Tema Pengkode Ujian Negara Bersatu: gaya-gaya mekanika, gaya gesek, koefisien gesek geser.

Gaya gesek - ini adalah kekuatan interaksi antara benda-benda yang bersentuhan, mencegah pergerakan satu benda relatif terhadap benda lain. Gaya gesekan selalu diarahkan sepanjang permukaan benda yang bersentuhan.

Dalam fisika sekolah, ada dua jenis gesekan yang dibahas.

1.Gesekan kering. Ini terjadi di zona kontak permukaan padat tanpa adanya lapisan cair atau gas di antara keduanya.
2.Gesekan kental. Itu terjadi ketika bergerak padat dalam media cair atau gas atau ketika satu lapisan media bergerak relatif terhadap lapisan lainnya.

Gesekan kering dan kental mempunyai sifat dan sifat yang berbeda. Mari kita pertimbangkan jenis gesekan ini secara terpisah.

Gesekan kering.

Gesekan kering dapat terjadi bahkan tanpa adanya pergerakan relatif benda. Dengan demikian, sofa yang berat tetap tidak bergerak meskipun ada upaya lemah untuk memindahkannya dari tempatnya: gaya yang kita berikan pada sofa dikompensasi oleh gaya gesekan yang timbul antara sofa dan lantai. Gaya gesekan yang bekerja antara permukaan benda yang diam dan mencegah terjadinya gerak disebut gaya gesekan statis.

Mengapa gaya gesekan statis muncul? Permukaan kontak antara sofa dan lantai kasar, dihiasi dengan tuberkel mikroskopis yang tidak terlihat dengan berbagai bentuk dan ukuran. Benjolan ini saling menempel dan mencegah sofa mulai bergerak. Gaya gesekan statis disebabkan oleh gaya tolak-menolak elektromagnetik molekul yang timbul selama deformasi tuberkel.

Dengan peningkatan gaya secara bertahap, sofa tetap tidak menyerah dan tetap berdiri - gaya gesekan statis meningkat seiring dengan peningkatan pengaruh eksternal, namun besarnya tetap sama dengan gaya yang diterapkan. Hal ini dapat dimengerti: deformasi tuberkel meningkat dan gaya tolak menolak molekulnya meningkat.

Akhirnya, dengan sejumlah gaya luar, sofa bergerak dari tempatnya. Gaya gesekan statis mencapai nilai maksimum yang mungkin. Deformasi tuberkel menjadi sangat besar sehingga tuberkel tidak dapat menahannya dan mulai runtuh. Terjadi pergeseran.

Gaya gesek yang bekerja antar permukaan geser disebut gaya gesek geser. Selama proses geser, ikatan antar molekul dalam tuberkel permukaan yang saling bertautan terputus. Dengan gesekan statis tidak ada diskontinuitas seperti itu.

Penjelasan tentang gesekan kering dalam kaitannya dengan tuberkel sesederhana dan sejelas mungkin. Mekanisme gesekan sebenarnya jauh lebih kompleks, dan pertimbangannya melampaui lingkup fisika dasar.

Gaya gesekan geser yang diterapkan pada benda dari sisi permukaan kasar diarahkan berlawanan dengan kecepatan gerak benda relatif terhadap permukaan tersebut. Ketika arah kecepatan berubah, arah gaya gesekan juga berubah. Ketergantungan gaya gesekan pada kecepatan adalah perbedaan utama antara gaya gesekan dan gaya elastisitas dan gravitasi (yang besarnya hanya bergantung pada posisi relatif benda, yaitu dari koordinatnya).

Dalam model gesekan kering yang paling sederhana, hukum berikut dipenuhi. Ini adalah generalisasi fakta eksperimental dan bersifat perkiraan.

1. Nilai maksimum gaya gesek statik sama dengan gaya gesek geser.
2. Nilai mutlak gaya gesek geser berbanding lurus dengan gaya reaksi tumpuan:

Koefisien proporsionalitas disebut koefisien gesekan.

3. Koefisien gesekan tidak bergantung pada kecepatan gerak benda pada permukaan kasar.
4. Koefisien gesekan tidak bergantung pada luas permukaan yang bersentuhan.

Undang-undang ini cukup untuk menyelesaikan masalah.

Tugas. Sebuah balok bermassa kg terletak pada permukaan kasar mendatar. Koefisien gesekan. Sebuah gaya horizontal diterapkan pada balok. Temukan gaya gesekan dalam dua kasus: 1) pada 2) pada .

Solusi: Mari kita buat gambar dan atur gaya-gayanya. Kami menunjukkan gaya gesekan (Gbr. 1).

Beras. 1. Untuk tugas

Mari kita tuliskan hukum kedua Newton:

(1)

Balok tidak bergerak sepanjang porosnya. Memproyeksikan persamaan (1) ke sumbu, kita memperoleh: , dari mana .

Nilai maksimum gaya gesek statis (juga dikenal sebagai gaya gesek geser) adalah sama dengan

1) Gayanya kurang dari gaya gesek statis maksimum. Balok tetap di tempatnya, dan gaya geseknya akan menjadi gaya gesek statis:
2) Gayanya lebih besar dari gaya gesek statis maksimum. Balok akan mulai meluncur, dan gaya geseknya akan menjadi gaya gesek geser: .

Gesekan kental.

Gaya hambatan yang timbul ketika suatu benda bergerak dalam medium kental (cair atau gas) mempunyai sifat yang sangat berbeda.

Pertama, tidak ada gaya gesekan statis. Misalnya, seseorang dapat memindahkan kapal terapung berbobot banyak hanya dengan menarik tali.

Kedua, kekuatan perlawanan bergantung pada bentuk benda yang bergerak. Lambung kapal selam, pesawat terbang, atau roket memiliki bentuk ramping berbentuk cerutu untuk mengurangi gaya hambat. Sebaliknya, ketika benda setengah bola bergerak dengan sisi cekung ke depan, gaya tariknya sangat besar (misalnya parasut).

Ketiga, nilai mutlak Gaya drag sangat bergantung pada kecepatan. Pada kecepatan rendah, gaya hambatan berbanding lurus dengan kecepatan:

Pada kecepatan tinggi, gaya hambat berbanding lurus dengan kuadrat kecepatan:

Misalnya, ketika jatuh di udara, ketergantungan gaya hambatan pada kuadrat kecepatan sudah terjadi pada kecepatan sekitar beberapa meter per detik. Koefisien dan bergantung pada bentuk dan ukuran tubuh, pada properti fisik permukaan tubuh dan medium kental.

Jadi, selama lompat jauh, penerjun payung tidak menambah kecepatan tanpa batas waktu, tetapi dari saat tertentu mulai jatuh dengan kecepatan tetap, di mana gaya hambatan menjadi sama dengan gaya gravitasi:

Oleh karena itu kecepatan tetapnya:

(2)

Tugas. Dua bola logam, yang ukurannya sama dan massanya berbeda, jatuh tanpa kecepatan awal dari bola yang sama dataran tinggi. Bola mana yang akan jatuh ke tanah lebih cepat - ringan atau berat?
Larutan. Dari rumus (2) dapat disimpulkan bahwa bola yang berat memiliki kecepatan jatuh pada kondisi tunak yang lebih tinggi. Artinya, dibutuhkan waktu lebih lama untuk menambah kecepatan sehingga mencapai permukaan tanah lebih cepat.

Definisi 1

Gaya gesekan mewakili gaya yang muncul pada saat dua benda bersentuhan dan menghambat gerak relatifnya.

Alasan utama yang memicu gesekan terletak pada kekasaran permukaan gosok dan interaksi molekuler permukaan tersebut. Gaya gesekan bergantung pada bahan permukaan yang bersentuhan dan gaya saling menekannya.

Konsep gaya gesekan

Berdasarkan model gesekan sederhana (berdasarkan hukum Coulomb), gaya gesekan akan dianggap berbanding lurus dengan derajat reaksi normal permukaan kontak dan gesekan. Jika dilihat secara keseluruhan, proses gaya gesek tidak dapat dijelaskan hanya dengan model mekanika klasik sederhana, yang dijelaskan oleh kompleksitas reaksi pada zona interaksi benda-benda yang bergesekan.

Gaya gesekan, seperti gaya elastis, bersifat elektromagnetik. Kemunculannya menjadi mungkin karena interaksi antara molekul dan atom benda yang bersentuhan.

Catatan 1

Gaya gesekan berbeda dari gaya elastis dan gaya gravitasi karena gaya tersebut tidak hanya bergantung pada konfigurasi benda (pada posisi relatifnya), tetapi juga pada kecepatan relatif interaksinya.

Jenis gaya gesekan

Asalkan ada gerak relatif antara dua benda yang bersentuhan satu sama lain, maka gaya gesek yang timbul dalam proses tersebut dibagi menjadi beberapa jenis berikut:

  1. Gesekan geser (mewakili gaya yang timbul sebagai akibat gerak translasi salah satu benda yang berinteraksi relatif terhadap benda kedua dan bekerja pada benda tersebut dalam arah yang berlawanan dengan arah geser).
  2. Gesekan menggelinding (mewakili momen gaya yang dapat timbul pada kondisi proses menggelindingkan salah satu dari dua benda yang bersentuhan satu sama lain).
  3. Gesekan statis (dianggap sebagai gaya yang timbul antara dua benda yang berinteraksi, dan menjadi hambatan serius bagi terjadinya gerak relatif. Gaya tersebut diatasi untuk membuat benda-benda yang bersentuhan tersebut bergerak relatif satu sama lain. Jenis gesekan ini muncul selama gerakan mikro (misalnya, selama deformasi ) benda yang bersentuhan.Dengan meningkatnya gaya, gaya gesekan juga akan meningkat.
  4. Gesekan rotasi (adalah momen gaya yang timbul antara benda-benda yang bersentuhan dalam kondisi rotasi salah satu benda terhadap benda lain dan diarahkan melawan rotasi). Ditentukan dengan rumus: $M=pN$, dimana $N$ adalah tekanan normal, $p$ adalah koefisien gesekan rotasi yang berdimensi panjang.

Kemandirian gaya gesekan dari luas permukaan di mana kontak benda diamati, dan proporsionalitas gaya tekanan normal yang digunakan suatu benda untuk bekerja pada benda kedua, ditetapkan secara eksperimental.

Definisi 2

Nilai konstan mewakili koefisien gesekan, yang bergantung pada sifat dan kondisi permukaan gesekan.

Dalam situasi tertentu, gesekan bermanfaat. Contohnya adalah ketidakmungkinan manusia berjalan (tanpa adanya gesekan) dan pergerakan kendaraan. Pada saat yang sama, gesekan juga dapat menimbulkan efek berbahaya. Dengan demikian, hal ini memicu keausan pada bagian kontak mekanisme, konsumsi bahan bakar tambahan Kendaraan. Berbagai pelumas (bantalan udara atau cairan) berfungsi sebagai cara untuk mengatasi hal ini. Satu lagi cara yang efektif dianggap sebagai pengganti geser dengan menggelinding.

Rumus perhitungan dasar untuk menentukan gaya gesekan

Rumus perhitungan gaya gesek pada saat meluncur akan terlihat seperti ini:

  • $m$-koefisien proporsionalitas (gesekan geser),
  • $Р$ – gaya tekanan vertikal (normal).

Gaya gesek geser merupakan salah satu gaya yang mengendalikan gerak, dan rumusnya ditulis menggunakan gaya reaksi tumpuan. Berdasarkan aksi hukum ketiga Newton, gaya-gaya tekanan normal, serta reaksi tumpuan, ternyata sama besarnya dan berlawanan arah:

Sebelum menentukan gaya gesekan, rumusnya akan ditulis sebagai berikut: $F=mN$, ditentukan gaya reaksinya.

Catatan 2

Koefisien resistensi selama proses geser diperkenalkan secara eksperimental untuk permukaan gosok, dan itu akan tergantung pada bahan dan kualitas pemrosesan.

Gaya gesekan statis maksimum ditentukan sama dengan gaya gesekan geser. Hal ini penting untuk memecahkan masalah penentuan kekuatan penggerak resistensi. Contohnya adalah sebuah buku digerakkan dengan tangan yang ditekan padanya. Dengan demikian, geseran buku ini akan dilakukan di bawah pengaruh gaya hambatan statis antara buku dan tangan. Dalam hal ini, besarnya hambatan akan bergantung pada gaya tekanan vertikal pada buku.

Fakta yang menarik adalah bahwa gaya gesekan sebanding dengan kuadrat kecepatan yang bersangkutan, dan rumusnya akan berubah tergantung pada kecepatan pergerakan benda-benda yang berinteraksi. Gaya ini termasuk gaya hambatan viskos dalam suatu zat cair.

Tergantung pada kecepatan gerak, gaya hambatan akan ditentukan oleh kecepatan gerak, bentuk benda yang bergerak, atau kekentalan zat cair. Pergerakan benda yang sama dalam minyak dan air disertai dengan hambatan yang besarnya berbeda. Untuk kecepatan rendah tampilannya seperti ini:

  • $k$ – koefisien proporsionalitas, bergantung pada dimensi linier benda dan sifat lingkungan,
  • $v$ adalah kecepatan tubuh.

Semua orang tahu betapa sulitnya memindahkan benda berat di permukaan apa pun. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa permukaan suatu benda padat tidak mulus sempurna dan mengandung banyak lekukan (ukurannya berbeda-beda, yang mengecil selama penggilingan). Ketika dua benda bersentuhan, giginya saling bertautan. Biarkan gaya kecil (F) diterapkan pada salah satu benda, diarahkan secara tangensial ke permukaan yang bersentuhan. Di bawah pengaruh gaya ini, takik akan berubah bentuk (menekuk). Oleh karena itu, akan muncul gaya elastis yang diarahkan sepanjang permukaan yang bersentuhan. Gaya elastis yang bekerja pada benda yang menerima gaya F mengkompensasi gaya tersebut dan benda tetap diam.

Gaya gesekan statis – gaya yang timbul pada batas benda yang bersentuhan tanpa adanya gerak relatifnya.

Gaya gesekan statis diarahkan secara tangensial ke permukaan benda yang bersentuhan (Gbr. 10) dalam arah yang berlawanan dengan gaya F, dan besarnya sama: Ftr = - F.

Ketika modulus gaya F meningkat, pembengkokan takik kait akan meningkat dan, pada akhirnya, takik tersebut akan mulai patah dan benda akan mulai bergerak.

Gaya gesekan geser – ini adalah gaya yang timbul pada batas benda yang bersentuhan selama gerak relatifnya.

Vektor gaya gesekan geser arahnya berlawanan dengan vektor kecepatan benda relatif terhadap permukaan tempat benda tersebut meluncur.

Sebuah benda yang meluncur pada permukaan padat ditekan terhadapnya oleh gaya gravitasi P yang diarahkan sepanjang garis normal. Akibatnya, permukaan menekuk dan muncul gaya elastis N (gaya tekanan normal atau reaksi tumpuan), yang mengkompensasi gaya tekan P (N = - P).

Semakin besar gaya N, semakin dalam cengkeraman takik tersebut dan semakin sulit untuk mematahkannya. Pengalaman menunjukkan bahwa modulus gaya gesek geser sebanding dengan gaya tekanan normal:

Koefisien tak berdimensi μ disebut koefisien gesekan geser. Itu tergantung pada bahan permukaan yang bersentuhan dan tingkat penggilingannya. Misalnya, saat bermain ski, koefisien gesekan bergantung pada kualitas pelumas (pelumas modern yang mahal), permukaan jalur ski (lembut, longgar, padat, sedingin es), keadaan salju tertentu, bergantung pada suhu dan kelembaban, dll. Sejumlah besar faktor variabel membuat koefisien itu sendiri tidak stabil. Jika koefisien gesekan berada pada kisaran 0,045 - 0,055 maka luncuran dianggap baik.

Tabel menunjukkan nilai koefisien gesekan geser untuk berbagai benda yang bersentuhan.

Koefisien gesekan geser untuk berbagai kasus

Peran gaya gesekan dalam banyak kasus adalah positif. Berkat kekuatan inilah pergerakan manusia, hewan, dan transportasi darat menjadi mungkin. Jadi, ketika berjalan, seseorang, dengan menegangkan otot-otot kaki penyangga, mendorong tanah, mencoba menggerakkan telapak kaki ke belakang. Hal ini dicegah dengan gaya gesekan statis yang diarahkan sisi sebaliknya– maju (Gbr. 11).

Gaya gesekan adalah gaya hambatan mekanis yang timbul pada bidang kontak dua benda yang saling menekan selama gerak relatifnya.

Gaya hambatan yang bekerja pada suatu benda diarahkan berlawanan dengan gerak relatif suatu benda.

Gaya gesekan muncul karena dua alasan: 1) alasan pertama dan utama adalah bahwa pada titik kontak, molekul-molekul zat saling tarik-menarik, dan usaha harus dilakukan untuk mengatasi gaya tarik-menariknya. Permukaan yang bersentuhan hanya bersentuhan satu sama lain di area yang sangat kecil. Luas totalnya adalah 0,01 − 0,001 0,01 \div 0,001 dari total area kontak (yang terlihat). Saat digeser, area kontak sebenarnya tidak tetap tidak berubah. Gaya gesekan (geser) akan berubah selama gerakan. Jika benda yang meluncur ditekan lebih kuat terhadap benda tempat terjadinya geser, maka akibat deformasi benda tersebut, makaLuas titik kontak (dan gaya gesek) akan bertambah sebanding dengan gaya tekan.

$$F_\teks(tr) \sim F_\teks(prij)$$

2) penyebab kedua terjadinya gaya gesek adalahIni adalah adanya kekasaran (ketidakteraturan) permukaan, dan deformasinya ketika satu benda bergerak di sepanjang permukaan benda lain. Kedalaman penetrasi (engagement) kekasaran tergantung padagaya tekan, dan besarnya deformasi bergantung pada hal ini. Yang terakhir, pada gilirannya, menentukan besarnya gaya gesekan: F tr ∼ F prj F_\mathrm(tr) \sim F_\mathrm(prj) .

Dengan pergeseran relatif kedua sebab tersebut terjadi, oleh karena itu sifat interaksinya berbentuk hubungan sederhana:

F tr = μ N - \boxed(F_\mathrm(tr) =\mu N)\ - gaya gesekan geser (rumus Coulomb - Amonton), di mana

μ - \mu\ - koefisien gesekan geser,

N - N\ - gaya reaksi dukung sama dengan gaya tekan.

Besarnya koefisien gesekan berbeda-beda untuk kombinasi zat gosok yang berbeda, meskipun dengan perlakuan yang sama (gaya tarik menarik dan sifat elastis bergantung pada jenis zat).

Jika ada pelumas di antara permukaan gosok, gaya tarik menarik akan berubah secara nyata (molekul lain akan tertarik, dan gaya gesekan geser sebagian akan digantikan oleh gaya gesekan kental, yang akan kita bahas di bawah).

Jika sebuah benda yang terletak pada permukaan mendatar dikenai gaya mendatar F → \vec F , maka pergerakan akan disebabkan oleh gaya ini hanya jika gaya tersebut menjadi lebih besar dari nilai tertentu (μ N) (\mu N) . Sebelum gerakan dimulai, bagian luar gaya tersebut dikompensasi oleh gaya gesekan statis.












Beras. 13

Gaya gesekan statis selalu sama kekuatan eksternal, sejajar dengan permukaan, dan terjadi karena gaya tarik menarik antar molekul pada daerah titik kontak dan deformasi kekasaran.

Gaya gesekan statis berbeda-beda di berbagai bagian permukaan tempat terjadinya gerakan. Jika benda terletak di permukaan dalam waktu yang lama, maka akibat getaran (selalu ada di permukaan bumi), luas titik kontak akan sedikit bertambah. Oleh karena itu, untuk mulai bergerak, Anda harus mengatasi gaya gesek yang sedikit lebih besar daripada gaya gesek geser. Fenomena ini disebut fenomena stagnasi. Fenomena ini kita jumpai misalnya saat memindahkan furnitur dalam sebuah ruangan. (Pada Gambar 13, keunggulan gesekan statis dibandingkan gesekan geser sangat dilebih-lebihkan).

Kita menggunakan gaya gesekan statis untuk bergerak dengan ski atau sekadar berjalan.

Jenis gaya gesekan yang dipertimbangkan berhubungan dengan gesekan kering atau gesekan luar. Tetapi ada jenis gaya gesekan lain - gesekan viskos.

Ketika suatu benda bergerak dalam cairan atau gas, terjadi proses pertukaran molekul yang cukup kompleks antara lapisan cairan atau gas yang mengalir. Proses-proses ini disebut proses transfer.

Pada kecepatan rendah pergerakan suatu benda relatif terhadap gas atau cairan, gaya hambatan akan ditentukan oleh persamaan:

F tr = 6 π η r v - \boxed(F_\mathrm(tr) = 6\pi \eta r v)\ - Hukum Stokes untuk bola, di mana

η - \eta\ - viskositas zat tempat benda bergerak;

r - r\ - ukuran melintang rata-rata (radius) benda;

v - v\ - kecepatan relatif benda;

6 π - 6\pi\ - koefisien yang sesuai dengan bentuk bola benda.

Kesimpulan tentang besarnya kecepatan (besar atau kecil) dapat diambil dengan menentukan koefisien tak berdimensi yang disebut bilangan Reynolds:

R e = ρ r v η - \boxed(Re = \frac(\rho r v)(\eta))\ - bilangan Reynolds, di mana

ρ - \rho\ adalah massa jenis zat yang menggerakkan benda.

Jika R e< 1700 Re движение газа (жидкости) вокруг тела ламинарное (слоистое), и скорости можно считать малыми.

Jika R e > 1700 Re > 1700 , maka pergerakan gas (cairan) di sekitar tubuh bersifat turbulen(dengan turbulensi), dan kecepatannya bisa dibilang tinggi.

Dalam kasus terakhir, sebagian besar energi kinetik benda dihabiskan untuk pembentukan pusaran, yang berarti gaya gesekan menjadi lebih besar dan ketergantungan tidak lagi linier.

F tr = k v 2 ρ S - \boxed(F_\mathrm(tr) = kv^2\rho S)\ - gaya gesekan kental pada kecepatan tinggi, di mana

S - S\ - luas persilangan tubuh,

k - k\ adalah nilai konstan yang bergantung pada dimensi transversal benda.

Seringkali rumus terakhir dapat dilihat sebagai:

Bilangan Reynolds yang dipilih menjadi 1700 1700 sebenarnya ditentukan oleh masalah (kondisi) tertentu dan dapat mengambil nilai lain yang ordenya sama. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa ketergantungan gaya gesekan viskos pada kecepatan bersifat kompleks: pada kecepatan tertentu ketergantungan linier mulai rusak, dan pada kecepatan tertentuketergantungan ini menjadi kuadrat.

Beras. 14

Dalam interval dari v 1 v_1 hingga v 2 v_2 derajat mengambil nilai pecahan(Gbr. 14) . Bilangan Reynolds mencirikan keadaan sistem dinamis di mana pergerakan lapisan terjadi tetap laminar, dan sangat bergantung pada kondisi eksternal. Misalnya: bola baja, bergerak di dalam air jauh dari batas zat cair (di lautan, danau), mempertahankan pergerakan lapisan secara laminar pada R e = 1700 Re = 1700 , dan bola yang sama bergerak dalam pipa vertikal yang radiusnya sedikit lebih besar dari bola, berisi air, sudah berada pada R e = 2 Re = 2akan menyebabkan air berputar di sekitar bola. (Perhatikan bahwa bilangan Reynolds bukan satu-satunya yang digunakan untuk menggambarkan pergerakan seperti itu. Misalnya, mereka juga menggunakanbilangan Froude dan Mach.)

DEFINISI

Dari persamaan kedua:

Gaya gesek:

Mengganti ekspresi gaya gesekan ke persamaan pertama, kita mendapatkan:

Saat mengerem hingga berhenti total, kecepatan bus turun dari nilai menjadi nol, sehingga bus:

Menyamakan ruas kanan hubungan percepatan bus selama pengereman darurat, kita peroleh:

dimana waktu sampai bus berhenti sepenuhnya:

Percepatan jatuh bebas MS

Mengganti nilai numerik ke dalam rumus besaran fisis, mari kita hitung:

Menjawab Bus akan berhenti di c.

CONTOH 2

Latihan Tubuh kecil itu ditempatkan bidang miring, membuat sudut dengan cakrawala, dan melepaskannya. Yang jaraknya akan pergi benda dalam waktu 3 s, jika koefisien gesekan antara benda dengan permukaan adalah 0,2?
Larutan Mari kita membuat gambar dan menunjukkan semua gaya yang bekerja pada benda.

Benda tersebut dipengaruhi oleh gravitasi, gaya reaksi tanah, dan gaya gesekan

Mari kita pilih sistem koordinat, seperti yang ditunjukkan pada gambar, dan proyeksikan persamaan vektor ini pada sumbu koordinat:

Dari persamaan kedua: