Kekuatan angka A dengan indikator alami N, lebih besar dari 1, disebut produk N faktor yang masing-masing sama A:

Dalam ekspresi dan:

Nomor A(faktor berulang) disebut dasar gelar

Nomor N(menunjukkan berapa kali pengali diulang) – eksponen

Misalnya:
2 5 = 2 2 2 2 2 = 32,
Di Sini:
2 – gelar dasar,
5 – eksponen,
32 – nilai derajat

Perhatikan bahwa dasar derajat dapat berupa angka berapa pun.

Menghitung nilai suatu pangkat disebut tindakan eksponensial. Ini adalah tindakan tahap ketiga. Artinya, ketika menghitung nilai suatu ekspresi yang tidak mengandung tanda kurung, pertama-tama lakukan tindakan tahap ketiga, lalu tahap kedua (perkalian dan pembagian) dan terakhir tahap pertama (penjumlahan dan pengurangan).

Untuk menulis bilangan besar sering digunakan pangkat 10. Jadi, jarak bumi ke matahari, kira-kira sama dengan 150 juta km, ditulis 1,5 10 8.

Setiap bilangan yang lebih besar dari 10 dapat dituliskan sebagai: a · 10 n, dimana 1 ≤ a< 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.

Contoh: 4578 = 4,578 · 10 3 ;

103000 = 1,03 · 10 5.

Sifat-sifat derajat dengan eksponen natural:

1 . Pada melipatgandakan kekuatan dengan basis yang sama, basisnya tetap sama, dan eksponennya ditambahkan

saya · sebuah n = saya + n

misalnya: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

2. Pada pembagian derajat dengan basis yang sama, basisnya tetap sama dan eksponennya dikurangi

am / an = am - n ,

dimana, m > n,
sebuah ≠ 0

misalnya: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

3. Pada meningkatkan kekuatan menjadi kekuatan basisnya tetap sama, tetapi eksponennya dikalikan.

(saya) n = saya n

misalnya: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

4. Pada meningkatkan kekuatan produk Setiap faktor dipangkatkan ke pangkat ini

(a · b) n = a n · b m ,

misalnya:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

5. Pada eksponen suatu pecahan Pembilang dan penyebutnya dipangkatkan

(a / b) n = a n / b n

misalnya: (2 / 5) 3 =(2 / 5)·(2 / 5)·(2 / 5) = 2 3 /5 3

Kekuatan dengan eksponen rasional

Pangkat bilangan a > 0 c indikator rasional, dimana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli (n > 1), disebut bilangan

Misalnya:

Pangkat 0 ditentukan hanya untuk eksponen positif;

menurut definisi 0 r = 0, untuk sembarang r > 0

Catatan

Untuk derajat dengan eksponen rasional, sifat dasar derajat dipertahankan, berlaku untuk semua indikator (asalkan dasar derajatnya positif).

Gelar dengan eksponen nyata

Jadi, untuk bilangan riil apa pun kita telah mendefinisikan operasi menaikkan ke pangkat alami; untuk bilangan apa pun, kami telah menetapkan pangkat nol dan bilangan bulat negatif; untuk semua yang telah kami definisikan operasi menaikkan ke pangkat pecahan positif; untuk apa pun kita telah mendefinisikan operasi menaikkan ke pangkat pecahan negatif.

Sebuah pertanyaan wajar muncul: apakah mungkin untuk mendefinisikan operasi menaikkan ke pangkat irasional, dan, oleh karena itu, menentukan arti dari ekspresi ax untuk bilangan real x? Ternyata untuk bilangan positif dapat diberi makna pada notasi a α , dimana α merupakan bilangan irasional. Untuk melakukan ini, kita perlu mempertimbangkan tiga kasus: a = 1, a > 1, 0< a < 1.

Jadi, untuk a > 0 kita telah mendefinisikan pangkat dengan eksponen real apa pun.

Kekuatan dengan eksponen rasional

Himpunan bilangan rasional meliputi bilangan bulat dan bilangan pecahan.

Definisi 1

Pangkat bilangan $a$ dengan eksponen bilangan bulat $n$ merupakan hasil perkalian bilangan $a$ dengan bilangan itu sendiri $n$ kali, dan: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, untuk $n>0$; $a^n=\frac(1)(a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)$, untuk $n

Definisi 2

Pangkat suatu bilangan $a$ dengan eksponen berupa pecahan $\frac(m)(n)$ disebut akar ke-$n$ dari $a$ dengan derajat $m$: $a^\frac(m)(n)=\sqrt[n](a^m)$, di mana $a>0$, $n$ adalah bilangan asli, $m$ adalah bilangan bulat.

Definisi 3

Pangkat nol dengan eksponen sebagai pecahan $\frac(m)(n)$ didefinisikan sebagai berikut: $0^\frac(m)(n)=\sqrt[n](0^m)=0$, di mana $m$ adalah bilangan bulat, $m>0$, $n$ adalah bilangan asli nomor.

Ada pendekatan lain untuk menentukan pangkat suatu bilangan dengan eksponen pecahan, yang menunjukkan kemungkinan adanya pangkat bilangan negatif atau eksponen pecahan negatif.

Misalnya, ekspresi $\sqrt((-3)^6)$, $\sqrt((-3)^3)$ atau $\sqrt((-7)^(-10))$ masuk akal, jadi dan ekspresi $(-3)^\frac(6)(7)$, $(-3)^\frac(3)(7)$ dan $(-7)^\frac(-10)(6) $ seharusnya masuk akal, sedangkan menurut definisi, pangkat dengan eksponen berupa pecahan dengan basis negatif tidak ada.

Mari kita berikan definisi lain:

Pangkat bilangan $a$ dengan eksponen pecahan $\frac(m)(n)$ disebut $\sqrt[n](a^m)$ dalam kasus berikut:

    Untuk bilangan real $a$, bilangan bulat $m>0$, dan bilangan asli ganjil $n$.

    Misalnya, $13,4^\frac(7)(3)=\sqrt(13,4^7)$, $(-11)^\frac(8)(5)=\sqrt((-11)^8 )$.

    Untuk bilangan real bukan nol $a$, bilangan bulat negatif $m$, dan $n$ ganjil.

    Misalnya, $13,4^\frac(-7)(3)=\sqrt(13,4^(-7))$, $(-11)^\frac(-8)(5)=\sqrt(( -11) ^(-8))$.

    Untuk bilangan non-negatif $a$, bilangan bulat positif $m$, dan bahkan $n$.

    Misalnya, $13,4^\frac(7)(4)=\sqrt(13,4^7)$, $11^\frac(3)(16)=\sqrt(11^3)$.

    Untuk $a$ positif, bilangan bulat negatif $m$, dan bahkan $n$.

    Misalnya, $13,4^\frac(-7)(4)=\sqrt(13,4^(-7))$, $11^\frac(-3)(8)=\sqrt(11^(-3 ))$ .

    Dalam kondisi lain, tidak mungkin menentukan derajat dengan eksponen pecahan.

    Misalnya, $(-13.4)^\frac(10)(3)=\sqrt((-13.4)^(10))$, $(-11)^\frac(5)(4)= \sqrt( (-11)^5)$.

Selain itu, saat menerapkan definisi ini, eksponen pecahan $\frac(m)(n)$ haruslah pecahan tak tersederhanakan.

Keseriusan dari pernyataan ini adalah bahwa pangkat dari bilangan negatif dengan eksponen pecahan yang dapat direduksi, misalnya $\frac(10)(14)$ akan menjadi bilangan positif, dan pangkat dari bilangan yang sama dengan eksponen yang sudah dikurangi $\frac(5)(7)$ akan menjadi angka negatif.

Misalnya, $(-1)^\frac(10)(14)=\sqrt((-1)^(10))=\sqrt(1^(10))=1$, dan $(-1) ^ \frac(5)(7)=\sqrt((-1)^5)=-1$.

Jadi, saat mereduksi pecahan $\frac(10)(14)=\frac(5)(7)$, persamaan $(-1)^\frac(10)(14)=(-1)^\ frac (5)(7)$.

Catatan 1

Perlu dicatat bahwa definisi pertama derajat dengan eksponen dalam bentuk pecahan sering digunakan.

Apabila suatu eksponen pecahan ditulis sebagai pecahan campuran atau desimal, maka eksponen tersebut perlu diubah ke dalam bentuk pecahan biasa.

Misalnya, $(2 \frac(3)(7))^(1 \frac(2)(7))=(2 \frac(3)(7))^\frac(9)(7)=\ persegi ((2 \frac(3)(7))^9)$, $7^(3,6)=7^\frac(36)(10)=\sqrt(7^(36))$.

Gelar dengan eksponen irasional dan nyata

KE sah bilangan meliputi bilangan rasional dan irasional.

Mari kita analisa konsep derajat dengan eksponen irasional, karena derajat dengan eksponen rasional yang kami pertimbangkan.

Perhatikan barisan perkiraan bilangan $\alpha$, yang merupakan bilangan rasional. Itu. kita mempunyai barisan bilangan rasional $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, yang mendefinisikan bilangan $\alpha$ dengan tingkat akurasi apa pun. Jika kita menghitung pangkat dengan eksponen $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots$, maka ternyata angka-angka ini adalah perkiraan untuk beberapa nomor $b$.

Definisi 4

Derajat bilangan $a>0$ dengan eksponen irasional $\alpha$ adalah ekspresi $a^\alpha$ yang mempunyai nilai sama dengan limit barisan $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots $, di mana $ \alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … adalah perkiraan desimal berturut-turut dari bilangan irasional $\alpha$.


Setelah ditentukan derajat, masuk akal untuk dibicarakan sifat derajat. Pada artikel ini kami akan memberikan sifat dasar pangkat suatu bilangan, sambil menyentuh semua kemungkinan eksponen. Di sini kami akan memberikan bukti semua sifat derajat, dan juga menunjukkan bagaimana sifat-sifat ini digunakan saat menyelesaikan contoh.

Navigasi halaman.

Sifat-sifat derajat dengan eksponen natural

Oleh penentuan derajat dengan eksponen alami pangkat n adalah hasil kali n faktor yang masing-masing sama dengan a. Berdasarkan definisi ini, dan juga menggunakan sifat-sifat perkalian bilangan real, kita dapat memperoleh dan membenarkan hal berikut sifat derajat dengan eksponen alami:

  1. sifat utama derajat am ·a n =am+n, generalisasinya;
  2. sifat hasil bagi dengan basis identik a m:an =a m−n ;
  3. properti kekuatan produk (a·b) n =a n ·b n , perpanjangannya;
  4. sifat hasil bagi pangkat alami (a:b) n =a n:b n ;
  5. menaikkan derajat ke pangkat (am) n =a m·n, generalisasinya (((an 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
  6. perbandingan derajat dengan nol:
    • jika a>0, maka n>0 untuk sembarang bilangan asli n;
    • jika a=0, maka an =0;
    • jika sebuah<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jika sebuah<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. jika a dan b bilangan positif dan a
  8. jika m dan n adalah bilangan asli sehingga m>n , maka pada 0 0 pertidaksamaan am >an benar.

Mari kita segera perhatikan bahwa semua persamaan tertulis adalah identik sesuai dengan kondisi yang ditentukan, bagian kanan dan kirinya dapat ditukar. Misalnya, sifat utama pecahan a m ·a n =am+n dengan menyederhanakan ekspresi sering digunakan dalam bentuk a m+n =am ·a n .

Sekarang mari kita lihat masing-masing secara detail.

    Mari kita mulai dengan sifat hasil kali dua pangkat dengan basis yang sama, yang disebut properti utama dari gelar tersebut: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, persamaan am ·a n =am+n benar.

    Mari kita buktikan sifat utama derajat tersebut. Berdasarkan definisi pangkat dengan eksponen alami, hasil kali pangkat dengan basis yang sama berbentuk a m ​​·a n dapat ditulis sebagai hasil kali. Karena sifat perkalian, ekspresi yang dihasilkan dapat ditulis sebagai , dan hasil kali ini adalah pangkat dari bilangan a dengan eksponen natural m+n, yaitu a m+n. Ini melengkapi buktinya.

    Mari kita beri contoh yang menegaskan sifat utama derajat. Mari kita ambil derajat dengan basis 2 dan pangkat alami 2 dan 3 yang sama, dengan menggunakan sifat dasar derajat kita dapat menulis persamaan 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Mari kita periksa validitasnya dengan menghitung nilai ekspresi 2 2 · 2 3 dan 2 5 . Melaksanakan eksponen, kita punya 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 dan 2 5 =2·2·2·2·2=32, karena diperoleh nilai yang sama, maka persamaan 2 2 ·2 3 =2 5 benar, dan ini menegaskan sifat utama derajat.

    Sifat dasar suatu derajat, berdasarkan sifat perkalian, dapat digeneralisasikan menjadi hasil kali tiga pangkat atau lebih dengan basis dan eksponen alami yang sama. Jadi untuk sembarang bilangan k dari bilangan asli n 1, n 2, …, n k persamaan berikut ini benar: a n 1 ·an 2 ·…·an k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Misalnya, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Kita dapat beralih ke sifat pangkat berikutnya dengan eksponen alami – sifat hasil bagi dengan basis yang sama: untuk sembarang bilangan real bukan nol a dan bilangan asli sembarang m dan n yang memenuhi syarat m>n, persamaan a m:an =a m−n benar.

    Sebelum memaparkan pembuktian sifat ini, mari kita bahas pengertian syarat tambahan dalam rumusan tersebut. Kondisi a≠0 diperlukan untuk menghindari pembagian dengan nol, karena 0 n =0, dan ketika kita mengenal pembagian, kita sepakat bahwa kita tidak dapat membagi dengan nol. Kondisi m>n diperkenalkan agar kita tidak melampaui eksponen natural. Memang benar, untuk m>n eksponen a m−n adalah bilangan asli, jika tidak maka eksponennya akan menjadi nol (yang berlaku untuk m−n ) atau bilangan negatif (yang berlaku untuk m

    Bukti. Sifat utama pecahan memungkinkan kita menulis persamaan a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Dari persamaan yang dihasilkan a m−n ·a n =am dan dapat disimpulkan bahwa a m−n adalah hasil bagi pangkat a m dan a n . Ini membuktikan sifat hasil bagi dengan basis yang identik.

    Mari kita beri contoh. Mari kita ambil dua derajat dengan basis yang sama π dan eksponen natural 5 dan 2, persamaan π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 sesuai dengan sifat derajat yang dipertimbangkan.

    Sekarang mari kita pertimbangkan properti kekuatan produk: pangkat alami n hasil kali dua bilangan real a dan b sama dengan hasil kali pangkat a n dan b n , yaitu (a·b) n =an ·b n .

    Memang, menurut definisi gelar dengan eksponen natural yang kita miliki . Berdasarkan sifat-sifat perkalian, hasil perkalian terakhir dapat ditulis ulang menjadi , yang sama dengan a n · b n .

    Berikut ini contohnya: .

    Sifat ini mencakup perkalian tiga faktor atau lebih. Artinya, sifat derajat alami n hasil kali k faktor ditulis sebagai (a 1 ·a 2 ·…·ak) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak n.

    Untuk kejelasan, kami akan menunjukkan properti ini dengan sebuah contoh. Untuk hasil kali tiga faktor pangkat 7 kita punya.

    Properti berikut adalah properti hasil bagi dalam bentuk barang: hasil bagi bilangan real a dan b, b≠0 pangkat n sama dengan hasil bagi pangkat a n dan b n, yaitu (a:b) n =a n:b n.

    Pembuktiannya dapat dilakukan dengan menggunakan sifat sebelumnya. Jadi (a:b) n b n =((a:b) b) n =an, dan dari persamaan (a:b) n ·b n =an n maka (a:b) n adalah hasil bagi dari a n dibagi b n .

    Mari tulis properti ini menggunakan angka tertentu sebagai contoh: .

    Sekarang mari kita menyuarakannya properti untuk meningkatkan suatu kekuatan menjadi suatu kekuatan: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, pangkat dari m pangkat n sama dengan pangkat dari bilangan a dengan eksponen m·n, yaitu (am) n =am·n.

    Misalnya, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

    Bukti dari sifat pangkat-ke-derajat adalah rantai persamaan berikut: .

    Properti yang dipertimbangkan dapat diperluas ke derajat ke derajat, dll. Misalnya, untuk sembarang bilangan asli p, q, r dan s, persamaannya . Untuk lebih jelasnya, berikut adalah contoh dengan angka tertentu: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Masih memikirkan sifat-sifat membandingkan derajat dengan eksponen alami.

    Mari kita mulai dengan membuktikan sifat membandingkan nol dan pangkat dengan eksponen natural.

    Pertama, mari kita buktikan bahwa a n >0 untuk sembarang a>0.

    Hasil kali dua bilangan positif adalah bilangan positif, berikut pengertian perkaliannya. Fakta ini dan sifat-sifat perkalian menunjukkan bahwa hasil perkalian sejumlah bilangan positif juga akan berupa bilangan positif. Dan pangkat suatu bilangan a dengan eksponen natural n, menurut definisi, adalah hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Argumen-argumen ini memungkinkan kita untuk menegaskan bahwa untuk sembarang basis positif a, derajat a n adalah bilangan positif. Karena sifat terbukti 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 dan .

    Jelas sekali bahwa untuk sembarang bilangan asli n dengan a=0 derajat a n adalah nol. Memang, 0 n =0·0·…·0=0 . Misalnya, 0 3 =0 dan 0 762 =0.

    Mari beralih ke basis derajat negatif.

    Mari kita mulai dengan kasus ketika eksponennya adalah bilangan genap, mari kita nyatakan sebagai 2·m, dengan m adalah bilangan asli. Kemudian . Untuk setiap hasil kali bentuk a·a sama dengan hasil kali modulus bilangan a dan a, yang berarti bilangan positif. Oleh karena itu, produknya juga akan positif dan derajat a 2·m. Mari kita beri contoh: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dan .

    Terakhir, jika basis a adalah bilangan negatif dan eksponennya adalah bilangan ganjil 2 m−1, maka . Semua hasil kali a·a adalah bilangan positif, hasil kali bilangan positif ini juga positif, dan perkaliannya dengan sisa bilangan negatif a menghasilkan bilangan negatif. Karena sifat ini (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Mari kita beralih ke sifat membandingkan pangkat dengan eksponen alami yang sama, yang memiliki rumusan sebagai berikut: dari dua pangkat dengan eksponen alami yang sama, n lebih kecil dari yang basisnya lebih kecil, dan lebih besar adalah yang basisnya lebih besar . Mari kita buktikan.

    Ketimpangan dan n sifat-sifat ketidaksetaraan pertidaksamaan bentuk an yang dapat dibuktikan juga benar (2.2) 7 dan .

    Yang terakhir dari sifat-sifat pangkat yang terdaftar masih harus dibuktikan dengan eksponen alami. Mari kita rumuskan. Dari dua pangkat yang eksponen natural dan basis positif identiknya kurang dari satu, pangkat yang pangkatnya lebih kecil adalah yang lebih besar; dan dari dua pangkat yang eksponen alami dan basisnya sama lebih besar dari satu, pangkat yang lebih besar adalah yang lebih besar. Mari kita lanjutkan ke pembuktian properti ini.

    Mari kita buktikan untuk m>n dan 0 0 karena kondisi awal m>n yang berarti pada 0

    Masih membuktikan bagian kedua dari properti. Mari kita buktikan bahwa untuk m>n dan a>1 am >an n benar. Selisih a m −a n setelah mengeluarkan n dari tanda kurung berbentuk a n ·(a m−n −1) . Hasil kali ini positif, karena untuk a>1 derajat a n adalah bilangan positif, dan selisih a m−n −1 adalah bilangan positif, karena m−n>0 disebabkan oleh kondisi awal, dan untuk a>1 derajat a m−n lebih besar dari satu . Akibatnya, a m −a n >0 dan a m >an n , itulah yang perlu dibuktikan. Sifat ini diilustrasikan dengan pertidaksamaan 3 7 >3 2.

Sifat-sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat

Karena bilangan bulat positif adalah bilangan asli, maka semua sifat pangkat dengan pangkat bilangan bulat positif sama persis dengan sifat pangkat dengan pangkat asli yang tercantum dan dibuktikan pada paragraf sebelumnya.

Pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif, serta derajat dengan eksponen nol, kami mendefinisikannya sedemikian rupa sehingga semua sifat derajat dengan eksponen alami, yang dinyatakan dengan persamaan, tetap valid. Oleh karena itu, semua sifat ini berlaku untuk eksponen nol dan eksponen negatif, sedangkan, tentu saja, basis pangkatnya berbeda dari nol.

Jadi, untuk bilangan real dan bukan nol a dan b, serta bilangan bulat m dan n, pernyataan berikut ini benar: sifat-sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat:

  1. am ·a n =am+n ;
  2. aku:an =aku−n ​​;
  3. (a·b) n =a n ·b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (saya) n = saya·n ;
  6. jika n bilangan bulat positif, a dan b bilangan positif, dan a b−n ;
  7. jika m dan n bilangan bulat, dan m>n , maka pada 0 1 pertidaksamaan yang dimiliki am >an.

Ketika a=0, pangkat a m dan a n hanya masuk akal jika m dan n keduanya adalah bilangan bulat positif, yaitu bilangan asli. Jadi, sifat-sifat yang baru ditulis juga berlaku untuk kasus ketika a=0 dan bilangan m dan n adalah bilangan bulat positif.

Membuktikan masing-masing sifat tersebut tidaklah sulit; untuk melakukannya, cukup menggunakan definisi derajat dengan eksponen natural dan bilangan bulat, serta sifat-sifat operasi dengan bilangan real. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahwa sifat pangkat-pangkat berlaku untuk bilangan bulat positif dan bilangan bulat non-positif. Untuk melakukannya, Anda perlu menunjukkan bahwa jika p adalah nol atau bilangan asli dan q adalah nol atau bilangan asli, maka persamaannya (ap) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (ap ) −q =ap·(−q) dan (a −p) −q =a (−p)·(−q). Ayo lakukan.

Untuk p dan q positif, persamaan (ap) q =a p·q telah dibuktikan pada paragraf sebelumnya. Jika p=0, maka kita mempunyai (a 0) q =1 q =1 dan a 0·q =a 0 =1, sehingga (a 0) q =a 0·q. Demikian pula, jika q=0, maka (ap) 0 =1 dan a p·0 =a 0 =1, maka (ap) 0 =a p·0. Jika p=0 dan q=0, maka (a 0) 0 =1 0 =1 dan a 0·0 =a 0 =1, maka (a 0) 0 =a 0·0.

Sekarang kita buktikan bahwa (a −p) q =a (−p)·q . Menurut definisi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif, maka . Berdasarkan sifat hasil bagi dengan pangkat yang kita miliki . Karena 1 p =1·1·…·1=1 dan , maka . Ekspresi terakhir, menurut definisi, adalah pangkat dalam bentuk a −(p·q), yang, karena aturan perkalian, dapat ditulis sebagai a (−p)·q.

Juga .

DAN .

Dengan menggunakan prinsip yang sama, Anda dapat membuktikan semua sifat derajat lainnya dengan eksponen bilangan bulat, yang ditulis dalam bentuk persamaan.

Di bagian kedua dari belakang dari sifat-sifat yang dicatat, ada baiknya memikirkan bukti pertidaksamaan a −n >b −n, yang berlaku untuk bilangan bulat negatif −n dan bilangan positif a dan b yang kondisinya terpenuhi . Karena dengan syarat a 0 . Hasil kali a n · b n juga positif sebagai hasil kali bilangan positif a n dan b n . Maka pecahan yang dihasilkan adalah positif sebagai hasil bagi dari bilangan positif b n −an dan a n ·b n . Oleh karena itu, dari mana a −n >b −n , itulah yang perlu dibuktikan.

Sifat terakhir dari pangkat dengan eksponen bilangan bulat dibuktikan dengan cara yang sama seperti sifat serupa dari pangkat dengan eksponen alami.

Sifat-sifat pangkat dengan eksponen rasional

Gelar pecahan kami menentukannya dengan memperluas sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat. Dengan kata lain, pangkat dengan eksponen pecahan mempunyai sifat yang sama dengan pangkat dengan pangkat bilangan bulat. Yaitu:

Pembuktian sifat-sifat derajat dengan eksponen pecahan didasarkan pada definisi derajat dengan eksponen pecahan, dan pada sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat. Mari kita berikan bukti.

Menurut definisi pangkat dengan eksponen pecahan dan , maka . Sifat-sifat akar aritmatika memungkinkan kita menulis persamaan berikut. Selanjutnya, dengan menggunakan sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat, kita peroleh , dari mana, menurut definisi derajat dengan eksponen pecahan, kita peroleh , dan indikator derajat yang diperoleh dapat ditransformasikan sebagai berikut: . Ini melengkapi buktinya.

Sifat kedua pangkat dengan eksponen pecahan dibuktikan dengan cara yang sangat mirip:

Persamaan lainnya dibuktikan dengan menggunakan prinsip serupa:

Mari kita lanjutkan ke pembuktian properti berikutnya. Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang a dan b positif, a b hal. Mari kita tulis bilangan rasional p sebagai m/n, dengan m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ketentuan hal<0 и p>0 dalam hal ini kondisi m<0 и m>0 sesuai. Untuk m>0 dan a

Demikian pula untuk m<0 имеем a m >b m , dari mana, yaitu, dan a p >bp p .

Masih membuktikan properti terakhir yang terdaftar. Mari kita buktikan bahwa untuk bilangan rasional p dan q, p>q di 0 0 – pertidaksamaan a p >a q . Kita selalu dapat mereduksi bilangan rasional p dan q menjadi penyebut yang sama, meskipun kita mendapatkan pecahan biasa dan , di mana m 1 dan m 2 adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Dalam hal ini, kondisi p>q akan sesuai dengan kondisi m 1 >m 2, sebagai berikut. Kemudian, dengan sifat membandingkan pangkat dengan basis dan eksponen natural yang sama di 0 1 – pertidaksamaan saya 1 >saya 2 . Pertidaksamaan sifat-sifat akar ini dapat ditulis ulang sebagai berikut Dan . Dan definisi derajat dengan eksponen rasional memungkinkan kita beralih ke ketidaksetaraan dan, karenanya. Dari sini kita menarik kesimpulan akhir: untuk p>q dan 0 0 – pertidaksamaan a p >a q .

Sifat-sifat pangkat dengan eksponen irasional

Dari cara penentuannya derajat dengan eksponen irasional, kita dapat menyimpulkan bahwa ia memiliki semua sifat pangkat dengan eksponen rasional. Jadi untuk bilangan a>0, b>0 dan bilangan irasional p dan q, berikut ini yang benar sifat-sifat pangkat dengan eksponen irasional:

  1. a p ·a q =a p+q ;
  2. ap:a q =a p−q ;
  3. (a·b) p =a p ·b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (ap) q =a p·q ;
  6. untuk sembarang bilangan positif a dan b, a 0 pertidaksamaan a hal b p ;
  7. untuk bilangan irasional p dan q, p>q di 0 0 – pertidaksamaan a p >a q .

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa pangkat dengan sembarang eksponen nyata p dan q untuk a>0 mempunyai sifat yang sama.

Bibliografi.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematika untuk kelas 5. lembaga pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 7. lembaga pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 8. lembaga pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 9. lembaga pendidikan.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

Pada artikel ini kita akan mencari tahu apa itu derajat. Di sini kami akan memberikan definisi pangkat suatu bilangan, sementara kami akan mempertimbangkan secara rinci semua eksponen yang mungkin, dimulai dengan eksponen natural dan diakhiri dengan eksponen irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat yang mencakup semua seluk-beluk yang muncul.

Navigasi halaman.

Pangkat dengan eksponen alami, kuadrat suatu bilangan, pangkat tiga suatu bilangan

Mari kita mulai dengan. Ke depan, katakanlah definisi pangkat suatu bilangan a dengan eksponen natural n diberikan untuk a, yang kita sebut dasar gelar, dan n, yang akan kita panggil eksponen. Perlu kita ketahui juga bahwa suatu pangkat dengan eksponen natural ditentukan melalui suatu perkalian, sehingga untuk memahami materi di bawah ini anda perlu mempunyai pemahaman tentang perkalian bilangan.

Definisi.

Pangkat suatu bilangan dengan eksponen alami n adalah ekspresi bentuk a n, yang nilainya sama dengan hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a, yaitu .
Secara khusus, pangkat suatu bilangan a dengan eksponen 1 adalah bilangan a itu sendiri, yaitu a 1 =a.

Perlu segera disebutkan tentang aturan membaca gelar. Cara universal membaca notasi a n adalah: “a pangkat n”. Dalam beberapa kasus, opsi berikut juga dapat diterima: “a pangkat ke-n” dan “pangkat ke-n dari a”. Misalnya, mari kita pangkat 8 12, ini adalah "delapan pangkat dua belas", atau "delapan pangkat dua belas", atau "pangkat dua belas dari delapan".

Pangkat kedua suatu bilangan, serta pangkat ketiga suatu bilangan, memiliki namanya sendiri-sendiri. Pangkat kedua suatu bilangan disebut kuadratkan angkanya, misalnya, 7 2 dibaca sebagai “tujuh kuadrat” atau “kuadrat dari angka tujuh”. Pangkat ketiga suatu bilangan disebut angka potong dadu, misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai “lima pangkat tiga” atau Anda dapat mengucapkan “kubus angka 5”.

Saatnya untuk membawa contoh derajat dengan eksponen natural. Mari kita mulai dengan derajat 5 7, di sini 5 adalah basis derajat, dan 7 adalah eksponen. Mari kita beri contoh lain: 4.32 adalah bilangan pokok, dan bilangan asli 9 adalah eksponennya (4.32) 9 .

Perlu diketahui bahwa pada contoh terakhir, basis pangkat 4,32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari perbedaan, kami akan memasukkan semua basis pangkat yang berbeda dari bilangan asli ke dalam tanda kurung. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan eksponen natural , basisnya bukan bilangan asli, sehingga ditulis dalam tanda kurung. Nah, agar lebih jelas, pada kali ini kami akan menunjukkan perbedaan yang terdapat pada rekaman bentuk (−2) 3 dan −2 3. Ekspresi (−2) 3 adalah pangkat −2 dengan eksponen natural 3, dan ekspresi −2 3 (dapat ditulis sebagai −(2 3) ) sesuai dengan bilangan tersebut, nilai pangkat 2 3 .

Perhatikan bahwa ada notasi pangkat suatu bilangan a dengan eksponen n berbentuk a^n. Apalagi jika n adalah bilangan asli multinilai, maka eksponennya diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4^9 adalah notasi lain untuk pangkat 4 9 . Dan berikut beberapa contoh penulisan derajat lagi dengan menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Berikut ini, kita terutama akan menggunakan notasi derajat dalam bentuk a n .

Salah satu soal kebalikan dari menaikkan pangkat dengan eksponen natural adalah soal mencari basis suatu pangkat dari nilai pangkat yang diketahui dan pangkat yang diketahui. Tugas ini mengarah ke.

Diketahui himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan pecahan, dan setiap pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Derajat dengan eksponen bilangan bulat telah kita definisikan pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kita perlu memberi arti pada derajat bilangan a dengan eksponen pecahan m/n, dimana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ayo lakukan.

Mari kita perhatikan derajat dengan bentuk eksponen pecahan. Agar properti kekuasaan-ke-kuasaan tetap sah, kesetaraan harus dipertahankan . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan cara kita menentukan , maka logis untuk menerimanya asalkan untuk m, n dan a ekspresi yang diberikan masuk akal.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat adalah valid (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk melakukan hal berikut kesimpulan: jika diberikan m, n dan a ekspresi tersebut masuk akal, maka pangkat a dengan eksponen pecahan m/n disebut akar ke-n dari a pangkat m.

Pernyataan ini mendekatkan kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan. Yang tersisa hanyalah menjelaskan pada m, n dan a ekspresi mana yang masuk akal. Bergantung pada batasan yang diterapkan pada m, n dan a, ada dua pendekatan utama.

    Cara termudah adalah dengan memberikan batasan pada a dengan mengambil a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (karena untuk m≤0 derajat 0 dari m tidak ditentukan). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat dengan eksponen pecahan berikut ini.

    Definisi.

    Pangkat bilangan positif a dengan eksponen pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli, disebut akar ke-n dari bilangan a pangkat m, yaitu .

    Pangkat pecahan dari nol juga ditentukan dengan satu-satunya peringatan bahwa indikatornya harus positif.

    Definisi.

    Pangkat nol dengan eksponen positif pecahan m/n, dimana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
    Jika derajatnya tidak terdefinisi, maka derajat bilangan nol dengan eksponen pecahan negatif tidak masuk akal.

    Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan ini, ada satu nuansa: untuk beberapa a negatif dan beberapa m dan n, ekspresi tersebut masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisi a≥0. Misalnya, entri-entrinya masuk akal atau , dan definisi yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa pangkat dengan bentuk eksponen pecahan tidak masuk akal, karena basisnya tidak boleh negatif.

    Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan eksponen pecahan m/n adalah dengan mempertimbangkan eksponen akar genap dan ganjil secara terpisah. Pendekatan ini memerlukan kondisi tambahan: pangkat dari bilangan a, yang eksponennya adalah , dianggap sebagai pangkat dari bilangan a, yang eksponennya adalah pecahan tak tersederhanakan (kami akan menjelaskan pentingnya kondisi ini di bawah ). Artinya, jika m/n adalah pecahan tak tereduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajatnya diganti terlebih dahulu dengan .

    Untuk n genap dan m positif, ekspresi tersebut masuk akal untuk sembarang a non-negatif (akar genap dari bilangan negatif tidak masuk akal); untuk m negatif, bilangan a harus tetap berbeda dari nol (jika tidak maka akan terjadi pembagian dengan nol). Dan untuk n ganjil dan m positif, bilangan a bisa berapa saja (akar pangkat ganjil ditentukan untuk sembarang bilangan real), dan untuk m negatif, bilangan a harus berbeda dari nol (agar tidak ada pembagian dengan nol).

    Alasan di atas membawa kita pada definisi derajat dengan eksponen pecahan.

    Definisi.

    Misalkan m/n adalah pecahan tak tersederhanakan, m adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Untuk setiap pecahan yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Pangkat suatu bilangan dengan eksponen pecahan tak tersederhanakan m/n adalah untuk

    Mari kita jelaskan mengapa derajat dengan eksponen pecahan tereduksi terlebih dahulu diganti dengan derajat dengan eksponen tak tereduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajatnya sebagai , dan tidak membuat reservasi tentang tak tereduksinya pecahan m/n, maka kita akan dihadapkan pada situasi seperti berikut: karena 6/10 = 3/5, maka persamaannya harus berlaku , Tetapi , A .