Pergerakan suatu titik sepanjang lingkaran dapat dicirikan oleh sudut putar jari-jari yang menghubungkan titik bergerak tersebut dengan pusat lingkaran. Perubahan sudut ini terhadap waktu ditandai dengan kecepatan sudut. Kecepatan sudut suatu titik adalah perbandingan sudut rotasi vektor jari-jari suatu titik dengan periode waktu terjadinya rotasi tersebut. Kecepatan sudut secara numerik sama dengan sudut rotasi vektor jari-jari suatu titik per satuan waktu.
Sudut rotasi biasanya diukur dalam radian (rad). Satuan kecepatan sudut adalah radian per detik (rad/s) - kecepatan sudut di mana suatu titik menggambarkan busur berdasarkan sudut yang sama dengan satu radian dalam satu detik.
Revolusi penuh mengelilingi lingkaran disebut rad. Artinya jika suatu titik berputar dengan frekuensi , maka kecepatan sudutnya adalah
Jika gerak suatu titik sepanjang lingkaran tidak beraturan, maka kita dapat mengenalkan konsep kecepatan sudut rata-rata dan kecepatan sudut sesaat, seperti yang dilakukan untuk kecepatan biasa pada kasus gerak tidak beraturan. gerak seragam sepanjang lingkaran.
Kecepatan “biasa”, berbeda dengan kecepatan sudut, disebut kecepatan linier. Sangat mudah untuk menemukan hubungan antara kecepatan linier suatu titik, kecepatan sudutnya, dan jari-jari lingkaran yang dilaluinya. Karena, setelah menggambarkan sudut yang sama dengan satu radian, titik tersebut akan menempuh jarak sepanjang lingkaran yang sama dengan jari-jarinya, maka
yaitu kecepatan linier ketika bergerak melingkar sama dengan kecepatan sudut dikalikan jari-jari lingkaran.
Dengan menggunakan (115.1), kita dapat menyatakan percepatan sentripetal suatu titik ketika bergerak melingkar dalam kecepatan sudut. Mengganti ekspresi kecepatan (115.1) menjadi (27.1), kita menemukan rumus yang menyatakan percepatan sentripetal dalam kecepatan sudut!
Ketika mempertimbangkan rotasi suatu benda tegar pada suatu sumbu, konsep kecepatan sudut juga digunakan, dalam hal ini kecepatan sudut di semua titik benda adalah sama, karena semuanya berputar melalui sudut yang sama. Jadi, rotasi benda tegar pada suatu sumbu dapat dicirikan oleh kecepatan sudut pergerakan semua titiknya. Oleh karena itu, kita menyebutnya kecepatan sudut benda. Dari rumus (115.1) dan (115.2) jelas bahwa ketika suatu benda tegar berputar, kecepatan linier titik-titiknya dan percepatan sentripetalnya sebanding dengan jarak dari titik-titik tersebut ke sumbu rotasi.
115.1 . Dua titik bergerak dengan kecepatan sudut yang sama sepanjang lingkaran yang jari-jarinya berbanding 1:2. Temukan rasio percepatan titik-titik ini.
115.2. Mana yang lebih besar: kecepatan sudut rotasi jarum jam atau kecepatan sudut rotasi Bumi?
Jarak dan waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak ini dihubungkan oleh konsep fisik - kecepatan. Dan seseorang, pada umumnya, tidak memiliki pertanyaan tentang menentukan nilai ini. Semua orang paham bahwa mengendarai mobil dengan kecepatan 100 km/jam berarti menempuh jarak 100 kilometer dalam satu jam.
Namun bagaimana jika badannya berputar? Misalnya, kipas angin rumah tangga biasa menghasilkan puluhan putaran per detik. Dan pada saat yang sama, kecepatan putaran bilahnya sedemikian rupa sehingga dapat dengan mudah dihentikan dengan tangan tanpa membahayakan diri Anda sendiri. Bumi mengelilingi bintangnya - Matahari - melakukan satu revolusi dalam satu tahun penuh, yaitu lebih dari 30 juta detik, tetapi kecepatan pergerakannya dalam orbit sirkumbintang sekitar 30 kilometer per detik!
Bagaimana cara menghubungkan kecepatan biasa dengan kecepatan rotasi, seperti apa rumus kecepatan sudutnya?
Konsep kecepatan sudut
Konsep kecepatan sudut digunakan dalam studi hukum rotasi. Ini berlaku untuk semua benda yang berputar. Baik itu perputaran suatu massa tertentu terhadap massa lainnya, seperti halnya Bumi dan Matahari, atau perputaran benda itu sendiri di sekitar poros kutub (rotasi harian planet kita).
Perbedaan antara kecepatan sudut dan kecepatan linier adalah kecepatan ini mencatat perubahan sudut, bukan jarak, per satuan waktu. Dalam fisika, kecepatan sudut biasanya dilambangkan dengan huruf alfabet Yunani "omega" - ω.
Rumus klasik kecepatan sudut rotasi dianggap sebagai berikut.
Mari kita bayangkan sebuah benda fisik berputar mengelilingi pusat A tertentu dengan kecepatan konstan. Posisinya dalam ruang relatif terhadap pusat ditentukan oleh sudut φ. Pada suatu titik waktu t1, benda yang dimaksud berada di titik B. Sudut simpangan benda dari awal φ1.
Kemudian benda tersebut bergerak menuju titik C. Ia berada disana pada waktu t2. Waktu yang diperlukan untuk melakukan gerakan ini:
Posisi benda di ruang angkasa juga berubah. Sekarang sudut defleksinya adalah φ2. Perubahan sudut selama periode waktu ∆t adalah:
∆φ = φ2 - φ1.
Sekarang rumus kecepatan sudut dirumuskan sebagai berikut: kecepatan sudut didefinisikan sebagai perbandingan perubahan sudut ∆φ terhadap waktu ∆t.
Satuan kecepatan sudut
Kecepatan linier suatu benda diukur dalam besaran yang berbeda-beda. Pergerakan kendaraan di jalan raya biasanya ditunjukkan dalam kilometer per jam, kapal laut membuat simpul - mil laut per jam. Jika kita memperhitungkan pergerakan benda kosmik, maka kilometer per detik paling sering muncul di sini.
Kecepatan sudut, bergantung pada besarnya dan benda yang berputar, juga diukur dalam satuan yang berbeda.
Radian per detik (rad/s) adalah ukuran klasik kecepatan dalam Satuan Sistem Internasional (SI). Mereka menunjukkan berapa banyak radian (dalam satu putaran penuh 2 ∙ 3,14 radian) yang berhasil diputar oleh benda dalam satu detik.
Revolusi per menit (rpm) adalah satuan paling umum untuk menunjukkan kecepatan rotasi dalam teknologi. Poros mesin listrik dan mobil menghasilkan putaran per menit yang tepat (lihat saja takometer di mobil Anda).
Revolusi per detik (rps) - lebih jarang digunakan, terutama untuk tujuan pendidikan.
Periode sirkulasi
Terkadang lebih mudah menggunakan konsep lain untuk menentukan kecepatan putaran. Periode revolusi biasanya disebut waktu selama suatu benda melakukan revolusi 360° (lingkaran penuh) mengelilingi pusat rotasi. Rumus kecepatan sudut, yang dinyatakan dalam periode revolusi, berbentuk:
Menyatakan kecepatan rotasi benda dengan periode revolusi dibenarkan dalam kasus di mana benda berputar relatif lambat. Mari kita kembali mempertimbangkan pergerakan planet kita mengelilingi bintang.
Rumus kecepatan sudut memungkinkan Anda menghitungnya, dengan mengetahui periode revolusi:
ω = 2P/31536000 = 0,000000199238499086111 rad/s.
Melihat hasil yang diperoleh, kita dapat memahami mengapa, ketika mempertimbangkan rotasi benda langit, lebih mudah menggunakan periode revolusi. Seseorang melihat angka-angka dengan jelas di depannya dan dengan jelas membayangkan skalanya.
Hubungan antara kecepatan sudut dan linier
Dalam beberapa soal, kecepatan linier dan sudut harus ditentukan. Rumus transformasinya sederhana: kecepatan linier suatu benda sama dengan hasil kali kecepatan sudut dan jari-jari rotasi. Seperti yang ditunjukkan pada gambar.
Ekspresi ini juga "berfungsi" dalam urutan terbalik, dengan bantuannya kecepatan sudut ditentukan. Rumus kecepatan linier diperoleh melalui manipulasi aritmatika sederhana.
YouTube ensiklopedis
-
1 / 5
Dalam ruang tiga dimensi, vektor kecepatan sudut sama besarnya dengan sudut rotasi suatu titik di sekitar pusat rotasi per satuan waktu:
ω = d φ d t , (\displaystyle \omega =(\frac (d\varphi )(dt)),)a diarahkan sepanjang sumbu rotasi menurut aturan gimlet, yaitu ke arah di mana gimlet atau sekrup berulir kanan akan disekrup jika diputar ke arah ini. Mnemonik lain untuk mengingat hubungan antara arah rotasi dan arah vektor kecepatan sudut adalah, bagi pengamat konvensional yang terletak di ujung vektor kecepatan sudut yang muncul dari pusat rotasi, rotasi itu sendiri tampak terjadi. melawan searah jarum jam.
Kecepatan sudut merupakan vektor aksial (vektor semu). Ketika sumbu-sumbu sistem koordinat dicerminkan, komponen-komponen vektor beraturan (misalnya, vektor jari-jari suatu titik) berubah tanda. Pada saat yang sama, komponen vektor semu (khususnya, kecepatan sudut) dengan transformasi koordinat seperti itu tetap sama.
Representasi tensor
Satuan
Satuan kecepatan sudut, yang diadopsi dalam Sistem Satuan Internasional (SI) dan dalam sistem GHS dan MKGSS, - radian per detik (sebutan Rusia: rad/s, internasional: rad/s) . Dalam teknologi, putaran per detik juga digunakan, apalagi - derajat, menit, detik busur per detik, derajat per detik. Putaran per menit sering digunakan dalam teknologi - ini berasal dari masa ketika kecepatan putaran mesin uap berkecepatan rendah ditentukan hanya dengan mata, menghitung jumlah putaran per satuan waktu.
Properti
Vektor kecepatan sesaat suatu titik pada benda tegar mutlak yang berputar dengan kecepatan sudut ditentukan dengan rumus:
v → = [ ω → , r → ] , (\displaystyle (\vec (v))=[\ (\vec (\omega )),(\vec (r))\ ],)di mana adalah vektor jari-jari suatu titik tertentu dari titik asal yang terletak pada sumbu rotasi benda, dan tanda kurung siku menunjukkan hasil kali vektor. Kecepatan linier (bertepatan dengan besarnya vektor kecepatan) suatu titik pada jarak (radius) tertentu r (\gaya tampilan r) dari sumbu rotasi dapat dihitung sebagai berikut: v = r ω . (\displaystyle v=r\omega .) Jika satuan ukuran sudut lain digunakan sebagai pengganti radian, maka pada dua rumus terakhir akan muncul pengali yang tidak sama dengan satu.
- Dalam kasus rotasi bidang, yaitu ketika semua vektor kecepatan titik-titik benda selalu terletak pada bidang yang sama (“bidang rotasi”), kecepatan sudut benda selalu tegak lurus terhadap bidang tersebut, dan faktanya - jika bidang rotasi diketahui - dapat diganti dengan skalar - proyeksi ke sumbu rotasi, yaitu pada garis lurus yang ortogonal terhadap bidang rotasi. Dalam hal ini, kinematika rotasi sangat disederhanakan. Namun, dalam kasus umum, kecepatan sudut dapat berubah arah seiring waktu dalam ruang tiga dimensi, dan gambaran yang disederhanakan seperti itu tidak akan berhasil.
- Gerak dengan vektor kecepatan sudut tetap disebut gerak rotasi beraturan (dalam hal ini percepatan sudutnya nol). Rotasi seragam adalah kasus khusus rotasi bidang.
- Turunan kecepatan sudut terhadap waktu adalah percepatan sudut.
- Kecepatan sudut (dianggap sebagai vektor bebas) adalah sama di semua kerangka acuan inersia, berbeda dalam posisi titik acuan dan kecepatan pergerakannya, tetapi bergerak seragam lurus dan translasi relatif satu sama lain. Namun, dalam kerangka acuan inersia ini, posisi sumbu atau pusat rotasi benda spesifik yang sama pada waktu yang sama mungkin berbeda (yaitu, “titik penerapan” kecepatan sudut akan berbeda).
- Dalam kasus suatu titik yang bergerak dalam ruang tiga dimensi, kita dapat menulis ekspresi kecepatan sudut titik tersebut relatif terhadap asal koordinat yang dipilih:
- Dalam kasus gerak rotasi beraturan (yaitu, gerak dengan vektor kecepatan sudut konstan) suatu benda tegar mutlak, koordinat Cartesian dari titik-titik benda yang berputar dengan cara ini adalah
Gerak rotasi pada sumbu tetap adalah kasus khusus lainnya dari gerak benda tegar.
Gerakan rotasi suatu benda tegar mengelilingi sumbu tetap disebut gerak yang semua titik pada benda menggambarkan lingkaran, yang pusat-pusatnya berada pada garis lurus yang sama, disebut sumbu rotasi, sedangkan bidang-bidang yang menjadi tempat lingkaran-lingkaran tersebut tegak lurus sumbu Perputaran (Gambar.2.4).Dalam teknologi, jenis gerak ini sangat sering terjadi: misalnya putaran poros mesin dan generator, turbin, dan baling-baling pesawat terbang.
Kecepatan sudut . Setiap titik suatu benda berputar mengelilingi suatu sumbu yang melalui suatu titik TENTANG, bergerak dalam lingkaran, dan titik-titik yang berbeda menempuh jalur yang berbeda seiring waktu. Jadi, , maka modulus kecepatan titik A lebih dari satu poin DI DALAM (Gambar 2.5). Namun jari-jari lingkaran berputar melalui sudut yang sama seiring waktu. Sudut - sudut antara sumbu OH dan vektor jari-jari, yang menentukan posisi titik A (lihat Gambar 2.5).
Biarkan benda berputar secara seragam, yaitu berputar melalui sudut yang sama pada interval waktu yang sama. Kecepatan rotasi suatu benda bergantung pada sudut rotasi vektor jari-jari, yang menentukan posisi salah satu titik benda tegar selama periode waktu tertentu; itu ditandai kecepatan sudut . Misalnya, jika satu benda berputar membentuk sudut setiap detik, dan benda lainnya berputar membentuk sudut, maka kita katakan bahwa benda pertama berputar 2 kali lebih cepat daripada benda kedua.
Kecepatan sudut suatu benda selama rotasi seragam adalah besaran yang sama dengan perbandingan sudut rotasi benda dengan periode waktu terjadinya rotasi tersebut.
Kami akan menyatakan kecepatan sudut dengan huruf Yunani ω (akhir). Kemudian menurut definisi
Kecepatan sudut dinyatakan dalam radian per detik (rad/s).
Misalnya, kecepatan sudut rotasi bumi pada porosnya adalah 0,0000727 rad/s, dan kecepatan sudut rotasi bumi adalah sekitar 140 rad/s 1 .
Kecepatan sudut dapat dinyatakan melalui Kecepatan rotasi , yaitu jumlah putaran penuh dalam 1s. Jika sebuah benda melakukan putaran (huruf Yunani “nu”) dalam waktu 1 s, maka waktu satu putaran sama dengan detik. Kali ini disebut periode rotasi dan dilambangkan dengan huruf T. Dengan demikian, hubungan antara frekuensi dan periode rotasi dapat direpresentasikan sebagai:Rotasi penuh benda berhubungan dengan sudut. Oleh karena itu, menurut rumus (2.1)
Jika pada putaran beraturan kecepatan sudut diketahui dan pada saat awal sudut putarannya adalah , maka sudut putaran benda selama waktu tersebut T menurut persamaan (2.1) sama dengan:
Jika , maka , atau
.
Kecepatan sudut bernilai positif jika sudut antara vektor jari-jari, yang menentukan posisi salah satu titik benda tegar, dan sumbu OH meningkat, dan negatif bila menurun.
Dengan demikian, kita dapat menggambarkan posisi titik-titik benda yang berputar pada suatu waktu.
Hubungan antara kecepatan linier dan sudut. Kecepatan suatu titik yang bergerak melingkar sering disebut kecepatan linier , untuk menekankan perbedaannya dari kecepatan sudut.
Kita telah mencatat bahwa ketika sebuah benda tegar berputar, titik-titik yang berbeda memiliki kecepatan linier yang tidak sama, tetapi kecepatan sudutnya sama untuk semua titik.
Ada hubungan antara kecepatan linier suatu titik pada benda yang berputar dan kecepatan sudutnya. Mari kita menginstalnya. Suatu titik yang terletak pada lingkaran berjari-jari R, akan menempuh jarak dalam satu putaran. Karena waktu satu putaran suatu benda adalah suatu periode T, maka modulus kecepatan linier suatu titik dapat dicari sebagai berikut:Karena kecepatan linier mengubah arah secara seragam, gerak melingkar tidak dapat disebut seragam, melainkan dipercepat secara seragam.
Kecepatan sudut
Mari kita pilih satu titik pada lingkaran 1 . Mari kita membangun radius. Dalam satuan waktu, suatu titik akan berpindah ke titik lainnya 2 . Dalam hal ini, jari-jari menggambarkan sudut. Kecepatan sudut secara numerik sama dengan sudut rotasi radius per satuan waktu.
Periode dan frekuensi
Periode rotasi T- ini adalah waktu di mana tubuh melakukan satu putaran.
Frekuensi putaran adalah jumlah putaran per detik.
Frekuensi dan periode saling berhubungan satu sama lain
Hubungan dengan kecepatan sudut
Kecepatan linier
Setiap titik pada lingkaran bergerak dengan kecepatan tertentu. Kecepatan ini disebut linier. Arah vektor kecepatan linier selalu berimpit dengan garis singgung lingkaran. Misalnya, bunga api dari bawah mesin gerinda bergerak mengikuti arah kecepatan sesaat.
Misalkan sebuah titik pada lingkaran melakukan satu putaran, waktu yang dihabiskan adalah periode T. Lintasan yang dilalui suatu titik disebut keliling.
Percepatan sentripetal
Ketika bergerak melingkar, vektor percepatan selalu tegak lurus terhadap vektor kecepatan, diarahkan ke pusat lingkaran.
Dengan menggunakan rumus sebelumnya, kita dapat memperoleh hubungan berikut
Titik-titik yang terletak pada garis lurus yang sama yang berasal dari pusat lingkaran (misalnya, titik-titik yang terletak pada jari-jari roda) akan mempunyai kecepatan sudut, periode, dan frekuensi yang sama. Artinya, mereka akan berputar dengan cara yang sama, tetapi dengan kecepatan linier yang berbeda. Semakin jauh suatu titik dari pusat, semakin cepat titik tersebut bergerak.
Hukum penambahan kecepatan juga berlaku untuk gerak rotasi. Jika gerak suatu benda atau kerangka acuan tidak seragam, maka hukum tersebut berlaku untuk kecepatan sesaat. Misalnya, kecepatan seseorang yang berjalan di sepanjang tepi korsel yang berputar sama dengan jumlah vektor kecepatan linier rotasi tepi korsel dan kecepatan orang tersebut.
Bumi berpartisipasi dalam dua gerakan rotasi utama: diurnal (mengelilingi porosnya) dan orbital (mengelilingi Matahari). Periode rotasi Bumi mengelilingi Matahari adalah 1 tahun atau 365 hari. Bumi berputar pada porosnya dari barat ke timur, lama rotasinya adalah 1 hari atau 24 jam. Lintang adalah sudut antara bidang ekuator dan arah dari pusat bumi ke suatu titik di permukaannya.
Menurut hukum kedua Newton, penyebab percepatan adalah gaya. Jika suatu benda yang bergerak mengalami percepatan sentripetal, maka sifat gaya yang menyebabkan percepatan tersebut mungkin berbeda. Misalnya, jika suatu benda bergerak melingkar dengan tali yang diikatkan padanya, maka gaya yang bekerja adalah gaya elastis.
Jika sebuah benda yang terletak pada piringan berputar dengan piringan tersebut mengelilingi porosnya, maka gaya tersebut adalah gaya gesekan. Jika gaya menghentikan aksinya, maka benda akan terus bergerak lurus
Perhatikan pergerakan suatu titik pada lingkaran dari A ke B. Kecepatan liniernya adalah v A Dan v B masing-masing. Percepatan adalah perubahan kecepatan tiap satuan waktu. Mari kita cari perbedaan antara vektor-vektor tersebut.
