20.

Pada awal abad ke-19, ketika era badai dan tekanan dalam “penciptaan analisis matematis” berakhir, pertanyaan tentang pembenarannya mengemuka. Dalam karya Abel, Cauchy dan sejumlah ahli matematika terkemuka lainnya, konsep “batas”, “fungsi kontinu”, “deret konvergen” didefinisikan secara tepat. Hal ini diperlukan untuk memperkenalkan urutan logis ke dalam dasar analisis matematis agar menjadi alat penelitian yang andal. Kebutuhan akan pembenaran yang menyeluruh menjadi lebih jelas lagi setelah penemuan fungsi oleh Weierstrass pada tahun 1872 yang kontinu di mana-mana tetapi tidak terdiferensiasi (grafik fungsi tersebut memiliki kekusutan di setiap titik). Hasil ini memberikan pengaruh yang menakjubkan pada ahli matematika, karena jelas bertentangan dengan intuisi geometri mereka. Contoh yang lebih mencolok dari tidak dapat diandalkannya intuisi geometri adalah kurva kontinu yang dibangun oleh D. Peano, yang memenuhi seluruh persegi tertentu, yaitu. melewati semua titiknya. Penemuan ini dan penemuan lainnya memunculkan program “aritmetisasi” matematika, yaitu. sehingga lebih reliabel dengan membumikan seluruh konsep matematika menggunakan konsep bilangan. Penolakan yang hampir bersifat puritan terhadap kejelasan dalam karya-karya tentang dasar-dasar matematika memiliki pembenaran historisnya sendiri.

Menurut kanon logika modern yang ketat, tidak dapat diterima membicarakan luas di bawah kurva kamu = F(X) dan di atas segmen sumbu X, bahkan F- suatu fungsi yang berkesinambungan, tanpa terlebih dahulu mendefinisikan arti sebenarnya dari istilah “luas” dan tanpa menetapkan bahwa luas yang didefinisikan tersebut benar-benar ada. Masalah ini berhasil diselesaikan pada tahun 1854 oleh B. Riemann yang memberikan definisi yang tepat tentang konsep integral tertentu. Sejak saat itu, gagasan penjumlahan di balik konsep integral tertentu telah banyak dipelajari dan digeneralisasi secara mendalam. Oleh karena itu, saat ini integral tentu dapat diberi makna, bahkan jika integral tersebut diskontinu di semua tempat. Konsep integrasi baru, yang diciptakan oleh A. Lebesgue (1875–1941) dan ahli matematika lainnya memberikan kontribusi besar, meningkatkan kekuatan dan keindahan analisis matematika modern.

Tidaklah tepat untuk menjelaskan secara rinci semua konsep ini dan konsep lainnya. Kami akan membatasi diri hanya pada memberikan definisi tegas tentang limit dan integral tentu.

Sebagai kesimpulan, katakanlah analisis matematis, sebagai alat yang sangat berharga di tangan ilmuwan dan insinyur, masih menarik perhatian para ahli matematika saat ini sebagai sumber ide yang bermanfaat. Pada saat yang sama, perkembangan modern nampaknya menunjukkan bahwa analisis matematis semakin banyak diserap oleh mereka yang dominan di abad ke-20. cabang matematika seperti aljabar abstrak dan topologi.

Di mana kami memeriksa turunan paling sederhana, dan juga mengenal aturan diferensiasi dan beberapa teknik teknis untuk menemukan turunan. Oleh karena itu, jika Anda kurang mahir dengan turunan fungsi atau ada beberapa poin dalam artikel ini yang kurang jelas, maka bacalah dulu pelajaran di atas. Silakan serius - materinya tidak sederhana, namun saya akan tetap berusaha menyajikannya secara sederhana dan jelas.

Dalam praktiknya, Anda harus sering berurusan dengan turunan suatu fungsi kompleks, bahkan saya katakan, hampir selalu, ketika Anda diberi tugas untuk mencari turunan.

Kita lihat tabel aturan (No. 5) untuk membedakan fungsi kompleks:

Mari kita cari tahu. Pertama-tama, mari kita perhatikan entrinya. Di sini kita memiliki dua fungsi - dan , dan fungsi tersebut, secara kiasan, bersarang di dalam fungsi tersebut. Fungsi jenis ini (ketika satu fungsi bertumpu pada fungsi lain) disebut fungsi kompleks.

Saya akan memanggil fungsinya fungsi eksternal, dan fungsinya – fungsi internal (atau bersarang)..

! Definisi-definisi ini tidak bersifat teoretis dan tidak boleh muncul dalam desain akhir tugas. Saya menggunakan ungkapan informal “fungsi eksternal”, fungsi “internal” hanya untuk memudahkan Anda memahami materi.

Untuk memperjelas situasinya, pertimbangkan:

Contoh 1

Temukan turunan suatu fungsi

Di bawah sinus kita tidak hanya memiliki huruf "X", tetapi seluruh ekspresi, jadi mencari turunannya langsung dari tabel tidak akan berhasil. Kami juga memperhatikan bahwa tidak mungkin menerapkan empat aturan pertama di sini, tampaknya ada perbedaan, tetapi faktanya sinus tidak dapat “dipecah-pecah”:

Dalam contoh ini, secara intuitif sudah jelas dari penjelasan saya bahwa suatu fungsi adalah fungsi kompleks, dan polinomialnya adalah fungsi internal (penyematan), dan fungsi eksternal.

Langkah pertama yang perlu Anda lakukan saat mencari turunan fungsi kompleks adalah memahami fungsi mana yang internal dan mana yang eksternal.

Dalam contoh sederhana, tampak jelas bahwa polinomial tertanam di bawah sinus. Tapi bagaimana jika semuanya tidak jelas? Bagaimana cara menentukan secara akurat fungsi mana yang eksternal dan mana yang internal? Untuk melakukan ini, saya sarankan menggunakan teknik berikut, yang dapat dilakukan secara mental atau dalam bentuk draf.

Mari kita bayangkan bahwa kita perlu menghitung nilai ekspresi di pada kalkulator (bukannya satu, bisa ada angka berapa pun).

Apa yang akan kita hitung terlebih dahulu? Pertama Anda perlu melakukan tindakan berikut: , oleh karena itu polinomialnya akan menjadi fungsi internal:

Kedua perlu ditemukan, jadi sinus – akan menjadi fungsi eksternal:

Setelah kita TERJUAL HABIS dengan fungsi internal dan eksternal, saatnya menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks .

Mari kita mulai memutuskan. Dari pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya? kita ingat bahwa desain solusi untuk turunan apa pun selalu dimulai seperti ini - kita menyertakan ekspresi dalam tanda kurung dan memberi tanda guratan di kanan atas:

Pertama kita mencari turunan dari fungsi luar (sinus), lihat tabel turunan fungsi dasar dan perhatikan itu . Semua rumus tabel juga berlaku jika “x” diganti dengan ekspresi kompleks, pada kasus ini:

Harap dicatat bahwa fungsi bagian dalam tidak berubah, kami tidak menyentuhnya.

Ya, sudah jelas sekali

Hasil penerapan rumus dalam bentuk akhirnya terlihat seperti ini:

Faktor konstanta biasanya ditempatkan di awal ekspresi:

Jika ada kesalahpahaman, tuliskan penyelesaiannya di atas kertas dan baca kembali penjelasannya.

Contoh 2

Temukan turunan suatu fungsi

Contoh 3

Temukan turunan suatu fungsi

Seperti biasa, kami menulis:

Mari kita cari tahu di mana kita memiliki fungsi eksternal dan di mana kita memiliki fungsi internal. Untuk melakukan ini, kami mencoba (secara mental atau dalam konsep) menghitung nilai ekspresi di . Apa yang harus Anda lakukan pertama kali? Pertama-tama, Anda perlu menghitung basisnya: oleh karena itu, polinomial adalah fungsi internal:

Dan baru setelah itu eksponensial dilakukan, oleh karena itu, fungsi pangkat adalah fungsi eksternal:

Menurut rumusnya , pertama-tama Anda perlu mencari turunan dari fungsi eksternal, dalam hal ini derajat. Kami mencari rumus yang diperlukan di tabel: . Kami ulangi lagi: rumus tabel apa pun berlaku tidak hanya untuk "X", tetapi juga untuk ekspresi kompleks. Jadi, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi kompleks Berikutnya:

Saya tekankan lagi bahwa ketika kita mengambil turunan dari fungsi eksternal, fungsi internal kita tidak berubah:

Sekarang yang tersisa hanyalah mencari turunan yang sangat sederhana dari fungsi internal dan sedikit mengubah hasilnya:

Contoh 4

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (jawaban di akhir pelajaran).

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang turunan fungsi kompleks, saya akan memberikan contoh tanpa komentar, coba cari tahu sendiri, alasannya di mana fungsi eksternal dan di mana fungsi internal, mengapa tugas diselesaikan dengan cara ini?

Contoh 5

a) Temukan turunan dari fungsi tersebut

b) Temukan turunan dari fungsi tersebut

Contoh 6

Temukan turunan suatu fungsi

Di sini kita memiliki akar, dan untuk membedakan akar tersebut, akar tersebut harus direpresentasikan sebagai suatu pangkat. Jadi, pertama-tama kita bawa fungsinya ke dalam bentuk yang sesuai untuk diferensiasi:

Menganalisis fungsi tersebut, kita sampai pada kesimpulan bahwa penjumlahan ketiga suku tersebut merupakan fungsi internal, dan menaikkan pangkat adalah fungsi eksternal. Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks :

Kami kembali menyatakan derajat sebagai akar (akar), dan untuk turunan fungsi internal kami menerapkan aturan sederhana untuk membedakan jumlah:

Siap. Anda juga dapat mengurangi ekspresi menjadi penyebut yang sama dalam tanda kurung dan menuliskan semuanya sebagai satu pecahan. Itu indah, tentu saja, tetapi ketika Anda mendapatkan turunan panjang yang rumit, lebih baik tidak melakukan ini (mudah bingung, membuat kesalahan yang tidak perlu, dan akan merepotkan guru untuk memeriksanya).

Contoh 7

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (jawaban di akhir pelajaran).

Menarik untuk dicatat bahwa terkadang alih-alih menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks, Anda dapat menggunakan aturan untuk membedakan hasil bagi. , tapi solusi seperti itu akan terlihat seperti penyimpangan yang tidak biasa. Berikut adalah contoh tipikal:

Contoh 8

Temukan turunan suatu fungsi

Di sini Anda dapat menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi , tetapi jauh lebih menguntungkan untuk mencari turunannya melalui aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Kami menyiapkan fungsi untuk diferensiasi - kami memindahkan tanda minus dari tanda turunannya, dan menaikkan kosinus ke dalam pembilangnya:

Cosinus adalah fungsi internal, eksponensial adalah fungsi eksternal.
Mari gunakan aturan kita :

Kami menemukan turunan dari fungsi internal dan mengembalikan kosinusnya ke bawah:

Siap. Dalam contoh yang dibahas, penting untuk tidak bingung dengan tanda-tandanya. Ngomong-ngomong, coba selesaikan menggunakan aturan , jawabannya harus cocok.

Contoh 9

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (jawaban di akhir pelajaran).

Sejauh ini kita telah melihat kasus di mana kita hanya memiliki satu sarang dalam fungsi yang kompleks. Dalam tugas-tugas praktis, Anda sering dapat menemukan turunan, di mana, seperti boneka bersarang, satu di dalam yang lain, 3 atau bahkan 4-5 fungsi disarangkan sekaligus.

Contoh 10

Temukan turunan suatu fungsi

Mari kita pahami lampiran dari fungsi ini. Mari kita coba menghitung ekspresi menggunakan nilai eksperimen. Bagaimana kita mengandalkan kalkulator?

Pertama, Anda perlu mencari , yang berarti arcsine adalah penyematan terdalam:

Sinus satu ini kemudian harus dikuadratkan:

Dan akhirnya, kami menaikkan tujuh pangkat:

Artinya, dalam contoh ini kita memiliki tiga fungsi berbeda dan dua embeddings, sedangkan fungsi terdalam adalah arcsinus, dan fungsi terluar adalah fungsi eksponensial.

Mari kita mulai memutuskan

Menurut aturan Pertama, Anda perlu mengambil turunan dari fungsi luarnya. Kita melihat tabel turunan dan mencari turunan dari fungsi eksponensial: Satu-satunya perbedaan adalah bahwa alih-alih “x” kita memiliki ekspresi kompleks, yang tidak meniadakan validitas rumus ini. Jadi, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi kompleks Berikutnya.

Memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika sama sekali tidak mungkin dilakukan tanpa mengetahui turunan dan metode penghitungannya. Turunan adalah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematika. Kami memutuskan untuk mendedikasikan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa arti fisis dan geometrinya, bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini bisa digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?

Arti geometri dan fisis turunan

Biarlah ada fungsinya f(x) , ditentukan dalam interval tertentu (a, b) . Poin x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Mengubah argumen - perbedaan nilainya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai suatu fungsi di dua titik. Definisi turunan:

Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada suatu titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika argumen tersebut cenderung nol.

Kalau tidak, dapat ditulis seperti ini:

Apa gunanya menemukan batasan seperti itu? Dan inilah isinya:

turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di suatu titik tertentu.


Arti fisis dari turunan: turunan lintasan terhadap waktu sama dengan kecepatan gerak lurus.

Memang sejak masa sekolah semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur tertentu x=f(t) dan waktu T . Kecepatan rata-rata dalam jangka waktu tertentu:

Untuk mengetahui kecepatan gerak pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batasnya:

Aturan satu: tetapkan konstanta

Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi hal ini harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, anggaplah sebagai aturan - Jika Anda dapat menyederhanakan suatu ekspresi, pastikan untuk menyederhanakannya .

Contoh. Mari kita hitung turunannya:

Aturan kedua: turunan dari jumlah fungsi

Turunan dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama juga berlaku untuk turunan selisih fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.

Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Aturan ketiga: turunan dari produk fungsi

Turunan hasil kali dua fungsi terdiferensiasi dihitung dengan rumus:

Contoh: mencari turunan suatu fungsi:

Larutan:

Penting untuk membicarakan penghitungan turunan fungsi kompleks di sini. Turunan suatu fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi tersebut terhadap argumen perantara dan turunan argumen perantara terhadap variabel bebas.

Dalam contoh di atas kita menemukan ungkapan:

Dalam hal ini, argumen perantaranya adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita menghitung turunan fungsi eksternal terhadap argumen perantara, dan kemudian mengalikannya dengan turunan dari argumen perantara itu sendiri terhadap variabel bebas.

Aturan empat: turunan dari hasil bagi dua fungsi

Rumus untuk menentukan turunan hasil bagi dua fungsi:

Kami mencoba membicarakan turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kelihatannya, jadi berhati-hatilah: sering kali terdapat kesalahan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.

Jika Anda memiliki pertanyaan tentang topik ini atau topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda menyelesaikan tes yang paling sulit dan memahami tugas-tugasnya, meskipun Anda belum pernah melakukan perhitungan turunan sebelumnya.