Pelajaran video “Gelar dengan indikator rasional» berisi visual materi pendidikan untuk memberikan pelajaran tentang topik ini. Video pembelajaran berisi informasi tentang konsep derajat dengan eksponen rasional, sifat-sifat derajat tersebut, serta contoh-contoh yang menjelaskan penggunaan materi pendidikan untuk menyelesaikannya. masalah praktis. Tujuan dari video pembelajaran ini adalah untuk menyajikan materi pendidikan secara jelas dan jelas, memudahkan pengembangan dan hafalan siswa, serta mengembangkan kemampuan memecahkan masalah dengan menggunakan konsep-konsep yang dipelajari.
Keunggulan utama video pembelajaran adalah kemampuan melakukan transformasi dan perhitungan secara visual, kemampuan menggunakan efek animasi untuk meningkatkan efisiensi pembelajaran. Iringan suara membantu mengembangkan ucapan matematika yang benar, dan juga memungkinkan untuk menggantikan penjelasan guru, sehingga membebaskannya untuk melakukan pekerjaan individu.
Video pembelajaran dimulai dengan pengenalan topik. Menghubungkan studi topik baru dengan materi yang telah dipelajari sebelumnya, disarankan untuk mengingat bahwa n √a dinyatakan dengan a 1/n untuk n natural dan a positif. Representasi n-root ini ditampilkan di layar. Selanjutnya, kami mengusulkan untuk mempertimbangkan apa arti dari ekspresi a m/n, di mana a adalah bilangan positif dan m/n adalah pecahan. Definisi derajat dengan eksponen rasional sebagai a m/n = n √a m diberikan, disorot dalam bingkai. Diketahui bahwa n dapat berupa bilangan asli, dan m dapat berupa bilangan bulat.
Setelah menentukan derajat dengan eksponen rasional, maknanya terungkap melalui contoh: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Sebuah contoh juga ditunjukkan di mana derajat diwakili oleh desimal, diubah menjadi pecahan biasa untuk direpresentasikan sebagai akar: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 dan contoh dengan nilai negatif derajat: 3 -1/8 = 8 √3 -1.
Keunikan kasus khusus ketika basis derajatnya nol ditunjukkan secara terpisah. Perlu dicatat bahwa derajat ini hanya masuk akal jika eksponen pecahan positif. Dalam hal ini, nilainya nol: 0 m/n =0.
Ciri lain dari derajat dengan eksponen rasional dicatat - bahwa derajat dengan eksponen pecahan tidak dapat dianggap dengan eksponen pecahan. Contoh notasi derajat yang salah diberikan: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.
Selanjutnya pada video pembelajaran kita membahas tentang sifat-sifat suatu derajat dengan eksponen rasional. Perlu dicatat bahwa sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat juga berlaku untuk derajat dengan eksponen rasional. Diusulkan untuk mengingat kembali daftar properti yang juga valid dalam kasus ini:
- Saat mengalikan kekuatan dengan dengan alasan yang sama indikatornya bertambah: a p a q =a p+q.
- Pembagian derajat dengan basis yang sama direduksi menjadi derajat dengan basis tertentu dan selisih eksponennya: a p:a q =a p-q.
- Jika kita menaikkan derajat ke pangkat tertentu, maka kita akan mendapatkan derajat dengan basis tertentu dan hasil kali eksponen: (ap) q =a pq.
Semua properti ini berlaku untuk pangkat dengan eksponen rasional p, q dan basis positif a>0. Selain itu, transformasi derajat saat membuka tanda kurung tetap berlaku:
- (ab) p =a p b p - menaikkan pangkat tertentu dengan eksponen rasional, hasil kali dua bilangan direduksi menjadi hasil kali bilangan, yang masing-masing dipangkatkan.
- (a/b) p =a p /b p - menaikkan pecahan dengan eksponen rasional direduksi menjadi pecahan yang pembilang dan penyebutnya dipangkatkan.
Video tutorial membahas contoh penyelesaian yang menggunakan sifat-sifat pangkat dengan eksponen rasional. Contoh pertama meminta Anda mencari nilai ekspresi yang berisi variabel x dalam pangkat pecahan: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Terlepas dari kerumitan ungkapannya, dengan menggunakan sifat-sifat kekuatan, hal ini dapat diselesaikan dengan cukup sederhana. Penyelesaian masalah dimulai dengan menyederhanakan ekspresi, yang menggunakan aturan menaikkan pangkat dengan eksponen rasional menjadi pangkat, serta mengalikan pangkat dengan basis yang sama. Setelah mensubstitusi nilai yang diberikan x=8 ke dalam ekspresi sederhana x 1/3 +48, mudah untuk mendapatkan nilai - 50.
Pada contoh kedua, Anda perlu mereduksi pecahan yang pembilang dan penyebutnya mengandung pangkat dengan eksponen rasional. Dengan menggunakan sifat-sifat derajat, kita mengekstrak faktor x 1/3 dari selisihnya, yang kemudian dikurangi pembilang dan penyebutnya, dan menggunakan rumus selisih kuadrat, pembilangnya difaktorkan, yang menghasilkan pengurangan lebih lanjut dari bilangan identik. faktor pembilang dan penyebutnya. Hasil transformasi tersebut adalah pecahan pendek x 1/4 +3.
Video pelajaran “Eksponen dengan eksponen rasional” dapat digunakan sebagai pengganti guru menjelaskan topik pelajaran baru. Manual ini juga berisi cukup banyak informasi lengkap Untuk Belajar sendiri murid. Materinya juga dapat berguna untuk pembelajaran jarak jauh.
Ekspresi, konversi ekspresi
Ekspresi kekuatan (ekspresi dengan kekuatan) dan transformasinya
Pada artikel ini kita akan berbicara tentang mengubah ekspresi dengan pangkat. Pertama, kita akan fokus pada transformasi yang dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi pangkat, seperti tanda kurung buka dan membawa suku serupa. Dan kemudian kita akan menganalisis transformasi yang melekat secara khusus dalam ekspresi dengan derajat: bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan sifat-sifat derajat, dll.
Navigasi halaman.
Apa yang dimaksud dengan ekspresi kekuatan?
Istilah “ekspresi kekuasaan” hampir tidak pernah digunakan buku pelajaran sekolah matematika, namun cukup sering muncul dalam kumpulan soal, terutama yang ditujukan untuk persiapan UN dan UN Unified State, misalnya. Setelah menganalisis tugas-tugas di mana perlu untuk melakukan tindakan apa pun dengan ekspresi pangkat, menjadi jelas bahwa ekspresi pangkat dipahami sebagai ekspresi yang mengandung pangkat dalam entrinya. Oleh karena itu, Anda dapat menerima sendiri definisi berikut:
Definisi.
Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung derajat.
Mari kita memberi contoh ekspresi kekuasaan. Selanjutnya akan kami sajikan sesuai dengan bagaimana perkembangan pandangan dari derajat dengan indikator alamiah ke derajat dengan indikator sebenarnya.
Seperti diketahui, pertama-tama kita mengenal pangkat suatu bilangan dengan eksponen alami; pada tahap ini, ekspresi pangkat paling sederhana pertama dari jenis 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 muncul −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 dst.
Beberapa saat kemudian, pangkat suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat dipelajari, yang mengarah pada munculnya ekspresi pangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif, seperti berikut: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
Di sekolah menengah mereka kembali ke gelar. Di sana derajat dengan eksponen rasional diperkenalkan, yang memerlukan munculnya ekspresi pangkat yang sesuai: 
, , 
dan seterusnya. Akhirnya, derajat dengan eksponen irasional dan ekspresi yang mengandungnya dianggap: , .
Masalahnya tidak terbatas pada ekspresi pangkat yang terdaftar: selanjutnya variabel menembus eksponen, dan, misalnya, muncul ekspresi berikut: 2 x 2 +1 atau 
. Dan setelah mengenal , ekspresi dengan pangkat dan logaritma mulai muncul, misalnya x 2·lgx −5·x lgx.
Jadi, kita telah membahas pertanyaan tentang apa yang diwakili oleh ekspresi kekuasaan. Selanjutnya kita akan belajar mengubahnya.
Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan
Dengan ekspresi pangkat, Anda dapat melakukan transformasi identitas dasar ekspresi apa pun. Misalnya, Anda dapat memperluas tanda kurung, menggantinya ekspresi numerik nilai-nilai mereka, memberikan istilah serupa, dll. Secara alami, dalam hal ini, perlu mengikuti prosedur yang diterima dalam melakukan tindakan. Mari kita beri contoh.
Contoh.
Hitung nilai ekspresi pangkat 2 3 ·(4 2 −12) .
Larutan.
Menurut urutan pelaksanaan tindakan, pertama-tama lakukan tindakan dalam tanda kurung. Di sana, pertama, kita mengganti pangkat 4 2 dengan nilainya 16 (jika perlu, lihat), dan kedua, kita menghitung selisihnya 16−12=4. Kita punya 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
Dalam ekspresi yang dihasilkan, kita mengganti pangkat 2 3 dengan nilainya 8, setelah itu kita menghitung hasil kali 8·4=32. Ini adalah nilai yang diinginkan.
Jadi, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
Menjawab:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Contoh.
Sederhanakan ekspresi dengan pangkat 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Larutan.
Jelas sekali, ungkapan ini mengandung suku-suku serupa 3·a 4 ·b −7 dan 2·a 4 ·b −7 , dan kita dapat menyajikannya: .
Menjawab:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Contoh.
Ekspresikan ekspresi dengan kekuatan sebagai produk.
Larutan.
Anda dapat mengatasi tugas tersebut dengan menyatakan angka 9 sebagai pangkat 3 2 dan kemudian menggunakan rumus perkalian yang disingkat - selisih kuadrat: 
Menjawab:
Ada juga sejumlah transformasi identitas, melekat secara khusus dalam ekspresi kekuasaan. Kami akan menganalisisnya lebih lanjut.
Bekerja dengan basis dan eksponen
Ada derajat yang basis dan/atau eksponennya bukan sekadar angka atau variabel, melainkan beberapa ekspresi. Sebagai contoh, kami memberikan entri (2+0.3·7) 5−3.7 dan (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
Saat bekerja dengan ekspresi seperti itu, Anda dapat mengganti ekspresi dasar derajat dan ekspresi eksponen dengan ekspresi identik yang sama dalam ODZ variabelnya. Dengan kata lain, menurut aturan yang kita ketahui, kita dapat mengubah basis derajat dan eksponen secara terpisah. Jelas bahwa sebagai hasil transformasi ini akan diperoleh ekspresi yang identik dengan ekspresi aslinya.
Transformasi seperti itu memungkinkan kita menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan atau mencapai tujuan lain yang kita perlukan. Misalnya, dalam ekspresi pangkat yang disebutkan di atas (2+0.3 7) 5−3.7, Anda dapat melakukan operasi dengan bilangan dalam basis dan eksponen, yang memungkinkan Anda berpindah ke pangkat 4.1 1.3. Dan setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa ke dasar derajat (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) kita memperoleh ekspresi pangkat lebih tipe sederhana sebuah 2·(x+1) .
Menggunakan Properti Derajat
Salah satu alat utama untuk mentransformasikan ekspresi dengan kekuatan adalah kesetaraan yang mencerminkan . Mari kita mengingat kembali yang utama. Untuk sembarang bilangan positif a dan b dan sembarang bilangan real r dan s sifat-sifat derajat berikut ini valid:
- a r ·as =a r+s ;
- sebuah r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (a:b) r =a r:br ;
- (a r) s =a r·s .
Perhatikan bahwa untuk eksponen natural, bilangan bulat, dan positif, batasan pada bilangan a dan b mungkin tidak terlalu ketat. Misalnya, untuk bilangan asli m dan n persamaan am ·a n =am+n berlaku tidak hanya untuk a positif, tetapi juga untuk a negatif, dan untuk a=0.
Di sekolah, fokus utama dalam mentransformasikan ekspresi kekuasaan adalah pada kemampuan memilih properti yang sesuai dan menerapkannya dengan benar. Dalam hal ini, basis derajat biasanya positif, yang memungkinkan properti derajat digunakan tanpa batasan. Hal yang sama berlaku untuk transformasi ekspresi yang mengandung variabel dalam basis pangkat - kisaran nilai variabel yang diizinkan biasanya sedemikian rupa sehingga basisnya hanya diambil nilai-nilai positif, yang memungkinkan Anda menggunakan properti derajat secara bebas. Secara umum, Anda perlu terus-menerus bertanya pada diri sendiri apakah mungkin menggunakan properti derajat apa pun dalam kasus ini, karena penggunaan properti yang tidak akurat dapat menyebabkan penyempitan nilai pendidikan dan masalah lainnya. Poin-poin ini dibahas secara rinci dan dengan contoh dalam artikel transformasi ekspresi menggunakan properti derajat. Di sini kita akan membatasi diri untuk mempertimbangkan beberapa contoh sederhana.
Contoh.
Nyatakan persamaan a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 sebagai pangkat dengan basis a.
Larutan.
Pertama, kita ubah faktor kedua (a 2) −3 menggunakan sifat menaikkan pangkat menjadi pangkat: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Ekspresi pangkat asli akan berbentuk a 2.5 ·a −6:a −5.5. Jelasnya, tetap menggunakan sifat-sifat perkalian dan pembagian pangkat dengan basis yang sama, yang kita miliki
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .
Menjawab:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
Sifat-sifat pangkat saat mentransformasikan ekspresi pangkat digunakan baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri.
Contoh.
Temukan nilai ekspresi pangkat.
Larutan.
Persamaan (a·b) r =a r ·b r, diterapkan dari kanan ke kiri, memungkinkan kita berpindah dari ekspresi asli ke hasil kali bentuk dan seterusnya. Dan ketika mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dijumlahkan: 
.
Ekspresi aslinya dapat diubah dengan cara lain: 
Menjawab:
.
Contoh.
Diketahui persamaan pangkat a 1.5 −a 0.5 −6, masukkan variabel baru t=a 0.5.
Larutan.
Derajat a 1,5 dapat direpresentasikan sebagai a 0,5 3 dan kemudian, berdasarkan sifat derajat ke derajat (ar) s =ar s, diterapkan dari kanan ke kiri, ubah menjadi bentuk (a 0,5) 3. Dengan demikian, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Sekarang mudah untuk memperkenalkan variabel baru t=a 0.5, kita mendapatkan t 3 −t−6.
Menjawab:
t 3 −t−6 .
Mengonversi pecahan yang mengandung pangkat
Ekspresi pangkat dapat memuat atau mewakili pecahan yang mempunyai pangkat. Transformasi dasar pecahan apa pun yang melekat pada pecahan apa pun dapat diterapkan sepenuhnya pada pecahan tersebut. Artinya, pecahan yang mengandung pangkat dapat direduksi, direduksi menjadi penyebut baru, dikerjakan secara terpisah dengan pembilangnya dan terpisah dengan penyebutnya, dan seterusnya. Untuk mengilustrasikan kata-kata ini, pertimbangkan solusi dari beberapa contoh.
Contoh.
Sederhanakan ekspresi kekuatan 
.
Larutan.
Ekspresi kekuatan ini adalah pecahan. Mari kita bekerja dengan pembilang dan penyebutnya. Di pembilangnya kami membuka tanda kurung dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan menggunakan sifat-sifat pangkat, dan di penyebut kami menyajikan suku-suku serupa: 
Dan mari kita ubah juga tanda penyebutnya dengan memberi tanda minus di depan pecahan: 
.
Menjawab:
.
Pengurangan pecahan yang mengandung pangkat ke penyebut baru dilakukan dengan cara yang sama seperti pengurangan ke penyebut baru pecahan rasional. Dalam hal ini, faktor tambahan juga ditemukan dan pembilang serta penyebut pecahan dikalikan dengannya. Saat melakukan tindakan ini, perlu diingat bahwa pengurangan ke penyebut baru dapat menyebabkan penyempitan VA. Untuk mencegah hal ini terjadi, faktor tambahan harus tidak menjadi nol untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi aslinya.
Contoh.
Kurangi pecahan menjadi penyebut baru: a) menjadi penyebut a, b) 
ke penyebutnya.
Larutan.
a) Dalam hal ini, cukup mudah untuk mengetahui pengganda tambahan apa yang dapat dicapai hasil yang diinginkan. Ini adalah pengali dari a 0,3, karena a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Perhatikan bahwa dalam kisaran nilai yang diizinkan dari variabel a (ini adalah himpunan semua bilangan real positif), pangkat a 0,3 tidak hilang, oleh karena itu, kita berhak mengalikan pembilang dan penyebut suatu bilangan tertentu. pecahan dengan faktor tambahan ini: 
b) Melihat lebih dekat penyebutnya, Anda akan menemukannya 
dan mengalikan ekspresi ini dengan akan menghasilkan jumlah kubus dan , yaitu . Dan ini adalah penyebut baru yang perlu kita kurangi pecahan aslinya.
Inilah cara kami menemukan faktor tambahan. Dalam rentang nilai yang diperbolehkan dari variabel x dan y, ekspresi tersebut tidak hilang, oleh karena itu, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan itu: 
Menjawab:
A) 
, B) 
.
Juga bukan hal baru dalam mereduksi pecahan yang mengandung pangkat: pembilang dan penyebutnya direpresentasikan sebagai sejumlah faktor, dan faktor pembilang dan penyebutnya sama.
Contoh.
Kurangi pecahan: a) 
, B) .
Larutan.
a) Pertama, pembilang dan penyebutnya dapat dikurangi dengan angka 30 dan 45, yaitu sama dengan 15. Jelas juga dimungkinkan untuk melakukan pengurangan sebesar x 0,5 +1 dan sebesar 
. Inilah yang kami punya: 
b) Dalam hal ini, faktor pembilang dan penyebutnya tidak langsung terlihat sama. Untuk mendapatkannya, Anda harus melakukan transformasi awal. Dalam hal ini, mereka terdiri dari memfaktorkan penyebutnya menggunakan rumus selisih kuadrat: 
Menjawab:
A) 
B) 
.
Mengonversi pecahan menjadi penyebut baru dan mereduksi pecahan terutama digunakan untuk mengerjakan sesuatu dengan pecahan. Tindakan dilakukan menurut aturan yang diketahui. Saat menjumlahkan (mengurangi) pecahan, pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu pembilangnya dijumlahkan (dikurangi), tetapi penyebutnya tetap sama. Hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya merupakan hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya. Pembagian dengan pecahan adalah perkalian dengan kebalikannya.
Contoh.
Ikuti langkah-langkahnya 
.
Larutan.
Pertama, kita kurangi pecahan dalam tanda kurung. Untuk melakukan ini, kami membawanya ke penyebut yang sama, yaitu 
, setelah itu kita kurangi pembilangnya: 
Sekarang kita mengalikan pecahannya: 
Jelasnya, kita bisa menguranginya dengan pangkat x 1/2, setelah itu kita punya 
.
Anda juga dapat menyederhanakan persamaan pangkat pada penyebut dengan menggunakan rumus selisih kuadrat: 
.
Menjawab:
Contoh.
Sederhanakan Ekspresi Kekuatan 
.
Larutan.
Jelasnya, pecahan ini dapat dikurangi dengan (x 2,7 +1) 2, sehingga menghasilkan pecahan 
. Jelas bahwa ada hal lain yang perlu dilakukan dengan kekuatan X. Untuk melakukan ini, kami mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi produk. Ini memberi kita kesempatan untuk memanfaatkan sifat membagi kekuasaan dengan alasan yang sama: 
. Dan di akhir proses kita berpindah dari pekerjaan terakhir menjadi pecahan.
Menjawab:
.
Dan mari kita tambahkan juga bahwa adalah mungkin, dan dalam banyak kasus diinginkan, untuk memindahkan faktor-faktor dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut atau dari penyebut ke pembilang, dengan mengubah tanda eksponen. Transformasi seperti itu sering kali menyederhanakan tindakan lebih lanjut. Misalnya, ekspresi pangkat dapat diganti dengan .
Mengonversi ekspresi dengan akar dan pangkat
Seringkali, dalam ekspresi yang memerlukan beberapa transformasi, akar dengan eksponen pecahan juga terdapat bersama dengan pangkat. Untuk mengubah ekspresi seperti itu ke bentuk yang diinginkan, dalam banyak kasus cukup dengan hanya menuju ke akar atau hanya ke pangkat. Tapi karena lebih nyaman bekerja dengan kekuatan, mereka biasanya berpindah dari akar ke kekuatan. Namun, disarankan untuk melakukan transisi seperti itu ketika ODZ variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda mengganti akar dengan pangkat tanpa perlu merujuk ke modul atau membagi ODZ menjadi beberapa interval (kita membahas ini secara rinci di artikel transisi dari akar ke pangkat dan kembali Setelah mengenal derajat dengan eksponen rasional, derajat dengan eksponen irasional diperkenalkan, yang memungkinkan kita untuk berbicara tentang derajat dengan eksponen nyata yang berubah-ubah.Pada tahap ini, sekolah mulai belajar Fungsi eksponensial , yang secara analitis diberikan oleh suatu pangkat, yang basisnya adalah bilangan, dan eksponennya adalah variabel. Jadi kita dihadapkan pada ekspresi pangkat yang berisi angka-angka dalam basis pangkat, dan dalam eksponen - ekspresi dengan variabel, dan tentu saja ada kebutuhan untuk melakukan transformasi ekspresi tersebut.
Harus dikatakan bahwa transformasi ekspresi dari tipe yang ditunjukkan biasanya harus dilakukan ketika menyelesaikan persamaan eksponensial Dan ketidaksetaraan eksponensial , dan konversi ini cukup sederhana. Dalam sebagian besar kasus, mereka didasarkan pada sifat-sifat derajat dan sebagian besar ditujukan untuk memperkenalkan variabel baru di masa depan. Persamaan ini akan memungkinkan kita untuk mendemonstrasikannya 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Pertama, pangkat, yang eksponennya merupakan jumlah dari variabel tertentu (atau ekspresi dengan variabel) dan angka, diganti dengan hasil kali. Hal ini berlaku untuk suku pertama dan suku terakhir dari ekspresi di sisi kiri:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Selanjutnya kedua ruas persamaan dibagi dengan ekspresi 7 2 x, yang pada ODZ variabel x untuk persamaan awal hanya mengambil nilai positif (ini adalah teknik standar untuk menyelesaikan persamaan jenis ini, kami tidak membicarakannya sekarang, jadi fokuslah pada transformasi ekspresi selanjutnya dengan kekuatan ): 
Sekarang kita bisa menghilangkan pecahan dengan pangkat yang memberi 
.
Terakhir, rasio pangkat dengan eksponen yang sama diganti dengan pangkat hubungan, sehingga menghasilkan persamaan 
, yang setara 
. Transformasi yang dilakukan memungkinkan kita untuk memperkenalkan variabel baru, yang mereduksi solusi menjadi aslinya persamaan eksponensial untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
Ekspresi a n (pangkat dengan eksponen bilangan bulat) akan didefinisikan dalam semua kasus, kecuali ketika a = 0 dan n kurang dari atau sama dengan nol.
Sifat derajat
Sifat dasar derajat dengan eksponen bilangan bulat:
am *an = a (m+n) ;
saya: an = a (m-n) (dengan A tidak sama dengan nol);
(saya) n = a (m*n) ;
(a*b) n = a n *b n ;
(a/b) n = (an)/(b n) (dengan B tidak sama dengan nol);
a 0 = 1 (dengan A tidak sama dengan nol);
Properti ini berlaku untuk bilangan apa pun a, b, dan bilangan bulat m dan n. Perlu juga diperhatikan properti berikut:
Jika m>n, maka a m > an, untuk a>1 dan a m
Kita dapat menggeneralisasi konsep derajat suatu bilangan ke kasus-kasus di mana bilangan rasional bertindak sebagai eksponen. Pada saat yang sama, saya ingin semua properti di atas terpenuhi, atau setidaknya beberapa di antaranya.
Misalnya, jika properti (am) n = a (m*n) terpenuhi, persamaan berikut akan berlaku:
(a (m/n)) n = saya .
Persamaan ini berarti bilangan a (m/n) harus merupakan akar ke-n dari bilangan a m.
Pangkat suatu bilangan a (lebih besar dari nol) dengan eksponen rasional r = (m/n), dengan m adalah bilangan bulat, n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, adalah bilangan tersebut n√(saya). Berdasarkan definisi: a (m/n) = n√(am).
Untuk semua r positif, pangkat nol akan ditentukan. Menurut definisi, 0 r = 0. Perhatikan juga bahwa untuk bilangan bulat apa pun, m dan n alami apa pun, dan positif A persamaan berikut ini benar: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .
Contoh: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).
Dari definisi derajat dengan eksponen rasional maka secara langsung dapat disimpulkan bahwa untuk sembarang a positif dan sembarang rasional r, bilangan a r adalah positif.
Sifat dasar suatu derajat dengan eksponen rasional
Untuk sembarang bilangan rasional p, q dan sembarang a>0 dan b>0 persamaan berikut ini benar:
1. (ap)*(a q) = a (p+q) ;
2. (ap):(b q) = a (p-q) ;
3. (ap) q = a (p*q) ;
4. (a*b) p = (ap)*(b p);
5. (a/b) p = (ap)/(b p).
Sifat-sifat ini mengikuti sifat-sifat akar. Semua sifat ini dibuktikan dengan cara yang sama, jadi kita akan membatasi diri untuk membuktikan salah satunya saja, misalnya yang pertama (ap)*(a q) = a (p + q) .
Misalkan p = m/n, dan q = k/l, dimana n, l adalah beberapa bilangan asli, dan m, k adalah beberapa bilangan bulat. Maka Anda perlu membuktikan bahwa:
(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .
Pertama, mari kita bawa pecahan m/n k/l ke penyebut yang sama. Kita mendapatkan pecahan (m*l)/(n*l) dan (k*n)/(n*l). Mari kita tulis ulang ruas kiri persamaan menggunakan notasi ini dan dapatkan:
(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).
(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .
Pelajaran No. 30 (Aljabar dan Analisis Dasar, Kelas 11)
Topik pelajaran: Gelar dengan eksponen rasional.
Tujuan Pelajaran: 1 . Memperluas konsep derajat, memberikan konsep derajat dengan eksponen rasional; mengajarkan cara mengubah derajat dengan eksponen rasional menjadi akar dan sebaliknya; menghitung pangkat dengan eksponen rasional.
2. Perkembangan daya ingat dan berpikir.
3. Terbentuknya kegiatan.
"Biarkan seseorang mencoba mencoret
dari gelar matematika, dan dia akan melihat,
Bahwa Anda tidak akan berhasil tanpa mereka.” M.V.Lomonosov
Selama kelas.
I. Pernyataan topik dan tujuan pelajaran.
II. Pengulangan dan konsolidasi materi yang dibahas.
1. Analisis contoh rumah yang belum terpecahkan.
2. Mengawasi pekerjaan mandiri:
Pilihan 1.
1. Selesaikan persamaan: √(2x – 1) = 3x – 12
2. Selesaikan pertidaksamaan: √(3x – 2) ≥ 4 – x
Pilihan 2.
1. Selesaikan persamaan: 3 – 2x = √(7x + 32)
2. Selesaikan pertidaksamaan: √(3x + 1) ≥ x – 1
AKU AKU AKU. Mempelajari materi baru.
1 . Mari kita ingat kembali perluasan konsep bilangan: N є Z є Q є R.
Ini paling baik diwakili oleh diagram di bawah ini:
Alami (N)
Nol
Angka non-negatif
Angka negatif
Bilangan pecahan
Bilangan bulat (Z)
Irasional
Rasional (Q)
Bilangan nyata
2. Di kelas yang lebih rendah, konsep pangkat suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan. a) Ingat definisi eksponen a) dengan bilangan asli, b) dengan bilangan bulat negatif, c) dengan eksponen nol.Tekankan bahwa ekspresi a N masuk akal untuk semua bilangan bulat n dan nilai a apa pun, kecuali a=0 dan n≤0.
b) Sebutkan sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat.
3. Pekerjaan lisan.
1). Hitung: 1 -5 ; 4 -3 ; (-100 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .
2). Tuliskan sebagai pangkat dengan eksponen negatif:
1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7 ; 1/a 9 .
3).Bandingkan dengan satuan: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .
4 . Sekarang Anda perlu memahami arti ekspresi 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 dll. Untuk melakukan ini, perlu untuk menggeneralisasi konsep derajat sedemikian rupa sehingga semua sifat derajat yang terdaftar terpenuhi. Pertimbangkan persamaan (a m/n ) n = saya . Kemudian menurut definisi root gelar ke-n masuk akal untuk berasumsi bahwa a M N akan akar ke-n derajat dari angka a M . Definisi derajat dengan eksponen rasional diberikan.
5. Perhatikan contoh 1 dan 2 dari buku teks.
6. Mari kita berikan beberapa komentar terkait konsep derajat dengan eksponen rasional.
Catatan 1 : Untuk setiap a>0 dan bilangan rasional r nomor a r >0
Catatan 2 : Menurut sifat dasar pecahan, bilangan rasional m/n dapat ditulis dalam bentuk mk/nk untuk sembarang bilangan asli k. Kemudiannilai derajat tidak bergantung pada bentuk penulisan bilangan rasional, karena a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n
Catatan 3: Ketika sebuah Mari kita jelaskan ini dengan sebuah contoh. Pertimbangkan (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Sebaliknya: 1/3 = 2/6 lalu (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Kita mendapatkan kontradiksi.
