Kajian suatu fungsi kontinuitas pada suatu titik dilakukan menurut skema rutin yang telah ditetapkan, yang terdiri dari pemeriksaan tiga kondisi kontinuitas:

Contoh 1

Periksa fungsi kontinuitas. Tentukan sifat diskontinuitas fungsi, jika memang ada. Jalankan gambarnya.

Larutan:

1) Satu-satunya titik dalam ruang lingkup adalah ketika fungsinya tidak didefinisikan.

Batas satu sisi terbatas dan sama.

Jadi, pada titik tersebut fungsi tersebut mengalami diskontinuitas yang dapat dilepas.

Seperti apa grafik fungsi ini?

Saya ingin menyederhanakan , dan sepertinya diperoleh parabola biasa. TETAPI fungsi aslinya tidak didefinisikan pada titik , sehingga diperlukan klausa berikut:

Mari kita membuat gambarnya:

Menjawab: fungsi tersebut kontinu pada seluruh garis bilangan kecuali titik di mana fungsi tersebut mengalami diskontinuitas yang dapat dilepas.

Fungsi tersebut dapat didefinisikan lebih lanjut baik atau buruk, tetapi menurut kondisi hal ini tidak diperlukan.

Anda bilang ini contoh yang tidak masuk akal? Sama sekali tidak. Hal ini telah terjadi puluhan kali dalam praktiknya. Hampir semua tugas situs ini berasal dari kerja dan tes independen yang nyata.

Mari kita singkirkan modul favorit kita:

Contoh 2

Jelajahi fungsi untuk kontinuitas. Tentukan sifat diskontinuitas fungsi, jika memang ada. Jalankan gambarnya.

Larutan: Entah kenapa, siswa takut dan tidak menyukai fungsi-fungsi yang ada pada modul, padahal tidak ada yang rumit tentangnya. Kita telah sedikit menyinggung hal-hal seperti itu dalam pelajaran. Transformasi geometri grafik. Karena modulnya non-negatif, maka modul diperluas sebagai berikut: , di mana “alpha” adalah suatu ekspresi. Dalam hal ini, fungsi kita harus ditulis sepotong demi sepotong:

Namun pecahan kedua pecahan tersebut harus dikurangi sebesar . Pengurangan, seperti contoh sebelumnya, tidak akan terjadi tanpa konsekuensi. Fungsi aslinya tidak terdefinisi pada titik tersebut karena penyebutnya menjadi nol. Oleh karena itu, sistem juga harus menentukan kondisinya , dan membuat pertidaksamaan pertama menjadi ketat:

Sekarang tentang teknik pengambilan keputusan yang SANGAT BERMANFAAT: sebelum menyelesaikan tugas pada suatu rancangan, ada baiknya membuat gambar (terlepas dari apakah diperlukan oleh kondisi atau tidak). Ini akan membantu, pertama, untuk segera melihat titik kontinuitas dan titik diskontinuitas, dan kedua, 100% melindungi Anda dari kesalahan saat menemukan batas satu sisi.

Mari kita menggambar. Sesuai dengan perhitungan kami, di sebelah kiri titik perlu menggambar pecahan parabola (warna biru), dan di sebelah kanan - sepotong parabola (warna merah), sedangkan fungsinya tidak ditentukan di titik itu sendiri:

Jika ragu, ambil beberapa nilai x dan masukkan ke dalam fungsinya (mengingat bahwa modul menghancurkan kemungkinan tanda minus) dan periksa grafiknya.

Mari kita periksa fungsi kontinuitas secara analitis:

1) Fungsi tersebut tidak terdefinisi pada suatu titik, sehingga dapat langsung dikatakan bahwa fungsi tersebut tidak kontinu pada titik tersebut.

2) Mari kita tentukan sifat diskontinuitas; untuk melakukan ini, kita menghitung batas satu sisi:

Batas satu sisinya berhingga dan berbeda, artinya fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis pertama dengan lompatan pada titik tersebut. Perhatikan bahwa tidak masalah apakah fungsi pada break point didefinisikan atau tidak.

Sekarang yang tersisa hanyalah mentransfer gambar dari draft (dibuat seolah-olah dengan bantuan penelitian ;-)) dan menyelesaikan tugas:

Menjawab: fungsi tersebut kontinu pada seluruh garis bilangan kecuali pada titik yang mengalami diskontinuitas jenis pertama akibat lompatan.

Terkadang mereka memerlukan indikasi tambahan tentang lompatan diskontinuitas. Ini dihitung secara sederhana - dari batas kanan Anda perlu mengurangi batas kiri: , yaitu, pada titik istirahat fungsi kita melonjak 2 unit ke bawah (seperti yang ditunjukkan oleh tanda minus).

Contoh 3

Jelajahi fungsi untuk kontinuitas. Tentukan sifat diskontinuitas fungsi, jika memang ada. Buatlah gambar.

Ini adalah contoh untuk keputusan independen, contoh solusi di akhir pelajaran.

Mari kita beralih ke versi tugas yang paling populer dan tersebar luas, ketika fungsinya terdiri dari tiga bagian:

Contoh 4

Periksa suatu fungsi untuk mengetahui kontinuitasnya dan buatlah grafik fungsi tersebut

Larutan: jelas bahwa ketiga bagian fungsi tersebut kontinu pada interval yang bersesuaian, sehingga yang tersisa hanyalah memeriksa dua titik “persimpangan” di antara bagian-bagian tersebut. Pertama, mari kita membuat rancangan gambar; saya mengomentari teknik konstruksi dengan cukup detail di bagian pertama artikel. Satu-satunya hal adalah kita perlu hati-hati mengikuti titik tunggal kita: karena pertidaksamaan, nilainya termasuk dalam garis lurus (titik hijau), dan karena pertidaksamaan, nilainya termasuk dalam parabola (titik merah):

Ya prinsipnya semuanya jelas =) Tinggal meresmikan keputusan. Untuk masing-masing dari dua titik “penggabungan”, kami secara standar memeriksa 3 kondisi kontinuitas:

SAYA)

Batas satu sisinya berhingga dan berbeda, artinya fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis pertama dengan lompatan pada titik tersebut.

Mari kita hitung lompatan diskontinuitas sebagai selisih antara batas kanan dan batas kiri:
, yaitu grafiknya tersentak naik satu satuan.

II) Kami memeriksa poin kontinuitas

1) - fungsi didefinisikan pada titik tertentu.

2) Temukan batas satu sisi:

- limit satu sisi berhingga dan sama, artinya ada limit umum.

Pada tahap akhir, kami mentransfer gambar ke versi final, setelah itu kami memasang akord terakhir:

Menjawab: fungsi tersebut kontinu pada seluruh garis bilangan, kecuali pada titik yang mengalami diskontinuitas jenis pertama akibat lompatan.

Contoh 5

Periksa suatu fungsi untuk kontinuitas dan buat grafiknya .

Ini adalah contoh solusi mandiri, solusi singkat dan contoh perkiraan masalah di akhir pelajaran.

Anda mungkin mendapat kesan bahwa pada satu titik fungsinya harus kontinu, dan pada titik lain harus ada diskontinuitas. Dalam praktiknya, hal ini tidak selalu terjadi. Cobalah untuk tidak mengabaikan contoh lainnya - akan ada beberapa fitur menarik dan penting:

Contoh 6

Diberikan suatu fungsi . Selidiki fungsi kontinuitas pada titik-titik. Buat grafik.

Larutan: dan sekali lagi segera jalankan gambar pada draft:

Keunikan grafik ini adalah fungsi sepotong-sepotong diberikan oleh persamaan sumbu absis. Di sini area ini digambar dengan warna hijau, tetapi di buku catatan biasanya ditandai dengan huruf tebal dengan pensil sederhana. Dan, tentu saja, jangan lupakan domba jantan kita: nilainya milik cabang singgung (titik merah), dan nilainya milik garis lurus.

Semuanya jelas dari gambar - fungsinya kontinu di sepanjang garis bilangan, yang tersisa hanyalah memformalkan solusi, yang dibawa ke otomatisasi penuh secara harfiah setelah 3-4 contoh serupa:

SAYA) Kami memeriksa poin kontinuitas

2) Mari kita hitung batas satu sisi:

, yang berarti ada batasan umum.

Ada sedikit hal lucu yang terjadi di sini. Faktanya adalah saya membuat banyak materi tentang limit suatu fungsi, dan beberapa kali saya ingin, tetapi beberapa kali saya lupa tentang satu pertanyaan sederhana. Maka, dengan usaha kemauan yang luar biasa, saya memaksakan diri untuk tidak kehilangan akal =) Kemungkinan besar, beberapa pembaca “boneka” meragukan: berapa limit konstanta tersebut? Limit suatu konstanta sama dengan konstanta itu sendiri. Dalam hal ini, limit dari nol sama dengan nol itu sendiri (limit kidal).

3) - limit suatu fungsi di suatu titik sama dengan nilai fungsi tersebut di suatu titik tertentu.

Jadi, suatu fungsi kontinu di suatu titik menurut definisi kontinuitas suatu fungsi di suatu titik.

II) Kami memeriksa poin kontinuitas

1) - fungsi didefinisikan pada titik tertentu.

2) Temukan batas satu sisi:

Dan di sini, di limit sebelah kanan, limit kesatuan sama dengan kesatuan itu sendiri.

- ada batasan umum.

3) - limit suatu fungsi di suatu titik sama dengan nilai fungsi tersebut di suatu titik tertentu.

Jadi, suatu fungsi kontinu di suatu titik menurut definisi kontinuitas suatu fungsi di suatu titik.

Seperti biasa, setelah penelitian kami mentransfer gambar kami ke versi final.

Menjawab: fungsi tersebut kontinu di titik-titiknya.

Perlu diketahui bahwa dalam kondisi tersebut kita tidak ditanya apapun tentang mempelajari seluruh fungsi untuk kontinuitas, dan itu dianggap sebagai bentuk matematika yang baik untuk dirumuskan tepat dan jelas jawaban atas pertanyaan yang diajukan. Ngomong-ngomong, jika kondisinya tidak mengharuskan Anda membuat grafik, maka Anda berhak untuk tidak membuatnya (walaupun nanti guru bisa memaksa Anda melakukannya).

Sebuah "twister lidah" matematika kecil untuk menyelesaikannya sendiri:

Contoh 7

Diberikan suatu fungsi .

Selidiki fungsi kontinuitas pada titik-titik. Klasifikasikan breakpoint, jika ada. Jalankan gambarnya.

Cobalah untuk "mengucapkan" semua "kata" dengan benar =) Dan gambar grafiknya dengan lebih tepat, akurat, tidak akan berlebihan di mana-mana ;-)

Seperti yang Anda ingat, saya merekomendasikan untuk segera menyelesaikan gambar sebagai draf, tetapi dari waktu ke waktu Anda menemukan contoh di mana Anda tidak dapat langsung mengetahui seperti apa grafiknya. Oleh karena itu, dalam beberapa kasus, akan bermanfaat untuk terlebih dahulu menemukan batas satu sisi dan baru kemudian, berdasarkan penelitian, menggambarkan cabang-cabangnya. Dalam dua contoh terakhir Selain itu, kita akan menguasai teknik menghitung beberapa batasan satu sisi:

Contoh 8

Periksa fungsi kontinuitas dan buat grafik skemanya.

Larutan: poin buruknya jelas: (mengurangi penyebut eksponen menjadi nol) dan (mengurangi penyebut seluruh pecahan menjadi nol). Grafik fungsi ini tidak jelas seperti apa, jadi sebaiknya lakukan riset terlebih dahulu:

SAYA) Kami memeriksa poin kontinuitas

2) Temukan batas satu sisi:

perhatikan metode khas untuk menghitung batas satu sisi: alih-alih “x” kita gantikan . Tidak ada kejahatan dalam penyebut: “penambahan” “minus nol” tidak berperan, dan hasilnya adalah “empat”. Namun pada pembilangnya ada sedikit thriller yang terjadi: pertama kita matikan -1 dan 1 pada penyebut indikator, sehingga menghasilkan . Satuan dibagi , sama dengan “minus tak terhingga”, oleh karena itu: . Dan akhirnya, “dua” masuk derajat negatif yang sangat besar sama dengan nol: . Atau, untuk lebih spesifiknya: .

Mari kita hitung limit sebelah kanan:

Dan di sini - alih-alih "X" kita gantikan . Dalam penyebut, “tambahan” sekali lagi tidak berperan: . Di pembilangnya, tindakan yang mirip dengan batas sebelumnya dilakukan: kita hancurkan angka yang berlawanan dan membaginya satu demi satu :

Limit sebelah kanannya tidak terhingga, artinya fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis ke-2 di titik tersebut.

II) Kami memeriksa poin kontinuitas

1) Fungsinya belum terdefinisi pada saat ini.

2) Mari kita hitung limit ruas kiri:

Caranya sama: kita substitusikan “X” ke dalam fungsinya. Tidak ada yang menarik dalam pembilangnya - ternyata bilangan positif berhingga. Dan di penyebut kita membuka tanda kurung, menghilangkan "tiga", dan "tambahan" memainkan peran yang menentukan.

Hasilnya, bilangan positif akhir dibagi bilangan positif yang sangat kecil, memberikan “plus tak terhingga”: .

Batas sebelah kanan seperti saudara kembar, dengan satu-satunya pengecualian yang muncul pada penyebutnya kecil sekali angka negatif :

Batas satu sisi tidak terhingga, artinya fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis ke-2 di titik tersebut.

Jadi, kita memiliki dua titik putus, dan, tentu saja, tiga cabang grafik. Untuk setiap cabang, disarankan untuk melakukan konstruksi titik demi titik, yaitu. ambil beberapa nilai “x” dan substitusikan ke dalam . Harap dicatat bahwa kondisi ini memungkinkan pembuatan gambar skema, dan relaksasi seperti itu wajar untuk pekerjaan manual. Saya membuat grafik menggunakan suatu program, jadi saya tidak mengalami kesulitan seperti itu, berikut gambaran yang cukup akurat:

Langsung adalah asimtot vertikal untuk grafik fungsi ini.

Menjawab: fungsi tersebut kontinu pada seluruh garis bilangan kecuali pada titik-titik yang mengalami diskontinuitas jenis ke-2.

Lagi fungsi sederhana untuk solusi independen:

Contoh 9

Periksa fungsi kontinuitas dan buatlah gambar skema.

Contoh perkiraan solusi di akhir yang muncul tanpa disadari.

Sampai berjumpa lagi!

Solusi dan jawaban:

Contoh 3:Larutan : ubah fungsinya: . Mengingat aturan pengungkapan modulus dan fakta itu , kami menulis ulang fungsinya dalam bentuk sepotong-sepotong:

Mari kita periksa fungsi kontinuitas.

1) Fungsinya tidak terdefinisi pada suatu titik .

Batas satu sisinya berhingga dan berbeda, artinya fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis pertama dengan lompatan pada titik tersebut. . Mari kita membuat gambarnya:

Menjawab: fungsi kontinu pada seluruh garis bilangan kecuali titik , yang mengalami diskontinuitas jenis pertama dengan lompatan. Kesenjangan Lompat: (dua unit ke atas).

Contoh 5:Larutan : setiap tiga bagian suatu fungsi kontinu pada intervalnya.
SAYA)
1)

2) Mari kita hitung batas satu sisi:

, yang berarti ada batasan umum.
3) - limit suatu fungsi di suatu titik sama dengan nilai fungsi tersebut di suatu titik tertentu.
Jadi fungsinya kontinu pada suatu titik dengan mendefinisikan kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik.
II) Kami memeriksa poin kontinuitas

1) - fungsi didefinisikan pada titik tertentu. fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis ke-2 pada titik tersebut

Bagaimana cara mencari domain suatu fungsi?

Contoh solusi

Jika ada sesuatu yang hilang di suatu tempat, berarti ada sesuatu di suatu tempat

Kami terus mempelajari bagian “Fungsi dan Grafik”, dan stasiun berikutnya dalam perjalanan kami adalah Domain Fungsi. Diskusi aktif tentang konsep ini dimulai pada pelajaran pertama. tentang grafik fungsi, di mana saya melihat fungsi-fungsi dasar, dan, khususnya, domain definisinya. Oleh karena itu, saya menyarankan agar boneka memulai dengan dasar-dasar topik, karena saya tidak akan membahas beberapa poin dasar lagi.

Diasumsikan pembaca mengetahui domain definisi fungsi dasar: fungsi linier, kuadrat, kubik, polinomial, eksponensial, logaritma, sinus, kosinus. Mereka didefinisikan pada . Untuk garis singgung, arcsinus, biarlah, saya maafkan =) Grafik yang lebih jarang tidak langsung diingat.

Cakupan definisinya tampaknya merupakan hal yang sederhana, dan muncul pertanyaan logis: artikel tersebut akan membahas apa? Dalam pelajaran ini saya akan melihat masalah umum dalam mencari domain suatu fungsi. Apalagi kami akan mengulanginya pertidaksamaan dengan satu variabel, keterampilan solusi yang juga diperlukan dalam masalah matematika tingkat tinggi lainnya. Omong-omong, materinya adalah seluruh materi sekolah, sehingga bermanfaat tidak hanya bagi siswa, tetapi juga bagi siswa. Informasinya, tentu saja, tidak berpura-pura menjadi ensiklopedis, tetapi yang ada di sini bukanlah contoh-contoh “mati” yang dibuat-buat, melainkan kacang chestnut panggang, yang diambil dari kerja praktek nyata.

Mari kita mulai dengan menyelami topik ini secara singkat. Secara singkat tentang hal utama: kita berbicara tentang fungsi dari satu variabel. Domain definisinya adalah banyak arti dari "x", untuk itu ada arti dari "pemain". Mari kita pertimbangkan contoh bersyarat:

Domain definisi fungsi ini adalah gabungan interval:
(bagi yang lupa: - ikon unifikasi). Dengan kata lain, jika Anda mengambil nilai “x” apa pun dari interval , atau dari , atau dari , maka untuk setiap “x” tersebut akan ada nilai “y”.

Secara kasar, di mana domain definisinya berada, terdapat grafik fungsinya. Namun setengah interval dan titik “tse” tidak termasuk dalam daerah definisi, sehingga tidak ada grafik disana.

Ya, omong-omong, jika ada yang kurang jelas dari terminologi dan/atau isi paragraf pertama, lebih baik kembali ke artikel Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar.

Kontinuitas fungsi. Poin-poin penting.

Banteng berjalan, bergoyang, mendesah sambil berjalan:
- Oh, papannya hampir habis, sekarang aku akan jatuh!

Pada pembelajaran kali ini kita akan mempelajari konsep kontinuitas suatu fungsi, klasifikasi titik diskontinuitas dan persekutuan masalah praktis studi kontinuitas fungsi. Dari nama topiknya saja, banyak yang secara intuitif menebak apa yang akan dibahas dan menganggap materinya cukup sederhana. Ini benar. Tetapi tugas-tugas sederhanalah yang paling sering dihukum karena kelalaian dan pendekatan yang dangkal untuk menyelesaikannya. Oleh karena itu, saya menyarankan Anda mempelajari artikel ini dengan sangat hati-hati dan memahami semua seluk-beluk dan tekniknya.

Apa yang perlu Anda ketahui dan dapat lakukan? Tidak banyak. Untuk mempelajari pelajaran dengan baik, Anda perlu memahami apa itu pelajaran batas suatu fungsi. Bagi pembaca yang tingkat persiapannya rendah, memahami artikel saja sudah cukup Batasan fungsi. Contoh solusi dan untuk melihat makna geometris batas dalam manual Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Anda juga disarankan untuk membiasakan diri dengannya transformasi geometri grafik, karena latihan dalam banyak kasus melibatkan pembuatan gambar. Prospeknya optimis untuk semua orang, dan bahkan ketel penuh akan mampu mengatasi tugasnya sendiri dalam satu atau dua jam ke depan!

Kontinuitas fungsi. Breakpoint dan klasifikasinya

Konsep kontinuitas fungsi

Mari kita perhatikan beberapa fungsi yang kontinu pada seluruh garis bilangan:

Atau, lebih ringkasnya, fungsi kita kontinu pada (himpunan bilangan real).

Apa kriteria kontinuitas “filistin”? Jelas jadwalnya fungsi berkelanjutan dapat digambar tanpa mengangkat pensil dari kertas.

Dalam hal ini, dua konsep sederhana harus dibedakan dengan jelas: domain suatu fungsi Dan kelangsungan fungsi. Secara umum itu bukan hal yang sama. Misalnya:

Fungsi ini didefinisikan pada seluruh garis bilangan, yaitu untuk setiap orang Arti “x” mempunyai arti tersendiri bagi “y”. Khususnya, jika , maka . Perhatikan bahwa poin lainnya diselingi, karena menurut definisi suatu fungsi, nilai argumen harus sesuai satu-satunya nilai fungsi. Dengan demikian, domain fungsi kami: .

Namun fungsi ini tidak terus menerus aktif! Sangat jelas terlihat bahwa saat ini dia sedang menderita celah. Istilah ini juga cukup jelas dan visual, memang di sini pensil tetap harus disobek dari kertasnya. Nanti kita akan melihat klasifikasi breakpoint.

Kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik dan suatu interval

Dalam satu atau lain cara masalah matematika kita dapat berbicara tentang kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik, kontinuitas suatu fungsi pada suatu interval, setengah interval, atau kontinuitas suatu fungsi pada suatu ruas. Itu adalah, tidak ada “hanya kesinambungan”– fungsinya dapat berkelanjutan DI MANA SAJA. Dan “bahan penyusun” mendasar dari segala hal lainnya adalah kelangsungan fungsi pada intinya .

Teori analisis matematis memberikan definisi kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik dengan menggunakan lingkungan “delta” dan “epsilon”, namun dalam praktiknya terdapat definisi berbeda yang digunakan, yang akan kita perhatikan baik-baik.

Pertama mari kita ingat batas sepihak yang menyerbu hidup kita di pelajaran pertama tentang grafik fungsi. Pertimbangkan situasi sehari-hari:

Jika kita mendekati sumbu ke titik kiri(panah merah), maka nilai "permainan" yang sesuai akan bergerak sepanjang sumbu ke titik (panah merah). Secara matematis fakta ini diperbaiki dengan batas kiri:

Perhatikan entri (berbaca “x cenderung ka di sebelah kiri”). Simbol "tambahan" "minus nol". , pada dasarnya ini berarti kita mendekati angka tersebut dari sisi kiri.

Begitu pula jika mendekati titik “ka” di sebelah kanan(panah biru), maka “permainan” akan memiliki nilai yang sama, tetapi sepanjang panah hijau, dan batas sebelah kanan akan diformat sebagai berikut:

"Aditif" melambangkan , dan entri tersebut berbunyi: “x cenderung ke ka di sebelah kanan.”

Jika limit satu sisi berhingga dan sama(seperti dalam kasus kami): , maka kita akan mengatakan bahwa ada batasan UMUM. Sederhana saja, batasan umumnya adalah “biasa” kita batas suatu fungsi, sama dengan bilangan berhingga.

Perhatikan bahwa jika fungsi tidak terdefinisi pada (menonjolkan titik hitam pada cabang grafik), maka perhitungan di atas tetap valid. Seperti yang telah disebutkan beberapa kali, khususnya dalam artikel pada fungsi yang sangat kecil, ekspresi berarti "x" sangat dekat mendekati intinya, sementara TIDAK PENTING, apakah fungsi itu sendiri terdefinisi pada suatu titik tertentu atau tidak. Contoh yang baik akan muncul di paragraf berikutnya, ketika fungsinya dianalisis.

Definisi: suatu fungsi kontinu di suatu titik jika limit fungsi di suatu titik sama dengan nilai fungsi di titik tersebut: .

Definisi tersebut dirinci dalam istilah-istilah berikut:

1) Fungsi harus terdefinisi pada titik, yaitu nilai harus ada.

2) Harus ada limit umum dari fungsi tersebut. Seperti disebutkan di atas, ini menyiratkan adanya dan kesetaraan batas satu sisi: .

3) Limit fungsi pada suatu titik tertentu harus sama dengan nilai fungsi pada titik tersebut: .

Jika dilanggar setidaknya satu dari ketiga kondisi tersebut, maka fungsi tersebut kehilangan sifat kontinuitas di titik tersebut.

Kontinuitas suatu fungsi dalam suatu interval dirumuskan dengan cerdik dan sangat sederhana: suatu fungsi kontinu pada interval jika kontinu di setiap titik pada interval tertentu.

Secara khusus, banyak fungsi yang kontinu pada interval tak hingga, yaitu pada himpunan bilangan real. Ini adalah fungsi linier, polinomial, eksponensial, sinus, kosinus, dll. Dan secara umum, apa saja fungsi dasar terus menerus pada nya domain definisi, misalnya, fungsi logaritma kontinu pada interval . saya berharap untuk saat ini Anda memiliki gambaran yang cukup bagus tentang seperti apa grafik fungsi utama. Lagi Informasi rinci kesinambungannya dapat diperoleh orang baik dengan nama keluarga Fichtengolts.

Dengan kontinuitas suatu fungsi pada suatu segmen dan setengah interval, semuanya juga tidak sulit, tetapi lebih tepat membicarakan hal ini di kelas tentang mencari nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada suatu segmen, tapi untuk saat ini jangan khawatir.

Klasifikasi titik istirahat

Kehidupan fungsi yang menakjubkan kaya akan segala macam poin khusus, dan break point hanyalah salah satu halaman biografi mereka.

Catatan : untuk berjaga-jaga, saya akan membahas satu hal mendasar: titik puncaknya selalu satu titik– tidak ada “beberapa break point berturut-turut”, yaitu tidak ada yang namanya “interval break”.

Poin-poin ini, pada gilirannya, dibagi menjadi dua kelompok besar: pecahnya jenis pertama Dan pecahnya jenis kedua. Setiap jenis celah mempunyai perbedaannya masing-masing karakteristik yang akan kita lihat sekarang:

Titik diskontinuitas jenis pertama

Jika kondisi kontinuitas dilanggar pada suatu titik dan batas sepihak terbatas , lalu disebut titik diskontinuitas jenis pertama.

Mari kita mulai dengan kasus yang paling optimis. Sesuai dengan ide awal pembelajaran, saya ingin menyampaikan teori “secara umum”, tetapi untuk menunjukkan realitas materi, saya memilih opsi dengan karakter tertentu.

Sedih, seperti foto pengantin baru sebagai latar belakangnya Api abadi, namun frame berikut ini diterima secara umum. Mari kita gambarkan grafik fungsi pada gambar:

Fungsi ini kontinu pada seluruh garis bilangan, kecuali titik. Faktanya, penyebutnya tidak boleh sama dengan nol. Namun sesuai dengan pengertian batasannya, kita bisa sangat dekat mendekati “nol” baik dari kiri maupun dari kanan, yaitu, batas satu sisi ada dan, tentu saja, bertepatan:
(Kondisi kontinuitas No. 2 terpenuhi).

Tetapi fungsinya tidak terdefinisi pada titik tersebut, oleh karena itu, Kondisi kontinuitas No. 1 dilanggar, dan fungsi tersebut mengalami diskontinuitas pada titik ini.

Istirahat jenis ini (dengan yang sudah ada batas umum) disebut celah yang dapat diperbaiki. Mengapa bisa dilepas? Karena fungsinya bisa mendefinisikan ulang pada titik puncaknya:

Apakah ini terlihat aneh? Mungkin. Namun notasi fungsi seperti itu tidak bertentangan dengan apapun! Sekarang kesenjangan telah tertutup dan semua orang senang:

Mari kita lakukan pemeriksaan formal:

2) – ada batasan umum;
3)

Jadi, ketiga syarat terpenuhi, dan fungsi tersebut kontinu di suatu titik menurut definisi kontinuitas suatu fungsi di suatu titik.

Namun, pembenci matan bisa mendefinisikan fungsinya dengan cara yang buruk, misalnya :

Menariknya, dua kondisi kontinuitas pertama terpenuhi di sini:
1) – fungsi didefinisikan pada suatu titik tertentu;
2) – ada batasan umum.

Namun batas ketiga belum terlampaui: , yaitu limit fungsi pada titik tersebut tidak sama nilai fungsi tertentu pada suatu titik tertentu.

Dengan demikian, pada suatu titik fungsi tersebut mengalami diskontinuitas.

Kasus kedua yang lebih menyedihkan disebut pecahnya jenis pertama dengan lompatan. Dan kesedihan ditimbulkan oleh batasan sepihak itu terbatas dan berbeda. Contohnya ditunjukkan pada gambar kedua pelajaran. Kesenjangan seperti itu biasanya terjadi ketika fungsi yang ditentukan sedikit demi sedikit, yang telah disebutkan dalam artikel tentang transformasi grafik.

Pertimbangkan fungsi sepotong-sepotong dan kami akan menyelesaikan gambarnya. Bagaimana cara membuat grafik? Sangat sederhana. Pada setengah interval kita menggambar pecahan parabola ( warna hijau), pada interval – ruas garis lurus (merah) dan pada setengah interval – garis lurus (biru).

Apalagi karena ketimpangan, nilainya ditentukan fungsi kuadrat(titik hijau), dan karena pertidaksamaan, maka ditentukan nilainya fungsi linear(titik biru):

Dalam kasus yang paling sulit, Anda harus menggunakan konstruksi titik demi titik pada setiap bagian grafik (lihat yang pertama pelajaran tentang grafik fungsi).

Sekarang kita hanya akan tertarik pada intinya. Mari kita periksa kontinuitasnya:

2) Mari kita hitung limit satu sisi.

Di sebelah kiri kita ada ruas garis merah, jadi batas sisi kirinya adalah:

Di sebelah kanan adalah garis lurus berwarna biru, dan batas sebelah kanan:

Hasilnya, kami menerima angka yang terbatas, dan mereka tidak sama. Karena batasnya sepihak terbatas dan berbeda: , maka fungsi kita akan menoleransi diskontinuitas jenis pertama dengan lompatan.

Adalah logis bahwa kesenjangan tersebut tidak dapat dihilangkan - fungsinya sebenarnya tidak dapat didefinisikan lebih lanjut dan “direkatkan”, seperti pada contoh sebelumnya.

Poin diskontinuitas jenis kedua

Biasanya, semua kasus pecah lainnya secara cerdik diklasifikasikan ke dalam kategori ini. Saya tidak akan mencantumkan semuanya, karena dalam praktiknya, dalam 99% masalah yang akan Anda temui kesenjangan yang tak ada habisnya– ketika kidal atau tidak kidal, dan lebih sering lagi, kedua batas tersebut tidak terbatas.

Dan tentu saja gambaran yang paling jelas adalah hiperbola di titik nol. Di sini kedua limit satu sisi tidak terhingga: , oleh karena itu, fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis kedua di titik .

Saya mencoba mengisi artikel saya dengan konten yang beragam, jadi mari kita lihat grafik fungsi yang belum terlihat:

sesuai dengan skema standar:

1) Fungsi tersebut tidak terdefinisi pada saat ini karena penyebutnya menjadi nol.

Tentu saja, kita dapat langsung menyimpulkan bahwa fungsi tersebut mengalami diskontinuitas pada titik , namun sebaiknya kita mengklasifikasikan sifat diskontinuitas, yang sering kali diperlukan oleh kondisi tersebut. Untuk ini:

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa yang kami maksud dengan rekaman adalah bilangan negatif yang sangat kecil, dan di bawah entri - bilangan positif yang sangat kecil.

Batas satu sisi tidak terhingga, artinya fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis ke-2 di titik tersebut. Sumbu y adalah asimtot vertikal untuk grafik.

Tidak jarang kedua limit satu sisi tersebut ada, namun hanya satu saja yang tidak terhingga, misalnya:

Ini adalah grafik fungsinya.

Kami memeriksa poin kontinuitas:

1) Fungsinya belum terdefinisi pada saat ini.

2) Mari kita hitung batas satu sisi:

Kita akan membahas metodologi penghitungan batas satu sisi dalam dua bagian. contoh terkini perkuliahan, meski banyak pembaca sudah melihat dan menebak semuanya.

Limit sebelah kirinya berhingga dan sama dengan nol (kita “tidak menuju ke titik itu sendiri”), tetapi limit sebelah kanannya tidak terhingga dan cabang jingga pada grafik mendekati tak terhingga mendekati batasnya. asimtot vertikal, diberikan oleh persamaan(garis putus-putus hitam).

Jadi fungsinya terganggu diskontinuitas jenis kedua pada titik.

Sedangkan untuk diskontinuitas jenis ke-1, fungsinya dapat didefinisikan pada titik diskontinuitas itu sendiri. Misalnya saja untuk fungsi sepotong-sepotong Jangan ragu untuk memberi titik hitam tebal di titik asal koordinat. Di sebelah kanan adalah cabang hiperbola, dan limit di sebelah kanannya tidak terhingga. Saya rasa hampir semua orang memiliki gambaran seperti apa grafik ini.

Apa yang dinantikan semua orang:

Bagaimana cara memeriksa suatu fungsi untuk kontinuitas?

Kajian suatu fungsi kontinuitas pada suatu titik dilakukan menurut skema rutin yang telah ditetapkan, yang terdiri dari pemeriksaan tiga kondisi kontinuitas:

Contoh 1

Jelajahi fungsi

Larutan:

1) Satu-satunya titik dalam ruang lingkup adalah ketika fungsinya tidak didefinisikan.

2) Mari kita hitung batas satu sisi:

Batas satu sisi terbatas dan sama.

Jadi, pada titik tersebut fungsi tersebut mengalami diskontinuitas yang dapat dilepas.

Seperti apa grafik fungsi ini?

Saya ingin menyederhanakan , dan sepertinya diperoleh parabola biasa. TETAPI fungsi aslinya tidak didefinisikan pada titik , sehingga diperlukan klausa berikut:

Mari kita membuat gambarnya:

Menjawab: fungsi tersebut kontinu pada seluruh garis bilangan kecuali titik di mana fungsi tersebut mengalami diskontinuitas yang dapat dilepas.

Fungsi tersebut dapat didefinisikan lebih lanjut baik atau buruk, tetapi menurut kondisi hal ini tidak diperlukan.

Anda bilang ini contoh yang tidak masuk akal? Sama sekali tidak. Hal ini telah terjadi puluhan kali dalam praktiknya. Hampir semua tugas situs ini berasal dari kerja dan tes independen yang nyata.

Mari kita singkirkan modul favorit kita:

Contoh 2

Jelajahi fungsi untuk kontinuitas. Tentukan sifat diskontinuitas fungsi, jika memang ada. Jalankan gambarnya.

Mari kita periksa fungsi kontinuitas secara analitis:

1) Fungsi tersebut tidak terdefinisi pada suatu titik, sehingga dapat langsung dikatakan bahwa fungsi tersebut tidak kontinu pada titik tersebut.

2) Mari kita tentukan sifat diskontinuitas; untuk melakukan ini, kita menghitung batas satu sisi:

Batas satu sisinya berhingga dan berbeda, artinya fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis pertama dengan lompatan pada titik tersebut. Perhatikan lagi bahwa ketika mencari limit, tidak masalah apakah fungsi pada titik break point terdefinisi atau tidak.

Sekarang yang tersisa hanyalah mentransfer gambar dari draft (dibuat seolah-olah dengan bantuan penelitian ;-)) dan menyelesaikan tugas:

Menjawab: fungsi tersebut kontinu pada seluruh garis bilangan kecuali pada titik yang mengalami diskontinuitas jenis pertama akibat lompatan.

Contoh 3

Jelajahi fungsi untuk kontinuitas. Tentukan sifat diskontinuitas fungsi, jika memang ada. Buatlah gambar.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri, contoh solusi di akhir pelajaran.

Mari kita beralih ke versi tugas yang paling populer dan tersebar luas, ketika fungsinya terdiri dari tiga bagian:

Contoh 4

Periksa suatu fungsi untuk mengetahui kontinuitasnya dan buatlah grafik fungsi tersebut .

SAYA) Kami memeriksa poin kontinuitas

Batas satu sisinya berhingga dan berbeda, artinya fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis pertama dengan lompatan pada titik tersebut.

Mari kita hitung lompatan diskontinuitas sebagai selisih antara batas kanan dan batas kiri:
, yaitu grafiknya tersentak naik satu satuan.

II) Kami memeriksa poin kontinuitas

1) – fungsi didefinisikan pada titik tertentu.

2) Temukan batas satu sisi:

– limit satu sisi berhingga dan sama, artinya ada limit umum.

3) – limit suatu fungsi di suatu titik sama dengan nilai fungsi tersebut di suatu titik tertentu.

Pada tahap akhir, kami mentransfer gambar ke versi final, setelah itu kami memasang akord terakhir:

Menjawab: fungsi tersebut kontinu pada seluruh garis bilangan, kecuali pada titik yang mengalami diskontinuitas jenis pertama akibat lompatan.

Contoh 5

Periksa suatu fungsi untuk kontinuitas dan buat grafiknya .

Ini adalah contoh solusi mandiri, solusi singkat dan contoh perkiraan masalah di akhir pelajaran.

Contoh 6

Diberikan suatu fungsi . Selidiki fungsi kontinuitas pada titik-titik. Buat grafik.

Larutan: dan sekali lagi segera jalankan gambar pada draft:

Semuanya jelas dari gambar - fungsinya kontinu di sepanjang garis bilangan, yang tersisa hanyalah memformalkan solusi, yang dibawa ke otomatisasi penuh secara harfiah setelah 3-4 contoh serupa:

SAYA) Kami memeriksa poin kontinuitas

1) – fungsi didefinisikan pada titik tertentu.

2) Mari kita hitung batas satu sisi:

, yang berarti ada batasan umum.

Untuk berjaga-jaga, izinkan saya mengingatkan Anda tentang fakta sepele: limit suatu konstanta sama dengan konstanta itu sendiri. Dalam hal ini, limit dari nol sama dengan nol itu sendiri (limit kidal).

3) – limit suatu fungsi di suatu titik sama dengan nilai fungsi tersebut di suatu titik tertentu.

Jadi, suatu fungsi kontinu di suatu titik menurut definisi kontinuitas suatu fungsi di suatu titik.

II) Kami memeriksa poin kontinuitas

1) – fungsi didefinisikan pada titik tertentu.

2) Temukan batas satu sisi:

Dan di sini – limit satu sama dengan satuan itu sendiri.

– ada batasan umum.

3) – limit suatu fungsi di suatu titik sama dengan nilai fungsi tersebut di suatu titik tertentu.

Jadi, suatu fungsi kontinu di suatu titik menurut definisi kontinuitas suatu fungsi di suatu titik.

Seperti biasa, setelah penelitian kami mentransfer gambar kami ke versi final.

Menjawab: fungsi tersebut kontinu di titik-titiknya.

Sebuah "twister lidah" matematika kecil untuk menyelesaikannya sendiri:

Contoh 7

Diberikan suatu fungsi . Selidiki fungsi kontinuitas pada titik-titik. Klasifikasikan breakpoint, jika ada. Jalankan gambarnya.

Cobalah untuk "mengucapkan" semua "kata" dengan benar =) Dan gambar grafiknya dengan lebih tepat, akurat, tidak akan berlebihan di mana-mana ;-)

Seperti yang Anda ingat, saya merekomendasikan untuk segera menyelesaikan gambar sebagai draf, tetapi dari waktu ke waktu Anda menemukan contoh di mana Anda tidak dapat langsung mengetahui seperti apa grafiknya. Oleh karena itu, dalam beberapa kasus, akan bermanfaat untuk terlebih dahulu menemukan batas satu sisi dan baru kemudian, berdasarkan penelitian, menggambarkan cabang-cabangnya. Dalam dua contoh terakhir kita juga akan mempelajari teknik menghitung beberapa limit satu sisi:

Contoh 8

Periksa fungsi kontinuitas dan buat grafik skemanya.

Definisi kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik diberikan. Definisi yang setara menurut Heine, menurut Cauchy dan dalam hal kenaikan dipertimbangkan. Penentuan kontinuitas satu sisi pada ujung-ujung suatu ruas. Perumusan kurangnya kesinambungan. Contoh-contoh dianalisis di mana perlunya membuktikan kontinuitas suatu fungsi menggunakan definisi Heine dan Cauchy.

Isi

Lihat juga: Batas suatu fungsi - definisi, teorema dan properti

Kontinuitas pada suatu titik

Menentukan kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik
Fungsi f (X) ditelepon kontinu di titik x 0 lingkungan U (x0) titik ini, dan jika limit sebagai x cenderung ke x 0 ada dan sama dengan nilai fungsi di x 0 :
.

Ini menyiratkan bahwa x 0 - ini adalah titik akhirnya. Nilai fungsi di dalamnya hanya bisa nomor terbatas.

Definisi kontinuitas di sebelah kanan (kiri)
Fungsi f (X) ditelepon kontinu di sebelah kanan (kiri) di titik x 0 , jika didefinisikan pada suatu lingkungan sisi kanan (sisi kiri) dari titik ini, dan jika batas kanan (kiri) di titik x 0 sama dengan nilai fungsi di x 0 :
.

Contoh

Contoh 1

Dengan menggunakan definisi Heine dan Cauchy, buktikan bahwa fungsi tersebut kontinu untuk semua x.

Biarlah ada angka sembarang. Mari kita buktikan itu fungsi yang diberikan kontinu pada titik tersebut. Fungsi ini didefinisikan untuk semua x . Oleh karena itu, ia didefinisikan pada suatu titik dan di lingkungan mana pun.

Kami menggunakan definisi Heine

Ayo gunakan. Misalkan ada barisan sembarang yang konvergen ke : . Menerapkan properti limit suatu produk barisan yang kita miliki:
.
Karena ada barisan sembarang yang konvergen ke , maka
.
Kontinuitas telah terbukti.

Kami menggunakan definisi Cauchy

Ayo gunakan.
Mari kita pertimbangkan kasusnya. Kami mempunyai hak untuk mempertimbangkan fungsi pada lingkungan titik mana pun. Oleh karena itu kami akan berasumsi demikian
(A1.1) .

Mari kita terapkan rumusnya:
.
Dengan mempertimbangkan (A1.1), kami membuat perkiraan berikut:

;
(A1.2) .

Menerapkan (A1.2), kami memperkirakan nilai mutlak perbedaan:
;
(A1.3) .
.
Menurut sifat-sifat pertidaksamaan, jika (A1.3) terpenuhi, jika dan jika , maka .

Sekarang mari kita lihat intinya. Pada kasus ini
.
.

.
Artinya fungsi tersebut kontinu di suatu titik.

Dengan cara yang sama, kita dapat membuktikan bahwa fungsi tersebut, dimana n adalah bilangan asli, kontinu pada seluruh sumbu real.

Contoh 2

Dengan menggunakan buktikan bahwa fungsi tersebut kontinu untuk semua.

Fungsi yang diberikan didefinisikan pada . Mari kita buktikan bahwa garis tersebut kontinu pada titik tersebut.

Mari kita pertimbangkan kasusnya.
Kami mempunyai hak untuk mempertimbangkan fungsi pada lingkungan titik mana pun. Oleh karena itu kami akan berasumsi demikian
(A2.1) .

Mari kita terapkan rumusnya:
(A2.2) .
Mari kita jelaskan. Kemudian
.

Dengan mempertimbangkan (A2.1), kami membuat perkiraan berikut:

.
Jadi,
.

Menerapkan pertidaksamaan ini dan menggunakan (A2.2), kami memperkirakan perbedaannya:

.
Jadi,
(A2.3) .

Kami memperkenalkan bilangan positif dan , menghubungkannya dengan hubungan berikut:
.
Berdasarkan sifat-sifat pertidaksamaan, jika (A2.3) terpenuhi, jika dan jika , maka .

Artinya, untuk setiap hal positif selalu ada . Kemudian untuk semua x yang memenuhi pertidaksamaan, maka pertidaksamaan berikut otomatis terpenuhi:
.
Artinya fungsi tersebut kontinu di suatu titik.

Sekarang mari kita lihat intinya. Kita perlu menunjukkan bahwa fungsi yang diberikan kontinu di titik sebelah kanan ini. Pada kasus ini
.
Masukkan angka positif dan :
.

Hal ini menunjukkan bahwa segala sesuatu yang positif selalu ada. Maka untuk semua x sehingga , pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Artinya. Artinya, fungsi tersebut kontinu di sebelah kanan pada suatu titik.

Dengan cara yang sama, kita dapat membuktikan bahwa fungsi dimana n adalah bilangan asli, kontinu untuk .

Referensi:
O.I. Besov. Kuliah tentang analisis matematika. Bagian 1. Moskow, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 2003.
CM. Nikolsky. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 1983.

Lihat juga:

Artikel ini tentang berkelanjutan fungsi numerik. Untuk pemetaan berkelanjutan di berbagai cabang matematika, lihat pemetaan berkelanjutan.

Fungsi berkelanjutan- fungsi tanpa "lompatan", yaitu fungsi yang perubahan kecil pada argumennya menyebabkan perubahan kecil pada nilai fungsi.

Fungsi kontinu, secara umum, identik dengan konsep pemetaan kontinu, namun istilah ini paling sering digunakan dalam arti yang lebih sempit - untuk pemetaan antar ruang bilangan, misalnya pada garis nyata. Artikel ini dikhususkan untuk fungsi kontinu yang didefinisikan pada subset bilangan real dan mengambil nilai real.

YouTube ensiklopedis

1 / 5

✪ Kontinuitas fungsi dan titik henti fungsi

✪ 15 Fungsi berkelanjutan

✪ Fitur berkelanjutan

✪ Analisis matematis, pelajaran 5, Kontinuitas fungsi

✪ Berkelanjutan nilai acak. Fungsi distribusi

Subtitle

Definisi

Jika Anda "memperbaiki" fungsinya f (\gaya tampilan f) pada titik pecah yang dapat dilepas dan dipasang f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \batas _(x\ke a)f(x)), maka kita mendapatkan suatu fungsi yang kontinu pada suatu titik tertentu. Operasi pada suatu fungsi ini disebut memperluas fungsi menjadi kontinu atau redefinisi fungsi dengan kontinuitas, yang membenarkan nama titik sebagai titik dapat dilepas pecah.

Titik istirahat "melompat"

Diskontinuitas “lompatan” terjadi jika

lim x → a − 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)\neq \lim \limits _(x \ke a+0)f(x)).

Titik putus "tiang"

Celah kutub terjadi jika salah satu batas satu sisinya tidak berhingga.

lim x → a − 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)=\pm \infty ) atau lim x → a + 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\ke a+0)f(x)=\pm \infty ). [ ]

Titik istirahat yang signifikan

Pada titik diskontinuitas yang signifikan, salah satu batas satu sisi sama sekali tidak ada.

Klasifikasi titik tunggal terisolasi di Rn, n>1

Untuk fungsi f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\ke \mathbb (R) ^(n)) Dan f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \ke \mathbb (C) ) Tidak perlu bekerja dengan break point, tetapi sering kali Anda harus bekerja dengan titik tunggal (titik di mana fungsinya tidak terdefinisi). Klasifikasinya serupa.

Konsep “lompatan” sudah hilang. Apa yang ada didalam R (\displaystyle \mathbb (R) ) dianggap sebagai lompatan; dalam ruang berdimensi lebih tinggi, ini merupakan titik tunggal yang penting.

Properti

Lokal

Fungsi kontinu pada suatu titik a (\gaya tampilan a), dibatasi di beberapa lingkungan pada titik ini.
Jika fungsinya f (\gaya tampilan f) kontinu pada suatu titik a (\gaya tampilan a) Dan f (a) > 0 (\gaya tampilan f(a)>0)(atau f(a)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), Itu f (x) > 0 (\gaya tampilan f(x)>0)(atau f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) untuk semua x (\gaya tampilan x), cukup dekat a (\gaya tampilan a).
Jika fungsinya f (\gaya tampilan f) Dan g (\gaya tampilan g) kontinu pada suatu titik a (\gaya tampilan a), lalu fungsinya f + g (\gaya tampilan f+g) Dan f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g) juga kontinu pada suatu titik a (\gaya tampilan a).
Jika fungsinya f (\gaya tampilan f) Dan g (\gaya tampilan g) kontinu pada suatu titik a (\gaya tampilan a) dan dimana g (a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0), lalu fungsinya f / g (\gaya tampilan f/g) juga kontinu pada suatu titik a (\gaya tampilan a).
Jika fungsinya f (\gaya tampilan f) kontinu pada suatu titik a (\gaya tampilan a) dan fungsi g (\gaya tampilan g) kontinu pada suatu titik b = f (a) (\gaya tampilan b=f(a)), lalu komposisinya h = g ∘ f (\displaystyle h=g\circ f) kontinu pada suatu titik a (\gaya tampilan a).

Global

himpunan kompak) kontinu seragam di atasnya.
Suatu fungsi yang kontinu pada suatu segmen (atau himpunan kompak lainnya) dibatasi dan mencapai nilai maksimum dan minimumnya.
Rentang fungsi f (\gaya tampilan f), kontinu pada segmen tersebut, adalah segmen tersebut [ min f , maks f ] , (\displaystyle [\min f,\ \max f],) dimana minimum dan maksimum diambil sepanjang segmen [ a , b ] (\displaystyle ).
Jika fungsinya f (\gaya tampilan f) kontinu pada segmen tersebut [ a , b ] (\displaystyle ) Dan f (a) ⋅ f (b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} maka ada suatu titik di mana f (ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
Jika fungsinya f (\gaya tampilan f) kontinu pada segmen tersebut [ a , b ] (\displaystyle ) dan nomor φ (\displaystyle \varphi ) memenuhi ketimpangan f(a)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi atau ketimpangan f (a) > φ > f (b) , (\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),) maka ada benarnya ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \dalam (a,b),) di mana f (ξ) = φ (\displaystyle f(\xi)=\varphi ).
Pemetaan kontinu suatu segmen ke garis nyata bersifat injektif jika dan hanya jika fungsi yang diberikan pada segmen tersebut benar-benar monotonik.
Fungsi monotonik pada suatu segmen [ a , b ] (\displaystyle ) kontinu jika dan hanya jika rentang nilainya merupakan segmen dengan ujung f (a) (\gaya tampilan f(a)) Dan f (b) (\gaya tampilan f(b)).
Jika fungsinya f (\gaya tampilan f) Dan g (\gaya tampilan g) kontinu pada segmen tersebut [ a , b ] (\displaystyle ), Dan f(a)< g (a) {\displaystyle f(a) Dan f (b) > g (b) , (\displaystyle f(b)>g(b),) maka ada benarnya ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \dalam (a,b),) di mana f (ξ) = g (ξ) . (\gaya tampilan f(\xi)=g(\xi).) Oleh karena itu, khususnya, setiap pemetaan kontinu suatu segmen ke dalam dirinya sendiri memiliki setidaknya satu titik tetap.

Contoh

Fungsi dasar

Fungsi ini kontinu di setiap titik x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0).

Intinya adalah titik istirahat jenis pertama, Dan

lim x → 0 − f (x) = − 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to 0-)f(x)=-1\neq 1= \lim \batas _(x\hingga 0+)f(x)),

sedangkan pada titik itu sendiri fungsinya hilang.

Fungsi langkah

Fungsi langkah didefinisikan sebagai

f (x) = ( 1 , x ⩾ 0 0 , x< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

kontinu di semua tempat kecuali titik x = 0 (\gaya tampilan x=0), dimana fungsi tersebut mengalami diskontinuitas jenis pertama. Namun, pada intinya x = 0 (\gaya tampilan x=0) ada limit sebelah kanan yang berimpit dengan nilai fungsi pada suatu titik tertentu. Jadi fungsi ini adalah contohnya terus menerus di sebelah kanan fungsi di seluruh area definisi.

Demikian pula, fungsi langkah didefinisikan sebagai

f (x) = ( 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 , x ∈ R (\displaystyle f(x)=(\begin(kasus)1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end( kasus)),\quad x\in \mathbb (R) )

adalah sebuah contoh terus menerus di sebelah kiri fungsi di seluruh area definisi.

Fungsi Dirichlet

f (x) = ( 1 , x ∈ Q 0 , x ∈ R ∖ Q (\displaystyle f(x)=(\begin(cases)1,&x\in \mathbb (Q) \\0,&x\in \ mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) \end(kasus)))

Definisi dan rumusan teorema utama dan sifat-sifat fungsi kontinu suatu variabel diberikan. Sifat-sifat fungsi kontinu pada suatu titik, pada suatu segmen, limit dan kontinuitas dipertimbangkan fungsi yang kompleks, klasifikasi breakpoint. Definisi dan teorema yang berkaitan dengan fungsi invers diberikan. Sifat-sifat fungsi dasar diuraikan.

Isi

Konsep kontinuitas dapat kita rumuskan dalam dalam hal peningkatan. Untuk melakukan ini, kita memperkenalkan variabel baru, yang disebut pertambahan variabel x di titik. Maka fungsi tersebut kontinu di titik if
.
Mari perkenalkan fungsi baru:
.
Mereka memanggilnya peningkatan fungsi pada titik. Maka fungsi tersebut kontinu di titik if
.

Teorema batasan fungsi kontinu
Biarkan fungsinya f (X) kontinu di titik x 0 . Lalu ada lingkungan U (x0), yang fungsinya dibatasi.

Teorema kekekalan tanda fungsi kontinu
Biarkan fungsinya kontinu di titik tersebut. Dan biarkan ia mempunyai nilai positif (negatif) pada saat ini:
.
Lalu ada lingkungan titik yang fungsinya bernilai positif (negatif):
pada .

Sifat aritmatika fungsi kontinu
Misalkan fungsi dan kontinu pada suatu titik.
Maka fungsinya , dan kontinu di titik tersebut .
Jika , maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut.

Properti kontinuitas kiri-kanan
Suatu fungsi kontinu di suatu titik jika dan hanya jika fungsi tersebut kontinu di kanan dan kiri.

Bukti properti diberikan pada halaman “Properti fungsi kontinu di suatu titik”.

Kontinuitas fungsi yang kompleks

Teorema kontinuitas untuk fungsi kompleks
Biarkan fungsinya kontinu di titik tersebut. Dan biarkan fungsinya kontinu pada titik tersebut.
Maka fungsi kompleks tersebut kontinu di suatu titik.

Batas fungsi kompleks

Teorema limit fungsi kontinu suatu fungsi
Misalkan ada limit dari fungsi tersebut di , dan sama dengan:
.
Ini poin t 0 bisa terbatas atau jauh tak terhingga: .
Dan biarkan fungsinya kontinu pada titik tersebut.
Maka ada limit suatu fungsi kompleks, dan sama dengan:
.

Teorema limit fungsi kompleks
Misalkan fungsi tersebut memiliki limit dan petakan lingkungan titik yang tertusuk ke lingkungan titik yang tertusuk. Biarkan fungsi didefinisikan pada lingkungan ini dan memiliki batasannya.
Berikut adalah titik akhir atau jarak yang tak terhingga: . Lingkungan dan batas-batasnya dapat bersifat dua sisi atau satu sisi.
Maka ada limit suatu fungsi kompleks dan sama dengan:
.

Titik istirahat

Menentukan titik istirahat
Biarkan fungsi tersebut didefinisikan pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk. Intinya disebut titik istirahat fungsi, jika salah satu dari dua kondisi terpenuhi:
1) tidak didefinisikan dalam ;
2) didefinisikan pada , tetapi tidak pada saat ini.

Penentuan titik diskontinuitas jenis ke-1
Intinya disebut titik diskontinuitas jenis pertama, jika merupakan titik putus dan terdapat batas satu sisi berhingga di kiri dan kanan:
.

Definisi lompatan fungsi
Lompat fungsi Δ pada suatu titik adalah selisih antara batas kanan dan kiri
.

Menentukan titik istirahat
Intinya disebut titik istirahat yang dapat dilepas, jika ada batasannya
,
tetapi fungsi pada titik tersebut tidak terdefinisi atau tidak sama dengan nilai batas: .

Jadi, titik diskontinuitas lepasan adalah titik diskontinuitas jenis pertama, yang lompatan fungsinya sama dengan nol.

Penentuan titik diskontinuitas jenis ke-2
Intinya disebut titik diskontinuitas jenis kedua, jika titik tersebut bukan merupakan titik diskontinuitas jenis pertama. Artinya, jika tidak ada paling sedikit satu batas satu sisi, atau paling sedikit satu batas satu sisi pada suatu titik yang sama dengan tak terhingga.

Sifat-sifat fungsi kontinu pada suatu interval

Definisi suatu fungsi kontinu pada suatu interval
Suatu fungsi disebut kontinu pada suatu interval (at) jika fungsi tersebut kontinu di semua titik interval terbuka (at) dan di titik a dan b.

Teorema pertama Weierstrass tentang batasan suatu fungsi kontinu pada suatu interval
Jika suatu fungsi kontinu pada suatu interval, maka fungsi tersebut dibatasi pada interval tersebut.

Menentukan ketercapaian maksimum (minimum)
Suatu fungsi mencapai maksimum (minimum) pada himpunan jika terdapat argumen yang mendukungnya
untuk semua .

Menentukan jangkauan wajah bagian atas (bawah).
Suatu fungsi mencapai batas atas (bawah) pada himpunan jika terdapat argumen yang mendukungnya
.

Teorema kedua Weierstrass tentang maksimum dan minimum fungsi kontinu
Suatu fungsi yang kontinu pada suatu segmen mencapai batas atas dan batas bawahnya atau, yang sama, mencapai maksimum dan minimum pada segmen tersebut.

Teorema nilai antara Bolzano-Cauchy
Biarkan fungsi tersebut kontinu pada segmen tersebut. Dan misalkan C adalah bilangan sembarang yang terletak di antara nilai fungsi di ujung segmen: dan . Lalu ada satu hal yang perlu diperhatikan
.

Akibat wajar 1
Biarkan fungsi tersebut kontinu pada segmen tersebut. Dan biarkan nilai fungsi di ujung segmen memiliki tanda yang berbeda: atau . Lalu ada titik di mana nilai fungsinya sama dengan nol:
.

Akibat wajar 2
Biarkan fungsi tersebut kontinu pada segmen tersebut. Biarkan saja. Kemudian fungsi tersebut mengambil interval semua nilai dari dan hanya nilai-nilai ini:
pada .

Fungsi terbalik

Definisi fungsi terbalik
Misalkan suatu fungsi memiliki domain definisi X dan himpunan nilai Y. Dan biarkan ia memiliki properti:
untuk semua .
Kemudian untuk setiap elemen dari himpunan Y seseorang hanya dapat mengasosiasikan satu elemen dari himpunan X yang mana . Korespondensi ini mendefinisikan fungsi yang disebut fungsi terbalik Ke . Fungsi invers dilambangkan sebagai berikut:
.

Dari definisi tersebut berikut ini
;
untuk semua ;
untuk semua .

Lemma tentang monotonisitas timbal balik dari fungsi langsung dan invers
Jika suatu fungsi meningkat (menurun), maka terdapat invers fungsi yang juga meningkat (menurun).

Sifat simetri grafik fungsi langsung dan invers
Grafik fungsi langsung dan invers adalah simetris terhadap garis lurus.

Teorema keberadaan dan kontinuitas fungsi invers pada suatu interval
Biarkan fungsi tersebut kontinu dan meningkat (menurun) secara ketat pada segmen tersebut. Kemudian fungsi invers didefinisikan dan kontinu pada segmen tersebut, yang meningkat (menurun).

Untuk fungsi yang meningkat. Untuk penurunan - .

Teorema keberadaan dan kontinuitas fungsi invers pada suatu interval
Biarkan fungsi tersebut kontinu dan meningkat (menurun) secara ketat pada interval terbuka berhingga atau tak terhingga. Kemudian fungsi invers terdefinisi dan kontinu pada interval yang meningkat (menurun).

Untuk fungsi yang meningkat.
Untuk penurunan: .

Dengan cara serupa, kita dapat merumuskan teorema keberadaan dan kontinuitas fungsi invers pada setengah interval.

Sifat dan kontinuitas fungsi dasar

Fungsi dasar dan inversnya kontinu dalam domain definisinya. Di bawah ini kami menyajikan rumusan teorema terkait dan memberikan tautan ke pembuktiannya.

Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial f (x) = kapak, dengan basis a > 0 adalah limit barisan tersebut
,
di mana ada urutan sewenang-wenang angka rasional, cenderung ke x:
.

Dalil. Properti Fungsi eksponensial
Fungsi eksponensial mempunyai sifat sebagai berikut:
(Hal.0) didefinisikan, untuk, untuk semua;
(Hal.1) untuk ≠ 1 memiliki banyak arti;
(Hal.2) meningkat tajam pada , menurun tajam pada , konstan pada ;
(Hal.3) ;
(Hal.3*) ;
(Hal.4) ;
(Hal.5) ;
(Hal.6) ;
(Hal.7) ;
(Hal.8) berkelanjutan untuk semua;
(Hal.9) pada ;
pada .

Logaritma

Fungsi logaritma, atau logaritma, y = log ax, dengan basis a adalah kebalikan dari fungsi eksponensial dengan basis a.

Dalil. Sifat-sifat logaritma
Fungsi logaritma dengan basis a, y = mencatat x, memiliki properti berikut:
(L.1) didefinisikan dan berkelanjutan, untuk dan , untuk nilai-nilai positif argumen;
(L.2) memiliki banyak arti;
(L.3) meningkat secara ketat sebagai , menurun secara ketat sebagai ;
(L.4) pada ;
pada ;
(L.5) ;
(L.6) pada ;
(L.7) pada ;
(L.8) pada ;
(L.9) pada .

Logaritma eksponen dan natural

Dalam definisi fungsi eksponensial dan logaritma, muncul konstanta yang disebut basis pangkat atau basis logaritma. Dalam analisis matematis, dalam sebagian besar kasus, perhitungan yang lebih sederhana diperoleh jika angka e digunakan sebagai dasar:
.
Fungsi eksponensial dengan basis e disebut eksponen: , dan logaritma dengan basis e disebut logaritma natural: .

Sifat-sifat eksponen dan logaritma natural disajikan di halaman
"Eksponen, e pangkat x",
"Logaritma natural, fungsi ln x"

Fungsi daya

Fungsi daya dengan eksponen p adalah fungsi f (x) = xp, yang nilainya di titik x sama dengan nilai fungsi eksponensial dengan basis x di titik p.
Selain itu, f (0) = 0 hal = 0 untuk p > 0 .

Di sini kita akan mempertimbangkan sifat-sifat fungsi pangkat y = x p untuk nilai argumen yang tidak negatif. Untuk rasional, untuk m ganjil, fungsi pangkat juga didefinisikan untuk x negatif. Dalam hal ini, propertinya dapat diperoleh dengan menggunakan genap atau ganjil.
Kasus-kasus ini dibahas secara rinci dan diilustrasikan pada halaman “Fungsi pangkat, sifat-sifatnya, dan grafiknya”.

Dalil. Sifat-sifat fungsi pangkat (x ≥ 0)
Fungsi pangkat, y = x p, dengan eksponen p mempunyai sifat sebagai berikut:
(C.1) didefinisikan dan kontinu pada himpunan
pada ,
pada ".

Fungsi trigonometri

Teorema kontinuitas fungsi trigonometri
Fungsi trigonometri: sinus ( dosa x), kosinus ( karena x), garis singgung ( terima kasih) dan kotangen ( ctg x

Teorema kontinuitas fungsi trigonometri terbalik
Balik fungsi trigonometri: arcsinus ( busur x), busur cosinus ( arccos x), tangen busur ( arctan x) dan garis singgung busur ( arcctg x), berkelanjutan dalam domain definisinya.

Lihat juga:

Fungsi manakah yang kontinu? Penentuan kontinuitas suatu fungsi di suatu titik. Pertanyaan untuk pengendalian diri atas pengetahuan

Kontinuitas fungsi. Poin-poin penting.

Kontinuitas fungsi. Breakpoint dan klasifikasinya

Konsep kontinuitas fungsi

Kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik dan suatu interval

Klasifikasi titik istirahat

Titik diskontinuitas jenis pertama

Poin diskontinuitas jenis kedua

Bagaimana cara memeriksa suatu fungsi untuk kontinuitas?

Kontinuitas pada suatu titik

Contoh

Contoh 1

Kami menggunakan definisi Heine

Kami menggunakan definisi Cauchy

Contoh 2

YouTube ensiklopedis

Subtitle

Definisi

Titik istirahat "melompat"

Titik putus "tiang"

Titik istirahat yang signifikan

Klasifikasi titik tunggal terisolasi di Rn, n>1

Properti

Lokal

Global

Contoh

Fungsi dasar

Fungsi langkah

Fungsi Dirichlet

Kontinuitas fungsi yang kompleks

Batas fungsi kompleks

Titik istirahat

Sifat-sifat fungsi kontinu pada suatu interval

Fungsi terbalik

Sifat dan kontinuitas fungsi dasar

Fungsi eksponensial

Logaritma

Logaritma eksponen dan natural

Fungsi daya

Fungsi trigonometri