Pengetahuan tentang cara mengukur bumi muncul pada zaman dahulu dan lambat laun terbentuk dalam ilmu geometri. DENGAN bahasa Yunani Kata ini diterjemahkan sebagai “survei tanah”.
Ukuran panjang dan lebar suatu bagian bumi yang datar adalah luas. Dalam matematika, biasanya dilambangkan dengan huruf Latin S (dari bahasa Inggris “square” - “area”, “square”) atau huruf Yunani σ (sigma). S menunjukkan luas suatu bangun pada bidang atau luas permukaan suatu benda, dan σ adalah luasnya persilangan kabel dalam fisika. Ini adalah simbol utama, meskipun mungkin ada yang lain, misalnya di bidang kekuatan bahan, A adalah luas penampang profil.
Dalam kontak dengan
Rumus perhitungan
Mengetahui luas bangun sederhana, Anda dapat menemukan parameter bangun yang lebih kompleks.. Matematikawan kuno mengembangkan rumus yang dapat digunakan untuk menghitungnya dengan mudah. Bentuk-bentuk tersebut adalah segitiga, segi empat, poligon, lingkaran.
Untuk mencari luas bangun datar kompleks dipecah menjadi beberapa bangun datar sederhana seperti segitiga, trapesium, atau persegi panjang. Kemudian metode matematika turunkan rumus luas gambar ini. Metode serupa digunakan tidak hanya dalam geometri, tetapi juga dalam analisis matematis untuk menghitung luas bangun yang dibatasi oleh kurva.
Segi tiga
Mari kita mulai dengan gambar paling sederhana - segitiga. Bentuknya persegi panjang, sama kaki dan sama sisi. Ayo ambil apa saja segitiga ABC dengan sisi AB=a, BC=b dan AC=c (∆ ABC). Untuk mengetahui luasnya, ingat yang terkenal kursus sekolah teorema matematika sinus dan cosinus. Melepaskan semua perhitungan, kita sampai pada rumus berikut:
- S=√ - Rumus Heron, yang diketahui semua orang, dengan p=(a+b+c)/2 adalah setengah keliling segitiga;
- S=a h/2, dimana h adalah ketinggian yang diturunkan ke sisi a;
- S=a b (sin γ)/2, dimana γ adalah sudut antara sisi a dan b;
- S=a b/2, jika ∆ ABC berbentuk persegi panjang (di sini a dan b adalah kaki);
- S=b² (sin (2 β))/2, jika ∆ ABC sama kaki (di sini b adalah salah satu “pinggul”, β adalah sudut antara “pinggul” segitiga);
- S=a² √¾, jika ∆ ABC sama sisi (di sini a adalah sisi segitiga).
Segi empat
Misalkan ada segi empat ABCD dengan AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Untuk mencari luas S dari 4-gon sembarang, Anda perlu membaginya dengan diagonal menjadi dua segitiga, yang luasnya S1 dan S2 pada umumnya tidak sama.
Kemudian gunakan rumus untuk menghitung dan menjumlahkannya, yaitu S=S1+S2. Namun, jika suatu 4-gon termasuk dalam kelas tertentu, maka luasnya dapat dicari dengan menggunakan rumus yang telah diketahui sebelumnya:
- S=(a+c) h/2=e h, jika segi empat adalah trapesium (di sini a dan c adalah alasnya, e adalah garis tengah trapesium, h - tinggi diturunkan ke salah satu alas trapesium;
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, jika ABCD adalah jajar genjang (di sini φ adalah sudut antara sisi a dan b, h adalah tinggi turun ke sisi a, d1 dan d2 adalah diagonal);
- S=a b=d²/2, jika ABCD persegi panjang (d diagonal);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, jika ABCD belah ketupat (a adalah sisi belah ketupat, φ adalah salah satu sudutnya, P adalah kelilingnya);
- S=a²=P²/16=d²/2, jika ABCD persegi.
Poligon
Untuk mencari luas n-gon, ahli matematika memecahnya menjadi bangun datar yang paling sederhana - segitiga, mencari luas masing-masing segitiga, lalu menjumlahkannya. Namun jika poligon tersebut termasuk dalam kelas beraturan, maka gunakan rumus:
S=a n h/2=a² n/=P²/, dengan n adalah jumlah titik (atau sisi) poligon, a adalah sisi n-gon, P adalah kelilingnya, h adalah apotema, yaitu a segmen yang ditarik dari pusat poligon ke salah satu sisinya dengan sudut 90°.
Lingkaran
Lingkaran adalah poligon sempurna yang jumlah sisinya tak terhingga. Kita perlu menghitung limit ekspresi di sebelah kanan dalam rumus luas poligon dengan jumlah sisi n cenderung tak terhingga. Dalam hal ini, keliling poligon akan berubah menjadi panjang lingkaran berjari-jari R, yang akan menjadi batas lingkaran kita, dan akan menjadi sama dengan P=2 π R. Substitusikan persamaan ini ke dalam rumus di atas. Kita akan mendapatkan:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
Mari kita cari limit ekspresi ini sebagai n→∞. Untuk melakukan ini, kita memperhitungkan bahwa lim (cos (180°/n)) untuk n→∞ sama dengan cos 0°=1 (lim adalah tanda limit), dan lim = lim untuk n→∞ adalah sama dengan 1/π (kami terjemahkan ukuran derajat ke radian, menggunakan relasi π rad=180°, dan menerapkan yang pertama batas yang luar biasa lim (sin x)/x=1 untuk x→∞). Mengganti nilai yang diperoleh ke dalam ekspresi terakhir untuk S, kita sampai pada rumus terkenal:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
Satuan
Unit pengukuran sistemik dan non-sistemik digunakan. Satuan sistem milik SI (Sistem Internasional). Ini meter persegi(meter persegi, m²) dan satuan turunannya: mm², cm², km².
Dalam milimeter persegi (mm²), misalnya, luas penampang kabel dalam teknik elektro diukur, dalam sentimeter persegi (cm²) - penampang balok dalam mekanika struktural, dalam meter persegi (m²) - di apartemen atau rumah, dalam kilometer persegi (km²) - dalam geografi .
Namun terkadang digunakan satuan ukuran non-sistemik, seperti: tenun, ar (a), hektar (ha) dan acre (ac). Mari kita sajikan hubungan berikut:
- 1 tenun=1 a=100 m²=0,01 hektar;
- 1 ha=100 a=100 hektar=10.000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
- 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 hektar = 0,405 hektar.
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi kapan saja Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari agensi pemerintahan di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Rumus luas diperlukan untuk menentukan luas suatu bangun, yang merupakan fungsi bernilai riil yang ditentukan pada kelas bangun tertentu pada bidang Euclidean dan memenuhi 4 kondisi:
- Positif - Luas tidak boleh kurang dari nol;
- Normalisasi - persegi dengan satuan sisi memiliki luas 1;
- Kesesuaian - angka-angka yang kongruen miliki luas yang sama;
- Aditivitas - luas gabungan 2 bangun datar tanpa titik dalam yang sama sama dengan jumlah luas bangun-bangun tersebut.
| Sosok geometris | Rumus | Menggambar |
|---|---|---|
|
Hasil penjumlahan jarak antara titik tengah sisi-sisi yang berhadapan pada segi empat cembung sama dengan setengah kelilingnya. |
||
|
Sektor lingkaran. Luas suatu bidang lingkaran sama dengan hasil kali busurnya dan setengah jari-jarinya. |
|
|
|
Segmen lingkaran. Untuk memperoleh luas ruas ASB cukup dengan mengurangkan luas segitiga AOB dengan luas sektor AOB. |
S = 1/2 R(s - AC) |
|
|
Luas elips sama dengan hasil kali panjang sumbu semi mayor dan minor elips dan bilangan pi. |
|
|
|
Elips. Pilihan lain untuk menghitung luas elips adalah melalui dua jari-jarinya. |
|
|
|
Segi tiga. Melalui alas dan tinggi. Rumus luas lingkaran menggunakan jari-jari dan diameternya. |
||
|
Persegi . Melalui sisinya. Luas suatu persegi sama dengan kuadrat panjang sisinya. |
|
|
|
Persegi. Melalui diagonalnya. Luas suatu persegi sama dengan setengah kuadrat panjang diagonalnya. |
||
|
Poligon beraturan. Untuk menentukan luas poligon beraturan, perlu membaginya menjadi segitiga-segitiga sama besar yang memiliki titik sudut yang sama di pusat lingkaran yang tertulis. |
S= rp = 1/2 r n a |
Luas bangun geometri adalah nilai numerik yang mencirikan ukurannya dalam ruang dua dimensi. Nilai ini dapat diukur dalam satuan sistem dan non sistem. Misalnya, satuan non-sistemik luas - seratus meter persegi, hektar. Hal ini terjadi jika permukaan yang diukur adalah sebidang tanah. Satuan sistem luas adalah kuadrat panjang. Dalam sistem SI, satuan luas permukaan datar adalah meter persegi. Dalam GHS, satuan luas dinyatakan dalam sentimeter persegi.
Rumus geometri dan luas saling terkait erat. Hubungan ini terletak pada perhitungan luas angka datar didasarkan pada penerapannya. Untuk banyak gambar, beberapa opsi diturunkan dari mana dimensi perseginya dihitung. Berdasarkan data dari rumusan masalah, kita dapat menentukan solusi yang paling sederhana. Hal ini akan memudahkan perhitungan dan meminimalkan kemungkinan kesalahan perhitungan. Untuk melakukan ini, pertimbangkan bidang utama bentuk dalam geometri.
Rumus mencari luas segitiga apa pun disajikan dalam beberapa pilihan:
1) Luas segitiga dihitung dari alas a dan tinggi h. Basis dianggap sebagai sisi gambar yang tingginya diturunkan. Maka luas segitiga tersebut adalah:
2) Daerah segitiga siku-siku dihitung dengan cara yang persis sama jika sisi miring dianggap sebagai alasnya. Jika kita mengambil kaki sebagai alasnya, maka luas segitiga siku-siku akan sama dengan hasil kali kaki-kakinya dibelah dua.
Rumus untuk menghitung luas segitiga apa pun tidak berakhir di situ. Ekspresi lain berisi sisi a,b dan fungsi sinusoidal dari sudut γ antara a dan b. Nilai sinus ditemukan di tabel. Anda juga bisa mengetahuinya menggunakan kalkulator. Maka luas segitiga tersebut adalah:
Dengan menggunakan persamaan ini, Anda juga dapat memastikan bahwa luas segitiga siku-siku ditentukan melalui panjang kaki-kakinya. Karena sudut γ merupakan sudut siku-siku, sehingga luas segitiga siku-siku dihitung tanpa dikalikan dengan fungsi sinus.
3) Pertimbangkan kasus spesial - segitiga beraturan, yang sisi anya diketahui dengan syarat atau yang panjangnya dapat dicari dalam penyelesaian. Tidak ada lagi yang diketahui tentang gambar dalam soal geometri. Lalu bagaimana cara mencari luas pada kondisi seperti ini? Dalam hal ini, rumus luas segitiga beraturan diterapkan:
Persegi panjang
Bagaimana cara mencari luas persegi panjang dan menggunakan dimensi sisi-sisi yang mempunyai titik sudut yang sama? Ekspresi perhitungannya adalah:
Jika Anda perlu menggunakan panjang diagonal untuk menghitung luas persegi panjang, Anda memerlukan fungsi sinus sudut yang terbentuk pada perpotongannya. Rumus luas persegi panjang ini adalah:
Persegi
Luas persegi ditentukan sebagai pangkat dua dari panjang sisinya:
Buktinya mengikuti definisi bahwa persegi adalah persegi panjang. Semua sisi yang membentuk persegi mempunyai ukuran yang sama. Oleh karena itu, menghitung luas persegi panjang seperti itu berarti mengalikan satu dengan yang lain, yaitu pangkat kedua sisinya. Dan rumus menghitung luas persegi akan mengambil bentuk yang diinginkan.
Luas persegi dapat dicari dengan cara lain, misalnya menggunakan diagonal:
Bagaimana cara menghitung luas bangun datar yang dibentuk oleh bagian bidang yang dibatasi lingkaran? Untuk menghitung luas, rumusnya adalah:
Genjang
Untuk jajar genjang, rumusnya berisi dimensi linier sisi, tinggi, dan operasi matematika - perkalian. Jika tingginya tidak diketahui, lalu bagaimana cara mencari luas jajar genjang? Ada cara lain untuk menghitung. Nilai tertentu akan diperlukan, yang akan diambil fungsi trigonometri sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang berdekatan, serta panjangnya.
Rumus luas jajar genjang adalah:
Belah ketupat
Bagaimana cara mencari luas segi empat yang disebut belah ketupat? Luas belah ketupat ditentukan dengan menggunakan matematika sederhana dengan diagonal. Pembuktiannya didasarkan pada kenyataan bahwa ruas diagonal pada d1 dan d2 berpotongan tegak lurus. Dari tabel sinus terlihat bahwa untuk sudut kanan fungsi ini sama dengan satu. Oleh karena itu, luas belah ketupat dihitung sebagai berikut:
Luas belah ketupat juga dapat dicari dengan cara lain. Hal ini juga tidak sulit untuk dibuktikan, mengingat panjang sisi-sisinya sama. Kemudian substitusikan hasil perkaliannya ke dalam ekspresi serupa untuk jajar genjang. Bagaimanapun, kasus khusus dari figur khusus ini adalah belah ketupat. Di sini γ adalah sudut dalam belah ketupat. Luas belah ketupat ditentukan sebagai berikut:
Trapesium
Bagaimana cara mencari luas trapesium melalui alas (a dan b), jika soal menunjukkan panjangnya? Di sini, tanpa nilai tinggi dan panjang h yang diketahui, tidak mungkin menghitung luas trapesium tersebut. Karena nilai ini berisi ekspresi untuk perhitungan:
Luas persegi trapesium persegi panjang juga dapat dihitung dengan cara yang sama. Perlu diperhatikan bahwa dalam trapesium persegi panjang, konsep tinggi dan sisi digabungkan. Oleh karena itu, untuk trapesium persegi panjang, Anda perlu menentukan panjang sisinya, bukan tingginya.
Silinder dan paralelepiped
Mari kita pertimbangkan apa yang diperlukan untuk menghitung permukaan seluruh silinder. Luas bangun datar ini adalah sepasang lingkaran yang disebut alas dan permukaan samping. Lingkaran yang membentuk lingkaran mempunyai panjang jari-jari sama dengan r. Untuk luas silinder dilakukan perhitungan sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari luas jajar genjang yang terdiri dari tiga pasang muka? Pengukurannya cocok dengan pasangan tertentu. Wajah yang berlawanan memiliki parameter yang sama. Pertama, carilah S(1), S(2), S(3) - dimensi persegi dari sisi-sisi yang tidak sama. Maka luas permukaan parallelepiped adalah:
Cincin
Dua lingkaran yang mempunyai pusat yang sama membentuk sebuah cincin. Mereka juga membatasi luas cincin. Dalam hal ini, kedua rumus perhitungan memperhitungkan dimensi masing-masing lingkaran. Yang pertama, menghitung luas cincin, berisi jari-jari R yang lebih besar dan jari-jari r yang lebih kecil. Lebih sering mereka disebut eksternal dan internal. Dalam persamaan kedua, luas cincin dihitung melalui diameter D yang lebih besar dan diameter d yang lebih kecil. Jadi, luas cincin berdasarkan jari-jari yang diketahui dihitung sebagai berikut:
Luas cincin, dengan menggunakan panjang diameternya, ditentukan sebagai berikut:
Poligon
Bagaimana cara mencari luas poligon yang bentuknya tidak beraturan? Tidak ada rumus umum untuk luas bangun-bangun tersebut. Tapi jika dia digambarkan bidang koordinat, misalnya kertas kotak-kotak, lalu bagaimana cara mencari luas permukaan dalam kasus ini? Di sini mereka menggunakan metode yang tidak memerlukan pengukuran angka secara kasar. Mereka melakukan ini: jika mereka menemukan titik-titik yang berada di sudut sel atau memiliki koordinat bilangan bulat, maka hanya titik tersebut yang diperhitungkan. Untuk kemudian mengetahui luasnya, gunakan rumus yang telah dibuktikan oleh Peake. Jumlah titik yang terletak di dalam garis putus-putus harus dijumlahkan dengan setengah titik terletak di atasnya, dan dikurangi satu, yaitu dihitung sebagai berikut:
dimana B, G - masing-masing jumlah titik yang terletak di dalam dan di seluruh garis putus-putus.
Menghitung luas suatu bangun- ini mungkin salah satu yang paling banyak tugas yang kompleks teori wilayah. Di sekolah geometri diajarkan mencari luas bangun-bangun dasar geometri seperti misalnya segitiga, belah ketupat, persegi panjang, trapesium, lingkaran, dan lain-lain. Namun, Anda sering kali harus berurusan dengan penghitungan luas bangun yang lebih kompleks. Saat memecahkan masalah seperti itulah sangat mudah menggunakan kalkulus integral.
Definisi.
Trapesium lengkung menyebut suatu bangun G yang dibatasi oleh garis y = f(x), y = 0, x = a dan x = b, dan fungsi f(x) kontinu pada ruas [a; b] dan tidak mengubah tandanya (Gbr. 1). Luas trapesium lengkung dapat dilambangkan dengan S(G).
Integral pasti ʃ a b f(x)dx untuk fungsi f(x), yang kontinu dan non-negatif pada interval [a; b], dan merupakan luas trapesium lengkung yang bersesuaian.
Artinya, untuk mencari luas gambar G, dibatasi oleh garis y = f(x), y = 0, x = a dan x = b, maka perlu dihitung integral tentu ʃ a b f(x)dx.
Dengan demikian, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Jika fungsi y = f(x) tidak positif pada [a; b], maka luas trapesium lengkung dapat dicari dengan menggunakan rumus S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Contoh 1.
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x 3; kamu = 1; x = 2.
Larutan.
Garis-garis yang diberikan membentuk gambar ABC, yang ditunjukkan dengan mengarsir beras. 2.
Luas yang dibutuhkan sama dengan selisih luas trapesium lengkung DACE dan persegi DABE.
Dengan menggunakan rumus S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), kita mencari limit integrasi. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan sistem dua persamaan:
(kamu = x 3,
(kamu = 1.
Jadi, kita mempunyai x 1 = 1 – batas bawah dan x = 2 – batas atas.
Jadi, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (satuan persegi).
Jawaban: 11/4 persegi. unit
Contoh 2.
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = √x; kamu = 2; x = 9.
Larutan.
Garis-garis tertentu membentuk gambar ABC, yang di atasnya dibatasi oleh grafik fungsi
y = √x, dan di bawah ini adalah grafik fungsi y = 2. Gambar yang dihasilkan ditunjukkan dengan mengarsir di beras. 3.
Luas yang dibutuhkan adalah S = ʃ a b (√x – 2). Mari kita cari limit integrasi: b = 9, untuk mencari a, kita selesaikan sistem dua persamaan:
(y = √x,
(kamu = 2.
Jadi, kita mendapatkan x = 4 = a - ini adalah batas bawah.
Jadi, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (satuan persegi).
Jawaban: S = 2 2/3 persegi. unit
Contoh 3.
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x 3 – 4x; kamu = 0; x ≥ 0.
Larutan.
Mari kita gambarkan fungsi y = x 3 – 4x untuk x ≥ 0. Untuk melakukannya, carilah turunan y’:
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 pada x = ±2/√3 ≈ 1.1 – poin kritis.
Jika kita memplot titik-titik kritis pada garis bilangan dan menyusun tanda-tanda turunannya, kita menemukan bahwa fungsi tersebut berkurang dari nol menjadi 2/√3 dan meningkat dari 2/√3 hingga plus tak terhingga. Maka x = 2/√3 adalah titik minimum, nilai minimum fungsi y min = -16/(3√3) ≈ -3.
Mari kita tentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat:
jika x = 0, maka y = 0, artinya A(0; 0) adalah titik potong dengan sumbu Oy;
jika y = 0, maka x 3 – 4x = 0 atau x(x 2 – 4) = 0, atau x(x – 2)(x + 2) = 0, maka x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (tidak cocok, karena x ≥ 0).
Titik A(0; 0) dan B(2; 0) merupakan titik potong grafik dengan sumbu Ox.
Garis yang diberikan membentuk gambar OAB, yang ditunjukkan dengan mengarsir beras. 4.
Karena fungsi y = x 3 – 4x mengambil (0; 2) arti negatif, Itu
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Kita mempunyai: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, maka S = 4 persegi. unit
Jawaban: S = 4 persegi. unit
Contoh 4.
Tentukan luas bangun yang dibatasi parabola y = 2x 2 – 2x + 1, garis x = 0, y = 0 dan garis singgung parabola tersebut di titik yang absis x 0 = 2.
Larutan.
Pertama, kita buat persamaan garis singgung parabola y = 2x 2 – 2x + 1 di titik yang absisnya x₀ = 2.
Karena turunan y’ = 4x – 2, maka untuk x 0 = 2 diperoleh k = y’(2) = 6.
Mari kita cari ordinat titik singgungnya: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Oleh karena itu, persamaan tangennya berbentuk: y – 5 = 6(x – 2) atau y = 6x – 7.
Mari kita membuat bangun datar yang dibatasi oleh garis:
y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.
Г kamu = 2х 2 – 2х + 1 – parabola. Titik potong dengan sumbu koordinat: A(0; 1) – dengan sumbu Oy; dengan sumbu Sapi - tidak ada titik potong, karena persamaan 2x 2 – 2x + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian (D< 0). Найдем вершину параболы:
xb = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, yaitu titik puncak titik parabola B mempunyai koordinat B(1/2; 1/2).
Jadi, gambar yang luasnya perlu ditentukan ditunjukkan dengan cara diarsir beras. 5.
Kita mempunyai: S O A B D = S OABC – S ADBC.
Mari kita cari koordinat titik D dari kondisi:
6x – 7 = 0, yaitu x = 7/6, artinya DC = 2 – 7/6 = 5/6.
Kita mencari luas segitiga DBC menggunakan rumus S ADBC = 1/2 · DC · BC. Dengan demikian,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 persegi. unit
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (satuan persegi).
Akhirnya kita mendapatkan: S O A B D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (satuan persegi).
Jawaban: S = 1 1/4 persegi. unit
Kami telah melihat contohnya mencari luas bangun yang dibatasi oleh garis yang diberikan . Agar berhasil menyelesaikan masalah seperti itu, Anda harus mampu membuat garis dan grafik fungsi pada bidang, menemukan titik potong garis, menerapkan rumus untuk mencari luas, yang menyiratkan kemampuan menghitung integral tertentu.
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
