Konsep “himpunan”, “elemen”, “kepemilikan suatu elemen pada suatu himpunan” adalah konsep utama matematika. Sekelompok- kumpulan (kumpulan) benda apa pun .

A adalah himpunan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, maka AÌB Û (ХОА Þ ХОВ).

Dua set adalah sama, jika keduanya terdiri dari elemen yang sama. Kita berbicara tentang persamaan teori himpunan (jangan bingung dengan persamaan antar bilangan): A=BÛAÌBÙVA.

Persatuan dua set terdiri dari elemen-elemen yang termasuk dalam setidaknya salah satu himpunan, mis. KHOAÈV Û KHOAÚ KHOV.

Persimpangan terdiri dari semua elemen yang secara bersamaan termasuk dalam himpunan A dan himpunan B: хОАХВ Û хОА Ù хОВ.

Perbedaan terdiri dari semua elemen A yang bukan milik B, yaitu xО A\B Û xОА ÙхПВ.

produk kartesius C=A´B dari himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan yang mungkin ( x, y), dimana elemen pertama X setiap pasangan berisi A, dan elemen keduanya pada milik V .

Subset F dari produk Cartesian A´B disebut memetakan himpunan A ke himpunan B , jika kondisi terpenuhi: (" X OA)($!pasangan ( x.y)JIKA). Pada saat yang sama mereka menulis: A V.

Istilah “tampilan” dan “fungsi” adalah sinonim. Jika ("хОА)($! уУВ): ( x, y)ОF, lalu elemennya padaÎ DI DALAM ditelepon jalan X saat menampilkan F dan tulis seperti ini: pada=F( X). Elemen X pada saat yang sama adalah prototipe (salah satu kemungkinan) elemen y.

Mari kita pertimbangkan himpunan bilangan rasional Q - himpunan semua bilangan bulat dan himpunan semua pecahan (positif dan negatif). Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi, misalnya 1 =4/3=8/6=12/9=…. Ada banyak representasi seperti itu, tetapi hanya satu yang tidak dapat direduksi .

DI DALAM bilangan rasional apa pun bisa satu-satunya jalan direpresentasikan sebagai pecahan p/q, dimana pÎZ, qÎN, bilangan p, q adalah koprima.

Sifat-sifat himpunan Q:

1. Ketertutupan dalam operasi aritmatika. Hasil penjumlahan, pengurangan, perkalian, pangkat alami, pembagian (kecuali pembagian dengan 0) bilangan rasional adalah bilangan rasional: ; ; .

2. Keteraturan: (" x, kamu sayaQ, x¹y)®( X Ú x>y).

Selain itu: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2)A -B.

3. Kepadatan. Antara dua bilangan rasional x, kamu ada bilangan rasional ketiga (misalnya, c= ):

("x, kamu sayaQ, X<kamu)($cÎQ) : ( Xkamu).

Di himpunan Q Anda dapat melakukan 4 operasi aritmatika, menyelesaikan sistem persamaan linier, tetapi persamaan kuadrat berbentuk x 2 =a, aÎ N tidak selalu dapat diselesaikan di himpunan Q.

Dalil. Tidak ada nomor xÎQ, yang kuadratnya 2.

g Misalkan ada pecahan seperti itu X=p/q, dimana bilangan p dan q adalah koprima dan X 2 =2. Maka (p/q) 2 =2. Karena itu,

Ruas kanan (1) habis dibagi 2, artinya p 2 bilangan genap. Jadi p=2n (n-integer). Maka q pasti bilangan ganjil.

Kembali ke (1), kita memiliki 4n 2 =2q 2. Oleh karena itu q 2 =2n 2. Demikian pula, kita pastikan bahwa q habis dibagi 2, yaitu. q adalah bilangan genap. Teorema tersebut dibuktikan dengan kontradiksi.n

representasi geometris bilangan rasional. Menempatkan segmen satuan dari titik asal koordinat 1, 2, 3... kali ke kanan, kita memperoleh titik-titik pada garis koordinat yang bersesuaian bilangan asli. Dengan menggeser serupa ke kiri, kita memperoleh titik-titik yang sesuai dengan bilangan bulat negatif. Mari kita ambil 1/q(q= 2,3,4 … ) bagian dari segmen satuan dan kita akan menempatkannya di kedua sisi titik asal R sekali. Kita memperoleh titik-titik garis yang sesuai dengan bilangan-bilangan bentuknya ±p/q (pОZ, qОN). Jika p, q melewati semua pasangan bilangan prima yang relatif, maka pada garis lurus kita mempunyai semua titik yang bersesuaian dengan bilangan pecahan. Dengan demikian, Menurut metode yang diterima, setiap bilangan rasional berhubungan dengan satu titik pada garis koordinat.

Apakah mungkin menentukan satu bilangan rasional untuk setiap titik? Apakah garis tersebut seluruhnya diisi dengan bilangan rasional?

Ternyata ada titik-titik pada garis koordinat yang tidak sesuai dengan bilangan rasional apapun. Kami membangun segitiga siku-siku sama kaki pada segmen satuan. Titik N tidak sesuai dengan bilangan rasional, karena jika PADA=x- secara rasional, kalau begitu x 2 = 2, yang tidak mungkin.

Ada banyak sekali titik yang serupa dengan titik N pada suatu garis lurus. Mari kita ambil bagian rasional dari segmen tersebut x=AKTIF, itu. X. Jika kita memindahkannya ke kanan, maka tidak ada bilangan rasional yang sesuai dengan masing-masing ujung segmen tersebut. Dengan asumsi panjang ruas dinyatakan dengan bilangan rasional x=, kami mengerti x=- rasional. Hal ini bertentangan dengan apa yang telah dibuktikan di atas.

Bilangan rasional saja tidak cukup untuk mengasosiasikan bilangan rasional tertentu dengan setiap titik pada garis koordinat.

Mari kita membangun sekelompok bilangan real R melalui desimal tak berujung.

Menurut algoritma pembagian “sudut”, bilangan rasional apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal periodik berhingga atau tak terhingga. Jika penyebut pecahan p/q tidak mempunyai faktor prima selain 2 dan 5, yaitu q=2 m ×5 k, maka hasilnya adalah pecahan desimal akhir p/q=a 0,a 1 a 2 …an. Pecahan lain hanya dapat memiliki pemuaian desimal tak terhingga.

Mengetahui pecahan desimal periodik tak terhingga, Anda dapat menemukan bilangan rasional yang merupakan representasinya. Namun pecahan desimal berhingga apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal tak hingga dengan salah satu cara berikut:

a 0 ,a 1 a 2 …an = a 0 ,a 1 a 2 …an 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(an -1)999… (2)

Misalnya, untuk pecahan desimal tak terhingga X=0,(9) kita punya 10 X=9,(9). Jika kita mengurangkan bilangan asli dari 10x, kita mendapatkan 9 X=9 atau 1=1,(0)=0,(9).

Korespondensi satu-satu terbentuk antara himpunan semua bilangan rasional dan himpunan semua pecahan desimal periodik tak hingga jika kita mengidentifikasi pecahan desimal tak hingga dengan angka 9 pada periode tersebut dengan pecahan desimal tak hingga yang bersesuaian dengan angka 0 di periode menurut aturan (2).

Mari kita sepakat untuk menggunakan pecahan periodik tak hingga yang tidak memiliki angka 9 pada periodenya. Jika dalam proses penalaran muncul pecahan desimal periodik tak hingga dengan angka 9 pada periode, maka kita akan menggantinya dengan pecahan desimal tak hingga dengan angka nol pada periode, yaitu. dari pada 1,999...kita ambil 2,000...

Definisi bilangan irasional. Selain pecahan desimal periodik tak terhingga, ada juga pecahan desimal non-periodik. Misalnya, 0.1010010001... atau 27.1234567891011... (bilangan asli muncul berurutan setelah koma).

Perhatikan pecahan desimal tak hingga dengan bentuk ±a 0, a 1 a 2 …an … (3)

Pecahan ini ditentukan dengan memberi tanda “+” atau “–”, bukan keseluruhan angka negatif a 0 dan barisan tempat desimal a 1 ,a 2 ,…,an ,…(kumpulan tempat desimal terdiri dari sepuluh angka: 0, 1, 2,…, 9).

Mari kita sebut pecahan apa pun yang berbentuk (3) bilangan real (nyata). Jika ada tanda “+” di depan pecahan (3), biasanya dihilangkan dan ditulis a 0 , a 1 a 2 …an … (4)

Kami akan memanggil nomor formulir (4) bilangan real non-negatif, dan dalam kasus ketika setidaknya salah satu angka a 0 , a 1 , a 2 , …, a n berbeda dari nol, – bilangan real positif. Jika tanda “-” diambil pada ekspresi (3), maka ini adalah bilangan negatif.

Gabungan himpunan bilangan rasional dan irasional membentuk himpunan bilangan real (QÈJ=R). Jika pecahan desimal tak hingga (3) bersifat periodik maka merupakan bilangan rasional, sedangkan bila pecahan non periodik maka irasional.

Dua bilangan real non-negatif a=a 0 ,a 1 a 2 …an …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n …. ditelepon setara(mereka menulis Sebuah=b), Jika sebuah = bn pada n=0,1,2… Angka a lebih kecil dari angka b(mereka menulis A<B), jika salah satunya sebuah 0 atau sebuah 0 =b 0 dan ada nomor seperti itu M, Apa ak =bk (k=0,1,2,…m-1), A saya , yaitu A Û (sebuah 0 Ú ($mÎN: a k =b k (k= ), a m ). Konsep " A>B».

Untuk membandingkan bilangan real sembarang, kami memperkenalkan konsep “ modulus bilangan a» . Modulus bilangan real a=±a 0 , a 1 a 2 …an … bilangan real non-negatif seperti itu disebut, dapat diwakili oleh pecahan desimal tak terhingga yang sama, tetapi diambil dengan tanda “+”, yaitu. ½ A½= a 0 , a 1 a 2 …an … dan½ A½³0. Jika A - non-negatif, B adalah angka negatif, lalu pertimbangkan a>b. Jika kedua bilangan tersebut negatif ( A<0, b<0 ), maka kita asumsikan bahwa: 1) Sebuah=b, jika ½ A½ = ½ B½; 2) A , jika ½ A½ > ½ B½.

Sifat-sifat himpunan R:

SAYA. Properti pesanan:

1. Untuk setiap pasangan bilangan real A Dan B hanya ada satu hubungan: Sebuah=b,sebuah B.

2. Jika A , Itu A (transitivitas).

3. Jika A , maka ada bilangan c sedemikian rupa sehingga A< с .

II. Sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan:

4. a+b=b+a(komutatifitas).

5. (a+b)+c=a+(b+c) (asosiasi).

6. sebuah+0=sebuah.

7. a+(-a)= 0.

8. dari A Þ a+c (" cÎR).

AKU AKU AKU. Sifat-sifat operasi perkalian dan pembagian:

9. a×b=b×a .

10. (a×b)×c=a×(b×c).

11. Sebuah×1=Sebuah.

12. a×(1/а)=1 (а¹0).

13. (a+b)×c = ac + bc(distribusi).

14. jika A dan c>0, lalu а×с .

IV. Properti Archimedean("cÎR)($nÎN) : (n>c).

Berapa pun bilangan cÎR, terdapat nÎN sehingga n>c.

V. Properti kontinuitas bilangan real. Misalkan dua himpunan tak kosong AÌR dan BÌR sedemikian sehingga setiap elemennya A OA tidak akan ada lagi ( A£ B) dari elemen apa pun bОB. Kemudian Prinsip kontinuitas Dedekind menegaskan adanya bilangan c sedemikian rupa sehingga untuk semua AОА dan bОB kondisi berikut berlaku: A£c$ B:

("AÌR, BÌR):(" AÎA, bÎB ® A£b)($cÎR): (" AÎA, bÎB® A£c£b).

Kita akan mengidentifikasi himpunan R dengan himpunan titik-titik pada garis bilangan, dan menyebut bilangan real sebagai titik.

Bilangan real secara geometris, seperti bilangan rasional, dilambangkan dengan titik-titik pada suatu garis.

Membiarkan aku adalah garis lurus sembarang, dan O adalah beberapa titiknya (Gbr. 58). Setiap bilangan real positif α mari kita kaitkan titik A yang terletak di sebelah kanan O pada jarak α satuan panjang.

Jika, misalnya, α = 2,1356..., lalu

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

dan seterusnya. Tentunya titik A dalam hal ini harus berada pada garis lurus aku di sebelah kanan titik-titik yang sesuai dengan angka-angka tersebut

2; 2,1; 2,13; ... ,

tetapi di sebelah kiri titik-titik yang sesuai dengan angka-angka tersebut

3; 2,2; 2,14; ... .

Dapat ditunjukkan bahwa kondisi ini ditentukan pada garis aku satu-satunya titik A, yang kita anggap sebagai bayangan geometri suatu bilangan real α = 2,1356... .

Demikian pula untuk setiap bilangan real negatif β mari kita kaitkan titik B yang terletak di sebelah kiri O pada jarak | β | satuan panjang. Terakhir, kita kaitkan angka “nol” dengan titik O.

Jadi, angka 1 akan tergambar pada garis lurus aku titik A, terletak di sebelah kanan O pada jarak satu satuan panjang (Gbr. 59), bilangan - √2 - oleh titik B, terletak di sebelah kiri O pada jarak √2 satuan panjang, dst .

Mari kita tunjukkan caranya pada garis lurus aku menggunakan kompas dan penggaris, Anda dapat menemukan titik-titik yang sesuai dengan bilangan real √2, √3, √4, √5, dst. Untuk melakukan ini, pertama-tama, kami akan menunjukkan bagaimana Anda dapat membuat segmen yang panjangnya dinyatakan oleh angka-angka ini. Misalkan AB adalah ruas yang diambil sebagai satuan panjang (Gbr. 60).

Di titik A, kita buat garis tegak lurus terhadap segmen ini dan gambarkan di atasnya segmen AC yang sama dengan segmen AB. Kemudian menerapkan teorema Pythagoras pada persegi panjang segitiga ABC, kita mendapatkan; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2

Jadi, ruas BC mempunyai panjang √2. Sekarang mari kita buat garis tegak lurus ruas BC di titik C dan pilih titik D di atasnya sehingga ruas CD sama dengan satu satuan panjang AB. Lalu dari segitiga siku-siku Mari kita cari BCD:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

Jadi, ruas BD mempunyai panjang √3. Melanjutkan proses yang dijelaskan lebih lanjut, kita dapat memperoleh segmen BE, BF, ..., yang panjangnya dinyatakan dengan angka √4, √5, dst.

Sekarang dalam garis lurus aku mudah untuk menemukan titik-titik yang berfungsi sebagai representasi geometris dari bilangan √2, √3, √4, √5, dst.

Dengan memplot, misalnya, ruas BC di sebelah kanan titik O (Gbr. 61), kita memperoleh titik C, yang berfungsi sebagai bayangan geometri bilangan √2. Dengan cara yang sama, letakkan ruas BD di sebelah kanan titik O, kita peroleh titik D", yang merupakan bayangan geometri bilangan √3, dst.

Namun, jangan berpikir menggunakan kompas dan penggaris pada garis bilangan aku seseorang dapat menemukan titik yang sesuai dengan bilangan real tertentu. Misalnya, telah dibuktikan bahwa, dengan hanya memiliki kompas dan penggaris, tidak mungkin membuat segmen yang panjangnya dinyatakan dengan bilangan. π = 3,14... . Oleh karena itu, pada garis bilangan aku dengan bantuan konstruksi seperti itu tidak mungkin untuk menunjukkan titik yang sesuai dengan angka ini. Namun demikian, titik seperti itu ada.

Jadi, untuk setiap bilangan real α adalah mungkin untuk mengasosiasikan suatu titik tertentu dengan garis lurus aku . Titik ini akan berada pada jarak | α | satuan panjang dan berada di sebelah kanan O jika α > 0, dan di sebelah kiri O, jika α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой aku . Faktanya, biarkan nomornya α titik A sesuai, dan nomornya β - poin B. Lalu, jika α > β , maka A akan berada di sebelah kanan B (Gbr. 62, a); jika α < β , maka A terletak di sebelah kiri B (Gbr. 62, b).

Berbicara di § 37 tentang gambaran geometri bilangan rasional, kami mengajukan pertanyaan: dapatkah setiap titik pada suatu garis dianggap sebagai gambaran geometri suatu bilangan? rasional angka? Kami tidak dapat menjawab pertanyaan ini; Sekarang kita bisa menjawabnya dengan pasti. Terdapat titik-titik pada garis yang berfungsi sebagai representasi geometri bilangan irasional (misalnya √2). Oleh karena itu, tidak setiap titik pada suatu garis mewakili bilangan rasional. Namun dalam kasus ini, muncul pertanyaan lain: dapatkah suatu titik pada garis bilangan dianggap sebagai gambaran geometris suatu titik sah angka? Masalah ini telah diselesaikan secara positif.

Memang benar, misalkan A adalah suatu titik sembarang pada garis aku , terletak di sebelah kanan O (Gbr. 63).

Panjang segmen OA dinyatakan dengan bilangan real positif α (lihat § 41). Oleh karena itu, titik A merupakan bayangan geometri suatu bilangan α . Hal serupa juga ditetapkan bahwa setiap titik B yang terletak di sebelah kiri O dapat dianggap sebagai bayangan geometri bilangan real negatif - β , Di mana β - panjang segmen VO. Terakhir, titik O berfungsi sebagai representasi geometris dari angka nol. Jelas terlihat dua titik berbeda pada suatu garis aku tidak dapat merupakan bayangan geometri bilangan real yang sama.

Oleh karena alasan-alasan tersebut di atas, suatu garis lurus yang titik O tertentu diindikasikan sebagai titik “awal” (untuk satuan panjang tertentu) disebut nomor baris.

Kesimpulan. Himpunan semua bilangan real dan himpunan semua titik pada garis bilangan berkorespondensi satu-satu.

Ini berarti bahwa setiap bilangan real bersesuaian dengan satu titik yang terdefinisi dengan baik pada garis bilangan, dan sebaliknya, dengan setiap titik pada garis bilangan, dengan korespondensi seperti itu, terdapat satu bilangan real yang terdefinisi dengan baik.

Bilangan kompleks

Konsep dasar

Data awal nomor tersebut berasal dari Zaman Batu - Paleomelitik. Yaitu “satu”, “sedikit” dan “banyak”. Mereka dicatat dalam bentuk takik, simpul, dll. Perkembangan proses kerja dan munculnya properti memaksa manusia untuk menciptakan angka dan namanya. Bilangan asli muncul pertama kali N, diperoleh dengan menghitung item. Kemudian seiring dengan adanya kebutuhan untuk berhitung, masyarakat mempunyai kebutuhan untuk mengukur panjang, luas, volume, waktu dan besaran lainnya, dimana mereka harus memperhitungkan bagian-bagian dari ukuran yang digunakan. Inilah bagaimana pecahan muncul. Pembuktian formal konsep bilangan pecahan dan bilangan negatif dilakukan pada abad ke-19. Himpunan bilangan bulat Z– ini adalah bilangan asli, bilangan asli dengan tanda minus dan nol. Seluruh dan bilangan pecahan membentuk himpunan bilangan rasional Q, tetapi hal ini juga ternyata tidak cukup untuk mempelajari variabel yang terus berubah. Kejadian kembali menunjukkan ketidaksempurnaan matematika: ketidakmungkinan menyelesaikan persamaan bentuk X 2 = 3, itulah sebabnya muncul bilangan irasional SAYA. Persatuan himpunan bilangan rasional Q dan bilangan irasional SAYA– himpunan bilangan real (atau real). R. Hasilnya, garis bilangan terisi: setiap bilangan real berhubungan dengan satu titik di atasnya. Tapi pada banyak orang R tidak ada cara untuk menyelesaikan persamaan bentuk X 2 = – A 2. Akibatnya, muncul kembali kebutuhan untuk memperluas konsep bilangan. Beginilah munculnya bilangan kompleks pada tahun 1545. Penciptanya J. Cardano menyebutnya “murni negatif.” Nama "imajiner" diperkenalkan pada tahun 1637 oleh orang Prancis R. Descartes, pada tahun 1777 Euler mengusulkan menggunakan huruf pertama dari angka Perancis Saya untuk menunjukkan unit imajiner. Simbol ini mulai digunakan secara umum berkat K. Gauss.

Selama abad ke-17 dan ke-18, diskusi tentang sifat aritmatika dari imajinasi dan interpretasi geometrisnya terus berlanjut. G. Wessel dari Denmark, J. Argan dari Prancis, dan K. Gauss dari Jerman secara independen mengusulkan untuk merepresentasikan bilangan kompleks sebagai titik pada bidang koordinat. Belakangan ternyata lebih mudah untuk menyatakan suatu bilangan bukan dengan titik itu sendiri, tetapi dengan vektor yang menuju ke titik ini dari titik asal.

Baru menjelang akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19 bilangan kompleks mendapat tempat yang tepat dalam analisis matematis. Penggunaan pertama mereka adalah dalam teori persamaan diferensial dan dalam teori hidrodinamika.

Definisi 1.Bilangan kompleks disebut ekspresi bentuk , di mana X Dan kamu adalah bilangan real, dan Saya– satuan imajiner, .

Dua bilangan kompleks dan setara jika dan hanya jika , .

Jika , maka nomor tersebut dipanggil murni khayalan; jika , maka bilangan tersebut bilangan real, berarti himpunan R DENGAN, Di mana DENGAN- sekelompok bilangan kompleks.

Mengkonjugasikan ke bilangan kompleks disebut bilangan kompleks.

Gambar geometris bilangan kompleks.

Bilangan kompleks apa pun dapat diwakili oleh sebuah titik M(X, kamu) pesawat Oks. Sepasang bilangan real juga menyatakan koordinat vektor jari-jari , yaitu antara himpunan vektor pada bidang dan himpunan bilangan kompleks, dapat dibuat korespondensi satu-satu: .

Definisi 2.Bagian nyata X.

Penamaan: X=Re z(dari bahasa Latin Realis).

Definisi 3.Bagian imajiner bilangan kompleks adalah bilangan real kamu.

Penamaan: kamu= Saya z(dari bahasa Latin Imajinarius).

Ulang z diendapkan pada sumbu ( Oh), Aku z diendapkan pada sumbu ( Oh), maka vektor yang bersesuaian dengan bilangan kompleks adalah vektor jari-jari titik M(X, kamu), (atau M(Ulang z, Aku z)) (Gbr. 1).

Definisi 4. Bidang yang titik-titiknya berhubungan dengan himpunan bilangan kompleks disebut bidang kompleks. Sumbu absis disebut sumbu nyata, karena mengandung bilangan real. Sumbu ordinat disebut sumbu imajiner, ini berisi bilangan kompleks yang murni imajiner. Himpunan bilangan kompleks dilambangkan DENGAN.

Definisi 5.Modul bilangan kompleks z = (X, kamu) disebut panjang vektor: , yaitu. .

Definisi 6.Argumen bilangan kompleks adalah sudut antara arah positif sumbu ( Oh) dan vektor: .

ANGKA NYATA II

§ 44 Representasi geometris bilangan real

Bilangan real secara geometris, seperti bilangan rasional, dilambangkan dengan titik-titik pada suatu garis.

Membiarkan aku adalah garis lurus sembarang, dan O adalah beberapa titiknya (Gbr. 58). Setiap bilangan real positif α mari kita kaitkan titik A yang terletak di sebelah kanan O pada jarak α satuan panjang.

Jika, misalnya, α = 2,1356..., lalu

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

dan seterusnya. Tentunya titik A dalam hal ini harus berada pada garis lurus aku di sebelah kanan titik-titik yang sesuai dengan angka-angka tersebut

2; 2,1; 2,13; ... ,

tetapi di sebelah kiri titik-titik yang sesuai dengan angka-angka tersebut

3; 2,2; 2,14; ... .

Dapat ditunjukkan bahwa kondisi ini ditentukan pada garis aku satu-satunya titik A, yang kita anggap sebagai bayangan geometri suatu bilangan real α = 2,1356... .

Demikian pula untuk setiap bilangan real negatif β mari kita kaitkan titik B yang terletak di sebelah kiri O pada jarak | β | satuan panjang. Terakhir, kita kaitkan angka “nol” dengan titik O.

Jadi, angka 1 akan tergambar pada garis lurus aku titik A, terletak di sebelah kanan O pada jarak satu satuan panjang (Gbr. 59), bilangan - √2 - oleh titik B, terletak di sebelah kiri O pada jarak √2 satuan panjang, dst .

Mari kita tunjukkan caranya pada garis lurus aku menggunakan kompas dan penggaris, Anda dapat menemukan titik-titik yang sesuai dengan bilangan real √2, √3, √4, √5, dst. Untuk melakukan ini, pertama-tama, kami akan menunjukkan bagaimana Anda dapat membuat segmen yang panjangnya dinyatakan oleh angka-angka ini. Misalkan AB adalah ruas yang diambil sebagai satuan panjang (Gbr. 60).

Di titik A, kita buat garis tegak lurus terhadap segmen ini dan gambarkan di atasnya segmen AC yang sama dengan segmen AB. Kemudian, dengan menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABC, kita peroleh; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2

Jadi, ruas BC mempunyai panjang √2. Sekarang mari kita buat garis tegak lurus ruas BC di titik C dan pilih titik D di atasnya sehingga ruas CD sama dengan satu satuan panjang AB. Kemudian dari segitiga siku-siku BCD kita temukan:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

Jadi, ruas BD mempunyai panjang √3. Melanjutkan proses yang dijelaskan lebih lanjut, kita dapat memperoleh segmen BE, BF, ..., yang panjangnya dinyatakan dengan angka √4, √5, dst.

Sekarang dalam garis lurus aku mudah untuk menemukan titik-titik yang berfungsi sebagai representasi geometris dari bilangan √2, √3, √4, √5, dst.

Dengan meletakkan, misalnya, ruas BC di sebelah kanan titik O (Gbr. 61), kita memperoleh titik C, yang berfungsi sebagai bayangan geometri bilangan √2. Dengan cara yang sama, letakkan ruas BD di sebelah kanan titik O, kita peroleh titik D", yang merupakan bayangan geometri bilangan √3, dst.

Namun, jangan berpikir menggunakan kompas dan penggaris pada garis bilangan aku seseorang dapat menemukan titik yang sesuai dengan bilangan real tertentu. Misalnya, telah dibuktikan bahwa, dengan hanya memiliki kompas dan penggaris, tidak mungkin membuat segmen yang panjangnya dinyatakan dengan bilangan. π = 3,14... . Oleh karena itu, pada garis bilangan aku dengan bantuan konstruksi seperti itu tidak mungkin untuk menunjukkan titik yang sesuai dengan angka ini. Namun demikian, titik seperti itu ada.

Jadi, untuk setiap bilangan real α adalah mungkin untuk mengasosiasikan suatu titik tertentu dengan garis lurus aku . Titik ini akan berada pada jarak | α | satuan panjang dan berada di sebelah kanan O jika α > 0, dan di sebelah kiri O, jika α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой aku . Faktanya, biarkan nomornya α titik A sesuai, dan nomornya β - poin B. Lalu, jika α > β , maka A akan berada di sebelah kanan B (Gbr. 62, a); jika α < β , maka A terletak di sebelah kiri B (Gbr. 62, b).

Berbicara di § 37 tentang gambaran geometri bilangan rasional, kami mengajukan pertanyaan: dapatkah setiap titik pada suatu garis dianggap sebagai gambaran geometri suatu bilangan? rasional angka? Kami tidak dapat menjawab pertanyaan ini; Sekarang kita bisa menjawabnya dengan pasti. Terdapat titik-titik pada garis yang berfungsi sebagai representasi geometri bilangan irasional (misalnya √2). Oleh karena itu, tidak setiap titik pada suatu garis mewakili bilangan rasional. Namun dalam kasus ini, muncul pertanyaan lain: dapatkah suatu titik pada garis bilangan dianggap sebagai gambaran geometris suatu titik sah angka? Masalah ini telah diselesaikan secara positif.

Memang benar, misalkan A adalah suatu titik sembarang pada garis aku , terletak di sebelah kanan O (Gbr. 63).

Panjang segmen OA dinyatakan dengan bilangan real positif α (lihat § 41). Oleh karena itu, titik A merupakan bayangan geometri suatu bilangan α . Hal serupa juga ditetapkan bahwa setiap titik B yang terletak di sebelah kiri O dapat dianggap sebagai bayangan geometri bilangan real negatif - β , Di mana β - panjang segmen VO. Terakhir, titik O berfungsi sebagai representasi geometris dari angka nol. Jelas terlihat dua titik berbeda pada suatu garis aku tidak dapat merupakan bayangan geometri bilangan real yang sama.

Oleh karena alasan-alasan tersebut di atas, suatu garis lurus yang titik O tertentu diindikasikan sebagai titik “awal” (untuk satuan panjang tertentu) disebut nomor baris.

Kesimpulan. Himpunan semua bilangan real dan himpunan semua titik pada garis bilangan berkorespondensi satu-satu.

Ini berarti bahwa setiap bilangan real bersesuaian dengan satu titik yang terdefinisi dengan baik pada garis bilangan, dan sebaliknya, dengan setiap titik pada garis bilangan, dengan korespondensi seperti itu, terdapat satu bilangan real yang terdefinisi dengan baik.

Latihan

320. Tentukan titik mana yang berada di sebelah kiri dan mana yang berada di sebelah kanan garis bilangan, jika titik-titik tersebut bersesuaian dengan bilangan:

a) 1,454545... dan 1,455454...; c) 0 dan - 1,56673...;

b) - 12,0003... dan - 12,0002...; d) 13.24... dan 13.00....

321. Tentukan titik manakah di antara dua titik yang terletak pada garis bilangan jauh dari titik awal O, jika titik-titik tersebut sesuai dengan bilangan:

a) 5,2397... dan 4,4996...; ..c) -0,3567... dan 0,3557... .

d) - 15.0001 dan - 15.1000...;

322. Pada bagian ini ditunjukkan bahwa untuk membuat ruas yang panjangnya √ N dengan menggunakan kompas dan penggaris, Anda dapat melakukan hal berikut: pertama buatlah ruas dengan panjang √2, kemudian ruas dengan panjang √3, dst., hingga kita mencapai ruas yang panjangnya √ N . Tapi untuk setiap tetap P > 3 proses ini dapat dipercepat. Misalnya, bagaimana Anda mulai membuat segmen dengan panjang √10?

323*. Cara menggunakan kompas dan penggaris untuk mencari titik pada garis bilangan yang sesuai dengan angka 1 / α , jika posisi titik sesuai dengan nomor tersebut α , apakah sudah diketahui?

Representasi geometris ekspresif dari sistem bilangan rasional dapat diperoleh sebagai berikut.

Pada garis lurus tertentu, “sumbu numerik”, kita menandai segmen dari O ke 1 (Gbr. 8). Ini menetapkan panjang segmen satuan, yang secara umum dapat dipilih secara sewenang-wenang. Bilangan bulat positif dan negatif kemudian direpresentasikan dengan himpunan titik-titik yang berjarak sama pada sumbu bilangan, yaitu bilangan positif diberi tanda di sebelah kanan, dan bilangan negatif di sebelah kiri titik 0. Untuk menggambarkan bilangan yang berpenyebut n, bagilah masing-masing bilangan tersebut. segmen yang dihasilkan dengan satuan panjang sebesar n bagian yang sama; Titik pembagian akan mewakili pecahan dengan penyebut n. Jika kita melakukan ini untuk nilai n yang sesuai dengan semua bilangan asli, maka setiap bilangan rasional akan digambarkan oleh suatu titik pada sumbu bilangan. Kami setuju untuk menyebut poin-poin ini “rasional”; Secara umum, kita akan menggunakan istilah “bilangan rasional” dan “titik rasional” sebagai sinonim.

Dalam Bab I, § 1, hubungan pertidaksamaan A didefinisikan untuk setiap pasangan titik rasional, maka wajar jika mencoba menggeneralisasi hubungan pertidaksamaan aritmatika sedemikian rupa untuk mempertahankan tatanan geometrik untuk titik-titik yang dipertimbangkan. Hal ini dimungkinkan jika kita menerima definisi berikut: mereka mengatakan bahwa bilangan rasional A lebih sedikit dari bilangan rasional B (A lebih besar dari bilangan A (B>A), jika perbedaan VA positif. Hal ini berarti (untuk A antara A dan B adalah yang >A dan suatu segmen (atau segmen) dan dilambangkan dengan [A, B] (dan himpunan titik tengahnya saja adalah selang(atau diantara), dilambangkan (A, B)).

Jarak suatu titik sembarang A dari titik asal 0, yang dianggap sebagai bilangan positif, disebut nilai mutlak A dan ditunjukkan dengan simbol

Konsep " nilai mutlak" didefinisikan sebagai berikut: jika A≥0, maka |A| = A; jika A

|A+B|≤|A| + |B|,

yang benar terlepas dari tanda A dan B.

Fakta yang sangat penting diungkapkan dalam kalimat berikut: titik-titik rasional terletak rapat di mana-mana pada garis bilangan. Arti dari pernyataan ini adalah bahwa setiap interval, sekecil apa pun, mengandung titik-titik rasional. Untuk memverifikasi keabsahan pernyataan di atas, cukup dengan mengambil bilangan n sedemikian besar sehingga intervalnya lebih kecil dari interval yang diberikan (A, B); maka setidaknya salah satu titik pandang akan berada dalam interval ini. Jadi, tidak ada interval pada garis bilangan (bahkan interval terkecil sekalipun) yang di dalamnya tidak terdapat titik-titik rasional. Hal ini mengarah pada konsekuensi lebih lanjut: setiap interval berisi himpunan titik rasional yang tak terhingga. Memang kalau dalam interval tertentu hanya berisi saja nomor akhir titik-titik rasional, maka di dalam interval yang dibentuk oleh dua titik yang bertetangga tersebut, tidak akan ada lagi titik-titik rasional, dan hal ini bertentangan dengan apa yang baru saja dibuktikan.