Diagram Euler-Venn - alat visual untuk bekerja dengan set. Diagram ini menunjukkan semuanya pilihan yang memungkinkan perpotongan himpunan. Banyaknya persimpangan (luas) n ditentukan dengan rumus:
n=2N,
di mana N adalah jumlah himpunan.
Jadi, jika soal menggunakan dua himpunan, maka n=2 2 =4, jika ada tiga himpunan, maka n=2 3 =8, jika ada empat himpunan, maka n=2 4 =16. Oleh karena itu, diagram Euler-Venn digunakan terutama untuk dua atau tiga himpunan.
Himpunan digambarkan sebagai lingkaran (jika digunakan 2-3 himpunan) dan elips (jika digunakan 4 himpunan) ditempatkan pada persegi panjang (alam semesta).
Himpunan semesta (alam semesta) U (dalam konteks suatu masalah) - himpunan yang berisi semua elemen masalah yang sedang dipertimbangkan: elemen dari semua himpunan masalah dan elemen yang tidak termasuk di dalamnya.
Set kosong Ø(dalam konteks suatu masalah) - himpunan yang tidak mengandung satu elemen pun dari masalah yang sedang dipertimbangkan.
Himpunan yang berpotongan dibangun pada diagram dan diapit dalam alam semesta. Daerah diidentifikasi, yang jumlahnya sama dengan jumlah persimpangan.
Diagram Euler-Venn juga digunakan untuk representasi visual operasi logis.
Mari kita lihat contoh pembuatan diagram Euler-Venn untuk dua dan tiga himpunan.
Contoh 1
Alam Semesta U=(0,1,2,3,4,5,6)
Diagram Euler-Venn untuk dua himpunan A dan B:
Contoh 2
Misalkan terdapat himpunan bilangan berikut:
Alam Semesta U=(0,1,2,3,4,5,6,7)
Diagram Euler-Venn untuk tiga himpunan A, B, C:
Mari kita tentukan luas dan bilangan-bilangannya:
| A |
B |
C |
Penamaan wilayah | Angka |
|---|---|---|---|---|
| 0 |
0 |
0 |
0) | 0 |
| 0 |
0 |
1 |
1) | 7 |
| 0 |
1 |
0 |
2) | 5 |
| 0 |
1 |
1 |
3) | 6 |
| 1 |
0 |
0 |
4) | 2 |
| 1 |
0 |
1 |
5) | 1 |
| 1 |
1 |
0 |
6) | 4 |
| 1 |
1 |
1 |
7) | 3 |
Contoh 3
Misalkan terdapat himpunan bilangan berikut:
SEBUAH=(0,1,2,3,4,5,6,7)
B=(3,4,5,7,8,9,10,13)
C=(0,2,3,7,8,10,11,12)
D=(0,3,4,6,9,10,11,14)
Alam Semesta U=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)
Diagram Euler-Venn untuk empat himpunan A, B, C, D:
Mari kita tentukan luas dan bilangan-bilangannya:
| A |
B |
C |
D | Penamaan wilayah | Angka |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 |
0 |
0 |
0 | 0) | 15 |
| 0 |
0 |
0 |
1 | 1) | 14 |
| 0 |
0 |
1 |
0 | 2) | 12 |
| 0 |
0 |
1 |
1 | 3) | 11 |
| 0 |
1 |
0 |
0 | 4) | 13 |
| 0 |
1 |
0 |
1 | 5) | 9 |
| 0 |
1 |
1 |
0 | 6) | 8 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 7) | 10 |
| 1 |
0 |
0 |
0 | 8) | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 9) | 6 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 10) | 2 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 11) | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 12) | 5 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 13) | 4 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 14) | 7 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 15) | 3 |
Jika Anda ingin menyelesaikan masalah umum di set, buka artikelnya.
Beberapa masalah dapat diselesaikan dengan mudah dan jelas menggunakan diagram Euler-Venn. Misalnya saja soal-soal yang melibatkan himpunan. Jika Anda belum mengetahui apa itu diagram Euler-Venn dan cara membuatnya, bacalah terlebih dahulu.
Sekarang mari kita lihat permasalahan umum tentang himpunan.
Tugas 1.
Di sekolah dengan studi mendalam bahasa asing melakukan survei terhadap 100 siswa. Para siswa ditanyai pertanyaan: “Apa bahasa asing apakah kamu belajar?" Ternyata 48 siswa belajar bahasa Inggris, 26 - Perancis, 28 - Jerman. 8 siswa belajar bahasa Inggris dan Jerman, 8 - Inggris dan Perancis, 13 - Perancis dan Jerman. 24 siswa tidak belajar bahasa Inggris atau Perancis, juga tidak Jerman Berapa banyak anak sekolah yang menyelesaikan survei yang mempelajari tiga bahasa sekaligus: Inggris, Prancis, dan Jerman?
Jawaban: 3.
Larutan:
- banyak anak sekolah yang belajar bahasa Inggris (“A”);
- banyak anak sekolah yang belajar bahasa Prancis (“F”);
- banyak anak sekolah yang belajar bahasa Jerman ("N").
Mari kita gambarkan dengan menggunakan diagram Euler-Venn apa yang diberikan kepada kita sesuai dengan kondisinya.
Mari kita nyatakan luas yang diinginkan A=1, Ф=1, Н=1 sebagai “x” (pada tabel di bawah, luas No. 7). Mari kita nyatakan luas sisanya dalam x.
0) Wilayah A=0, Ф=0, Н=0: 24 anak sekolah - diberikan sesuai dengan kondisi soal.
1) Luas A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x anak sekolah.
2) Luas A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x anak sekolah.
3) Luas A=0, F=1, N=1 : 13 anak sekolah.
4) Luas A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x anak sekolah.
5) Luas A=1, F=0, H=1 : 8 anak sekolah.
6) Luas A=1, F=1, H=0 : 8 anak sekolah.
| № wilayah | A |
F |
N |
Kuantitas anak sekolah |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
24 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
7+x |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
5+x |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
tanggal 13 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
32+x |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
8 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
8 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
X |
Mari kita definisikan x:
24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.
x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.
Kami menemukan bahwa 3 anak sekolah mempelajari tiga bahasa sekaligus: Inggris, Prancis, dan Jerman.
Seperti inilah diagram Euler-Venn untuk x yang diketahui:
Tugas 2.
Pada Olimpiade Matematika, anak-anak sekolah diminta menyelesaikan tiga soal: satu soal aljabar, satu soal geometri, satu lagi soal trigonometri. 1000 anak sekolah mengikuti olimpiade tersebut. Hasil olimpiade sebagai berikut: 800 peserta menyelesaikan soal aljabar, 700 peserta menyelesaikan soal geometri, 600 peserta menyelesaikan soal aljabar dan geometri, 600 peserta menyelesaikan soal aljabar dan geometri, 500 peserta menyelesaikan soal aljabar dan trigonometri, 400 peserta menyelesaikan soal aljabar dan trigonometri, 400 peserta menyelesaikan soal aljabar dan trigonometri. 300 orang memecahkan masalah aljabar, geometri dan trigonometri. Berapa banyak anak sekolah yang tidak menyelesaikan satu masalah pun?
Jawaban: 100.
Larutan:
Pertama, kita mendefinisikan himpunan dan memperkenalkan notasi. Ada tiga di antaranya:
- banyak soal dalam aljabar ("A");
- banyak masalah dalam geometri ("G");
- banyak masalah dalam trigonometri ("T").
Mari kita gambarkan apa yang perlu kita temukan:
Mari kita tentukan jumlah anak sekolah di semua bidang yang memungkinkan.
Mari kita nyatakan luas yang diinginkan A=0, G=0, T=0 sebagai “x” (pada tabel di bawah, luas No. 0).
Mari kita cari area yang tersisa:
1) Luas A=0, G=0, T=1: tidak ada anak sekolah.
2) Luas A=0, G=1, T=0: tidak ada anak sekolah.
3) Luas A=0, G=1, T=1: 100 anak sekolah.
4) Luas A=1, G=0, T=0: tidak ada anak sekolah.
5) Wilayah A=1, G=0, T=1: 200 anak sekolah.
6) Luas A=1, D=1, T=0: 300 anak sekolah.
7) Wilayah A=1, G=1, T=1: 300 anak sekolah.
Mari kita tuliskan nilai luasnya ke dalam tabel:
| № wilayah | A |
G |
T |
Kuantitas anak sekolah |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
X |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
0 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
100 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
200 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
300 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
300 |
Mari kita tampilkan nilai semua area menggunakan diagram:
Mari kita definisikan x:
x=U-(A V Г V Т), dengan U adalah alam semesta.
A V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.
Kami menemukan bahwa 100 anak sekolah tidak menyelesaikan satu masalah pun.
Tugas 3.
Pada Olimpiade Fisika, anak-anak sekolah diminta menyelesaikan tiga soal: satu soal kinematika, satu soal termodinamika, dan satu lagi soal optik. Hasil olimpiade sebagai berikut: 400 peserta menyelesaikan soal kinematika, 350 peserta termodinamika, 300 peserta menyelesaikan soal optik, 300 anak sekolah menyelesaikan soal kinematika dan termodinamika, 200 peserta menyelesaikan soal kinematika dan optik, 150 peserta menyelesaikan soal termodinamika dan optik. 100 orang memecahkan masalah di bidang kinematika, termodinamika dan optik. Berapa banyak anak sekolah yang memecahkan dua soal?
Jawaban: 350.
Larutan:
Pertama, kita mendefinisikan himpunan dan memperkenalkan notasi. Ada tiga di antaranya:
- banyak masalah dalam kinematika (“K”);
- banyak masalah dalam termodinamika ("T");
- banyak masalah di bidang optik ("O").
Mari kita gambarkan dengan menggunakan diagram Euler-Venn apa yang diberikan kepada kita sesuai dengan kondisi:
Mari kita gambarkan apa yang perlu kita temukan:
Mari kita tentukan jumlah anak sekolah di semua bidang yang memungkinkan:
0) Wilayah K=0, T=0, O=0: tidak ditentukan.
1) Wilayah K=0, T=0, O=1 : 50 anak sekolah.
2) Wilayah K=0, T=1, O=0: tidak ada anak sekolah.
3) Wilayah K=0, T=1, O=1 : 50 anak sekolah.
4) Luas K=1, T=0, O=0: tidak ada anak sekolah.
5) Wilayah K=1, T=0, O=1 : 100 anak sekolah.
6) Wilayah K=1, T=1, O=0 : 200 anak sekolah.
7) Wilayah K=1, T=1, O=1 : 100 anak sekolah.
Mari kita tuliskan nilai luasnya ke dalam tabel:
| № wilayah | KE |
T |
TENTANG |
Kuantitas anak sekolah |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
- |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
50 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
50 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
100 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
200 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
100 |
Mari kita tampilkan nilai semua area menggunakan diagram:
Mari kita definisikan x.
x=200+100+50=350.
Kami mengerti, 350 anak sekolah memecahkan dua masalah.
Tugas 4.
Sebuah survei dilakukan di antara orang yang lewat. Pertanyaan yang diajukan: “Hewan peliharaan apa yang Anda miliki?” Berdasarkan hasil survei, ternyata 150 orang memelihara kucing, 130 orang memelihara anjing, dan 50 orang memelihara burung. 60 orang mempunyai seekor kucing dan seekor anjing, 20 orang mempunyai seekor kucing dan seekor burung, 30 orang mempunyai seekor anjing dan seekor burung. 70 orang tidak mempunyai hewan peliharaan sama sekali. 10 orang mempunyai seekor kucing, seekor anjing, dan seekor burung. Berapa banyak orang yang lewat yang ikut serta dalam survei ini?
Jawaban: 300.
Larutan:
Pertama, kita mendefinisikan himpunan dan memperkenalkan notasi. Ada tiga di antaranya:
- banyak orang yang memiliki kucing (“K”);
- banyak orang yang memiliki seekor anjing (“C”);
- banyak orang yang mempunyai burung (“P”).
Mari kita gambarkan dengan menggunakan diagram Euler-Venn apa yang diberikan kepada kita sesuai dengan kondisi:
Mari kita gambarkan apa yang perlu kita temukan:
Mari kita tentukan jumlah orang untuk semua area yang memungkinkan:
0) Wilayah K=0, S=0, P=0 : 70 orang.
1) Luas K=0, S=0, P=1 : 10 orang.
2) Wilayah K=0, S=1, P=0 : 50 orang.
3) Luas K=0, S=1, P=1 : 20 orang.
4) Wilayah K=1, S=0, P=0 : 80 orang.
5) Luas K=1, T=0, O=1 : 10 orang.
6) Luas K=1, T=1, O=0 : 50 orang.
7) Luas K=1, T=1, O=1 : 10 orang.
Mari kita tuliskan nilai luasnya ke dalam tabel:
| № wilayah | KE |
C |
P |
Kuantitas Manusia |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
70 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
10 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
50 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
20 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
80 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
10 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
50 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
10 |
Mari kita tampilkan nilai semua area menggunakan diagram:
Mari kita definisikan x:
x=U (alam semesta)
U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.
Kami menemukan bahwa 300 orang ikut serta dalam survei ini.
Tugas 5.
120 orang memasuki satu spesialisasi di salah satu universitas. Pelamar mengikuti tiga ujian: matematika, ilmu komputer dan bahasa Rusia. 60 orang lulus matematika, 40 orang lulus ilmu komputer, 30 pelamar lulus matematika dan ilmu komputer, 30 orang lulus matematika dan bahasa Rusia, 25 orang lulus ilmu komputer dan bahasa Rusia. 20 orang lulus ketiga ujian, dan 50 orang gagal. Berapa banyak pelamar yang lulus tes bahasa Rusia?
Wikispaces didirikan pada tahun 2005 dan sejak itu telah digunakan oleh para pendidik, perusahaan, dan individu di seluruh dunia.
Sayangnya, waktunya telah tiba dimana kita harus membuat keputusan bisnis yang sulit untuk mengakhiri layanan Wikispaces.
Kami pertama kali mengumumkan penutupan situs pada bulan Januari 2018, melalui spanduk seluruh situs yang ditampilkan kepada semua pengguna yang masuk dan perlu diklik untuk menutupnya
Selama periode penutupan, berbagai spanduk diperlihatkan kepada pengguna, termasuk spanduk hitung mundur di bulan terakhir. Selain itu, halaman beranda Wikispaces.com menjadi sebuah blog, merinci alasan penutupannya. Administrator Situs Label Pribadi dihubungi secara terpisah mengenai penutupan tersebut
| Tingkat Wikispace | Tanggal Penutupan |
|---|---|
| Layanan Kelas dan Wiki Gratis berakhir | 31 Juli 2018 |
| Plus dan akhir layanan Super Wiki | 30 September 2018 |
| Akhir layanan Wiki Label Pribadi | 31 Januari 2019 |
Mengapa Wikispace ditutup?
Sekitar 18 bulan yang lalu, kami menyelesaikan tinjauan teknis terhadap infrastruktur dan perangkat lunak yang kami gunakan untuk melayani pengguna Wikispaces. Sebagai bagian dari tinjauan tersebut, terlihat jelas bahwa investasi yang diperlukan untuk menjadikan infrastruktur dan kode etik sejalan dengan standar modern sangatlah besar. Kami mengeksplorasi semua opsi yang mungkin untuk menjaga Wikispace tetap berjalan namun harus menyimpulkan bahwa layanan ini tidak lagi dapat dijalankan dalam jangka panjang. Jadi, sayangnya, kami harus menutup situs ini - namun kami tersentuh oleh pesan dari pengguna di seluruh dunia yang mulai membuat wiki dengan situs ini dan sekarang menjalankannya di platform baru.
Kami ingin menggunakan kesempatan ini untuk mengucapkan terima kasih atas dukungan Anda selama bertahun-tahun.
