Pemecahan persamaan dalam matematika menempati tempat khusus. Proses ini didahului dengan mempelajari teori selama berjam-jam, di mana siswa belajar bagaimana menyelesaikan persamaan, menentukan tipenya, dan membawa keterampilan tersebut ke otomatisasi penuh. Namun, mencari akar tidak selalu masuk akal, karena mungkin saja tidak ada. Ada teknik khusus untuk menemukan akar. Pada artikel ini kita akan menganalisis fungsi-fungsi utama, domain definisinya, serta kasus-kasus ketika akar-akarnya hilang.
Persamaan manakah yang tidak memiliki akar?
Suatu persamaan tidak mempunyai akar jika tidak ada argumen real x yang persamaannya benar. Untuk orang awam kata-kata ini, seperti kebanyakan teorema matematika dan rumusnya, terlihat sangat buram dan abstrak, tapi ini secara teori. Dalam praktiknya, semuanya menjadi sangat sederhana. Misalnya: persamaan 0 * x = -53 tidak mempunyai penyelesaian, karena tidak ada bilangan x yang hasil perkaliannya dengan nol akan menghasilkan bilangan selain nol.
Sekarang kita akan melihat yang paling banyak tipe dasar persamaan.
1. Persamaan linier
Suatu persamaan disebut linier jika ruas kanan dan kirinya direpresentasikan dalam bentuk fungsi linier: ax + b = cx + d atau dalam bentuk umum kx + b = 0. Dimana a, b, c, d adalah bilangan yang diketahui, dan x adalah besaran yang tidak diketahui. Persamaan manakah yang tidak memiliki akar? Contoh persamaan linear disajikan pada ilustrasi di bawah ini.
Pada dasarnya persamaan linear diselesaikan hanya dengan memindahkan bagian bilangan ke satu bagian dan isi x ke bagian lainnya. Hasilnya adalah persamaan berbentuk mx = n, dimana m dan n adalah bilangan, dan x adalah bilangan yang tidak diketahui. Untuk mencari x, cukup bagi kedua ruasnya dengan m. Maka x = n/m. Kebanyakan persamaan linear hanya mempunyai satu akar, namun ada kalanya terdapat banyak akar yang tak terhingga atau tidak ada akar sama sekali. Jika m = 0 dan n = 0, persamaannya berbentuk 0 * x = 0. Solusi persamaan tersebut mutlak berupa bilangan apa pun.
Namun persamaan apa yang tidak memiliki akar?
Untuk m = 0 dan n = 0, persamaan tersebut tidak mempunyai akar-akar dari himpunan tersebut bilangan real. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - persamaan ini tidak memiliki akar.
2. Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan berbentuk ax 2 + bx + c = 0 untuk a = 0. Penyelesaian yang paling umum adalah melalui diskriminan. Rumus untuk mencari diskriminan persamaan kuadrat: D = b 2 - 4 * a * c. Berikutnya ada dua akar x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.
Untuk D > 0 persamaan mempunyai dua akar, untuk D = 0 persamaan mempunyai satu akar. Tapi persamaan kuadrat apa yang tidak memiliki akar? Cara termudah untuk mengamati jumlah akar persamaan kuadrat adalah dengan membuat grafik fungsinya, yaitu parabola. Untuk a > 0 cabangnya mengarah ke atas, untuk a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.
Anda juga dapat menentukan jumlah akar secara visual tanpa menghitung diskriminannya. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan titik puncak parabola dan menentukan ke arah mana cabang-cabangnya diarahkan. Koordinat x titik sudut dapat ditentukan dengan rumus: x 0 = -b / 2a. Dalam hal ini, koordinat y dari titik sudut ditemukan hanya dengan mensubstitusikan nilai x 0 ke dalam persamaan aslinya.
Persamaan kuadrat x 2 - 8x + 72 = 0 tidak mempunyai akar, karena mempunyai diskriminan negatif D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Artinya parabola tidak menyentuh sumbu x dan fungsinya tidak pernah bernilai 0, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real.
3. Persamaan trigonometri
Fungsi trigonometri dipertimbangkan pada lingkaran trigonometri, tetapi juga dapat direpresentasikan dalam sistem koordinat Cartesian. Pada artikel ini kita akan melihat dua yang utama fungsi trigonometri dan persamaannya: sinx dan cosx. Sejak fungsi-fungsi ini terbentuk lingkaran trigonometri dengan radius 1, |sinx| dan |cosx| tidak boleh lebih besar dari 1. Jadi, persamaan sinx manakah yang tidak mempunyai akar? Mari kita lihat grafiknya fungsi sinx, ditunjukkan pada gambar di bawah.
Kita melihat bahwa fungsinya simetris dan memiliki periode pengulangan 2pi. Berdasarkan hal ini, kita dapat mengatakan bahwa nilai maksimum fungsi ini dapat sama dengan 1, dan nilai minimum -1. Misalnya, ekspresi cosx = 5 tidak akan mempunyai akar, karena nilai absolutnya lebih besar dari satu.
Ini adalah contoh persamaan trigonometri yang paling sederhana. Faktanya, menyelesaikannya bisa memakan waktu banyak halaman, yang pada akhirnya Anda menyadari bahwa Anda menggunakan rumus yang salah dan perlu memulai dari awal lagi. Kadang-kadang, meskipun Anda menemukan akar-akarnya dengan benar, Anda mungkin lupa memperhitungkan batasan OD, itulah sebabnya akar atau interval tambahan muncul dalam jawaban, dan seluruh jawaban berubah menjadi kesalahan. Oleh karena itu, ikuti semua batasan dengan ketat, karena tidak semua akar sesuai dengan cakupan tugas.
4. Sistem persamaan
Sistem persamaan adalah himpunan persamaan yang digabungkan dengan tanda kurung kurawal atau tanda kurung siku. Tanda kurung kurawal menunjukkan bahwa semua persamaan dijalankan bersama-sama. Artinya, jika salah satu persamaan tidak mempunyai akar atau bertentangan dengan persamaan lainnya, maka keseluruhan sistem tidak mempunyai solusi. Tanda kurung siku menunjukkan kata "atau". Artinya jika paling sedikit salah satu persamaan sistem mempunyai solusi, maka seluruh sistem mempunyai solusi.
Jawaban sistem c adalah himpunan semua akar persamaan individual. Dan sistem dengan kurung kurawal hanya memiliki akar yang sama. Sistem persamaan dapat mencakup fungsi yang sangat berbeda, sehingga kompleksitas seperti itu tidak memungkinkan kita untuk langsung mengatakan persamaan mana yang tidak memiliki akar.
Ditemukan di buku soal dan buku pelajaran jenis yang berbeda persamaan: yang mempunyai akar dan yang tidak. Pertama-tama, jika Anda tidak dapat menemukan akarnya, jangan berpikir bahwa akar tersebut tidak ada sama sekali. Mungkin Anda melakukan kesalahan di suatu tempat, maka Anda hanya perlu memeriksa ulang keputusan Anda dengan cermat.
Kami melihat persamaan paling dasar dan tipenya. Sekarang Anda dapat mengetahui persamaan mana yang tidak memiliki akar. Dalam kebanyakan kasus, hal ini tidak sulit dilakukan. Mencapai keberhasilan dalam menyelesaikan persamaan hanya membutuhkan perhatian dan konsentrasi. Berlatih lebih banyak, ini akan membantu Anda menavigasi materi dengan lebih baik dan lebih cepat.
Jadi, persamaan tersebut tidak mempunyai akar jika:
- pada persamaan linear mx = n nilainya m = 0 dan n = 0;
- dalam persamaan kuadrat, jika diskriminannya kurang dari nol;
- V persamaan trigonometri berbentuk cosx = m / sinx = n, jika |m| > 0, |n| > 0;
- dalam sistem persamaan dengan tanda kurung kurawal jika paling sedikit satu persamaan tidak mempunyai akar, dan dengan tanda kurung siku jika semua persamaan tidak mempunyai akar.
Video tutorial 2: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Kuliah: Persamaan kuadrat
Persamaannya
Persamaannya- ini adalah semacam persamaan dalam ekspresi yang ada variabelnya.
Selesaikan persamaannya- berarti menemukan angka alih-alih variabel yang akan menjadikannya persamaan yang benar.
Suatu persamaan mungkin mempunyai satu solusi, beberapa solusi, atau tidak ada solusi sama sekali.
Untuk menyelesaikan persamaan apa pun, persamaan tersebut harus disederhanakan semaksimal mungkin menjadi bentuk:
Linier: a*x = b;
Persegi: a*x 2 + b*x + c = 0.
Artinya, persamaan apa pun harus diubah ke bentuk standar sebelum diselesaikan.
Persamaan apa pun dapat diselesaikan dengan dua cara: analitis dan grafis.
Pada grafik, penyelesaian persamaan dianggap sebagai titik-titik di mana grafik tersebut memotong sumbu OX.
Persamaan kuadrat
Suatu persamaan dikatakan kuadrat jika disederhanakan menjadi:
a*x 2 + b*x + c = 0.
Di mana a, b, c adalah koefisien persamaan yang berbeda dari nol. A "X"- akar persamaan. Persamaan kuadrat diyakini memiliki dua akar atau mungkin tidak mempunyai solusi sama sekali. Akar yang dihasilkan mungkin sama.
"A"- koefisien sebelum akar kuadrat.
"B"- berdiri di hadapan hal yang tidak diketahui pada tingkat pertama.
"Dengan" - anggota bebas persamaan
Misalnya kita mempunyai persamaan yang berbentuk:
2x 2 -5x+3=0
Di dalamnya, “2” adalah koefisien suku terdepan persamaan, “-5” adalah koefisien kedua, dan “3” adalah suku bebas.
Memecahkan persamaan kuadrat
Ada berbagai macam cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Namun, di kursus sekolah Dalam matematika, penyelesaiannya dipelajari menggunakan teorema Vieta, serta menggunakan diskriminan.
Solusi diskriminan:
Saat menyelesaikan dengan metode ini perlu menghitung diskriminan dengan menggunakan rumus:
Jika selama perhitungan Anda menemukan diskriminan kurang dari nol, berarti persamaan tersebut tidak memiliki solusi.
Jika diskriminannya nol, maka persamaan tersebut mempunyai dua solusi yang identik. Dalam hal ini, polinomial dapat diciutkan menggunakan rumus perkalian yang disingkat menjadi kuadrat jumlah atau selisihnya. Kemudian selesaikan seperti itu persamaan linier. Atau gunakan rumus:
Jika diskriminan lebih besar dari nol, maka harus menggunakan cara berikut:
teorema Vieta
Jika persamaan yang diberikan, yaitu koefisien suku terdepan sama dengan satu, maka Anda dapat menggunakannya teorema Vieta.
Jadi mari kita asumsikan persamaannya adalah:
Akar persamaannya ditemukan sebagai berikut:
Persamaan kuadrat tidak lengkap
Ada beberapa pilihan untuk memperoleh persamaan kuadrat tidak lengkap, yang bentuknya bergantung pada keberadaan koefisien.
1. Jika koefisien kedua dan ketiga sama dengan nol (b = 0, c = 0), maka persamaan kuadratnya akan terlihat seperti:
Persamaan ini akan terjadi satu-satunya keputusan. Persamaan tersebut akan benar hanya jika penyelesaian persamaan tersebut adalah nol.
Beberapa soal dalam matematika memerlukan kemampuan menghitung nilai akar kuadrat. Masalah-masalah tersebut termasuk penyelesaian persamaan orde kedua. Pada artikel ini kami akan menyajikannya metode yang efektif perhitungan akar kuadrat dan menggunakannya saat mengerjakan rumus akar persamaan kuadrat.
Apa itu akar kuadrat?
Dalam matematika, konsep ini berhubungan dengan simbol √. Data sejarah menyebutkan bahwa ini pertama kali digunakan sekitar paruh pertama abad ke-16 di Jerman (karya Jerman pertama tentang aljabar oleh Christoph Rudolf). Para ilmuwan percaya bahwa simbol tersebut adalah huruf Latin r yang diubah (radix berarti "root" dalam bahasa Latin).
Akar suatu bilangan sama dengan nilai yang kuadratnya sesuai dengan ekspresi radikal. Dalam bahasa matematika, definisinya akan terlihat seperti ini: √x = y, jika y 2 = x.
Akar suatu bilangan positif (x > 0) juga merupakan bilangan positif (y > 0), tetapi jika diambil akar suatu bilangan negatif (x< 0), то его результатом уже будет bilangan kompleks, termasuk unit imajiner i.
Berikut adalah dua contoh sederhana:
√9 = 3, karena 3 2 = 9; √(-9) = 3i, karena i 2 = -1.
Rumus iteratif Heron untuk mencari nilai akar kuadrat
Contoh di atas sangat sederhana, dan menghitung akar-akarnya tidaklah sulit. Kesulitan mulai muncul ketika menemukan nilai akar untuk nilai apa pun yang tidak dapat direpresentasikan sebagai kuadrat bilangan asli, misalnya √10, √11, √12, √13, belum lagi fakta bahwa dalam praktiknya perlu mencari akar-akar bilangan bukan bilangan bulat: misalnya √(12,15), √(8,5) dan seterusnya.
Dalam semua kasus di atas, metode khusus untuk menghitung akar kuadrat harus digunakan. Saat ini dikenal beberapa metode seperti itu: misalnya pemuaian deret Taylor, pembagian kolom dan lain-lain. Dari semua metode yang diketahui, mungkin yang paling sederhana dan efektif adalah penggunaan rumus iteratif Heron, yang juga dikenal sebagai metode Babilonia dalam menentukan akar kuadrat (ada bukti bahwa orang Babilonia kuno menggunakannya dalam perhitungan praktis mereka).
Misalkan perlu menentukan nilai √x. Rumus mencari akar kuadrat adalah sebagai berikut:
a n+1 = 1/2(an +x/a n), dengan lim n->∞ (an) => x.
Mari kita menguraikan notasi matematika ini. Untuk menghitung √x, sebaiknya ambil suatu bilangan tertentu a 0 (bisa sembarang, namun agar cepat mendapatkan hasilnya, sebaiknya pilih bilangan tersebut sehingga (a 0) 2 sedekat mungkin dengan x. Kemudian substitusikan ke dalam menunjukkan rumus untuk menghitung akar kuadrat dan mendapatkan angka baru a 1, yang sudah mendekati nilai yang diinginkan. Setelah itu, Anda perlu mengganti 1 ke dalam ekspresi dan mendapatkan 2. Prosedur ini harus diulangi sampai diperlukan akurasi diperoleh.
Contoh penggunaan rumus iteratif Heron
Algoritme yang dijelaskan di atas untuk mendapatkan akar kuadrat dari suatu bilangan tertentu mungkin terdengar cukup rumit dan membingungkan bagi banyak orang, tetapi kenyataannya semuanya menjadi jauh lebih sederhana, karena rumus ini menyatu dengan sangat cepat (terutama jika bilangan sukses a 0 dipilih) .
Mari kita beri contoh sederhana: Anda perlu menghitung √11. Mari kita pilih a 0 = 3, karena 3 2 = 9, yang lebih mendekati 11 daripada 4 2 = 16. Substitusikan ke dalam rumus, kita peroleh:
a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;
a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Tidak ada gunanya melanjutkan penghitungan, karena kami menemukan bahwa angka 2 dan 3 mulai berbeda hanya pada angka 5 desimal. Jadi, cukup menerapkan rumus 2 kali saja untuk menghitung √11 dengan ketelitian 0,0001.
Saat ini, kalkulator dan komputer banyak digunakan untuk menghitung akar, namun ada gunanya mengingat rumus yang ditandai agar dapat menghitung nilai pastinya secara manual.
Persamaan orde kedua
Memahami apa itu akar kuadrat dan kemampuan menghitungnya digunakan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Persamaan ini disebut persamaan dengan persamaan yang tidak diketahui, yang bentuk umumnya ditunjukkan pada gambar di bawah.
Di sini c, b, dan a mewakili beberapa bilangan, dan a tidak boleh sama dengan nol, dan nilai c dan b dapat berubah-ubah, termasuk sama dengan nol.
Setiap nilai x yang memenuhi persamaan yang ditunjukkan pada gambar disebut akarnya (konsep ini berbeda dengan akar kuadrat √). Karena persamaan yang dipertimbangkan adalah persamaan orde ke-2 (x 2), maka persamaan tersebut tidak boleh lebih dari dua akar. Mari kita lihat lebih jauh di artikel tentang cara menemukan akar-akar ini.
Menemukan akar-akar persamaan kuadrat (rumus)
Metode penyelesaian jenis persamaan yang sedang dipertimbangkan ini disebut juga metode universal, atau metode diskriminan. Ini dapat digunakan untuk persamaan kuadrat apa pun. Rumus diskriminan dan akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:
Hal ini menunjukkan bahwa akar-akar bergantung pada nilai masing-masing dari ketiga koefisien persamaan. Selain itu, perhitungan x 1 berbeda dengan perhitungan x 2 hanya pada tanda di depan akar kuadrat. Ekspresi radikal yang sama dengan b 2 - 4ac tidak lebih dari diskriminan terhadap persamaan yang dimaksud. Diskriminan pada rumus akar-akar persamaan kuadrat memegang peranan penting karena menentukan jumlah dan jenis penyelesaian. Jadi, jika sama dengan nol maka hanya ada satu penyelesaian, jika positif maka persamaan tersebut mempunyai dua akar real, dan terakhir diskriminan negatif menghasilkan dua akar kompleks x 1 dan x 2.
Teorema Vieta atau beberapa sifat akar persamaan orde kedua
Pada akhir abad ke-16, salah satu pendiri aljabar modern, seorang Perancis, yang mempelajari persamaan orde kedua, mampu memperoleh sifat-sifat akarnya. Secara matematis dapat ditulis seperti ini:
x 1 + x 2 = -b / a dan x 1 * x 2 = c / a.
Kedua persamaan tersebut dapat dengan mudah diperoleh oleh siapa saja, untuk melakukannya Anda hanya perlu melakukan operasi matematika yang sesuai dengan akar-akar yang diperoleh melalui rumus dengan diskriminan.
Kombinasi kedua ekspresi ini dapat disebut sebagai rumus kedua untuk akar-akar persamaan kuadrat, yang memungkinkan untuk menebak solusinya tanpa menggunakan diskriminan. Di sini perlu dicatat bahwa meskipun kedua ekspresi selalu valid, akan lebih mudah untuk menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan hanya jika persamaan tersebut dapat difaktorkan.
Tugas mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh
Mari kita putuskan masalah matematika, di mana kami akan mendemonstrasikan semua teknik yang dibahas dalam artikel. Kondisi soalnya adalah sebagai berikut: Anda perlu mencari dua bilangan yang hasil perkaliannya -13 dan jumlahnya 4.
Kondisi ini langsung mengingatkan kita pada teorema Vieta; dengan menggunakan rumus jumlah akar kuadrat dan hasil kali mereka, kita menulis:
x 1 + x 2 = -b / a = 4;
x 1 * x 2 = c / a = -13.
Jika kita asumsikan a = 1, maka b = -4 dan c = -13. Koefisien ini memungkinkan kita membuat persamaan orde kedua:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Mari kita gunakan rumus dengan diskriminan dan dapatkan akar-akar berikut:
x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Artinya, masalahnya direduksi menjadi mencari bilangan √68. Perhatikan bahwa 68 = 4 * 17, maka dengan menggunakan sifat akar kuadrat, kita mendapatkan: √68 = 2√17.
Sekarang mari kita gunakan rumus akar kuadrat: a 0 = 4, maka:
a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2(4.125 + 17/4.125) = 4.1231.
Tidak perlu menghitung angka 3 karena nilai yang ditemukan hanya berbeda 0,02. Jadi, √68 = 8,246. Menggantinya ke dalam rumus x 1,2, kita mendapatkan:
x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 dan x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123.
Seperti yang bisa kita lihat, jumlah bilangan yang ditemukan sebenarnya sama dengan 4, tetapi jika kita mencari hasil perkaliannya, maka hasilnya akan sama dengan -12,999, yang memenuhi kondisi soal dengan ketelitian 0,001.
Kami ingatkan Anda bahwa persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan yang bentuknya:
Menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap sedikit lebih sulit (hanya sedikit) daripada persamaan berikut ini.
Ingat, Persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan dengan menggunakan diskriminan!
Bahkan tidak lengkap.
Metode lain akan membantu Anda melakukannya lebih cepat, tetapi jika Anda memiliki masalah dengan persamaan kuadrat, kuasai dulu penyelesaiannya menggunakan diskriminan.
1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan diskriminan.
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan metode ini sangat sederhana, yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus.
Jika , maka persamaan tersebut mempunyai 2 akar. Anda perlu memberi perhatian khusus pada langkah 2.
Diskriminan D memberi tahu kita jumlah akar persamaan.
- Jika , maka rumus pada langkah tersebut akan direduksi menjadi. Jadi, persamaan tersebut hanya akan memiliki akar.
- Jika, maka kita tidak akan dapat mengekstraksi akar diskriminan pada langkah tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai akar.
Mari kita beralih ke pengertian geometris persamaan kuadrat.
Grafik fungsinya adalah parabola:
Mari kita kembali ke persamaan kita dan melihat beberapa contoh.
Contoh 9
Selesaikan persamaannya
Langkah 1 kita lewati.
Langkah 2.
Kami menemukan diskriminannya:
Artinya persamaan tersebut mempunyai dua akar.
Langkah 3.
Menjawab:
Contoh 10
Selesaikan persamaannya
Persamaan disajikan dalam bentuk standar, jadi Langkah 1 kita lewati.
Langkah 2.
Kami menemukan diskriminannya:
Artinya persamaan tersebut mempunyai satu akar.
Menjawab:
Contoh 11
Selesaikan persamaannya
Persamaan disajikan dalam bentuk standar, jadi Langkah 1 kita lewati.
Langkah 2.
Kami menemukan diskriminannya:
Artinya kita tidak akan bisa mengekstrak akar diskriminannya. Tidak ada akar persamaan.
Sekarang kita tahu cara menuliskan jawaban tersebut dengan benar.
Menjawab: tidak ada akar
2. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta
Jika Anda ingat, ada jenis persamaan yang disebut tereduksi (bila koefisien a sama dengan):
Persamaan tersebut sangat mudah diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta:
Jumlah akar diberikan persamaan kuadratnya sama, dan hasil kali akar-akarnya juga sama.
Anda hanya perlu memilih sepasang bilangan yang hasil kali sama dengan suku bebas persamaan tersebut, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda berlawanan.
Contoh 12
Selesaikan persamaannya
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta karena .
Jumlah akar-akar persamaannya sama, yaitu. kita mendapatkan persamaan pertama:
Dan produknya sama dengan:
Mari menyusun dan menyelesaikan sistem:
- Dan. Jumlahnya sama dengan;
- Dan. Jumlahnya sama dengan;
- Dan. Jumlahnya sama.
dan merupakan solusi dari sistem:
Menjawab: ; .
Contoh 13
Selesaikan persamaannya
Menjawab:
Contoh 14
Selesaikan persamaannya
Persamaan diberikan, yang berarti:
Menjawab:
PERSAMAAN KUADRATIS. LEVEL RATA-RATA
Apa itu persamaan kuadrat?
Dengan kata lain, persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya, dimana - tidak diketahui, - beberapa bilangan, dan.
Angka tersebut disebut tertinggi atau koefisien pertama persamaan kuadrat, - koefisien kedua, A - anggota bebas.
Karena jika persamaannya langsung menjadi linier, karena akan hilang.
Dalam hal ini, dan bisa sama dengan nol. Dalam persamaan kursi ini disebut tidak lengkap.
Jika semua suku sudah ada, maka persamaannya adalah menyelesaikan.
Metode penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap
Pertama, mari kita lihat metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap - metode ini lebih sederhana.
Kita dapat membedakan jenis persamaan berikut:
I., dalam persamaan ini koefisien dan suku bebasnya sama.
II. , dalam persamaan ini koefisiennya sama.
AKU AKU AKU. , dalam persamaan ini suku bebasnya sama dengan.
Sekarang mari kita lihat solusi untuk masing-masing subtipe ini.
Jelasnya, persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar:
Suatu bilangan kuadrat tidak boleh negatif, karena jika dua bilangan negatif atau dua bilangan positif dikalikan, hasilnya akan selalu positif. Itu sebabnya:
jika, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi;
jika kita mempunyai dua akar
Tidak perlu menghafal rumus-rumus ini. Hal utama yang harus diingat adalah bahwa jumlahnya tidak boleh kurang.
Contoh penyelesaian persamaan kuadrat
Contoh 15
Menjawab:
Jangan pernah melupakan akar yang bertanda negatif!
Contoh 16
Kuadrat suatu bilangan tidak boleh negatif, yang berarti persamaannya
tidak ada akar.
Untuk menuliskan secara singkat bahwa suatu masalah tidak memiliki solusi, kami menggunakan ikon himpunan kosong.
Menjawab:
Contoh 17
Jadi, persamaan ini memiliki dua akar: dan.
Menjawab:
Mari kita keluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung:
Hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Artinya persamaan tersebut mempunyai solusi jika:
Jadi, persamaan kuadrat ini memiliki dua akar: dan.
Contoh:
Selesaikan persamaannya.
Larutan:
Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan dan temukan akar-akarnya:
Menjawab:
Metode penyelesaian persamaan kuadrat lengkap
1. Diskriminan
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara ini mudah, yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus. Ingat, persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan dengan menggunakan diskriminan! Bahkan tidak lengkap.
Pernahkah Anda memperhatikan akar dari diskriminan dalam rumus akar?
Tapi diskriminannya bisa jadi negatif.
Apa yang harus dilakukan?
Kita perlu memberikan perhatian khusus pada langkah 2. Diskriminan memberi tahu kita jumlah akar persamaan.
- Jika , maka persamaan tersebut mempunyai akar:
- Jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar-akar yang sama, dan sebenarnya mempunyai akar yang sama:
Akar yang demikian disebut akar rangkap.
- Jika, maka akar diskriminan tidak terekstraksi. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai akar.
Mengapa itu mungkin? jumlah yang berbeda akar?
Mari kita beralih ke makna geometris persamaan kuadrat. Grafik fungsinya adalah parabola:
Dalam kasus khusus, yaitu persamaan kuadrat, .
Artinya akar-akar persamaan kuadrat merupakan titik potong dengan sumbu absis (sumbu).
Parabola tidak boleh memotong sumbunya sama sekali, atau dapat memotongnya di satu titik (jika titik puncak parabola terletak pada sumbu) atau dua titik.
Selain itu, koefisien juga bertanggung jawab atas arah cabang parabola. Jika , maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas, dan jika , maka ke bawah.
4 contoh penyelesaian persamaan kuadrat
Contoh 18
Menjawab:
Contoh 19
Menjawab: .
Contoh 20
Menjawab:
Contoh 21
Artinya tidak ada solusi.
Menjawab: .
2. Teorema Vieta
Menggunakan teorema Vieta sangat mudah.
Yang kamu butuhkan adalah menjemput sepasang bilangan yang hasil perkaliannya sama dengan suku bebas persamaan tersebut, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan.
Penting untuk diingat bahwa teorema Vieta hanya dapat diterapkan persamaan kuadrat tereduksi ().
Mari kita lihat beberapa contoh:
Contoh 22
Selesaikan persamaannya.
Larutan:
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta karena . Koefisien lainnya: ; .
Jumlah akar persamaannya adalah:
Dan produknya sama dengan:
Mari kita pilih pasangan bilangan yang hasil perkaliannya sama dan periksa apakah jumlahnya sama:
- Dan. Jumlahnya sama dengan;
- Dan. Jumlahnya sama dengan;
- Dan. Jumlahnya sama.
dan merupakan solusi dari sistem:
Jadi, dan merupakan akar persamaan kita.
Menjawab: ; .
Contoh 23
Larutan:
Mari kita pilih pasangan bilangan yang menghasilkan hasil perkalian, lalu periksa apakah jumlahnya sama:
dan: mereka memberi secara total.
dan: mereka memberi secara total. Untuk memperolehnya, cukup dengan mengubah tanda-tanda dari akar yang seharusnya: dan, bagaimanapun juga, produknya.
Menjawab:
Contoh 24
Larutan:
Suku bebas persamaannya adalah negatif, sehingga hasil kali akar-akarnya adalah angka negatif. Hal ini hanya mungkin terjadi jika salah satu akarnya negatif dan akar lainnya positif. Jadi jumlah akar-akarnya sama dengan perbedaan modul mereka.
Mari kita pilih pasangan bilangan yang menghasilkan hasil kali, dan selisihnya sama dengan:
dan: perbedaannya sama - tidak cocok;
dan: - tidak cocok;
dan: - tidak cocok;
dan: - cocok. Yang tersisa hanyalah mengingat bahwa salah satu akarnya negatif. Karena jumlahnya harus sama, akar dengan modulus yang lebih kecil haruslah negatif: . Kami memeriksa:
Menjawab:
Contoh 25
Selesaikan persamaannya.
Larutan:
Persamaan diberikan, yang berarti:
Suku bebasnya negatif, sehingga hasil kali akar-akarnya juga negatif. Dan ini hanya mungkin terjadi jika salah satu akar persamaannya negatif dan akar lainnya positif.
Mari kita pilih pasangan bilangan yang hasil perkaliannya sama, lalu tentukan akar mana yang bertanda negatif:
Jelas, hanya akarnya yang cocok untuk kondisi pertama:
Menjawab:
Contoh 26
Selesaikan persamaannya.
Larutan:
Persamaan diberikan, yang berarti:
Jumlah akar-akarnya negatif, artinya paling sedikit salah satu akarnya negatif. Namun karena hasil perkaliannya positif, berarti kedua akarnya mempunyai tanda minus.
Mari kita pilih pasangan bilangan yang hasil perkaliannya sama dengan:
Jelas sekali, akarnya adalah bilangan dan.
Menjawab:
Setuju, sangat mudah untuk mengemukakan akarnya secara lisan, daripada menghitung diskriminan yang buruk ini.
Cobalah untuk menggunakan teorema Vieta sesering mungkin!
Namun teorema Vieta diperlukan agar dapat memudahkan dan mempercepat pencarian akar.
Agar Anda mendapat manfaat dari penggunaannya, Anda harus melakukan tindakan secara otomatis. Dan untuk ini, selesaikan lima contoh lagi.
Tapi jangan curang: Anda tidak bisa menggunakan diskriminan! Hanya teorema Vieta!
5 contoh teorema Vieta untuk usaha mandiri
Contoh 27
Tugas 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Menurut teorema Vieta:
Seperti biasa, kami memulai seleksi dengan potongan:
Tidak cocok karena jumlahnya;
: jumlahnya sesuai dengan kebutuhan Anda.
Menjawab: ; .
Contoh 28
Tugas 2.
Dan lagi teorema Vieta favorit kami: jumlahnya harus sama, dan hasil kali harus sama.
Tapi karena tidak harus, tapi, kita ubah tanda akarnya: dan (total).
Menjawab: ; .
Contoh 29
Tugas 3.
Hmm... Dimana itu?
Anda perlu memindahkan semua istilah menjadi satu bagian:
Jumlah akar-akarnya sama dengan hasil kali.
Oke, berhenti! Persamaannya tidak diberikan.
Namun teorema Vieta hanya berlaku pada persamaan yang diberikan.
Jadi pertama-tama Anda perlu memberikan persamaan.
Jika Anda tidak bisa memimpin, tinggalkan ide ini dan selesaikan dengan cara lain (misalnya melalui diskriminan).
Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa memberikan persamaan kuadrat berarti menyamakan koefisien utamanya:
Maka jumlah akar-akarnya sama dengan dan hasil kali.
Di sini, memilihnya semudah mengupas buah pir: bagaimanapun juga, ini adalah bilangan prima (maaf atas tautologinya).
Menjawab: ; .
Contoh 30
Tugas 4.
Anggota bebasnya negatif.
Apa yang spesial dari ini?
Dan faktanya akarnya akan memiliki tanda yang berbeda-beda.
Dan sekarang, selama pemilihan, kami tidak memeriksa jumlah akar-akarnya, tetapi perbedaan modulnya: perbedaan ini sama, tetapi suatu produk.
Jadi, akar-akarnya sama dengan dan, tetapi salah satunya minus.
Teorema Vieta menyatakan bahwa jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien kedua yang bertanda berlawanan, yaitu.
Artinya akar yang lebih kecil akan mempunyai tanda minus: dan, karena.
Menjawab: ; .
Contoh 31
Tugas 5.
Apa yang harus Anda lakukan pertama kali?
Benar, berikan persamaannya:
Sekali lagi: kita memilih faktor-faktor dari bilangan tersebut, dan selisihnya harus sama dengan:
Akar-akarnya sama dengan dan, tetapi salah satunya minus. Yang? Jumlahnya harus sama, artinya minusnya akan memiliki akar yang lebih besar.
Menjawab: ; .
Meringkaskan
- Teorema Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadrat yang diberikan.
- Dengan menggunakan teorema Vieta, Anda dapat menemukan akarnya melalui seleksi, secara lisan.
- Jika persamaan tidak diberikan atau tidak ditemukan pasangan faktor bebas yang sesuai, maka tidak ada akar bilangan bulat, dan Anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (misalnya, melalui diskriminan).
3. Metode pemilihan persegi lengkap
Jika semua suku yang mengandung hal yang tidak diketahui direpresentasikan dalam bentuk suku dari rumus perkalian yang disingkat - kuadrat jumlah atau selisih - maka setelah mengganti variabel, persamaan tersebut dapat disajikan dalam bentuk persamaan kuadrat tidak lengkap yang bertipe.
Misalnya:
Contoh 32
Selesaikan persamaan: .
Larutan:
Menjawab:
Contoh 33
Selesaikan persamaan: .
Larutan:
Menjawab:
Secara umum transformasinya akan terlihat seperti ini:
Ini menyiratkan: .
Tidak mengingatkanmu pada apa pun?
Ini adalah hal yang diskriminatif! Persis seperti itulah kita mendapatkan rumus diskriminan.
PERSAMAAN KUADRATIS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA
Persamaan kuadrat- ini adalah persamaan bentuk, di mana - tidak diketahui, - koefisien persamaan kuadrat, - suku bebas.
Persamaan kuadrat lengkap- persamaan yang koefisiennya tidak sama dengan nol.
Persamaan kuadrat tereduksi- persamaan yang koefisiennya, yaitu: .
Persamaan kuadrat tidak lengkap- persamaan yang koefisien dan atau suku bebas c sama dengan nol:
- jika koefisiennya, persamaannya terlihat seperti: ,
- jika ada suku bebas, persamaannya berbentuk: ,
- jika dan, persamaannya terlihat seperti: .
1. Algoritma penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap
1.1. Persamaan kuadrat tidak lengkap yang bentuknya, dimana, :
1) Mari kita ungkapkan yang tidak diketahui: ,
2) Periksa tanda ekspresi:
- jika, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi,
- jika, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar.
1.2. Persamaan kuadrat tidak lengkap yang bentuknya, dimana, :
1) Mari kita keluarkan faktor persekutuannya dari dalam tanda kurung: ,
2) Hasil kali sama dengan nol jika paling sedikit salah satu faktornya sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan tersebut memiliki dua akar:
1.3. Bentuk persamaan kuadrat tidak lengkap, dimana:
Persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar: .
2. Algoritma penyelesaian persamaan kuadrat lengkap berbentuk dimana
2.1. Penyelesaiannya menggunakan diskriminan
1) Mari kita bawa persamaan tersebut ke bentuk standar: ,
2) Mari kita hitung diskriminannya menggunakan rumus: , yang menunjukkan jumlah akar persamaan:
3) Temukan akar persamaan:
- jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar-akar yang dicari dengan rumus:
- jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar, yang dicari dengan rumus:
- jika, maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar.
2.2. Solusi menggunakan teorema Vieta
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi (persamaan bentuk dimana) adalah sama, dan hasil kali akar-akarnya juga sama, yaitu , A.
2.3. Penyelesaiannya dengan metode pemilihan persegi lengkap
Persamaan kuadrat atau persamaan derajat kedua dengan yang tidak diketahui adalah persamaan yang setelah diubah dapat direduksi menjadi bentuk berikut:
kapak 2 + bx + C = 0 - persamaan kuadrat
Di mana X- ini tidak diketahui, tapi A, B Dan C- koefisien persamaan. Dalam persamaan kuadrat A disebut koefisien pertama ( A ≠ 0), B disebut koefisien kedua, dan C disebut anggota yang dikenal atau bebas.
Persamaannya:
kapak 2 + bx + C = 0
ditelepon menyelesaikan persamaan kuadrat. Jika salah satu koefisien B atau C sama dengan nol, atau kedua koefisien tersebut sama dengan nol, maka persamaan tersebut disajikan dalam bentuk persamaan kuadrat tidak lengkap.
Persamaan kuadrat tereduksi
Persamaan kuadrat lengkap dapat direduksi menjadi bentuk yang lebih mudah dengan membagi semua sukunya dengan A, yaitu untuk koefisien pertama:
Persamaannya X 2 + piksel + Q= 0 disebut persamaan kuadrat tereduksi. Oleh karena itu, persamaan kuadrat apa pun yang koefisien pertamanya sama dengan 1 dapat disebut tereduksi.
Misalnya persamaan:
X 2 + 10X - 5 = 0
berkurang, dan persamaannya:
3X 2 + 9X - 12 = 0
dapat diganti dengan persamaan di atas, membagi semua sukunya dengan -3:
X 2 - 3X + 4 = 0
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, Anda perlu mereduksinya menjadi salah satu bentuk berikut:
kapak 2 + bx + C = 0
kapak 2 + 2kx + C = 0
X 2 + piksel + Q = 0
Setiap jenis persamaan mempunyai rumus tersendiri untuk mencari akarnya:
Perhatikan persamaannya:
kapak 2 + 2kx + C = 0
ini adalah persamaan yang diubah kapak 2 + bx + C= 0, dimana koefisiennya B- genap, yang memungkinkan Anda menggantinya dengan tipe 2 k. Oleh karena itu, rumus mencari akar-akar persamaan ini dapat disederhanakan dengan mensubstitusikan 2 ke dalamnya k alih-alih B:
Contoh 1. Selesaikan persamaan:
3X 2 + 7X + 2 = 0
Karena koefisien kedua dalam persamaan tersebut bukan bilangan genap, dan koefisien pertama tidak sama dengan satu, kita akan mencari akar-akarnya menggunakan rumus pertama, yang disebut rumus umum mencari akar-akar persamaan kuadrat. Pertama
A = 3, B = 7, C = 2
Sekarang, untuk mencari akar persamaan, kita cukup mensubstitusikan nilai koefisiennya ke dalam rumus:
| X 1 = | -2 | = - | 1 | , X 2 = | -12 | = -2 |
| 6 | 3 | 6 |
| Menjawab: - | 1 | , -2. |
| 3 |
Contoh 2:
X 2 - 4X - 60 = 0
Mari kita tentukan berapa koefisiennya:
A = 1, B = -4, C = -60
Karena dalam persamaan koefisien kedua adalah bilangan genap, maka kita akan menggunakan rumus persamaan kuadrat dengan koefisien kedua genap:
X 1 = 2 + 8 = 10, X 2 = 2 - 8 = -6
Menjawab: 10, -6.
Contoh 3.
kamu 2 + 11kamu = kamu - 25
Mari kita kurangi persamaannya menjadi penampilan umum:
kamu 2 + 11kamu = kamu - 25
kamu 2 + 11kamu - kamu + 25 = 0
kamu 2 + 10kamu + 25 = 0
Mari kita tentukan berapa koefisiennya:
A = 1, P = 10, Q = 25
Karena koefisien pertama sama dengan 1, kita akan mencari akar-akarnya menggunakan rumus persamaan di atas dengan koefisien kedua genap:
Menjawab: -5.
Contoh 4.
X 2 - 7X + 6 = 0
Mari kita tentukan berapa koefisiennya:
A = 1, P = -7, Q = 6
Karena koefisien pertama sama dengan 1, kita akan mencari akar-akarnya menggunakan rumus persamaan di atas dengan koefisien ganjil kedua:
X 1 = (7 + 5) : 2 = 6, X 2 = (7 - 5) : 2 = 1
