EE "BSUIR"

Jurusan Teknik Grafis

“PENENTUAN PERGANTIAN DENGAN METODE MOR. ATURAN VERESCHAGIN"

MINSK, 2008


Sekarang mari kita pertimbangkan metode umum penentuan perpindahan, cocok untuk sistem yang dapat dideformasi secara linier di bawah beban apa pun. Metode ini dikemukakan oleh ilmuwan terkemuka Jerman O. Mohr.

Misalnya, Anda ingin menentukan perpindahan vertikal titik A pada balok yang ditunjukkan pada Gambar. 7.13, sebuah. Kita menyatakan keadaan (beban) yang diberikan dengan huruf k. Mari kita pilih keadaan tambahan dari balok yang sama dengan satuan

gaya yang bekerja di titik A dan searah dengan perpindahan yang diinginkan. Kami menyatakan keadaan tambahan dengan huruf i (Gbr. 7.13,6).

Mari kita hitung kerja eksternal dan kekuatan internal keadaan bantu pada gerak yang disebabkan oleh aksi gaya-gaya keadaan beban.

Pekerjaan kekuatan luar akan sama dengan hasil kali gaya satuan dan perpindahan yang diinginkan ya

dan kerja kekuatan internal nilai mutlak sama dengan integral

(1)

Rumus (7.33) adalah rumus Mohr (integral Mohr), yang memungkinkan untuk menentukan perpindahan pada titik mana pun dalam sistem yang mengalami deformasi linier.

Pada rumus ini, integran MiMk bernilai positif jika kedua momen lentur bertanda sama, dan negatif jika Mi dan Mk bertanda berbeda.

Jika kita menentukan perpindahan sudut di titik A, maka pada keadaan i kita harus menerapkan momen sebesar satu (tanpa dimensi) di titik A.

Dilambangkan dengan huruf Δ setiap gerakan (linier atau sudut), kita tuliskan rumus Mohr (integral) dalam bentuk

(2)

Dalam kasus umum, ekspresi analitik Mi dan Mk dapat berbeda pada berbagai bagian balok atau sistem elastis secara umum. Oleh karena itu, daripada menggunakan rumus (2), sebaiknya menggunakan rumus yang lebih umum

(3)

Jika batang-batang sistem bekerja bukan pada tekukan, melainkan pada tarik (kompresi), seperti misalnya pada rangka batang, maka rumus Mohr berbentuk

(4)

Dalam rumus ini, hasil kali NiNK bernilai positif jika kedua gaya tarik atau tekan. Jika batang bekerja secara bersamaan dalam kondisi lentur dan tarik (kompresi), maka dalam kasus biasa, seperti yang ditunjukkan oleh perhitungan perbandingan, perpindahan dapat ditentukan hanya dengan mempertimbangkan momen lentur, karena pengaruh gaya memanjang sangat kecil.

Untuk alasan yang sama, seperti disebutkan sebelumnya, dalam kasus biasa pengaruh gaya geser dapat diabaikan.

Daripada menghitung integral Mohr secara langsung, Anda dapat menggunakan teknik grapho-analitis “metode perkalian diagram”, atau aturan Vereshchagin.

Mari kita perhatikan dua diagram momen lentur, salah satunya Mk memiliki garis sembarang, dan Mi lainnya berbentuk bujursangkar (Gbr. 7.14, a dan b).

(5)

Nilai MKdz mewakili luas dasar dωk dari diagram Mk (diarsir pada gambar). Dengan demikian,

(6)

karena itu,

(8)

Tetapi menyatakan momen statis luas diagram Mk relatif terhadap suatu sumbu y yang melalui titik O, sama dengan ωkzc, dimana ωk adalah luas diagram momen; zc adalah jarak dari sumbu y ke pusat gravitasi diagram Mk. Dari gambarnya terlihat jelas

dimana Msi adalah ordinat diagram Mi yang terletak di bawah pusat gravitasi diagram Mk (di bawah titik C). Karena itu,

(10)

yaitu, integral yang diperlukan sama dengan hasil kali luas diagram Mk (bentuk apa pun) dan ordinat diagram bujursangkar Msi yang terletak di bawah pusat gravitasinya. Nilai ωкМсi dianggap positif jika kedua diagram terletak pada sisi batang yang sama, dan negatif jika terletak di sepanjang sisi yang berbeda. Hasil perkalian diagram yang positif berarti arah geraknya bertepatan dengan arah satuan gaya (atau momen).

Harus diingat bahwa ordinat Msi harus diambil pada diagram garis lurus. Dalam kasus tertentu ketika kedua diagram berbentuk bujursangkar, Anda dapat mengalikan luas salah satu diagram tersebut dengan ordinat yang sesuai dari diagram lainnya.

Untuk batang dengan penampang variabel, aturan perkalian diagram Vereshchagin tidak berlaku, karena dalam kasus ini tidak mungkin lagi menghilangkan nilai EJ dari bawah tanda integral. Dalam hal ini, EJ harus dinyatakan sebagai fungsi absis bagian tersebut dan kemudian integral Mohr (1) harus dihitung.

Apabila kekakuan suatu batang diubah secara bertahap, dilakukan integrasi (atau perkalian diagram) untuk setiap bagian secara terpisah (dengan nilai EJ-nya sendiri) dan kemudian hasilnya dijumlahkan.

Di meja Gambar 1 menunjukkan luas beberapa diagram sederhana dan koordinat pusat gravitasinya.

Tabel 1

Jenis diagram Luas diagram Jarak ke pusat gravitasi

Untuk mempercepat perhitungan, Anda dapat menggunakan diagram tabel perkalian yang sudah jadi (Tabel 2).

Dalam tabel ini, di sel-sel di perpotongan diagram dasar yang bersesuaian, hasil perkalian diagram ini diberikan.

Saat memecah diagram kompleks menjadi diagram dasar, disajikan dalam tabel. 1 dan 7.2, harus diingat bahwa diagram parabola diperoleh dari aksi hanya satu beban terdistribusi.

Dalam kasus di mana dalam diagram kompleks, bagian lengkung diperoleh dari aksi simultan momen terkonsentrasi, gaya, dan beban yang terdistribusi secara merata, untuk menghindari kesalahan, diagram kompleks terlebih dahulu harus “dilapisi”, yaitu dibagi menjadi beberapa diagram independen: dari aksi momen terkonsentrasi, gaya dan dari aksi beban yang terdistribusi secara merata.

Anda juga dapat menggunakan teknik lain yang tidak memerlukan stratifikasi diagram, tetapi hanya memerlukan pemilihan bagian lengkung diagram sepanjang tali busur yang menghubungkan titik-titik ekstremnya.

Kami akan mendemonstrasikan kedua metode dengan contoh spesifik.

Misalnya, Anda ingin menentukan perpindahan vertikal ujung kiri balok (Gbr. 7.15).

Diagram total beban disajikan pada Gambar. 7.15, sebuah.


Tabel 7.2

Diagram aksi gaya satuan di titik A ditunjukkan pada Gambar. 7.15, kota

Untuk menentukan perpindahan vertikal di titik A, diagram beban perlu dikalikan dengan diagram satuan gaya. Akan tetapi, kita perhatikan bahwa pada bagian BC dari diagram total, diagram lengkung diperoleh tidak hanya dari aksi beban yang terdistribusi secara merata, tetapi juga dari aksi gaya terpusat P. Akibatnya, pada bagian BC terdapat tidak lagi menjadi diagram parabola dasar yang diberikan pada Tabel 7.1 dan 7.2, tetapi pada dasarnya merupakan diagram kompleks yang data dalam tabel ini tidak valid.

Oleh karena itu, perlu untuk membuat stratifikasi diagram kompleks menurut Gambar. 7.15, dan diagram dasar yang ditunjukkan pada Gambar. 7.15, b dan 7.15, c.

Diagram menurut Gambar. 7.15, b diperoleh hanya dari gaya terkonsentrasi, diagram menurut Gambar. 7.15, c - hanya dari aksi beban yang terdistribusi secara merata.

Sekarang Anda dapat mengalikan diagram menggunakan tabel. 1 atau 2.

Untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan diagram segitiga sesuai dengan Gambar. 7.15, b ke diagram segitiga menurut Gambar. 7.15, d dan tambahkan hasil perkalian diagram parabola pada Gambar. 7.15, pada diagram trapesium bagian BC menurut Gambar. 7.15, d, karena pada bagian AB ordinat diagram menurut Gambar. 7.15, in sama dengan nol.

Sekarang mari kita tunjukkan metode kedua untuk mengalikan diagram. Mari kita lihat kembali diagram pada Gambar. 7.15, sebuah. Mari kita ambil titik asal acuan pada bagian B. Kita tunjukkan bahwa dalam batas kurva LMN, momen lentur dapat diperoleh sebagai jumlah aljabar momen lentur yang bersesuaian dengan garis lurus LN, dan momen lentur diagram parabola LNML, sama seperti balok sederhana dengan panjang a, dibebani dengan beban terdistribusi merata q:

Ordinat terbesar di tengah adalah .

Untuk membuktikannya, mari kita tuliskan persamaan momen lentur sebenarnya pada penampang pada jarak z dari titik B

(A)

Sekarang mari kita tulis persamaan momen lentur pada penampang yang sama, yang diperoleh sebagai jumlah aljabar ordinat garis lurus LN dan parabola LNML.

Persamaan garis LN

dimana k adalah garis singgung sudut kemiringan garis tersebut

Oleh karena itu, persamaan momen lentur yang diperoleh sebagai penjumlahan aljabar persamaan garis lurus LN dan parabola LNMN berbentuk

yang bertepatan dengan ekspresi (A).

Saat mengalikan diagram menurut aturan Vereshchagin, Anda harus mengalikan trapesium BLNC dengan trapesium dari diagram satuan di bagian BC (lihat Gambar 7.15, d) dan mengurangi hasil perkalian diagram parabola LNML (luas ) dengan trapesium yang sama dari diagram satuan. Metode pelapisan diagram ini sangat bermanfaat bila bagian lengkung diagram terletak di salah satu bagian tengah balok.

Contoh 7.7. Tentukan perpindahan vertikal dan sudut balok kantilever pada titik di mana beban diterapkan (Gbr. 7.16).

Larutan. Kami membuat diagram momen lentur untuk keadaan beban (Gbr. 7.16, a).

Untuk menentukan perpindahan vertikal, kita memilih keadaan bantu balok dengan satuan gaya pada titik penerapan beban.

Kami membuat diagram momen lentur dari gaya ini (Gbr. 7.16, b). Menentukan perpindahan vertikal menggunakan metode Mohr

Nilai momen lentur akibat beban

Nilai momen lentur dari satuan gaya

Kami mengganti nilai MR dan Mi ini di bawah tanda integral dan mengintegrasikannya

Hasil yang sama sebelumnya diperoleh dengan metode berbeda.

Nilai positif Lendutan menunjukkan bahwa titik penerapan beban P bergerak ke bawah (searah gaya satuan). Jika kita mengarahkan gaya satuan dari bawah ke atas, kita akan mendapatkan Mi = 1z dan, sebagai hasil integrasi, kita akan mendapatkan defleksi dengan tanda minus. Tanda minus menunjukkan bahwa pergerakannya bukan naik, melainkan turun, sebagaimana kenyataannya.

Sekarang mari kita menghitung integral Mohr dengan mengalikan diagram menurut aturan Vereshchagin.

Karena kedua diagram tersebut berbentuk bujursangkar, tidak masalah diagram mana yang mengambil luas dan ordinatnya.

Luas diagram beban sama dengan

Pusat gravitasi diagram ini terletak pada jarak 1/3l dari embedment. Kita menentukan ordinat diagram momen dari suatu satuan gaya yang terletak di bawah

pusat gravitasi diagram beban. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa itu sama dengan 1/3l.

Karena itu.

Hasil yang sama diperoleh dari tabel integral. Hasil perkalian diagram adalah positif, karena kedua diagram terletak di bagian bawah batang. Akibatnya, titik penerapan beban bergeser ke bawah, yaitu sepanjang arah gaya satuan yang diterima.

Untuk menentukan perpindahan sudut (sudut rotasi), kita memilih keadaan bantu balok di mana momen terkonsentrasi sama dengan satu bekerja pada ujung balok.

Kami membuat diagram momen lentur untuk kasus ini (Gbr. 7.16, c). Kita menentukan perpindahan sudut dengan mengalikan diagram. Area diagram beban

Koordinat diagram dari satu momen sama dengan satu di mana-mana, oleh karena itu, sudut rotasi yang diinginkan dari bagian tersebut adalah

Karena kedua diagram terletak di bawah, maka hasil perkalian diagram tersebut adalah positif. Dengan demikian, bagian ujung balok berputar searah jarum jam (searah satuan momen).

Contoh: Dengan menggunakan metode Mohr-Vereshchagin, tentukan defleksi di titik D untuk balok yang ditunjukkan pada Gambar. 7.17..

Larutan. Kami membuat diagram momen berlapis dari beban, yaitu kami membuat diagram terpisah dari aksi setiap beban. Dalam hal ini, untuk kenyamanan mengalikan diagram, disarankan untuk membuat diagram bertingkat (dasar) relatif terhadap bagian tersebut, yang defleksinya ditentukan dalam hal ini relatif terhadap bagian D.

Pada Gambar. 7.17, a menunjukkan diagram momen lentur dari reaksi A (bagian AD) dan dari beban P = 4 T (bagian DC). Diagram dibangun di atas serat terkompresi.

Pada Gambar. 7.17, b menunjukkan diagram momen dari reaksi B (bagian BD), dari beban terdistribusi merata di sebelah kiri (bagian AD) dan dari beban terdistribusi merata yang bekerja pada bagian BC. Diagram ini ditunjukkan pada Gambar. 7.17, b pada bagian DC dari bawah.

Selanjutnya, kita memilih keadaan bantu balok, yang mana kita menerapkan gaya satuan di titik D, di mana defleksi ditentukan (Gbr. 7.17, c). Diagram momen dari suatu gaya satuan ditunjukkan pada Gambar. 7.17, d.Sekarang mari kita kalikan diagram 1 sampai 7 dengan diagram 8 dan 9, menggunakan tabel perkalian diagram, dengan memperhatikan tanda-tandanya.

Dalam hal ini, diagram yang terletak pada salah satu sisi balok dikalikan dengan tanda tambah, dan diagram yang terletak pada sisi berlawanan dari balok dikalikan dengan tanda minus.

Saat mengalikan diagram 1 dan diagram 8 kita mendapatkan

Mengalikan plot 5 dengan plot 8, kita peroleh

Mengalikan plot 2 dan 9 menghasilkan

Kalikan diagram 4 dan 9

Kalikan plot 6 dan 9

Menyimpulkan hasil perkalian diagram, kita peroleh

Tanda minus menunjukkan bahwa titik D tidak bergerak ke bawah sebagaimana gaya satuan arahnya, melainkan ke atas.

Hasil yang sama diperoleh sebelumnya dengan menggunakan persamaan universal.

Tentu saja, di dalam contoh ini diagram hanya dapat distratifikasi pada bagian AD, karena pada bagian DB diagram keseluruhan berbentuk bujursangkar dan tidak perlu dibuat stratifikasi. Pada bagian BC, delaminasi tidak diperlukan, karena dari satuan gaya pada bagian ini diagramnya sama dengan nol. Stratifikasi diagram pada bagian BC diperlukan untuk menentukan defleksi di titik C.

Contoh. Tentukan perpindahan vertikal, horizontal dan sudut bagian A dari batang patah yang ditunjukkan pada Gambar. 7.18, sebuah. Kekakuan penampang bagian vertikal batang adalah EJ1; kekakuan penampang bagian horizontal adalah EJ2.

Larutan. Kami membuat diagram momen lentur akibat beban. Hal ini ditunjukkan pada Gambar. 7.18, b (lihat contoh 6.9). Untuk menentukan perpindahan vertikal bagian A, kita memilih keadaan bantu sistem yang ditunjukkan pada Gambar. 7.18, c. Di titik A, diterapkan gaya vertikal satuan yang diarahkan ke bawah.

Diagram momen lentur untuk keadaan ini ditunjukkan pada Gambar. 7.18, c.

Kita menentukan perpindahan vertikal menggunakan metode Mohr, menggunakan metode diagram perkalian. Karena tidak ada diagram M1 pada batang vertikal dalam keadaan bantu, kita hanya mengalikan diagram yang berhubungan dengan batang horizontal. Kami mengambil luas diagram dari keadaan beban, dan ordinat dari keadaan tambahan. Perpindahan vertikal adalah

Karena kedua diagram terletak di bawah, kita ambil hasil perkaliannya dengan tanda tambah. Akibatnya, titik A bergerak ke bawah, yaitu searah dengan gaya vertikal satuan.

Untuk menentukan pergerakan horizontal titik A, kita memilih keadaan bantu dengan satuan gaya horizontal yang diarahkan ke kiri (Gbr. 7.18, d). Diagram momen untuk kasus ini disajikan di sana.

Kami mengalikan diagram MP dan M2 dan mendapatkan

Hasil perkalian diagram adalah positif, karena diagram yang dikalikan terletak pada sisi batang yang sama.

Untuk menentukan perpindahan sudut, kita memilih keadaan bantu sistem sesuai dengan Gambar. 7.18.5 dan buatlah diagram momen lentur untuk keadaan ini (pada gambar yang sama). Kami mengalikan diagram MP dan M3:

Hasil perkaliannya positif karena diagram perkaliannya terletak pada satu sisi.

Oleh karena itu, bagian A berputar searah jarum jam

Hasil yang sama akan diperoleh dengan menggunakan tabel
mengalikan diagram.

Tampilan batang yang mengalami deformasi ditunjukkan pada Gambar. 7.18, e, sedangkan perpindahannya meningkat pesat.


LITERATUR

Feodosiev V.I. Kekuatan materi. 1986

Belyaev N.M. Kekuatan materi. 1976

Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. Perhitungan dan desain mekanisme instrumen dan sistem komputer. 1991

Rabotnov Yu.N. Mekanika yang dapat dideformasi padat. 1988

Stepin P.A. Kekuatan materi. 1990


Dan catatan tulisan tangannya berakhir di tangan petugas Perintah Duta Besar, dari siapa mereka diterima. Informasi biografi lainnya hanya diambil dari teks “Walk” itu sendiri. Mengapa Afanasy Nikitin menyebut karyanya “Berjalan melintasi Tiga Lautan”? Penulis sendiri memberi kita jawaban atas pertanyaan ini: “Lihatlah, saya menulis “Berjalan melintasi Tiga Lautan” saya yang penuh dosa, Laut Derbensky (Kaspia) ke-1, Doria...

Memperhatikan bahwa syarat yang sangat diperlukan untuk pelaksanaan setiap tindakan komunikatif haruslah “saling mengetahui realitas pembicara dan pendengar, yang menjadi dasar komunikasi linguistik”, hal ini disebut “latar belakang pengetahuan” dalam linguistik. Menurut pernyataannya yang benar, “arti kata yang digunakan dalam bahasa ibu tertentu untuk menunjuk bahasa tersebut sangat berbeda dari sudut pandang budaya Eropa Tengah...

Dalam kasus umum (batang dengan penampang variabel, sebuah sistem yang kompleks beban) integral Mohr ditentukan oleh integrasi numerik. Dalam banyak kasus praktis penting, ketika kekakuan penampang sepanjang batang konstan, integral Mohr dapat dihitung menggunakan aturan Vereshchagin. Mari kita perhatikan definisi integral Mohr pada bagian dari a sampai 6 (Gbr. 9.18).

Beras. 9.18. Aturan Vereshchagin untuk menghitung integral Mohr

Diagram momen dari faktor gaya tunggal terdiri dari segmen-segmen lurus. Tanpa kehilangan keumumannya, kami berasumsi bahwa itu berada di dalam area tersebut

dimana A dan B adalah parameter garis:

Integral Mohr pada penampang konstan yang ditinjau mempunyai bentuk

dimana F adalah luas daerah di bawah kurva (luas diagram momen lentur akibat gaya luar pada bagian z).

dimana adalah absis pusat gravitasi daerah tersebut.

Persamaan (109) berlaku bila tanda di dalam luas tidak berubah dan dapat dianggap sebagai salah satu elemen luas diagram. Sekarang dari relasi (107) -(109) kita peroleh

Momen dari suatu satuan beban pada suatu penampang

Tabel tambahan untuk menggunakan aturan Vereshchagin diberikan pada Gambar. 9.19.

Catatan. 1. Jika diagram aksi gaya luar pada suatu bagian adalah linier (misalnya, di bawah aksi gaya dan momen terkonsentrasi), maka aturan tersebut dapat diterapkan dalam bentuk terbalik: kalikan luas diagram dari a faktor gaya tunggal dengan ordinat diagram yang sesuai dengan pusat gravitasi area tersebut. Ini mengikuti bukti di atas.

2. Aturan Vereshchagin dapat diperluas ke integral Mohr dalam bentuk umum (persamaan (103)).

Beras. 9.19. Luas dan posisi pusat gravitasi diagram momen

Beras. 09.20. Contoh penentuan sudut defleksi dan rotasi menggunakan aturan Vereshchagin

Persyaratan utamanya adalah sebagai berikut: di dalam lokasi, harus ada faktor gaya internal dari suatu beban satuan fungsi linier sepanjang sumbu batang (diagram linier!).

Contoh. 1. Tentukan defleksi pada titik A batang kantilever akibat aksi momen terkonsentrasi M (Gbr. 9.20, a).

Lendutan di titik A ditentukan dengan rumus (untuk singkatnya indeks dihilangkan)

Tanda minus disebabkan karena keduanya mempunyai tanda yang berbeda.

2. Tentukan defleksi di titik A pada batang kantilever akibat aksi beban terdistribusi.

Lendutan ditentukan oleh rumus

Diagram momen lentur M dan gaya geser Q dari beban luar ditunjukkan pada Gambar. 9.20, b, di bawah gambar ini adalah diagram aksi gaya satuan. Selanjutnya kita temukan

3. Tentukan defleksi di titik A dan sudut rotasi di titik B untuk balok dua tumpuan yang dibebani momen terkonsentrasi (Gbr. 9.20.).

Lendutan ditentukan oleh rumus (kita mengabaikan deformasi geser)

Karena diagram momen dari suatu satuan gaya tidak digambarkan dalam satu garis; kemudian kita membagi integral menjadi dua bagian:

Sudut rotasi di titik B sama dengan

Komentar. Dari contoh di atas jelas bahwa metode Vereshchagin dalam kasus sederhana memungkinkan Anda menentukan defleksi dan sudut rotasi dengan cepat. Penting untuk menerapkan satu aturan tanda untuk Jika Anda setuju, ketika membengkokkan batang, untuk membuat diagram momen lentur pada “serat yang diregangkan” (lihat Gambar 9.20), maka akan segera mudah untuk melihat sisi positif dan positifnya. nilai-nilai negatif momen.

Keuntungan khusus dari aturan Vereshchagin adalah dapat digunakan tidak hanya untuk batang, tetapi juga untuk rangka (Bagian 17).

Pembatasan penerapan aturan Vereshchagin.

Pembatasan ini mengikuti turunan rumus (110), namun mari kita perhatikan kembali.

1. Diagram momen lentur dari suatu beban satuan harus berbentuk satu garis lurus. Pada Gambar. 9.21, dan menunjukkan kasus ketika kondisi ini tidak terpenuhi. Integral Mohr harus dihitung secara terpisah untuk bagian I dan II.

2. Momen lentur akibat beban luar pada bagian tersebut harus mempunyai tanda yang sama. Pada Gambar. Gambar 9.21, b menunjukkan kasus ketika aturan Vereshchagin harus diterapkan untuk setiap bagian secara terpisah. Batasan ini tidak berlaku untuk momen dari satu beban.

Beras. 9.21. Batasan saat menggunakan aturan Vereshchagin: a - diagram terputus; b - diagram memiliki tanda yang berbeda; c - batang memiliki bagian yang berbeda

3. Kekakuan batang dalam suatu bagian harus konstan, jika tidak, integrasi harus diperluas secara terpisah ke bagian dengan kekakuan konstan. Keterbatasan kekakuan konstan dapat dihindari dengan membuat diagram.

Penentuan perpindahan dalam sistem yang terdiri dari elemen bujursangkar dengan kekakuan konstan dapat disederhanakan secara signifikan dengan menggunakan teknik khusus untuk menghitung integral bentuk. Karena integran mencakup hasil kali usaha yang merupakan ordinat diagram yang dibuat untuk keadaan tunggal dan nyata, teknik ini disebut metode perkalian diagram.

Ini dapat digunakan ketika salah satu diagram perkalian, misalnya, berbentuk bujursangkar; dalam hal ini (Gbr. Diagram kedua dapat berbentuk apa saja (lurus, patah, atau lengkung).

Mari kita gantikan nilainya ke dalam ekspresi

dimana adalah luas diferensial diagram (Gbr. 17.11).

Integral merepresentasikan momen statis luas diagram relatif terhadap sumbu (Gbr. 17.11).

Momen statis ini dapat diungkapkan secara berbeda:

dimana adalah absis pusat gravitasi daerah diagram

Tapi sejak itu (lihat Gambar 17.11)

(26.11)

Jadi, hasil perkalian dua diagram sama dengan hasil kali luas salah satunya dengan ordinat diagram lainnya (bujur lurus), diambil di bawah pusat gravitasi luas diagram pertama.

Metode perkalian diagram diusulkan pada tahun 1925 oleh seorang mahasiswa di Institut Insinyur Moskow transportasi kereta api A. N. Vereshchagin, dan oleh karena itu disebut aturan (atau metode) Vereshchagin.

Perhatikan bahwa ruas kiri ekspresi (26.11) berbeda dari integral Mohr karena tidak adanya kekakuan penampang di dalamnya. Oleh karena itu, hasil perkalian diagram yang dilakukan menurut aturan Vereshchagin untuk menentukan perpindahan yang diinginkan harus dibagi dengan nilai kekakuan.

Sangat penting untuk diperhatikan bahwa ordinat harus diambil dari diagram garis lurus. Jika kedua diagram tersebut lurus, maka ordinatnya dapat diambil dari diagram mana pun. Jadi, jika Anda perlu mengalikan diagram bujursangkar dan (Gbr. 18.11, a), maka tidak masalah apa yang harus diambil: hasil kali luas diagram dengan ordinat di bawah pusat gravitasinya dari diagram atau hasil kali Qkyt luas Q diagram dengan ordinat di bawah (atau di atas) pusat gravitasinya dari diagram

Jika dua diagram berbentuk trapesium dikalikan, maka tidak perlu mencari posisi pusat gravitasi luas salah satunya. Anda harus membagi salah satu diagram menjadi dua segitiga dan mengalikan luas masing-masing segitiga dengan ordinat di bawah pusat gravitasinya dari diagram lainnya. Misalnya, dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar. 11.18.b, kita dapatkan

(27.11)

Dalam tanda kurung rumus ini, hasil kali ordinat kiri kedua diagram dan hasil kali ordinat kanan diambil dengan koefisien sama dengan dua, dan hasil kali ordinat yang terletak pada sisi berbeda - dengan koefisien sama dengan satu.

Dengan menggunakan rumus (27.11), Anda dapat mengalikan diagram yang terlihat seperti trapesium “bengkok”; dalam hal ini hasil kali ordinat yang mempunyai tanda yang sama diambil dengan tanda tambah, dan yang mempunyai tanda yang berbeda diambil dengan tanda minus. Dalam kasus ini, misalnya, ditunjukkan pada Gambar. 18.11, b, hasil perkalian diagram berbentuk trapesium “bengkok” dan trapesium biasa sama dengan , dan dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar. 18.11, g, sama

Rumus (27.11) juga berlaku jika salah satu atau kedua diagram yang dikalikan berbentuk segitiga. Dalam kasus ini, segitiga diperlakukan sebagai trapesium dengan satu ordinat ekstrem sama dengan nol. Hasil, misalnya, mengalikan diagram yang ditunjukkan pada Gambar. 18.11, d, sama

Mengalikan diagram berbentuk trapesium “memutar” dengan diagram lainnya dapat dilakukan dengan membagi “trapesium bengkok menjadi dua segitiga, seperti ditunjukkan pada Gambar. 18.11, e.

Ketika salah satu diagram (Gbr. 19.11) diuraikan menurut parabola persegi(dari beban q yang terdistribusi merata), kemudian untuk perkalian dengan diagram lain dianggap jumlah (dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar 19.11, a) atau selisihnya (dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar 19.11, b) trapesium dan diagram parabola

Hasil perkalian diagram yang ditunjukkan pada Gambar. 19.11, a, sama dengan setelah kita substitusikan ke dalamnya

Hasil perkalian diagram yang ditunjukkan pada Gambar. 19.11, b, sama setelah disubstitusikan ke dalamnya - dan kita dapatkan

Dalam kedua ekspresi yang diperoleh, jumlah hasil kali ordinat ekstrem kedua diagram dengan hasil kali empat kali lipat ordinat tengah berada dalam tanda kurung.

Ada kalanya tidak ada diagram perkalian yang lurus, namun salah satu diagramnya (atau keduanya) dibatasi oleh garis lurus putus-putus. Dalam kasus ini, untuk mengalikan diagram, diagram terlebih dahulu dibagi menjadi beberapa bagian yang masing-masingnya memiliki setidaknya satu diagram lurus. Jadi, misalnya, ketika mengalikan diagram yang ditunjukkan pada Gambar. 20.11, a, b, Anda dapat membaginya menjadi dua bagian dan menyajikan hasil perkaliannya sebagai jumlah. Anda dapat, dengan mengalikan diagram yang sama, membaginya menjadi tiga bagian, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 20.11, c, d; dalam hal ini hasil perkalian diagramnya sama dengan

Saat menggunakan aturan Vereshchagin, kita harus menghitung luas yang berbeda bentuk geometris dan menentukan posisi pusat gravitasinya. Dalam hal ini, dalam Tabel. Gambar 1.11 menunjukkan nilai luas dan koordinat pusat gravitasi bangun geometri yang paling umum.

Sebagai contoh, perhatikan penggunaan metode Vereshchagin untuk menentukan defleksi titik C (di bawah gaya ) dari balok yang ditunjukkan pada Gambar. 16.11, sebuah; Pada saat yang sama, kami memperhitungkan aksi momen lentur dan gaya transversal.

Keadaan tunggal balok, serta diagram gaya-gaya dalam di dalamnya yang disebabkan oleh beban dan gaya satuan ditunjukkan pada Gambar. 16.11, b, b, d, e, f.

Menurut rumus (24.11), dengan menggunakan metode Vereshchagin saat mengalikan diagram, kita temukan

Hasil ini bertepatan dengan hasil yang diperoleh melalui integrasi.

Sekarang mari kita tentukan perpindahan horizontal titik C pada bingkai yang ditunjukkan pada Gambar. 21.11, sebuah. Momen inersia Persimpangan tiang bingkai dan palang ditunjukkan pada gambar; .

Keadaan sebenarnya dari frame ditunjukkan pada Gambar. 21.11, sebuah. Diagram momen lentur untuk kondisi ini (diagram beban) ditunjukkan pada Gambar. 21.11,b.

Dalam keadaan tunggal, gaya yang sama dengan satu diterapkan pada titik C pada rangka dalam arah perpindahan yang diinginkan (yaitu horizontal).

Tabel 1.11

(lihat pemindaian)

Diagram momen lentur M untuk keadaan ini (diagram satuan) ditunjukkan pada Gambar. 21.11, pukul.

Tanda-tanda momen lentur pada diagram mungkin tidak dicantumkan, karena diketahui bahwa ordinat diagram diplot pada sisi serat tekan setiap elemen.

Dengan mengalikan diagram beban dengan diagram satuan menurut metode Vereshchagin (Gbr. 21.11, b, c) dan dengan mempertimbangkan perbedaan nilai momen inersia penampang rak dan palang rangka, kita temukan perpindahan yang diperlukan titik C:

Tanda minus pada perkalian diagram diambil karena diagram dan M terletak pada sisi elemen rangka yang berbeda, sehingga momen lentur dan M mempunyai tanda yang berbeda.

Nilai negatif perpindahan titik C yang dihasilkan berarti titik tersebut tidak bergeser searah dengan gaya satuan (Gbr. 21.11, c), tetapi berlawanan arah, yaitu ke kanan.

Sekarang mari kita berikan beberapa petunjuk praktis tentang penerapan integral Mohr pada berbagai kasus penghitungan perpindahan.

Disarankan untuk menentukan perpindahan pada balok yang kekakuan penampangnya konstan sepanjang keseluruhan atau dalam masing-masing penampang dengan menghitung integral Mohr menggunakan aturan Vereshchagin. Hal yang sama berlaku untuk rangka yang terbuat dari batang lurus dengan kekakuan konstan atau variabel bertahap.

Jika kekakuan suatu penampang suatu elemen struktur berubah terus menerus sepanjang elemen struktur, maka perpindahannya harus ditentukan dengan perhitungan langsung (analitis) integral Mohr. Struktur seperti itu dapat dihitung kira-kira dengan menggantinya dengan sistem dengan elemen kekakuan variabel langkah, setelah itu metode Vereshchagin dapat digunakan untuk menentukan perpindahan.

Metode Vereshchagin dapat digunakan tidak hanya dalam menentukan perpindahan, tetapi juga dalam menentukan energi potensial.


Penentuan gerakan. Metode O. Mohr dikombinasikan dengan metode Simpson (rumus)

Untuk menentukan gerakan apa pun (linier atau sudut) dalam metode Mohr balok sedang dipertimbangkan di dua keadaan: nyata dan tambahan. Negara bantu ternyata sebagai berikut: pertama, seluruh beban yang ditentukan harus dihilangkan, kemudian “faktor gaya satuan” harus diterapkan di tempat di mana perpindahan ingin ditentukan, dan ke arah perpindahan yang diinginkan. Apalagi saat kita menentukan gerak linier (lendutan balok), kemudian sebagai “faktor gaya tunggal” diambil kekuatan terkonsentrasi, dan jika Anda perlu menemukannya sudut rotasi, maka Anda harus melampirkan pasangan terkonsentrasi.

Selanjutnya, pada bagian sembarang yang sama dari kedua keadaan (yaitu, nyata dan bantu), ekspresi analitik untuk momen lentur dikompilasi, yang disubstitusikan ke dalam rumus yang disebut "Integral Mohr":

dimana: tanda tangan Σ menyebar semua area balok,

A EI – membungkuk kekakuan Lokasi aktif.

Dalam banyak kasus Integrasi Mohr dapat dihindari Dan menerapkan metode tersebut diagram "menggandakan".. Salah satu caranya adalah cara Simpson di mana nilai integral Mohr pada suatu bagian panjangnya ℓ dihitung menggunakan rumus berikut:

Di sini ditunjukkan: A, B Dan Dengan – masing-masing, ordinat ekstrim dan rata-rata dari diagram momen lentur keadaan sebenarnya M,

– ordinat ekstrim dan tengah diagram momen lentur, tapi hanya negara pembantu.

Aturan tanda tangan: jika kedua ordinat “dikalikan” dalam dua diagram berada di satu sisi sumbu diagram (yaitu, keduanya memiliki tanda yang sama), maka sebelum produknya kita harus memberi tanda "plus: bagaimana jika mereka di sisi yang berlawanan dari sumbu diagram, lalu di depan produk kita beri tanda "kurang".

Perlu diingat bahwa metode “perkalian” diagram (selain metode Simpson juga dikenal Metode Vereshchagin) hanya berlaku jika tersedia dua kondisi:

  1. Kekakuan lentur balok pada area yang ditinjau harus konstan (EI= Konstan),
  2. Salah satu dari dua diagram momen di bagian ini seharusnya tentu linier. Dalam hal ini, kedua diagram tidak boleh ada patah

Jika ada beberapa area pada balok yang memenuhi dua kondisi tertentu, rumus untuk menentukan perpindahan berbentuk:

Jika hasilnya perhitungan ternyata positif, maka, oleh karena itu, arah gerakan yang diinginkan bertepatan dengan arah “faktor gaya satuan”(), dan jika hasilnya negatif, maka pergerakan yang diinginkan terjadi dalam arah yang berlawanan dengan faktor tersebut.

Rumus Simpson, ditulis dalam momen, terlihat seperti ini: perpindahan (sudut defleksi atau rotasi) adalah sama

Di mana li – panjang bagian;

EII – kekakuan balok Lokasi di;

M F – nilai momen lentur dari diagram beban, masing-masing, situs;

– nilai momen lentur dari satu diagram, masing-masing di awal, di tengah, dan di akhir merencanakan.

Saat mengalikan diagram, akan berguna untuk menentukannya diagram ordinat momen lentur:

, Di mana

Tugas

Tentukan sudut rotasi bagian pada tumpuan kiri φ A

1) Temukan reaksi dukungan negara yang sebenarnya .

2) Kami membangun diagram momen keadaan sebenarnyaM.

3) Memilih negara tambahan untuk menentukan sudut rotasi φ A.

4) Menemukan reaksi dukungan dari keadaan tambahan

Kami “bereaksi” terhadap tanda minus.

5) Kami membuat diagram momen keadaan bantu:

6) Diagram “Menggandakan”.

Karena salah satunya (yaitu) linier pada seluruh bentang dan tidak mempunyai patahan, dan diagram M juga tanpa patah, maka pada rumus Simpson hanya akan ada satu bagian, lalu

Tanda plus menunjukkan bagian tersebut A beralih ke “momen tunggal”

prosopromat.ru

Rumus Simpson untuk menentukan perpindahan

Untuk menentukan perpindahan menggunakan rumus Simpson, Anda perlu:

  1. Membangun diagram beban momen (diagram momen dari aksi semua beban eksternal).
  2. Membangun diagram tunggal momen. Untuk melakukan ini, pada bagian yang perlu menentukan perpindahan linier (lendutan), terapkan gaya satuan, dan untuk menentukan perpindahan sudut, terapkan momen satuan, dan dari faktor satuan ini, buatlah diagram momen lentur.
  3. Kalikan diagram (beban dan satuan) menggunakan rumus yang disebut rumus Simpson:

Di mana aku aku– panjang bagian;

EI saya– kekakuan balok pada daerah tersebut;

muatan diagram, masing-masing

– nilai momen lentur dengan lajang diagram, masing-masing

Jika ordinat diagram berada pada salah satu sisi sumbu balok, maka pada saat mengalikan diperhitungkan tanda “+”, jika pada sisi yang berbeda maka diperhitungkan tanda “-”.

prosopromat.ru

2.8 Opsi dasar untuk mengalikan diagram

Jelas sekali bahwa variasi yang diterapkan
beban dan pola geometris
desain mengarah ke berbeda, dengan
sudut pandang geometri, dapat dikalikan
diagram Untuk menerapkan aturan Vereshchagin
perlu mengetahui bidang geometri
angka dan koordinat pusat gravitasinya.
Gambar 29 menunjukkan beberapa hal mendasar
pilihan yang timbul dalam praktik
perhitungan.

Untuk memperbanyak diagram bentuk yang kompleks
mereka perlu dipecah menjadi lebih sederhana.
Misalnya, untuk mengalikan dua diagram,
berbentuk trapesium, Anda memerlukan salah satunya
dibelah menjadi segitiga dan persegi panjang,
kalikan luas masing-masingnya dengan
ordinat diagram kedua berada
di bawah pusat gravitasi yang sesuai,
dan jumlahkan hasilnya. Juga
juga digunakan untuk mengalikan lengkung
trapesium ke dalam diagram linear apa pun.

Jika Anda melakukan langkah di atas
dalam bentuk umum, kita memperolehnya
kasus yang kompleks formula yang nyaman untuk
digunakan dalam perhitungan praktis
(Gbr. 30). Jadi, hasil perkaliannya
dua trapesium (Gbr. 30, a):

Beras. 29

Dengan menggunakan rumus (2.21), Anda dapat mengalikan dan
diagram yang terlihat seperti "bengkok"
trapesium (Gbr. 30, b), tetapi pada saat yang sama merupakan hasil kali
ordinat yang terletak pada sisi yang berbeda
dari sumbu diagram, diperhitungkan dengan tanda
dikurangi.

Jika salah satu plot yang dikalikan diuraikan
sepanjang parabola persegi (yang sesuai dengan
beban yang terdistribusi secara merata
memuat), lalu mengalikannya dengan
diagram kedua (harus linier).
itu dianggap sebagai jumlah (Gbr. 30, c) atau
perbedaan (Gbr. 30, d) trapesium dan
diagram parabola. Hasil
perkalian dalam kedua kasus ditentukan
rumus:

tetapi nilai f ditentukan
dengan cara yang berbeda (Gbr. 30, c, d).

Beras. tigapuluh

Mungkin ada kasus di mana tidak satu pun dari hal tersebut
diagram tidak dapat dikalikan
lugas, tapi setidaknya salah satunya
dibatasi oleh garis lurus putus-putus.
Untuk mengalikan diagram tersebut dengan mereka
sebelumnya dibagi menjadi beberapa bagian,
setidaknya dalam masing-masingnya
Setidaknya satu diagram lurus.

Pertimbangkan untuk menggunakan aturan tersebut
Vereshchagin menggunakan contoh spesifik.

Contoh 15. Tentukan defleksi ke dalam
bentang tengah dan sudut belok kiri
bagian penyangga balok yang dibebani
beban yang didistribusikan secara merata
(Gbr. 31, a), dengan metode Vereshchagin.

Urutan metode perhitungan
Vereshchagina - sama seperti pada metodenya
Mora, jadi mari kita pertimbangkan tiga negara bagian
balok: muatan – beraksi
beban terdistribusi q; untuk dia
sesuai dengan diagram M q (Gbr. 31, b),
dan dua negara bagian - selama aksi
kekuatan
diterapkan di titik C (diagram
,
Gambar 31,c), dan momen
,
diterapkan di titik B (diagram
,
Gambar 31, d).

Lendutan balok di tengah bentang:

Hasil serupa pun diperoleh
sebelumnya dengan metode Mohr (lihat contoh 13). Sebaiknya
perhatikan fakta itu
perkalian diagram dilakukan untuk
setengah balok, dan kemudian, karena simetri,
hasilnya menjadi dua kali lipat. Jika daerah tersebut
dari keseluruhan diagram M q dikalikan dengan
terletak di bawah pusat gravitasinya
ordinat diagram
(
pada
Gambar 31, c), maka besar geraknya adalah
benar-benar berbeda dan salah karena
diagram
dibatasi oleh garis putus-putus. Pada
sudah tidak dapat diterimanya pendekatan seperti itu
disebutkan di atas.

Dan saat menghitung sudut putaran bagian tersebut
di titik B anda dapat mengalikan luas diagram M q dengan luas yang terletak di bawah pusatnya
diagram ordinat gravitasi
(
,
Gambar 31, d), karena diagram
dibatasi oleh garis lurus:

Hasil ini juga bertepatan dengan
hasil yang diperoleh dengan metode sebelumnya
Mora (lihat contoh 13).

Beras. 31

Contoh 16. Definisikan horisontal
dan pergerakan vertikal titik A di
bingkai (Gbr. 32, a).

Seperti pada contoh sebelumnya, untuk menyelesaikannya
tiga masalah perlu dipertimbangkan
status bingkai: kargo dan dua tunggal.
Diagram momen M F bersesuaian
keadaan pertama, disajikan pada
Gambar 32, dgn B. Untuk menghitung horisontal
gerakan diterapkan di titik A sepanjang
arah gerakan yang diinginkan (mis.
horisontal) kekuatan
,
dan untuk menghitung vertikal
kekuatan bergerak
terapkan secara vertikal (Gbr. 32, c, d).
Diagram yang sesuai
Dan
ditunjukkan pada Gambar. 32, d, f.

Pergerakan horizontal titik A:

Saat menghitung

pada bagian AB terdapat trapesium (diagram M F)
dibagi menjadi segitiga dan persegi panjang,
setelah itu segitiga dari diagram
"berkembang biak"
untuk masing-masing angka tersebut. Di lokasi pesawat
trapesium melengkung dibagi menjadi
segitiga lengkung dan persegi panjang,
dan untuk mengalikan diagram di bagian SD
rumus (2.21) digunakan.

Tanda “–” diperoleh selama perhitungan

,
berarti titik A bergerak sepanjang
horizontal bukan ke kiri (ke arah ini
kekuatan diterapkan
),
dan ke kanan.

Di sini tanda “-” berarti intinya
Dan itu bergerak ke bawah, bukan ke atas.

Perhatikan bahwa diagram momen tunggal,
dibangun dari kekuatan

,
mempunyai dimensi panjang, dan satuan
diagram momen yang dibangun dari momen tersebut
,
tidak berdimensi.

Contoh 17. Definisikan vertikal
titik bergerak A datar-spasial
sistem (Gbr. 33, a).

Gambar 23

Seperti diketahui (lihat Bab 1), secara melintang
bagian batang bidang-spasial
sistem muncul tiga internal
faktor gaya: gaya geser Q y,
momen lentur M x dan torsi
momen M kr. Sejak pengaruhnya
gaya geser per perpindahan
tidak signifikan (lihat contoh 14,
Gambar 27), lalu saat menghitung perpindahan
Metode Mohr dan Vereshchagin dari enam
hanya tersisa dua periode.

Untuk mengatasi masalah tersebut, kita akan membuat diagram
momen lentur M x,q dan torsi
momen M cr,q dari beban luar
(Gbr. 33, b), dan kemudian di titik A kita menerapkan gaya
ke arah gerakan yang diinginkan,
itu. vertikal (Gbr. 33, c), dan bangun
diagram tunggal momen lentur
dan torsi
(Gbr. 33, d).
Panah pada diagram torsi
arah putaran yang ditunjukkan
bidang yang relevan
sistem spasial datar.

Pergerakan vertikal titik A:

Saat mengalikan diagram torsi
pekerjaan diambil dengan tanda “+”,
jika panah menunjukkan arah
puntir, searah, dan dengan tanda "
- " - jika tidak.

studfiles.net

Mengalikan diagram menggunakan metode Vereshchagin

Untuk menghitung, Anda perlu melakukan operasi berikut:

1. Buatlah diagram momen lentur Tn Dan Mrk tergantung pada beban tertentu dan beban satuan balok. Dengan pembebanan balok yang kompleks (Gbr. 19, A) berikut: salah satu diagram Tn dipecah menjadi bagian-bagian paling sederhana yang luas dan posisi pusat gravitasinya diketahui (Gbr. 19, b), atau (lebih disukai) buatlah diagram Tn dalam bentuk bertingkat (Gbr. 19, c).

Jika balok memiliki bagian variabel bertahap, diagramnya Tn Selain itu, harus dibagi menjadi beberapa bagian yang kekakuan bagiannya konstan.

2. Pada setiap bagian, kalikan luas ω dari salah satu diagram (misalnya diagram Tn) per ordinat MS diagram lain (misalnya diagram mk) di bawah pusat gravitasi diagram pertama dan membagi produk yang dihasilkan dengan koefisien langkah j.

Dalam hal ini, ordinatnya MS harus diambil pada suatu diagram, yang pada daerah yang ditinjau berubah menurut hukum linier (tanpa putus). Jika diagramnya rusak, diagram tersebut harus dibagi menjadi beberapa bagian yang di dalamnya akan berbentuk linier.

3. Hitung jumlah suku-suku yang ditentukan pada ayat 2.

Rumus untuk menentukan gerak menggunakan metode yang dipertimbangkan

dimana penjumlahan dilakukan pada seluruh bagian balok

Luas dan koordinat pusat gravitasi beberapa diagram diberikan dalam Tabel. 11. Hasil perkalian diagram beban dan satuan yang sering muncul diberikan pada tabel. 12.

Contoh. Tentukan sudut rotasinya ­ nilai-nilai DI DALAM balok bertingkat (lihat Gambar 19, a).

Setelah menentukan reaksi pendukung A dan B , mari kita buat diagramnya Tn pada gambar. 19, B Dan V diagram non-stratifikasi dan stratifikasi ditampilkan Tn. Dengan menerapkan momen satuan pada titik B balok yang terbebas dari beban, kita membuat diagram satuan M1(Gbr. 19.g).

Menggunakan diagram berlapis Mp, sesuai rumus 36 dan tabel. 12 kita menentukan sudut rotasi bagian B yang diinginkan:


Ara. 20

Contoh. Tentukan defleksi di titik K dari balok dengan penampang konstan (Gbr. 20, a).

Dengan menerapkan gaya satuan ke titik K, dibebaskan dari beban balok yang diberikan, kita akan membuat diagram satuan momen lentur Mk (Gbr. 20, b).
Setelah menentukan reaksi tumpuan dari suatu beban yang diberikan

Mari kita potong konsolnya dan ganti dengan paksa qa dan momen (Gbr. 20, c).

Mari kita buat diagram bertingkat M (untuk setiap jenis beban secara terpisah), mendekati titik putus diagram tunggal Mrk di kedua sisi (Gbr. 20, Saya ).

Menurut rumus (36) menggunakan tabel. 12 tentukan perpindahan yang diperlukan

Pesan solusi Metode pembayaran

studi lucu.ru

Penentuan perpindahan pada balok menggunakan rumus Simpson

Untuk balok, tentukan perpindahan linier dan sudut di titik A, B, C, setelah sebelumnya memilih penampang balok I dari kondisi kekuatan.

Diberikan:A=2m,B=4m, s=3m,F=20 kN, M=18 kNM,Q=6 kN/m, σadm=160 MPa, E=210 5 MPa



1) Gambarlah diagram balok dan tentukan reaksi tumpuannya. Dalam segel yang keras hal itu terjadi 3 reaksi - vertikal dan horizontal, Dan momen pendukung. Karena tidak ada beban horizontal, reaksi yang bersesuaian adalah nol. Untuk mencari reaksi di titik E, kita buat persamaan kesetimbangan.

∑F y = 0 q7-F+RE =0

R E =-q7+F=-67+20=-22kN(tandanya menunjukkan itu

Kami akan menemukannya momen tumpu pada penanaman kaku, yang untuknya kita menyelesaikan persamaan momen relatif terhadap titik mana pun yang dipilih.

∑M C: -M E -RE 9-F6-q77/2-M=0

SAYA =-18-229+649/2=-18-198+147=-69kNm(tandanya menunjukkan itu reaksinya diarahkan ke sisi sebaliknya, kami tunjukkan ini dalam diagram)

2) Kami membuat diagram beban M F - diagram momen dari beban tertentu.

Untuk membuat diagram momen, kita temukan momen pada titik-titik karakteristik. DI DALAM poin B kita menentukan momennya dari kekuatan kanan dan kiri, karena momen diterapkan pada titik ini.

Untuk membuat diagram momen pada garis kerja beban terdistribusi (bagian AB dan SM) kita butuh poin tambahan untuk memplot kurva. Mari kita tentukan momennya di tengah-tengah daerah-daerah ini. Inilah momen-momen yang berada di tengah-tengah ruas AB dan BC 15,34 kNm dan 23,25 kNm. Kami sedang membangun diagram kargo.

3) Untuk menentukan perpindahan linier dan sudut pada suatu titik, pada titik tersebut perlu diterapkan, dalam kasus pertama, satuan gaya (F=1) dan buatlah diagram momen, dalam kasus kedua, momen tunggal (M=1) dan buatlah diagram momen. Kami membuat diagram beban satuan untuk setiap titik - A, B, dan C.

4) Untuk mencari perpindahan kita menggunakan rumus Simpson.

Di mana aku – panjang bagian;

EI saya– kekakuan balok di area tersebut;

M F– nilai momen lentur dari diagram beban, masing-masing di awal, di tengah, dan di akhir bagian;

– nilai momen lentur dari satu diagram, masing-masing di awal, di tengah, dan di akhir bagian.

Jika ordinat diagram terletak pada salah satu sisi sumbu balok, maka tanda “+” diperhitungkan saat mengali, jika terletak pada sisi yang berbeda, maka tanda “-” diperhitungkan.

Jika hasilnya bertanda “-”, maka arah perpindahan yang diinginkan tidak sesuai dengan arah faktor gaya satuan yang bersangkutan.

Mari kita pertimbangkan penerapan rumus Simpson pada contoh penentuan perpindahan di titik A.

Mari kita definisikan defleksi, mengalikan diagram beban dengan diagram satuan gaya.

Ternyata ada defleksi dengan tanda "-". berarti perpindahan yang diinginkan arahnya tidak sesuai dengan arah satuan gaya (mengarah ke atas).

Mari kita definisikan sudut rotasi, mengalikan diagram beban dengan diagram dari momen tunggal.

Sudut rotasinya ternyata dengan tanda "-". Artinya perpindahan yang diinginkan arahnya tidak sesuai dengan arah momen satuan yang bersangkutan (berarah berlawanan arah jarum jam).

5) Untuk menentukan nilai perpindahan tertentu, perlu untuk memilih suatu bagian. Mari kita pilih penampang balok-I

Di mana Mmaks- Ini momen maksimum pada diagram momen beban

Kami memilih berdasarkan bermacam-macam Balok I No. 30 dengan L x = 472 cm 3 dan I x = 7080 cm 4

6) Tentukan perpindahan pada titik-titik tersebut mengungkapkan kekakuan bagian: E – modulus elastisitas longitudinal bahan atau modulus Young (2 · 10 5 MPa),J x – momen inersia aksial bagian tersebut

Lendutan di titik A (atas)

Sudut rotasi (berlawanan arah jarum jam)

Jika Anda perlu membangun sumbu balok melengkung, kemudian balok ditarik tanpa beban, dan defleksi ke arah yang sesuai diletakkan pada titik-titik - kurva halus dibuat - sumbu lengkung balok.

prosopromat.ru

Mengalikan diagram menurut aturan, metode atau metode Mohr-Vereshchagin

Halo! Pada artikel ini kita akan belajar menentukan pergerakan penampang selama pembengkokan: defleksi dan sudut rotasi, menurut metode Vereshchagin (metode, aturan). Selain itu, aturan ini banyak digunakan tidak hanya dalam menentukan perpindahan, tetapi juga dalam mengungkap ketidakpastian statis suatu sistem dengan menggunakan metode gaya. Saya akan memberi tahu Anda tentang inti dari metode ini, bagaimana diagram dengan kompleksitas yang berbeda-beda dikalikan, dan kapan manfaat menggunakan metode ini.

Apa yang perlu Anda ketahui agar berhasil menguasai materi pelajaran ini?

Sangat penting untuk mengetahui bagaimana diagram momen lentur dibuat, karena Pada artikel ini kita akan bekerja dengan diagram ini.

Vereshchagin dan metode, aturan atau metodenya

AK. Vereshchagin pada tahun 1925 mengusulkan metode yang lebih sederhana untuk menyelesaikan (rumus) integral Mohr. Dia mengusulkan, alih-alih mengintegrasikan dua fungsi, untuk mengalikan diagram: mengalikan luas satu diagram dengan ordinat diagram kedua di bawah pusat gravitasi diagram pertama. Cara ini bisa digunakan jika salah satu diagramnya lurus, diagram kedua bisa apa saja. Selain itu, ordinatnya diambil dari diagram garis lurus. Jika kedua diagram berbentuk bujursangkar, maka tidak menjadi masalah luas siapa yang diambil dan ordinat siapa. Jadi, diagram menurut Vereshchagin dikalikan menurut rumus berikut:​

\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \omega )_( C )\cdot ( \overline ( M ) )_( C ) \)​

Perkalian diagram menurut Vereshchagin diilustrasikan: C adalah pusat gravitasi diagram pertama, ωс adalah luas diagram pertama, Mc adalah ordinat diagram kedua di bawah pusat gravitasi diagram pertama.

Luas dan pusat gravitasi diagram

Saat menggunakan metode Vereshchagin, seluruh area diagram tidak diambil sekaligus, tetapi sebagian, dalam beberapa bagian. Diagram momen lentur dikelompokkan menjadi gambar sederhana.

Diagram apa pun hanya dapat dibagi menjadi tiga gambar: persegi panjang, segitiga siku-siku dan segmen parabola.

Perkalian diagram menurut Vereshchagin

Di blok artikel ini saya akan menunjukkan kasus khusus perkalian diagram menurut Vereshchagin.

Persegi panjang ke persegi panjang

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( b\cdot h\cdot c ) \)​

Persegi panjang ke segitiga

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( b\cdot h\cdot \frac ( 1 )( 2 ) \cdot c ) \)​

Segitiga ke persegi panjang

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( 1 )( 2 ) \cdot b\cdot h\cdot c ) \)​

Segmen menjadi persegi panjang

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( q\cdot ( l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot c ) \)​

Segmen per segitiga

​\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( q\cdot ( l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot \frac ( 1 )( 2 ) \cdot c ) \)​

Kasus khusus stratifikasi diagram menjadi gambar sederhana

Pada blok artikel ini saya akan menunjukkan kasus khusus stratifikasi diagram menjadi gambar sederhana, agar dapat mengalikannya menurut Vereshchagin.

Persegi panjang dan segitiga

Dua segitiga

Dua segitiga dan satu segmen

Segitiga, persegi panjang dan ruas

Contoh penentuan perpindahan: defleksi dan sudut rotasi menurut Vereshchagin

Sekarang saya mengusulkan untuk mempertimbangkan contoh spesifik dengan perhitungan perpindahan penampang: defleksi dan sudut rotasinya. Mari kita ambil balok baja yang dibebani dengan segala macam beban dan tentukan defleksi bagian C, serta sudut putar bagian A.

Membuat diagram momen lentur

Pertama-tama, kita menghitung dan membuat diagram momen lentur:

Konstruksi diagram momen tunggal

Sekarang, untuk setiap perpindahan yang diinginkan, perlu menerapkan beban satuan (nilai tak berdimensi sama dengan satu) dan membuat diagram satuan:

  • Untuk defleksi, gaya satuan diterapkan.
  • Untuk sudut belok, momen tunggal diterapkan.

Apalagi arah beban ini tidak penting! Perhitungan akan menunjukkan arah pergerakan yang benar.

Misalnya, setelah dihitung, nilai defleksi ternyata positif, artinya arah pergerakan bagian tersebut bertepatan dengan arah gaya yang diberikan sebelumnya. Hal yang sama berlaku untuk sudut belok.

Perkalian bagian diagram menurut Vereshchagin

Lagipula pekerjaan persiapan: membuat diagram momen lentur, membaginya menjadi gambar-gambar dasar dan membuat diagram tunggal dari beban yang diterapkan di tempat dan arah perpindahan yang diinginkan, Anda dapat langsung mengalikan diagram yang sesuai.

Seperti yang sudah ditulis di atas, diagram linier Anda dapat mengalikan dalam urutan apa pun, yaitu mengambil luas diagram apa pun: utama atau satuan, dan mengalikannya dengan ordinat diagram lainnya. Namun biasanya, agar tidak bingung dalam perhitungannya, diambil luasnya diagram utama momen lentur, dalam pelajaran ini kita akan mengikuti aturan yang sama.

Penentuan defleksi penampang C

Kami mengalikan diagram yang sesuai dari kiri ke kanan dan menghitung defleksi bagian C menggunakan metode Mohr-Vereshchagin:

\[ ( V )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x ) ) (\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2+\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 2\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2)=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I ) _( X ) ) \]

Bayangkan balok yang dihitung mempunyai penampang berupa balok I No. 24 menurut GOST 8239-89, maka defleksi balok tersebut akan sama dengan:

\[ ( V )_( C )=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I )_( x ) ) =\frac ( 20\cdot ( 10 )^( 9 )N\cdot ( cm )^( 3 ) )( 2\cdot ( 10 )^( 7 )\frac ( H )( ( cm )^( 2 ) ) \cdot 3460( cm )^( 4 ) ) =0,289 cm \]

Menentukan sudut putar bagian C

Kami mengalikan diagram yang sesuai dari kiri ke kanan dan menghitung sudut rotasi bagian C menggunakan aturan Mohr-Vereshchagin:

\[ ( \theta )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x ) ) (-\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 1 )( 3 ) \cdot 1)=-\frac ( 3kN( m )^( 2 ) )( E( I )_( x ) ) \]

\[ ( ( \theta ) )_( C )=-\frac ( 3kN( m )^( 2 ) )( E( I )_( x ) ) =-\frac ( 3\cdot ( 10 )^( 7 )Н\cdot ( cm )^( 3 ) )( 2\cdot ( 10 )^( 7 )\frac ( Н )( ( cm )^( 2 ) ) \cdot 3460( cm )^( 4 ) ) =- 0,0004rad\]

sopromats.ru

Rumus trapesium dan Simpson

Mari manfaatkan
Aturan perkalian Vereshchagin
dua diagram garis lurus yang berbentuk
trapesium. Mari kita bagi kedua trapesium menjadi
segitiga yang luasnya dan
posisi pusat gravitasinya mudah
ditentukan.

Diagram
M F

ω 1

C 1 C 2

ω 2

Diagram

Kami
telah mendapatkan rumus
trapesium,
berdasarkan
yang merupakan produk yang sesuai
ordinat kiri dan kanan diagram diperlukan
ganda, dan hasil kali salib
ambil ordinatnya sebagai satuan, dan hasilnya
kalikan jumlahnya dengan seperenam panjangnya
diagram.

Mari kita pertimbangkan
kasus ketika diagram beban disajikan
parabola persegi, dan diagram satuan
– trapesium.

ω P.S.

Bersama
dengan ordinat ekstrem kami juga menunjukkan ordinat rata-rata.

Mari kita uraikan
diagram lengkung pada trapesium dan
segmen parabola.

Kami akan memproduksi
perkalian angka-angka yang bersesuaian.

Ekspresi
SAYA T
kita punya. Kami akan menemukannya
.

Persegi
segmen parabola:

Ordinat
plot tunggal di bawah pusat gravitasi
segmen parabola:

Setelah
substitusi yang kita dapatkan rumus
Simpson:

Bekerja
dua diagram sama dengan jumlah produknya
ordinat ekstrim dan empat kali lipat
hasil kali ordinat rata-rata
seperenam dari panjang diagram.

§7. Perhitungan gaya sistem batang statis tak tentu (SNS).

Secara statis
sistem tak tentu (INS) miliki
kelebihan dan kekurangan dibandingkan
dengan sistem yang dapat ditentukan secara statis
(SOS).

Keuntungan:

    SNA
    mempunyai kemampuan bertahan hidup yang lebih besar
    operasi di bawah beban daripada SOS. DI DALAM
    SOS hampir semua elemen
    sama-sama tegang, dan karena itu memang demikian
    cadangan kekuatan hanya dalam batasnya
    faktor keamanan k
    =1,5
    – 2. Jika setidaknya satu elemen hilang
    ke keadaan batas, seluruh struktur
    akan menerima tidak dapat diterima dari sudut pandang
    standar untuk menghitung deformasi atau keruntuhan.
    SNS adalah struktur dengan tekanan yang tidak sama
    dan selama transisi yang paling intens
    elemen ke keadaan batasnya,
    ada redistribusi upaya
    dari peningkatan beban pada tekanan yang lebih sedikit
    elemen.

    media sosial,
    karena adanya koneksi yang tidak perlu dan mubazir
    kekakuan elemen individu, lebih sedikit
    lebih deformatif daripada SOS, mis. mereka memiliki lebih sedikit
    gerakan sudut linier.

Kekurangan:

    SNA
    lebih kompleks untuk dihitung daripada SOS, yang mana
    dijelaskan oleh adanya kelebihan
    koneksi (ekstra). Kompleksitas perhitungan
    SNA sebanding dengan pangkat ketiga
    jumlah koneksi tambahan, mis.
    .
    Misalnya untuk dua sistem N 1 =1,
    N 2 =4 ,
    Itu
    T 1 = α ,
    T 2 =64α,
    itu. waktu perhitungan meningkat 64 kali lipat.

    DI DALAM
    Distribusi kekuatan SNA dalam elemen
    tergantung pada dimensi geometrisnya,
    definisi yang, pada gilirannya,
    adalah tugas utama perlawanan
    bahan. Maka timbullah
    perlunya penugasan apriori
    kekakuan lentur dan melintang
    bagian dari batang individu: (MATA) k =α k (MATA),
    yang mengarah pada ambiguitas
    solusi konstruktif.

Lagi
keberhasilan penetapan kekakuan, tergantung
dari memahami esensi tugas perlawanan
bahan akan mengarah pada penciptaan lebih banyak
desain yang optimal.

    DI DALAM
    SNS mungkin tampak sulit
    ukurannya dapat diprediksi
    keadaan stres-regangan,
    disebabkan oleh perubahan suhu
    dan penyelesaian dukungan secara independen. Mengubah
    suhu salah satu unsur penyebabnya
    munculnya tekanan suhu
    di semua batang SNA. Sama dengan ketidakakuratan
    pembuatan salah satu batang atau
    perpindahan salah satu ikatan menyebabkan munculnya
    tegangan pemasangan pada semua batang.
    Di SOS, ketegangan seperti itu tidak muncul.

Mari kita pertimbangkan
metode dasar untuk menghitung SNA kapan
dampak statis dari beban.

Kerugian dari metode Mohr adalah perlunya memperoleh nilai faktor gaya dalam yang termasuk dalam ekspresi integran rumus (2.18) dan (2.19), dalam bentuk umum, sebagai fungsi z, yang bahkan menjadi cukup padat karya. dengan dua atau tiga bagian partisi pada balok dan khususnya pada rangka

Ternyata kelemahan ini dapat dihindari dengan mengganti integrasi langsung dalam rumus Mohr dengan apa yang disebut mengalikan diagram. Penggantian seperti itu dimungkinkan dalam kasus di mana setidaknya salah satu diagram yang dikalikan berbentuk bujursangkar. Semua sistem yang terdiri dari batang lurus memenuhi kondisi ini. Memang benar, dalam sistem seperti itu, diagram yang dibangun dari satuan gaya yang digeneralisasikan akan selalu berbentuk bujursangkar.

Cara menghitung integral Mohr dengan mengganti integrasi langsung dengan mengalikan diagram-diagram yang bersesuaian disebut Metode (atau aturan) Vereshchagin dan sebagai berikut: untuk mengalikan dua diagram, paling sedikit salah satunya berbentuk bujursangkar, luas salah satu diagram harus dikalikan (jika ada diagram lengkung, maka luasnya harus) dengan ordinat dari diagram tersebut. diagram lainnya, terletak di bawah pusat gravitasi diagram pertama.

Mari kita buktikan keabsahan aturan ini. Mari kita lihat dua diagram (Gbr. 28). Misalkan salah satunya (Mn) adalah beban dan memiliki garis lengkung, dan yang kedua sesuai dengan beban satuan dan linier.

Dari Gambar 28 berikut ini Mari kita substitusikan nilai-nilai ke dalam ekspresi

dimana adalah luas diferensial diagram Mn.


Beras. 28

Integral tersebut menyatakan momen statis luas relatif terhadap sumbu O – O1, sedangkan:

dimana zc adalah absis pusat gravitasi daerah tersebut, maka:

Mengingat kita mendapatkan:
(2.20)
Ekspresi (2.20) menentukan hasil perkalian dua diagram, bukan perpindahan. Untuk mendapatkan perpindahan, hasil ini harus dibagi dengan kekakuan yang berhubungan dengan faktor gaya dalam di bawah tanda integral.

Opsi dasar untuk mengalikan diagram

Jelaslah bahwa variasi beban yang diterapkan dan desain geometris struktur mengarah pada diagram perkalian yang berbeda, dari sudut pandang geometri. Untuk implementasi Aturan Vereshchagin Anda perlu mengetahui luas bangun geometri dan koordinat pusat gravitasinya. Gambar 29 menunjukkan beberapa opsi utama yang muncul dalam perhitungan praktis.

Untuk mengalikan diagram bentuk yang kompleks, maka harus dipecah menjadi bentuk yang sederhana. Misalnya, untuk mengalikan dua diagram yang terlihat seperti trapesium, Anda perlu membagi salah satunya menjadi segitiga dan persegi panjang, kalikan luas masing-masing diagram dengan ordinat diagram kedua, yang terletak di bawah pusat yang sesuai. gravitasi, dan tambahkan hasilnya. Hal yang sama berlaku untuk mengalikan trapesium lengkung dengan diagram linier apa pun.

Jika langkah-langkah di atas dilakukan dalam bentuk umum, kita akan memperoleh rumus untuk kasus-kasus kompleks yang nyaman untuk digunakan dalam perhitungan praktis (Gbr. 30). Jadi, hasil perkalian dua trapesium (Gbr. 30, a):

(2.21)



Beras. 29

Dengan menggunakan rumus (2.21), Anda juga dapat mengalikan diagram yang berbentuk trapesium “bengkok” (Gbr. 30, b), tetapi dalam hal ini hasil kali ordinat yang terletak pada sisi berlawanan dari sumbu diagram diperhitungkan dengan a tanda kurang.

Jika salah satu dari diagram yang dapat dikalikan digambarkan sepanjang parabola persegi (yang sesuai dengan pembebanan dengan beban yang terdistribusi secara merata), kemudian untuk perkalian dengan diagram kedua (harus linier) dianggap sebagai jumlah (Gbr. 30, c) atau selisihnya (Gbr. 30, d) diagram trapesium dan parabola. Hasil perkalian kedua kasus tersebut ditentukan dengan rumus:
(2.22)

tetapi nilai f ditentukan secara berbeda (Gbr. 30, c, d).



Beras. tigapuluh

Mungkin ada kasus ketika tidak ada diagram perkalian yang berbentuk bujursangkar, tetapi setidaknya satu diagram dibatasi oleh garis lurus putus-putus. Untuk mengalikan diagram seperti itu, diagram tersebut terlebih dahulu dibagi menjadi beberapa bagian, yang masing-masingnya memiliki setidaknya satu diagram berbentuk bujursangkar.
Pertimbangkan untuk menggunakan Aturan Vereshchagin pada contoh-contoh spesifik.

Contoh 15. Tentukan defleksi di tengah bentang dan sudut putar bagian kiri penyangga balok yang dibebani dengan beban terdistribusi merata (Gbr. 31,a), Metode Vereshchagin.

Urutan perhitungan Metode Vereshchagin– sama seperti metode Mohr, oleh karena itu kita akan mempertimbangkan tiga keadaan balok: beban – di bawah aksi beban terdistribusi q; itu sesuai dengan diagram Mq (Gbr. 31, b), dan dua keadaan tunggal - di bawah aksi gaya yang diterapkan di titik C (diagram, Gambar 31, c), dan momen yang diterapkan di titik B (diagram, Gambar .31, d) .

Lendutan balok di tengah bentang:

Hasil serupa diperoleh sebelumnya dengan metode Mohr (lihat contoh 13). Perhatian harus diberikan pada fakta bahwa perkalian diagram dilakukan untuk setengah balok, dan kemudian, karena simetri, hasilnya digandakan. Jika luas seluruh diagram Mq dikalikan dengan ordinat diagram yang terletak di bawah pusat gravitasinya (pada Gambar 31, c), maka besar perpindahannya akan sangat berbeda dan salah karena diagram dibatasi oleh garis putus-putus. Tidak dapat diterimanya pendekatan semacam itu telah disebutkan di atas.

Dan ketika menghitung sudut rotasi suatu bagian di titik B, Anda dapat mengalikan luas diagram Mq dengan ordinat diagram yang terletak di bawah pusat gravitasinya (Gbr. 31, d), karena diagram tersebut terbatas dengan garis lurus:

Hasil ini juga sesuai dengan hasil yang diperoleh sebelumnya dengan metode Mohr (lihat contoh 13).


Beras. 31

Contoh 16. Tentukan pergerakan horizontal dan vertikal titik A pada bingkai (Gbr. 32, a).

Seperti pada contoh sebelumnya, untuk menyelesaikan masalah, perlu mempertimbangkan tiga keadaan kerangka: muatan dan dua keadaan tunggal. Diagram momen MF yang berhubungan dengan keadaan pertama disajikan pada Gambar 32, b. Untuk menghitung gerak horizontal, kita menerapkan gaya di titik A ke arah gerakan yang diinginkan (yaitu horizontal), dan untuk menghitung gerak vertikal, kita menerapkan gaya secara vertikal (Gbr. 32, c, e). Diagram yang sesuai ditunjukkan pada Gambar. 32, d, f.

Pergerakan horizontal titik A:



Saat menghitung di bagian AB, trapesium (diagram MF) dibagi menjadi segitiga dan persegi panjang, setelah itu segitiga dari diagram “dikalikan” dengan masing-masing gambar tersebut. Pada bagian BC, trapesium lengkung dibagi menjadi segitiga lengkung dan persegi panjang, dan rumus (2.21) digunakan untuk mengalikan diagram pada bagian SD.

Tanda “-” yang diperoleh selama perhitungan berarti titik A bergerak secara horizontal bukan ke kiri (gaya diterapkan ke arah ini), tetapi ke kanan.