Topik pelajaran: Larutan persamaan logis
Pendidikan – mempelajari metode penyelesaian persamaan logika, mengembangkan keterampilan memecahkan persamaan logika dan menyusun ekspresi logika menggunakan tabel kebenaran;Perkembangan - menciptakan kondisi untuk pengembangan minat kognitif siswa, mendorong perkembangan memori, perhatian, berpikir logis;
Pendidikan : meningkatkan kemampuan mendengarkan pendapat orang lain, memupuk kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.
Jenis pelajaran: pelajaran gabungan
Peralatan: komputer, proyektor multimedia, presentasi 6.
Selama kelas
Pengulangan dan pemutakhiran pengetahuan dasar. Penyelidikan pekerjaan rumah(10 menit)
Dalam pelajaran sebelumnya, kita telah mengenal hukum dasar aljabar logika dan belajar menggunakan hukum ini untuk menyederhanakan ekspresi logika.
Mari kita periksa pekerjaan rumah kita dalam menyederhanakan ekspresi logika:
1. Manakah dari kata-kata berikut yang memenuhi kondisi logis:
(konsonan huruf pertama→konsonan huruf kedua)٨ (huruf vokal terakhir → huruf vokal kedua dari belakang)? Jika ada beberapa kata seperti itu, tunjukkan yang terkecil.
1) ANNA 2) MARIA 3) OLEG 4) STEPAN
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
A – konsonan huruf pertama
B – konsonan huruf kedua
S – huruf vokal terakhir
D – huruf vokal kedua dari belakang
Mari kita buat ekspresi:
Mari kita buat tabelnya:
2. Tunjukkan ekspresi logis mana yang setara dengan ekspresi tersebut
Mari sederhanakan pencatatan ekspresi asli dan opsi yang diusulkan:
3. Diberikan potongan tabel kebenaran ekspresi F:
Ekspresi mana yang cocok dengan F?
Mari kita tentukan nilai ekspresi ini untuk nilai argumen yang ditentukan:
Pengenalan topik pelajaran, penyajian materi baru (30 menit)
Kita terus mempelajari dasar-dasar logika dan topik pelajaran kita hari ini adalah “Menyelesaikan Persamaan Logika”. Setelah belajar topik ini, Anda akan mempelajari metode dasar penyelesaian persamaan logika, memperoleh keterampilan menyelesaikan persamaan tersebut dengan menggunakan bahasa aljabar logika, dan kemampuan menyusun ekspresi logika menggunakan tabel kebenaran.
1. Selesaikan persamaan logika
(¬K M) → (¬L M T) =0
Tulis jawaban Anda sebagai rangkaian empat karakter: nilai variabel K, L, M dan N (dalam urutan itu). Jadi, misalnya, baris 1101 berhubungan dengan fakta bahwa K=1, L=1, M=0, N=1.
Larutan:
Mari kita ubah ekspresinya(¬K M) → (¬L M N)
Suatu ekspresi salah jika kedua sukunya salah. Suku kedua sama dengan 0 jika M =0, N =0, L =1. Pada suku pertama K = 0, karena M = 0, dan 
.
Jawaban: 0100
2. Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tersebut (sebutkan nomornya saja dalam jawaban Anda)?
Solusi: ubah ekspresi
(A +B )*(C +D )=1
A+B =1 dan C+D =1
Metode 2: menyusun tabel kebenaran
3 cara: konstruksi SDNF - bentuk normal disjungtif sempurna untuk suatu fungsi - disjungsi konjungsi dasar beraturan lengkap.Mari kita ubah ekspresi aslinya, buka tanda kurung untuk mendapatkan disjungsi konjungsi:
(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=
Mari kita lengkapi konjungsi menjadi konjungsi lengkap (hasil perkalian semua argumen), buka tanda kurung:
Mari kita pertimbangkan konjungsi yang sama:
Hasilnya, kami memperoleh SDNF yang berisi 9 konjungsi. Oleh karena itu, tabel kebenaran untuk fungsi ini memiliki nilai 1 dalam 9 baris yang terdiri dari 2 4 =16 kumpulan nilai variabel.
3. Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tersebut (sebutkan nomornya saja dalam jawaban Anda)?
Mari kita sederhanakan ungkapannya:
,
3 cara: pembangunan SDNF
Mari kita pertimbangkan konjungsi yang sama:
Hasilnya, kami memperoleh SDNF yang berisi 5 konjungsi. Oleh karena itu, tabel kebenaran fungsi ini memiliki nilai 1 pada 5 baris 2 4 =16 kumpulan nilai variabel.
Membangun ekspresi logis menggunakan tabel kebenaran:
untuk setiap baris tabel kebenaran yang berisi 1, kita membuat produk argumen, dan variabel sama dengan 0 dimasukkan dalam produk dengan negasi, dan variabel sama dengan 1 dimasukkan tanpa negasi. Ekspresi F yang diinginkan akan terdiri dari jumlah produk yang dihasilkan. Kemudian, jika memungkinkan, ungkapan ini harus disederhanakan.
Contoh: tabel kebenaran suatu ekspresi diberikan. Buatlah ekspresi logis.
Larutan:3. Pekerjaan Rumah (5 menit)
Selesaikan persamaan:
Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tersebut (sebutkan nomornya saja dalam jawaban Anda)?
Dengan menggunakan tabel kebenaran yang diberikan, buatlah ekspresi logis dan
menyederhanakannya.
Metode penyelesaian sistem persamaan logika
Kirgizova E.V., Nemkova A.E.
Institut Pedagogis Lesosibirsk –
cabang Universitas Federal Siberia, Rusia
Kemampuan berpikir konsisten, menalar secara meyakinkan, membangun hipotesis, dan menyangkal kesimpulan negatif tidak muncul dengan sendirinya; keterampilan ini dikembangkan oleh ilmu logika. Logika adalah ilmu yang mempelajari metode untuk menetapkan benar atau salahnya suatu pernyataan berdasarkan benar atau salahnya pernyataan lainnya.
Menguasai dasar-dasar ilmu ini tidak mungkin terjadi tanpa pemecahan masalah logika. Pengujian pengembangan keterampilan menerapkan pengetahuan seseorang dalam situasi baru dilakukan melalui passing. Secara khusus, ini adalah kemampuan untuk memutuskan masalah logika. Tugas B15 dalam Unified State Examination adalah tugas dengan kompleksitas yang meningkat, karena mengandung sistem persamaan logika. Ada berbagai cara untuk menyelesaikan sistem persamaan logika. Ini adalah reduksi menjadi satu persamaan, pembuatan tabel kebenaran, dekomposisi, penyelesaian persamaan secara berurutan, dll.
Tugas:Memecahkan sistem persamaan logika:
Mari kita pertimbangkan metode reduksi menjadi satu persamaan . Metode ini melibatkan transformasi persamaan logika sehingga ruas kanannya sama dengan nilai kebenarannya (yaitu 1). Untuk melakukan ini, gunakan operasi negasi logis. Kemudian, jika persamaan tersebut mengandung operasi logika yang kompleks, kami menggantinya dengan persamaan dasar: “DAN”, “ATAU”, “TIDAK”. Langkah selanjutnya adalah menggabungkan persamaan menjadi satu persamaan ekuivalen sistem menggunakan operasi logika “DAN”. Setelah ini, Anda harus mengubah persamaan yang dihasilkan berdasarkan hukum aljabar logis dan mendapatkan solusi spesifik untuk sistem tersebut.
Solusi 1:Terapkan inversi pada kedua ruas persamaan pertama:
Mari kita bayangkan implikasinya melalui operasi dasar “OR” dan “NOT”:
Karena ruas kiri persamaan sama dengan 1, kita dapat menggabungkannya menggunakan operasi “DAN” menjadi satu persamaan yang ekuivalen dengan sistem asal:
Kita buka tanda kurung pertama menurut hukum De Morgan dan ubah hasilnya:
Persamaan yang dihasilkan memiliki satu solusi: SEBUAH= 0, B =0 dan C =1.
Cara selanjutnya adalah membangun tabel kebenaran . Karena besaran logika hanya mempunyai dua nilai, Anda cukup menelusuri semua opsi dan menemukan nilai yang mana di antara opsi tersebut sistem ini persamaan. Artinya, kita membuat satu tabel kebenaran umum untuk semua persamaan sistem dan menemukan garis dengan nilai yang diperlukan.
Solusi 2:Mari kita buat tabel kebenaran untuk sistem:
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Garis yang memenuhi kondisi tugas ditandai dengan huruf tebal. Jadi A =0, B =0 dan C =1.
Jalan penguraian . Idenya adalah untuk menetapkan nilai salah satu variabel (mengaturnya sama dengan 0 atau 1) dan dengan demikian menyederhanakan persamaannya. Kemudian Anda bisa memperbaiki nilai variabel kedua, dan seterusnya.
Solusi 3: Membiarkan A = 0, maka:
Dari persamaan pertama kita peroleh B =0, dan dari detik – C=1. Solusi sistem: A = 0, B = 0 dan C = 1.
Anda juga bisa menggunakan metode ini penyelesaian persamaan secara berurutan , pada setiap langkah menambahkan satu variabel ke himpunan yang dipertimbangkan. Untuk melakukan ini, persamaan harus diubah sehingga variabel dimasukkan dalam urutan abjad. Selanjutnya, kita membangun pohon keputusan, menambahkan variabel secara berurutan ke dalamnya.
Persamaan pertama sistem hanya bergantung pada A dan B, dan persamaan kedua pada A dan C. Variabel A dapat mengambil 2 nilai 0 dan 1:
Dari persamaan pertama berikut ini 
, jadi ketika A = 0 dan kita mendapatkan B = 0, dan untuk A = 1 kita mendapatkan B = 1. Jadi, persamaan pertama memiliki dua solusi terhadap variabel A dan B.
Mari kita gambarkan persamaan kedua, dari mana kita menentukan nilai C untuk setiap opsi. Jika A =1, implikasinya tidak boleh salah, yaitu cabang kedua dari pohon tersebut tidak memiliki solusi. Pada SEBUAH= 0
kami mendapatkan satu-satunya solusi C= 1
:
Jadi, kita memperoleh solusi sistem: A = 0, B = 0 dan C = 1.
Dalam Ujian Negara Bersatu dalam ilmu komputer, seringkali diperlukan untuk menentukan jumlah solusi suatu sistem persamaan logika, tanpa menemukan solusinya sendiri, ada juga metode tertentu untuk ini. Cara utama untuk mencari banyak solusi suatu sistem persamaan logika adalah mengganti variabel. Pertama, Anda perlu menyederhanakan setiap persamaan sebanyak mungkin berdasarkan hukum aljabar logika, lalu mengganti bagian kompleks persamaan tersebut dengan variabel baru dan menentukan jumlah solusinya. sistem baru. Selanjutnya, kembali ke penggantian dan tentukan jumlah solusinya.
Tugas:Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tersebut ( SEBUAH → B ) + (C → D ) = 1? Dimana A, B, C, D adalah variabel logika.
Larutan:Mari perkenalkan variabel baru: X = A → B dan Y = C → D . Dengan memperhitungkan variabel-variabel baru, persamaannya akan ditulis sebagai: X + Y = 1.
Disjungsi tersebut benar dalam tiga kasus: (0;1), (1;0) dan (1;1), sedangkan X dan Y merupakan implikasi, yaitu benar dalam tiga kasus dan salah dalam satu kasus. Oleh karena itu, kasus (0;1) akan berhubungan dengan tiga kemungkinan kombinasi parameter. Kasus (1;1) – akan sesuai dengan sembilan kemungkinan kombinasi parameter persamaan asli. Artinya total penyelesaian persamaan ini adalah 3+9=15.
Cara menentukan banyaknya penyelesaian suatu sistem persamaan logika selanjutnya adalah pohon biner. Mari kita pertimbangkan metode ini Misalnya.
Tugas:Berapa banyak solusi berbeda yang dimiliki sistem persamaan logika:
Sistem persamaan yang diberikan ekuivalen dengan persamaan:
( X 1 → X 2 )*( X 2 → X 3 )*…*( xm -1 → xm) = 1.
Mari kita berpura-pura seperti ituX 1 – benar, maka dari persamaan pertama kita peroleh bahwaX 2 juga benar, dari yang kedua -X 3 =1, dan seterusnya sampai xm= 1. Jadi himpunan (1; 1; …; 1) dari M unit adalah solusi dari sistem. Biarkan sekarangX 1 =0, maka dari persamaan pertama yang kita milikiX 2 =0 atau X 2 =1.
Kapan X 2 benar, kita memperoleh bahwa variabel-variabel yang tersisa juga benar, yaitu himpunan (0; 1; ...; 1) adalah solusi sistem. PadaX 2 =0 kita mengerti X 3 =0 atau X 3 =, dan seterusnya. Melanjutkan ke variabel terakhir, kita menemukan bahwa solusi persamaan tersebut adalah himpunan variabel berikut ( M +1 solusi, di setiap solusi M nilai variabel):
(1; 1; 1; …; 1)
(0; 1; 1; …; 1)
(0; 0; 0; …; 0)
Pendekatan ini diilustrasikan dengan baik dengan membangun pohon biner. Banyaknya solusi yang mungkin adalah jumlah cabang berbeda dari pohon yang dibangun. Sangat mudah untuk melihat bahwa itu setara m +1.
|
Variabel |
Pohon |
Jumlah solusi |
|
x 1 |
|
|
|
x 2 |
||
|
x 3 |
||
Jika terjadi kesulitan dalam menalar dan membangun pohon keputusan, Anda dapat mencari solusinya dengan menggunakan tabel kebenaran, untuk satu atau dua persamaan.
Mari kita tulis ulang sistem persamaannya menjadi:
Dan mari kita buat tabel kebenaran secara terpisah untuk satu persamaan:
|
x 1 |
x 2 |
(x 1 → x 2) |
Mari kita buat tabel kebenaran untuk dua persamaan:
|
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 1 → x 2 |
x 2 → x 3 |
(x 1 → x 2) * (x 2 → x 3) |
Selanjutnya, Anda dapat melihat bahwa satu persamaan benar dalam tiga kasus berikut: (0; 0), (0; 1), (1; 1). Sistem dua persamaan benar dalam empat kasus (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1). Dalam hal ini, segera terlihat jelas bahwa ada solusi yang hanya terdiri dari nol dan lebih banyak lagi M solusi yang mana satu unit ditambahkan pada satu waktu, dimulai dari posisi terakhir hingga semua tempat yang memungkinkan terisi. Dapat diasumsikan bahwa keputusan bersama akan memiliki bentuk yang sama, namun agar pendekatan ini menjadi solusi, diperlukan bukti bahwa asumsi tersebut benar.
Untuk meringkas semua hal di atas, saya ingin menarik perhatian Anda pada fakta bahwa tidak semua metode yang dibahas bersifat universal. Saat menyelesaikan setiap sistem persamaan logika, fitur-fiturnya harus diperhitungkan, yang menjadi dasar pemilihan metode penyelesaian.
Literatur:
1. Masalah logis / O.B. Bogomolov – edisi ke-2. – M.: BINOM. Laboratorium Pengetahuan, 2006. – 271 hal.: sakit.
2. Polyakov K.Yu. Sistem persamaan logika / Surat kabar pendidikan dan metodologi untuk guru ilmu komputer: Informatika No.14, 2011.
Metode penyelesaian sistem persamaan logika
Anda dapat menyelesaikan suatu sistem persamaan logika, misalnya dengan menggunakan tabel kebenaran (jika jumlah variabelnya tidak terlalu banyak) atau menggunakan pohon keputusan, setelah menyederhanakan setiap persamaan terlebih dahulu.
1. Metode penggantian variabel.
Memperkenalkan variabel baru memungkinkan Anda menyederhanakan sistem persamaan, mengurangi jumlah variabel yang tidak diketahui.Variabel baru harus independen satu sama lain. Setelah menyelesaikan sistem yang disederhanakan, kita harus kembali ke variabel awal.
Mari kita pertimbangkan penerapan metode ini menggunakan contoh spesifik.
Contoh.
((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0
((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0
((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0
((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0
Larutan:
Mari kita perkenalkan variabel baru: A=(X1≡ X2); B=(X3 ≡ X4); =(X5 ≡ X6); D=(X7 ≡ X8); E=(X9 ≡ X10).
(Perhatian! Setiap variabel x1, x2, ..., x10 harus dimasukkan hanya dalam salah satu variabel baru variabel A, B, C, D, E, yaitu variabel baru tidak bergantung satu sama lain).
Maka sistem persamaannya akan terlihat seperti ini:
(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)=0
(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)=0
(C ∧ D) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0
(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0
Mari buat pohon keputusan untuk sistem yang dihasilkan:
Pertimbangkan persamaan A=0, yaitu. (X1≡ X2)=0. Ia memiliki 2 akar:
X1 ≡ X2 |
||
Dari tabel yang sama terlihat bahwa persamaan A=1 juga mempunyai 2 akar. Mari kita susun jumlah akar pada pohon keputusan:
Untuk mencari jumlah solusi pada satu cabang, Anda perlu mengalikan jumlah solusi pada setiap level. Cabang kiri memiliki 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 solusi; cabang kanan juga memiliki 32 solusi. Itu. seluruh sistem memiliki 32+32=64 solusi.
Jawaban: 64.
2. Metode penalaran.
Kesulitan dalam menyelesaikan sistem persamaan logika terletak pada rumitnya pohon keputusan yang lengkap. Metode penalaran memungkinkan Anda untuk tidak membangun keseluruhan pohon, tetapi untuk memahami berapa banyak cabang yang dimilikinya. Mari kita lihat metode ini menggunakan contoh spesifik.
Contoh 1. Berapa banyak himpunan nilai variabel logis x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 yang memenuhi semua kondisi di bawah ini?
(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
x1\/y1 =1
Jawabannya tidak perlu mencantumkan semua himpunan nilai yang berbeda dari variabel x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 yang memenuhi sistem persamaan ini. Sebagai jawabannya, Anda perlu menunjukkan jumlah set tersebut.
Solusi :
Persamaan pertama dan kedua memuat variabel bebas yang dihubungkan oleh kondisi ketiga. Mari kita buat pohon solusi untuk persamaan pertama dan kedua.
Untuk merepresentasikan pohon solusi sistem persamaan pertama dan kedua, setiap cabang pohon pertama harus dilanjutkan dengan pohon variabel pada . Pohon yang dibangun dengan cara ini akan memiliki 36 cabang. Beberapa cabang ini tidak memenuhi persamaan ketiga sistem. Mari kita tandai jumlah cabang pohon pada pohon pertama"kamu" , yang memenuhi persamaan ketiga:
Mari kita jelaskan: untuk memenuhi syarat ketiga, ketika x1=0 harus ada y1=1, yaitu semua cabang pohon"X" , dimana x1=0 dapat dilanjutkan hanya dengan satu cabang dari pohon"kamu" . Dan hanya untuk satu cabang pohon"X" (kanan) semua dahan pohon pas"kamu". Jadi, pohon lengkap dari keseluruhan sistem berisi 11 cabang. Setiap cabang mewakili satu solusi dari sistem persamaan asli. Artinya keseluruhan sistem mempunyai 11 solusi.
Jawaban: 11.
Contoh 2. Berapa banyak berbagai solusi mempunyai sistem persamaan
(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10)= 1
(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬ X10)= 1.
………………
(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬ X10)= 1
(X1 ≡ X10) = 0
dimana x1, x2,…, x10 adalah variabel logika? Jawabannya tidak perlu mencantumkan semua kumpulan nilai variabel berbeda yang memiliki persamaan ini. Sebagai jawabannya, Anda perlu menunjukkan jumlah set tersebut.
Solusi : Mari kita sederhanakan sistemnya. Mari kita buat tabel kebenaran untuk bagian persamaan pertama:
X1 ∧ X10 | ¬X1 ∧ ¬X10 | (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10) |
||
Perhatikan kolom terakhir, cocok dengan hasil tindakan X1 ≡ X10.
X1 ≡ X10 |
Setelah disederhanakan kita mendapatkan:
(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ≡ X10)=1
(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10)=1
(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1
……
(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1
(X1 ≡ X10) = 0
Perhatikan persamaan terakhir:(X1 ≡ X10) = 0, yaitu x1 tidak boleh bertepatan dengan x10. Agar persamaan pertama sama dengan 1, persamaan tersebut harus benar(X1 ≡ X2)=1, yaitu x1 harus cocok dengan x2.
Mari kita buat pohon solusi untuk persamaan pertama:
Perhatikan persamaan kedua: untuk x10=1 dan untuk x2=0 tanda kurungharus sama dengan 1 (yaitu x2 bertepatan dengan x3); untuk x10=0 dan untuk x2=1 braket(X2 ≡ X10)=0 yang artinya tanda kurung (X2 ≡ X3) harus sama dengan 1 (yaitu x2 bertepatan dengan x3):
Dengan berpikir seperti ini, kami membangun pohon solusi untuk semua persamaan:
Jadi, sistem persamaan hanya mempunyai 2 solusi.
Jawaban: 2.
Contoh 3.
Berapa banyak himpunan nilai variabel logika x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 yang memenuhi semua kondisi di bawah ini?
(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1
(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1
(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1
(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1
(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1
Larutan:
Mari kita buat pohon solusi untuk persamaan pertama:
Perhatikan persamaan kedua:
- Ketika x1=0 : tanda kurung kedua dan ketiga sama dengan 0; agar tanda kurung pertama sama dengan 1, y1=1, z1=1 (yaitu dalam kasus ini - 1 solusi)
- Ketika x1=1 : tanda kurung pertama akan sama dengan 0; Kedua atau tanda kurung ketiga harus sama dengan 1; tanda kurung siku kedua akan sama dengan 1 ketika y1=0 dan z1=1; braket ketiga akan sama dengan 1 ketika y1=1 dan z1=0 (yaitu dalam kasus ini - 2 solusi).
Demikian pula untuk persamaan lainnya. Mari kita perhatikan jumlah solusi yang dihasilkan untuk setiap simpul pohon:
Untuk mengetahui banyaknya solusi setiap cabang, kalikan angka-angka yang dihasilkan secara terpisah untuk setiap cabang (dari kiri ke kanan).
1 cabang: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 solusi
Cabang 2: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 =2 penyelesaian
Cabang ke-3: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 =4 solusi
Cabang ke-4: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =8 penyelesaian
Cabang ke-5: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 penyelesaian
Mari kita jumlahkan angka yang dihasilkan: total ada 31 solusi.
Jawaban: 31.
3. Peningkatan jumlah akar secara alami
Dalam beberapa sistem, jumlah akar persamaan berikutnya bergantung pada jumlah akar persamaan sebelumnya.
Contoh 1. Berapa banyak himpunan nilai variabel logika x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 yang memenuhi semua kondisi di bawah ini?
¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0
¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0
¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0
Mari kita sederhanakan persamaan pertama:(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). Maka sistem akan berbentuk:
¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0
¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4)= 0
¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0
Dll.
Setiap persamaan berikutnya memiliki 2 akar lebih banyak dari persamaan sebelumnya.
4 persamaan memiliki 12 akar;
Persamaan 5 mempunyai 14 akar
Persamaan 8 mempunyai 20 akar.
Jawaban: 20 akar.
Terkadang jumlah akar bertambah menurut hukum Fibonacci.
Memecahkan sistem persamaan logika membutuhkan pendekatan kreatif.
Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Manusia menggunakan persamaan pada zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Dalam matematika, ada permasalahan tertentu yang berhubungan dengan logika proposisional. Menyelesaikan semacam ini persamaan, Anda perlu memiliki sejumlah pengetahuan: pengetahuan tentang hukum logika proposisional, pengetahuan tentang tabel kebenaran fungsi logika 1 atau 2 variabel, metode untuk mengubah ekspresi logika. Selain itu, Anda perlu mengetahui sifat-sifat berikut ini operasi logis: konjungsi, disjungsi, inversi, implikasi dan kesetaraan.
Fungsi logika apa pun dari \variables - \dapat ditentukan dengan tabel kebenaran.
Mari kita selesaikan beberapa persamaan logika:
\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]
\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]
\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]
\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]
Mari kita mulai penyelesaiannya dengan \[X1\] dan tentukan nilai apa yang dapat diambil variabel ini: 0 dan 1. Selanjutnya, kita akan mempertimbangkan masing-masing nilai di atas dan melihat apa yang bisa menjadi \[X2.\].
Seperti dapat dilihat dari tabel, persamaan logika kita memiliki 11 solusi.
Di mana saya bisa menyelesaikan persamaan logika secara online?
Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https://site. Pemecah online gratis ini memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan online dengan kompleksitas apa pun dalam hitungan detik. Yang perlu Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam pemecah. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda masih memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu dengan senang hati membantu Anda.
Misalkan fungsi logis dari n variabel. Persamaan logisnya terlihat seperti:
Konstanta C bernilai 1 atau 0.
Persamaan logis dapat memiliki solusi dari 0 hingga berbeda. Jika C sama dengan 1, maka solusinya adalah semua himpunan variabel dari tabel kebenaran yang fungsi F bernilai benar (1). Himpunan sisanya adalah solusi persamaan dengan C sama dengan nol. Anda selalu dapat mempertimbangkan hanya persamaan bentuk:
Memang, biarkan persamaannya diberikan:
Dalam hal ini, kita dapat menuju ke persamaan ekuivalen:
Pertimbangkan sistem persamaan logika k:
Solusi suatu sistem adalah sekumpulan variabel yang memenuhi semua persamaan sistem. Dalam kaitannya dengan fungsi logika, untuk mendapatkan solusi suatu sistem persamaan logika, kita harus mencari himpunan yang fungsi logikanya benar, yang mewakili konjungsi fungsi aslinya:
Jika jumlah variabelnya kecil, misalnya kurang dari 5, maka tidak sulit untuk membuat tabel kebenaran untuk fungsi tersebut, yang memungkinkan kita mengetahui berapa banyak solusi yang dimiliki sistem dan himpunan apa yang memberikan solusi.
Dalam beberapa soal USE dalam mencari solusi sistem persamaan logika, jumlah variabel mencapai 10. Kemudian menyusun tabel kebenaran menjadi tugas yang hampir mustahil. Pemecahan masalah memerlukan pendekatan yang berbeda. Untuk sistem persamaan arbitrer, tidak ada metode umum selain enumerasi yang memungkinkan penyelesaian masalah tersebut.
Dalam soal-soal yang diajukan pada ujian, penyelesaiannya biasanya didasarkan pada memperhatikan kekhususan sistem persamaan. Saya ulangi, selain mencoba semua opsi untuk sekumpulan variabel, tidak ada cara umum untuk menyelesaikan masalah. Solusinya harus dibangun berdasarkan spesifikasi sistem. Seringkali berguna untuk melakukan penyederhanaan awal suatu sistem persamaan dengan menggunakan hukum logika yang diketahui. Teknik lain yang berguna untuk memecahkan masalah ini adalah sebagai berikut. Kami tidak tertarik pada semua himpunan, tetapi hanya himpunan yang fungsinya memiliki nilai 1. Daripada membangun meja penuh sebenarnya, kami akan membangun analoginya - pohon keputusan biner. Setiap cabang pohon ini berhubungan dengan satu solusi dan menentukan himpunan yang fungsinya bernilai 1. Jumlah cabang pada pohon keputusan bertepatan dengan jumlah solusi sistem persamaan.
Saya akan menjelaskan apa itu pohon keputusan biner dan bagaimana pohon itu dibangun dengan menggunakan contoh beberapa masalah.
Masalah 18
Berapa banyak himpunan nilai variabel logika x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 yang memenuhi sistem dua persamaan?
Jawaban: Sistem ini memiliki 36 solusi berbeda.
Penyelesaian: Sistem persamaan mencakup dua persamaan. Mari kita cari banyak solusi untuk persamaan pertama, bergantung pada 5 variabel - . Persamaan pertama pada gilirannya dapat dianggap sebagai sistem 5 persamaan. Seperti yang telah ditunjukkan, sistem persamaan sebenarnya mewakili konjungsi fungsi logika. Pernyataan sebaliknya juga benar - konjungsi kondisi dapat dianggap sebagai sistem persamaan.
Mari kita buat pohon keputusan untuk implikasi () - suku pertama dari konjungsi, yang dapat dianggap sebagai persamaan pertama. Seperti inilah tampilannya gambar grafis pohon ini
Pohon itu terdiri dari dua tingkat sesuai dengan jumlahnya variabel persamaan. Tingkat pertama menggambarkan variabel pertama. Dua cabang pada tingkat ini mencerminkan nilai yang mungkin dari variabel ini - 1 dan 0. Pada tingkat kedua, cabang-cabang pohon hanya mencerminkan nilai-nilai yang mungkin dari variabel yang persamaannya dinilai benar. Karena persamaan tersebut menentukan implikasi, maka cabang yang bernilai 1 mengharuskan pada cabang tersebut terdapat nilai 1. Cabang yang bernilai 0 menghasilkan dua cabang dengan nilai sama dengan 0 dan 1. Konstruksinya pohon menentukan tiga solusi, yang implikasinya bernilai 1. Pada setiap cabang, sekumpulan nilai variabel yang sesuai dituliskan, memberikan solusi pada persamaan tersebut.
Himpunan tersebut adalah: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))
Mari lanjutkan membangun pohon keputusan dengan menambahkan persamaan berikut, implikasi berikut. Kekhasan sistem persamaan kita adalah setiap persamaan baru dari sistem tersebut menggunakan satu variabel dari persamaan sebelumnya, sehingga menambah satu variabel baru. Karena variabel sudah mempunyai nilai pada pohonnya, maka pada semua cabang yang variabelnya bernilai 1, maka variabel tersebut juga akan mempunyai nilai 1. Untuk cabang yang demikian, pembangunan pohonnya dilanjutkan ke tingkat berikutnya, tapi cabang baru tidak muncul. Satu cabang yang suatu variabel bernilai 0 akan bercabang menjadi dua cabang yang variabelnya akan bernilai 0 dan 1. Jadi, setiap penambahan persamaan baru, mengingat kekhususannya, akan menambah satu solusi. Persamaan pertama yang asli:
memiliki 6 solusi. Berikut tampilan pohon keputusan lengkap untuk persamaan ini:
Persamaan kedua dari sistem kami mirip dengan yang pertama:
Perbedaannya hanya pada persamaan tersebut menggunakan variabel Y. Persamaan ini juga mempunyai 6 solusi. Karena setiap solusi variabel dapat digabungkan dengan setiap solusi variabel, maka jumlah solusinya adalah 36.
Harap dicatat bahwa pohon keputusan yang dibangun tidak hanya memberikan jumlah solusi (sesuai dengan jumlah cabang), tetapi juga solusi itu sendiri yang tertulis pada setiap cabang pohon.
Soal 19
Berapa banyak himpunan nilai variabel logis x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 yang memenuhi semua kondisi di bawah ini?
Tugas ini merupakan modifikasi dari tugas sebelumnya. Bedanya, ditambahkan persamaan lain yang menghubungkan variabel X dan Y.
Dari persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa jika bernilai 1 (ada salah satu solusi tersebut), maka bernilai 1. Jadi, ada satu himpunan yang bernilai 1. Jika sama dengan 0 maka dapat mempunyai nilai apa pun, baik 0 maupun 1. Oleh karena itu, setiap himpunan dengan , sama dengan 0, dan terdapat 5 himpunan tersebut, bersesuaian dengan keenam himpunan dengan variabel Y. Oleh karena itu, jumlah penyelesaiannya adalah 31.
Soal 20
Solusi: Mengingat persamaan dasar, kita menulis persamaan kita sebagai:
Implikasi rantai siklik berarti variabel-variabelnya identik, sehingga persamaan kita ekuivalen dengan persamaan:
Persamaan ini memiliki dua solusi jika semuanya bernilai 1 atau 0.
Soal 21
Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tersebut:
Solusi: Seperti pada soal 20, kita beralih dari implikasi siklik ke identitas, menulis ulang persamaannya dalam bentuk:
Mari kita buat pohon keputusan untuk persamaan ini:
Soal 22
Berapa banyak solusi yang dimiliki sistem persamaan berikut?
