Carilah jarak garis lurus matahari. Menentukan jarak suatu titik ke garis lurus. Memecahkan masalah mencari jarak dari suatu titik tertentu ke garis tertentu dalam ruang

Biarkan sistem koordinat persegi panjang diperbaiki dalam ruang tiga dimensi Oksiz, titik tertentu , garis lurus A dan Anda perlu mencari jarak dari titik tersebut A ke garis lurus A.

Kami akan menunjukkan dua metode yang memungkinkan Anda menghitung jarak dari suatu titik ke garis dalam ruang. Dalam kasus pertama, mencari jarak dari suatu titik M 1 ke garis lurus A turun untuk mencari jarak dari titik tersebut M 1 ke titik H 1 , Di mana H 1 - alas tegak lurus dijatuhkan dari suatu titik M 1 secara langsung A. Dalam kasus kedua, kita akan mencari jarak dari titik ke bidang sebagai tinggi jajaran genjang.

Jadi mari kita mulai.

Cara pertama mencari jarak suatu titik ke garis a dalam ruang.

Karena menurut definisi jarak dari suatu titik M 1 ke garis lurus A adalah panjang tegak lurus M 1 H 1 , kemudian, setelah menentukan koordinat titiknya H 1 , kita dapat menghitung jarak yang dibutuhkan sebagai jarak antar titik Dan sesuai dengan rumusnya.

Jadi, masalahnya adalah mencari koordinat alas tegak lurus yang dibangun dari titik tersebut M 1 ke garis lurus A. Ini cukup sederhana untuk dilakukan: titik H 1 adalah titik potong garis tersebut A dengan sebuah bidang yang melalui suatu titik M 1 tegak lurus terhadap garis A.

Karena itu, algoritma yang memungkinkan Anda menentukan jarak dari suatu titik ke garis lurusA di ruang hampa, adalah:

Metode kedua memungkinkan Anda mencari jarak dari suatu titik ke garis a dalam ruang.

Karena pada rumusan masalah kita diberikan garis lurus A, maka kita dapat menentukan vektor arahnya dan koordinat suatu titik M 3 , berbaring pada garis lurus A. Kemudian menurut koordinat titik dan kita dapat menghitung koordinat suatu vektor: (bila perlu lihat artikel koordinat suatu vektor melalui koordinat titik awal dan titik akhirnya).

Mari kita kesampingkan vektornya dan dari intinya M 3 dan buatlah jajar genjang di atasnya. Dalam jajaran genjang ini kita menggambar tingginya M 1 H 1 .

Jelas tingginya M 1 H 1 jajaran genjang yang dibangun sama dengan jarak yang diperlukan dari titik M 1 ke garis lurus A. Mari kita temukan.

Di satu sisi, luas jajaran genjang (mari kita nyatakan S) dapat dicari melalui perkalian vektor dari vektor-vektor dan sesuai rumus . Sebaliknya, luas jajar genjang sama dengan hasil kali panjang sisinya dan tingginya, yaitu, , Di mana - panjang vektor , sama dengan panjang sisi jajar genjang yang bersangkutan. Oleh karena itu, jarak dari titik tertentu M 1 ke garis lurus tertentu A dapat ditemukan dari persamaan Bagaimana .

Jadi, untuk mencari jarak suatu titik ke garis lurusA dalam ruang yang dibutuhkan

Memecahkan masalah mencari jarak dari suatu titik tertentu ke garis tertentu dalam ruang.

Mari kita lihat contoh solusinya.

Contoh.

Temukan jarak dari titik tersebut ke garis lurus .

Larutan.

Cara pertama.

Mari kita tulis persamaan bidang yang melalui titik tersebut M 1 tegak lurus terhadap garis tertentu:

Temukan koordinat titik tersebut H 1 - titik potong bidang dan garis lurus tertentu. Untuk melakukan ini, mari kita melakukan transisi dari persamaan kanonik garis lurus persamaan dua bidang yang berpotongan

setelah itu kita menyelesaikan sistem persamaan linear Metode Cramer:

Dengan demikian, .

Tetap menghitung jarak yang diperlukan dari suatu titik ke garis sebagai jarak antar titik Dan : .

Cara kedua.

Angka-angka dalam penyebut pecahan dalam persamaan kanonik suatu garis mewakili koordinat vektor arah garis tersebut, yaitu, - vektor langsung . Mari kita hitung panjangnya: .

Jelas lurus melewati suatu titik , maka sebuah vektor dengan titik asal di titik tersebut dan berakhir pada satu titik Ada . Mari kita cari hasil kali vektor dari vektor Dan :
maka panjang hasil kali vektor tersebut adalah .

Sekarang kita memiliki semua data untuk menggunakan rumus menghitung jarak dari suatu titik tertentu ke bidang tertentu: .

Menjawab:

Posisi relatif garis dalam ruang

Anda perlu menentukan jarak dari suatu titik ke garis. Rencana umum untuk memecahkan masalah:

- melalui suatu titik tertentu kita menggambar sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis lurus tertentu;

- menemukan titik pertemuan garis tersebut

dengan pesawat;

- menentukan nilai natural jarak tersebut.

Melalui suatu titik tertentu kita menggambar sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis AB. Kami mendefinisikan bidang sebagai perpotongan garis horizontal dan garis depan, yang proyeksinya dibuat sesuai dengan algoritma tegak lurus (masalah invers).

Temukan titik pertemuan garis lurus AB dengan bidang. Ini adalah masalah umum tentang perpotongan garis dengan bidang (lihat bagian “Perpotongan garis dengan bidang”).

Tegak lurus bidang

Bidang-bidang saling tegak lurus jika salah satunya mempunyai garis yang tegak lurus bidang lainnya. Oleh karena itu, untuk menggambar sebuah bidang yang tegak lurus terhadap bidang lain, pertama-tama Anda harus menggambar bidang yang tegak lurus terhadap bidang tersebut, lalu menggambar bidang yang diinginkan melalui bidang tersebut. Pada diagram, bidang dibatasi oleh dua garis berpotongan, salah satunya tegak lurus terhadap bidang ABC.

Jika bidang ditentukan oleh jejak, maka kasus berikut mungkin terjadi:

- jika dua bidang tegak lurus menonjol, maka jejak kolektifnya saling tegak lurus;

- bidang umum dan bidang proyeksi tegak lurus, jika jejak kolektif bidang proyeksi tegak lurus terhadap jejak bidang umum yang sama;

- jika jejak-jejak dua bidang yang letaknya sama tegak lurus, maka kedua bidang tersebut tidak tegak lurus satu sama lain.

Metode penggantian bidang proyeksi

Kami mengubah tata ruang menjadi planar dengan memutar bidang di sepanjang panah. Kami mendapatkan tiga bidang proyeksi yang digabungkan menjadi satu bidang.

Masalah khas pertama dari metode penggantian bidang proyeksi

Tugas khas pertama dari metode penggantian bidang proyeksi adalah mengubah garis lurus umum terlebih dahulu menjadi garis datar dan kemudian menjadi garis lurus proyeksi. Soal ini termasuk salah satu soal utama karena digunakan untuk menyelesaikan soal-soal lain, misalnya saat menentukan jarak antara garis sejajar dan berpotongan, saat menentukan sudut dihedral, dan lain-lain.

Kami melakukan penggantian H → H 1. Kami menggambar sumbu baru yang tegak lurus terhadap proyeksi frontal garis lurus. Kami membuat proyeksi garis horizontal baru, yang untuknya kami memplot ordinat garis yang diambil dari sistem bidang proyeksi sebelumnya dari sumbu baru. Garis lurus menjadi garis lurus yang menjorok secara horizontal dan “merosot” menjadi sebuah titik.

Jarak titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari titik ke garis. Dalam geometri deskriptif, ditentukan secara grafis menggunakan algoritma yang diberikan di bawah ini.

Algoritma

1. Garis lurus dipindahkan ke posisi yang sejajar dengan bidang proyeksi mana pun. Untuk tujuan ini, metode transformasi proyeksi ortogonal digunakan.
2. Dari suatu titik ditarik garis tegak lurus terhadap suatu garis. Konstruksi ini didasarkan pada teorema proyeksi sudut kanan.
3. Panjang suatu garis tegak lurus ditentukan dengan mentransformasikan proyeksinya atau menggunakan metode segitiga siku-siku.

Gambar berikut menunjukkan gambar yang rumit titik M dan garis b, diberikan oleh suatu segmen CD. Anda perlu menemukan jarak di antara mereka.

Menurut algoritma kami, hal pertama yang harus dilakukan adalah memindahkan garis ke posisi sejajar dengan bidang proyeksi. Penting untuk dipahami bahwa setelah transformasi dilakukan, jarak sebenarnya antara titik dan garis tidak boleh berubah. Oleh karena itu, lebih mudah menggunakan metode penggantian bidang, yang tidak melibatkan pergerakan benda di luar angkasa.

Hasil konstruksi tahap pertama ditunjukkan di bawah ini. Gambar tersebut menunjukkan bagaimana bidang frontal tambahan P 4 dimasukkan sejajar dengan b. Dalam sistem baru (P 1, P 4), titik C"" 1, D"" 1, M"" 1 berada pada jarak yang sama dari sumbu X 1 dengan C"", D"", M"" dari sumbu X.

Dengan menjalankan algoritma bagian kedua, dari M"" 1 kita turunkan tegak lurus M"" 1 N"" 1 ke garis lurus b"" 1, karena sudut siku-siku MND antara b dan MN diproyeksikan ke bidang P 4 dalam ukuran penuh. Dengan menggunakan jalur komunikasi, kita menentukan posisi titik N" dan melaksanakan proyeksi M"N" dari segmen MN.

Pada tahap akhir, Anda perlu menentukan ukuran segmen MN dari proyeksinya M"N" dan M"" 1 N"" 1. Untuk ini kami sedang membangun segitiga siku-siku M"" 1 N"" 1 N 0, yang kakinya N"" 1 N 0 sama dengan selisih (Y M 1 – Y N 1) jarak titik M" dan N" dari sumbu X 1. Panjang sisi miring M"" 1 N 0 dari segitiga M"" 1 N"" 1 N 0 sesuai dengan jarak yang diinginkan dari M ke b.

Solusi kedua

• Sejajar dengan CD, kami memperkenalkan bidang frontal baru P 4. Ini memotong P 1 sepanjang sumbu X 1, dan X 1 ∥C"D". Sesuai dengan cara penggantian bidang, kita tentukan proyeksi titik C"" 1, D"" 1 dan M"" 1, seperti terlihat pada gambar.
• Tegak lurus terhadap C"" 1 D"" 1 kita membuat bidang horizontal tambahan P 5, di mana garis lurus b diproyeksikan ke titik C" 2 = b" 2.
• Jarak antara titik M dan garis b ditentukan oleh panjang ruas M" 2 C" 2 yang ditandai dengan warna merah.

Tugas serupa:

Universitas Teknik Kelautan Negeri St

Departemen Grafik Komputer dan Dukungan Informasi

PELAJARAN 3

TUGAS PRAKTIS No.3

Menentukan jarak suatu titik ke garis lurus.

Anda dapat menentukan jarak antara suatu titik dan garis lurus dengan melakukan konstruksi berikut (lihat Gambar 1):

· dari titik DENGAN turunkan tegak lurus menjadi garis lurus A;

· tandai satu titik KE perpotongan garis tegak lurus dengan garis lurus;

mengukur panjang segmen tersebut KS, yang awalnya adalah suatu titik tertentu, dan ujungnya adalah titik potong yang ditandai.

Gambar.1. Jarak suatu titik ke suatu garis.

Dasar penyelesaian masalah jenis ini adalah aturan proyeksi sudut siku-siku: sudut siku-siku diproyeksikan tanpa distorsi jika setidaknya salah satu sisinya sejajar dengan bidang proyeksi(yaitu menempati posisi pribadi). Mari kita mulai dengan kasus seperti itu dan mempertimbangkan konstruksi untuk menentukan jarak dari suatu titik DENGAN ke segmen garis lurus AB.

Tidak ada contoh tes dalam tugas ini, dan opsi untuk menyelesaikan tugas individu diberikan tabel1 dan tabel2. Solusi untuk masalah ini dijelaskan di bawah ini, dan konstruksi terkait ditunjukkan pada Gambar 2.

1. Menentukan jarak suatu titik ke garis tertentu.

Pertama, proyeksi suatu titik dan segmen dibuat. Proyeksi A1B1 sejajar dengan sumbu X. Artinya segmen tersebut AB sejajar dengan pesawat hal2. Jika dari titik DENGAN menggambar tegak lurus ke AB, kemudian sudut siku-siku diproyeksikan tanpa distorsi ke bidang hal2. Ini memungkinkan Anda menggambar garis tegak lurus dari suatu titik C2 untuk proyeksi A2B2.

Menu drop down Segmen Gambar (Menggambar- Garis) . Tempatkan kursor pada titik tersebut C2 dan perbaiki sebagai titik pertama segmen tersebut. Pindahkan kursor ke arah normal ke segmen tersebut A2B2 dan perbaiki poin kedua pada saat petunjuk itu muncul Biasa (Tegak lurus) . Tandai titik yang dibangun K2. Aktifkan mode ORTO(ORTO) , dan dari intinya K2 gambarlah garis sambungan vertikal hingga berpotongan dengan proyeksi A1 B1. Tentukan titik potongnya dengan K1. Dot KE, berbaring di ruas tersebut AB, adalah titik potong garis tegak lurus yang ditarik dari titik tersebut DENGAN, dengan segmen AB. Jadi, segmennya KS adalah jarak yang diperlukan dari titik ke garis.

Dari konstruksinya terlihat jelas bahwa segmen tersebut KS menempati posisi umum dan, oleh karena itu, proyeksinya terdistorsi. Ketika berbicara tentang jarak, yang kami maksud selalu nilai sebenarnya dari segmen tersebut, menyatakan jarak. Oleh karena itu, kita perlu mencari nilai sebenarnya dari segmen tersebut KS, dengan memutarnya ke posisi tertentu, misalnya, KS|| P1. Hasil konstruksi ditunjukkan pada Gambar 2.

Dari konstruksi yang ditunjukkan pada Gambar 2, kita dapat menyimpulkan: posisi tertentu dari garis (segmen tersebut sejajar P1 atau hal2) memungkinkan Anda dengan cepat membuat proyeksi jarak dari suatu titik ke garis, tetapi proyeksi tersebut terdistorsi.

Gambar.2. Menentukan jarak suatu titik ke garis tertentu.

2. Menentukan jarak suatu titik ke garis umum.

Segmen tersebut tidak selalu menempati posisi tertentu pada kondisi awal. Dengan posisi awal yang umum, konstruksi berikut dilakukan untuk menentukan jarak dari suatu titik ke garis:

a) menggunakan metode transformasi gambar, ubah segmen dari posisi umum ke posisi khusus - ini akan memungkinkan pembuatan proyeksi jarak (terdistorsi);

b) dengan menggunakan metode ini lagi, ubahlah segmen yang sesuai dengan jarak yang diperlukan ke posisi tertentu - kita memperoleh proyeksi jarak yang besarnya sama dengan jarak sebenarnya.

Perhatikan urutan konstruksi untuk menentukan jarak dari suatu titik A ke segmen pada posisi umum Matahari(Gbr. 3).

Pada putaran pertama perlu untuk mendapatkan posisi tertentu dari segmen tersebut DI DALAMC. Untuk melakukan ini di lapisan TMR perlu menghubungkan titik-titik tersebut PADA 2, C2 Dan A2. Menggunakan perintah Ubah-Putar (Memodifikasi – Memutar) segi tiga В2С2А2 berputar di sekitar suatu titik C2 ke posisi di mana proyeksi baru B2*C2 akan ditempatkan secara horizontal (titik DENGAN tidak bergerak dan, oleh karena itu, proyeksi barunya bertepatan dengan proyeksi asli dan peruntukannya C2* Dan C1* mungkin tidak ditampilkan pada gambar). Hasilnya, proyeksi segmen baru akan diperoleh B2*C2 dan poin: A2*. Selanjutnya dari poin A2* Dan PADA 2* yang vertikal dilakukan, dan dari titik DALAM 1 Dan A1 jalur komunikasi horisontal. Perpotongan garis-garis yang bersesuaian akan menentukan posisi titik-titik proyeksi horizontal baru: segmen B1*C1 dan titik A1*.

Pada posisi tertentu yang dihasilkan, kita dapat membuat proyeksi jarak untuk ini: dari titik A1* yang normal ke B1*C1. Arahkan mereka saling bersilangan – K1*. Garis sambungan vertikal ditarik dari titik ini hingga berpotongan dengan proyeksi B2*C2. Sebuah titik ditandai K2*. Hasilnya, proyeksi segmen tersebut diperoleh AK, yang merupakan jarak yang diperlukan dari titik tersebut A ke segmen garis lurus Matahari.

Selanjutnya perlu dibuat proyeksi jarak pada kondisi awal. Untuk melakukan ini dari intinya K1* akan lebih mudah untuk menggambar garis horizontal hingga berpotongan dengan proyeksi V1S1 dan tandai titik potongnya K1. Kemudian sebuah titik dibangun K2 pada proyeksi frontal segmen dan proyeksi dilakukan A1K1 Dan A2K2. Sebagai hasil dari konstruksi tersebut, proyeksi jarak diperoleh, tetapi baik pada posisi awal maupun pada posisi parsial baru dari segmen tersebut. matahari, segmen garis AK menempati posisi umum, dan ini mengarah pada fakta bahwa semua proyeksinya terdistorsi.

Pada putaran kedua segmen tersebut perlu diputar AK ke posisi tertentu, yang memungkinkan kita menentukan nilai sebenarnya dari jarak - proyeksi A2*K2**. Hasil dari semua konstruksi ditunjukkan pada Gambar 3.

TUGAS No.3-1. DENGAN ke garis lurus pada posisi tertentu yang ditentukan oleh segmen tersebut AB. Berikan jawabannya dalam mm (Tabel 1).Lepaskan lensa proyeksi

Tabel 1

TUGAS No.3-2. Temukan jarak sebenarnya dari suatu titik M ke garis lurus pada posisi umum yang diberikan oleh segmen tersebut ED. Berikan jawabannya dalam mm (Meja 2).

Meja 2

Pengecekan dan passing menyelesaikan TUGAS No.3.

155*. Tentukan ukuran alami ruas AB suatu garis lurus pada posisi umum (Gbr. 153, a).

Larutan. Sebagaimana diketahui, proyeksi suatu ruas garis lurus pada suatu bidang sama dengan ruas itu sendiri (dengan memperhatikan skala gambarnya), jika sejajar dengan bidang tersebut.

(Gbr. 153, b). Oleh karena itu, dengan mentransformasikan gambar, perlu untuk mencapai paralelisme segmen persegi tertentu. V atau persegi H atau lengkapi sistem V, H dengan bidang lain yang tegak lurus persegi. V atau ke pl. H dan sekaligus sejajar dengan segmen ini.

Pada Gambar. 153, c menunjukkan pengenalan bidang tambahan S, tegak lurus terhadap persegi. H dan sejajar dengan segmen tertentu AB.

Proyeksi a s b s sama dengan nilai alami ruas AB.

Pada Gambar. 153, d menunjukkan teknik lain: ruas AB diputar mengelilingi garis lurus yang melalui titik B dan tegak lurus persegi. H, untuk posisi sejajar

hal. V. Dalam hal ini, titik B tetap di tempatnya, dan titik A mengambil posisi baru A 1. Cakrawala berada pada posisi baru. proyeksi a 1 b || sumbu x Proyeksi a" 1 b" sama dengan ukuran alami ruas AB.

156. Diberikan piramida SABCD (Gbr. 154). Tentukan ukuran sebenarnya rusuk limas AS dan CS dengan metode perubahan bidang proyeksi, dan rusuk BS dan DS dengan metode rotasi, dan ambil sumbu rotasi tegak lurus persegi. H.

157*. Tentukan jarak titik A ke garis lurus BC (Gbr. 155, a).

Larutan. Jarak suatu titik ke suatu garis diukur dengan garis tegak lurus yang ditarik dari titik ke garis tersebut.

Jika suatu garis lurus tegak lurus terhadap suatu bidang (Gbr. 155.6), maka jarak titik ke garis lurus diukur dengan jarak antara proyeksi titik tersebut dan titik proyeksi garis lurus pada bidang tersebut. Jika suatu garis lurus menempati posisi umum dalam sistem V, H, maka untuk menentukan jarak suatu titik ke garis lurus dengan mengubah bidang proyeksi, perlu dimasukkan dua bidang tambahan ke dalam sistem V, H.

Pertama (Gbr. 155, c) kita masuk ke kotak. S, sejajar dengan ruas BC (sumbu baru S/H sejajar dengan proyeksi bc), dan buatlah proyeksi b s c s dan a s. Kemudian (Gbr. 155, d) kami memperkenalkan kotak lainnya. T, tegak lurus garis lurus BC (sumbu baru T/S tegak lurus b s dengan s). Kami membuat proyeksi garis lurus dan titik - dengan t (b t) dan a t. Jarak antara titik at dan c t (b t) sama dengan jarak l dari titik A ke garis lurus BC.

Pada Gambar. 155, d, tugas yang sama diselesaikan dengan menggunakan metode rotasi dalam bentuknya, yang disebut metode gerak paralel. Pertama, garis lurus BC dan titik A, dengan menjaga posisi relatifnya tidak berubah, diputar mengelilingi beberapa garis lurus (tidak ditunjukkan dalam gambar) yang tegak lurus bujur sangkar. H, sehingga garis lurus BC sejajar persegi. V. Ini setara dengan memindahkan titik A, B, C pada bidang yang sejajar dengan persegi. H. Pada saat yang sama, cakrawala. proyeksi suatu sistem tertentu (BC + A) tidak berubah baik ukuran maupun konfigurasinya, hanya posisinya relatif terhadap sumbu x yang berubah. Kami menempatkan cakrawala. proyeksi garis lurus BC sejajar sumbu x (posisi b 1 c 1) dan tentukan proyeksi a 1, sisihkan c 1 1 1 = c-1 dan a 1 1 1 = a-1, dan a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Menggambar garis lurus b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 sejajar dengan sumbu x, kita temukan bagian depannya. proyeksi b" 1, a" 1, c" 1. Selanjutnya kita pindahkan titik B 1, C 1 dan A 1 pada bidang yang sejajar dengan luas V (juga tanpa mengubahnya posisi relatif), sehingga diperoleh B 2 C 2 ⊥ pl. H. Dalam hal ini proyeksi garis lurus akan tegak lurus ke depan x,b sumbu 2 c" 2 = b" 1 c" 1, dan untuk membuat proyeksi a" 2 Anda perlu mengambil b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, gambarlah 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 dan sisihkan a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Sekarang, setelah menghabiskan 1 dengan 2 dan 1 a 2 || x 1 kita memperoleh proyeksi b 2 dari 2 dan a 2 dan jarak yang diinginkan l dari titik A ke garis lurus BC. Jarak A ke BC dapat ditentukan dengan memutar bidang yang ditentukan oleh titik A dan garis lurus BC mengelilingi horizontal bidang tersebut ke posisi T || hal. H (Gbr. 155, f).

Pada bidang yang dibatasi oleh titik A dan garis lurus BC, tariklah garis mendatar A-1 (Gbr. 155, g) dan putar titik B mengelilinginya, Titik B berpindah ke persegi. R (ditentukan pada gambar di sebelah R h), tegak lurus terhadap A-1; di titik O terdapat pusat rotasi titik B. Sekarang kita tentukan nilai natural jari-jari rotasi VO (Gbr. 155, c). Pada posisi yang diperlukan, yaitu ketika pl. T yang ditentukan oleh titik A dan garis lurus BC menjadi || hal. H, titik B akan berada di R h pada jarak Ob 1 dari titik O (mungkin ada posisi lain pada jejak yang sama R h, tetapi di sisi lain O). Titik b 1 adalah horizon. proyeksi titik B setelah dipindahkan ke posisi B 1 dalam ruang, ketika bidang yang dibatasi oleh titik A dan garis lurus BC telah mengambil posisi T.

Menggambar (Gbr. 155, i) garis lurus b 1 1, kita memperoleh cakrawala. proyeksi garis lurus BC yang letaknya || hal. H berada pada bidang yang sama dengan A. Pada posisi ini, jarak a ke b 1 1 sama dengan jarak yang diinginkan l. Bidang P, tempat letak unsur-unsur tertentu, dapat digabungkan dengan persegi. H (Gbr. 155, j), berputar persegi. R di sekelilingnya adalah cakrawala. jejak. Beralih dari menentukan bidang melalui titik A dan garis lurus BC ke menentukan garis lurus BC dan A-1 (Gbr. 155, l), kita menemukan jejak garis lurus ini dan menggambar jejak P ϑ dan P h melaluinya. Kami sedang membangun (Gbr. 155, m) dikombinasikan dengan persegi. Posisi H depan. jejak - P ϑ0 .

Melalui titik a kita menggambar cakrawala. proyeksi depan; gabungan frontal melewati titik 2 pada jejak P h sejajar dengan P ϑ0. Titik A 0 - digabungkan dengan persegi. H adalah posisi titik A. Demikian pula kita mencari titik B 0. Sinar matahari langsung di kombinasikan dengan persegi. Posisi H melewati titik B 0 dan titik m (jejak garis lurus mendatar).

Jarak titik A 0 ke garis lurus B 0 C 0 sama dengan jarak yang dibutuhkan l.

Anda dapat melakukan konstruksi yang ditunjukkan dengan hanya menemukan satu jejak P h (Gbr. 155, n dan o). Seluruh konstruksinya mirip dengan rotasi pada bidang horizontal (lihat Gambar 155, g, c, i): jejak P h adalah salah satu bidang horizontal pl. R.

Dari metode yang diberikan untuk memecahkan masalah ini, metode yang disukai untuk mengubah gambar adalah metode rotasi horizontal atau frontal.

158. Piramida SABC diberikan (Gbr. 156). Tentukan jarak:

a) dari atas B alas ke sisi AC dengan metode gerak paralel;

b) dari puncak S piramida ke sisi BC dan AB alas dengan cara memutar horizontal;

c) dari titik S ke sisi AC alas dengan mengubah bidang proyeksi.

159. Sebuah prisma diberikan (Gbr. 157). Tentukan jarak:

a) antara tulang rusuk AD dan CF dengan mengubah bidang proyeksi;

b) antara tulang rusuk BE dan CF dengan memutar sekeliling bagian depan;

c) antara sisi AD dan BE dengan gerakan paralel.

160. Tentukan ukuran sebenarnya segiempat ABCD (Gbr. 158) dengan menyejajarkannya dengan persegi. N. Gunakan hanya jejak horizontal bidang tersebut.

161*. Tentukan jarak antara garis lurus AB dan CD yang berpotongan (Gbr. 159, a) dan buatlah proyeksi garis tegak lurus terhadap garis tersebut.

Larutan. Jarak antar garis bersilang diukur dengan ruas (MN) yang tegak lurus kedua garis (Gbr. 159, b). Jelasnya, jika salah satu garis lurus ditempatkan tegak lurus terhadap suatu persegi. T, kalau begitu

ruas MN yang tegak lurus kedua garis akan sejajar dengan persegi. Proyeksinya pada bidang ini akan menampilkan jarak yang dibutuhkan. Proyeksi sudut siku-siku menad MN n AB pada persegi. T juga ternyata merupakan sudut siku-siku antara m t n t dan a t b t , karena salah satu sisi sudut siku-siku tersebut adalah AMN yaitu MN. sejajar dengan persegi T.

Pada Gambar. 159, c dan d, jarak yang diperlukan l ditentukan dengan metode mengubah bidang proyeksi. Pertama kita perkenalkan kotak tambahan. proyeksi S, tegak lurus terhadap persegi. H dan sejajar dengan garis lurus CD (Gbr. 159, c). Lalu kami memperkenalkan kotak tambahan lainnya. T, tegak lurus persegi. S dan tegak lurus terhadap garis lurus yang sama CD (Gbr. 159, d). Sekarang Anda dapat membuat proyeksi garis tegak lurus umum dengan menggambar m t n t dari titik c t (d t) tegak lurus terhadap proyeksi at b t. Titik m t dan n t merupakan proyeksi titik potong tegak lurus tersebut dengan garis lurus AB dan CD. Dengan menggunakan titik m t (Gbr. 159, e) kita menemukan m s pada a s b s: proyeksi m s n s harus sejajar dengan sumbu T/S. Selanjutnya, dari m s dan n s kita temukan m dan n pada ab dan cd, dan dari keduanya m" dan n" pada a"b" dan c"d".

Pada Gambar. 159, c menunjukkan penyelesaian masalah ini dengan menggunakan metode gerak paralel. Pertama kita letakkan garis lurus CD sejajar dengan persegi. V : proyeksi c 1 d 1 || X. Selanjutnya kita pindahkan garis lurus CD dan AB dari posisi C 1 D 1 dan A 1 B 1 ke posisi C 2 B 2 dan A 2 B 2 sehingga C 2 D 2 tegak lurus H : proyeksi c" 2 d" 2 ⊥ X. Ruas tegak lurus yang diinginkan terletak || hal. H, dan oleh karena itu m 2 n 2 menyatakan jarak yang diinginkan l antara AB dan CD. Kita cari posisi proyeksi m" 2, dan n" 2 pada a" 2 b" 2 dan c" 2 d" 2, kemudian proyeksi m 1 dan m" 1, n 1 dan n" 1, terakhir, proyeksi m" dan n ", m dan n.

162. Piramida SABC diberikan (Gbr. 160). Tentukan jarak antara tepi SB dan sisi AC alas limas dan buatlah proyeksi tegak lurus persekutuan terhadap SB dan AC, dengan menggunakan metode mengubah bidang proyeksi.

163. Piramida SABC diberikan (Gbr. 161). Tentukan jarak antara tepi SH dan sisi BC alas limas dan buatlah proyeksi tegak lurus persekutuan SX dan BC dengan menggunakan metode perpindahan paralel.

164*. Tentukan jarak dari titik A ke bidang jika bidang tersebut ditentukan oleh: a) segitiga BCD (Gbr. 162, a); b) jejak (Gbr. 162, b).

Larutan. Seperti diketahui, jarak suatu titik ke suatu bidang diukur dengan nilai garis tegak lurus yang ditarik dari titik ke bidang tersebut. Jarak ini diproyeksikan ke area mana pun. proyeksi dalam ukuran penuh, jika bidang ini tegak lurus terhadap persegi. proyeksi (Gbr. 162, c). Situasi ini dapat dicapai dengan mengubah gambar, misalnya dengan mengubah luas. proyeksi. Mari kita perkenalkan hal. S (Gbr. 16c, d), tegak lurus persegi. segitiga BCD. Untuk melakukan ini, kita habiskan di alun-alun. segitiga mendatar B-1 dan letakkan sumbu proyeksi S tegak lurus proyeksi b-1 mendatar. Kami membuat proyeksi suatu titik dan bidang - a s dan segmen c s d s. Jarak dari a s ke c s d s sama dengan jarak l yang diinginkan dari titik ke bidang.

Ke Rio. 162, d digunakan metode gerak paralel. Kita gerakkan seluruh sistem hingga bidang horizontal B-1 menjadi tegak lurus terhadap bidang V: proyeksi b 1 1 1 harus tegak lurus terhadap sumbu x. Pada posisi ini, bidang segitiga akan menonjol ke depan, dan jarak l dari titik A ke titik tersebut adalah pl. V tanpa distorsi.

Pada Gambar. 162, b bidang ditentukan oleh jejak. Kami memperkenalkan (Gbr. 162, e) kotak tambahan. S, tegak lurus persegi. P: Sumbu S/H tegak lurus terhadap P h. Sisanya jelas dari gambar. Pada Gambar. 162, g masalah diselesaikan dengan menggunakan satu gerakan: pl. P masuk ke posisi P 1, yaitu menjadi memproyeksikan ke depan. Melacak. P 1h tegak lurus terhadap sumbu x. Kami membangun bagian depan pesawat pada posisi ini. jejak mendatar adalah titik n" 1,n 1. Jejak P 1ϑ akan melewati P 1x dan n 1. Jarak dari a" 1 ke P 1ϑ sama dengan jarak yang dibutuhkan l.

165. Piramida SABC diberikan (lihat Gambar 160). Tentukan jarak titik A ke tepi limas SBC dengan menggunakan metode gerak sejajar.

166. Piramida SABC diberikan (lihat Gambar 161). Tentukan tinggi limas dengan menggunakan metode perpindahan paralel.

167*. Tentukan jarak antara garis potong AB dan CD (lihat Gambar 159,a) sebagai jarak antara bidang sejajar yang melalui garis tersebut.

Larutan. Pada Gambar. 163, dan bidang P dan Q sejajar satu sama lain, yang mana pl. Q ditarik melalui CD sejajar AB, dan pl. P - melalui AB sejajar dengan persegi. Q. Jarak antara bidang-bidang tersebut dianggap sebagai jarak antara perpotongan garis lurus AB dan CD. Namun, Anda dapat membatasi diri untuk membuat satu bidang saja, misalnya Q, sejajar dengan AB, dan kemudian menentukan jarak setidaknya dari titik A ke bidang tersebut.

Pada Gambar. 163, c menunjukkan bidang Q yang ditarik melalui CD sejajar AB; dalam proyeksi yang dilakukan dengan "e" || a"b" dan ce || ab. Menggunakan metode mengubah pl. proyeksi (Gbr. 163, c), kami memperkenalkan kotak tambahan. S, tegak lurus persegi. V dan pada saat yang sama

tegak lurus terhadap persegi Q. Untuk menggambar sumbu S/V, ambil D-1 bagian depan pada bidang ini. Sekarang kita menggambar S/V tegak lurus terhadap d"1" (Gbr. 163, c). hal. Q akan digambarkan di kotak. S sebagai garis lurus dengan s d s. Sisanya jelas dari gambar.

168. Piramida SABC diberikan (lihat Gambar 160). Tentukan jarak antara rusuk SC dan AB Terapkan: 1) cara mengubah luas. proyeksi, 2) metode gerak paralel.

169*. Tentukan jarak antara bidang sejajar yang salah satunya ditentukan oleh garis lurus AB dan AC, dan yang lainnya ditentukan oleh garis lurus DE dan DF (Gbr. 164, a). Lakukan juga konstruksi untuk kasus ketika bidang ditentukan oleh jejak (Gbr. 164, b).

Larutan. Jarak (Gbr. 164, c) antara bidang sejajar dapat ditentukan dengan menggambar garis tegak lurus dari titik mana pun pada bidang yang satu ke bidang yang lain. Pada Gambar. 164, g kotak tambahan diperkenalkan. S tegak lurus dengan persegi. H dan ke kedua bidang yang diberikan. Sumbu S.H tegak lurus terhadap horizontal. proyeksi horizontal yang digambar pada salah satu bidang. Kami membuat proyeksi bidang ini dan sebuah titik di bidang lain pada persegi. 5. Jarak titik d s ke garis lurus l s a s sama dengan jarak yang diperlukan antara bidang sejajar.

Pada Gambar. 164, d konstruksi lain diberikan (menurut metode gerakan paralel). Agar bidang yang dinyatakan oleh perpotongan garis AB dan AC tegak lurus terhadap persegi. V, cakrawala. Kita atur proyeksi horizontal bidang ini tegak lurus terhadap sumbu x: 1 1 2 1 ⊥ x. Jarak antara depan proyeksi d" 1 titik D dan garis lurus a" 1 2" 1 (proyeksi depan bidang) sama dengan jarak yang diperlukan antar bidang.

Pada Gambar. 164, e menunjukkan pengenalan kotak tambahan. S, tegak lurus terhadap luas H dan pada bidang tertentu P dan Q (sumbu S/H tegak lurus terhadap jejak P h dan Q h). Kami membangun jejak P s dan Q s. Jarak antara keduanya (lihat Gambar 164, c) sama dengan jarak yang diinginkan l antara bidang P dan Q.

Pada Gambar. 164, g menunjukkan pergerakan bidang P 1 n Q 1, ke posisi P 1 dan Q 1, ketika horizon. jejaknya ternyata tegak lurus terhadap sumbu x. Jarak antara front baru. jejak P 1ϑ dan Q 1ϑ sama dengan jarak yang dibutuhkan l.

170. Diberikan ABCDEFGH paralelepiped (Gbr. 165). Tentukan jarak: a) antara alas paralelepiped - l 1; b) antara permukaan ABFE dan DCGH - l 2; c) antara muka ADHE dan BCGF-l 3.