Kelas: 10

Presentasi untuk pelajaran
































Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Tujuan pelajaran: Pelajari keadaan keseimbangan tubuh, kenali berbagai jenis keseimbangan; Cari tahu kondisi di mana tubuh berada dalam keseimbangan.

Tujuan pelajaran:

  • Pendidikan: Pelajari dua kondisi keseimbangan, jenis keseimbangan (stabil, tidak stabil, acuh tak acuh). Cari tahu dalam kondisi apa benda lebih stabil.
  • Pendidikan: Untuk mempromosikan pengembangan minat kognitif dalam fisika. Pengembangan keterampilan membandingkan, menggeneralisasi, menonjolkan hal yang pokok, menarik kesimpulan.
  • Pendidikan: Kembangkan perhatian, kemampuan untuk mengekspresikan sudut pandang seseorang dan mempertahankannya, kembangkan kemampuan berkomunikasi siswa.

Jenis pelajaran: pelajaran mempelajari materi baru dengan dukungan komputer.

Peralatan:

  1. Disk “Pekerjaan dan Kekuatan” dari “Pelajaran dan Tes Elektronik.
  2. Tabel "Kondisi keseimbangan".
  3. Memiringkan prisma dengan garis tegak lurus.
  4. Badan geometris: silinder, kubus, kerucut, dll.
  5. Komputer, proyektor multimedia, papan tulis atau layar interaktif.
  6. Presentasi.

Selama kelas

Hari ini dalam pelajaran kita akan mempelajari mengapa derek tidak jatuh, mengapa mainan Vanka-Vstanka selalu kembali ke keadaan semula, mengapa Menara Miring Pisa tidak jatuh?

I. Pengulangan dan pemutakhiran pengetahuan.

  1. Nyatakan hukum pertama Newton. Kondisi apa yang dimaksud undang-undang tersebut?
  2. Pertanyaan apa yang dijawab oleh hukum kedua Newton? Formula dan formulasi.
  3. Pertanyaan apa yang dijawab oleh hukum ketiga Newton? Formula dan formulasi.
  4. Berapakah gaya resultannya? Bagaimana lokasinya?
  5. Dari disk "Gerak dan interaksi benda" selesaikan tugas No. 9 "Resultan gaya dengan arah berbeda" (aturan penjumlahan vektor (2, 3 latihan)).

II. Mempelajari materi baru.

1. Apa yang disebut keseimbangan?

Keseimbangan adalah keadaan istirahat.

2. Kondisi keseimbangan.(slide 2)

a) Kapankah tubuh beristirahat? Hukum apa yang mengikuti hal ini?

Kondisi keseimbangan pertama: Suatu benda berada dalam kesetimbangan jika jumlah geometrinya kekuatan luar, diterapkan pada tubuh, sama dengan nol. ∑F = 0

b) Biarkan dua orang bertindak di papan tulis kekuatan yang setara, seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Apakah akan seimbang? (Tidak, dia akan berbalik)

Hanya titik pusat saja yang diam, sisanya bergerak. Artinya, agar suatu benda berada dalam kesetimbangan, jumlah semua gaya yang bekerja pada setiap elemen harus sama dengan 0.

Kondisi keseimbangan kedua: Jumlah momen gaya-gaya yang bekerja searah jarum jam harus sama dengan jumlah momen gaya-gaya yang bekerja berlawanan arah jarum jam.

∑ M searah jarum jam = ∑ M berlawanan arah jarum jam

Momen gaya: M = F L

L – lengan gaya – jarak terpendek dari titik tumpu ke garis kerja gaya.

3. Pusat gravitasi benda dan letaknya.(slide 4)

Pusat gravitasi tubuh- ini adalah titik yang dilalui oleh resultan semua gaya gravitasi paralel yang bekerja pada masing-masing elemen benda (untuk setiap posisi benda di ruang angkasa).

Temukan pusat gravitasi dari gambar berikut:

4. Jenis-jenis keseimbangan.

A) (slide 5–8)



Kesimpulan: Kesetimbangan dikatakan stabil jika, dengan sedikit penyimpangan dari posisi kesetimbangan, terdapat gaya yang cenderung mengembalikannya ke posisi tersebut.

Posisinya berada energi potensial minimal. (slide 9)

b) Stabilitas benda yang terletak pada titik tumpu atau pada garis tumpu.(slide 10–17)

Kesimpulan: Untuk kestabilan suatu benda yang terletak pada suatu titik atau garis tumpuan, pusat gravitasi harus berada di bawah titik (garis) tumpuan tersebut.

c) Stabilitas benda yang terletak pada permukaan datar.

(slide 18)

1) Permukaan pendukung– tidak selalu permukaan yang bersentuhan dengan badan (tetapi dibatasi oleh garis yang menghubungkan kaki meja, tripod)

2) Analisis slide dari “Pelajaran dan tes elektronik”, disk “Pekerjaan dan kekuatan”, pelajaran “Jenis keseimbangan”.

Gambar 1.

  1. Apa perbedaan fesesnya? (Area pendukung)
  2. Mana yang lebih stabil? (Dengan area yang lebih luas)
  3. Apa perbedaan fesesnya? (Lokasi pusat gravitasi)
  4. Manakah yang paling stabil? (Pusat gravitasi mana yang lebih rendah)
  5. Mengapa? (Karena dapat dimiringkan ke sudut yang lebih besar tanpa terbalik)

3) Bereksperimenlah dengan prisma yang membelok

  1. Mari kita letakkan prisma dengan garis tegak lurus di papan dan mulai mengangkatnya secara bertahap di satu sisi. Apa yang kita lihat?
  2. Selama garis tegak lurus memotong permukaan yang dibatasi oleh tumpuan, keseimbangan tetap terjaga. Namun begitu garis vertikal yang melewati pusat gravitasi mulai melampaui batas permukaan penyangga, semuanya akan terbalik.

Analisis slide 19–22.

Kesimpulan:

  1. Tubuh yang mempunyai area penyangga terbesar adalah stabil.
  2. Dari dua benda yang luasnya sama, benda yang pusat gravitasinya lebih rendah adalah benda stabil, karena dapat dimiringkan tanpa terbalik pada sudut yang besar.

Analisis slide 23–25.

Kapal mana yang paling stabil? Mengapa? (Di mana muatan ditempatkan di ruang tunggu, bukan di geladak)

Mobil mana yang paling stabil? Mengapa? (Untuk meningkatkan kestabilan mobil saat berbelok, permukaan jalan dimiringkan searah dengan belokan.)

Kesimpulan: Keseimbangan bisa stabil, tidak stabil, acuh tak acuh. Semakin besar area tumpuan dan semakin rendah pusat gravitasi, semakin besar stabilitas benda.

AKU AKU AKU. Penerapan pengetahuan tentang kestabilan benda.

  1. Spesialisasi manakah yang paling membutuhkan pengetahuan tentang keseimbangan tubuh?
  2. Perancang dan konstruktor berbagai struktur ( gedung-gedung bertingkat, jembatan, menara televisi, dll.)
  3. Pemain sirkus.
  4. Pengemudi dan profesional lainnya.

(slide 28–30)

  1. Mengapa “Vanka-Vstanka” kembali ke posisi setimbang pada setiap kemiringan mainan?
  2. Mengapa Menara Miring Pisa berdiri miring dan tidak jatuh?
  3. Bagaimana cara pengendara sepeda dan sepeda motor menjaga keseimbangan?

Kesimpulan dari pelajaran:

  1. Ada tiga jenis keseimbangan: stabil, tidak stabil, acuh tak acuh.
  2. Posisi stabil suatu benda yang energi potensialnya minimal.
  3. Semakin besar luas tumpuan dan semakin rendah pusat gravitasi, semakin besar kestabilan benda pada permukaan datar.

Pekerjaan rumah: § 54 – 56 (G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky)

Sumber dan literatur yang digunakan:

  1. G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N.Sotsky. Fisika. kelas 10.
  2. Strip film “Sustainability” 1976 (dipindai oleh saya dengan pemindai film).
  3. Disk “Gerak dan interaksi benda” dari “Pelajaran dan tes elektronik”.
  4. Disk "Pekerjaan dan Kekuatan" dari "Pelajaran dan Tes Elektronik".

Jenis utama titik keseimbangan

Misalkan sistem homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan diberikan: \[\left\( \begin(array)(l) \frac((dx))((dt)) = (a_(11))x + (a_ (12 ))y\\ \frac((dy))((dt)) = (a_(21))x + (a_(22))y \end(array) \right..\] Sistem persamaan ini adalah otonom, karena ruas kanan persamaan tidak secara eksplisit memuat variabel bebas \(t.\)

DI DALAM bentuk matriks sistem persamaan ditulis sebagai \[ (\mathbf(X") = A\mathbf(X),\;\;\text(where)\;\;\mathbf(X) = \left((\begin( larik)( *(20)(c)) x\\ y \end(array)) \kanan),)\;\; (A = \kiri((\begin(array)(*(20)(c) ) (( a_(11)))&((a_(12)))\\ ((a_(21)))&((a_(22))) \end(array)) \kanan).) \] Posisi kesetimbangan berasal dari penyelesaian persamaan stasioner \ Persamaan ini mempunyai penyelesaian unik \(\mathbf(X) = \mathbf(0),\) jika matriks \(A\) adalah tidak merosot , yaitu asalkan \(\det A \ne 0.\) Dalam kasus ini matriks tunggal sistem mempunyai titik kesetimbangan yang jumlahnya tak terhingga.

Klasifikasi posisi keseimbangan ditentukan nilai eigen \((\lambda _1),(\lambda _2)\) matriks \(A.\) Bilangan \((\lambda _1),(\lambda _2)\) ditemukan dari solusi persamaan karakteristik \[(\lambda ^2) - \kiri(((a_(11)) + (a_(22))) \kanan)\lambda + (a_(11))(a_(22)) - (a_(12 ))(a_(21)) = 0.\] Pada kasus umum, jika matriks \(A\) non-tunggal, terdapat \(4\) jenis titik kesetimbangan yang berbeda:

Stabilitas posisi keseimbangan ditentukan teorema umum tentang stabilitas. Jadi, jika nilai eigen riil (atau bagian riil dari nilai eigen kompleks) negatif, maka titik kesetimbangannya adalah stabil secara asimtotik . Contoh posisi keseimbangan tersebut adalah fokus yang stabil .

Jika bagian riil dari setidaknya satu nilai eigen bernilai positif, maka posisi ekuilibrium yang bersesuaian adalah tidak stabil . Misalnya, bisa jadi.

Terakhir, dalam kasus akar-akar imajiner murni (titik kesetimbangannya adalah tengah) kita berhadapan dengan klasik stabilitas dalam pengertian Lyapunov .

Tujuan kami selanjutnya adalah mempelajari perilaku solusi di dekat posisi kesetimbangan. Untuk sistem orde ke-\(2\) hal ini dapat dilakukan dengan mudah menggunakan grafik potret fase , yang merupakan koleksi lintasan fase pada bidang koordinat. Panah pada lintasan fase menunjukkan arah pergerakan suatu titik (yaitu keadaan tertentu dari sistem) dari waktu ke waktu.

Mari kita perhatikan lebih detail setiap jenis titik kesetimbangan dan potret fase yang sesuai.

Node stabil dan tidak stabil

Nilai eigen \(((\lambda _1),(\lambda _2))\) dari titik bertipe "node" memenuhi ketentuan: \[(\lambda _1),(\lambda _2) \in \Re, \;\;( \lambda _1) \cdot (\lambda _2) > 0.\] Kasus khusus berikut mungkin muncul di sini.

Akar \(((\lambda _1),(\lambda _2))\) berbeda \(\left(((\lambda _1) \ne (\lambda _2)) \right)\) dan negatif \(\ kiri( ((\lambda _1)
Mari kita membuat potret fase skema dari titik keseimbangan tersebut. Misalkan, untuk lebih jelasnya, \(\left| ((\lambda _1)) \right|
Karena kedua nilai eigennya negatif, solusinya \(\mathbf(X) = \mathbf(0)\) adalah stabil secara asimtotik . Posisi setimbang ini disebut simpul stabil . Pada \(t \to \infty\) kurva fase cenderung ke titik asal \(\mathbf(X) = \mathbf(0).\)

Mari kita perjelas arah lintasan fase. Karena \[ (x\kiri(t \kanan) = (C_1)(V_(11))(e^((\lambda _1)t)) + (C_2)(V_(12))(e^((\ lambda _2)t)),)\;\; (y\kiri(t \kanan) = (C_1)(V_(21))(e^((\lambda _1)t)) + (C_2)(V_(22))(e^((\lambda _2) t)),) \] maka turunan \(\large\frac((dy))((dx))\normalsize\) sama dengan \[\frac((dy))((dx)) = \frac ((( C_1)(V_(21))(\lambda _1)(e^((\lambda _1)t)) + (C_2)(V_(22))(\lambda _2)(e^((\lambda _2)t ))))(((C_1)(V_(11))(\lambda _1)(e^((\lambda _1)t)) + (C_2)(V_(12))(\lambda _2) (e^ ((\lambda _2)t)))).\] Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan \(((e^((\lambda _1)t))):\) \[\frac((dy) )((dx )) = \frac(((C_1)(V_(21))(\lambda _1) + (C_2)(V_(22))(\lambda _2)(e^(\kiri(((\ lambda _2) - (\lambda _1)) \kanan)t))))(((C_1)(V_(11))(\lambda _1) + (C_2)(V_(12))(\lambda _2)( e^(\ left(((\lambda _2) - (\lambda _1)) \right)t)))).\] Dalam hal ini \((\lambda _2) - (\lambda _1)
Dalam kasus \((C_1) = 0\), turunan untuk setiap \(t\) sama dengan \[\frac((dy))((dx)) = \frac(((V_(22) )))((( V_(12)))),\] yaitu lintasan fase terletak pada garis lurus yang diarahkan sepanjang vektor eigen \((\mathbf(V)_2).\)

Sekarang mari kita perhatikan perilaku lintasan fase untuk \(t \to -\infty.\) Jelasnya, koordinat \(x\left(t \right),y\left(t \right)\) cenderung tak terhingga, dan turunan \( \large\frac((dy))((dx))\normalsize\) untuk \((C_2) \ne 0\) berbentuk sebagai berikut: \[\frac((dy))(( dx)) = \frac (((C_1)(V_(21))(\lambda _1)(e^(\left(((\lambda _1) - (\lambda _2)) \kanan)t)) + ( C_2)(V_(22 ))(\lambda _2)))(((C_1)(V_(11))(\lambda _1)(e^(\kiri(((\lambda _1) - (\lambda _2) ) \kanan)t) ) + (C_2)(V_(12))(\lambda _2))) = \frac(((V_(22))))(((V_(12)))),\] yaitu kurva fase di titik tak terhingga menjadi sejajar dengan vektor \((\mathbf(V)_2).\)

Oleh karena itu, ketika \((C_2) = 0\) turunannya sama dengan \[\frac((dy))((dx)) = \frac(((V_(21))))(((V_(11 ))) ).\] Dalam hal ini, lintasan fase ditentukan oleh arah vektor eigen \((\mathbf(V)_1).\)

Dengan mempertimbangkan sifat-sifat lintasan fase yang dipertimbangkan, potret fase simpul stabil memiliki bentuk yang ditunjukkan secara skematis pada Gambar \(1.\)

Dengan cara yang sama, seseorang dapat mempelajari perilaku lintasan fase untuk jenis posisi kesetimbangan lainnya. Selanjutnya, dengan menghilangkan analisis terperinci, kami akan melakukan karakteristik kualitatif utama dari titik ekuilibrium lainnya.

Akar \(((\lambda _1),(\lambda _2))\) berbeda \(\left(((\lambda _1) \ne (\lambda _2)) \right)\) dan positif \(\ kiri( ((\lambda _1) > 0, (\lambda _2)) > 0\kanan).\)
Dalam hal ini, titik \(\mathbf(X) = \mathbf(0)\) disebut simpul tidak stabil . Potret fasenya ditunjukkan pada Gambar \(2.\)

Perhatikan bahwa dalam kasus node stabil dan tidak stabil, lintasan fase bersinggungan dengan garis lurus, yang diarahkan sepanjang vektor eigen yang sesuai dengan vektor yang lebih kecil. nilai mutlak nilai eigen \(\lambda.\)

Node dikritis

Misalkan persamaan karakteristik mempunyai satu akar multiplisitas nol \(2,\), yaitu pertimbangkan kasus \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) \ne 0.\) Dalam kasus ini, sistem mempunyai basis dari dua vektor eigen, yaitu multiplisitas geometrik dari nilai eigen \(\lambda\) sama dengan \(2.\) Dalam bentuk aljabar linier Artinya dimensi subruang eigen matriks \(A\) sama dengan \(2:\) \(\dim \ker A = 2.\) Situasi ini diwujudkan dalam sistem berbentuk \[ (\ frac((dx))(( dt)) = \lambda x,)\;\; (\frac((dy))((dt)) = \lambda y.) \] Arah lintasan fase bergantung pada tanda \(\lambda.\) Di sini dua kasus berikut mungkin terjadi:

Kasus \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) Posisi setimbang ini disebut simpul dikritik yang stabil (Gambar \(3\)).

Kasus \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) > 0.\) Kombinasi nilai eigen ini sesuai dengan simpul dikritik yang tidak stabil (Gambar \(4\)).

Node yang merosot

Misalkan nilai eigen dari matriks \(A\) sama lagi: \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) \ne 0.\) Berbeda dengan kasus simpul dikritikal sebelumnya , kita asumsikan multiplisitas geometri nilai eigenvalue (atau dengan kata lain dimensi subruang eigen) sekarang sama dengan \(1.\) Artinya matriks \(A\) hanya mempunyai satu vektor eigen \ ((\mathbf(V)_1).\) Vektor bebas linier kedua, yang diperlukan untuk menyusun basis, didefinisikan sebagai vektor \((\mathbf(W)_1),\) yang melekat pada \((\mathbf( V)_1).\)

Dalam kasus \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) titik kesetimbangan disebut simpul degenerasi yang stabil (Gambar \(5\)).

Ketika \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) > 0\) posisi setimbang disebut simpul degenerasi yang tidak stabil (Gambar \(6\)).

Posisi kesetimbangan berada pada kondisi \[(\lambda _1),(\lambda _2) \in \Re,\;\;(\lambda _1) \cdot (\lambda _2) 0.\) Nilai eigen \( (\lambda _1)\) dan \((\lambda _2)\) dikaitkan dengan vektor eigen yang sesuai \((\mathbf(V)_1)\) dan \((\mathbf(V)_2).\) Garis diarahkan sepanjang vektor eigen vektor \((\mathbf(V)_1),\) \((\mathbf(V)_2),\) disebut separatrices . Mereka adalah asimtot untuk lintasan fase yang tersisa, yang berbentuk hiperbola. Masing-masing pemisah dapat dikaitkan dengan arah gerakan tertentu. Jika separatrix dikaitkan dengan nilai eigen negatif \((\lambda _1) 0,\) mis. untuk separatrix yang berhubungan dengan vektor \((\mathbf(V)_2),\) pergerakannya diarahkan dari titik asal. Potret fase sadel ditunjukkan secara skematis pada Gambar \(7.\)

Fokus stabil dan tidak stabil

Biarkan sekarang nilai eigen \((\lambda _1),(\lambda _2)\) menjadi bilangan kompleks , yang bagian riilnya tidak sama dengan nol. Jika matriks \(A\) terdiri dari bilangan real, maka akar kompleks akan direpresentasikan dalam bentuk konjugat kompleks angka: \[(\lambda _(1,2)) = \alpha \pm i\beta .\] Mari kita cari tahu bentuk lintasan fase di sekitar titik asal. Mari kita buat solusi kompleks \((\mathbf(X)_1)\left(t \right)\) yang sesuai dengan nilai eigen \((\lambda _1) = \alpha + i\beta:\) \[ (( \mathbf(X )_1)\left(t \right) = (e^((\lambda _1)t))(\mathbf(V)_1) ) = ((e^(\left((\alpha + i \beta ) \ kanan)t))\kiri((\mathbf(U) + i\mathbf(W)) \kanan),) \] di mana \((\mathbf(V)_1) = \mathbf(U) + i\mathbf (W)\) adalah vektor eigen bernilai kompleks yang terkait dengan bilangan \((\lambda _1),\) \(\mathbf(U)\) dan \(\mathbf(W)\) adalah nyata fungsi vektor. Sebagai hasil transformasi, kita memperoleh \[ ((\mathbf(X)_1)\left(t \right) = (e^(\alpha t))(e^(i\beta t))\left(( \mathbf(U ) + i\mathbf(W)) \kanan) ) = ((e^(\alpha t))\left((\cos \beta t + i\sin \beta t) \right)\left ((\mathbf (U) + i\mathbf(W)) \kanan) ) = ((e^(\alpha t))\left((\mathbf(U)\cos \beta t + i\mathbf(U )\sin \ beta t + i\mathbf(W)\cos \beta t - \mathbf(W)\sin \beta t) \kanan) ) = ((e^(\alpha t))\left((\ mathbf(U) \cos \beta t + - \mathbf(W)\sin \beta t) \kanan) ) + (i(e^(\alpha t))\left((\mathbf(U)\sin \ beta t + \ mathbf(W)\cos \beta t) \kanan).) \] Bagian nyata dan imajiner pada ekspresi terakhir membentuk solusi umum sistem, yang berbentuk: \[ (\mathbf(X )\kiri(t \kanan) = ( C_1)\teks(Re)\kiri[ ((\mathbf(X)_1)\kiri(t \kanan)) \kanan] + (C_2)\teks(Im)\ kiri[ ((\mathbf(X)_1 )\kiri(t \kanan)) \kanan] ) = ((e^(\alpha t))\kiri[ ((C_1)\kiri((\mathbf(U) \cos \beta t - \mathbf(W )\sin \beta t) \kanan)) \kanan. ) + (\left.((C_2)\left((\mathbf(U)\sin \beta t + \ mathbf(W)\cos \beta t) \kanan)) \kanan] ) = ((e^(\alpha t))\left[ (\mathbf(U)\left(((C_1)\cos \beta t + (C_2)\sin \beta t) \kanan)) \kanan. ) + (\left. (\mathbf(W)\left(((C_2)\cos \beta t - (C_1)\sin \beta t) \right)) \right].) \] Mari kita nyatakan konstanta \(( C_1),(C_2)\) dalam bentuk \[(C_1) = C\sin \delta ,\;\;(C_2) = C\cos \delta ,\] dimana \(\delta\) adalah beberapa sudut bantu. Maka solusinya ditulis sebagai \[ (\mathbf(X)\left(t \right) = C(e^(\alpha t))\left[ (\mathbf(U)\left((\sin \delta \ cos \ beta t + \cos \delta \sin \beta t) \kanan)) \kanan. ) + (\left. (\mathbf(W)\left((\cos\delta \cos \beta t - \sin \delta \sin \beta t) \kanan)) \kanan] ) = (C(e^(\alpha t))\left[ (\mathbf(U)\sin \left((\beta t + \delta ) \kanan )) \kanan.+ \kiri.(\mathbf(W)\cos \kiri((\beta t + \delta ) \kanan)) \kanan].) \] Jadi, solusinya adalah \(\mathbf( X) \left(t \right)\) diperluas pada basis yang ditentukan oleh vektor \(\mathbf(U)\) dan \(\mathbf(W):\) \[\mathbf(X)\left( t \kanan) = \mu \left(t \right)\mathbf(U) + \eta \left(t \right)\mathbf(W),\] dengan koefisien muai \(\mu \left(t \ kanan),\) \ (\eta \kiri(t \kanan)\) ditentukan dengan rumus: \[ (\mu \kiri(t \kanan) = C(e^(\alpha t))\sin \ kiri((\beta t + \delta ) \kanan),)\;\; (\eta \kiri(t \kanan) = C(e^(\alpha t))\cos\kiri((\beta t + \delta ) \kanan). ) \] Dari sini jelas bahwa lintasan fasa berbentuk spiral. Kapan \(\alpha fokus yang stabil. Oleh karena itu, untuk \(\alpha > 0\) kita punya fokus tidak stabil .

Arah puntiran spiral dapat ditentukan dengan tanda koefisien \((a_(21))\) pada matriks asal \(A.\) Memang, perhatikan turunan \(\large\frac((dy ))((dt))\normalsize, \) misalnya di titik \(\left((1,0) \right):\) \[\frac((dy))((dt))\left ((1,0) \kanan) = (a_ (21)) \cdot 1 + (a_(22)) \cdot 0 = (a_(21)).\] Koefisien positif \((a_(21)) > 0\) berhubungan dengan puntiran spiral berlawanan arah jarum jam, seperti yang ditunjukkan pada gambar \(8.\) Untuk \((a_(21))
Jadi, dengan mempertimbangkan arah puntiran spiral, terdapat total \(4\) jenis fokus yang berbeda. Mereka ditunjukkan secara skematis pada gambar \(8-11.\)

Jika nilai eigen matriks \(A\) adalah bilangan imajiner, maka posisi kesetimbangan ini disebut tengah. Untuk matriks dengan elemen real, nilai eigen imajinernya adalah konjugasi kompleks. Dalam kasus pusat, lintasan fase secara formal diperoleh dari persamaan spiral di \(\alpha = 0\) dan mewakili elips, yaitu menjelaskan gerak periodik suatu titik pada bidang fasa. Posisi keseimbangan tipe "tengah" stabil Lyapunov.

Dua jenis pusat dimungkinkan, berbeda dalam arah pergerakan titik-titiknya (Gambar \(12, 13\)). Seperti halnya spiral, arah pergerakan dapat ditentukan, misalnya, dengan tanda turunan \(\large\frac((dy))((dt))\normalsize\) di titik mana pun. Jika kita ambil titik \(\left((1,0) \right),\) maka \[\frac((dy))((dt))\left((1,0) \right) = (a_ (21 )).\] yaitu. arah putaran ditentukan oleh tanda koefisien \((a_(21)).\)

Jadi kami telah melihat Berbagai jenis titik keseimbangan dalam kasus ini matriks non-tunggal \(A\) \(\left((\det A \ne 0) \right).\) Dengan mempertimbangkan arah lintasan fase, terdapat \(13\) potret fase yang berbeda, masing-masing ditunjukkan dalam gambar \(1- 13.\)

Sekarang mari kita beralih ke kasus ini matriks tunggal \(A.\)

Matriks tunggal

Jika suatu matriks berbentuk tunggal, maka salah satu atau kedua nilai eigennya sama dengan nol. Kasus-kasus khusus berikut mungkin terjadi:

Kasus \((\lambda _1) \ne 0, (\lambda _2) = 0\).
Di sini solusi umum ditulis sebagai \[\mathbf(X)\left(t \right) = (C_1)(e^((\lambda _1)t))(\mathbf(V)_1) + (C_2)( \ mathbf(V)_2),\] di mana \((\mathbf(V)_1) = (\kiri(((V_(11)),(V_(21))) \kanan)^T),\) \ ((\mathbf(V)_2) = (\left(((V_(12)),(V_(22))) \right)^T),\) adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan bilangan \((\lambda _1 )\) dan \((\lambda _2).\) Ternyata dalam hal ini seluruh garis lurus yang melalui titik asal dan berarah sepanjang vektor \((\mathbf(V)_2),\) terdiri dari titik kesetimbangan (titik-titik ini tidak mempunyai nama khusus). Lintasan fase adalah sinar yang sejajar dengan vektor eigen lain \((\mathbf(V)_1).\) Tergantung pada tanda \((\lambda _1)\), pergerakan pada \(t \to \infty\) terjadi searah dengan garis lurus \((\mathbf(V)_2)\) (Gbr.\(14\)), atau menjauhinya (Gbr.\(15\)). Kasus \((\lambda _1) = (\lambda _2) = 0, \dim \ker A = 2.\)
Dalam hal ini, dimensi subruang eigen matriks sama dengan \(2\) dan oleh karena itu, terdapat dua vektor eigen \((\mathbf(V)_1)\) dan \((\mathbf(V )_2).\) Situasi ini mungkin terjadi di matriks nol \(A.\) Keputusan bersama dinyatakan dengan rumus \[\mathbf(X)\left(t \right) = (C_1)(\mathbf(V)_1) + (C_2)(\mathbf(V)_2).\] Maka setiap titik pada bidang tersebut adalah posisi kesetimbangan sistem.

Kasus \((\lambda _1) = (\lambda _2) = 0, \dim \ker A = 1.\)
Kasus matriks singular ini berbeda dengan kasus sebelumnya karena hanya terdapat vektor eigen \(1\) (Matriks \(A\) dalam kasus ini adalah bukan nol). Untuk membangun basis, sebagai vektor bebas linier kedua, Anda dapat mengambil vektor \((\mathbf(W)_1),\) yang melekat pada \((\mathbf(V)_1).\) Solusi umum dari sistem ditulis sebagai \[\mathbf (X)\left(t \right) = \left(((C_1) + (C_2)t) \right)(\mathbf(V)_1) + (C_2)(\mathbf (W)_1).\] Di sini, semua titik garis lurus yang melalui titik asal dan berarah sepanjang vektor eigen \((\mathbf(V)_1),\) merupakan posisi kesetimbangan tidak stabil. Lintasan fase adalah garis lurus yang sejajar dengan \((\mathbf(V)_1).\) Arah pergerakan sepanjang garis lurus tersebut di \(t \hingga \infty\) bergantung pada konstanta \((C_2):\) di \(( C_2) 0\) - dalam arah yang berlawanan (Gbr.\(16\)).

Mari kita ingat hal itu diikuti oleh matriks adalah bilangan yang sama dengan jumlah elemen diagonal: \[ (A = \left((\begin(array)(*(20)(c)) ((a_(11)))&((a_(12) ))\\ ((a_(21)))&((a_(22))) \end(array)) \kanan),)\;\; (\teks(tr)\,A = (a_(11)) + (a_(22)),)\;\; (\det A = (a_(11))(a_(22)) - (a_(12))(a_(21)).) \] Persamaan karakteristik matriks mempunyai bentuk sebagai berikut: \[( \lambda ^2 ) - \kiri(((a_(11)) + (a_(22))) \kanan)\lambda + (a_(11))(a_(22)) - (a_(12))( a_(21) ) = 0.\] Dapat ditulis melalui determinan dan jejak matriks: \[(\lambda ^2) - \text(tr)\,A \cdot \lambda + \det A = 0 .\] Diskriminan terhadap hal ini persamaan kuadrat ditentukan oleh relasi \ Jadi, kurva bifurkasi , yang membatasi mode stabilitas yang berbeda, adalah parabola pada bidang \(\left((\text(tr)\,A,\det A) \right)\) (Gbr.\(17\)): \[\det A = (\left((\frac(\text(tr)\,A)(2)) \right)^2).\] Di atas parabola terdapat titik kesetimbangan seperti fokus dan pusat. Titik-titik tipe "pusat" terletak pada sumbu semi positif \(Oy,\) yaitu. asalkan \(\text(tr)\,A = 0.\) Di bawah parabola terdapat titik-titik bertipe “simpul” atau “sadel”. Parabola itu sendiri mengandung simpul-simpul dikritis atau merosot.

Mode gerak stabil ada di kuadran kiri atas diagram bifurkasi. Tiga kuadran sisanya berhubungan dengan posisi keseimbangan yang tidak stabil.

Algoritma untuk membuat potret fase

Untuk membangun secara skematis potret fase linier sistem otonom\(2\)orde ke-th dengan koefisien konstan \[ (\mathbf(X") = A\mathbf(X),)\;\; (A = \left((\begin(array)(*(20) ( c)) ((a_(11)))&((a_(12)))\\ ((a_(21)))&((a_(22))) \end(array)) \kanan), ) \;\; (\mathbf(X) = \left((\begin(array)(*(20)(c)) x\\ y \end(array)) \right)) \] Anda harus melakukan hal berikut Langkah :

    Cari nilai eigen matriks dengan menyelesaikan persamaan karakteristik \[(\lambda ^2) - \left(((a_(11)) + (a_(22))) \right)\lambda + (a_(11 ))(a_( 22)) - (a_(12))(a_(21)) = 0.\]

    Tentukan jenis posisi setimbang dan sifat stabilitasnya.

    Catatan: Jenis posisi kesetimbangan juga dapat ditentukan berdasarkan diagram bifurkasi (Gbr.\(17\)), dengan mengetahui jejak dan determinan matriks: \[ (\text(tr)\,A = (a_( 11)) + (a_( 22)),)\;\; (\det A = \kiri| (\begin(array)(*(20)(c)) ((a_(11)))&((a_(12)))\\ ((a_(21))) &((a_(22))) \end(array)) \kanan| ) = ((a_(11))(a_(22)) - (a_(12))(a_(21)).) \]

    Temukan persamaannya isoklin: \[ (\frac((dx))((dt)) = (a_(11))x + (a_(12))y)\;\; (\kiri(\teks(isoklin vertikal) \kanan),) \] \[ (\frac((dy))((dt)) = (a_(21))x + (a_(22))y)\ ;\; (\kiri(\teks(isoklin horizontal) \kanan).) \]

    Jika posisi setimbangnya adalah simpul atau , maka vektor eigen perlu dihitung dan menggambar asimtot yang sejajar dengan vektor eigen yang melewati titik asal.

    Gambarlah potret fase secara skematis.

    Tunjukkan arah pergerakan sepanjang lintasan fase (tergantung pada stabilitas atau ketidakstabilan titik keseimbangan). Kapan fokus arah putaran lintasan harus ditentukan. Hal ini dapat dilakukan dengan menghitung vektor kecepatan \(\left((\large\frac((dx))((dt))\normalsize,\large\frac((dy))((dt))\normalsize) \ kanan) \)pada suatu titik sembarang, misalnya pada titik \(\kiri((1,0) \kanan).\) Arah pergerakan ditentukan dengan cara yang sama jika posisi setimbangnya adalah tengah .

Algoritma yang dijelaskan bukanlah skema yang kaku. Saat mempelajari sistem tertentu, berbagai variasi dan teknik lain cukup dapat diterima, yang pada akhirnya memungkinkan untuk menggambarkan potret fase.

Cabang ilmu mekanika yang mempelajari kondisi keseimbangan benda disebut statika. Cara termudah adalah dengan mempertimbangkan kondisi keseimbangan secara mutlak padat, yaitu benda yang dimensi dan bentuknya dapat dianggap tidak berubah. Konsep benda tegar mutlak adalah sebuah abstraksi, karena semua benda nyata, di bawah pengaruh gaya yang diterapkan padanya, mengalami deformasi sampai tingkat tertentu, yaitu mengubah bentuk dan ukurannya. Besarnya deformasi bergantung pada gaya yang diterapkan pada benda dan pada sifat benda itu sendiri - bentuknya dan sifat bahan pembuatnya. Dalam banyak kasus praktis yang penting, deformasinya kecil dan penggunaan konsep benda tegar mutlak dapat dibenarkan.

Model bodi yang benar-benar kaku. Namun, kecilnya deformasi tidak selalu merupakan kondisi yang cukup bagi suatu benda untuk dianggap benar-benar padat. Untuk mengilustrasikannya, perhatikan contoh berikut. Sebuah papan yang terletak pada dua penyangga (Gbr. 140a) dapat dianggap sebagai benda yang benar-benar kaku, meskipun faktanya papan tersebut sedikit bengkok karena pengaruh gravitasi. Memang, dalam hal ini, kondisi keseimbangan mekanis memungkinkan untuk menentukan gaya reaksi tumpuan tanpa memperhitungkan deformasi papan.

Tetapi jika papan yang sama bertumpu pada penyangga yang sama (Gbr. 1406), maka gagasan tentang benda yang benar-benar kaku tidak dapat diterapkan. Faktanya, biarkan penyangga luar berada pada garis horizontal yang sama, dan penyangga tengah sedikit lebih rendah. Jika papan tersebut benar-benar kokoh yaitu tidak bengkok sama sekali, maka tidak memberikan tekanan sama sekali pada tumpuan tengah. semakin kuat itu. Kondisi

Kesetimbangan benda tegar mutlak dalam hal ini tidak memungkinkan kita untuk menentukan gaya reaksi tumpuan, karena gaya reaksi tersebut menghasilkan dua persamaan untuk tiga besaran yang tidak diketahui.

Beras. 140. Gaya reaksi yang bekerja pada papan yang terletak pada dua (a) dan tiga (b) tumpuan

Sistem seperti ini disebut statis tak tentu. Untuk menghitungnya, perlu memperhitungkan sifat elastis benda.

Contoh di atas menunjukkan bahwa penerapan model benda tegar mutlak dalam statika tidak banyak ditentukan oleh sifat benda itu sendiri, melainkan oleh kondisi lokasinya. Jadi, dalam contoh yang dibahas, bahkan sedotan tipis pun dapat dianggap benda padat jika diletakkan pada dua penyangga. Tetapi bahkan balok yang sangat kaku pun tidak dapat dianggap sebagai benda yang benar-benar kaku jika bertumpu pada tiga penyangga.

Kondisi keseimbangan. Kondisi kesetimbangan benda tegar mutlak adalah kasus spesial persamaan dinamis ketika tidak ada percepatan, meskipun secara historis statika muncul dari kebutuhan peralatan konstruksi hampir dua milenium sebelum dinamika. DI DALAM sistem inersia titik acuan, suatu benda tegar berada dalam keadaan setimbang jika jumlah vektor semua gaya luar yang bekerja pada benda dan jumlah vektor momen gaya-gaya tersebut sama dengan nol. Jika syarat pertama terpenuhi, percepatan pusat massa benda adalah nol. Jika kondisi kedua terpenuhi, tidak ada percepatan sudut rotasi. Oleh karena itu, jika pada saat awal benda dalam keadaan diam, maka selanjutnya benda tersebut akan tetap diam.

Berikut ini kita akan membatasi diri pada studi tentang sistem yang relatif sederhana yang mencakup segalanya kekuatan aktif berbaring di pesawat yang sama. Dalam hal ini, kondisi vektor

direduksi menjadi dua skalar:

jika kita memposisikan sumbu bidang aksi gaya. Beberapa gaya luar yang bekerja pada benda yang termasuk dalam kondisi kesetimbangan (1) dapat ditentukan, yaitu modul dan arahnya diketahui. Adapun gaya-gaya reaksi dari sambungan atau tumpuan yang membatasi kemungkinan pergerakan suatu benda, pada umumnya, tidak dapat ditentukan sebelumnya dan dapat ditentukan dengan sendirinya. Dengan tidak adanya gesekan, gaya reaksi tegak lurus terhadap permukaan kontak benda.

Beras. 141. Untuk menentukan arah gaya reaksi

Kekuatan reaksi. Terkadang muncul keraguan dalam menentukan arah gaya reaksi ikatan, seperti misalnya pada Gambar. Gambar 141 menunjukkan sebuah batang yang bertumpu di titik A pada permukaan cangkir yang licin dan cekung dan di titik B pada tepi lancip cangkir.

Untuk menentukan arah gaya reaksi dalam hal ini, Anda dapat menggerakkan batang secara mental sedikit tanpa mengganggu kontaknya dengan cangkir. Gaya reaksi akan diarahkan tegak lurus terhadap permukaan tempat titik kontak meluncur. Jadi, di titik A gaya reaksi yang bekerja pada batang tegak lurus permukaan cangkir, dan di titik B tegak lurus batang.

Momen kekuasaan. Momen gaya M relatif terhadap suatu titik

HAI dipanggil produk vektor vektor radius yang ditarik dari O ke titik penerapan gaya, ke vektor gaya

Vektor M momen gaya tegak lurus terhadap bidang tempat vektor berada

Persamaan momen. Jika beberapa gaya bekerja pada suatu benda, maka kondisi keseimbangan kedua yang berhubungan dengan momen gaya ditulis dalam bentuk

Dalam hal ini, titik O dari mana vektor jari-jari ditarik harus dipilih yang merupakan titik persekutuan terhadap semua gaya yang bekerja.

Untuk sistem gaya bidang, vektor momen semua gaya diarahkan tegak lurus terhadap bidang tempat gaya-gaya itu berada, jika momen dianggap relatif terhadap suatu titik yang terletak pada bidang yang sama. Oleh karena itu, kondisi vektor (4) untuk momen direduksi menjadi satu skalar: pada posisi setimbang, jumlah aljabar momen semua gaya kerja eksternal sama dengan nol. Modulus momen gaya terhadap titik O sama dengan hasil kali modulus

gaya-gaya pada jarak dari titik O ke garis yang dilalui gaya tersebut.Dalam hal ini, momen yang cenderung memutar benda searah jarum jam diambil dengan tanda yang sama, berlawanan arah jarum jam - dengan tanda sebaliknya. Pemilihan titik relatif terhadap momen gaya yang dipertimbangkan dibuat semata-mata karena alasan kenyamanan: persamaan momen akan lebih sederhana, semakin banyak gaya yang memiliki momen sama dengan nol.

Contoh keseimbangan. Untuk mengilustrasikan penerapan kondisi kesetimbangan benda tegar mutlak, perhatikan contoh berikut. Tangga ringan terdiri dari dua bagian yang identik, berengsel di bagian atas dan diikat dengan tali di bagian dasarnya (Gbr. 142). Mari kita tentukan berapa gaya tegangan tali, dengan gaya apa kedua bagian tangga berinteraksi pada engsel dan dengan gaya apa yang menekan lantai, jika seseorang dengan berat R berdiri di tengah salah satunya.

Sistem yang dipertimbangkan terdiri dari dua benda padat - separuh tangga, dan kondisi keseimbangan dapat diterapkan baik pada sistem secara keseluruhan maupun pada bagian-bagiannya. Dengan menerapkan kondisi kesetimbangan pada keseluruhan sistem secara keseluruhan, kita dapat menemukan gaya reaksi lantai dan (Gbr. 142). Dengan tidak adanya gesekan, gaya-gaya ini diarahkan secara vertikal ke atas dan syarat jumlah vektor gaya-gaya luar sama dengan nol (1) berbentuk

Kondisi kesetimbangan momen gaya luar terhadap titik A ditulis sebagai berikut:

dimana adalah panjang tangga, sudut yang dibentuk tangga dengan lantai. Memecahkan sistem persamaan (5) dan (6), kita temukan

Beras. 142. Jumlah vektor gaya luar dan jumlah momen gaya luar dalam keadaan setimbang sama dengan nol

Tentu saja, daripada persamaan momen (6) terhadap titik A, kita dapat menulis persamaan momen terhadap titik B (atau titik lainnya). Hal ini akan menghasilkan sistem persamaan yang setara dengan sistem yang digunakan (5) dan (6).

Gaya tegangan tali dan gaya interaksi pada engsel dipertimbangkan sistem fisik bersifat internal dan oleh karena itu tidak dapat ditentukan dari kondisi keseimbangan seluruh sistem secara keseluruhan. Untuk menentukan gaya-gaya ini, perlu mempertimbangkan kondisi keseimbangan masing-masing bagian sistem. Di mana

dengan berhasil memilih titik relatif terhadap persamaan momen gaya yang dibuat, penyederhanaan dapat dicapai sistem aljabar persamaan. Jadi, misalnya, dalam sistem ini kita dapat memperhatikan kondisi kesetimbangan momen gaya yang bekerja pada paruh kiri tangga relatif terhadap titik C, tempat engsel berada.

Dengan pemilihan titik C ini, gaya-gaya yang bekerja pada engsel tidak akan termasuk dalam kondisi ini, dan kita langsung mencari gaya tegangan tali T:

di mana, dengan mempertimbangkan apa yang kita dapatkan

Kondisi (7) berarti resultan gaya T yang melalui titik C, yaitu diarahkan sepanjang tangga. Oleh karena itu, keseimbangan separuh tangga ini hanya mungkin jika gaya yang bekerja pada engsel juga diarahkan sepanjang tangga (Gbr. 143), dan modulusnya sama dengan modulus gaya resultan T dan

Beras. 143. Garis kerja ketiga gaya yang bekerja pada paruh kiri tangga melewati satu titik

Nilai absolut gaya yang bekerja pada engsel pada separuh tangga lainnya, berdasarkan hukum ketiga Newton, adalah sama dan arahnya berlawanan dengan arah vektor. Arah gaya dapat ditentukan langsung dari Gambar. 143, dengan mempertimbangkan bahwa ketika suatu benda berada dalam keseimbangan di bawah aksi tiga gaya, garis-garis di mana gaya-gaya ini bekerja berpotongan di satu titik. Memang benar, mari kita perhatikan titik potong garis kerja dua dari tiga gaya ini dan buat persamaan momen di sekitar titik ini. Momen dua gaya pertama terhadap titik ini sama dengan nol; Artinya momen gaya ketiga juga harus sama dengan nol, yang menurut (3), hanya mungkin terjadi jika garis kerjanya juga melalui titik tersebut.

Aturan emas mekanika. Kadang-kadang masalah statika dapat diselesaikan tanpa mempertimbangkan kondisi kesetimbangan sama sekali, tetapi dengan menggunakan hukum kekekalan energi dalam kaitannya dengan mekanisme tanpa gesekan: tidak ada mekanisme yang memberikan keuntungan dalam usaha. hukum ini

disebut aturan emas mekanika. Untuk mengilustrasikan pendekatan ini, perhatikan contoh berikut: sebuah beban berat berbobot P digantung pada engsel tanpa bobot dengan tiga sambungan (Gbr. 144). Berapakah gaya tegangan yang harus ditahan oleh benang penghubung titik A dan B?

Beras. 144. Untuk menentukan gaya tarik benang pada engsel tiga mata rantai yang menopang beban berbobot P

Mari kita coba menggunakan mekanisme ini untuk mengangkat beban P. Setelah melepaskan ikatan benang di titik A, tarik ke atas sehingga titik B perlahan naik ke suatu jarak.Jarak ini dibatasi oleh gaya tegangan benang T harus tetap tidak berubah. selama gerakan. Dalam hal ini, seperti yang akan terlihat jelas dari jawabannya, gaya T tidak bergantung sama sekali pada seberapa kuat engsel dikompresi atau diregangkan. Pekerjaan selesai. Akibatnya, beban P naik ke ketinggian yang, berdasarkan pertimbangan geometris, sama dengan Karena tanpa adanya gesekan tidak terjadi kehilangan energi, dapat dikatakan bahwa perubahan energi potensial beban ditentukan. oleh usaha yang dilakukan selama pengangkatan. Itu sebabnya

Jelasnya, untuk engsel yang berisi sejumlah tautan identik,

Tidak sulit untuk menemukan gaya tarik benang, dan jika berat engsel itu sendiri perlu diperhitungkan, usaha yang dilakukan selama pengangkatan harus disamakan dengan jumlah perubahan energi potensial benang. beban dan engselnya. Untuk engsel dengan sambungan identik, pusat massanya naik sebesar Oleh karena itu

Prinsip yang dirumuskan (“ peraturan Emas mekanika") juga berlaku bila selama proses gerak tidak terjadi perubahan energi potensial, dan mekanisme tersebut digunakan untuk mengubah gaya. Gearbox, transmisi, gerbang, sistem tuas dan blok - dalam semua sistem tersebut, gaya yang dikonversi dapat ditentukan dengan menyamakan kerja gaya yang diubah dan yang diterapkan. Dengan kata lain, jika tidak ada gesekan, rasio gaya-gaya ini hanya ditentukan oleh geometri perangkat.

Mari kita perhatikan dari sudut pandang ini contoh tangga yang dibahas di atas. Tentu saja, menggunakan tangga sebagai mekanisme pengangkatan, yaitu mengangkat seseorang dengan mendekatkan kedua bagian tangga, hampir tidak disarankan. Namun, hal ini tidak menghalangi kita untuk menerapkan metode yang dijelaskan untuk mencari gaya tegangan tali. Menyamakan usaha yang dilakukan ketika bagian-bagian tangga bersatu dengan perubahan energi potensial orang yang menaiki tangga dan, dari pertimbangan geometri, menghubungkan pergerakan ujung bawah tangga dengan perubahan ketinggian beban. (Gbr. 145), kita memperoleh, seperti yang diharapkan, hasil yang diberikan sebelumnya:

Seperti telah disebutkan, gerakan harus dipilih sedemikian rupa sehingga selama proses tersebut gaya yang bekerja dapat dianggap konstan. Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam contoh engsel, kondisi ini tidak membatasi pergerakan, karena gaya tegangan benang tidak bergantung pada sudut (Gbr. 144). Sebaliknya, pada soal tangga, perpindahannya harus dipilih kecil, karena gaya tarik tali bergantung pada sudut a.

Stabilitas keseimbangan. Keseimbangan bisa stabil, tidak stabil, dan acuh tak acuh. Kesetimbangan stabil (Gbr. 146a) jika, dengan gerakan kecil benda dari posisi setimbang, gaya yang bekerja cenderung mengembalikannya, dan tidak stabil (Gbr. 1466) jika gaya membawanya lebih jauh dari posisi setimbang.

Beras. 145. Pergerakan ujung bawah tangga dan pergerakan beban ketika separuh tangga bersatu

Beras. 146. Keseimbangan stabil (a), tidak stabil (b) dan acuh tak acuh (c).

Jika, pada perpindahan kecil, gaya-gaya yang bekerja pada benda dan momen-momennya masih seimbang, maka kesetimbangannya tidak berubah (Gbr. 146c). Dalam keseimbangan acuh tak acuh, posisi tubuh yang berdekatan juga berada dalam keseimbangan.

Mari kita perhatikan contoh mempelajari stabilitas keseimbangan.

1. Kesetimbangan stabil sesuai dengan energi potensial minimum suatu benda dalam kaitannya dengan nilainya pada posisi tetangga benda tersebut. Sifat ini sering kali mudah digunakan ketika mencari posisi kesetimbangan dan ketika mempelajari sifat kesetimbangan.

Beras. 147. Stabilitas keseimbangan tubuh dan posisi pusat massa

Kolom vertikal yang berdiri bebas berada dalam keseimbangan yang stabil, karena pada kemiringan kecil pusat massanya naik. Hal ini terjadi sampai proyeksi vertikal pusat massa melampaui daerah tumpuan, yaitu sudut deviasi dari vertikal tidak melebihi nilai maksimum tertentu. Dengan kata lain, daerah stabilitas berkisar dari energi potensial minimum (dalam posisi vertikal) hingga energi potensial maksimum yang paling dekat dengannya (Gbr. 147). Jika pusat massa terletak tepat di atas batas daerah tumpuan, kolom juga berada dalam keadaan setimbang, namun tidak stabil. Kolom yang terletak secara horizontal berhubungan dengan rentang stabilitas yang jauh lebih luas.

2. Ada dua buah pensil berbentuk bulat berjari-jari dan salah satunya terletak mendatar, yang lain diseimbangkan di atasnya dalam posisi mendatar sehingga sumbu-sumbu pensil saling tegak lurus (Gbr. 148a). Pada perbandingan jari-jari berapakah kesetimbangan stabil? Pada sudut maksimum berapakah pensil bagian atas dapat dimiringkan dari garis horizontal? Koefisien gesekan pensil terhadap satu sama lain adalah sama dengan

Pada pandangan pertama, keseimbangan pensil bagian atas secara umum terlihat tidak stabil, karena pusat massa pensil bagian atas terletak di atas sumbu di mana ia dapat berputar. Namun di sini posisi sumbu rotasi tidak tetap tidak berubah, sehingga hal ini memerlukan kajian khusus. Karena pensil bagian atas seimbang dalam posisi horizontal, pusat massa pensil terletak pada posisi vertikal ini (Gbr.).

Mari miringkan pensil bagian atas pada sudut tertentu dari horizontal. Jika tidak ada gesekan statis, ia akan langsung meluncur ke bawah. Agar tidak memikirkan kemungkinan selip untuk saat ini, kita asumsikan gesekannya cukup besar. Dalam hal ini, pensil atas “berguling” di atas pensil bawah tanpa tergelincir. Titik tumpu dari posisi A berpindah ke posisi baru C, dan titik di mana pensil atas bertumpu pada pensil bawah sebelum simpangan

menuju ke posisi B. Karena tidak ada selip, maka panjang busur sama dengan panjang ruas

Beras. 148. Pensil bagian atas diseimbangkan secara horizontal pada pensil bagian bawah (a); untuk mempelajari stabilitas keseimbangan (b)

Pusat massa pensil bagian atas bergerak ke posisi . Jika garis vertikal yang ditarik lewat ke kiri titik tumpu C yang baru, maka gravitasi cenderung mengembalikan pensil bagian atas ke posisi setimbangnya.

Mari kita nyatakan kondisi ini secara matematis. Menggambar garis vertikal melalui titik B, kita melihat bahwa kondisi tersebut harus dipenuhi

Karena dari kondisi (8) kita peroleh

Karena gaya gravitasi akan cenderung mengembalikan pensil atas ke posisi setimbang hanya pada saat Oleh karena itu, keseimbangan stabil pensil atas dan pensil bawah hanya mungkin terjadi bila jari-jarinya lebih kecil dari jari-jari pensil bawah.

Peran gesekan. Untuk menjawab pertanyaan kedua, Anda perlu mencari tahu alasan apa yang membatasi sudut deviasi yang diijinkan. Pertama, pada sudut defleksi yang besar, garis vertikal yang ditarik melalui pusat massa pensil atas dapat lewat ke kanan titik tumpu C. Dari kondisi (9) jelas bahwa untuk perbandingan jari-jari pensil tertentu. sudut defleksi maksimum

Apakah kondisi kesetimbangan benda tegar selalu cukup untuk menentukan gaya reaksi?

Bagaimana cara praktis menentukan arah gaya reaksi tanpa adanya gesekan?

Bagaimana Anda dapat menggunakan aturan emas mekanika ketika menganalisis kondisi kesetimbangan?

Jika pada engsel yang ditunjukkan pada Gambar. 144, bukan titik A dan B yang dihubungkan dengan benang, melainkan titik A dan C, lalu berapa gaya tariknya?

Bagaimana hubungan kestabilan kesetimbangan suatu sistem dengan energi potensialnya?

Kondisi apa yang menentukan sudut defleksi maksimum suatu benda yang bertumpu pada bidang di tiga titik agar kestabilannya tidak hilang?

Untuk menilai perilaku suatu benda dalam kondisi nyata, tidak cukup hanya mengetahui bahwa benda tersebut berada dalam keseimbangan. Kami masih perlu mengevaluasi keseimbangan ini. Ada keseimbangan yang stabil, tidak stabil dan acuh tak acuh.

Keseimbangan tubuh disebut berkelanjutan, jika, ketika menyimpang darinya, timbul gaya yang mengembalikan benda ke posisi setimbang (Gbr. 1 posisi 2). Dalam keseimbangan stabil, pusat gravitasi benda menempati posisi terendah di dekatnya. Posisi keseimbangan stabil dikaitkan dengan energi potensial minimum dalam kaitannya dengan semua posisi benda yang berdekatan.

Keseimbangan tubuh disebut tidak stabil, jika, dengan penyimpangan sekecil apa pun darinya, resultan gaya-gaya yang bekerja pada benda menyebabkan penyimpangan lebih lanjut pada benda dari posisi setimbang (Gbr. 1, posisi 1). Dalam posisi kesetimbangan tidak stabil, ketinggian pusat gravitasi adalah maksimum dan energi potensial maksimum dibandingkan dengan posisi benda terdekat lainnya.

Kesetimbangan, dimana perpindahan suatu benda ke segala arah tidak menyebabkan perubahan gaya-gaya yang bekerja padanya dan keseimbangan benda tetap terjaga, disebut cuek(Gbr. 1 posisi 3).

Kesetimbangan acuh tak acuh dikaitkan dengan energi potensial konstan di semua keadaan dekat, dan ketinggian pusat gravitasi sama di semua posisi cukup dekat.

Suatu benda yang mempunyai sumbu rotasi (misalnya penggaris seragam yang dapat berputar mengelilingi sumbu yang melalui titik O, ditunjukkan pada Gambar 2) berada dalam keadaan setimbang jika garis lurus vertikal yang melalui pusat gravitasi benda melewati titik tersebut. sumbu rotasi. Selain itu, jika pusat gravitasi C lebih tinggi dari sumbu rotasi (Gbr. 2.1), maka setiap penyimpangan dari posisi setimbang, energi potensial berkurang dan momen gravitasi relatif terhadap sumbu O membelokkan benda lebih jauh dari sumbu rotasi. posisi keseimbangan. Ini adalah posisi keseimbangan yang tidak stabil. Jika pusat gravitasi berada di bawah sumbu rotasi (Gbr. 2.2), maka kesetimbangannya stabil. Jika pusat gravitasi dan sumbu rotasi bertepatan (Gbr. 2,3), maka posisi kesetimbangannya tidak berbeda.

Suatu benda yang mempunyai luas tumpuan berada dalam keadaan setimbang jika garis vertikal yang melalui pusat gravitasi benda tersebut tidak melampaui daerah tumpuan benda tersebut, yaitu. melampaui kontur yang dibentuk oleh titik-titik kontak benda dengan tumpuan.Kesetimbangan dalam hal ini tidak hanya bergantung pada jarak antara pusat gravitasi dan tumpuan (yaitu pada energi potensialnya dalam medan gravitasi bumi), tetapi juga pada letak dan ukuran area penyangga tubuh tersebut.

Gambar 2 menunjukkan benda berbentuk silinder. Jika dimiringkan sedikit maka akan kembali ke posisi semula 1 atau 2. Jika dimiringkan dengan sudut (posisi 3) maka benda akan terjungkal. Untuk massa dan luas tumpuan tertentu, semakin tinggi kestabilan suatu benda, semakin rendah letak pusat gravitasinya, yaitu. semakin kecil sudut antara garis lurus yang menghubungkan pusat gravitasi benda dan titik ekstrim kontak daerah tumpuan dengan bidang mendatar.

Dalam statika benda tegar mutlak, ada tiga jenis kesetimbangan.

1. Perhatikan sebuah bola yang terletak pada permukaan cekung. Pada posisi yang ditunjukkan pada Gambar. 88, bola berada dalam kesetimbangan: gaya reaksi tumpuan menyeimbangkan gaya gravitasi .

Jika bola dibelokkan dari posisi setimbang, maka jumlah vektor gaya gravitasi dan reaksi tumpuan tidak lagi sama dengan nol: timbul gaya. , yang cenderung mengembalikan bola ke posisi setimbang semula (to the point TENTANG).

Ini adalah contoh keseimbangan yang stabil.

Lanjutkan Jenis kesetimbangan ini disebut, pada saat keluarnya timbul gaya atau momen gaya yang cenderung mengembalikan benda pada posisi setimbang.

Energi potensial bola pada titik mana pun pada permukaan cekung lebih besar daripada energi potensial pada posisi setimbang (di titik TENTANG). Misalnya saja pada intinya A(Gbr. 88) energi potensial lebih besar daripada energi potensial di suatu titik TENTANG berdasarkan jumlah E P ( A) - E n(0) = mgh.

Pada posisi keseimbangan stabil, energi potensial suatu benda mempunyai nilai minimum dibandingkan dengan posisi tetangganya.

2. Sebuah bola pada permukaan cembung berada dalam posisi setimbang di titik teratas (Gbr. 89), dimana gaya gravitasi diseimbangkan oleh gaya reaksi tumpuan. Jika Anda membelokkan bola dari titik tersebut TENTANG, kemudian muncul gaya yang arahnya menjauhi posisi setimbang.

Di bawah pengaruh gaya, bola akan menjauh dari titik tersebut TENTANG. Ini adalah contoh keseimbangan yang tidak stabil.

Tidak stabil Jenis kesetimbangan ini disebut, pada saat keluarnya timbul gaya atau momen gaya yang cenderung membawa benda semakin jauh dari posisi setimbang.

Energi potensial bola pada permukaan cembung adalah nilai tertinggi(maksimum) pada titik TENTANG. Pada titik lain, energi potensial bola menjadi lebih kecil. Misalnya saja pada intinya A(Gbr. 89) energi potensial lebih kecil dibandingkan pada suatu titik TENTANG, berdasarkan jumlahnya E P ( 0 ) - E p ( A) = mgh.

Pada posisi kesetimbangan tidak stabil, energi potensial suatu benda mempunyai nilai maksimum dibandingkan dengan posisi tetangganya.

3. Pada permukaan horizontal, gaya yang bekerja pada bola seimbang di setiap titik: (Gbr. 90). Jika, misalnya, Anda memindahkan bola dari titik tersebut TENTANG tepat A, maka gaya resultannya
gravitasi dan reaksi darat masih nol, mis. di titik A bola juga berada pada posisi setimbang.

Ini adalah contoh dari keseimbangan yang acuh tak acuh.

Cuek Jenis kesetimbangan ini disebut, ketika keluar, benda tetap berada pada posisi baru dalam kesetimbangan.

Energi potensial bola di semua titik permukaan horizontal (Gbr. 90) adalah sama.

Pada posisi kesetimbangan acuh tak acuh, energi potensialnya sama.

Terkadang dalam praktiknya perlu untuk menentukan jenis keseimbangan benda berbagai bentuk di bidang gravitasi. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengingatnya aturan berikut:

1. Benda dapat berada pada posisi keseimbangan stabil jika titik penerapan gaya reaksi dasar berada di atas pusat gravitasi benda. Selain itu, titik-titik ini terletak pada vertikal yang sama (Gbr. 91).

Pada Gambar. 91, B Peran gaya reaksi tumpuan dimainkan oleh gaya tegangan benang.

2. Bila titik penerapan gaya reaksi tanah berada di bawah pusat gravitasi, ada dua kasus yang mungkin terjadi:

Jika tumpuannya berbentuk titik (luas permukaan tumpuan kecil), maka keseimbangannya tidak stabil (Gbr. 92). Dengan sedikit penyimpangan dari posisi setimbang, momen gaya cenderung memperbesar penyimpangan dari posisi awal;

Jika tumpuan tidak berbentuk titik (luas permukaan tumpuan besar), maka posisi kesetimbangan stabil jika garis aksi gravitasi A A" memotong permukaan penyangga tubuh
(Gbr. 93). Dalam hal ini, dengan sedikit penyimpangan benda dari posisi setimbang, timbul momen gaya yang mengembalikan benda ke posisi semula.


??? JAWABLAH PERTANYAAN:

1. Bagaimana posisi pusat gravitasi suatu benda berubah jika benda tersebut dipindahkan dari posisi: a) keseimbangan stabil? b) keseimbangan tidak stabil?

2. Bagaimana energi potensial suatu benda berubah jika posisinya diubah dalam kesetimbangan acuh tak acuh?