Ya, ya: perkembangan aritmatika bukanlah mainan untuk Anda :) Baiklah teman-teman, jika Anda membaca teks ini, maka bukti batas internal memberi tahu saya bahwa Anda belum mengetahui apa itu perkembangan aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti itu: SANGAT!) ingin mengetahuinya. Oleh karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan langsung ke pokok permasalahan.
Pertama, beberapa contoh. Mari kita lihat beberapa kumpulan angka:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Apa kesamaan dari semua rangkaian ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Namun sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari elemen sebelumnya dengan nomor yang sama.
Nilailah sendiri. Set pertama hanyalah angka-angka yang berurutan, setiap set berikutnya lebih banyak satu dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, selisih angka-angka yang berdekatan sudah lima, tetapi selisihnya tetap konstan. Dalam kasus ketiga, ada akar-akarnya sama sekali. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yaitu dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya hanya bertambah sebesar $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).
Jadi: semua barisan seperti itu disebut barisan aritmatika. Mari kita berikan definisi yang tegas:
Definisi. Barisan bilangan yang setiap bilangan berikutnya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama persis disebut barisan aritmatika. Besarnya perbedaan angka-angka tersebut disebut selisih perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.
Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah perkembangannya sendiri, $d$ adalah selisihnya.
Dan hanya beberapa catatan penting. Pertama, kemajuan hanya dipertimbangkan dipesan urutan angka: angka-angka tersebut boleh dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Nomor tidak dapat diatur ulang atau ditukar.
Kedua, barisan itu sendiri bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan barisan aritmatika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu dalam semangat (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah merupakan perkembangan yang tak ada habisnya. Elipsis setelah angka empat sepertinya mengisyaratkan bahwa masih ada beberapa angka lagi yang akan datang. Banyak sekali, misalnya. :)
Saya juga ingin mencatat bahwa kemajuan dapat meningkat atau menurun. Kita telah melihat peningkatan - himpunan yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh perkembangan yang menurun:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Oke oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi selebihnya, saya rasa, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:
Definisi. Kemajuan aritmatika ditelepon:
- meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari elemen sebelumnya;
- menurun jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari elemen sebelumnya.
Selain itu, ada yang disebut barisan "stasioner" - barisan tersebut terdiri dari bilangan berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).
Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan kemajuan yang meningkat dan kemajuan yang menurun? Untungnya, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:
- Jika $d \gt 0$, maka perkembangannya meningkat;
- Jika $d \lt 0$, maka perkembangannya jelas menurun;
- Terakhir, ada kasus $d=0$ - dalam hal ini seluruh perkembangan direduksi menjadi barisan stasioner dari angka-angka identik: (1; 1; 1; 1; ...), dll.
Mari kita coba menghitung selisih $d$ untuk tiga perkembangan menurun yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan mengurangi angka di sebelah kiri dari angka di sebelah kanan. Ini akan terlihat seperti ini:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Seperti yang bisa kita lihat, dalam ketiga kasus tersebut, perbedaannya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita sedikit banyak memahami definisinya, sekarang saatnya mencari tahu bagaimana perkembangan dijelaskan dan properti apa yang dimilikinya.
Syarat perkembangan dan rumus perulangan
Karena elemen-elemen dari barisan kita tidak dapat ditukar, mereka dapat diberi nomor:
\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Kanan\)\]
Elemen-elemen individual dari himpunan ini disebut anggota suatu perkembangan. Mereka ditandai dengan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dst.
Selain itu, seperti yang telah kita ketahui, suku-suku yang berdekatan dari perkembangan tersebut dihubungkan dengan rumus:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah Kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Singkatnya, untuk mencari suku ke $n$ suatu perkembangan, Anda perlu mengetahui suku ke $n-1$ dan selisih $d$. Rumus ini disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan bilangan apa pun hanya dengan mengetahui bilangan sebelumnya (dan sebenarnya semua bilangan sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun menjadi suku pertama dan selisihnya:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]
Anda mungkin pernah menemukan rumus ini. Mereka suka memberikannya dalam berbagai macam buku referensi dan buku solusi. Dan dalam buku pelajaran matematika yang masuk akal, ini adalah salah satu yang pertama.
Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.
Tugas No.1. Tuliskan tiga suku pertama barisan aritmatika $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.
Larutan. Jadi, kita mengetahui suku pertama $((a)_(1))=8$ dan selisih perkembangannya $d=-5$. Mari kita gunakan rumus yang baru saja diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(sejajarkan)\]
Jawaban: (8; 3; −2)
Itu saja! Harap dicatat: kemajuan kami menurun.
Tentu saja, $n=1$ tidak dapat diganti - istilah pertama sudah kita ketahui. Namun, dengan mengganti kesatuan, kami yakin bahwa bahkan untuk suku pertama, rumus kami berhasil. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika yang dangkal.
Tugas No.2. Tuliskan tiga suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku ketujuh sama dengan −40 dan suku ketujuh belas sama dengan −50.
Larutan. Mari kita tuliskan kondisi masalahnya dalam istilah yang familiar:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(sejajarkan) \kanan.\]
\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Kanan.\]
Saya beri tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Sekarang perhatikan bahwa jika kita mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kita berhak melakukan ini, karena kita mempunyai sistem), kita mendapatkan ini:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \kanan)=-50-\left(-40 \kanan); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(sejajarkan)\]
Begitulah mudahnya menemukan perbedaan perkembangannya! Yang tersisa hanyalah mengganti bilangan yang ditemukan ke dalam persamaan sistem mana pun. Misalnya, yang pertama:
\[\begin(matriks) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriks)\]
Sekarang, setelah mengetahui suku pertama dan selisihnya, tinggal mencari suku kedua dan ketiga:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(sejajarkan)\]
Siap! Masalah terpecahkan.
Jawaban: (−34; −35; −36)
Perhatikan sifat menarik dari perkembangan yang kita temukan: jika kita mengambil suku $n$th dan $m$th dan mengurangkannya satu sama lain, kita mendapatkan selisih perkembangan dikalikan dengan angka $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]
Sederhana namun sangat properti yang berguna, yang pasti perlu Anda ketahui - dengan bantuannya Anda dapat mempercepat penyelesaian banyak masalah perkembangan secara signifikan. Berikut ini contoh jelasnya:
Tugas No.3. Suku kelima suatu barisan aritmatika adalah 8,4 dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari perkembangan ini.
Larutan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu mencari $((a)_(15))$, kita perhatikan hal berikut:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(sejajarkan)\]
Tetapi dengan kondisi $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, maka $5d=6$, dari mana kita mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(sejajarkan)\]
Jawaban: 20.4
Itu saja! Kami tidak perlu membuat sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama serta selisihnya - semuanya diselesaikan hanya dalam beberapa baris.
Sekarang mari kita lihat jenis masalah lainnya - mencari suku negatif dan positif dari suatu perkembangan. Bukan rahasia lagi bahwa jika suatu perkembangan meningkat, dan suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku-suku positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: kondisi perkembangan yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.
Pada saat yang sama, tidak selalu mungkin untuk menemukan momen ini secara langsung dengan menelusuri elemen-elemennya secara berurutan. Seringkali, soal ditulis sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungannya akan memakan beberapa lembar kertas—kita hanya akan tertidur saat menemukan jawabannya. Oleh karena itu, mari kita coba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.
Tugas No.4. Berapa banyak suku negatif pada barisan aritmatika −38.5; −35.8; ...?
Larutan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, dari situ langsung kita cari perbedaannya:
Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga perkembangannya meningkat. Suku pertama adalah negatif, jadi suatu saat kita akan menemukan bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan hal ini akan terjadi.
Mari kita coba mencari tahu berapa lama (yaitu sampai berapa bilangan asli $n$) suku-suku negatif tersebut tetap ada:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah Kanan ((a)_(1))+\left(n-1 \kanan)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1 \kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah Kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \end(sejajarkan)\]
Baris terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, kita hanya puas dengan nilai bilangan bulat dari bilangan tersebut (apalagi: $n\in \mathbb(N)$), sehingga bilangan terbesar yang diperbolehkan adalah $n=15$, dan tidak berarti 16 .
Tugas No.5. Dalam perkembangan aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Tentukan bilangan suku positif pertama dari barisan tersebut.
Ini akan menjadi masalah yang sama persis dengan masalah sebelumnya, tetapi kita tidak mengetahui $((a)_(1))$. Namun suku-suku tetangganya sudah diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, sehingga kita dapat dengan mudah mencari perbedaan perkembangannya:
Selain itu, mari kita coba nyatakan suku kelima melalui suku pertama dan selisihnya menggunakan rumus standar:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(sejajarkan)\]
Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan tugas sebelumnya. Mari kita cari tahu di titik mana angka positif akan muncul dalam urutan kita:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah Kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(sejajarkan)\]
Solusi bilangan bulat minimum dari pertidaksamaan ini adalah angka 56.
Harap dicatat: dalam tugas terakhir semuanya bermuara pada ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi $n=55$ tidak cocok untuk kita.
Sekarang kita telah mempelajari cara memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita pelajari sifat lain yang sangat berguna dari perkembangan aritmatika, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak setara di masa depan. :)
Rata-rata aritmatika dan lekukan yang sama
Mari kita perhatikan beberapa suku berurutan dari barisan aritmatika meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:
Suku-suku barisan aritmatika pada garis bilanganSaya secara khusus menandai istilah arbitrer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, dll. Karena aturan yang akan saya ceritakan sekarang berlaku sama untuk "segmen" mana pun.
Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita mengingat rumus berulang dan menuliskannya untuk semua suku yang ditandai:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(sejajarkan)\]
Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(sejajarkan)\]
Jadi kenapa? Dan fakta bahwa suku $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - keduanya juga dihapus dari $((a)_(n) )$ pada jarak yang sama sama dengan $2d$. Kita dapat melanjutkannya tanpa batas waktu, tetapi maknanya diilustrasikan dengan baik oleh gambar
Syarat-syarat perkembangannya terletak pada jarak yang sama dari pusat Apa artinya ini untuk kita? Artinya $((a)_(n))$ dapat ditemukan jika bilangan tetangganya diketahui:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Kita telah memperoleh pernyataan yang sangat bagus: setiap suku suatu barisan aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku tetangganya! Selain itu: kita dapat mundur dari $((a)_(n))$ ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah - dan rumusnya akan tetap benar:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Itu. kita dapat dengan mudah menemukan $((a)_(150))$ jika kita mengetahui $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Pada pandangan pertama, tampaknya fakta ini tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak soal yang dirancang khusus untuk menggunakan mean aritmatika. Lihatlah:
Tugas No.6. Tentukan semua nilai $x$ yang bilangan $-6((x)^(2))$, $x+1$, dan $14+4((x)^(2))$ merupakan suku-suku yang berurutan perkembangan aritmatika (dalam urutan yang ditunjukkan).
Larutan. Karena bilangan-bilangan ini adalah anggota suatu barisan, kondisi rata-rata aritmatika terpenuhi untuk bilangan-bilangan tersebut: elemen pusat $x+1$ dapat dinyatakan dalam elemen-elemen tetangganya:
\[\begin(sejajarkan) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(sejajarkan)\]
Hasilnya adalah persamaan kuadrat klasik. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.
Jawaban: −3; 2.
Tugas No.7. Temukan nilai $$ yang bilangan $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk barisan aritmatika (dalam urutan itu).
Larutan. Mari kita nyatakan kembali suku tengah melalui mean aritmatika suku-suku tetangganya:
\[\begin(sejajarkan) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \kiri| \cdot 2 \kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(sejajarkan)\]
Persamaan kuadrat lagi. Dan sekali lagi ada dua akar: $x=6$ dan $x=1$.
Jawaban 1; 6.
Jika dalam proses penyelesaian suatu masalah Anda menemukan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin akan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada teknik luar biasa yang memungkinkan Anda memeriksa: apakah kita sudah menyelesaikan masalah dengan benar?
Katakanlah dalam soal No. 6 kita menerima jawaban −3 dan 2. Bagaimana kita dapat memeriksa kebenaran jawaban tersebut? Mari kita sambungkan ke kondisi aslinya dan lihat apa yang terjadi. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang harus membentuk barisan aritmatika. Mari kita substitusikan $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]
Kami mendapat angka −54; −2; 50 yang berbeda 52 tentu merupakan barisan aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]
Sekali lagi merupakan kemajuan, tetapi dengan selisih 27. Dengan demikian, masalah terselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa sendiri masalah kedua, tetapi saya akan segera mengatakan: semuanya juga benar di sana.
Secara umum, saat menyelesaikan masalah terakhir, kami menemukan masalah lain fakta yang menarik, yang juga perlu diingat:
Jika tiga bilangan sedemikian rupa sehingga bilangan kedua merupakan rata-rata aritmatika dari bilangan pertama dan terakhir, maka bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.
Di masa depan, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk secara harfiah “membangun” kemajuan yang diperlukan berdasarkan kondisi masalah. Namun sebelum kita melakukan “konstruksi” tersebut, kita harus memperhatikan satu fakta lagi, yang langsung mengikuti apa yang telah dibahas.
Mengelompokkan dan menjumlahkan elemen
Mari kita kembali ke sumbu bilangan lagi. Mari kita perhatikan ada beberapa anggota perkembangan, mungkin di antaranya. bernilai banyak anggota lainnya:
Ada 6 elemen yang ditandai pada garis bilanganMari kita coba menyatakan “ekor kiri” melalui $((a)_(n))$ dan $d$, dan “ekor kanan” melalui $((a)_(k))$ dan $d$. Ini sangat sederhana:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(sejajarkan)\]
Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut ini sama:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]
Sederhananya, jika kita menganggap sebagai permulaan dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan suatu bilangan $S$, dan kemudian mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke arah yang berlawanan (ke arah satu sama lain atau sebaliknya menjauh), Kemudian jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Hal ini dapat direpresentasikan dengan jelas secara grafis:
Lekukan yang sama memberikan jumlah yang sama Memahami fakta ini akan memungkinkan kita memecahkan masalah dengan cara yang lebih mendasar level tinggi kesulitan daripada yang kami pertimbangkan di atas. Misalnya, ini:
Tugas No.8. Tentukan selisih barisan aritmatika yang suku pertamanya 66 dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.
Larutan. Mari kita tuliskan semua yang kita ketahui:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]
Jadi, kita tidak mengetahui perbedaan perkembangan $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun berdasarkan perbedaan tersebut, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan). \end(sejajarkan)\]
Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya mengambil total pengali 11 dari braket kedua. Jadi, hasil kali yang diinginkan adalah fungsi kuadrat terhadap variabel $d$. Oleh karena itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita memperluas tanda kurung, kita mendapatkan:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, koefisien suku tertinggi adalah 11 - ini adalah bilangan positif, jadi kita sebenarnya berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:
jadwal fungsi kuadrat- parabola
Harap diperhatikan: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada titik puncaknya dengan absis $((d)_(0))$. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini menggunakan skema standar (ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan lebih masuk akal untuk diperhatikan bahwa titik sudut yang diinginkan terletak pada sumbu simetri parabola, maka titik $((d)_(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(sejajarkan) & f\kiri(d \kanan)=0; \\ & 11\cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(sejajarkan)\]
Itu sebabnya saya tidak terburu-buru membuka tanda kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat-sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absisnya sama dengan mean angka aritmatika−66 dan −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Apa yang diberikan oleh angka yang ditemukan kepada kita? Dengan bantuannya, produk yang dibutuhkan diambil nilai terkecil(omong-omong, kami tidak pernah menghitung $((y)_(\min ))$ - ini tidak wajib bagi kami). Selain itu, angka ini adalah selisih dari perkembangan aslinya, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)
Jawaban: −36
Tugas No.9. Di antara bilangan $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ masukkan tiga bilangan sehingga bersama-sama dengan bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.
Larutan. Intinya, kita perlu membuat barisan lima angka, yang angka pertama dan terakhirnya sudah diketahui. Mari kita nyatakan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:
\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]
Perhatikan bahwa angka $y$ adalah “tengah” barisan kita - jaraknya sama dari angka $x$ dan $z$, dan dari angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan kalau dari angka $x$ dan $z$ kita masuk saat ini kita tidak bisa mendapatkan $y$, maka situasinya berbeda dengan berakhirnya perkembangan. Mari kita ingat mean aritmatika:
Sekarang, dengan mengetahui $y$, kita akan mencari angka sisanya. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ yang baru saja kita temukan. Itu sebabnya
Dengan menggunakan alasan serupa, kami menemukan jumlah sisanya:
Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban sesuai urutan sisipannya di antara angka aslinya.
Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Tugas No.10. Di antara angka-angka 2 dan 42, sisipkan beberapa angka yang bersama-sama dengan angka-angka tersebut membentuk barisan aritmatika, jika diketahui jumlah angka pertama, kedua, dan terakhir yang disisipkan adalah 56.
Larutan. Terlebih lagi tugas yang sulit, yang, bagaimanapun, diselesaikan menurut skema yang sama seperti skema sebelumnya - melalui mean aritmatika. Soalnya kita tidak tahu persis berapa angka yang perlu dimasukkan. Oleh karena itu, mari kita asumsikan dengan pasti bahwa setelah memasukkan semuanya akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, perkembangan aritmatika yang diperlukan dapat direpresentasikan dalam bentuk:
\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Namun perhatikan bahwa angka $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari angka 2 dan 42 di tepinya dengan satu langkah ke arah satu sama lain, yaitu.. ke tengah urutan. Dan ini berarti itu
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Namun kemudian ungkapan yang tertulis di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(sejajarkan)\]
Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangannya:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah Kanan d=5. \\ \end(sejajarkan)\]
Yang tersisa hanyalah menemukan suku-suku yang tersisa:
\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(sejajarkan)\]
Jadi, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri barisan - angka 42. Total yang harus dimasukkan hanya 7 angka: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Masalah kata dengan perkembangan
Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa hal secara relatif tugas-tugas sederhana. Sesederhana itu: bagi sebagian besar siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, soal-soal ini mungkin terasa sulit. Meskipun demikian, ini adalah jenis soal yang muncul di OGE dan Ujian Negara Terpadu matematika, jadi saya sarankan Anda membiasakan diri dengannya.
Tugas No.11. Tim memproduksi 62 bagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya mereka memproduksi 14 bagian lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak bagian yang diproduksi tim pada bulan November?
Larutan. Jelasnya, jumlah bagian yang diurutkan berdasarkan bulan akan mewakili perkembangan aritmatika yang meningkat. Lebih-lebih lagi:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \end(align)\]
November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada bulan November.
Tugas No.12. Workshop penjilidan buku pada bulan Januari berjumlah 216 buku, dan setiap bulan berikutnya menjilid 4 buku lebih banyak dibandingkan bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?
Larutan. Semua sama:
$\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(align)$
Desember adalah bulan terakhir, bulan ke-12 dalam setahun, jadi kita mencari $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.
Nah, jika Anda sudah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: Anda telah berhasil menyelesaikan “kursus petarung muda” dalam perkembangan aritmatika. Anda dapat dengan aman melanjutkan ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus jumlah perkembangan, serta konsekuensi penting dan sangat berguna darinya.
Apa poin utama rumus?
Rumus ini memungkinkan Anda menemukannya setiap DENGAN NOMORNYA" N" .
Tentunya Anda juga perlu mengetahui istilah pertamanya sebuah 1 dan perbedaan perkembangan D, tanpa parameter ini Anda tidak dapat menuliskan perkembangan tertentu.
Menghafal (atau menuliskan) rumus ini saja tidak cukup. Anda perlu memahami esensinya dan menerapkan rumusnya dalam berbagai permasalahan. Dan jangan lupa masuk saat yang tepat, tapi bagaimana caranya tidak lupa- Aku tidak tahu. Dan di sini bagaimana cara mengingatnya Jika perlu, saya pasti akan menyarankan Anda. Bagi mereka yang menyelesaikan pelajaran sampai akhir.)
Jadi, mari kita lihat rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika.
Apa yang dimaksud dengan rumus secara umum? Ngomong-ngomong, lihatlah jika Anda belum membacanya. Semuanya sederhana di sana. Masih mencari tahu apa itu istilah ke-n.
Kemajuan secara umum dapat ditulis sebagai rangkaian angka:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
sebuah 1- menunjukkan suku pertama suatu barisan aritmatika, sebuah 3- anggota ketiga, sebuah 4- yang keempat, dan seterusnya. Jika kita tertarik dengan suku kelima, katakanlah kita sedang mengerjakannya sebuah 5, jika seratus dua puluh - s sebuah 120.
Bagaimana kita bisa mendefinisikannya secara umum? setiap suku suatu barisan aritmatika, dengan setiap nomor? Sangat sederhana! Seperti ini:
sebuah
Begitulah adanya suku ke-n suatu barisan aritmatika. Huruf n menyembunyikan semua nomor anggota sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.
Dan apa yang dapat kita peroleh dari catatan tersebut? Bayangkan saja, alih-alih menggunakan angka, mereka menulis surat...
Notasi ini memberi kita alat yang ampuh untuk bekerja dengan perkembangan aritmatika. Menggunakan notasi sebuah, kita dapat dengan cepat menemukannya setiap anggota setiap perkembangan aritmatika. Dan menyelesaikan banyak masalah perkembangan lainnya. Anda akan melihat sendiri lebih jauh.
Dalam rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika:
| sebuah = a 1 + (n-1)d |
sebuah 1- suku pertama suatu barisan aritmatika;
N- nomor anggota.
Rumusnya menghubungkan parameter utama dari setiap perkembangan: sebuah ; sebuah 1 ; D Dan N. Semua masalah perkembangan berkisar pada parameter ini.
Rumus suku ke-n juga dapat digunakan untuk menulis suatu barisan tertentu. Misalnya, soal mungkin mengatakan bahwa kemajuan ditentukan oleh kondisi:
sebuah = 5 + (n-1) 2.
Masalah seperti itu bisa jadi jalan buntu... Tidak ada deret atau perbedaan... Namun, membandingkan kondisi dengan rumus, mudah dipahami bahwa dalam perkembangan ini a 1 =5, dan d=2.
Dan itu bisa lebih buruk lagi!) Jika kita mengambil kondisi yang sama: sebuah = 5 + (n-1) 2, Ya, buka tanda kurung dan bawa yang serupa? Kami mendapatkan rumus baru:
sebuah = 3 + 2n.
Ini Bukan secara umum, tetapi untuk perkembangan yang spesifik. Di sinilah jebakannya mengintai. Beberapa orang mengira suku pertama adalah angka tiga. Padahal kenyataannya suku pertama adalah lima... Sedikit lebih rendah kita akan bekerja dengan rumus yang dimodifikasi.
Dalam masalah perkembangan ada notasi lain - sebuah n+1. Seperti yang Anda duga, ini adalah suku “n plus pertama” dari perkembangan tersebut. Artinya sederhana dan tidak berbahaya.) Ini adalah anggota barisan yang jumlahnya lebih besar dari bilangan n per satu. Misalnya saja jika dalam suatu permasalahan kita ambil sebuah semester kelima kalau begitu sebuah n+1 akan menjadi anggota keenam. Dll.
Paling sering sebutannya sebuah n+1 ditemukan dalam rumus perulangan. Jangan takut dengan kata menakutkan ini!) Ini hanyalah cara untuk menyatakan anggota barisan aritmatika melalui yang sebelumnya. Katakanlah kita diberikan suatu perkembangan aritmatika dalam bentuk ini, menggunakan rumus berulang:
sebuah+1 = sebuah+3
sebuah 2 = sebuah 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Yang keempat - sampai yang ketiga, yang kelima - sampai yang keempat, dan seterusnya. Bagaimana kita bisa langsung menghitung, katakanlah, suku kedua puluh? sebuah 20? Tapi tidak mungkin!) Sampai kita mengetahui suku ke-19, kita tidak dapat menghitung suku ke-20. Inilah perbedaan mendasar antara rumus berulang dan rumus suku ke-n. Berulang hanya berfungsi melalui sebelumnya suku, dan rumus suku ke-n adalah lewat Pertama dan memungkinkan langsung temukan anggota mana pun berdasarkan nomornya. Tanpa menghitung seluruh rangkaian angka secara berurutan.
Dalam perkembangan aritmatika, mudah untuk mengubah rumus berulang menjadi rumus biasa. Hitunglah sepasang suku yang berurutan, hitung selisihnya D, temukan, jika perlu, suku pertama sebuah 1, tulis rumusnya dalam bentuk biasa, dan kerjakan. Tugas-tugas seperti itu sering dijumpai di Akademi Ilmu Pengetahuan Negeri.
Penerapan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika.
Pertama, mari kita lihat penerapan langsung rumusnya. Di akhir pelajaran sebelumnya ada masalah:
Perkembangan aritmatika (an) diberikan. Tentukan a 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.
Soal ini dapat diselesaikan tanpa rumus apa pun, hanya berdasarkan arti barisan aritmatika. Tambahkan dan tambahkan... Satu atau dua jam.)
Dan menurut rumusnya, penyelesaiannya akan memakan waktu kurang dari satu menit. Anda dapat mengatur waktunya.) Mari kita putuskan.
Kondisi menyediakan semua data untuk menggunakan rumus: sebuah 1 =3, d=1/6. Masih mencari tahu apa yang setara N. Tidak masalah! Kita perlu menemukannya sebuah 121. Jadi kami menulis:
Mohon perhatian! Alih-alih indeks N nomor tertentu muncul: 121. Yang cukup logis.) Kami tertarik pada anggota perkembangan aritmatika nomor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi milik kita N. Inilah artinya N= 121 kita substitusikan lebih jauh ke dalam rumus, dalam tanda kurung. Kami mengganti semua angka ke dalam rumus dan menghitung:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Itu dia. Dengan cepat seseorang dapat menemukan suku kelima ratus sepuluh, dan suku seribu tiga, suku mana saja. Kami menempatkannya sebagai gantinya N nomor yang diinginkan pada indeks huruf " A" dan dalam tanda kurung, dan kami menghitungnya.
Izinkan saya mengingatkan Anda intinya: rumus ini memungkinkan Anda menemukannya setiap istilah perkembangan aritmatika DENGAN NOMORNYA" N" .
Mari kita selesaikan masalah ini dengan cara yang lebih licik. Mari kita hadapi masalah berikut:
Tentukan suku pertama barisan aritmatika (an), jika a 17 =-2; d=-0,5.
Jika Anda mengalami kesulitan, saya akan memberi tahu Anda langkah pertama. Tuliskan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika! Ya ya. Tuliskan dengan tangan Anda, tepat di buku catatan Anda:
| sebuah = a 1 + (n-1)d |
Dan sekarang, dengan melihat huruf-huruf rumusnya, kita memahami data apa yang kita miliki dan apa yang hilang? Tersedia d=-0,5, ada anggota ketujuh belas... Begitukah? Kalau kamu berpikir hanya itu, maka kamu tidak akan menyelesaikan masalah ya...
Kami masih memiliki nomornya N! Dalam kondisi sebuah 17 =-2 tersembunyi dua parameter. Ini adalah nilai suku ketujuh belas (-2) dan bilangannya (17). Itu. n=17.“Hal sepele” ini sering kali luput dari perhatian, dan tanpanya, (tanpa “hal sepele”, bukan kepala!) masalah tidak dapat diselesaikan. Meskipun... dan tanpa kepala juga.)
Sekarang kita bisa dengan bodohnya mengganti data kita ke dalam rumus:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Oh ya, sebuah 17 kita tahu itu -2. Oke, mari kita gantikan:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Pada dasarnya itu saja. Tetap menyatakan suku pertama barisan aritmatika dari rumus dan menghitungnya. Jawabannya adalah: sebuah 1 = 6.
Teknik ini - menuliskan rumus dan mengganti data yang diketahui - sangat membantu dalam tugas-tugas sederhana. Tentu saja Anda harus bisa mengekspresikan suatu variabel dari rumus, tapi apa yang harus dilakukan!? Tanpa keterampilan ini, matematika tidak mungkin dipelajari sama sekali...
Teka-teki populer lainnya:
Tentukan selisih barisan aritmatika (an), jika a 1 =2; sebuah 15 =12.
Apa yang kita lakukan? Anda akan terkejut, kami sedang menulis rumusnya!)
| sebuah = a 1 + (n-1)d |
Mari kita pertimbangkan apa yang kita ketahui: sebuah 1 =2; sebuah 15 =12; dan (saya akan menyoroti secara khusus!) n=15. Jangan ragu untuk menggantinya ke dalam rumus:
12=2 + (15-1)d
Kami melakukan aritmatika.)
12=2 + 14d
D=10/14 = 5/7
Ini adalah jawaban yang benar.
Jadi, tugas untuk sebuah, sebuah 1 Dan D diputuskan. Yang tersisa hanyalah mempelajari cara menemukan nomor tersebut:
Bilangan 99 merupakan anggota barisan aritmatika (an), dimana a 1 =12; d=3. Temukan nomor anggota ini.
Kita substitusikan besaran-besaran yang kita ketahui ke dalam rumus suku ke-n:
dan = 12 + (n-1) 3
Sekilas, ada dua besaran yang tidak diketahui di sini: sebuah n dan n. Tetapi sebuah- ini adalah beberapa anggota perkembangan dengan nomor N...Dan kita tahu anggota perkembangan ini! Ini 99. Kami tidak tahu nomornya. N, Jadi nomor inilah yang perlu Anda temukan. Suku deret 99 kita substitusikan ke dalam rumus:
99 = 12 + (n-1) 3
Kami mengungkapkan dari rumus N, kami pikir. Kami mendapatkan jawabannya: n=30.
Dan sekarang soal dengan topik yang sama, tetapi lebih kreatif):
Tentukan apakah bilangan 117 termasuk anggota barisan aritmatika (an):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Mari kita tulis rumusnya lagi. Apa, tidak ada parameternya? Hm... Kenapa kita diberi mata?) Apakah kita melihat suku pertama dari perkembangannya? Kami melihat. Ini -3.6. Anda dapat dengan aman menulis: sebuah 1 = -3,6. Perbedaan D dapatkah kamu menentukan dari suatu rangkaian? Mudahnya jika Anda mengetahui apa perbedaan barisan aritmatika:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Jadi, kami melakukan hal yang paling sederhana. Masih berurusan dengan nomor tak dikenal N dan angka 117 yang tidak bisa dipahami. Pada soal sebelumnya, setidaknya diketahui istilah perkembangan yang diberikan. Tapi di sini kita bahkan tidak tahu... Apa yang harus dilakukan!? Nah, apa yang harus dilakukan, apa yang harus dilakukan... Nyalakan Keterampilan kreatif!)
Kami memperkirakan bahwa 117 adalah bagian dari kemajuan kita. Dengan nomor tak dikenal N. Dan, seperti pada soal sebelumnya, mari kita coba mencari nomor ini. Itu. kami menulis rumusnya (ya, ya!)) dan mengganti nomor kami:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Sekali lagi kita ungkapkan dari rumusN, kami menghitung dan mendapatkan:
Ups! Nomornya ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan bilangan pecahan dalam perkembangannya tidak bisa. Kesimpulan apa yang bisa kita ambil? Ya! Nomor 117 tidak anggota kemajuan kita. Itu berada di antara suku keseratus pertama dan keseratus kedua. Jika bilangan tersebut ternyata natural, mis. adalah bilangan bulat positif, maka bilangan tersebut merupakan anggota barisan dengan bilangan yang ditemukan. Dan dalam kasus kami, jawaban atas masalahnya adalah: TIDAK.
Tugas berdasarkan versi GIA yang sebenarnya:
Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi:
sebuah = -4 + 6,8n
Temukan suku pertama dan kesepuluh dari perkembangan tersebut.
Di sini perkembangannya diatur dengan cara yang tidak biasa. Semacam rumus... Itu terjadi.) Namun, rumus ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika! Dia juga mengizinkan temukan anggota perkembangan mana pun berdasarkan nomornya.
Kami sedang mencari anggota pertama. Orang yang berpikir. bahwa suku pertama dikurangi empat adalah kesalahan fatal!) Karena rumus dalam soal telah diubah. Suku pertama barisan aritmatika di dalamnya tersembunyi. Tidak apa-apa, kita akan menemukannya sekarang.)
Sama seperti pada soal sebelumnya, kita melakukan substitusi n=1 ke dalam rumus ini:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Di Sini! Suku pertama adalah 2,8, bukan -4!
Kami mencari suku kesepuluh dengan cara yang sama:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Itu dia.
Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca baris-baris ini, bonus yang dijanjikan.)
Misalkan dalam situasi pertempuran yang sulit, Ujian Negara atau Ujian Negara Bersatu, Anda lupa rumus yang berguna suku ke-n suatu barisan aritmatika. Saya ingat sesuatu, tapi entah kenapa ragu-ragu... Atau N di sana, atau n+1, atau n-1... Bagaimana menjadi!?
Tenang! Rumus ini mudah diturunkan. Ini tidak terlalu ketat, tapi itu pasti cukup untuk kepercayaan diri dan keputusan yang tepat!) Untuk menarik kesimpulan, cukup mengingat makna dasar dari perkembangan aritmatika dan memiliki waktu beberapa menit. Anda hanya perlu menggambar. Untuk kejelasan.
Gambarlah garis bilangan dan tandai garis pertama di atasnya. kedua, ketiga, dan seterusnya. anggota. Dan kami mencatat perbedaannya D antar anggota. Seperti ini:
Kita melihat gambarnya dan berpikir: apa persamaan suku kedua? Kedua satu D:
A 2 =a 1 + 1 D
Apa istilah ketiga? Ketiga suku sama dengan suku pertama ditambah dua D.
A 3 =a 1 + 2 D
Apa kau mengerti? Bukan tanpa alasan saya menyorot beberapa kata dengan huruf tebal. Oke, satu langkah lagi).
Apa suku keempat? Keempat suku sama dengan suku pertama ditambah tiga D.
A 4 =a 1 + 3 D
Saatnya untuk menyadari bahwa jumlah kesenjangan, yaitu. D, Selalu kurang satu dari jumlah anggota yang Anda cari N. Artinya, ke nomor tersebut n, jumlah spasi akan n-1. Oleh karena itu, rumusnya adalah (tanpa variasi!):
| sebuah = a 1 + (n-1)d |
Secara umum gambar visual sangat membantu dalam memecahkan banyak permasalahan dalam matematika. Jangan abaikan gambarnya. Tetapi jika menggambarnya sulit, maka... hanya rumus!) Selain itu, rumus suku ke-n memungkinkan Anda menghubungkan seluruh persenjataan matematika yang kuat ke solusinya - persamaan, pertidaksamaan, sistem, dll. Anda tidak dapat memasukkan gambar ke dalam persamaan...
Tugas untuk solusi mandiri.
Untuk pemanasan:
1. Dalam perkembangan aritmatika (an) a 2 =3; sebuah 5 =5.1. Temukan 3 .
Petunjuk: sesuai gambar, soal dapat diselesaikan dalam waktu 20 detik... Sesuai rumusnya ternyata lebih sulit. Tapi untuk menguasai rumusnya, itu lebih bermanfaat.) Di Bagian 555, soal ini diselesaikan dengan menggunakan gambar dan rumus. Rasakan perbedaan nya!)
Dan ini bukan lagi pemanasan.)
2. Dalam barisan aritmatika (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Temukan a 3 .
Apa, kamu tidak ingin menggambar?) Tentu saja! Lebih baik sesuai rumusnya ya..
3. Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi:sebuah 1 = -5,5; sebuah+1 = sebuah+0,5. Tentukan suku keseratus dua puluh lima dari perkembangan ini.
Dalam tugas ini, perkembangannya ditentukan secara berulang. Tapi menghitung sampai suku keseratus dua puluh lima... Tidak semua orang mampu melakukan hal seperti itu.) Tapi rumus suku ke-n ada dalam kekuatan semua orang!
4. Diketahui barisan aritmatika (an):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Tentukan bilangan suku positif terkecil dari barisan tersebut.
5. Berdasarkan ketentuan tugas 4, tentukan jumlah suku positif terkecil dan suku negatif terbesar dari barisan tersebut.
6. Hasil kali suku kelima dan kedua belas suatu barisan aritmatika meningkat sama dengan -2,5, dan jumlah suku ketiga dan kesebelas sama dengan nol. Temukan 14 .
Bukan tugas yang termudah, ya...) Metode “ujung jari” tidak akan berfungsi di sini. Anda harus menulis rumus dan menyelesaikan persamaan.
Jawaban (berantakan):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Telah terjadi? Itu bagus!)
Tidak semuanya berhasil? Terjadi. Omong-omong, ada satu poin halus dalam tugas terakhir. Diperlukan kehati-hatian saat membaca soal. Dan logika.
Solusi untuk semua masalah ini dibahas secara rinci di Bagian 555. Dan elemen fantasi untuk yang keempat, dan poin halus untuk yang keenam, dan pendekatan umum untuk memecahkan masalah apa pun yang melibatkan rumus suku ke-n - semuanya dijelaskan. Saya merekomendasi.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Saat mempelajari aljabar di sekolah Menengah(kelas 9) salah satu topik penting adalah studi tentang barisan bilangan, yang meliputi barisan - geometri dan aritmatika. Pada artikel ini kita akan melihat barisan aritmatika dan contoh solusinya.
Apa yang dimaksud dengan perkembangan aritmatika?
Untuk memahami hal tersebut, perlu didefinisikan perkembangan yang dimaksud, serta memberikan rumus-rumus dasar yang nantinya akan digunakan dalam menyelesaikan masalah.
Perkembangan aritmatika atau aljabar adalah himpunan bilangan rasional terurut, yang setiap sukunya berbeda dari suku sebelumnya dengan suatu nilai konstan. Nilai ini disebut selisih. Artinya, dengan mengetahui anggota deret bilangan terurut dan selisihnya, Anda dapat mengembalikan seluruh perkembangan aritmatika.
Mari kita beri contoh. Barisan bilangan berikut merupakan barisan aritmatika: 4, 8, 12, 16, ..., karena selisihnya dalam hal ini adalah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi himpunan bilangan 3, 5, 8, 12, 17 tidak dapat lagi diklasifikasikan sebagai jenis barisan yang dipertimbangkan, karena selisihnya bukan merupakan nilai konstan (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Rumus Penting
Sekarang mari kita sajikan rumus dasar yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan perkembangan aritmatika. Mari kita nyatakan dengan simbol a n anggota barisan ke-n, di mana n adalah bilangan bulat. Perbedaannya kami nyatakan dengan huruf latin d. Maka ekspresi berikut ini valid:
- Untuk menentukan nilai suku ke-n, rumus berikut ini cocok: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Untuk menentukan jumlah n suku pertama: S n = (a n +a 1)*n/2.
Untuk memahami contoh perkembangan aritmatika dengan solusi di kelas 9, cukup mengingat kedua rumus ini, karena setiap masalah dari jenis yang dipertimbangkan didasarkan pada penggunaannya. Perlu juga diingat bahwa selisih perkembangan ditentukan dengan rumus: d = a n - a n-1.
Contoh #1: menemukan istilah yang tidak diketahui
Mari kita berikan contoh sederhana barisan aritmatika dan rumus-rumus yang perlu digunakan untuk menyelesaikannya.
Misalkan barisan 10, 8, 6, 4, ... diberikan, Anda perlu mencari lima suku di dalamnya.
Dari kondisi soal sudah diketahui 4 suku pertama. Yang kelima dapat didefinisikan dalam dua cara:
- Mari kita hitung dulu selisihnya. Kita mempunyai: d = 8 - 10 = -2. Demikian pula, Anda dapat mengajak dua anggota lainnya berdiri bersebelahan. Misalnya d = 4 - 6 = -2. Karena diketahui d = a n - a n-1, maka d = a 5 - a 4, sehingga diperoleh: a 5 = a 4 + d. Kami mengganti nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Cara kedua juga membutuhkan pengetahuan tentang selisih perkembangan yang dimaksud, jadi Anda perlu menentukannya terlebih dahulu seperti gambar di atas (d = -2). Mengetahui suku pertama a 1 = 10, kita menggunakan rumus n bilangan barisan tersebut. Kita mempunyai: an = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Mengganti n = 5 ke dalam ekspresi terakhir, kita mendapatkan: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Seperti yang Anda lihat, kedua solusi tersebut memberikan hasil yang sama. Perhatikan bahwa dalam contoh ini perbedaan perkembangan d adalah nilai negatif. Barisan seperti ini disebut barisan menurun, karena setiap suku berikutnya lebih kecil dari suku sebelumnya.
Contoh #2: perbedaan perkembangan
Sekarang mari kita sedikit memperumit tugasnya, mari kita beri contoh caranya
Diketahui bahwa pada beberapa suku ke-1 sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Kita perlu mencari selisihnya dan mengembalikan barisan ini ke suku ke-7.
Mari kita gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Mari kita substitusikan data yang diketahui dari kondisi tersebut ke dalamnya, yaitu bilangan a 1 dan a 7, kita peroleh: 18 = 6 + 6 * d. Dari persamaan ini Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) /6 = 2. Jadi, kita telah menjawab soal bagian pertama.
Untuk mengembalikan barisan tersebut ke suku ke-7, sebaiknya menggunakan definisi barisan aljabar, yaitu a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Hasilnya, kita mengembalikan seluruh barisan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Contoh No. 3: menyusun perkembangan
Mari kita membuat masalah ini semakin rumit. Sekarang kita perlu menjawab pertanyaan bagaimana mencari barisan aritmatika. Contoh berikut dapat diberikan: diberikan dua bilangan, misalnya - 4 dan 5. Perlu dibuat barisan aljabar sehingga tiga suku lagi ditempatkan di antara keduanya.
Sebelum Anda mulai memecahkan masalah ini, Anda perlu memahami tempat apa yang akan ditempati oleh angka-angka ini dalam perkembangan di masa depan. Karena akan ada tiga suku lagi di antara keduanya, maka a 1 = -4 dan a 5 = 5. Setelah menetapkan ini, kita beralih ke soal yang mirip dengan soal sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n kita menggunakan rumus, kita mendapatkan: a 5 = a 1 + 4 * d. Dari: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Apa yang kita peroleh di sini bukanlah nilai bilangan bulat dari selisihnya, melainkan nilai bilangan bulat bilangan rasional, jadi rumus barisan aljabarnya tetap sama.
Sekarang mari kita tambahkan perbedaan yang ditemukan ke 1 dan kembalikan suku-suku perkembangan yang hilang. Kita peroleh: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, yang bertepatan dengan kondisi permasalahannya.
Contoh No. 4: perkembangan suku pertama
Mari kita terus memberikan contoh barisan aritmatika beserta penyelesaiannya. Dalam semua soal sebelumnya, bilangan pertama dari perkembangan aljabar telah diketahui. Sekarang mari kita perhatikan jenis soal yang berbeda: misalkan diberikan dua bilangan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Kita perlu mencari bilangan mana yang memulai barisan ini.
Rumus yang digunakan sejauh ini mengasumsikan pengetahuan tentang a 1 dan d. Dalam rumusan masalah, tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini. Namun demikian, kami akan menuliskan ekspresi untuk setiap suku yang informasinya tersedia: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami menerima dua persamaan di mana ada 2 besaran yang tidak diketahui (a 1 dan d). Artinya masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linear.
Cara termudah untuk menyelesaikan sistem ini adalah dengan menyatakan angka 1 pada setiap persamaan dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, maka selisih d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (hanya diberikan 3 tempat desimal).
Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1. Misal pertama: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Jika Anda ragu dengan hasil yang diperoleh, Anda dapat memeriksanya, misalnya menentukan suku ke-43 dari perkembangan yang ditentukan dalam kondisi. Didapatkan: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Kesalahan kecil ini disebabkan oleh fakta bahwa pembulatan ke seperseribu digunakan dalam perhitungan.
Contoh No. 5: jumlah
Sekarang mari kita lihat beberapa contoh solusi jumlah barisan aritmatika.
Misalkan diberikan suatu perkembangan numerik dalam bentuk berikut: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 angka-angka ini?
Berkat perkembangan teknologi komputer Anda dapat mengatasi masalah ini, yaitu menjumlahkan semua angka secara berurutan, yang akan langsung dilakukan komputer segera setelah seseorang menekan tombol Enter. Namun permasalahan tersebut dapat diselesaikan secara mental jika memperhatikan bahwa deret bilangan yang disajikan merupakan barisan aljabar, dan selisihnya sama dengan 1. Dengan menerapkan rumus penjumlahan, kita memperoleh: S n = n * (a 1 + dan) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Menarik untuk dicatat bahwa masalah ini disebut "Gaussian" karena dalam awal abad ke-18 abad, orang Jerman yang terkenal, ketika masih berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya di kepalanya dalam beberapa detik. Anak laki-laki tersebut tidak mengetahui rumus jumlah suatu barisan aljabar, tetapi ia memperhatikan bahwa jika Anda menjumlahkan bilangan-bilangan di ujung barisan secara berpasangan, Anda selalu mendapatkan hasil yang sama, yaitu 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlahnya tepat 50 (100/2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar cukup mengalikan 50 dengan 101.
Contoh No. 6: jumlah suku dari n sampai m
Contoh umum lainnya dari jumlah suatu barisan aritmatika adalah sebagai berikut: jika diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu mencari jumlah suku-sukunya dari 8 hingga 14 yang akan sama dengan .
Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan pencarian suku-suku yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Karena istilahnya sedikit, metode ini tidak memakan banyak tenaga. Namun demikian, diusulkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan metode kedua, yang lebih universal.
Idenya adalah untuk memperoleh rumus jumlah barisan aljabar antara suku m dan n, dengan n > m adalah bilangan bulat. Untuk kedua kasus tersebut, kami menulis dua ekspresi untuk penjumlahannya:
- S m = m * (saya + a 1) / 2.
- S n = n * (an + a 1) / 2.
Karena n > m, jelaslah bahwa jumlah ke-2 termasuk jumlah pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil selisih antara jumlah-jumlah ini dan menambahkan suku m ke dalamnya (dalam hal mengambil selisihnya, dikurangi dari jumlah S n), kita akan memperoleh jawaban yang diperlukan untuk soal tersebut. Kita mempunyai: S mn = S n - S m + am =n * (a 1 + an) / 2 - m *(a 1 + am)/2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n/2 + pagi * (1- m/2). Rumus a n dan m perlu disubstitusikan ke dalam ekspresi ini. Maka kita mendapatkan: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Rumus yang dihasilkan agak rumit, namun jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kita, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Substitusikan bilangan-bilangan ini, kita peroleh: S mn = 301.
Seperti terlihat dari penyelesaian di atas, semua soal didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah himpunan suku pertama. Sebelum mulai menyelesaikan salah satu masalah ini, Anda disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang perlu Anda temukan, dan baru kemudian melanjutkan dengan solusinya.
Tip lainnya adalah mengupayakan kesederhanaan, yaitu jika Anda dapat menjawab suatu pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematis yang rumit, maka Anda perlu melakukan hal itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, pada contoh barisan aritmatika dengan solusi No. 6, kita dapat berhenti pada rumus S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, dan merusak tugas umum menjadi subtugas terpisah (dalam hal ini, temukan dulu suku a n dan a m).
Jika Anda ragu dengan hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh yang diberikan. Kami menemukan cara menemukan perkembangan aritmatika. Jika Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit.
Matematika mempunyai keindahan tersendiri, seperti halnya lukisan dan puisi.
Ilmuwan Rusia, mekanik N.E. Zhukovsky
Tugas yang sangat umum di ujian masuk dalam matematika adalah permasalahan yang berkaitan dengan konsep barisan aritmatika. Agar berhasil menyelesaikan soal-soal tersebut, Anda harus memiliki pengetahuan yang baik tentang sifat-sifat barisan aritmatika dan memiliki keterampilan tertentu dalam penerapannya.
Mari kita mengingat kembali sifat-sifat dasar barisan aritmatika dan menyajikan rumus-rumus yang paling penting, terkait dengan konsep ini.
Definisi. Urutan nomor, di mana setiap suku berikutnya berbeda dari suku sebelumnya dengan bilangan yang sama, disebut barisan aritmatika. Dalam hal ini nomornyadisebut perbedaan perkembangan.
Untuk perkembangan aritmatika, rumus berikut ini valid:
, (1)
Di mana . Rumus (1) disebut rumus suku umum suatu barisan aritmatika, dan rumus (2) menyatakan sifat utama suatu barisan aritmatika: setiap suku barisan tersebut bertepatan dengan rata-rata aritmatika suku-suku tetangganya dan .
Perhatikan bahwa justru karena sifat inilah perkembangan yang dipertimbangkan disebut “aritmatika”.
Rumus (1) dan (2) di atas digeneralisasikan sebagai berikut:
(3)
Untuk menghitung jumlahnya Pertama suku-suku barisan aritmatikarumus yang biasa digunakan
(5) dimana dan .
Jika kita memperhitungkan rumus (1), maka dari rumus (5) berikut ini
Jika kita menyatakan , maka
Di mana . Karena , rumus (7) dan (8) merupakan generalisasi dari rumus yang bersangkutan (5) dan (6).
Secara khusus , dari rumus (5) sebagai berikut, Apa
Yang kurang diketahui oleh sebagian besar siswa adalah sifat-sifat barisan aritmatika, yang dirumuskan melalui teorema berikut.
Dalil. Jika kemudian
Bukti. Jika kemudian
Teorema tersebut telah terbukti.
Misalnya , menggunakan teorema, dapat ditunjukkan bahwa
Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan contoh-contoh tipikal penyelesaian masalah pada topik “Perkembangan Aritmatika”.
Contoh 1. Biarlah. Menemukan .
Larutan. Menerapkan rumus (6), kita memperoleh . Sejak dan , maka atau .
Contoh 2. Misalkan tiga kali lebih besar, dan jika dibagi dengan hasil bagi, hasilnya adalah 2 dan sisanya 8. Tentukan dan .
Larutan. Dari kondisi contoh berikut sistem persamaannya
Karena , , dan , maka dari sistem persamaan (10) kita peroleh
Penyelesaian sistem persamaan ini adalah dan .
Contoh 3. Temukan jika dan .
Larutan. Menurut rumus (5) kita memiliki atau . Namun, dengan menggunakan properti (9), kita memperoleh .
Sejak dan , maka dari persamaan persamaannya berikut ini atau .
Contoh 4. Temukan jika .
Larutan.Menurut rumus (5) yang kita miliki
Namun, dengan menggunakan teorema tersebut, kita dapat menulis
Dari sini dan dari rumus (11) kita peroleh .
Contoh 5. Diberikan: . Menemukan .
Larutan. Dari dulu. Namun, oleh karena itu.
Contoh 6. Biarkan , dan . Menemukan .
Larutan. Dengan menggunakan rumus (9), kita memperoleh . Oleh karena itu, jika , maka atau .
Sejak dan maka di sini kita memiliki sistem persamaan
Memecahkan yang mana, kita mendapatkan dan .
Akar alami persamaan adalah .
Contoh 7. Temukan jika dan .
Larutan. Karena menurut rumus (3) kita mempunyai , maka sistem persamaan mengikuti kondisi masalah
Jika kita mengganti ekspresi tersebutke persamaan kedua sistem, lalu kita dapatkan atau .
Akar persamaan kuadrat adalah Dan .
Mari kita pertimbangkan dua kasus.
1. Biarkan , lalu . Sejak dan , lalu .
Dalam hal ini, menurut rumus (6), kita punya
2. Jika , maka , dan
Jawaban: dan.
Contoh 8. Diketahui bahwa dan. Menemukan .
Larutan. Dengan memperhatikan rumus (5) dan kondisi contoh, kita tulis dan .
Ini menyiratkan sistem persamaan
Jika kita mengalikan persamaan pertama sistem dengan 2 dan kemudian menambahkannya ke persamaan kedua, kita mendapatkan
Menurut rumus (9) yang kita miliki. Dalam hal ini, berikut dari (12) atau .
Sejak dan , lalu .
Menjawab: .
Contoh 9. Temukan jika dan .
Larutan. Sejak , dan dengan syarat , maka atau .
Dari rumus (5) diketahui, Apa . Dari dulu.
Karena itu , di sini kita memiliki sistem persamaan linear
Dari sini kita mendapatkan dan . Dengan mempertimbangkan rumus (8), kami menulis .
Contoh 10. Selesaikan persamaannya.
Larutan. Dari persamaan yang diberikan mengikuti itu. Mari kita berasumsi bahwa , , dan . Pada kasus ini .
Menurut rumus (1), kita dapat menulis atau .
Karena , maka persamaan (13) mempunyai satu-satunya akar yang sesuai.
Contoh 11. Temukan nilai maksimum asalkan dan .
Larutan. Sejak , maka perkembangan aritmatika yang dipertimbangkan menurun. Dalam hal ini, persamaan tersebut memperoleh nilai maksimumnya jika merupakan bilangan suku positif minimum dari perkembangan tersebut.
Mari kita gunakan rumus (1) dan faktanya, itu dan . Lalu kita mendapatkan itu atau .
Sejak , lalu atau . Namun, dalam ketimpangan inibilangan asli terbesar, Itu sebabnya.
Jika nilai , dan disubstitusikan ke dalam rumus (6), kita peroleh .
Menjawab: .
Contoh 12. Tentukan jumlah semua dua angka tersebut bilangan asli, yang bila dibagi 6 menyisakan 5.
Larutan. Mari kita nyatakan dengan himpunan semua bilangan asli dua digit, yaitu. . Selanjutnya, kita akan membuat himpunan bagian yang terdiri dari unsur-unsur (bilangan) himpunan yang bila dibagi dengan bilangan 6 akan menghasilkan sisa 5.
Mudah dipasang, Apa . Jelas sekali , bahwa unsur-unsur himpunan tersebutmembentuk barisan aritmatika, di mana dan .
Untuk menetapkan kardinalitas (jumlah elemen) suatu himpunan, kita asumsikan bahwa . Karena dan , maka mengikuti rumus (1) atau . Dengan mempertimbangkan rumus (5), kita memperoleh .
Contoh pemecahan masalah di atas sama sekali tidak bisa dianggap lengkap. Artikel ini ditulis berdasarkan analisis metode modern memecahkan masalah khas pada topik tertentu. Untuk mempelajari lebih mendalam tentang metode penyelesaian masalah yang berkaitan dengan perkembangan aritmatika, disarankan untuk merujuk pada daftar literatur yang direkomendasikan.
1. Kumpulan Soal Matematika untuk Pelamar Perguruan Tinggi / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Perdamaian dan Pendidikan, 2013. – 608 hal.
2. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: bagian tambahan kurikulum sekolah. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 hal.
3. Medinsky M.M. Tentu saja penuh matematika dasar dalam soal dan latihan. Buku 2: Urutan angka dan kemajuan. – M.: Editus, 2015. – 208 hal.
Masih ada pertanyaan?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Jumlah perkembangan aritmatika.
Penjumlahan suatu barisan aritmatika adalah hal yang sederhana. Baik arti maupun rumusnya. Tapi ada berbagai macam tugas tentang topik ini. Dari dasar hingga cukup solid.
Mari kita pahami dulu pengertian dan rumus besarannya. Dan kemudian kita akan memutuskan. Untuk kesenangan Anda sendiri.) Arti dari jumlah itu sesederhana moo. Untuk mencari jumlah suatu barisan aritmatika, Anda hanya perlu menjumlahkan semua sukunya dengan cermat. Jika suku-sukunya sedikit, Anda dapat menambahkannya tanpa rumus apa pun. Tetapi jika jumlahnya banyak, atau banyak... penambahannya menjengkelkan.) Dalam hal ini, rumusnya akan membantu.
Rumus besarannya sederhana:
Mari kita cari tahu huruf apa saja yang termasuk dalam rumus. Ini akan memperjelas banyak hal.
S n - jumlah perkembangan aritmatika. Hasil tambahan setiap orang anggota, dengan Pertama Oleh terakhir. Itu penting. Jumlahnya tepat Semua anggota berturut-turut, tanpa melewatkan atau melewatkan. Dan tepatnya, dimulai dari Pertama. Dalam soal seperti mencari jumlah suku ketiga dan kedelapan, atau jumlah suku kelima hingga kedua puluh, penerapan rumus secara langsung akan mengecewakan.)
sebuah 1 - Pertama anggota kemajuan. Semuanya jelas di sini, sederhana saja Pertama nomor baris.
sebuah- terakhir anggota kemajuan. Nomor terakhir dari seri. Bukan nama yang terlalu familiar, tapi jika diterapkan pada jumlahnya, cocok sekali. Kemudian Anda akan melihatnya sendiri.
N - nomor anggota terakhir. Penting untuk dipahami bahwa rumus ini berisi angka ini bertepatan dengan jumlah suku yang ditambahkan.
Mari kita definisikan konsepnya terakhir anggota sebuah. Pertanyaan rumit: anggota mana yang akan menjadi yang terakhir jika diberikan tak ada habisnya perkembangan aritmatika?)
Untuk menjawab dengan percaya diri, Anda perlu memahami arti dasar perkembangan aritmatika dan... bacalah tugas dengan cermat!)
Dalam tugas mencari jumlah suatu barisan aritmatika, suku terakhir selalu muncul (langsung atau tidak langsung), yang seharusnya dibatasi. Jika tidak, jumlah final dan spesifik tidak ada. Untuk penyelesaiannya, tidak masalah apakah perkembangannya diberikan: berhingga atau tak terhingga. Tidak peduli bagaimana cara pemberiannya: serangkaian angka, atau rumus suku ke-n.
Yang paling penting adalah memahami bahwa rumus tersebut bekerja dari suku pertama deret ke suku dengan bilangan N. Sebenarnya nama lengkap rumusnya seperti ini: jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika. Jumlah anggota pertama ini, yaitu. N, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam sebuah tugas, semua informasi berharga ini sering kali dienkripsi ya... Tapi sudahlah, pada contoh di bawah ini kami mengungkap rahasia tersebut.)
Contoh soal penjumlahan barisan aritmatika.
Pertama, informasi bermanfaat:
Kesulitan utama dalam tugas-tugas yang melibatkan jumlah barisan aritmatika terletak pada penentuan unsur-unsur rumus yang benar.
Tugas penulis mengenkripsi elemen-elemen ini dengan imajinasi tanpa batas.) Hal utama di sini adalah jangan takut. Memahami esensi elemen, cukup menguraikannya saja. Mari kita lihat beberapa contoh secara detail. Mari kita mulai dengan tugas berdasarkan GIA yang sebenarnya.
1. Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi: a n = 2n-3.5. Tentukan jumlah 10 suku pertamanya.
Kerja bagus. Gampang.) Untuk menentukan besarannya menggunakan rumus apa saja yang perlu kita ketahui? Anggota pertama sebuah 1, semester terakhir sebuah, ya nomor anggota terakhir N.
Dimana saya bisa mendapatkan nomor anggota terakhir? N? Ya, di sana, dengan syarat! Bunyinya: temukan jumlahnya 10 anggota pertama. Nah, dengan nomor berapa? terakhir, anggota kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nomornya kesepuluh!) Oleh karena itu, alih-alih sebuah Kami akan menggantinya ke dalam rumus sebuah 10, dan sebagai gantinya N- sepuluh. Saya ulangi, jumlah anggota terakhir sama dengan jumlah anggota.
Masih harus ditentukan sebuah 1 Dan sebuah 10. Ini mudah dihitung menggunakan rumus suku ke-n, yang diberikan dalam rumusan masalah. Tidak tahu bagaimana melakukan ini? Hadiri pelajaran sebelumnya, tanpa ini tidak ada jalan.
sebuah 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
sebuah 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Kita telah menemukan arti semua elemen rumus jumlah barisan aritmatika. Yang tersisa hanyalah menggantinya dan menghitung:
Itu dia. Jawaban: 75.
Tugas lain berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:
2. Diketahui barisan aritmatika (an) yang selisihnya 3,7; sebuah 1 =2.3. Tentukan jumlah 15 suku pertamanya.
Kita langsung tuliskan rumus penjumlahannya:
Rumus ini memungkinkan kita mencari nilai suku apa pun berdasarkan nomornya. Kami mencari substitusi sederhana:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Tetap mengganti semua elemen ke dalam rumus jumlah perkembangan aritmatika dan menghitung jawabannya:
Jawaban: 423.
Omong-omong, jika dalam rumus penjumlahan, bukan sebuah Kita cukup mengganti rumus suku ke-n dan mendapatkan:
Mari kita sajikan rumus serupa dan dapatkan rumus baru untuk jumlah suku suatu barisan aritmatika:
 |
Seperti yang Anda lihat, suku ke-n tidak diperlukan di sini sebuah. Dalam beberapa soal rumus ini sangat membantu ya... Anda bisa mengingat rumus ini. Atau Anda cukup menampilkannya di waktu yang tepat, seperti di sini. Lagi pula, Anda harus selalu mengingat rumus jumlah dan rumus suku ke-n.)
Sekarang tugasnya berupa enkripsi singkat):
3. Temukan jumlah semua positif angka dua digit, kelipatan tiga.
Wow! Baik anggota pertama Anda, maupun anggota terakhir Anda, atau kemajuan sama sekali... Bagaimana cara hidup!?
Anda harus berpikir dengan kepala Anda dan mengeluarkan semua elemen jumlah perkembangan aritmatika dari kondisi tersebut. Kita tahu apa itu angka dua digit. Mereka terdiri dari dua angka.) Berapakah angka dua digitnya Pertama? 10, mungkin.) A hal terakhir angka dua digit? 99, tentu saja! Yang tiga digit akan mengikutinya...
Kelipatan tiga... Hm... Ini bilangan-bilangan yang habis dibagi tiga, nih! Sepuluh tidak habis dibagi tiga, 11 tidak habis dibagi... 12... habis dibagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah dapat menuliskan rangkaian sesuai dengan kondisi soal:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Apakah deret tersebut merupakan barisan aritmatika? Tentu! Setiap istilah berbeda dari yang sebelumnya hanya tiga. Jika Anda menambahkan 2 atau 4 ke suatu suku, katakanlah hasilnya, mis. bilangan baru tersebut sudah tidak habis dibagi 3. Anda dapat langsung menentukan selisih barisan aritmatikanya: d = 3. Ini akan berguna!)
Jadi, kita dapat dengan aman menuliskan beberapa parameter perkembangan:
Berapa nomornya? N anggota terakhir? Siapa pun yang berpikir bahwa 99 adalah kesalahan fatal... Angkanya selalu berurutan, tapi anggota kami melompati tiga. Mereka tidak cocok.
Ada dua solusi di sini. Salah satu caranya adalah untuk pekerja super keras. Anda dapat menuliskan perkembangannya, seluruh rangkaian angkanya, dan menghitung jumlah anggotanya dengan jari Anda.) Cara kedua adalah untuk yang bijaksana. Anda perlu mengingat rumus suku ke-n. Jika kita menerapkan rumus tersebut pada soal kita, kita akan menemukan bahwa 99 adalah suku ketiga puluh dari barisan tersebut. Itu. n = 30.
Mari kita lihat rumus jumlah barisan aritmatika:
Kami melihat dan bersukacita.) Kami mengeluarkan dari rumusan masalah semua yang diperlukan untuk menghitung jumlahnya:
sebuah 1= 12.
sebuah 30= 99.
S n = S 30.
Yang tersisa hanyalah aritmatika dasar. Kami mengganti angka-angka tersebut ke dalam rumus dan menghitung:
Jawaban: 1665
Jenis teka-teki populer lainnya:
4. Diketahui barisan aritmatika:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Temukan jumlah suku dari dua puluh hingga tiga puluh empat.
Kami melihat rumus jumlahnya dan... kami kesal.) Izinkan saya mengingatkan Anda, rumusnya menghitung jumlahnya dari yang pertama anggota. Dan dalam soal Anda perlu menghitung jumlahnya sejak tanggal dua puluh... Rumusnya tidak akan berhasil.
Anda tentu saja dapat menuliskan seluruh perkembangannya dalam satu rangkaian, dan menambahkan suku dari 20 hingga 34. Tapi... itu agak bodoh dan memakan waktu lama, bukan?)
Ada solusi yang lebih elegan. Mari kita bagi seri kita menjadi dua bagian. Bagian pertama adalah dari semester pertama hingga semester sembilan belas. Bagian kedua - dari dua puluh menjadi tiga puluh empat. Jelas jika kita menghitung jumlah suku bagian pertama S 1-19, mari kita tambahkan dengan jumlah suku-suku bagian kedua S 20-34, kita mendapatkan jumlah perkembangan dari suku pertama hingga suku ketiga puluh empat S 1-34. Seperti ini:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Dari sini kita dapat melihat bahwa temukan jumlahnya S 20-34 dapat dilakukan dengan pengurangan sederhana
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Kedua jumlah di sisi kanan dipertimbangkan dari yang pertama anggota, yaitu rumus penjumlahan standar cukup dapat diterapkan pada mereka. Mari kita mulai?
Kami mengekstrak parameter perkembangan dari pernyataan masalah:
d = 1,5.
sebuah 1= -21,5.
Untuk menghitung jumlah 19 suku pertama dan 34 suku pertama, kita memerlukan suku ke-19 dan ke-34. Kita menghitungnya menggunakan rumus suku ke-n, seperti pada soal 2:
sebuah 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
sebuah 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Tidak ada yang tersisa. Dari jumlah 34 suku, kurangi jumlah 19 suku:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Jawaban: 262.5
Satu catatan penting! Ada trik yang sangat berguna untuk mengatasi masalah ini. Daripada perhitungan langsung apa yang Anda butuhkan (S 20-34), kami menghitung sesuatu yang tampaknya tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka memutuskan S 20-34, membuang yang tidak perlu dari hasil keseluruhan. “Tipuan dengan telinga” semacam ini sering kali menyelamatkan Anda dari masalah yang buruk.)
Dalam pelajaran ini kita melihat soal-soal yang cukup untuk memahami arti jumlah suatu barisan aritmatika. Nah, Anda perlu mengetahui beberapa rumus.)
Saat menyelesaikan masalah apa pun yang melibatkan jumlah barisan aritmatika, saya sarankan segera menuliskan dua rumus utama dari topik ini.
Rumus suku ke-n:
Rumus-rumus ini akan segera memberi tahu Anda apa yang harus dicari dan ke arah mana harus berpikir untuk menyelesaikan masalah. Membantu.
Dan sekarang tugas untuk diselesaikan secara mandiri.
5. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang tidak habis dibagi tiga.
Keren?) Petunjuknya tersembunyi di catatan soal 4. Nah, soal 3 akan membantu.
6. Perkembangan aritmatika diberikan dengan syarat: a 1 = -5,5; sebuah+1 = sebuah+0,5. Tentukan jumlah 24 suku pertamanya.
Tidak biasa?) Ini rumus kekambuhan. Anda dapat membacanya pada pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan linknya, masalah seperti itu sering ditemukan di Akademi Ilmu Pengetahuan Negeri.
7. Vasya menabung uang untuk liburan. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberikan beberapa hari kebahagiaan kepada orang yang saya cintai (diri saya sendiri). Hiduplah dengan indah tanpa menyangkal apa pun. Habiskan 500 rubel pada hari pertama, dan pada setiap hari berikutnya belanjakan 50 rubel lebih banyak dari hari sebelumnya! Sampai uangnya habis. Berapa hari kebahagiaan yang dialami Vasya?
Apakah sulit?) Rumus tambahan dari soal 2 akan membantu.
Jawaban (berantakan): 7, 3240, 6.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
