Garis singgung adalah garis lurus , yang menyentuh grafik fungsi di satu titik dan semua titiknya berada pada jarak terpendek dari grafik fungsi. Oleh karena itu, garis singgung bersinggungan dengan grafik fungsi pada sudut tertentu, dan beberapa garis singgung pada sudut yang berbeda tidak dapat melewati titik singgung tersebut. Persamaan tangen dan persamaan normal grafik suatu fungsi dibuat menggunakan turunan.

Persamaan tangen diturunkan dari persamaan garis .

Mari kita turunkan persamaan garis singgung, lalu persamaan normal grafik fungsinya.

kamu = kx + B .

Di dalam dia k- koefisien sudut.

Dari sini kita mendapatkan entri berikut:

kamu - kamu 0 = k(X - X 0 ) .

Nilai turunan F "(X 0 ) fungsi kamu = F(X) pada intinya X0 sama dengan kemiringannya k= tg φ bersinggungan dengan grafik suatu fungsi yang melalui suatu titik M0 (X 0 , kamu 0 ) , Di mana kamu0 = F(X 0 ) . Ini makna geometris turunan .

Jadi, kita bisa menggantinya k pada F "(X 0 ) dan dapatkan yang berikut ini persamaan garis singgung grafik suatu fungsi :

kamu - kamu 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .

Dalam soal-soal yang melibatkan penyusunan persamaan garis singgung grafik suatu fungsi (dan kita akan segera membahasnya), persamaan yang diperoleh dari rumus di atas harus direduksi menjadi persamaan garis lurus dalam bentuk umum. Untuk melakukan ini, Anda perlu memindahkan semua huruf dan angka ke sisi kiri persamaan, dan meninggalkan nol di sisi kanan.

Sekarang tentang persamaan normal. Normal - ini adalah garis lurus yang melalui titik singgung grafik fungsi yang tegak lurus garis singgung. Persamaan biasa :

(X - X 0 ) + F "(X 0 )(kamu - kamu 0 ) = 0

Untuk pemanasan, Anda diminta untuk menyelesaikan sendiri contoh pertama, lalu melihat solusinya. Ada banyak alasan untuk berharap bahwa tugas ini tidak akan menjadi “mandi air dingin” bagi pembaca kami.

Contoh 0. Buatlah persamaan tangen dan persamaan normal grafik fungsi di suatu titik M (1, 1) .

Contoh 1. Tuliskan persamaan tangen dan persamaan normal grafik suatu fungsi , jika absisnya bersinggungan .

Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

Sekarang kita memiliki semua yang perlu disubstitusikan ke dalam entri yang diberikan dalam bantuan teoritis untuk mendapatkan persamaan tangen. Kita mendapatkan

Dalam contoh ini, kami beruntung: kemiringannya ternyata nol, jadi persamaan tersebut tidak perlu direduksi secara terpisah ke bentuk umum. Sekarang kita dapat membuat persamaan normal:

Pada gambar di bawah ini: grafik suatu fungsi berwarna merah anggur, garis singgung Warna hijau, oranye biasa.

Contoh selanjutnya juga tidak rumit: fungsinya, seperti pada contoh sebelumnya, juga merupakan polinomial, tetapi kemiringannya tidak akan sama dengan nol, sehingga akan ditambahkan satu langkah lagi - membawa persamaan ke bentuk umum.

Contoh 2.

Larutan. Mari kita cari ordinat titik singgungnya:

Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

.

Mari kita cari nilai turunannya pada titik singgung, yaitu kemiringan garis singgung:

Kami mengganti semua data yang diperoleh ke dalam “rumus kosong” dan mendapatkan persamaan tangen:

Kami membawa persamaan ke bentuk umum (kami mengumpulkan semua huruf dan angka selain nol di sisi kiri, dan meninggalkan nol di sebelah kanan):

Kami membuat persamaan normal:

Contoh 3. Tuliskan persamaan garis singgung dan persamaan normal grafik fungsi jika absisnya adalah titik singgungnya.

Larutan. Mari kita cari ordinat titik singgungnya:

Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

.

Mari kita cari nilai turunannya pada titik singgung, yaitu kemiringan garis singgung:

.

Kami menemukan persamaan tangen:

Sebelum membawa persamaan ke bentuk umum, Anda perlu “menyisirnya” sedikit: mengalikan suku demi suku dengan 4. Kita melakukan ini dan membawa persamaan ke bentuk umum:

Kami membuat persamaan normal:

Contoh 4. Tuliskan persamaan garis singgung dan persamaan normal grafik fungsi jika absisnya adalah titik singgungnya.

Larutan. Mari kita cari ordinat titik singgungnya:

.

Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

Mari kita cari nilai turunannya pada titik singgung, yaitu kemiringan garis singgung:

.

Kami mendapatkan persamaan tangen:

Kami membawa persamaan tersebut ke bentuk umum:

Kami membuat persamaan normal:

Kesalahan umum saat menulis persamaan tangen dan persamaan normal adalah tidak memperhatikan bahwa fungsi yang diberikan dalam contoh adalah fungsi kompleks dan menghitung turunannya sebagai turunan dari fungsi sederhana. Contoh berikut sudah berasal dari fungsi yang kompleks(pelajaran terkait akan terbuka di jendela baru).

Contoh 5. Tuliskan persamaan garis singgung dan persamaan normal grafik fungsi jika absisnya adalah titik singgungnya.

Larutan. Mari kita cari ordinat titik singgungnya:

Perhatian! Fungsi ini kompleks, karena argumen tangen (2 X) itu sendiri merupakan sebuah fungsi. Oleh karena itu, kita mencari turunan suatu fungsi sebagai turunan dari fungsi kompleks.


Definisi: Garis normal kurva y = ¦(x) di titik M 0 adalah garis lurus yang melalui titik M 0 dan tegak lurus garis singgung di titik M 0 terhadap kurva tersebut.

Mari kita tulis persamaan garis singgung dan normal, mengetahui persamaan kurva dan koordinat titik M 0. Garis singgung memiliki koefisien sudut k = t g = ¦, (x 0). Dari geometri analitik diketahui suatu garis lurus mempunyai persamaan y-y 0 = k(x – x 0).

Oleh karena itu, persamaan tangennya adalah: y - y 0 = ¦, (x 0)(x – x 0); (1)

Koefisien sudut garis normal adalah Kn = (karena tegak lurus), tetapi persamaan normalnya adalah:

y-y 0 =(-1/ ¦, (x 0)(x – x 0); (2)

Jika suatu turunan tidak ada di suatu titik, maka tidak ada garis singgung di titik tersebut.

Misalnya fungsi ¦(x)=|x| pada titik x=0 tidak mempunyai turunan.

lim D x ®0 (D y/ D x)= lim D x ®0 (| D x|/ D x)=

Batas satu sisi ada, tetapi lim D x ®0 (D y/ D x) tidak ada

Singgung juga.

Titik ini disebut titik sudut grafik.

§4. Hubungan antara kontinuitas dan diferensiasi suatu fungsi.

Teorema tentang fungsi terdiferensiasi berikut ini valid.

Dalil: jika suatu fungsi y = ¦(x) mempunyai turunan berhingga di titik x 0, maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut.

Bukti:

Karena di titik x 0 terdapat turunan ¦, (x 0), yaitu ada batasnya

lim D x ®0 (D y/ D x)= ¦, (x 0), lalu D y/ D x= ¦, (x 0)+, dimana

B.m.v., tergantung pada D x. Ketika D x®0, ®0, karena = (D y/ D x) - ¦, (x 0) ®0 pada D x®0

Oleh karena itu kita mempunyai: D y= ¦, (x 0) D x + D x.

Tapi kemudian

Peningkatan yang sangat kecil dalam argumen sama dengan peningkatan fungsi yang sangat kecil, oleh karena itu ¦(x) kontinu di titik x 0 .

Penting untuk memahami hal itu teorema kebalikan tidak benar!

Tidak semua fungsi berkelanjutan dapat dibedakan.

Jadi, ¦(x) =|x| kontinu di titik x 0 =0, grafiknya berupa garis padat, tetapi ¦, (0) tidak ada.

§5. Turunan dari fungsi konstanta, sinus, kosinus, dan pangkat.

1. kamu= ¦(x) =c; kamu, = (c), = 0; (1)

Bukti:

a) di titik mana pun x ¦(x) = c

b) berikan x kenaikan D x, x + D x, nilai fungsi ¦ (x + D x) = c;

c) ¦ (x + D x)- ¦ (x)= с- с= 0;

d) D kamu/ D x = 0/ D x = 0

e) lim D x ®0 (D y/ D x)= lim D x ®0 0 = 0

2. kamu= dosa x; y, = (dosa x), = cos x; (2)

Bukti:

a) di titik mana pun x ¦(x) = sin x;

b) berikan x kenaikan D x, x + D x, nilai fungsi

Subjek : Konsep tangen dan normal.

Persamaan tangen dan normal.

Sasaran:

Subjek: mengenalkan siswa pada konsep: garis singgung dan normal kurva; mengkonsolidasikan konsep-konsep ini ketika memecahkan masalah penyusunan persamaan tangen dan persamaan normal; cari tahu sifat-sifat apa yang dimiliki koefisien sudut garis singgung dan garis normal.

Komunikatif: memperdebatkan sudut pandang Anda, berdebat dan mempertahankan posisi Anda dengan cara yang tidak bermusuhan dengan lawan; dapat mendengar dan mendengar satu sama lain.

Kognitif : membangun hubungan sebab-akibat; mengungkapkan makna suatu situasi dengan menggunakan berbagai cara (gambar, simbol, diagram, tanda).

Peraturan: menerima tujuan kognitif, memeliharanya ketika melakukan tindakan pendidikan, mengatur seluruh proses pelaksanaannya dan secara jelas memenuhi persyaratan tugas kognitif.

Pribadi: pembentukan minat kognitif mempelajari hal-hal baru, motivasi melakukan kegiatan penelitian mandiri dan kolektif.

Selama kelas:

1. Pembaruan latar belakang pengetahuan siswa:

(Pengenalan konsep garis singgung dan normal suatu kurva)

Kita mengetahui arti analitis dan fisis dari turunan: (jawaban siswa :

arti analitisnya adalah, arti fisisnya adalah kecepatan proses yang ditentukan oleh fungsi).

Mari kita cari tahu arti geometri dari turunannya.

Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan konsep garis singgung kurva pada suatu titik tertentu.

Dari kursus sekolah geometri, anda pasti tahu konsep garis singgung lingkaran. (jawaban siswa : garis singgung lingkaran didefinisikan sebagai garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dengan lingkaran dan mempunyai satu titik persekutuan dengannya).

Namun definisi garis singgung seperti itu tidak berlaku untuk kasus kurva sembarang. Misalnya untuk parabola, sumbunya masing-masing mempunyai satu poin umum dengan parabola. Namun sumbunya bersinggungan dengan parabola, tetapi sumbunya tidak. Mari kita memberi definisi umum bersinggungan dengan kurva pada suatu titik tertentu.

Biarkan beberapa titik pada kurva sembarang menjadi garis potong kurva. Saat sebuah titik mendekati sepanjang kurva, garis potong akan berputar mengelilingi titik tersebut

Definisi. Posisi batas garis potong pada pendekatan tak terbatas suatu titik sepanjang kurva disebutgaris singgung ke kurva di titik tersebut

Definisi . Normal kurva di suatu titik adalah garis lurus yang melalui titik tersebut tegak lurus garis singgung kurva di titik tersebut.

Jika suatu titik bersinggungan dengan kurva,

maka garis tegak lurusnya adalah garis normal kurva di titik tersebut

    Penjelasan materi baru:

(Mari kita cari tahu apa arti geometri dari turunan tersebut , sifat apa yang dimiliki koefisien sudut garis singgung dan garis normal?

Biarkan kurva menjadi grafik suatu fungsi. Poin

terletak pada grafik fungsi. Garis lurus bersinggungan dengan kurva.

Sudut singgung

Turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis singgung yang ditarik di titik tersebut atau kemiringan garis singgung grafik fungsi di titik tersebut .

Persamaan tangen ke kurva di suatu titik berbentuk

Persamaan biasa ke kurva di suatu titik berbentuk

(3)

Masalah yang bermasalah : lihat persamaan tangen dan normal, apa perbedaan dan persamaannya?

Produknya setara dengan apa? Mengapa ini terjadi?

(Siswa harus menjawab pertanyaan sebagai berikut: -1, karena garis singgung dan garis normal saling tegak lurus)

    Konsolidasi materi teoritis dalam praktek:

( Memecahkan masalah di kelas)

Contoh 1. Hitung koefisien sudut garis singgung parabola di titik-titik tersebut.

Larutan. Dari arti geometri turunan (rumus 1) kemiringan garis singgung.

Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut: .

. Karena itu, .

    Mari kita cari nilai turunannya di titik tersebut

Karena itu, .

Contoh 2. Garis singgung parabola digambar pada titik-titiknya.Cari sudut kemiringan garis singgung terhadap sumbu Ox.

Larutan. Menurut rumus (1)

Mari kita temukan. .

    Mari kita hitung nilai turunannya di titik: .

Oleh karena itu, dan.

    Begitu pula pada intinya.

Oleh karena itu, dan

Contoh 3. Di titik manakah garis singgung kurva tersebut condong ke sumbu Ox?

pada suatu sudut

Larutan. Menurut rumus (1)

; . Oleh karena itu, dan

Mengganti ke dalam fungsi, kita mendapatkan. Kami mengerti maksudnya.

Contoh 4. Tuliskan persamaan garis singgung dan normal parabola di suatu titik

Larutan. Persamaan garis singgung kurva adalah:

Dari kondisi masalah. Mari kita cari turunannya.

; .

Mengganti semua nilai ke dalam persamaan kita mendapatkan persamaan tangen

atau.

Mari kita buat persamaan normal menggunakan rumus:

atau

Tugas untuk keputusan independen:

1. Temukan koefisien sudut garis singgung yang ditarik pada kurva di titik tersebut.

2. Kurva diberikan oleh persamaan Tentukan sudut kemiringan garis singgung terhadap arah positif sumbu yang ditarik ke kurva di titik-titik pada titik-titik dengan absis.

3. Temukan titik pada kurva yang garis singgungnya sejajar dengan garis.

4. Di titik manakah garis singgung kurva: a) sejajar sumbu; b) membentuk sudut 45 terhadap sumbu?

5. Tentukan absis titik parabola yang garis singgungnya sejajar sumbu absis.

6. Temukan koefisien sudut garis singgung yang ditarik pada kurva di titik tersebut.

7. Di titik manakah garis singgung kurva membentuk sudut 30 terhadap sumbu?

8. Di titik manakah garis singgung grafik suatu fungsi membentuk sudut 135

dengan poros?

9. Di titik manakah garis singgung grafik suatu fungsi sejajar dengan sumbu x?

10. Pada titik manakah koefisien sudut garis singgung parabola kubik sama dengan 3?

11. Tentukan sudut kemiringan garis singgung kurva di titik yang absisnya sama dengan 2.

12.Buatlah persamaan garis singgung parabola di titik absis

13.Buatlah persamaan garis singgung hiperbola di suatu titik

14.Buatlah persamaan garis singgung kurva di suatu titik.

15.Temukan garis singgung kurva di titik dengan sumbu absis.

Jawaban : 1) .12 2). 45°,arctg 5 3) .(1;1) 4) .(0;-1) (0,5;-0,75) 5) .1/2 6) .1 7) .(/6;61/12) 8) .(0:-1) (4;3) 9) .(0;4) (1;-5) 10) .(1;1) (-1;-1) 11) . 45°12) .y = -2x-113) .y = -x+214) .y=4x+615) .y = 4x-2.

Kriteria evaluasi : "5"- 15 tugas

"4"- 11-14 tugas

"3"- 8 tugas

4. Ringkasan pelajaran : penilaian; + dan – pelajaran bagi siswa (apa yang sudah dipahami dan apa yang masih perlu dipahami?)

5. Pekerjaan rumah: siapkan jawaban atas pertanyaan:

    Tentukan garis singgung suatu kurva.

    Berapakah garis normal suatu kurva?

    Apa arti geometri dari turunan? Tuliskan rumusnya.

    Tuliskan persamaan garis singgung kurva pada titik ini.

    Tuliskan persamaan garis normal kurva pada titik ini.

Memecahkan masalah 1-15 tentang memilih kriteria evaluasi;tambahan berdasarkan permintaan : membuat dan memecahkan kartu tentang topik ini.

Persamaan normal dalam bentuk umum ditulis sebagai:

Jika fungsi ditentukan dalam bentuk parametrik x(t) , y(t) , maka persamaan normalnya dicari dengan rumus:

(x–x 0)x'+(y-y 0)y'=0

Tujuan layanan. Layanan ini dirancang untuk menemukan persamaan normal ke kurva. Solusinya dibuat dalam format Word. Untuk memperoleh persamaan tersebut, perlu memilih jenis fungsi yang diberikan.

Algoritma untuk menyusun persamaan normal ke grafik suatu fungsi

  1. Perhitungan nilai fungsi y 0 di titik x 0: y 0 = f(x 0). Jika nilai awal y 0 ditentukan, lanjutkan ke langkah 2.
  2. Menemukan turunan y"(x).
  3. Perhitungan nilai turunan pada x 0.
  4. Menuliskan persamaan garis normal ke garis lengkung dalam bentuk: y k = y 0 - 1/y"(y 0)(x - x 0)
lihat juga Persamaan garis singgung, Bidang singgung suatu permukaan

Contoh Tugas No.1
Tentukan persamaan normal parabola y = 1/2*x 2 di titik (-2;2).
Larutan temukan menggunakan kalkulator.
Mari kita tulis persamaan normal dalam bentuk umum:

Sesuai dengan kondisi soal x 0 = -2, maka y 0 = 2
Sekarang mari kita cari turunannya:
kamu" = (1 / 2 x 2)" = x
karena itu:
f"(-2) = -2 = -2
Hasilnya, kami memiliki:

atau
kamu k = 1 / 2 x+3

Tugas No.2
Tuliskan persamaan garis normal kurva y 2 -1/2*x 3 -8 di titik M 0 (0;2).
Larutan.
Karena fungsinya ditentukan secara implisit, kita mencari turunannya menggunakan rumus:

Untuk fungsi kami:


Kemudian:

atau

karena itu:
Fx"(0;2) = 3 / 4 0 2 /2 = 0
Hasilnya, kami memiliki:

atau
x = 0

Tugas No.3
Tuliskan persamaan normal elips dalam bentuk parametrik: x = 5*sqrt(2)*cos(t);y = 3*sqrt(2)*sin(t) di titik M 0 (-5;3 ).
Larutan.
Mari kita tuliskan persamaan normal untuk fungsi yang ditentukan dalam bentuk parametrik:
(x - x 0)x" + (y - y 0)y" = 0
Titik M 0 (-5;3) ini sesuai dengan nilai t = 3 / 4 π
Untuk fungsi kami:


karena itu:

Hasilnya, kami memiliki:
(x +5)-5 + (y - 3)-3 = 0
atau
kamu k = -5x-3y-16

Cara mencari persamaan normal grafik suatu fungsi di titik tertentu?

Pada pelajaran ini kita akan belajar bagaimana mencari persamaan normal to grafik fungsi pada suatu titik dan lihatlah banyak contoh yang berhubungan dengan masalah ini. Untuk mengasimilasi materi dengan benar, Anda perlu memahaminya arti geometris turunan dan dapat menemukannya setidaknya pada level artikel berikut:

Bagaimana cara mencari turunannya? Turunan dari fungsi kompleks Dan .

Pelajaran yang tercantum akan memungkinkan "orang bodoh" menavigasi topik dengan cepat dan meningkatkan keterampilan diferensiasi mereka hampir dari awal. lengkap nol. Intinya, berikut ini adalah kelanjutan detail dari paragraf di atas persamaan tangen Artikel ke-3 dari daftar di atas. Mengapa sekuel? Persamaan normal berkaitan erat dengan persamaan tangen. Antara lain, saya akan mempertimbangkan masalah bagaimana membangun persamaan garis-garis ini dalam situasi di mana fungsinya ditentukan secara implisit atau secara parametrik .

Tapi pertama-tama, mari segarkan ingatan kita: jika fungsinya dapat dibedakan pada suatu titik (yaitu jika ada terakhir turunan), maka persamaan garis singgung grafik suatu fungsi di suatu titik dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

Ini adalah kasus paling umum yang pernah kita temui dalam pelajaran ini. Masalah paling sederhana dengan turunan . Namun masalahnya tidak sebatas itu: jika pada suatu titik terdapat turunan tak terhingga: , maka garis singgungnya akan sejajar dengan sumbu dan persamaannya akan berbentuk . Contoh standar: fungsi dengan turunan yang mendekati tak terhingga titik kritis . Garis singgung yang bersesuaian akan dinyatakan dengan persamaan: (sumbu ordinat).

Jika turunannya tidak ada (misalnya, turunan dari titik), maka, tentu saja, tidak ada dan garis singgung persekutuan .

Saya akan memberi tahu Anda cara membedakan dua kasus terakhir nanti, tetapi untuk saat ini mari kembali ke pembahasan utama pelajaran hari ini:

Apa yang normal? Normal ke grafik suatu fungsi di suatu titik disebut lurus , melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus garis singgung grafik fungsi di titik tersebut (yang jelas garis singgungnya pasti ada). Singkatnya, garis normal adalah garis yang tegak lurus garis singgung dan melalui titik singgung tersebut.

Cara mencari persamaan normal? Dari mata kuliah geometri analitik algoritma yang sangat sederhana muncul dengan sendirinya: kami menemukan persamaan tangen dan menyajikannya kepada pandangan umum . Selanjutnya kita “hapus” vektor biasa dan buatlah persamaan normal pada titik dan vektor arah.

Cara ini dapat digunakan, namun dalam analisis matematis biasanya menggunakan rumus yang sudah jadi berdasarkan hubungan antara koefisien sudut garis tegak lurus . Jika ada terakhir Dan bukan nol turunan, maka persamaan normal grafik fungsi di suatu titik dinyatakan dengan persamaan berikut:

Kami pasti akan mempertimbangkan kasus-kasus khusus ketika sama dengan nol atau tak terhingga, tetapi pertama-tama, contoh “biasa”:

Contoh 1

Tuliskan persamaan garis singgung dan normal grafik suatu kurva pada titik yang absisnya sama dengan .

Dalam tugas-tugas praktis, Anda sering kali perlu mencari garis singgung juga. Namun, ini hanya untuk tangan - akan lebih baik jika memiliki “tangan penuh” =)

Larutan: Bagian pertama dari tugas ini sudah diketahui; mari kita buat persamaan tangen menggunakan rumus:

Pada kasus ini:

Ayo temukan turunan :
Di sini, pada langkah pertama memindahkan konstanta melampaui tanda turunannya , yang kedua – digunakan aturan untuk mendiferensiasikan suatu fungsi yang kompleks .

Sekarang mari kita hitung turunan pada suatu titik :

Diterima nomor akhir dan itu menyenangkan. Mari kita substitusikan ke dalam rumus:

Mari kita pindahkan ke sisi kiri atas, buka tanda kurung dan sajikan persamaan tangennya pandangan umum : Bagian kedua dari tugas ini tidak lagi sulit. Mari kita buat persamaan normal menggunakan rumus: Menyingkirkan pecahan tiga lantai dan ingat persamaannya: – persamaan yang diperlukan.

Menjawab:

Di sini Anda dapat melakukan pemeriksaan sebagian. Pertama, koordinat titik harus memenuhi setiap persamaan:

- kesetaraan sejati.

- kesetaraan sejati.

Dan kedua, vektor biasa harus ortogonal. Ini dapat dengan mudah diverifikasi menggunakan produk titik : , itulah yang perlu diperiksa.

Alternatifnya, alih-alih vektor normal, Anda dapat menggunakan vektor arah garis lurus .

! Pemeriksaan ini menjadi sia-sia jika turunan dan/atau turunan pada titik tersebut salah ditemukan. Ini adalah “mata rantai lemah” dari tugas ini - berhati-hatilah!

Gambar tidak diperlukan, tetapi demi kelengkapan:
Lucu sih, tapi nyatanya sudah didapat pengecekan yang lengkap, karena gambarnya dibuat cukup akurat =) Omong-omong, fungsinya mengatur busur atas elips .

Tugas berikut ini harus Anda selesaikan sendiri:

Contoh 2

Tuliskan persamaan garis singgung dan normal grafik fungsi di titik .

Contoh perkiraan tugas akhir di akhir pembelajaran.

Sekarang mari kita lihat dua kasus khusus:

1) Jika turunan suatu titik sama dengan nol: , maka persamaan tangennya akan disederhanakan: Artinya, garis singgungnya akan sejajar dengan sumbu.

Dengan demikian, garis normal akan melalui titik yang sejajar sumbu, yang berarti persamaannya akan berbentuk .

2) Jika turunan pada suatu titik ada, tetapi tidak terhingga: , maka, seperti disebutkan di awal artikel, garis singgungnya akan menjadi vertikal: . Dan karena garis normal melewati titik yang sejajar dengan sumbu, persamaannya akan dinyatakan dengan cara "cermin":

Itu mudah:

Contoh 3

Tuliskan persamaan garis singgung dan normal parabola pada titik. Buatlah gambar.

Saya tidak menambahkan persyaratan untuk menyelesaikan gambar - begitulah tugas tersebut dirumuskan dalam aslinya. Meskipun hal ini jarang terjadi.

Larutan: mari kita buat persamaan garis singgungnya. Pada kasus ini

Tampaknya perhitungannya sepele, tetapi tanda-tandanya sangat mungkin membingungkan:

Dengan demikian:

Karena garis singgungnya sejajar dengan sumbu (Kasus No.1), maka garis normal yang melalui titik yang sama akan sejajar dengan sumbu ordinat:

Sebuah gambar, tentu saja, merupakan masalah tambahan, tetapi ini merupakan pemeriksaan yang baik untuk solusi analitis:

Menjawab: ,

Dalam mata pelajaran matematika sekolah, definisi garis singgung yang disederhanakan adalah umum, yang dirumuskan kira-kira seperti ini: “Singgung suatu grafik suatu fungsi adalah garis yang mempunyai satu titik persekutuan dengan grafik tersebut”. Seperti yang Anda lihat, secara umum pernyataan ini salah. Berdasarkan arti geometris turunannya , garis singgungnya adalah garis hijau, bukan garis biru.

Contoh berikut dikhususkan untuk Kasus No. 1 yang sama, ketika:

Contoh 4

Tuliskan persamaan garis singgung dan normal kurva di titik tersebut.

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran

Kasus no 2, yang jarang terjadi dalam praktek, jadi pemula tidak perlu terlalu khawatir dan lewati contoh kelima dengan ringan hati. Informasi yang dicetak miring ditujukan bagi pembaca tingkat lanjut yang mempunyai pemahaman yang baik definisi turunan dan tangen dan juga mempunyai pengalaman menemukan turunan menurut definisi :

Contoh 5

Temukan persamaan garis singgung dan normal grafik suatu fungsi di suatu titik

Larutan : Vtitik kritis penyebut turunan hilang, oleh karena itu di sini Anda perlu menghitung turunan satu sisi menggunakan definisi turunan (lihat akhir artikelTurunan menurut definisi ):
Kedua turunannya tidak terhingga, oleh karena itu, pada titik tersebut terdapat garis singgung vertikal yang sama: Jelas sekali bahwa sumbu x adalah normal. Secara formal, menurut rumus: Untuk lebih memahami masalah ini, berikut adalah gambarnya: Menjawab :

Saya senang Anda tidak berselancar di Internet, karena semua kesenangan baru saja dimulai! Untuk menguasai materi pada paragraf berikutnya, Anda harus bisa menemukannya turunan dari fungsi implisit :

Bagaimana cara mencari persamaan tangen dan persamaan normal jika fungsinya ditentukan secara implisit?

Rumus tangen dan rumus normalnya tetap sama, namun teknik penyelesaiannya berubah:

Contoh 6

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva di titik tersebut.

Larutan: dilihat dari persamaannya, ini semacam baris pesanan ke-3 , yang mana sebenarnya tidak menarik minat kita sama sekali sekarang.

Ada malware dalam persamaan tersebut, sehingga prospek untuk mengekspresikan fungsinya secara eksplisit terlihat cukup berkabut.

Tapi ini tidak diperlukan! Ada solusi yang jauh lebih cerdik. Mari kita buat persamaan tangen menggunakan rumus yang sama.

Nilainya diketahui dari kondisinya; omong-omong, tidak ada salahnya untuk memastikan bahwa nilai tersebut benar-benar memenuhi persamaan yang diusulkan: Persamaan yang benar diperoleh, artinya semuanya beres.

Yang tersisa hanyalah menghitung. Pertama, menggunakan skema standar, kami temukan turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara implisit :

Mari kita tulis ulang hasilnya dengan notasi yang lebih sesuai untuk tugas kita:

Pada langkah ke-2, kita substitusikan : ke dalam ekspresi turunan yang ditemukan:

Itu dia!

Masih harus memahami persamaannya dengan cermat:

Mari kita buat persamaan normalnya:

Menjawab:

Siap! Dan pada awalnya segalanya tampak sulit. Meski turunannya di sini tentu saja merupakan tempat yang rentan. Thumbnail untuk solusi mandiri:

Contoh 7

Temukan persamaan normal garis di suatu titik

Cukup dengan garis singgungnya saja =)

Dalam hal ini mudah untuk mengetahui apa itu lingkaran berpusat pada titik jari-jari dan bahkan menyatakan fungsi yang diinginkan . Tapi kenapa?! Lagi pula, temukan turunan dari fungsi implisit jauh lebih mudah! Dia mungkin yang paling primitif di sini.

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Bagaimana cara mencari persamaan tangen dan persamaan normal jika fungsinya ditentukan secara parametrik?

Lebih mudah lagi. Tapi untuk ini, Anda perlu berlatih menemukan turunan dari fungsi yang ditentukan secara parametrik . Dan ini hampir gratis:

Contoh 8

Buatlah persamaan garis singgung dan normal sikloid yang digambar pada titik dimana .

Gambar sikloid dapat ditemukan di halaman S dan V, jika garis ditentukan secara parametrik (kebetulan artikel ini dibuat sebelumnya). Itu bahkan menunjukkan titik kontaknya.

Larutan: Absis dan ordinat titik singgung dihitung langsung dari persamaan parametrik kurva:

Ayo temukan Turunan pertama dari fungsi yang ditentukan secara parametrik :

Dan mari kita hitung nilainya di:

Mari kita buat persamaan tangen menggunakan rumus biasa, disesuaikan dengan notasi yang sedikit berbeda:

Persamaan biasa:

Menjawab:

Sebagai kesimpulan, saya sarankan Anda berkenalan dengan baris menarik lainnya:

Contoh 9

Tuliskan persamaan garis normal parabola semikubik yang ditarik pada titik dimana .

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa grafik fungsi yang ditentukan secara parametrik dapat dibuat, misalnya, menggunakan my desain tata letak geometris .

Baiklah, pelajaran kita telah berakhir, dan semoga materi yang disampaikan tidak bersinggungan dengan anda, melainkan biasa saja =)

Terima kasih atas perhatiannya dan semoga berhasil!

Solusi dan Jawaban:

Contoh 2:Larutan Pada kasus ini: Dengan demikian: Mari kita buat persamaan normal menggunakan rumus : Menjawab :

Contoh 4:Larutan : mari kita buat persamaan tangennya dengan menggunakan rumus: Dalam tugas ini:
Dengan demikian: Pada suatu titik garis singgungnya sejajar dengan sumbu, sehingga persamaan normalnya adalah: Menjawab :

Contoh 7:Larutan : dalam masalah ini: . Mari kita cari turunannya: Atau: Mari kita substitusikan turunannya ke dalam ekspresi: Persamaan normal yang diperlukan: Menjawab :

Contoh 9:Larutan : pada kasus ini: Mari kita cari turunannya dan hitung nilainya di: Persamaan biasa: Menjawab :

Diambil dari situs http://www.mathprofi.ru