Topik pelajaran: Gelar dengan indikator alami

Jenis pelajaran: pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan

Jenis pelajaran: digabungkan

Bentuk pekerjaan: individu, frontal, bekerja berpasangan

Peralatan: komputer, produk media (presentasi dalam programMicrosoftKantorPower Point 2007); kartu dengan tugas untuk pekerjaan mandiri

Tujuan pelajaran:

Pendidikan : mengembangkan kemampuan mensistematisasikan dan menggeneralisasi pengetahuan tentang derajat dengan eksponen natural, memantapkan dan meningkatkan keterampilan transformasi sederhana ekspresi yang mengandung derajat dengan eksponen natural.

- mengembangkan: berkontribusi pada pembentukan keterampilan menerapkan teknik generalisasi, perbandingan, menyoroti hal utama, pengembangan cakrawala matematika, berpikir, berbicara, perhatian dan memori.

- pendidikan: mempromosikan minat pada matematika, aktivitas, organisasi, membentuk motif positif untuk belajar, mengembangkan keterampilan dalam aktivitas pendidikan dan kognitif

Catatan penjelasan.

Pelajaran ini diajarkan di kelas pendidikan umum dengan tingkat pelatihan matematika rata-rata. Tujuan utama pembelajaran adalah untuk mengembangkan kemampuan mensistematisasikan dan menggeneralisasikan pengetahuan tentang suatu derajat dengan indikator alamiah, yang diwujudkan dalam proses melakukan berbagai latihan.

Sifat perkembangan diwujudkan dalam pemilihan latihan. Penggunaan produk multimedia memungkinkan Anda menghemat waktu, membuat materi lebih visual, dan menunjukkan contoh solusi. Berbagai jenis pekerjaan digunakan dalam pembelajaran sehingga menghilangkan rasa lelah anak.

Struktur pelajaran:

  1. Waktu pengorganisasian.

  2. Melaporkan topik, menetapkan tujuan pelajaran.

  4. Pekerjaan lisan.

  5. Sistematisasi pengetahuan pendukung.

  6. Elemen teknologi hemat kesehatan.

  7. Menjalankan tugas tes

  9. Ringkasan pelajaran.

  10. Pekerjaan rumah.

Selama kelas:

SAYA.Mengatur waktu

Guru: Halo teman-teman! Saya senang menyambut Anda dalam pelajaran kita hari ini. Duduk. Saya berharap kesuksesan dan kegembiraan menanti kita dalam pelajaran hari ini. Dan kami, bekerja sebagai tim, akan menunjukkan bakat kami.

Perhatikan selama pelajaran. Pikirkan, tanyakan, sarankan - karena kita akan menempuh jalan menuju kebenaran bersama.

Buka buku catatan Anda dan tulis nomornya, kerja bagus

II. Komunikasi topik, menetapkan tujuan pelajaran

1) Topik pelajaran. Prasasti pelajaran.(Geser 2,3)

“Biarkan seseorang mencoba menghapus dari matematika

derajat, dan dia akan memastikan bahwa Anda tidak akan berhasil tanpanya” M.V. Lomonosov

2) Menetapkan tujuan pelajaran.

Guru: Jadi, dalam pembelajaran kita akan mengulang, menggeneralisasi dan mensistematisasikan materi yang telah kita pelajari. Tugas Anda adalah menunjukkan pengetahuan Anda tentang sifat-sifat derajat dengan eksponen natural dan kemampuan menerapkannya saat melakukan berbagai tugas.

AKU AKU AKU. Pengulangan konsep dasar topik, sifat-sifat derajat dengan eksponen natural

1) selesaikan anagramnya: (slide 4)

Nspete (gelar)

Pelacur (segmen)

Hovhaniosne (basis)

Casapotel (indikator)

Perkalian (perkalian)

2) Apa yang dimaksud dengan gelar dengan eksponen natural?(Geser 5)

(Kekuatan angka A dengan indikator alami N , lebih besar dari 1, disebut ekspresi A N , sama dengan produk N faktor yang masing-masing sama A menghina, N -indeks)

3) Baca ekspresi, sebutkan basis dan eksponennya: (Geser 6)

4) Sifat dasar derajat (tambahkan ruas kanan persamaan)(Geser 7)

  • A N A M =

  • A N :A M =

  • (A N ) M =

  • (ab) N =

  • ( A / B ) N =

  • A 0 =

  • A 1 =

IV kamu Bagus Pekerjaan

1) penghitungan lisan (slide8)

Guru: Sekarang mari kita periksa bagaimana Anda dapat menerapkan rumus-rumus ini saat menyelesaikannya.

1)x 5 X 7 ; 2) sebuah 4 A 0 ;

3) ke 9 : Ke 7 ; 4) R N : R ;

5)5 5 2 ; 6) (- B )(- B ) 3 (- B );

7) dengan 4 : Dengan; 8) 7 3 : 49;

9)kamu 4 pada 6 kamu 10) 7 4 49 7 3 ;

11) 16: 4 2 ; 12) 64: 8 2 ;

13)sss 3 ; 14) sebuah 2 N A N ;

15) x 9 : X M ; 16) kamu N : kamu

2) permainan “Hilangkan yang tidak perlu” ((-1) 2 )(slide9)

-1

Bagus sekali. Melakukan pekerjaan dengan baik. Selanjutnya kita selesaikan contoh berikut.

VSistematisasi pengetahuan referensi

1. Hubungkan ekspresi-ekspresi yang bersesuaian satu sama lain dengan garis:(geser 10)

4 ⁶ 4 2 3 6 4 6

4 6 : 4 2 4 6 /5 6

(3 4) 6 4 ⁶ +2

(4 2 ) 6 4 6-2

(4/5) 6 4 12

2. Susunlah angka-angka dalam urutan menaik:(slide 11)

3 2 (-0,5) 3 (½) 3 35 0 (-10) 3

3.Menyelesaikan tugas dilanjutkan dengan tes mandiri(slide 12)

  • A1, sajikan produk sebagai kekuatan:

a) a) x 5 X 4 ; b) 3 7 3 9 ; jam 4) 3 (-4) 8 .

  • Dan 2 menyederhanakan ekspresi:

a)x 3 X 7 X 8 ; b) 2 21 :2 19 2 3

  • Dan 3 lakukan eksponensial:

A A 5 ) 3 ; b) (-c 7 ) 2

VIElemen teknologi hemat kesehatan (slide 13)

Pelajaran pendidikan jasmani: pengulangan pangkat angka 2 dan 3

VIITugas tes (slide 14)

Jawaban soal tes tertulis di papan tulis: 1 d 2 o 3b 4y 5 h 6a (mangsa)

VIII Pekerjaan mandiri dengan menggunakan kartu

Di setiap meja terdapat kartu dengan tugas sesuai pilihan, setelah pekerjaan selesai diserahkan untuk verifikasi

Pilihan 1

1) Sederhanakan ekspresi:

A) B)

V) G)

A) B)

V) G)


pilihan 2

1) Sederhanakan ekspresi:

A) B)

V) G)

2) Temukan arti dari ungkapan:

A)B)

V) G)

3) Gunakan panah untuk menunjukkan apakah nilai ekspresi adalah nol, bilangan positif atau negatif:

IX Hasil Pelajaran

TIDAK.

Jenis pekerjaan

harga diri

Peringkat guru

1

Anagram

2

Baca ekspresinya

3

Aturan

4

Penghitungan verbal

5

Hubungkan dengan garis

6

Susun dalam urutan menaik

7

Tugas tes mandiri

8

Tes

9

Pekerjaan mandiri menggunakan kartu

X Pekerjaan Rumah

Kartu ujian

A1. Temukan arti dari ungkapan: .

Pelajaran dengan topik: “Gelar dan sifat-sifatnya.”

Tujuan pelajaran:

    Ringkaslah pengetahuan siswa tentang topik: “Gelar dengan indikator alami.”

    Untuk mencapai pemahaman sadar siswa tentang definisi derajat, sifat-sifat, dan kemampuan untuk menerapkannya.

    Untuk mengajarkan bagaimana menerapkan pengetahuan dan keterampilan pada tugas-tugas dengan kompleksitas yang berbeda-beda.

    Menciptakan kondisi untuk perwujudan kemandirian, ketekunan, aktivitas mental, dan menanamkan kecintaan terhadap matematika.

Peralatan: kartu berlubang, kartu, tes, meja.

Pembelajaran dirancang untuk mensistematisasikan dan menggeneralisasi pengetahuan siswa tentang sifat-sifat suatu derajat dengan eksponen natural. Bahan pelajaran membentuk pengetahuan matematika anak dan mengembangkan minat terhadap mata pelajaran dan pandangan dalam aspek sejarah.


Kemajuan.

    Mengkomunikasikan topik dan tujuan pelajaran.

Hari ini kita mendapat pelajaran umum dengan topik “Eksponen dengan eksponen natural dan sifat-sifatnya”.

Tujuan pelajaran kita adalah meninjau semua materi yang dibahas dan mempersiapkan ujian.

    Memeriksa pekerjaan rumah.

(Tujuan: untuk menguji penguasaan eksponensial, perkalian dan derajat).

№ 238 (b) Nomor 220 (a; d) Nomor 216.

Ada 2 orang di papan dengan kartu masing-masing.

a 4 ∙ a 15 a 12 ∙ a 4 a 12: a 4 a 18: a 9 (a 2) 5 (a 4) 8 (sebuah 2 b 3) 6 (a 6 bв 4) 3 sebuah 0 sebuah 0

    Pekerjaan lisan.

(Tujuan: mengulangi poin-poin penting yang memperkuat algoritma untuk mengalikan dan membagi pangkat, menaikkan pangkat).

    Merumuskan definisi pangkat suatu bilangan dengan eksponen natural.

    Ikuti langkah-langkahnya.

sebuah ∙ sebuah 3 ; sebuah 4: sebuah 2; (a 6) 2 ; (2a 3) 3 ; sebuah 0 .

    Pada nilai x berapa persamaan tersebut berlaku.

5 6 ∙5 x = 5 10 10 x: 10 2 = 10 (a 4) x = a 8 (a x b 2) = a 35 b 10

    Tentukan tanda suatu ekspresi tanpa melakukan perhitungan apa pun.

(-3) 5 , -19 2 , -(-15) 2 , (-8) 6 , - (-17) 7

    Menyederhanakan.

A)
; b) (a 4) 6: (a 3) 3

    Bertukar pikiran.

( Target : memeriksa pengetahuan dasar siswa, sifat-sifat gelar).

Bekerja dengan kartu berlubang untuk kecepatan.

sebuah 6: sebuah 4; sebuah 10:a 3 (sebuah 2) 2 ; (sebuah 3) 3 ; (sebuah 4) 5 ; (a 0) 2 .
    (2a 2) 2 ; (-2a 3) 3 ; (3a 4) 2 ; (-2a 2b) 4 .

    Latihan: Sederhanakan ekspresi (kita bekerja berpasangan, kelas menyelesaikan tugas a, b, c, kita periksa secara kolektif).

(Tujuan: mempraktikkan sifat-sifat suatu derajat dengan eksponen natural.)

A)
; B)
; V)


6. Menghitung:

A)
( secara kolektif )

B)
( sendiri )

V)
( sendiri )

G)
( secara kolektif )

D)
( sendiri ).


7 . Periksa dirimu sendiri!

(Tujuan: pengembangan elemen aktivitas kreatif siswa dan kemampuan untuk mengontrol tindakan mereka).

Bekerja dengan tes, 2 siswa di papan, tes mandiri.

saya – c.



    Evaluasi ekspresi.



║ - V.

    Sederhanakan ekspresi Anda.


    Menghitung.


    Evaluasi ekspresi.


    D/z rumah k/r (dengan kartu).

    Menyimpulkan pelajaran, menilai.

(Tujuan : Agar siswa dapat melihat dengan jelas hasil pekerjaannya dan mengembangkan minat kognitif).

    Siapa yang pertama kali mulai belajar untuk mendapatkan gelar?

    Cara membangun n ?

Sehingga sampai pada derajat ke-n kitaA tegak

Kita perlu mengalikan n sekali

Jika dan satu – tidak pernah

Jika lebih, maka kalikan dan di sebuah,

Saya ulangi, n kali.

3) Bisakah kita menaikkan nomornya menjadi n derajat, sangat cepat?

Jika Anda mengambil kalkulator mikro

Nomor a Anda hanya akan menelepon satu kali

Dan kemudian tanda perkaliannya juga satu kali,

Anda dapat menekan tanda “berhasil” berkali-kali

Berapa banyak n tanpa unit akan menunjukkan kepada kita

Dan jawabannya sudah siap, tanpa pena sekolah BAHKAN .

4) Sebutkan sifat-sifat suatu derajat dengan eksponen natural.

Kami akan memberikan nilai pelajaran setelah memeriksa pekerjaan dengan kartu berlubang, dengan tes, dengan mempertimbangkan jawaban siswa yang menjawab selama pelajaran.

Anda bekerja dengan baik hari ini, terima kasih.

Literatur:

1. Aljabar A.G.Mordkovich kelas 7.

2.Materi didaktik - kelas 7.

3. Tes A.G. Mordkovich - kelas 7.


Setelah pangkat suatu bilangan ditentukan, maka masuk akal untuk membicarakannya sifat derajat. Pada artikel ini kami akan memberikan sifat dasar pangkat suatu bilangan, sambil menyentuh semua kemungkinan eksponen. Di sini kami akan memberikan bukti semua sifat derajat, dan juga menunjukkan bagaimana sifat-sifat ini digunakan saat menyelesaikan contoh.

Navigasi halaman.

Sifat-sifat derajat dengan eksponen natural

Menurut definisi pangkat dengan eksponen natural, pangkat a n adalah hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Berdasarkan definisi ini, dan juga menggunakan sifat perkalian bilangan real , kita dapat memperoleh dan membenarkan hal berikut sifat derajat dengan eksponen natural:

  1. sifat utama derajat am ·a n =am+n, generalisasinya;
  2. properti hasil bagi dengan dengan alasan yang sama aku:an =aku−n ​​;
  3. properti kekuatan produk (a·b) n =a n ·b n , perpanjangannya;
  4. sifat hasil bagi pangkat alami (a:b) n =a n:b n ;
  5. menaikkan derajat ke pangkat (am) n =a m·n, generalisasinya (((an 1) n 2) …) n k =an 1 ·n 2 ·…·n k;
  6. perbandingan derajat dengan nol:
    • jika a>0, maka n>0 untuk sembarang bilangan asli n;
    • jika a=0, maka an =0;
    • jika sebuah<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jika sebuah<0 и показатель степени есть angka ganjil 2 m−1 , lalu a 2 m−1<0 ;
  7. jika a dan b bilangan positif dan a
  8. jika m dan n sama bilangan bulat, itu m>n, lalu pada 0 0 pertidaksamaan am >an benar.

Mari kita segera perhatikan bahwa semua persamaan tertulis adalah identik sesuai dengan kondisi yang ditentukan, bagian kanan dan kirinya dapat ditukar. Misalnya, sifat utama pecahan a m ·a n =am+n dengan menyederhanakan ekspresi sering digunakan dalam bentuk a m+n =am ·a n .

Sekarang mari kita lihat masing-masing secara detail.

    Mari kita mulai dengan sifat hasil kali dua pangkat dengan basis yang sama, yang disebut properti utama dari gelar tersebut: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, persamaan am ·a n =am+n benar.

    Mari kita buktikan sifat utama derajat tersebut. Berdasarkan definisi pangkat dengan eksponen natural, hasil kali pangkat dengan basis yang sama berbentuk a m ​​·a n dapat ditulis sebagai hasil kali. Karena sifat perkalian, ekspresi yang dihasilkan dapat ditulis sebagai , dan hasil kali ini adalah pangkat dari bilangan a dengan eksponen natural m+n, yaitu a m+n. Ini melengkapi buktinya.

    Mari kita beri contoh yang menegaskan sifat utama derajat. Mari kita ambil derajat dengan basis yang sama 2 dan pangkat alami 2 dan 3, dengan menggunakan sifat dasar derajat kita dapat menulis persamaan 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Mari kita periksa validitasnya dengan menghitung nilai ekspresi 2 2 · 2 3 dan 2 5 . Melakukan eksponensial, kita punya 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 dan 2 5 =2·2·2·2·2=32, karena diperoleh nilai yang sama, maka persamaan 2 2 ·2 3 =2 5 benar, dan ini menegaskan sifat utama derajat.

    Sifat dasar suatu derajat, berdasarkan sifat perkalian, dapat digeneralisasikan menjadi hasil kali tiga pangkat atau lebih dengan basis dan eksponen alami yang sama. Jadi untuk sembarang bilangan k dari bilangan asli n 1, n 2, …, n k persamaan berikut ini benar: a n 1 ·an 2 ·…·an k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Misalnya, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Kita dapat beralih ke sifat pangkat berikutnya dengan eksponen natural – sifat hasil bagi dengan basis yang sama: untuk sembarang bilangan real bukan nol a dan bilangan asli sembarang m dan n yang memenuhi syarat m>n, persamaan a m:an =a m−n benar.

    Sebelum memaparkan pembuktian sifat ini, mari kita bahas pengertian syarat tambahan dalam rumusan tersebut. Kondisi a≠0 diperlukan untuk menghindari pembagian dengan nol, karena 0 n =0, dan ketika kita mengenal pembagian, kita sepakat bahwa kita tidak dapat membagi dengan nol. Kondisi m>n diperkenalkan agar kita tidak melampaui eksponen natural. Memang benar, untuk m>n eksponen a m−n adalah bilangan asli, jika tidak maka eksponennya akan menjadi nol (yang berlaku untuk m−n) atau bilangan negatif (yang berlaku untuk m

    Bukti. Sifat utama pecahan memungkinkan kita menulis persamaan a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Dari persamaan yang dihasilkan a m−n ·a n =am dan dapat disimpulkan bahwa a m−n adalah hasil bagi pangkat a m dan a n . Ini membuktikan sifat hasil bagi dengan basis identik.

    Mari kita beri contoh. Mari kita ambil dua derajat dengan basis yang sama π dan eksponen natural 5 dan 2, persamaan π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 sesuai dengan sifat derajat yang dipertimbangkan.

    Sekarang mari kita pertimbangkan properti kekuatan produk: pangkat alami n hasil kali dua bilangan real a dan b sama dengan hasil kali pangkat a n dan b n , yaitu (a·b) n =an ·b n .

    Memang, menurut definisi gelar dengan eksponen natural yang kita miliki . Berdasarkan sifat-sifat perkalian, hasil perkalian terakhir dapat ditulis ulang menjadi , yang sama dengan a n · b n .

    Berikut ini contohnya: .

    Sifat ini mencakup perkalian tiga faktor atau lebih. Artinya, sifat derajat alami n hasil kali k faktor ditulis sebagai (a 1 ·a 2 ·…·ak) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak n.

    Untuk kejelasan, kami akan menunjukkan properti ini dengan sebuah contoh. Untuk hasil kali tiga faktor pangkat 7 kita punya.

    Properti berikut adalah properti hasil bagi dalam bentuk barang: hasil bagi bilangan real a dan b, b≠0 pangkat n sama dengan hasil bagi pangkat a n dan b n, yaitu (a:b) n =a n:b n.

    Pembuktiannya dapat dilakukan dengan menggunakan sifat sebelumnya. Jadi (a:b) n b n =((a:b) b) n =an, dan dari persamaan (a:b) n ·b n =an =an maka (a:b) n adalah hasil bagi dari a n dibagi b n .

    Mari tulis properti ini menggunakan angka tertentu sebagai contoh: .

    Sekarang mari kita menyuarakannya properti untuk meningkatkan suatu kekuatan menjadi suatu kekuatan: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, pangkat dari m pangkat n sama dengan pangkat dari bilangan a dengan eksponen m·n, yaitu (am) n =am·n.

    Misalnya, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

    Bukti dari sifat pangkat-ke-derajat adalah rantai persamaan berikut: .

    Properti yang dipertimbangkan dapat diperluas ke derajat ke derajat, dll. Misalnya, untuk sembarang bilangan asli p, q, r dan s, persamaannya . Untuk lebih jelasnya, berikut adalah contoh dengan angka tertentu: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Masih memikirkan sifat-sifat membandingkan derajat dengan eksponen alami.

    Mari kita mulai dengan membuktikan sifat membandingkan nol dan pangkat dengan eksponen natural.

    Pertama, mari kita buktikan bahwa a n >0 untuk sembarang a>0.

    Hasil kali dua bilangan positif adalah bilangan positif, berikut pengertian perkaliannya. Fakta ini dan sifat-sifat perkalian menunjukkan bahwa hasil perkalian sejumlah bilangan positif juga akan berupa bilangan positif. Dan pangkat suatu bilangan a dengan eksponen natural n, menurut definisi, adalah hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Argumen-argumen ini memungkinkan kita untuk menegaskan bahwa untuk sembarang basis positif a, derajat a n adalah bilangan positif. Karena sifat terbukti 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 dan .

    Jelas sekali bahwa untuk sembarang bilangan asli n dengan a=0 derajat an adalah nol. Memang, 0 n =0·0·…·0=0 . Misalnya, 0 3 =0 dan 0 762 =0.

    Mari beralih ke basis derajat negatif.

    Mari kita mulai dengan kasus ketika eksponennya adalah bilangan genap, mari kita nyatakan sebagai 2·m, dengan m adalah bilangan asli. Kemudian . Untuk setiap hasil kali bentuk a·a sama dengan hasil kali modulus bilangan a dan a, yang berarti bilangan positif. Oleh karena itu, produknya juga akan positif dan derajat a 2·m. Mari kita beri contoh: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dan .

    Terakhir, jika basis a adalah bilangan negatif dan eksponennya adalah bilangan ganjil 2 m−1, maka . Semua hasil kali a·a adalah bilangan positif, hasil kali bilangan positif ini juga positif, dan perkaliannya dengan sisanya angka negatif a menghasilkan angka negatif. Karena sifat ini (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Mari kita beralih ke sifat membandingkan pangkat dengan eksponen alami yang sama, yang memiliki rumusan sebagai berikut: dari dua pangkat dengan eksponen alami yang sama, n lebih kecil dari yang basisnya lebih kecil, dan lebih besar adalah yang basisnya lebih besar . Mari kita buktikan.

    Ketimpangan dan n sifat-sifat ketidaksetaraan pertidaksamaan bentuk an yang dapat dibuktikan juga benar (2.2) 7 dan .

    Yang terakhir dari sifat-sifat pangkat yang terdaftar masih harus dibuktikan dengan eksponen alami. Mari kita rumuskan. Dari dua pangkat yang eksponen natural dan basis positif identiknya kurang dari satu, pangkat yang pangkatnya lebih kecil adalah yang lebih besar; dan dari dua pangkat yang eksponen alami dan basisnya sama lebih besar dari satu, pangkat yang lebih besar adalah yang lebih besar. Mari kita lanjutkan ke pembuktian properti ini.

    Mari kita buktikan untuk m>n dan 0 0 karena kondisi awal m>n yang berarti pada 0

    Masih membuktikan bagian kedua dari properti. Mari kita buktikan bahwa untuk m>n dan a>1 am >an n benar. Selisih a m −a n setelah mengeluarkan n dari tanda kurung berbentuk a n ·(a m−n −1) . Hasil kali ini positif, karena untuk a>1 derajat a n adalah bilangan positif, dan selisih a m−n −1 adalah bilangan positif, karena m−n>0 disebabkan oleh kondisi awal, dan untuk a>1 derajat a m−n lebih besar dari satu . Akibatnya, a m −a n >0 dan a m >an n , itulah yang perlu dibuktikan. Sifat ini diilustrasikan dengan pertidaksamaan 3 7 >3 2.

Sifat-sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat

Karena bilangan bulat positif adalah bilangan asli, maka semua sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat positif sama persis dengan sifat pangkat dengan pangkat asli yang tercantum dan dibuktikan pada paragraf sebelumnya.

Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif, serta derajat dengan eksponen nol, sedemikian rupa sehingga semua sifat derajat dengan eksponen alami, yang dinyatakan dengan persamaan, tetap valid. Oleh karena itu, semua sifat ini berlaku untuk eksponen nol dan eksponen negatif, sedangkan, tentu saja, basis pangkatnya berbeda dari nol.

Jadi, untuk bilangan real dan bukan nol a dan b, serta bilangan bulat m dan n, pernyataan berikut ini benar: sifat-sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat:

  1. am ·a n =am+n ;
  2. aku:an =aku−n ​​;
  3. (a·b) n =a n ·b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (saya) n = saya·n ;
  6. jika n bilangan bulat positif, a dan b bilangan positif, dan a b−n ;
  7. jika m dan n bilangan bulat, dan m>n , maka pada 0 1 pertidaksamaan yang dimiliki am >an.

Ketika a=0, pangkat a m dan a n hanya masuk akal jika m dan n keduanya adalah bilangan bulat positif, yaitu bilangan asli. Jadi, sifat-sifat yang baru ditulis juga berlaku untuk kasus ketika a=0 dan bilangan m dan n adalah bilangan bulat positif.

Membuktikan masing-masing sifat tersebut tidaklah sulit, untuk itu cukup menggunakan definisi derajat dengan eksponen natural dan bilangan bulat, serta sifat-sifat operasi dengan bilangan real. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahwa sifat pangkat-pangkat berlaku untuk bilangan bulat positif dan bilangan bulat non-positif. Untuk melakukannya, Anda perlu menunjukkan bahwa jika p adalah nol atau bilangan asli dan q adalah nol atau bilangan asli, maka persamaannya (ap) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (ap ) −q =ap·(−q) dan (a −p) −q =a (−p)·(−q). Ayo lakukan.

Untuk p dan q positif, persamaan (ap) q =a p·q telah dibuktikan pada paragraf sebelumnya. Jika p=0, maka kita mempunyai (a 0) q =1 q =1 dan a 0·q =a 0 =1, sehingga (a 0) q =a 0·q. Demikian pula, jika q=0, maka (ap) 0 =1 dan a p·0 =a 0 =1, maka (ap) 0 =a p·0. Jika p=0 dan q=0, maka (a 0) 0 =1 0 =1 dan a 0·0 =a 0 =1, maka (a 0) 0 =a 0·0.

Sekarang kita buktikan bahwa (a −p) q =a (−p)·q . Menurut definisi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif, maka . Berdasarkan sifat hasil bagi dengan pangkat yang kita miliki . Karena 1 p =1·1·…·1=1 dan , maka . Ekspresi terakhir, menurut definisi, adalah pangkat dalam bentuk a −(p·q), yang, karena aturan perkalian, dapat ditulis sebagai a (−p)·q.

Juga .

DAN .

Dengan menggunakan prinsip yang sama, Anda dapat membuktikan semua sifat derajat lainnya dengan eksponen bilangan bulat, yang ditulis dalam bentuk persamaan.

Di bagian kedua dari belakang dari sifat-sifat yang tercatat, ada baiknya memikirkan bukti pertidaksamaan a −n >b −n, yang berlaku untuk bilangan bulat negatif apa pun −n dan bilangan positif apa pun a dan byang syarat a terpenuhi . Karena dengan syarat a 0 . Hasil kali a n · b n juga positif sebagai hasil kali bilangan positif a n dan b n . Maka pecahan yang dihasilkan adalah positif sebagai hasil bagi dari bilangan positif b n −an dan a n ·b n . Oleh karena itu, dari mana a −n >b −n , itulah yang perlu dibuktikan.

Sifat terakhir dari pangkat dengan eksponen bilangan bulat dibuktikan dengan cara yang sama seperti sifat serupa dari pangkat dengan eksponen alami.

Sifat-sifat pangkat dengan eksponen rasional

Kita mendefinisikan derajat dengan eksponen pecahan dengan memperluas sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat. Dengan kata lain, pangkat dengan eksponen pecahan mempunyai sifat yang sama dengan pangkat dengan pangkat bilangan bulat. Yaitu:

Pembuktian sifat-sifat derajat dengan eksponen pecahan didasarkan pada definisi derajat dengan eksponen pecahan, dan pada sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat. Mari kita berikan bukti.

Menurut definisi pangkat dengan eksponen pecahan dan , maka . Sifat-sifat akar aritmatika memungkinkan kita menulis persamaan berikut. Selanjutnya, dengan menggunakan sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat, kita peroleh , dari mana, menurut definisi derajat dengan eksponen pecahan, kita peroleh , dan indikator derajat yang diperoleh dapat ditransformasikan sebagai berikut: . Ini melengkapi buktinya.

Sifat kedua pangkat dengan eksponen pecahan dibuktikan dengan cara yang sangat mirip:

Persamaan lainnya dibuktikan dengan menggunakan prinsip serupa:

Mari kita lanjutkan ke pembuktian properti berikutnya. Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang a dan b positif, a b hal. Mari kita tulis bilangan rasional p sebagai m/n, dengan m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ketentuan hal<0 и p>0 dalam hal ini kondisi m<0 и m>0 sesuai. Untuk m>0 dan a

Demikian pula untuk m<0 имеем a m >b m , dari mana, yaitu, dan a p >bp p .

Masih membuktikan properti terakhir yang terdaftar. Mari kita buktikan bahwa untuk bilangan rasional p dan q, p>q di 0 0 – pertidaksamaan a p >a q . Kita selalu dapat mereduksi bilangan rasional p dan q menjadi penyebut yang sama, meskipun kita mendapatkan pecahan biasa dan , di mana m 1 dan m 2 adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Dalam hal ini, kondisi p>q akan sesuai dengan kondisi m 1 >m 2, sebagai berikut. Kemudian, dengan sifat membandingkan pangkat dengan basis dan eksponen natural yang sama di 0 1 – pertidaksamaan saya 1 >saya 2 . Pertidaksamaan sifat-sifat akar ini dapat ditulis ulang sebagai berikut Dan . Dan definisi derajat dengan eksponen rasional memungkinkan kita beralih ke ketidaksetaraan dan, karenanya. Dari sini kita menarik kesimpulan akhir: untuk p>q dan 0 0 – pertidaksamaan a p >a q .

Sifat-sifat pangkat dengan eksponen irasional

Dari cara mendefinisikan derajat dengan eksponen irasional, kita dapat menyimpulkan bahwa ia memiliki semua sifat derajat dengan eksponen rasional. Jadi untuk a>0 , b>0 dan bilangan irasional p dan q adalah sebagai berikut sifat-sifat pangkat dengan eksponen irasional:

  1. a p ·a q =a p+q ;
  2. ap:a q =a p−q ;
  3. (a·b) p =a p ·b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (ap) q =a p·q ;
  6. untuk sembarang bilangan positif a dan b, a 0 pertidaksamaan a hal b p ;
  7. untuk bilangan irasional p dan q, p>q di 0 0 – pertidaksamaan a p >a q .

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa pangkat dengan sembarang eksponen nyata p dan q untuk a>0 mempunyai sifat yang sama.

Bibliografi.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematika untuk kelas 5. lembaga pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 7. lembaga pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 8. lembaga pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 9. lembaga pendidikan.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

Peta teknologi sesi pelatihan

kelas 7 Pelajaran No.38

Topik: Gelar dengan indikator alami

1. Untuk memastikan pengulangan, generalisasi dan sistematisasi pengetahuan tentang topik, untuk mengkonsolidasikan dan meningkatkan keterampilan transformasi sederhana dari ekspresi yang mengandung pangkat dengan eksponen alami, untuk menciptakan kondisi untuk memantau asimilasi pengetahuan dan keterampilan;

2. Untuk mempromosikan pembentukan keterampilan untuk menerapkan teknik generalisasi, perbandingan, menyoroti hal utama, untuk meningkatkan minat dalam mentransfer pengetahuan ke situasi baru, pengembangan cakrawala matematika, ucapan, perhatian dan memori, pengembangan aktivitas pendidikan dan kognitif;

3. Untuk meningkatkan minat dalam matematika, aktivitas, organisasi, untuk mengembangkan keterampilan saling dan pengendalian diri dalam aktivitas seseorang, pembentukan motivasi positif untuk belajar, dan budaya komunikasi.

Konsep dasar pelajaran

Derajat, dasar suatu derajat, eksponen, sifat-sifat suatu derajat, hasil kali suatu derajat, pembagian derajat, menaikkan suatu derajat ke suatu pangkat.

Hasil yang direncanakan

Mereka akan belajar mengoperasikan konsep Derajat, memahami arti penulisan suatu bilangan sebagai derajat, dan melakukan transformasi sederhana dari ekspresi yang mengandung derajat dengan eksponen natural.

Mereka akan berkesempatan mempelajari cara melakukan transformasi ekspresi bilangan bulat yang mengandung derajat dengan eksponen natural

Keterampilan mata pelajaran, UUD

UUD Pribadi:

kemampuan penilaian diri berdasarkan kriteria keberhasilan dalam kegiatan pendidikan.

UUD Kognitif:

kemampuan menavigasi sistem pengetahuan dan keterampilan seseorang: membedakan hal-hal baru dari apa yang sudah diketahui dengan bantuan seorang guru; menemukan jawaban atas pertanyaan menggunakan informasi yang dipelajari di kelas.

Generalisasi dan sistematisasi materi pendidikan, beroperasi dengan notasi simbolis derajat, substitusi, mereproduksi dari memori informasi yang diperlukan untuk memecahkan masalah pendidikan

Mata Pelajaran UUD:

Terapkan properti pangkat untuk mengubah ekspresi yang mengandung eksponen dengan eksponen alami

    UUD Peraturan:

    Kemampuan menentukan dan merumuskan tujuan dalam suatu pembelajaran dengan bantuan seorang guru; mengevaluasi pekerjaan Anda di kelas. Latihan saling kontrol dan pengendalian diri saat melakukan tugas

UUD Komunikatif:
Mampu mengungkapkan pikiran secara lisan dan tulisan, mendengarkan dan memahami pembicaraan orang lain

Koneksi metasubjek

Fisika, astronomi, kedokteran, kehidupan sehari-hari

Jenis pelajaran

Pengulangan, generalisasi dan penerapan pengetahuan dan keterampilan.

Bentuk pekerjaan dan cara kerja

Frontal, ruang uap, individu. Penjelasan - ilustratif, verbal, situasi masalah, lokakarya, verifikasi timbal balik, kontrol

Dukungan sumber daya

Komponen bahan ajar Makarychev Buku teks, proyektor, layar, komputer, presentasi, tugas untuk siswa, lembar penilaian diri

Teknologi yang digunakan dalam sesi pelatihan

Teknologi pembacaan semantik, pembelajaran berbasis masalah, pendekatan individual dan berbeda, TIK

Membuat siswa bersemangat untuk bekerja, memobilisasi perhatian

Selamat siang teman-teman. Selamat siang, rekan-rekan terkasih! Saya menyambut semua orang yang berkumpul di hari ini pelajaran terbuka. Kawan-kawan, saya ingin Anda bekerja dengan baik di kelas, mempertimbangkan dengan cermat jawaban atas pertanyaan yang diajukan, meluangkan waktu, tidak menyela, menghormati teman sekelas Anda dan jawaban mereka. Saya juga berharap Anda semua hanya mendapat nilai bagus. Semoga beruntung untukmu!

Ikuti ritme bisnis pelajaran ini

Mereka memeriksa ketersediaan segala sesuatu yang diperlukan untuk pekerjaan dalam pelajaran dan kerapian penataan Barang. Kemampuan untuk mengatur diri sendiri dan bersiap untuk bekerja.

2. Memperbarui latar belakang pengetahuan dan pengenalan topik pelajaran

3. Pekerjaan lisan

Teman-teman, kalian masing-masing memiliki lembar penilaian di meja kalian.Mereka akan digunakan untuk mengevaluasi pekerjaan Anda di kelas.Hari ini di kelas Anda diberi kesempatan untuk menerima bukan hanya satu, tetapi dua nilai: untuk pekerjaan di kelas dan untuk pekerjaan mandiri.
Jawaban Anda yang benar dan lengkap juga akan diberi nilai “+”, tetapi di kolom lain saya akan memberikan nilai ini juga.

Di layar Anda melihat teka-teki di mana kata-kata kunci dari pelajaran hari ini dienkripsi. Selesaikan mereka. (Geser 1)

derajat

pengulangan

generalisasi

Teman-teman, kamu menebak teka-tekinya dengan benar. Kata-kata tersebut adalah: derajat, pengulangan dan generalisasi. Sekarang, dengan menggunakan kata-kata yang ditebak - petunjuk, rumuskan topik pelajaran hari ini.

Benar. Buka buku catatan anda dan tuliskan nomor dan topik pelajaran “Pengulangan dan generalisasi pada topik “Sifat-sifat suatu derajat dengan eksponen natural” (Slide 2)

Topik pelajaran sudah kita tentukan, tapi menurut anda apa yang akan kita lakukan selama pelajaran, tujuan apa yang akan kita tetapkan untuk diri kita sendiri? (Geser 3)

Ulangi dan rangkum pengetahuan kita tentang topik ini, isi kesenjangan yang ada, bersiaplah untuk belajar topik selanjutnya"Monomial".

Guys, sifat-sifat derajat dengan eksponen natural cukup sering digunakan saat mencari nilai ekspresi dan saat mentransformasikan ekspresi. Kecepatan perhitungan dan transformasi yang terkait dengan sifat-sifat derajat dengan eksponen alami ditentukan oleh pengenalan Ujian Negara Bersatu.

Jadi hari ini kami akan mengulangi dan merangkum pengetahuan dan keterampilan Anda tentang topik ini. Secara lisan Anda harus menyelesaikan sejumlah soal dan mengingat pengelompokan verbal sifat-sifat dan definisi derajat dengan eksponen natural.

Prasasti untuk pelajaran kata-kata ilmuwan besar Rusia M.V. Lomonosov “Biarkan seseorang mencoba menghapus derajat dari matematika, dan dia akan melihat bahwa tanpanya Anda tidak dapat melangkah jauh”

(Geser 4)

Apakah menurut Anda ilmuwan itu benar?

Mengapa kita membutuhkan gelar?

Di mana mereka banyak digunakan? (dalam fisika, astronomi, kedokteran)

Benar sekali, sekarang mari kita ulangi apa itu gelar?

Apa nama a danNdalam catatan gelar?

Aktivitas apa yang dapat Anda lakukan dengan gelar? (Slide 5 -11)

Sekarang mari kita rangkum. Ada lembaran kertas dengan tugas di meja Anda. .

1. Di sebelah kiri adalah awal definisi, di sebelah kanan adalah akhir dari definisi. Hubungkan pernyataan yang benar dengan garis (Slide 12)

Hubungkan bagian definisi yang sesuai dengan garis.

a) Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama...

1) dasar gelar

b) Saat membagi pangkat dengan basis yang sama....

2) Eksponen

c) Nomor a dipanggil

3) hasil kali n faktor yang masing-masing sama dengan a.

d) Saat meningkatkan kekuatan menjadi kekuatan...

4)…dasarnya tetap sama, namun indikatornya bertambah.

e) Pangkat suatu bilangan a yang eksponen alaminya n lebih besar dari 1 disebut

5)…dasarnya tetap sama, tetapi indikatornya berlipat ganda.

e)NomorNditelepon

6) Berdasarkan derajat

Dan)Ekspresi a Nditelepon

7)…dasarnya tetap sama, tetapi indikatornya dikurangi.

2.Sekarang, bertukar kertas dengan tetangga meja Anda, evaluasi pekerjaannya dan beri dia nilai. Letakkan peringkat ini di lembar skor Anda.

Sekarang mari kita periksa apakah Anda menyelesaikan tugas dengan benar.

Mereka memecahkan teka-teki, mendefinisikan kata - petunjuk.

Upaya dilakukan untuk menetapkan topik pelajaran.

Tuliskan tanggal dan topik pelajaran di buku catatan Anda.

Jawab pertanyaan

Mereka bekerja berpasangan. Mereka membaca tugas dan mengingatnya.

Hubungkan bagian-bagian definisi

Mereka bertukar buku catatan.

Mereka saling mengecek hasilnya dan memberi nilai pada teman satu mejanya.

4. menit pendidikan jasmani

Tangan terangkat dan berjabat -

ini adalah pohon di hutan,

Lengan ditekuk, tangan gemetar -

Angin merobek dedaunan.

Mari kita lambaikan tangan kita ke samping, dengan lancar -

Burung terbang ke selatan seperti ini

Kami diam-diam akan menunjukkan kepada mereka bagaimana mereka duduk -

Tangan terlipat seperti ini!

Lakukan tindakan secara paralel dengan guru

5. Transfer pengetahuan yang diperoleh, penerapan utamanya dalam kondisi baru atau yang berubah, dengan tujuan mengembangkan keterampilan.

1. Saya menawarkan Anda pekerjaan berikut: Anda memiliki kartu di meja Anda. Anda perlu menyelesaikan tugas, mis. tulis jawabannya dalam bentuk pangkat dengan basis c, dan Anda akan mengetahui nama dan nama keluarga matematikawan besar Perancis yang memperkenalkan notasi pangkat yang diterima secara umum saat ini (Slide 14)

5

DENGAN 8 : DENGAN 6

(DENGAN 4 ) 3 DENGAN

(DENGAN 4 ) 3

DENGAN 4 DENGAN 5 DENGAN 0

DENGAN 5 DENGAN 3 : DENGAN 6

DENGAN 16 : DENGAN 8

DENGAN 14 DENGAN 8

10.

(DENGAN 3 ) 5

    Jawaban: Rene Descartes.

Kisah tentang biografi Rene Descartes (Slide 15 – 17)

Teman-teman, sekarang mari kita selesaikan tugas selanjutnya.

2. HAI menentukan jawaban mana yang benar dan mana yang salah. (Geser 18 – 19)

    Berikan angka 1 untuk jawaban yang benar, dan angka 0 untuk jawaban yang salah.

    Setelah menerima serangkaian satu dan nol, Anda akan menemukan jawaban yang benar dan menentukan nama depan dan belakang wanita Rusia pertama - seorang ahli matematika.

A)X 2 X 3 =x 5

B)S 3 S 5 S 8 = S 16

V)X 7 : X 4 = x 28

G) (C+ D) 8 : ( C+ D) 7 = C+ D

D) (X 5 ) 6 = X 30

Pilih namanya dari empat nama wanita terkenal, yang masing-masing berhubungan dengan himpunan satu dan nol:

    Ada Augusta Lovelace – 11001

    Sophie Germain - 10101

    Ekaterina Dashkova - 11101

    Sofia Kovalevskaya - 11011

Dari biografi Sofia Kovalevskaya (Slide 20)

Selesaikan tugas, tentukan nama belakang dan nama depan ahli matematika Perancis

Dengarkan dan lihat slidenya

Jawaban yang benar dan salah dicatat, kode yang dihasilkan ditulis, yang digunakan untuk menentukan nama wanita Rusia pertama - seorang ahli matematika.

6. Pemantauan dan penilaian pengetahuan Penyelesaian tugas secara mandiri oleh siswa di bawah pengawasan guru.

Dan sekarang kamu harus melakukannya pekerjaan tes. Di depan Anda ada kartu dengan tugas dengan warna berbeda. Warnanya sesuai dengan tingkat kesulitan tugas (pada “3”, pada “4”, pada “5”) Pilih sendiri tugas yang tingkatannya akan Anda selesaikan dan mulai bekerja. (Geser 21)

Pada "3"

1. Ekspresikan produk sebagai kekuatan:

A) ; B) ;

V) ; G) .

2. Ikuti langkah ini:

( M 3 ) 7 ; ( k 4 ) 5 ; (2 2 ) 3; (3 2 ) 5 ; ( M 3 ) 2 ; ( A X ) kamu

Pada "4"

1. Hadirkan produk sebagai kekuatan.

a)x 5 X 8 ; huuu 2 pada 9 ; di 2 6 · 2 4 ; G)M 2 M 5 M 4 ;

D)X 6 ∙ X 3 ∙ X 7 ; e) (–7) 3 ∙ (–7) 2 ∙ (–7) 9 .

2. Nyatakan hasil bagi sebagai pangkat:

A)X 8 : X 4 ; b) (–0,5) 10 : (–0,5) 8 ;

c) x 5 : X 3 ; d) di 10 : kamu 10 ; D 2 6 : 2 4 ; e) ;

ke "5"

1.Ikuti langkah-langkah berikut:

A A 4 · A · A 3 ab) (7 X ) 2 c) hal · R 2 · R 0

d) dengan · Dengan 3 · s d) t · T 4 · ( T 2 ) 2 · T 0

e) (2 3 ) 7 : (2 5 ) 3 Dan) -X 3 · (– X ) 4

H) (R 2 ) 4 : R 5 dan)(3 4 ) 2 · (3 2 ) 3 : 3 11

2. Sederhanakan:

A) X 3 ( X 2 ) 5c) ( A 2 ) 3 · ( A 4 ) 2

B) ( A 3 ) 2 · A 5 gram) ( X 2 ) 5 · ( X 5 )

Pekerjaan mandiri

Kerjakan tugas di buku catatan

7. Ringkasan pelajaran

Meringkas informasi yang diterima selama pelajaran.Memeriksa pekerjaan, menilai. Mengidentifikasi kesulitan yang dihadapi dalam pembelajaran

8. Refleksi

Apa yang terjadi dengan konsep gelar diXVIIabad ini, Anda dan saya dapat memprediksi diri kita sendiri. Untuk melakukan ini, coba jawab pertanyaan: dapatkah suatu bilangan dipangkatkan negatif atau menjadi pecahan? Tapi ini adalah subjek penelitian kita di masa depan.

Nilai pelajaran

Teman-teman, saya ingin mengakhiri pelajaran kita dengan perumpamaan berikut.

Perumpamaan. Seorang bijak sedang berjalan, dan tiga orang menemuinya, membawa gerobak berisi batu untuk konstruksi di bawah terik matahari. Orang bijak itu berhenti dan menanyakan satu pertanyaan kepada masing-masing orang. Dia bertanya kepada yang pertama: “Apa yang kamu lakukan sepanjang hari?” Dan dia menjawab sambil tersenyum bahwa dia telah membawa batu-batu terkutuk itu sepanjang hari. Orang bijak bertanya kepada orang kedua: “Apa yang kamu lakukan sepanjang hari?”, dan dia menjawab: “Dan saya melakukan pekerjaan saya dengan sungguh-sungguh.” Dan yang ketiga tersenyum, wajahnya berseri-seri karena kegembiraan dan kesenangan: “Dan saya mengambil bagian dalam pembangunan kuil!”

Teman-teman, jawab aku, apa yang kamu lakukan di kelas hari ini? Lakukan saja pada lembar penilaian diri. Lingkari pernyataan di setiap kolom yang sesuai dengan Anda.

Dalam lembar penilaian diri, Anda perlu menggarisbawahi ungkapan-ungkapan yang menjadi ciri pekerjaan siswa dalam pelajaran di tiga bidang.

Pelajaran kita sudah selesai. Terima kasih semuanya atas pekerjaan Anda di kelas!

Jawab pertanyaan

Evaluasi pekerjaan mereka di kelas.

Tandai pada kartu frasa yang menjadi ciri pekerjaan mereka dalam pelajaran.