Hilangnya akar dan akar asing saat menyelesaikan persamaan

Institusi Pendidikan Kota “Sekolah Menengah No.2 dengan studi mendalam item individu" dari kota Vsevolozhsk. Pekerjaan penelitian disiapkan oleh siswa kelas 11B: Vasily Vasiliev. Manajer proyek: Egorova Lyudmila Alekseevna.

Persamaan Pertama, mari kita lihat berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan ini sinx+cosx =- 1

Penyelesaian No. 1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Jawaban: + 2

Penyelesaian No.2 sinx+cosx = - Jawaban ke-1: +2 y x 0 1 2 sincos+ - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tan =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Penyelesaian No.3 I y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Jawaban:

sinx+cosx =-1 Penyelesaian No. 4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Jawaban: - + 2 n

Mari kita bandingkan solusi Solusi yang benar Mari kita cari tahu dalam kasus apa akar asing dapat muncul dan mengapa No. 2 Jawaban: +2 No. 3 Jawaban: No. 4 Jawaban: + 2 n No. 1 Jawaban: +2

Memeriksa solusinya Apakah perlu dilakukan pengecekan? Haruskah saya memeriksa akarnya untuk berjaga-jaga, agar aman? Hal ini tentu saja berguna jika mudah untuk diganti, namun ahli matematika adalah orang yang rasional dan tidak melakukan hal-hal yang tidak perlu. Mari kita lihat berbagai kasus dan ingat kapan verifikasi benar-benar diperlukan.

1. Rumus siap pakai yang paling sederhana c osx =a x=a =a s inx =at gx =a Jika akar-akarnya ditemukan menggunakan rumus yang paling sederhana dan sudah jadi, pemeriksaan tidak perlu dilakukan. Namun, saat menggunakan rumus tersebut, Anda harus mengingat kondisi di mana rumus tersebut dapat digunakan. Misalnya rumus = dapat digunakan pada kondisi a 0, -4ac 0 Dan jawaban x= arccos2+2 untuk persamaan cosx =2 dianggap kesalahan besar, karena rumus x= arccos a +2 hanya dapat digunakan untuk akar-akar persamaan cosx =a, dimana | sebuah | 1

2. Transformasi Seringkali, ketika menyelesaikan persamaan, Anda harus melakukan banyak transformasi. Jika suatu persamaan diganti dengan persamaan baru yang mempunyai semua akar-akar persamaan sebelumnya, dan ditransformasikan sedemikian rupa sehingga tidak terjadi kehilangan atau perolehan akar-akarnya, maka persamaan tersebut disebut ekuivalen. 1. Saat memindahkan komponen persamaan dari satu bagian ke bagian lainnya. 2. Saat menjumlahkan angka yang sama pada kedua sisi. 3. Ketika kedua ruas persamaan dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama. 4. Saat menerapkan identitas yang benar di lokasi syuting semua bilangan real. Namun, verifikasi tidak diperlukan!

Namun, tidak semua persamaan dapat diselesaikan dengan transformasi ekuivalen. Lebih sering lagi perlu menerapkan transformasi yang tidak setara. Seringkali transformasi semacam itu didasarkan pada penggunaan rumus yang tidak berlaku untuk semua nilai riil. Dalam hal ini, khususnya, domain definisi persamaan berubah. Kesalahan ini ditemukan dalam solusi #4. Mari kita lihat kesalahannya, tapi pertama-tama mari kita lihat lagi solusi no.4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Kesalahannya terletak pada rumus sin2x= Rumus ini bisa digunakan, namun sebaiknya dicek juga apakah akar-akarnya berupa bilangan berbentuk + yang tgnya tidak terdefinisi. Sekarang jelas bahwa solusinya adalah hilangnya akar. Mari kita lihat sampai akhir.

Solusi No. 4 i y x 0 1 Mari kita periksa bilangan = + n dengan substitusi: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Jadi x= +2 n adalah akar persamaan Jawaban: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Kami melihat salah satu cara untuk kehilangan akar; ada banyak sekali cara dalam matematika, jadi Anda perlu menyelesaikannya dengan hati-hati, mengingat semua aturan. Sama seperti Anda bisa kehilangan akar persamaan, Anda juga bisa mendapatkan akar persamaan tambahan saat menyelesaikannya. Mari kita pertimbangkan solusi No. 3 di mana kesalahan seperti itu terjadi.

Solusi #3 I y x 0 1 2 2 dan akar tambahan! Akar asing dapat muncul jika kedua ruas persamaan dikuadratkan. Dalam hal ini, perlu dilakukan pemeriksaan. Untuk n=2k kita mempunyai sin k+cos k=-1; cos k=-1 untuk k=2m-1 , Maka n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Jawaban: +2 Untuk n=2k+1 kita mempunyai sin +cos =- 1 dosa(+ k)+ cos (+ k)=- 1 karena k-sin k=- 1 cos k=-1 pada k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= (4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x dosa2x=0 2x= x=

Jadi, kami melihat beberapa kemungkinan kasus, yang jumlahnya sangat banyak. Cobalah untuk tidak membuang waktu Anda dan membuat kesalahan bodoh.

Metode dasar untuk menyelesaikan persamaan

Apa solusi dari suatu persamaan?

Transformasi identik. Dasar

jenis transformasi identitas.

Akar asing. Kehilangan akar.

Memecahkan persamaan adalah proses yang terutama terdiri dari penggantian persamaan yang diberikan persamaan lain yang setara dengannya . Penggantian ini disebuttransformasi yang identik . Dasar transformasi identitas pengikut:

1.

Mengganti satu ekspresi dengan ekspresi lain yang identik dengannya. Misalnya persamaan (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 dapat diganti dengan persamaan berikut:9 X 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Memindahkan suku-suku suatu persamaan dari satu ruas ke ruas lainnya dengan tanda terbalik. Jadi, pada persamaan sebelumnya kita dapat memindahkan semua sukunya dari ruas kanan ke kiri dengan tanda “-”: 9 X 2 + 12 x+ 4 – 15 X - 10 = 0, setelah itu kita mendapatkan:9 X 2 – 3 X - 6 = 0 .

3.

Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan ekspresi (angka) yang sama selain nol. Ini sangat penting karenapersamaan baru mungkin tidak setara dengan persamaan sebelumnya jika persamaan yang kita kalikan atau bagi mungkin sama dengan nol.

CONTOH PersamaannyaX - 1 = 0 mempunyai akar tunggalx = 1.

Mengalikan kedua ruasnya denganX - 3 , kita mendapatkan persamaannya

( X - 1)( X - 3) = 0, yang memiliki dua akar:x = 1 danX = 3.

Nilai terakhir bukanlah akar persamaan yang diberikan

X - 1 = 0. Inilah yang disebutakar asing .

Sebaliknya, perpecahan dapat menyebabkankehilangan akar . Jadi

dalam kasus kami, jika (X - 1 )( X - 3 ) = 0 adalah aslinya

persamaan, lalu akarnyax = 3 akan hilang dalam pembagian

kedua sisi persamaan aktifX - 3 .

Pada persamaan terakhir (item 2), kita dapat membagi semua sukunya dengan 3 (bukan nol!) dan akhirnya mendapatkan:

3 X 2 - X - 2 = 0 .

Persamaan ini setara dengan persamaan aslinya:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

Bisanaikkan kedua ruas persamaan menjadi pangkat ganjil atauekstrak akar ganjil dari kedua sisi persamaan . Harus diingat bahwa:

a) konstruksi digelar genap dapat menyebabkanuntuk akuisisi akar asing ;

B)salah ekstraksibahkan akar dapat mengarah kehilangnya akar .

CONTOH. Persamaan 7X = 35 mempunyai satu akarX = 5 .

Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan ini, kita peroleh

persamaan:

49 X 2 = 1225 .

memiliki dua akar:X = 5 DanX = – 5. Nilai terakhir

adalah akar asing.

Salah ekstraksi akar pangkat dua dari keduanya

bagian persamaan 49X 2 = 1225 hasil dalam 7X = 35,

dan kita kehilangan akar kitaX = – 5.

Benar mengambil hasil akar kuadrat

persamaan: | 7X | = 35, A karenanya menjadi dua kasus:

1) 7 X = 35, KemudianX = 5 ; 2) – 7 X = 35, KemudianX = – 5 .

Oleh karena itu, kapanbenar mengekstraksi persegi

akar kita tidak kehilangan akar persamaannya.

Apa artinyaBenar ekstrak akarnya? Di sinilah kita bertemu

dengan konsep yang sangat pentingakar aritmatika

(cm. ).

GIGI. Gigi vertebrata memiliki struktur dan perkembangan yang sangat mirip dengan sisik plakoid yang menutupi seluruh kulit ikan hiu. Karena seluruh rongga mulut, dan sebagian rongga faring, dilapisi dengan epitel ektodermal, suatu plasoid yang khas... ...

TUBERKULOSIS PARU-PARU- TUBERKULOSIS PARU-PARU. Isi: I. Anatomi patologis...........110 II. Klasifikasi tuberkulosis paru.... 124 III. Klinik................................128 IV. Diagnostik.................160 V. Prognosis.................. .......... 190 VI. Perlakuan … Ensiklopedia Kedokteran Hebat

PERACUNAN- RACUN. Keracunan berarti “gangguan fungsi hewan”. organisme yang disebabkan oleh zat aktif eksogen atau endogen, baik secara kimia maupun fisika dan kimia, yang asing baik mutunya, kuantitasnya maupun konsentrasinya... ... Ensiklopedia Kedokteran Hebat

Bakteri bintil kacang-kacangan- Data paleontologi menunjukkan bahwa tanaman polong-polongan paling purba yang mempunyai bintil-bintil adalah beberapa tumbuhan yang termasuk dalam kelompok Eucaesalpinioideae. kamu spesies modern ditemukan bintil tanaman polong-polongan... Ensiklopedia biologi

Daftar episode serial animasi "Luntik"- Artikel ini tidak memiliki tautan ke sumber informasi. Informasi harus dapat diverifikasi, jika tidak maka informasi tersebut dapat dipertanyakan dan dihapus. Anda bisa... Wikipedia

TANAMAN DAN LINGKUNGAN- Kehidupan tumbuhan, seperti organisme hidup lainnya, merupakan serangkaian proses kompleks yang saling terkait; yang paling penting, seperti diketahui, adalah metabolisme dengan lingkungan. Lingkungan adalah sumber dari mana... ... Ensiklopedia biologi

Daftar episode serial "Luntik"- Artikel utama: Petualangan Luntik dan kawan-kawan Isi 1 Jumlah episode 2 Daftar episode serial animasi Luntik dan kawan-kawan ... Wikipedia

Penyakit pohon buah-buahan- Pohon buah-buahan, berkat perawatan manusia yang terus-menerus terhadapnya, seharusnya mencapai usia yang jauh lebih tua daripada kerabatnya yang tidak dibudidayakan, jika bukan karena pengaruh yang berlawanan dari banyak kondisi budaya itu sendiri, yaitu tuntutan yang kita buat... ...

Penebangan hutan- Pemanenan hutan, atau pengambilan hasil hutan berupa kayu dan kulit kayu, dapat dilakukan dengan dua cara: dengan menggali atau mencabut seluruh pohon, yaitu batang beserta akarnya, atau secara terpisah, sebagian, terlebih dahulu ditebang, atau dibuang. dari... ... kamus ensiklopedis F. Brockhaus dan I.A. Efron

Mengerikan- Koin (grosz Polandia, dari Groschen Jerman, dari bahasa Latin grossus (dēnārius) “denarius tebal”) dari berbagai negara dan waktu. Isi 1 Munculnya satu sen ... Wikipedia

koin AS- 20 dolar Saint Gaudens koin AS yang paling indah dan mahal Koin AS adalah koin yang dicetak di US Mint. Diproduksi sejak 1792... Wikipedia

Buku

  • Penyebab utama rambut rontok pada wanita, Alexei Michman, Enam dari sepuluh wanita menderita rambut rontok pada suatu saat dalam hidup mereka. Rambut rontok bisa terjadi karena beberapa sebab, seperti faktor keturunan, perubahan hormonal... Kategori:

Transformasi berikut paling sering digunakan saat menyelesaikan persamaan:

Transformasi lainnya

Dalam daftar yang disajikan pada paragraf sebelumnya, kami sengaja tidak memasukkan transformasi seperti menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat alami yang sama, logaritma, mempotensiasi kedua ruas persamaan, mengekstraksi akar pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan. persamaan, melepaskan fungsi eksternal, dan lain-lain. Faktanya adalah bahwa transformasi ini tidak begitu umum: transformasi dari daftar di atas digunakan untuk menyelesaikan semua jenis persamaan, dan transformasi yang baru saja disebutkan digunakan untuk menyelesaikan jenis persamaan tertentu (irasional, eksponensial, logaritmik, dll.). Mereka dibahas secara rinci dalam kerangka metode yang relevan untuk menyelesaikan jenis persamaan yang sesuai. Berikut tautan ke deskripsi detailnya:

  • Menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat alami yang sama.
  • Mengambil logaritma dari kedua ruas persamaan.
  • Mempotensiasi kedua sisi persamaan.
  • Mengekstraksi akar pangkat yang sama dari kedua sisi persamaan.
  • Mengganti ekspresi yang bersesuaian dengan salah satu bagian persamaan asli dengan ekspresi dari bagian lain persamaan asli.

Tautan yang disediakan berisi informasi lengkap tentang transformasi yang terdaftar. Oleh karena itu, kami tidak akan membahasnya lagi di artikel ini. Semua informasi selanjutnya berlaku untuk transformasi dari daftar transformasi dasar.

Apa yang terjadi akibat transformasi persamaan tersebut?

Melakukan semua transformasi di atas dapat menghasilkan persamaan yang memiliki akar-akar yang sama dengan persamaan aslinya, atau persamaan yang akar-akarnya memuat semua akar-akar persamaan asli, tetapi mungkin juga mempunyai akar-akar lain, atau persamaan yang akar-akarnya tidak sama. mencakup semua akar persamaan yang ditransformasikan. Dalam paragraf berikut kita akan menganalisis transformasi mana, dalam kondisi apa, yang menghasilkan persamaan apa. Hal ini sangat penting untuk diketahui agar berhasil menyelesaikan persamaan.

Transformasi persamaan yang setara

Yang menarik adalah transformasi persamaan yang menghasilkan persamaan ekuivalen, yaitu persamaan yang mempunyai himpunan akar-akar yang sama dengan persamaan aslinya. Transformasi seperti ini disebut transformasi yang setara. DI DALAM buku pelajaran sekolah definisi terkait tidak diberikan secara eksplisit, tetapi mudah dibaca dari konteksnya:

Definisi

Transformasi persamaan yang setara adalah transformasi yang memberikan persamaan ekuivalen.

Jadi mengapa transformasi ekuivalen menarik? Faktanya adalah jika dengan bantuan mereka dimungkinkan untuk mengubah persamaan yang sedang diselesaikan menjadi persamaan ekuivalen yang cukup sederhana, maka penyelesaian persamaan ini akan memberikan solusi yang diinginkan untuk persamaan aslinya.

Dari transformasi yang tercantum pada paragraf sebelumnya, tidak semuanya selalu setara. Beberapa transformasi hanya ekuivalen dalam kondisi tertentu. Mari kita buat daftar pernyataan yang menentukan transformasi mana dan dalam kondisi apa yang merupakan transformasi persamaan yang ekuivalen. Untuk melakukan ini, kami akan mengambil daftar di atas sebagai dasar, dan untuk transformasi yang tidak selalu setara, kami akan menambahkan kondisi yang memberikan kesetaraan. Berikut daftarnya:

  • Mengganti ekspresi di sisi kiri atau kanan persamaan dengan ekspresi yang tidak mengubah variabel persamaan tersebut merupakan transformasi ekuivalen dari persamaan tersebut.

Mari kita jelaskan mengapa demikian. Untuk melakukan ini, kita mengambil persamaan dengan satu variabel (penalaran serupa dapat dilakukan untuk persamaan dengan beberapa variabel) dalam bentuk A(x)=B(x), kita menyatakan ekspresi di sisi kiri dan kanannya sebagai A( x) dan B(x), masing-masing. Misalkan ekspresi C(x) identik dengan ekspresi A(x), dan ODZ variabel x dari persamaan C(x)=B(x) bertepatan dengan ODZ variabel x untuk persamaan awal. Mari kita buktikan bahwa transformasi persamaan A(x)=B(x) menjadi persamaan C(x)=B(x) merupakan transformasi ekuivalen, yaitu kita buktikan persamaan A(x)=B (x) dan C(x) =B(x) ekuivalen.

Untuk melakukan ini, cukup dengan menunjukkan bahwa setiap akar persamaan awal adalah akar persamaan C(x)=B(x), dan setiap akar persamaan C(x)=B(x) adalah akar dari persamaan aslinya.

Mari kita mulai dengan bagian pertama. Misalkan q adalah akar persamaan A(x)=B(x), maka jika kita mensubstitusikannya dengan x kita akan mendapatkan persamaan numerik yang benar A(q)=B(q). Karena ekspresi A(x) dan C(x) sama persis dan ekspresi C(q) masuk akal (hal ini mengikuti kondisi bahwa OD untuk persamaan C(x)=B(x) bertepatan dengan OD untuk persamaan aslinya) , maka persamaan numerik A(q)=C(q) benar. Selanjutnya kita menggunakan properti persamaan numerik. Karena sifat simetri, persamaan A(q)=C(q) dapat ditulis ulang menjadi C(q)=A(q) . Kemudian, karena sifat transitivitas, persamaan C(q)=A(q) dan A(q)=B(q) menyiratkan persamaan C(q)=B(q). Ini membuktikan bahwa q adalah akar persamaan C(x)=B(x) .

Bagian kedua, dan dengan itu seluruh pernyataan secara keseluruhan, dibuktikan dengan cara yang sangat analog.

Inti dari transformasi ekuivalen yang dianalisis adalah sebagai berikut: ini memungkinkan Anda untuk bekerja secara terpisah dengan ekspresi di sisi kiri dan kanan persamaan, menggantinya dengan ekspresi identik yang sama pada ODZ variabel asli.

Contoh paling umum: kita bisa mengganti jumlah bilangan di ruas kanan persamaan x=2+1 dengan nilainya, yang akan menghasilkan persamaan ekuivalen berbentuk x=3. Memang benar, kami mengganti ekspresi 2+1 dengan ekspresi 3 yang identik, dan ODZ persamaan tersebut tidak berubah. Contoh lain: di ruas kiri persamaan 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 kita bisa, dan di ruas kanan – , yang akan membawa kita ke persamaan ekuivalen 3·x+ 6=5·x+ 3. Persamaan yang dihasilkan memang ekuivalen, karena kita mengganti ekspresi tersebut dengan ekspresi yang identik sama dan sekaligus memperoleh persamaan yang memiliki OD yang sama dengan OD persamaan aslinya.

  • Menjumlahkan bilangan yang sama pada kedua ruas persamaan atau mengurangkan bilangan yang sama pada kedua ruas persamaan merupakan transformasi ekuivalen dari persamaan tersebut.

Mari kita buktikan bahwa menambahkan bilangan c yang sama ke kedua ruas persamaan A(x)=B(x) menghasilkan persamaan ekuivalen A(x)+c=B(x)+c dan mengurangkan kedua ruas persamaan A(x) =B(x) dengan bilangan yang sama c menghasilkan persamaan ekuivalen A(x)−c=B(x)−c.

Misalkan q adalah akar persamaan A(x)=B(x), maka persamaan A(q)=B(q) benar. Sifat-sifat persamaan numerik memungkinkan kita untuk menjumlahkan kedua ruas persamaan numerik yang sebenarnya atau mengurangkan bilangan yang sama dari bagian-bagiannya. Mari kita nyatakan bilangan ini sebagai c, maka persamaan A(q)+c=B(q)+c dan A(q)−c=B(q)−c adalah valid. Dari persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa q adalah akar persamaan A(x)+c=B(x)+c dan persamaan A(x)−c=B(x)−c.

Sekarang kembali. Misalkan q adalah akar persamaan A(x)+c=B(x)+c dan persamaan A(x)−c=B(x)−c, maka A(q)+c=B(q) +c dan A (q)−c=B(q)−c . Kita tahu bahwa mengurangkan bilangan yang sama pada kedua ruas persamaan numerik yang sebenarnya akan menghasilkan persamaan numerik yang benar. Kita juga tahu bahwa menambahkan persamaan numerik yang benar pada kedua ruas akan menghasilkan persamaan numerik yang benar. Mari kita kurangi bilangan c dari kedua ruas persamaan numerik yang benar A(q)+c=B(q)+c, dan tambahkan bilangan c ke kedua ruas persamaan A(x)−c=B(x) −c. Ini akan memberi kita persamaan numerik yang benar A(q)+c−c=B(q)+c−c dan A(q)−c+c=B(q)+c−c, yang darinya kita menyimpulkan bahwa A (q) =B(q) . Dari persamaan terakhir dapat disimpulkan bahwa q adalah akar persamaan A(x)=B(x) .

Ini membuktikan pernyataan asli secara keseluruhan.

Mari kita beri contoh transformasi persamaan tersebut. Mari kita ambil persamaan x−3=1, dan transformasikan dengan menambahkan angka 3 pada kedua ruas, setelah itu kita mendapatkan persamaan x−3+3=1+3, yang setara dengan persamaan aslinya. Jelas bahwa dalam persamaan yang dihasilkan Anda dapat melakukan operasi dengan angka, seperti yang kita bahas di item sebelumnya dalam daftar, sebagai hasilnya kita memiliki persamaan x=4. Jadi, dengan melakukan transformasi ekuivalen, kita secara tidak sengaja menyelesaikan persamaan x−3=1, akarnya adalah bilangan 4. Transformasi yang dianggap setara sangat sering digunakan untuk menghilangkan suku-suku numerik identik yang terletak di berbagai bagian persamaan. Misalnya, di ruas kiri dan kanan persamaan x 2 +1=x+1 terdapat suku yang sama 1, mengurangkan angka 1 dari kedua ruas persamaan memungkinkan kita beralih ke persamaan ekuivalen x 2 + 1−1=x+1−1 dan selanjutnya ke persamaan ekuivalen x 2 =x, dan dengan demikian singkirkan suku-suku identik ini.

  • Menambah kedua ruas persamaan atau mengurangkan kedua ruas persamaan suatu ekspresi yang ODZ-nya tidak lebih sempit dari ODZ persamaan aslinya merupakan transformasi ekuivalen.

Mari kita buktikan pernyataan ini. Artinya, kita buktikan bahwa persamaan A(x)=B(x) dan A(x)+C(x)=B(x)+C(x) adalah ekuivalen, asalkan ODZ untuk ekspresi C(x ) belum , dibandingkan ODZ untuk persamaan A(x)=B(x) .

Pertama kita buktikan satu poin tambahan. Mari kita buktikan bahwa, pada kondisi tertentu, persamaan OD sebelum dan sesudah transformasi adalah sama. Memang benar, ODZ untuk persamaan A(x)+C(x)=B(x)+C(x) dapat dianggap sebagai perpotongan ODZ untuk persamaan A(x)=B(x) dan ODZ untuk ekspresi C(x) . Dari sini dan fakta bahwa ODZ untuk ekspresi C(x) tidak lebih sempit dengan syarat dibandingkan ODZ untuk persamaan A(x)=B(x), maka ODZ untuk persamaan A(x)= B(x) dan A (x)+C(x)=B(x)+C(x) adalah sama.

Sekarang kita akan membuktikan kesetaraan persamaan A(x)=B(x) dan A(x)+C(x)=B(x)+C(x), asalkan rentang nilai yang dapat diterima untuk persamaan tersebut persamaannya sama. Kami tidak akan memberikan bukti kesetaraan persamaan A(x)=B(x) dan A(x)−C(x)=B(x)−C(x) pada kondisi yang ditentukan, karena serupa .

Misalkan q adalah akar persamaan A(x)=B(x), maka persamaan numerik A(q)=B(q) benar. Karena ODZ dari persamaan A(x)=B(x) dan A(x)+C(x)=B(x)+C(x) adalah sama, maka ekspresi C(x) masuk akal di x =q, artinya C(q) adalah suatu bilangan. Jika Anda menambahkan C(q) ke kedua sisi persamaan numerik yang benar A(q)=B(q) , maka ini akan menghasilkan persamaan numerik yang benar ketimpangan numerik A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , maka q adalah akar persamaan A(x)+C(x)=B(x)+C(x ) .

Kembali. Misalkan q adalah akar persamaan A(x)+C(x)=B(x)+C(x), maka A(q)+C(q)=B(q)+C(q) adalah a persamaan numerik yang sebenarnya. Kita tahu bahwa mengurangkan bilangan yang sama pada kedua ruas persamaan numerik yang sebenarnya akan menghasilkan persamaan numerik yang benar. Kurangi C(q) dari kedua sisi persamaan A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , ini menghasilkan SEBUAH(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q) dan selanjutnya A(q)=B(q) . Oleh karena itu, q adalah akar persamaan A(x)=B(x) .

Dengan demikian, pernyataan yang dimaksud terbukti sepenuhnya.

Mari kita beri contoh transformasi ini. Mari kita ambil persamaan 2 x+1=5 x+2. Kita dapat menambahkan pada kedua ruas, misalnya ekspresi −x−1. Menambahkan ekspresi ini tidak akan mengubah ODZ, yang berarti transformasi tersebut setara. Sebagai hasilnya, kita memperoleh persamaan yang setara 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Persamaan ini dapat diubah lebih lanjut: buka tanda kurung dan kurangi suku-suku serupa di sisi kiri dan kanannya (lihat item pertama dalam daftar). Setelah melakukan tindakan ini, kita memperoleh persamaan ekuivalen x=4·x+1. Transformasi persamaan yang sering dibahas digunakan untuk menghilangkan suku-suku identik yang berada di ruas kiri dan kanan persamaan secara bersamaan.

  • Jika Anda memindahkan suatu suku dalam suatu persamaan dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tanda suku tersebut menjadi kebalikannya, Anda akan mendapatkan persamaan yang setara dengan persamaan yang diberikan.

Pernyataan ini merupakan konsekuensi dari pernyataan sebelumnya.

Mari kita tunjukkan bagaimana transformasi persamaan yang setara ini dilakukan. Mari kita ambil persamaan 3·x−1=2·x+3. Mari kita pindahkan sukunya, misalnya 2 x dari ruas kanan ke kiri, ubah tandanya. Dalam hal ini, kita memperoleh persamaan ekuivalen 3·x−1−2·x=3. Anda juga dapat memindahkan minus satu dari ruas kiri persamaan ke kanan, mengubah tandanya menjadi plus: 3 x−2 x=3+1. Terakhir, membawa suku-suku serupa membawa kita ke persamaan ekuivalen x=4.

  • Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol yang sama merupakan transformasi ekuivalen.

Mari kita beri bukti.

Misalkan A(x)=B(x) adalah suatu persamaan dan c adalah suatu bilangan selain nol. Mari kita buktikan bahwa mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan A(x)=B(x) dengan bilangan c merupakan transformasi ekuivalen dari persamaan tersebut. Untuk melakukannya, kita buktikan bahwa persamaan A(x)=B(x) dan A(x) c=B(x) c, serta persamaan A(x)=B(x) dan A(x) :c= B(x):c - setara. Caranya: buktikan bahwa sembarang akar persamaan A(x)=B(x) adalah akar persamaan A(x) c=B(x) c dan akar persamaan A(x) :c=B(x) :c , lalu buktikan bahwa sembarang akar persamaan A(x) c=B(x) c , seperti akar persamaan A(x):c=B(x):c , adalah akar persamaan A(x) =B(x) . Ayo lakukan.

Misalkan q adalah akar persamaan A(x)=B(x) . Maka persamaan numerik A(q)=B(q) benar. Setelah mempelajari sifat-sifat persamaan numerik, kita belajar bahwa mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan numerik yang sebenarnya dengan angka yang sama selain nol akan menghasilkan persamaan numerik yang sebenarnya. Mengalikan kedua ruas persamaan A(q)=B(q) dengan c, kita memperoleh persamaan numerik yang benar A(q) c=B(q) c, sehingga q adalah akar persamaan A( x) c= B(x)·c . Dan dengan membagi kedua ruas persamaan A(q)=B(q) dengan c, kita memperoleh persamaan numerik yang benar A(q):c=B(q):c, sehingga q adalah akar dari persamaan A(x):c =B(x):c .

Sekarang ke arah lain. Misalkan q adalah akar persamaan A(x) c=B(x) c. Maka A(q)·c=B(q)·c adalah persamaan numerik yang sebenarnya. Membagi kedua bagiannya dengan bilangan bukan nol c, kita memperoleh persamaan numerik yang benar A(q)·c:c=B(q)·c:c dan selanjutnya A(q)=B(q) . Oleh karena itu q adalah akar persamaan A(x)=B(x) . Jika q adalah akar persamaan A(x):c=B(x):c . Maka A(q):c=B(q):c adalah persamaan numerik yang sebenarnya. Mengalikan kedua bagiannya dengan bilangan bukan nol c, kita memperoleh persamaan numerik yang benar A(q):c·c=B(q):c·c dan selanjutnya A(q)=B(q) . Oleh karena itu q adalah akar persamaan A(x)=B(x) .

Pernyataan itu terbukti.

Mari kita beri contoh transformasi ini. Dengan bantuannya, Anda dapat, misalnya, menghilangkan pecahan dalam persamaan. Untuk melakukannya, Anda dapat mengalikan kedua ruas persamaan dengan 12. Hasilnya adalah persamaan bentuk yang setara , yang kemudian dapat diubah menjadi persamaan ekuivalen 7 x−3=10, yang tidak mengandung pecahan dalam notasinya.

  • Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan ekspresi yang sama, OD yang tidak lebih sempit dari OD persamaan asli dan tidak hilang dengan OD persamaan asli, merupakan transformasi ekuivalen.

Mari kita buktikan pernyataan ini. Untuk melakukan ini, kita buktikan bahwa jika ODZ untuk ekspresi C(x) tidak lebih sempit dari ODZ untuk persamaan A(x)=B(x), dan C(x) tidak hilang pada ODZ untuk persamaan tersebut A(x)=B( x) , maka persamaan A(x)=B(x) dan A(x) C(x)=B(x) C(x), serta persamaan A(x) =B(x) dan A( x):C(x)=B(x):C(x) - setara.

Misalkan q adalah akar persamaan A(x)=B(x) . Maka A(q)=B(q) adalah persamaan numerik yang sebenarnya. Berdasarkan fakta bahwa ODZ untuk ekspresi C(x) tidak sama dengan ODZ untuk persamaan A(x)=B(x), maka ekspresi C(x) masuk akal jika x=q. Artinya C(q) adalah suatu bilangan. Selain itu, C(q) bukan nol, yang berarti ekspresi C(x) tidak hilang. Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan A(q)=B(q) dengan bilangan bukan nol C(q), hasilnya adalah persamaan numerik yang benar A(q)·C(q)=B(q)· C(q) , maka q adalah akar persamaan A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Jika kita membagi kedua ruas persamaan A(q)=B(q) dengan bilangan bukan nol C(q), maka diperoleh persamaan numerik yang benar A(q):C(q)=B(q): C(q) , maka q adalah akar persamaan A(x):C(x)=B(x):C(x) .

Kembali. Misalkan q adalah akar persamaan A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Maka A(q)·C(q)=B(q)·C(q) adalah persamaan numerik yang sebenarnya. Perhatikan bahwa ODZ untuk persamaan A(x) C(x)=B(x) C(x) sama dengan ODZ untuk persamaan A(x)=B(x) (kami membenarkan hal ini di salah satu paragraf sebelumnya daftar saat ini). Karena C(x) dengan syarat tidak hilang pada ODZ untuk persamaan A(x)=B(x), maka C(q) adalah bilangan bukan nol. Membagi kedua ruas persamaan A(q) C(q)=B(q) C(q) dengan bilangan bukan nol C(q) kita memperoleh persamaan numerik yang benar A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q) dan selanjutnya A(q)=B(q) . Oleh karena itu q adalah akar persamaan A(x)=B(x) . Jika q adalah akar persamaan A(x):C(x)=B(x):C(x) . Maka A(q):C(q)=B(q):C(q) adalah persamaan numerik yang sebenarnya. Mengalikan kedua ruas persamaan A(q):C(q)=B(q):C(q) dengan bilangan bukan nol C(q) kita memperoleh persamaan numerik yang benar A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q) dan selanjutnya A(q)=B(q) . Oleh karena itu q adalah akar persamaan A(x)=B(x) .

Pernyataan itu terbukti.

Untuk lebih jelasnya, kami memberikan contoh melakukan transformasi yang dibongkar. Mari kita bagi kedua ruas persamaan x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) dengan ekspresi x 2 +1. Transformasi ini ekuivalen, karena ekspresi x 2 +1 tidak hilang pada OD persamaan asli dan OD ekspresi ini tidak lebih sempit dari OD persamaan asli. Sebagai hasil dari transformasi ini, kita memperoleh persamaan ekuivalen x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), yang selanjutnya dapat diubah menjadi persamaan ekuivalen x 3 =8.

Transformasi yang mengarah ke persamaan akibat wajar

Pada paragraf sebelumnya, kita telah memeriksa transformasi mana dari daftar transformasi dasar dan dalam kondisi apa yang ekuivalen. Sekarang mari kita lihat transformasi mana yang dan dalam kondisi apa yang menghasilkan persamaan akibat wajar, yaitu persamaan yang memuat semua akar persamaan yang ditransformasikan, tetapi selain persamaan tersebut, mungkin juga terdapat akar-akar lain - akar-akar asing untuk persamaan aslinya.

Transformasi yang mengarah pada persamaan akibat wajar dibutuhkan tidak kurang dari transformasi yang setara. Jika dengan bantuan mereka dimungkinkan untuk memperoleh persamaan yang penyelesaiannya cukup sederhana, maka penyelesaiannya dan eliminasi akar-akar asing selanjutnya akan memberikan solusi terhadap persamaan aslinya.

Perhatikan bahwa semua transformasi ekuivalen dapat dianggap sebagai kasus khusus dari transformasi yang menghasilkan persamaan akibat wajar. Hal ini dapat dimaklumi, karena ada persamaan yang setara kasus spesial persamaan konsekuensi. Namun dari sudut pandang praktis, akan lebih berguna untuk mengetahui bahwa transformasi yang dipertimbangkan adalah ekuivalen, dan tidak mengarah pada persamaan akibat wajar. Mari kita jelaskan mengapa demikian. Jika kita mengetahui bahwa transformasinya ekuivalen, maka persamaan yang dihasilkan pasti tidak mempunyai akar-akar yang asing dengan persamaan aslinya. Dan transformasi yang mengarah ke persamaan akibat wajar mungkin menjadi penyebab munculnya akar-akar asing, yang mengharuskan kita di masa depan untuk melakukan tindakan tambahan - menyaring akar-akar asing. Oleh karena itu, pada bagian artikel ini kita akan fokus pada transformasi, yang mengakibatkan munculnya akar-akar asing untuk persamaan aslinya. Dan sangat penting untuk dapat membedakan transformasi tersebut dari transformasi setara untuk memahami dengan jelas kapan perlu menyaring akar asing, dan kapan tidak diperlukan.

Mari kita menganalisis seluruh daftar transformasi dasar persamaan yang diberikan di paragraf kedua artikel ini untuk mencari transformasi yang dapat mengakibatkan munculnya akar-akar asing.

  • Mengganti ekspresi di ruas kiri dan kanan persamaan dengan ekspresi yang identik sama.

Kami telah membuktikan bahwa transformasi ini setara jika implementasinya tidak mengubah OD. Dan jika DL berubah, apa yang akan terjadi? Penyempitan ODZ dapat mengakibatkan hilangnya akar, hal ini akan dibahas lebih detail pada paragraf berikutnya. Dan dengan perluasan ODZ, akar asing mungkin muncul. Tidak sulit untuk membenarkan hal ini. Mari kita sajikan alasan yang sesuai.

Misalkan ekspresi C(x) sedemikian rupa sehingga sama dengan ekspresi A(x) dan OD untuk persamaan C(x)=B(x) lebih lebar daripada OD untuk persamaan A(x)=B (X). Mari kita buktikan bahwa persamaan C(x)=B(x) merupakan konsekuensi dari persamaan A(x)=B(x), dan di antara akar-akar persamaan C(x)=B(x) mungkin terdapat menjadi akar-akar yang asing pada persamaan A( x)=B(x) .

Misalkan q adalah akar persamaan A(x)=B(x) . Maka A(q)=B(q) adalah persamaan numerik yang sebenarnya. Karena ODZ untuk persamaan C(x)=B(x) lebih lebar daripada ODZ untuk persamaan A(x)=B(x), maka ekspresi C(x) didefinisikan di x=q. Kemudian, dengan mempertimbangkan persamaan identik dari ekspresi C(x) dan A(x) , kami menyimpulkan bahwa C(q)=A(q) . Dari persamaan C(q)=A(q) dan A(q)=B(q), karena sifat transitivitas, persamaan C(q)=B(q) mengikuti. Dari persamaan ini dapat disimpulkan bahwa q adalah akar persamaan C(x)=B(x) . Hal ini membuktikan bahwa pada kondisi tertentu persamaan C(x)=B(x) merupakan konsekuensi dari persamaan A(x)=B(x) .

Perlu dibuktikan bahwa persamaan C(x)=B(x) mempunyai akar-akar yang berbeda dengan akar-akar persamaan A(x)=B(x). Mari kita buktikan bahwa setiap akar persamaan C(x)=B(x) dari ODZ untuk persamaan A(x)=B(x) adalah akar persamaan A(x)=B(x). Jalur p adalah akar persamaan C(x)=B(x), termasuk dalam ODZ untuk persamaan A(x)=B(x). Maka C(p)=B(p) adalah persamaan numerik yang sebenarnya. Karena p termasuk dalam ODZ untuk persamaan A(x)=B(x), maka ekspresi A(x) didefinisikan untuk x=p. Dari sini dan dari persamaan identik ekspresi A(x) dan C(x) maka A(p)=C(p) . Dari persamaan A(p)=C(p) dan C(p)=B(p), karena sifat transitivitas, maka A(p)=B(p), yang berarti p adalah akar dari persamaan A(x)= B(x) . Hal ini membuktikan bahwa setiap akar persamaan C(x)=B(x) dari ODZ persamaan A(x)=B(x) adalah akar persamaan A(x)=B(x). Dengan kata lain, pada ODZ persamaan A(x)=B(x) tidak boleh terdapat akar-akar persamaan C(x)=B(x), yang merupakan akar-akar asing dari persamaan A(x)=B( X). Namun sesuai kondisi, ODZ persamaan C(x)=B(x) lebih lebar dibandingkan ODZ persamaan A(x)=B(x). Dan hal ini memungkinkan adanya bilangan r yang termasuk dalam ODZ untuk persamaan C(x)=B(x) dan bukan termasuk dalam ODZ untuk persamaan A(x)=B(x), yang merupakan akar dari persamaan C(x)=B(x). Artinya, persamaan C(x)=B(x) mungkin mempunyai akar-akar asing dari persamaan A(x)=B(x), dan semuanya termasuk dalam himpunan yang ODZ untuk persamaan A (x)=B diperpanjang (x) ketika mengganti ekspresi A(x) di dalamnya dengan ekspresi yang sama identik C(x).

Jadi, mengganti ekspresi di sisi kiri dan kanan persamaan dengan ekspresi yang identik sama, yang mengakibatkan ODZ diperluas, dalam kasus umum mengarah ke persamaan akibat wajar (yaitu, dapat menyebabkan munculnya persamaan asing. akar) dan hanya dalam kasus tertentu mengarah ke persamaan ekuivalen (jika persamaan yang dihasilkan tidak mempunyai akar-akar yang asing dengan persamaan aslinya).

Mari kita beri contoh melakukan transformasi yang diurai. Mengganti ekspresi di sisi kiri persamaan identik dengannya dengan ekspresi x·(x−1) mengarah ke persamaan x·(x−1)=0, dalam hal ini terjadi perluasan ODZ - angka 0 ditambahkan ke dalamnya. Persamaan yang dihasilkan memiliki dua akar 0 dan 1, dan mensubstitusikan akar-akar tersebut ke dalam persamaan asli menunjukkan bahwa 0 adalah akar asing dari persamaan asli, dan 1 adalah akar persamaan asli. Memang benar, mengganti nol ke dalam persamaan awal menghasilkan ekspresi yang tidak berarti , karena mengandung pembagian dengan nol, dan mengganti satu akan menghasilkan persamaan numerik yang benar , yang sama dengan 0=0 .

Perhatikan bahwa transformasi serupa dari persamaan serupa ke dalam persamaan (x−1)·(x−2)=0, akibatnya ODZ juga mengembang, tidak menyebabkan munculnya akar asing. Memang benar, kedua akar persamaan yang dihasilkan (x−1)·(x−2)=0 - angka 1 dan 2, merupakan akar persamaan awal, yang mudah diverifikasi dengan memeriksa melalui substitusi. Dengan contoh-contoh ini, kami sekali lagi ingin menekankan bahwa mengganti ekspresi di sisi kiri atau kanan persamaan dengan ekspresi identik yang sama, yang memperluas ODZ, tidak serta merta menyebabkan munculnya akar asing. Tapi itu juga bisa menyebabkan kemunculannya. Jadi, jika transformasi seperti itu terjadi dalam proses penyelesaian persamaan, maka perlu dilakukan pemeriksaan untuk mengidentifikasi dan menyaring akar-akar asing.

Paling sering, ODZ suatu persamaan dapat meluas dan akar-akar asing dapat muncul karena penggantian dengan nol selisih ekspresi identik atau jumlah ekspresi dengan tanda yang berlawanan, karena penggantian dengan nol produk dengan satu atau lebih faktor nol. , karena pengurangan pecahan dan karena penggunaan sifat-sifat akar, pangkat, logaritma, dll.

  • Menjumlahkan bilangan yang sama pada kedua ruas persamaan atau mengurangkan bilangan yang sama pada kedua ruas persamaan.

Telah kita tunjukkan di atas bahwa transformasi ini selalu ekuivalen, yaitu menghasilkan persamaan yang ekuivalen. Teruskan.

  • Menjumlahkan persamaan yang sama pada kedua ruas persamaan atau mengurangkan persamaan yang sama pada kedua ruas persamaan.

Pada paragraf sebelumnya, kita menambahkan syarat bahwa OD untuk ekspresi yang dijumlahkan atau dikurangkan tidak boleh lebih sempit dari OD untuk persamaan yang ditransformasikan. Kondisi ini membuat transformasi yang dimaksud menjadi ekuivalen. Di sini terdapat argumen serupa dengan yang diberikan di awal paragraf artikel ini mengenai fakta bahwa persamaan ekuivalen adalah kasus khusus dari persamaan akibat wajar dan bahwa pengetahuan tentang ekivalensi suatu transformasi secara praktis adalah ilmunya lebih bermanfaat tentang transformasi yang sama, tetapi dari sudut pandang fakta bahwa hal itu mengarah pada persamaan-konsekuensi.

Apakah mungkin, dengan menjumlahkan atau mengurangkan persamaan yang sama pada kedua ruas persamaan, memperoleh persamaan yang, selain semua akar persamaan awal, akan mempunyai akar-akar lain? Tidak, dia tidak bisa. Jika ODZ persamaan yang ditambah atau dikurangi tidak lebih sempit dari ODZ persamaan asal, maka hasil penjumlahan atau pengurangan akan diperoleh persamaan ekuivalen. Jika ODZ untuk ekspresi yang dijumlahkan atau dikurangkan lebih sempit dari ODZ persamaan aslinya, maka hal ini dapat menyebabkan hilangnya akar, dan bukan munculnya akar asing. Kami akan membicarakan lebih banyak tentang ini di paragraf berikutnya.

  • Memindahkan suatu suku dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya yang tandanya diubah menjadi kebalikannya.

Transformasi persamaan ini selalu ekuivalen. Oleh karena itu, tidak masuk akal untuk menganggapnya sebagai transformasi yang mengarah pada konsekuensi persamaan, karena alasan yang disebutkan di atas.

  • Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan angka yang sama.

Pada paragraf sebelumnya telah kita buktikan bahwa jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol, maka persamaan tersebut merupakan transformasi ekuivalen. Oleh karena itu, sekali lagi, tidak ada gunanya membicarakannya sebagai transformasi yang mengarah pada persamaan akibat wajar.

Namun di sini perlu memperhatikan reservasi tentang selisih dari nol bilangan yang digunakan untuk mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan. Untuk pembagian, klausa ini jelas - dengan kelas dasar kami menyadari itu Anda tidak dapat membaginya dengan nol. Mengapa klausa ini untuk perkalian? Mari kita pikirkan hasil mengalikan kedua ruas persamaan dengan nol. Agar lebih jelas, mari kita ambil persamaan tertentu, misalnya 2 x+1=x+5. Ini adalah persamaan linier yang mempunyai akar tunggal yaitu bilangan 4. Mari kita tuliskan persamaan yang diperoleh dengan mengalikan kedua ruas persamaan ini dengan nol: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Jelas sekali, akar persamaan ini adalah bilangan apa pun, karena jika Anda mensubstitusi bilangan apa pun ke dalam persamaan ini dan bukan variabel x, Anda akan mendapatkan persamaan numerik yang benar, 0=0. Artinya, dalam contoh kita, mengalikan kedua ruas persamaan dengan nol akan menghasilkan persamaan akibat wajar, yang menyebabkan munculnya akar-akar asing dalam jumlah tak terhingga untuk persamaan aslinya. Selain itu, perlu dicatat bahwa dalam kasus ini metode yang biasa digunakan untuk menyaring akar asing tidak dapat mengatasi tugasnya. Artinya transformasi yang dilakukan tidak berguna untuk menyelesaikan persamaan aslinya. Dan ini adalah situasi yang khas untuk transformasi yang sedang dipertimbangkan. Inilah sebabnya transformasi seperti mengalikan kedua ruas persamaan dengan nol tidak digunakan untuk menyelesaikan persamaan. Kita masih harus melihat transformasi ini dan transformasi lain yang tidak boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan di paragraf terakhir.

  • Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan persamaan yang sama.

Pada paragraf sebelumnya, kita telah membuktikan bahwa transformasi ini ekuivalen jika dua kondisi terpenuhi. Mari kita ingatkan mereka. Syarat pertama: OD untuk ekspresi ini tidak boleh lebih sempit dari OD untuk persamaan aslinya. Syarat kedua: ekspresi yang digunakan untuk melakukan perkalian atau pembagian tidak boleh hilang pada ODZ persamaan aslinya.

Mari kita ubah kondisi pertama, yaitu kita berasumsi bahwa OD untuk ekspresi yang kita rencanakan untuk mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan lebih sempit daripada OD untuk persamaan aslinya. Dari hasil transformasi tersebut akan diperoleh persamaan yang ODZ-nya akan lebih sempit dibandingkan ODZ persamaan aslinya. Transformasi seperti itu dapat menyebabkan hilangnya akar, kita akan membicarakannya di paragraf berikutnya.

Apa yang akan terjadi jika kita menghilangkan kondisi kedua tentang nilai bukan nol dari ekspresi dimana kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan ODZ untuk persamaan aslinya?

Membagi kedua ruas persamaan dengan ekspresi yang sama, yang dihilangkan sebesar OD persamaan aslinya, akan menghasilkan persamaan yang OD-nya lebih sempit dibandingkan OD persamaan aslinya. Memang, angka-angka akan hilang, mengubah ekspresi yang digunakan untuk membagi menjadi nol. Hal ini dapat menyebabkan hilangnya root.

Bagaimana dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan persamaan yang sama, yang hilang pada ODZ persamaan aslinya? Dapat ditunjukkan bahwa ketika kedua ruas persamaan A(x)=B(x) dikalikan dengan persamaan C(x), yang ODZ-nya tidak lebih sempit dari ODZ persamaan awal, dan hilang sebesar ODZ untuk persamaan awal, persamaan yang diperoleh merupakan konsekuensi bahwa selain semua akar persamaan A(x)=B(x), dapat juga mempunyai akar-akar lain. Mari kita lakukan ini, terutama karena paragraf artikel ini dikhususkan untuk transformasi yang mengarah ke persamaan akibat wajar.

Biarkan ekspresi C(x) sedemikian rupa sehingga ODZ untuk persamaan tersebut tidak lebih sempit dari ODZ untuk persamaan A(x)=B(x), dan ekspresi tersebut hilang pada ODZ untuk persamaan A(x)=B(x ) . Mari kita buktikan bahwa dalam hal ini persamaan A(x)·C(x)=B(x)·C(x) merupakan konsekuensi dari persamaan A(x)=B(x) .

Misalkan q adalah akar persamaan A(x)=B(x) . Maka A(q)=B(q) adalah persamaan numerik yang sebenarnya. Karena ODZ untuk ekspresi C(x) tidak lebih sempit daripada ODZ untuk persamaan A(x)=B(x), maka ekspresi C(x) didefinisikan pada x=q, yang berarti bahwa C(q) adalah angka tertentu. Mengalikan kedua ruas persamaan numerik yang sebenarnya dengan bilangan apa pun akan menghasilkan persamaan numerik yang benar, oleh karena itu, A(q)·C(q)=B(q)·C(q) adalah persamaan numerik yang benar. Artinya q adalah akar persamaan A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Hal ini membuktikan bahwa sembarang akar persamaan A(x)=B(x) merupakan akar persamaan A(x) C(x)=B(x) C(x), yang berarti persamaan A(x) C (x)=B(x)·C(x) merupakan konsekuensi dari persamaan A(x)=B(x) .

Perhatikan bahwa dalam kondisi tertentu, persamaan A(x)·C(x)=B(x)·C(x) mungkin memiliki akar-akar yang asing dengan persamaan awal A(x)=B(x). Semuanya merupakan bilangan dari ODZ untuk persamaan awal yang mengubah ekspresi C(x) menjadi nol (semua bilangan yang mengubah ekspresi C(x) menjadi nol adalah akar-akar persamaan A(x) C(x)=B (x) C(x) , karena substitusinya ke dalam persamaan yang ditunjukkan menghasilkan persamaan numerik yang benar 0=0 ), tetapi bukan merupakan akar persamaan A(x)=B(x) . Persamaan A(x)=B(x) dan A(x)·C(x)=B(x)·C(x) pada kondisi yang ditentukan akan ekuivalen jika semua bilangan dari ODZ untuk persamaan A(x )=B (x) , yang membuat ekspresi C(x) hilang, adalah akar-akar persamaan A(x)=B(x) .

Jadi, mengalikan kedua ruas persamaan dengan persamaan yang sama, yang ODZ-nya tidak lebih sempit dari ODZ persamaan awal, dan yang hilang dengan ODZ persamaan awal, pada umumnya menghasilkan persamaan akibat wajar, yaitu adalah, hal ini dapat menyebabkan munculnya akar asing.

Mari kita beri contoh untuk mengilustrasikannya. Mari kita ambil persamaan x+3=4. Akar satu-satunya adalah angka 1. Mari kalikan kedua ruas persamaan ini dengan persamaan yang sama, yang dihilangkan dengan ODZ untuk persamaan awal, misalnya dengan x·(x−1) . Ekspresi ini hilang pada x=0 dan x=1. Mengalikan kedua ruas persamaan dengan persamaan ini menghasilkan persamaannya (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). Persamaan yang dihasilkan memiliki dua akar: 1 dan 0. Angka 0 merupakan akar asing dari persamaan awal yang muncul sebagai hasil transformasi.

Transformasi yang dapat menyebabkan hilangnya akar

Beberapa konversi dari kondisi tertentu dapat menyebabkan hilangnya akar. Misalnya, ketika membagi kedua ruas persamaan x·(x−2)=x−2 dengan ekspresi yang sama x−2, akarnya hilang. Memang, sebagai hasil transformasi seperti itu, diperoleh persamaan x=1 dengan satu akar, yaitu bilangan 1, dan persamaan aslinya memiliki dua akar 1 dan 2.

Penting untuk memahami dengan jelas kapan akar-akar hilang akibat transformasi, agar tidak kehilangan akar-akar saat menyelesaikan persamaan. Mari kita cari tahu.

Akibat transformasi ini, hilangnya akar dapat terjadi jika dan hanya jika ODZ persamaan yang ditransformasikan ternyata lebih sempit daripada ODZ persamaan awal.

Untuk membuktikan pernyataan ini, ada dua hal yang perlu dibuktikan. Pertama, perlu dibuktikan bahwa jika ODZ menyempit sebagai akibat dari transformasi persamaan ini, maka akar dapat hilang. Dan kedua, perlu dibenarkan bahwa jika akar-akarnya hilang akibat transformasi ini, maka ODZ untuk persamaan yang dihasilkan lebih sempit daripada ODZ untuk persamaan aslinya.

Jika ODZ persamaan hasil transformasi lebih sempit dibandingkan ODZ persamaan asal, maka wajar saja tidak ada satu pun akar persamaan asal yang terletak di luar ODZ persamaan yang dihasilkan dapat menjadi akar persamaan. diperoleh sebagai hasil transformasi. Artinya semua akar tersebut akan hilang ketika berpindah dari persamaan awal ke persamaan yang ODZ-nya lebih sempit dibandingkan ODZ persamaan aslinya.

Sekarang kembali. Mari kita buktikan bahwa jika akar-akarnya hilang akibat transformasi ini, maka ODZ persamaan yang dihasilkan lebih sempit daripada ODZ persamaan aslinya. Hal ini dapat dilakukan dengan metode sebaliknya. Anggapan bahwa akibat transformasi tersebut akar-akarnya hilang, tetapi ODZ-nya tidak menyempit, bertentangan dengan pernyataan-pernyataan yang telah dibuktikan pada paragraf-paragraf sebelumnya. Memang dari pernyataan-pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa jika pada saat melakukan transformasi tersebut ODZ tidak menyempit, maka diperoleh persamaan ekuivalen atau persamaan akibat wajar, yang berarti hilangnya akar tidak dapat terjadi.

Jadi, penyebab kemungkinan hilangnya akar saat melakukan transformasi dasar persamaan adalah penyempitan ODZ. Jelas bahwa ketika menyelesaikan persamaan, kita tidak boleh kehilangan akar-akarnya. Di sini, tentu saja, muncul pertanyaan: “Apa yang harus kita lakukan agar tidak kehilangan akar saat mentransformasikan persamaan?” Kami akan menjawabnya di paragraf berikutnya. Sekarang mari kita lihat daftar transformasi dasar persamaan untuk melihat lebih detail transformasi mana yang dapat menyebabkan hilangnya akar.

  • Mengganti ekspresi di ruas kiri dan kanan persamaan dengan ekspresi yang identik sama.

Jika Anda mengganti ekspresi di sisi kiri atau kanan persamaan dengan ekspresi yang identik sama, yang OD-nya lebih sempit daripada OD persamaan aslinya, ini akan menyebabkan penyempitan OD, dan karena itu, akar-akarnya mungkin hilang. Paling sering, penggantian ekspresi di sisi kiri atau kanan persamaan dengan ekspresi identik yang sama, dilakukan berdasarkan beberapa sifat akar, pangkat, logaritma, dan beberapa rumus trigonometri. Misalnya, mengganti ekspresi di sisi kiri persamaan dengan ekspresi yang identik sama akan mempersempit ODZ dan menyebabkan hilangnya akar −16. Demikian pula, mengganti ekspresi di sisi kiri persamaan dengan ekspresi yang identik sama akan menghasilkan persamaan yang ODZ-nya lebih sempit daripada ODZ persamaan aslinya, yang mengakibatkan hilangnya akar −3.

  • Menjumlahkan bilangan yang sama pada kedua ruas persamaan atau mengurangkan bilangan yang sama pada kedua ruas persamaan.

Transformasi ini setara, sehingga akarnya tidak bisa hilang dalam implementasinya.

  • Menjumlahkan persamaan yang sama pada kedua ruas persamaan atau mengurangkan persamaan yang sama pada kedua ruas persamaan.

Jika Anda menambahkan atau mengurangi ekspresi yang OD-nya lebih sempit daripada OD persamaan aslinya, hal ini akan menyebabkan penyempitan OD dan, sebagai konsekuensinya, kemungkinan hilangnya akar. Ada baiknya mengingat hal ini. Namun di sini perlu dicatat bahwa dalam praktiknya biasanya perlu menggunakan penambahan atau pengurangan ekspresi yang ada dalam pencatatan persamaan asli, yang tidak menyebabkan perubahan ODZ dan tidak menyebabkan hilangnya akar.

  • Memindahkan suatu suku dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya yang tandanya diubah menjadi kebalikannya.

Transformasi persamaan ini ekuivalen, sehingga akibat penerapannya akar-akarnya tidak hilang.

  • Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama selain nol.

Transformasi ini juga setara, dan karenanya tidak terjadi hilangnya akar.

  • Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan persamaan yang sama.

Transformasi ini dapat menyebabkan penyempitan OD dalam dua kasus: ketika OD untuk ekspresi yang digunakan untuk melakukan perkalian atau pembagian lebih sempit daripada OD untuk persamaan awal, dan ketika pembagian dilakukan dengan ekspresi yang menjadi nol pada OD untuk persamaan aslinya. Perhatikan bahwa dalam praktiknya biasanya tidak perlu mengalikan dan membagi kedua ruas persamaan dengan ekspresi dengan VA yang lebih sempit. Namun Anda harus berurusan dengan pembagian dengan ekspresi yang berubah menjadi nol untuk persamaan aslinya. Ada metode yang memungkinkan Anda mengatasi hilangnya akar selama pembagian tersebut, kita akan membicarakannya di paragraf berikutnya artikel ini.

Bagaimana cara menghindari kehilangan root?

Jika Anda hanya menggunakan transformasi dari persamaan transformasi dan pada saat yang sama tidak membiarkan penyempitan ODZ, maka hilangnya akar tidak akan terjadi.

Apakah ini berarti tidak ada transformasi persamaan lain yang dapat dilakukan? Tidak, bukan berarti begitu. Jika Anda menemukan transformasi lain dari persamaan tersebut dan mendeskripsikannya secara lengkap, yaitu, tunjukkan kapan transformasi tersebut mengarah ke persamaan yang setara, kapan - ke persamaan-konsekuensi, dan bila hal itu dapat menyebabkan hilangnya akar, maka hal itu dapat diadopsi.

Haruskah kita sepenuhnya meninggalkan reformasi yang akan mempersempit DPD? Seharusnya tidak melakukan hal itu. Tidak ada salahnya untuk menyimpan transformasi di gudang senjata Anda di mana sejumlah angka berhingga keluar dari ODZ untuk persamaan aslinya. Mengapa transformasi seperti ini tidak boleh ditinggalkan? Karena ada metode untuk menghindari kehilangan root dalam kasus seperti itu. Ini terdiri dari pemeriksaan terpisah terhadap angka-angka yang keluar dari ODZ untuk melihat apakah ada akar persamaan asli di antara angka-angka tersebut. Anda dapat memeriksanya dengan mensubstitusikan angka-angka ini ke persamaan aslinya. Yang, jika disubstitusikan, memberikan persamaan numerik yang benar, adalah akar-akar persamaan aslinya. Mereka perlu disertakan dalam jawabannya. Setelah pemeriksaan seperti itu, Anda dapat dengan aman melakukan transformasi yang direncanakan tanpa takut kehilangan akarnya.

Transformasi tipikal di mana ODZ untuk suatu persamaan dipersempit menjadi beberapa bilangan adalah dengan membagi kedua ruas persamaan dengan ekspresi yang sama, yang menjadi nol di beberapa titik dari ODZ untuk persamaan aslinya. Transformasi ini adalah dasar dari metode solusi persamaan timbal balik. Tapi ini juga digunakan untuk menyelesaikan jenis persamaan lainnya. Mari kita beri contoh.

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan memasukkan variabel baru. Untuk memasukkan variabel baru, Anda perlu membagi kedua ruas persamaan dengan 1+x. Namun dengan pembagian seperti itu, hilangnya akar dapat terjadi, karena meskipun ODZ untuk ekspresi 1+x tidak lebih sempit dari ODZ untuk persamaan awal, ekspresi 1+x menjadi nol pada x=−1, dan bilangan ini milik ODZ untuk persamaan aslinya. Artinya akar −1 mungkin hilang. Untuk menghilangkan hilangnya akar, Anda harus memeriksa secara terpisah apakah −1 merupakan akar dari persamaan awal. Untuk melakukan ini, Anda dapat mengganti −1 ke dalam persamaan awal dan melihat persamaan apa yang Anda dapatkan. Dalam kasus kita, substitusi menghasilkan persamaan, yang sama dengan 4=0. Persamaan ini salah, artinya −1 bukan akar persamaan aslinya. Setelah pemeriksaan seperti itu, Anda dapat melakukan pembagian kedua ruas persamaan dengan 1 + x, tanpa takut akan terjadi kehilangan akar.

Di akhir paragraf ini, mari kita kembali ke persamaan dari paragraf sebelumnya dan. Transformasi persamaan ini berdasarkan identitas dan menyebabkan penyempitan ODZ, dan ini menyebabkan hilangnya akar. Pada titik ini, kami mengatakan bahwa agar tidak kehilangan akarnya, kita perlu meninggalkan reformasi yang mempersempit DZ. Artinya transformasi tersebut harus ditinggalkan. Tapi apa yang harus kita lakukan? Dimungkinkan untuk melakukan transformasi tidak berdasarkan identitas dan , karena itu ODZ menyempit, dan berdasarkan identitas dan . Akibat peralihan dari persamaan awal dan ke persamaan dan tidak ada penyempitan ODZ sehingga akarnya tidak hilang.

Di sini kami secara khusus mencatat bahwa saat mengganti ekspresi dengan ekspresi yang identik sama, Anda harus memastikan dengan cermat bahwa ekspresi tersebut benar-benar sama. Misalnya, dalam Persamaan. tidak mungkin mengganti ekspresi x+3 dengan ekspresi untuk menyederhanakan tampilan ruas kiri ke , karena ekspresi x+3 dan tidak identik sama, karena nilainya tidak bertepatan pada x+3<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Transformasi persamaan yang tidak boleh digunakan

Transformasi yang disebutkan dalam artikel ini biasanya cukup untuk kebutuhan praktis. Artinya, Anda tidak perlu terlalu repot memikirkan transformasi lain; lebih baik fokus pada penggunaan yang benar dari transformasi yang sudah terbukti.

literatur

  1. Mordkovich A.G. Aljabar dan awal analisis matematika. Kelas 11. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum (tingkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
  2. Aljabar dan awal analisis matematis. kelas 10: buku teks. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; diedit oleh A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 2010.- 368 hal.: sakit.-ISBN 978-5-09-022771-1.

Dalam pelajaran terakhir, kita menggunakan tiga langkah untuk menyelesaikan persamaan.

Tahap pertama bersifat teknis. Dengan menggunakan rantai transformasi dari persamaan awal, kita sampai pada persamaan yang cukup sederhana, yang kita pecahkan dan temukan akar-akarnya.

Tahap kedua adalah analisis solusi. Kami menganalisis transformasi yang kami lakukan dan mencari tahu apakah transformasi tersebut setara.

Tahap ketiga adalah verifikasi. Memeriksa semua akar yang ditemukan dengan mensubstitusikannya ke persamaan asli adalah wajib ketika melakukan transformasi yang dapat menghasilkan persamaan akibat wajar

Apakah selalu perlu membedakan tiga tahap saat menyelesaikan suatu persamaan?

Tentu saja tidak. Seperti misalnya dalam menyelesaikan persamaan ini. Dalam kehidupan sehari-hari biasanya mereka tidak dibedakan. Namun semua tahapan ini perlu “diingat” dan dilaksanakan dalam satu atau lain bentuk. Sangat penting untuk menganalisis kesetaraan transformasi. Dan jika analisa menunjukkan perlu dilakukan pemeriksaan, maka itu wajib. Jika tidak, persamaan tersebut tidak dapat dianggap terselesaikan dengan benar.

Apakah selalu mungkin untuk memeriksa akar-akar persamaan hanya dengan substitusi?

Jika transformasi ekuivalen digunakan saat menyelesaikan persamaan, maka verifikasi tidak diperlukan. Dalam pengecekan akar-akar suatu persamaan sangat sering digunakan ODZ (rentang nilai yang diijinkan), jika sulit untuk dilakukan pengecekan dengan menggunakan ODZ maka dilakukan dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan aslinya.

Latihan 1

Selesaikan persamaan akar kuadrat dari dua x ditambah tiga sama dengan satu ditambah x.

Larutan

ODZ persamaan ditentukan oleh sistem dua pertidaksamaan: dua x ditambah tiga lebih besar atau sama dengan nol dan satu ditambah x lebih besar atau sama dengan nol. Solusinya adalah x lebih besar atau sama dengan minus satu.

Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan, pindahkan suku-suku dari satu ruas persamaan ke ruas lainnya, tambahkan suku-suku yang sejenis, dan dapatkan persamaan kuadrat x kuadrat sama dengan dua. Akarnya adalah

x pertama, kedua sama dengan plus atau minus akar kuadrat dari dua.

Penyelidikan

Nilai x pertama sama dengan akar kuadrat dua merupakan akar persamaan, karena termasuk dalam ODZ.
Nilai x sekon sama dengan dikurangi akar kuadrat dua bukan merupakan akar persamaan, karena itu tidak termasuk dalam DZ.
Mari kita periksa akar x sama dengan akar kuadrat dari dua, substitusikan ke persamaan awal, kita dapatkan

persamaannya benar, artinya x sama dengan akar kuadrat dari dua yang merupakan akar persamaan.

Jawaban: akar kuadrat dari dua.

Tugas 2

Selesaikan persamaan akar kuadrat dari x dikurangi delapan sama dengan lima dikurangi x.

Larutan

ODZ suatu persamaan irasional ditentukan oleh sistem dua pertidaksamaan: x dikurangi delapan lebih besar atau sama dengan nol dan lima dikurangi x lebih besar atau sama dengan nol. Memecahkannya, kami menemukan bahwa sistem ini tidak memiliki solusi. Akar persamaan tidak boleh salah satu nilai variabel x.

Jawaban: tidak ada akar.

Tugas 3

Selesaikan persamaan akar kuadrat dari x pangkat tiga ditambah empat x dikurangi satu dikurangi delapan akar kuadrat dari x pangkat empat dikurangi x sama dengan akar kuadrat dari x pangkat tiga dikurangi satu ditambah dua akar kuadrat dari x.

Larutan

Menemukan ODZ dalam persamaan ini cukup sulit.

Mari kita lakukan transformasi: kuadratkan kedua ruas persamaan ini,

Mari kita pindahkan semua suku ke ruas kiri persamaan dan bawa suku-suku sejenis, tuliskan dua akar di bawah satu, dapatkan akar-akar yang sejenis, bawa suku-suku sejenis, bagi dengan koefisien dikurangi 12, dan faktorkan persamaan radikalnya, kita mendapatkan persamaan di bentuk hasil kali dua faktor sama dengan nol. Setelah menyelesaikannya, kami menemukan akarnya:

x pertama sama dengan satu, x kedua sama dengan nol.

Karena kita menaikkan kedua ruas persamaan menjadi pangkat genap, pemeriksaan akar-akarnya wajib dilakukan.

Penyelidikan

Jika x sama dengan satu, maka

kita mendapatkan persamaan yang benar, artinya x sama dengan satu adalah akar persamaan.

Jika x adalah nol, maka akar kuadrat dari minus satu tidak terdefinisi.

Artinya x sama dengan nol adalah akar asing.

Jawaban: satu.

Tugas 4

Selesaikan persamaan logaritma dari ekspresi x kuadrat ditambah lima x ditambah dua basis dua sama dengan tiga.

Larutan

Mari kita cari persamaan ODZ. Untuk melakukannya, kita selesaikan pertidaksamaan x kuadrat ditambah lima x ditambah dua di atas nol.

Kami menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval. Untuk melakukan ini, kita memfaktorkan ruas kirinya, setelah sebelumnya menyelesaikan persamaan kuadrat, dan dengan mempertimbangkan tanda pertidaksamaan, kita menentukan ODZ. ODZ sama dengan gabungan sinar terbuka dari minus tak terhingga ke minus pecahan lima ditambah akar kuadrat tujuh belas dibagi dua, dan dari minus pecahan lima dikurangi akar kuadrat tujuh belas dibagi dua menjadi ditambah tak terhingga.

Sekarang mari kita mulai mencari akar persamaannya. Mengingat tiga sama dengan logaritma delapan pangkat dua, kita tulis persamaannya sebagai berikut: logaritma persamaan x kuadrat ditambah lima x ditambah dua pangkat dua sama dengan logaritma delapan pangkat dua. Mari kita mempotensiasi persamaan tersebut, memperoleh dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Diskriminannya adalah empat puluh sembilan.

Hitung akarnya:

x pertama sama dengan minus enam; x detik sama dengan satu.

Penyelidikan

Minus enam milik ODZ, satu milik ODZ, artinya kedua bilangan tersebut adalah akar persamaan.

Jawaban: dikurangi enam; satu.

Dalam pelajaran terakhir kita melihat masalah munculnya akar asing. Kami dapat mendeteksinya melalui verifikasi. Apakah mungkin kehilangan akar saat menyelesaikan persamaan dan bagaimana cara mencegahnya?

Saat melakukan tindakan seperti itu pada suatu persamaan, seperti, pertama, membagi kedua ruas persamaan dengan ekspresi yang sama ax dari x (kecuali jika diketahui dengan pasti bahwa ax dari x tidak sama dengan nol untuk setiap x dari domain definisi persamaan);

kedua, mempersempit OD persamaan selama proses penyelesaian dapat menyebabkan hilangnya akar-akar persamaan.

Ingat!

Persamaannya ditulis sebagai

ef dari x dikalikan abu dari x sama dengan zhe dari x dikalikan abu dari x diselesaikan dengan cara ini:

Anda perlu memfaktorkan dengan mengeluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung;

kemudian, samakan setiap faktor dengan nol, sehingga diperoleh dua persamaan.

Kami menghitung akarnya.

Latihan 1

Selesaikan persamaan x kubus sama dengan x.

Cara pertama

Bagilah kedua ruas persamaan ini dengan x, kita mendapatkan x kuadrat sama dengan satu, mempunyai akar-akar x pertama sama dengan satu,

x detik sama dengan minus satu.

Cara kedua

X kubus sama dengan X. Mari kita pindahkan x ke ruas kiri persamaan, keluarkan x dari tanda kurung, dan kita peroleh: x dikalikan x kuadrat dikurangi satu sama dengan nol.

Mari kita hitung akar-akarnya:

X pertama sama dengan nol, x kedua sama dengan satu, x ketiga sama dengan minus satu.

Persamaan tersebut memiliki tiga akar.

Saat menyelesaikan metode pertama, kita kehilangan satu akar - x sama dengan nol.

Jawaban: dikurangi satu; nol; satu.

Ingat! Mengurangi kedua ruas persamaan dengan faktor yang tidak diketahui dapat mengakibatkan hilangnya akar-akar persamaan.

Tugas 2

Selesaikan persamaan: logaritma desimal x kuadrat sama dengan dua.

Larutan

Cara pertama

Berdasarkan definisi logaritma, kita mendapatkan persamaan kuadrat x kuadrat sama dengan seratus.

Akar-akarnya: x pertama sama dengan sepuluh; X detik sama dengan minus sepuluh.

Cara kedua

Berdasarkan sifat logaritma, kita memiliki dua logaritma desimal x sama dengan dua.

Akarnya - x sama dengan sepuluh

Dengan metode kedua, akar x sama dengan minus sepuluh hilang. Dan alasannya adalah mereka menerapkan rumus yang salah, sehingga mempersempit cakupan persamaan. Ekspresi logaritma desimal x kuadrat didefinisikan untuk semua x kecuali x yang sama dengan nol. Ekspresi logaritma desimal x adalah untuk x lebih besar dari nol. Rumus yang benar untuk logaritma desimal x kuadrat sama dengan dua modul logaritma desimal x.

Ingat! Saat menyelesaikan persamaan, gunakan rumus yang tersedia dengan bijak.