Kursus video “Dapatkan nilai A” mencakup semua topik yang diperlukan untuk sukses lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika untuk 60-65 poin. Sepenuhnya semua soal 1-13 Profil Ujian Negara Terpadu matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!
Kursus persiapan Ujian Negara Bersatu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.
Semua teori yang diperlukan. Cara cepat solusi, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Bersatu 2018.
Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.
Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, materi referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Pemahaman bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar penyelesaian tugas yang kompleks 2 bagian dari Ujian Negara Bersatu.
Mundur ke depan
Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.
1. Perkenalan.
Mendekati sekolah, saya mendengar suara orang-orang dari gym, saya melanjutkan - mereka bernyanyi, menggambar... emosi dan perasaan ada dimana-mana. Kantor saya, pelajaran aljabar, siswa kelas sepuluh. Ini adalah buku teks kami, di mana kursus trigonometri merupakan setengah volumenya, dan ada dua penanda di dalamnya - ini adalah tempat di mana saya menemukan kata-kata yang tidak berhubungan dengan teori trigonometri.
Di antara sedikit siswa yang menyukai matematika, merasakan keindahannya dan tidak bertanya mengapa perlu mempelajari trigonometri, dimana materi yang dipelajari diterapkan? Mayoritas adalah mereka yang sekedar menyelesaikan tugas agar tidak mendapat nilai jelek. Dan kami sangat yakin bahwa nilai terapan matematika adalah untuk memperoleh pengetahuan yang cukup berhasil diselesaikan Ujian Negara Bersatu dan masuk ke universitas (masuk dan lupakan).
Tujuan utama dari pelajaran yang disajikan adalah untuk menunjukkan penerapan nilai trigonometri dalam berbagai bidang aktifitas manusia. Contoh-contoh yang diberikan akan membantu siswa melihat hubungan antara bagian matematika ini dan mata pelajaran lain yang dipelajari di sekolah. Isi pelajaran ini merupakan unsur pelatihan profesional bagi siswa.
Ceritakan sesuatu yang baru tentang apa yang sudah lama terjadi fakta yang diketahui. Tunjukkan hubungan logis antara apa yang sudah kita ketahui dan apa yang masih harus dipelajari. Buka pintunya sedikit dan lihat ke luar kurikulum sekolah. Tugas yang tidak biasa, hubungan dengan peristiwa Hari ini- ini adalah teknik yang saya gunakan untuk mencapai tujuan saya. Bagaimanapun, matematika sekolah sebagai mata pelajaran tidak banyak memberikan kontribusi terhadap pembelajaran melainkan terhadap perkembangan individu, pemikirannya, dan budayanya.
2. Ringkasan pelajaran aljabar dan prinsip analisis (kelas 10).
Waktu penyelenggaraan: Susun enam meja berbentuk setengah lingkaran (model busur derajat), lembar kerja siswa di atas meja (Lampiran 1).
Mengumumkan topik pelajaran: “Trigonometri sederhana dan jelas.”
Dalam kursus aljabar dan analisis dasar, kita mulai mempelajari trigonometri, saya ingin berbicara tentang signifikansi terapan dari bagian matematika ini.
Tesis pelajaran:
“Buku yang bagus alam hanya dapat dibaca oleh mereka yang mengetahui bahasa penulisannya, dan bahasa tersebut adalah matematika.”
(G.Galileo).
Di akhir pelajaran, kita akan berpikir bersama apakah kita mampu melihat ke dalam buku ini dan memahami bahasa penulisannya.
Trigonometri sudut lancip.
Trigonometri adalah kata Yunani dan diterjemahkan berarti “pengukuran segitiga.” Kemunculan trigonometri dikaitkan dengan pengukuran di bumi, konstruksi, dan astronomi. Dan perkenalan pertama Anda dengannya terjadi ketika Anda mengambil busur derajat. Pernahkah Anda memperhatikan bagaimana posisi tabel? Pikirkanlah dalam benak Anda: jika kita mengambil sebuah tabel sebagai sebuah tali busur, lalu berapakah besaran derajat busur yang dibentuknya?
Mari kita ingat besaran sudut: 1 ° = 1/360 bagian dari lingkaran ("derajat" - dari bahasa Latin lulusan - langkah). Tahukah anda kenapa lingkaran dibagi menjadi 360 bagian, mengapa tidak dibagi menjadi 10, 100 atau 1000 bagian, seperti yang terjadi misalnya saat mengukur panjang? Saya akan memberi tahu Anda salah satu versinya.
Sebelumnya, orang percaya bahwa Bumi adalah pusat Alam Semesta dan tidak bergerak, dan Matahari melakukan satu revolusi mengelilingi Bumi setiap hari, sistem geosentris dunia, “geo” - Bumi ( Gambar No.1). Para pendeta Babilonia yang melakukan pengamatan astronomi menemukan bahwa pada hari ekuinoks Matahari, dari terbit hingga terbenamnya matahari, menggambarkan sebuah setengah lingkaran di kubah surga, di mana diameter (diameter) Matahari yang terlihat pas tepat 180 kali, 1 ° - jejak Matahari. ( Gambar No.2).
Untuk waktu yang lama, trigonometri hanya bersifat geometris. Di sini Anda melanjutkan pengenalan trigonometri dengan menyelesaikan segitiga siku-siku. Anda mengetahui bahwa sinus sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring, cosinus adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi miring, tangen adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan, dan kotangen adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berlawanan. Dan ingatlah bahwa pada segitiga siku-siku yang mempunyai sudut tertentu, perbandingan sisi-sisinya tidak bergantung pada besar segitiga. Pelajari teorema sinus dan kosinus untuk menyelesaikan segitiga sembarang.
Pada tahun 2010, metro Moskow berusia 75 tahun. Setiap hari kita turun ke kereta bawah tanah dan tidak menyadarinya...
Tugas No.1. Sudut kemiringan semua eskalator di metro Moskow adalah 30 derajat. Mengetahui hal ini, jumlah lampu di eskalator dan perkiraan jarak antar lampu, Anda dapat menghitung perkiraan kedalaman stasiun. Terdapat 15 lampu di eskalator di stasiun Tsvetnoy Boulevard, dan 2 lampu di stasiun Prazhskaya. Hitung kedalaman stasiun-stasiun tersebut jika jarak antara lampu, dari pintu masuk eskalator ke lampu pertama dan dari lampu terakhir ke pintu keluar eskalator, adalah 6 m ( Gambar No.3). Jawaban: 48 m dan 9 m
Pekerjaan rumah. Stasiun terdalam metro Moskow adalah Victory Park. Berapa kedalamannya? Saya sarankan Anda secara mandiri menemukan data yang hilang untuk menyelesaikan masalah pekerjaan rumah Anda.
Saya memiliki penunjuk laser di tangan saya, yang juga merupakan pencari jarak. Mari kita ukur, misalnya jarak ke papan.
Desainer Tiongkok Huan Qiaokun menebak untuk menggabungkan dua pengukur jarak laser dan busur derajat ke dalam satu perangkat dan memperoleh alat yang memungkinkan Anda menentukan jarak antara dua titik pada sebuah bidang ( Gambar No.4). Menurut Anda, teorema apa yang memecahkan masalah ini? Ingat rumusan teorema kosinus. Apakah Anda setuju dengan saya bahwa pengetahuan Anda sudah cukup untuk membuat penemuan seperti itu? Selesaikan masalah geometri dan buat penemuan kecil setiap hari!
Trigonometri bola.
Selain geometri datar Euclid (planimetri), mungkin ada geometri lain yang sifat-sifat bangunnya tidak dipertimbangkan pada suatu bidang, tetapi pada permukaan lain, misalnya pada permukaan bola ( Gambar No.5). Matematikawan pertama yang meletakkan dasar bagi pengembangan geometri non-Euclidean adalah N.I. Lobachevsky – “Copernicus Geometri”. Sejak tahun 1827 selama 19 tahun ia menjadi rektor Universitas Kazan.
Trigonometri bola, yang merupakan bagian dari geometri bola, mengkaji hubungan antara sisi dan sudut segitiga pada bola yang dibentuk oleh busur lingkaran besar pada bola ( Gambar No.6).
Secara historis, trigonometri dan geometri bola muncul dari kebutuhan astronomi, geodesi, navigasi, dan kartografi. Pikirkan tentang arah mana yang berikut ini tahun terakhir telah mengalami perkembangan yang begitu pesat sehingga hasilnya sudah digunakan dalam komunikator modern. ... Aplikasi Modern navigasi adalah sistem navigasi satelit yang memungkinkan Anda menentukan lokasi dan kecepatan suatu objek berdasarkan sinyal dari penerimanya.
Sistem Navigasi Global (GPS). Untuk menentukan garis lintang dan garis bujur, penerima perlu menerima sinyal dari setidaknya tiga satelit. Penerimaan sinyal dari satelit keempat memungkinkan untuk menentukan ketinggian suatu benda di atas permukaan ( Gambar No.7).
Komputer penerima memecahkan empat persamaan dalam empat hal yang tidak diketahui hingga ditemukan solusi yang menggambar semua lingkaran melalui satu titik ( Gambar No.8).
Pengetahuan tentang trigonometri sudut lancip ternyata tidak cukup untuk menyelesaikan masalah yang lebih kompleks masalah praktis. Dalam mempelajari gerak rotasi dan melingkar, besaran sudut dan busur lingkaran tidak dibatasi. Timbul kebutuhan untuk beralih ke trigonometri argumen umum.
Trigonometri argumen umum.
Lingkaran ( Gambar No.9). Sudut positif diplot berlawanan arah jarum jam, sudut negatif diplot searah jarum jam. Apakah Anda mengetahui sejarah perjanjian semacam itu?
Seperti yang Anda ketahui, jam tangan mekanis dan jam matahari dirancang sedemikian rupa sehingga jarum jamnya berputar “sepanjang matahari”, yaitu. dalam arah yang sama dengan saat kita melihat pergerakan nyata Matahari mengelilingi Bumi. (Ingat awal pelajaran - sistem geosentris dunia). Namun dengan ditemukannya gerak Bumi mengelilingi Matahari yang sebenarnya (positif) oleh Copernicus, maka gerak Matahari mengelilingi Bumi yang kita lihat (yaitu nyata) adalah fiktif (negatif). Sistem heliosentris dunia (helio - Matahari) ( Gambar No.10).
Pemanasan.
- Rentangkan lengan kanan ke depan, sejajar dengan permukaan meja, dan lakukan putaran melingkar 720 derajat.
- Rentangkan lengan kiri ke depan, sejajar dengan permukaan meja, dan lakukan putaran melingkar (–1080) derajat.
- Letakkan tangan Anda di bahu dan lakukan 4 gerakan melingkar bolak-balik. Berapa jumlah sudut rotasinya?
Pada tahun 2010, Olimpiade Musim Dingin diadakan di Vancouver; kita mempelajari kriteria untuk menilai latihan skater yang dilakukan dengan memecahkan masalah.
Tugas No.2. Jika seorang skater melakukan putaran 10.800 derajat saat melakukan latihan “sekrup” dalam 12 detik, maka ia mendapat nilai “sangat baik”. Tentukan berapa putaran yang akan dilakukan skater selama waktu tersebut dan kecepatan putarannya (putaran per detik). Jawaban: 2,5 putaran/detik.
Pekerjaan rumah. Pada sudut berapa skater tersebut berbelok, yang mendapat penilaian “tidak memuaskan”, jika pada waktu putaran yang sama kecepatannya 2 putaran per detik.
Ukuran busur dan sudut yang paling mudah dikaitkan dengan gerakan rotasi ternyata adalah ukuran radian (radius), sebagai satuan yang lebih besar untuk mengukur sudut atau busur ( Gambar No.11). Ukuran pengukuran sudut ini masuk ke dalam sains melalui karya luar biasa Leonhard Euler. Swiss sejak lahir, ia tinggal di Rusia selama 30 tahun dan merupakan anggota Akademi Ilmu Pengetahuan St. Kepada dialah kita berhutang interpretasi "analitis" terhadap semua trigonometri, dia memperoleh rumus yang sedang Anda pelajari, memperkenalkan tanda-tanda seragam: dosa X, karena X, hal X,ctg X.
Jika hingga abad ke-17 perkembangan doktrin fungsi trigonometri dibangun atas dasar geometri, maka mulai abad ke-17 fungsi trigonometri mulai diterapkan untuk menyelesaikan permasalahan mekanika, optik, kelistrikan, hingga menggambarkan proses osilasi dan gelombang. perambatan. Di mana pun kita harus berurusan dengan proses dan osilasi periodik, fungsi trigonometri dapat diterapkan. Fungsi yang menyatakan hukum proses periodik memiliki sifat khusus yang unik: fungsi tersebut mengulangi nilainya melalui interval perubahan argumen yang sama. Perubahan fungsi apa pun paling jelas tersampaikan pada grafiknya ( Gambar No.12).
Kami telah meminta bantuan tubuh kami ketika memecahkan masalah yang melibatkan rotasi. Mari kita dengarkan detak jantung kita. Jantung adalah organ yang mandiri. Otak mengontrol semua otot kita kecuali jantung. Ia memiliki pusat kendali sendiri - simpul sinus. Dengan setiap kontraksi jantung, ia menyebar ke seluruh tubuh - mulai dari simpul sinus (seukuran butiran millet). listrik. Itu dapat direkam menggunakan elektrokardiograf. Dia menggambar elektrokardiogram (sinusoid) ( Gambar No.13).
Sekarang mari kita bicara tentang musik. Matematika adalah musik, perpaduan antara kecerdasan dan keindahan.
Musik adalah matematika dalam perhitungan, aljabar dalam abstraksi, trigonometri dalam keindahan. Osilasi harmonik(harmonik) adalah osilasi sinusoidal. Grafik tersebut menunjukkan bagaimana tekanan udara di gendang telinga pendengar berubah: naik dan turun secara melengkung, secara berkala. Tekanan udara, terkadang lebih kuat, terkadang lebih lemah. Kekuatan tumbukan sangat kecil dan getaran terjadi sangat cepat: ratusan bahkan ribuan guncangan setiap detik. Kami merasakan getaran periodik seperti suara. Penambahan dua harmonik yang berbeda memberikan osilasi yang lebih besar bentuk yang kompleks. Jumlah ketiga harmonik bahkan lebih kompleks, dan bunyi alami serta bunyi alat musik terdiri dari sejumlah besar harmonik. ( Gambar No.14.)
Setiap harmonik dicirikan oleh tiga parameter: amplitudo, frekuensi dan fase. Frekuensi osilasi menunjukkan berapa banyak guncangan tekanan udara yang terjadi dalam satu detik. Frekuensi tinggi dianggap sebagai suara “tinggi”, “tipis”. Di atas 10 KHz – mencicit, bersiul. Frekuensi kecil dianggap sebagai suara "rendah", "bass", dan bergemuruh. Amplitudo adalah rentang getaran. Semakin besar cakupannya, semakin besar dampaknya pada gendang telinga, dan semakin keras pula suara yang kita dengar ( Gambar No.15). Fase adalah perpindahan osilasi dalam waktu. Fase dapat diukur dalam derajat atau radian. Tergantung pada fasenya, titik nol pada grafik bergeser. Untuk mengatur harmonik, cukup menentukan fase dari –180 hingga +180 derajat, karena pada nilai besar osilasi berulang. Dua sinyal sinusoidal dengan amplitudo dan frekuensi yang sama, tetapi fase berbeda, dijumlahkan secara aljabar ( Gambar No.16).
Ringkasan pelajaran. Menurut Anda apakah kami dapat membaca beberapa halaman dari Great Book of Nature? Setelah mempelajari tentang makna terapan trigonometri, apakah perannya dalam berbagai bidang aktivitas manusia menjadi lebih jelas bagi Anda, apakah Anda memahami materi yang disampaikan? Kemudian ingat dan buat daftar bidang penerapan trigonometri yang Anda temui hari ini atau ketahui sebelumnya. Saya harap Anda masing-masing menemukan sesuatu yang baru dan menarik dalam pelajaran hari ini. Mungkin hal baru ini akan menunjukkan kepada Anda cara untuk memilih profesi masa depan, tetapi tidak peduli menjadi siapa Anda, pendidikan matematika Anda akan membantu Anda menjadi seorang profesional dan orang yang berkembang secara intelektual.
Pekerjaan rumah. Baca ringkasan pelajaran (
Dengan melakukan transformasi trigonometri ikuti tips berikut ini:
- Jangan mencoba untuk langsung memberikan solusi terhadap contoh tersebut dari awal hingga akhir.
- Jangan mencoba mengonversi seluruh contoh sekaligus. Ambil langkah kecil ke depan.
- Ingatlah bahwa selain rumus trigonometri dalam trigonometri, Anda masih dapat menggunakan semua transformasi aljabar yang wajar (pengurungan, penyingkatan pecahan, rumus perkalian yang disingkat, dan sebagainya).
- Percayalah bahwa semuanya akan baik-baik saja.
Rumus dasar trigonometri
Kebanyakan rumus dalam trigonometri sering digunakan baik dari kanan ke kiri maupun dari kiri ke kanan, jadi Anda perlu mempelajari rumus-rumus ini dengan baik agar Anda dapat dengan mudah menerapkan beberapa rumus di kedua arah. Untuk memulainya, mari kita tuliskan definisinya fungsi trigonometri. Biarkan disana ada segitiga siku-siku:
Lalu, definisi sinus:
Definisi kosinus:
Definisi garis singgung:
Definisi kotangen:
Dasar-dasar identitas trigonometri:
Akibat paling sederhana dari identitas trigonometri dasar:
Rumus sudut ganda. Sinus sudut ganda:
Cosinus sudut ganda:
Garis singgung sudut ganda:
Kotangen sudut ganda:
Rumus trigonometri tambahan
Rumus penjumlahan trigonometri. Sinus penjumlahan:
Sinus perbedaannya:
Kosinus jumlah:
Kosinus selisihnya:
Tangen dari jumlah tersebut:
Tangen perbedaan:
Kotangen jumlah:
Kotangen selisihnya:
Rumus trigonometri untuk mengubah suatu jumlah menjadi suatu hasil kali. Jumlah sinus:
Perbedaan sinus:
Jumlah cosinus:
Perbedaan cosinus:
Jumlah garis singgung:
Perbedaan tangen:
Jumlah kotangen:
Perbedaan kotangen:
Rumus trigonometri untuk mengubah suatu hasil kali menjadi suatu jumlah. Produk sinus:
Hasil kali sinus dan kosinus:
Hasil kali cosinus:
Rumus pengurangan derajat.
Rumus setengah sudut.
Rumus reduksi trigonometri
Fungsi kosinus disebut fungsi fungsi sinus dan sebaliknya. Demikian pula fungsi tangen dan kotangen adalah fungsi bersama. Rumus reduksi dapat dirumuskan sebagai aturan berikut:
- Jika dalam rumus reduksi suatu sudut dikurangi (ditambahkan) dari 90 derajat atau 270 derajat, maka fungsi tereduksi berubah menjadi kofungsi;
- Jika dalam rumus reduksi sudut dikurangi (ditambahkan) dari 180 derajat atau 360 derajat, maka nama fungsi reduksi tetap dipertahankan;
- Dalam hal ini, tanda fungsi tereduksi (yaitu asli) pada kuadran yang bersesuaian ditempatkan di depan fungsi tereduksi, jika kita menganggap sudut yang dikurangi (ditambahkan) adalah lancip.
Rumus reduksi diberikan dalam bentuk tabel:
Oleh lingkaran trigonometri mudah untuk menentukan nilai tabel fungsi trigonometri:
Persamaan trigonometri
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri tertentu, persamaan tersebut harus direduksi menjadi persamaan yang paling sederhana persamaan trigonometri, yang akan dibahas di bawah ini. Untuk ini:
- Dapat digunakan rumus trigonometri diberikan di atas. Pada saat yang sama, Anda tidak perlu mencoba mengubah keseluruhan contoh sekaligus, namun Anda perlu bergerak maju dalam langkah-langkah kecil.
- Kita tidak boleh melupakan kemungkinan mengubah beberapa ekspresi menggunakan metode aljabar, yaitu misalnya, mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung atau sebaliknya membuka tanda kurung, mengurangi pecahan, menerapkan rumus perkalian yang disingkat, membawa pecahan ke penyebut yang sama, dan sebagainya.
- Saat menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda dapat menggunakan metode pengelompokan. Harus diingat bahwa agar hasil kali beberapa faktor sama dengan nol, cukuplah salah satu faktor tersebut sama dengan nol, dan sisanya ada.
- Melamar metode penggantian variabel, seperti biasa, persamaan setelah memasukkan pengganti harus menjadi lebih sederhana dan tidak mengandung variabel asli. Anda juga harus ingat untuk melakukan penggantian terbalik.
- Ingatlah bahwa persamaan homogen sering kali muncul dalam trigonometri.
- Saat membuka modul atau menyelesaikan persamaan irasional dengan fungsi trigonometri, Anda perlu mengingat dan memperhitungkan semua seluk-beluk penyelesaian persamaan yang sesuai dengan fungsi biasa.
- Ingat tentang ODZ (dalam persamaan trigonometri, batasan pada ODZ terutama disebabkan oleh fakta bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol, tetapi jangan lupakan batasan lainnya, terutama tentang kepositifan ekspresi dalam kekuatan rasional dan di bawah akar derajat genap). Ingat juga bahwa nilai sinus dan cosinus hanya boleh berada pada rentang dari minus satu hingga plus satu, inklusif.
Yang penting, jika Anda tidak tahu harus berbuat apa, lakukan setidaknya sesuatu, dan yang utama adalah menggunakan rumus trigonometri dengan benar. Jika yang didapat semakin membaik maka lanjutkan penyelesaiannya, dan jika semakin parah maka kembali ke awal dan coba terapkan rumus lain, lakukan hingga Anda menemukan solusi yang tepat.
Rumus penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana. Untuk sinus, ada dua bentuk penulisan penyelesaian yang setara:
Untuk fungsi trigonometri lainnya, notasinya tidak ambigu. Untuk kosinus:
Untuk garis singgung:
Untuk kotangen:
Menyelesaikan persamaan trigonometri dalam beberapa kasus khusus:
Penerapan ketiga poin ini yang berhasil, rajin, dan bertanggung jawab akan memungkinkan Anda menunjukkan hasil yang sangat baik di CT, semaksimal kemampuan Anda.
Menemukan kesalahan?
Jika Anda merasa telah menemukan kesalahan dalam materi pendidikan, lalu silakan tulis tentang hal itu melalui email. Anda juga dapat melaporkan bug ke jaringan sosial(). Dalam surat tersebut sebutkan mata pelajaran (fisika atau matematika), nama atau nomor topik atau ujian, nomor soal, atau tempat dalam teks (halaman) yang menurut Anda terdapat kesalahan. Jelaskan juga apa dugaan kesalahannya. Surat Anda tidak akan luput dari perhatian, kesalahannya akan diperbaiki, atau Anda akan dijelaskan mengapa itu bukan kesalahan.
Dahulu kala di sekolah ada mata kuliah tersendiri yang mempelajari trigonometri. Sertifikat tersebut mencakup nilai dalam tiga disiplin matematika: aljabar, geometri dan trigonometri.
Kemudian, sebagai bagian dari reformasi pendidikan sekolah trigonometri tidak lagi ada sebagai mata pelajaran yang terpisah. DI DALAM sekolah modern Perkenalan pertama dengan trigonometri terjadi pada mata pelajaran geometri kelas 8. Pembelajaran lebih mendalam tentang mata pelajaran berlanjut pada mata pelajaran aljabar kelas 10.
Definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen pertama kali diberikan dalam geometri melalui hubungan sisi-sisi segitiga siku-siku.
Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring.
Kosinus Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Garis singgung Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.
Kotangens Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan.
Definisi ini hanya berlaku untuk sudut tajam(dari 0º hingga 90°).
Misalnya,
V segitiga ABC, dimana ∠C=90°, BC adalah kaki yang berhadapan dengan sudut A, AC adalah kaki yang berdekatan dengan sudut A, AB adalah sisi miring.
Mata kuliah aljabar kelas 10 memperkenalkan pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen untuk sembarang sudut (termasuk negatif).
Perhatikan sebuah lingkaran berjari-jari R dengan pusat di titik asal - titik O(0;0). Mari kita nyatakan titik potong lingkaran dengan arah positif sumbu absis sebagai P 0 .
Dalam geometri, sudut dianggap sebagai bagian dari bidang yang dibatasi oleh dua sinar. Dengan definisi ini, sudut bervariasi dari 0° hingga 180°.
Dalam trigonometri, sudut dianggap sebagai hasil perputaran sinar OP 0 di sekitar titik awal O.
Pada saat yang sama, mereka sepakat untuk mempertimbangkan memutar sinar berlawanan arah jarum jam sebagai arah lintasan positif, dan searah jarum jam sebagai arah negatif (kesepakatan ini dikaitkan dengan pergerakan sebenarnya Matahari mengelilingi Bumi).
Misalnya, ketika sinar OP 0 diputar mengelilingi titik O dengan sudut α berlawanan arah jarum jam, maka titik P 0 akan menuju ke titik P α,
saat berbelok dengan sudut α searah jarum jam - ke titik F.
Dengan definisi ini, sudut dapat bernilai berapa pun.
Jika kita terus memutar sinar OP 0 berlawanan arah jarum jam, ketika memutar melalui sudut α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n, dimana n adalah bilangan bulat (n∈ Ζ), sekali lagi mari kita ke titik P α:
Sudut diukur dalam derajat dan radian.
1° adalah sudut yang sama dengan 1/180 bagian ukuran derajat sudut terbuka.
1 radian adalah sudut tengah, yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran:
∠AOB=1 rad.
Simbol radian biasanya tidak ditulis. Penunjukan gelar tidak dapat dihilangkan dari entri.
Misalnya,
Titik P α , diperoleh dari titik P 0 dengan memutar sinar OP 0 mengelilingi titik O dengan sudut α berlawanan arah jarum jam, mempunyai koordinat P α (x;y).
Mari kita jatuhkan P α A yang tegak lurus dari titik P α ke sumbu absis.
Pada segitiga siku-siku OP α A:
P α A - kaki berlawanan dengan sudut α,
OA - kaki berdekatan dengan sudut ,
OP α adalah sisi miring.
P α A=y, OA=x, OP α =R.
Berdasarkan definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen pada segitiga siku-siku kita mempunyai:
Jadi, dalam kasus lingkaran dengan pusat di titik asal berjari-jari sembarang sinus sudut α adalah perbandingan ordinat titik P α dengan panjang jari-jarinya.
Kosinus sudut α adalah perbandingan absis titik P α dengan panjang jari-jarinya.
Garis singgung sudut α adalah perbandingan ordinat suatu titik P dengan absisnya.
Kotangens sudut α adalah perbandingan absis titik P α terhadap ordinatnya.
Nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen hanya bergantung pada nilai α dan tidak bergantung pada panjang jari-jari R (berdasar pada persamaan lingkaran).
Oleh karena itu, lebih mudah untuk memilih R=1.
Lingkaran yang berpusat di titik asal dan berjari-jari R=1 disebut lingkaran satuan.
Definisi
1) Sinus sudut α disebut ordinat titik P α (x;y) dari lingkaran satuan:
2) Kosinus sudut α disebut absis titik P α (x;y) lingkaran satuan:
3) Garis singgung sudut α adalah perbandingan ordinat suatu titik P α (x;y) terhadap absisnya, yaitu perbandingan sinα dengan cosα (dimana cosα≠0):
4) Kotangen sudut α adalah perbandingan absis suatu titik P α (x;y) terhadap ordinatnya, yaitu perbandingan cosα terhadap sinα (dimana sinα≠0):
Definisi yang diperkenalkan dengan cara ini memungkinkan kita untuk mempertimbangkan tidak hanya fungsi trigonometri sudut, tetapi juga fungsi trigonometri argumen numerik(jika kita menganggap sinα, cosα, tanα dan ctgα sebagai fungsi trigonometri sudut dalam α radian, yaitu sinus bilangan α adalah sinus sudut dalam α radian, kosinus bilangan α adalah cosinus sudut dalam α radian, dll.).
Sifat-sifat fungsi trigonometri dipelajari sebagai topik tersendiri pada mata pelajaran aljabar di kelas 10 atau 11. Fungsi trigonometri banyak digunakan dalam fisika.
Kategori: |- -
Biasanya, ketika mereka ingin menakut-nakuti seseorang dengan MATEMATIKA MENAKUTKAN, mereka mencontohkan segala macam sinus dan cosinus, sebagai sesuatu yang sangat kompleks dan menjijikkan. Namun nyatanya, ini adalah bagian yang indah dan menarik yang bisa dipahami dan dipecahkan.
Topiknya dimulai di kelas 9 dan semuanya tidak selalu jelas pertama kali, ada banyak kehalusan dan trik. Saya mencoba mengatakan sesuatu tentang topik tersebut.
Pengantar dunia trigonometri:
Sebelum langsung membahas rumus, Anda perlu memahami dari geometri apa itu sinus, kosinus, dll.
Sinus sudut- perbandingan sisi (sudut) yang berhadapan dengan sisi miring.
Kosinus- rasio yang berdekatan dengan sisi miring.
Garis singgung- sisi berlawanan dengan sisi yang berdekatan
Kotangens- bersebelahan dengan yang sebaliknya.
Sekarang perhatikan lingkaran dengan radius satuan bidang koordinat dan tandai beberapa sudut alfa di atasnya: (gambar dapat diklik, setidaknya beberapa)
- 
-
Garis merah tipis merupakan garis tegak lurus dari titik potong lingkaran dan sudut siku-siku pada sumbu sapi dan oy. X dan y merah adalah nilai koordinat x dan y pada sumbu (x dan y abu-abu hanya untuk menunjukkan bahwa ini adalah sumbu koordinat dan bukan hanya garis).
Perlu diperhatikan bahwa sudut dihitung dari arah positif sumbu sapi berlawanan arah jarum jam.
Mari kita cari sinus, cosinus, dll. untuknya.
sin a: sisi berhadapan sama dengan y, sisi miring sama dengan 1.
sin a = y / 1 = y
Agar jelas darimana saya mendapatkan y dan 1, agar lebih jelas, mari kita susun huruf-hurufnya dan lihat segitiganya.
- -
AF = AE = 1 - jari-jari lingkaran.
Oleh karena itu AB = 1 sebagai jari-jarinya. AB - sisi miring.
BD = CA = y - sebagai nilai oh.
AD = CB = x - sebagai nilai menurut oh.
dosa a = BD / AB = y / 1 = y
Berikutnya adalah kosinus:
cos a: sisi yang berdekatan - AD = x
karena a = AD / AB = x / 1 = x
Kami juga mengeluarkan tangen dan kotangen.
tg a = y / x = sin a / cos a
cot a = x / y = cos a / sin a
Tiba-tiba kita mendapatkan rumus tangen dan kotangen.
Baiklah, mari kita lihat secara konkrit bagaimana hal ini diselesaikan.
Misalnya a = 45 derajat.
Kami mendapatkan segitiga siku-siku dengan salah satu sudut 45 derajat. Bagi sebagian orang, sudah jelas bahwa ini adalah segitiga sama sisi, tetapi saya akan tetap menjelaskannya.
Cari sudut ketiga segitiga (yang pertama 90, yang kedua 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Jika dua sudut sama besar, maka sisi-sisinya sama besar, seperti itulah bunyinya.
Jadi, ternyata jika kita menjumlahkan dua segitiga serupa di atas satu sama lain, kita mendapatkan persegi yang diagonalnya sama dengan jari-jari = 1. Berdasarkan teorema Pythagoras, kita mengetahui bahwa diagonal persegi dengan sisi a sama dengan akar dari dua.
Sekarang kami berpikir. Jika 1 (sisi miring alias diagonal) sama dengan sisi persegi dikali akar dua, maka sisi persegi tersebut harusnya sama dengan 1/sqrt(2), dan jika kita mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ini dengan akar dua, kita mendapatkan sqrt(2)/2 . Dan karena segitiga tersebut sama kaki, maka AD = AC => x = y
Menemukan fungsi trigonometri kita:
sin 45 = kuadrat(2)/2 / 1 = kuadrat(2)/2
cos 45 = persegi(2)/2 / 1 = persegi(2)/2
tg 45 = persegi(2)/2 / persegi(2)/2 = 1
ctg 45 = persegi(2)/2 / persegi(2)/2 = 1
Anda perlu mengerjakan nilai sudut yang tersisa dengan cara yang sama. Hanya saja segitiganya tidak sama kaki, tetapi sisi-sisinya dapat dicari dengan mudah menggunakan teorema Pythagoras.
Dengan cara ini kita mendapatkan tabel nilai fungsi trigonometri dari berbagai sudut:
- 
-
Apalagi meja ini curang dan sangat nyaman.
Cara membuatnya sendiri tanpa repot: Gambarlah tabel seperti ini dan tuliskan angka 1 2 3 di dalam kotak.
- 
-
Sekarang dari 1 2 3 ini ambil akarnya dan bagi dengan 2. Ternyata seperti ini:
- 
-
Sekarang kita coret sinusnya dan tulis kosinusnya. Nilai-nilainya adalah sinus cermin:
- 
-
Garis singgung juga mudah diperoleh - Anda perlu membagi nilai garis sinus dengan nilai garis kosinus:
- 
-
Nilai kotangen adalah nilai kebalikan dari garis singgung. Hasilnya, kami mendapatkan sesuatu seperti ini:
- 
-
catatan garis singgung itu tidak ada di P/2, misalnya. Pikirkan alasannya. (Anda tidak dapat membaginya dengan nol.)
Yang perlu Anda ingat di sini: sinus adalah nilai y, cosinus adalah nilai x. Tangen adalah perbandingan y dan x, dan kotangen adalah kebalikannya. jadi, untuk menentukan nilai sinus/cosinus cukup menggambar tabel yang saya jelaskan di atas dan sebuah lingkaran dengan sumbu koordinat (lebih mudah untuk melihat nilainya pada sudut 0, 90, 180, 360).
- 
-
Baiklah, saya harap Anda bisa membedakannya perempat:
- 
-
Tanda sinus, kosinus, dan sebagainya bergantung pada kuarter mana sudutnya berada. Meskipun demikian, pemikiran logis yang benar-benar primitif akan membawa Anda ke jawaban yang benar jika Anda memperhitungkan bahwa pada kuartal kedua dan ketiga x negatif, dan y negatif pada kuartal ketiga dan keempat. Tidak ada yang menakutkan atau menakutkan.
Saya pikir tidak ada salahnya untuk menyebutkannya rumus reduksi ala hantu, seperti yang didengar semua orang, yang memiliki sedikit kebenaran. Tidak ada rumus seperti itu, karena tidak diperlukan. Arti sebenarnya dari keseluruhan tindakan ini: Kita dengan mudah menemukan nilai sudut hanya untuk kuartal pertama (30 derajat, 45, 60). Fungsi trigonometri bersifat periodik, sehingga kita dapat menyeret sudut besar apa pun ke dalam kuarter pertama. Maka kita akan segera menemukan maknanya. Tetapi menyeret saja tidak cukup - Anda harus mengingat tandanya. Inilah gunanya rumus reduksi.
Jadi, kita memiliki sudut yang besar, atau lebih tepatnya lebih dari 90 derajat: a = 120. Dan kita perlu mencari sinus dan kosinusnya. Untuk melakukan ini, kita akan menguraikan 120 menjadi sudut-sudut berikut yang dapat kita kerjakan:
dosa a = dosa 120 = dosa (90 + 30)
Kita lihat sudut ini terletak pada kuarter kedua, sinus disana positif, oleh karena itu tanda + di depan sinus tetap ada.
Untuk menghilangkan 90 derajat, kita ubah sinus menjadi cosinus. Nah, ini aturan yang perlu Anda ingat:
sin (90 + 30) = cos 30 = kuadrat(3) / 2
Atau Anda dapat membayangkannya dengan cara lain:
dosa 120 = dosa (180 - 60)
Untuk menghilangkan 180 derajat, kami tidak mengubah fungsinya.
sin (180 - 60) = sin 60 = kuadrat(3) / 2
Kami mendapat nilai yang sama, jadi semuanya benar. Sekarang kosinusnya:
cos 120 = cos (90 + 30)
Kosinus pada kuarter kedua negatif, jadi kita beri tanda minus. Dan kita ubah fungsinya menjadi sebaliknya, karena kita perlu menghilangkan 90 derajat.
cos (90 + 30) = - dosa 30 = - 1/2
Atau:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2
Yang perlu anda ketahui, dapat lakukan dan lakukan untuk memindahkan sudut ke suku pertama:
- menguraikan sudut menjadi suku-suku yang dapat dicerna;
-perhitungkan di kuarter mana sudut tersebut berada dan beri tanda yang sesuai jika fungsi pada kuarter tersebut negatif atau positif;
-singkirkan hal-hal yang tidak perlu:
*jika Anda perlu menghilangkan 90, 270, 450 dan sisa 90+180n, dengan n adalah bilangan bulat apa pun, maka fungsinya dibalik (sinus ke kosinus, tangen ke kotangen, dan sebaliknya);
*jika Anda perlu menghilangkan 180 dan sisa 180+180n, di mana n adalah bilangan bulat apa pun, maka fungsinya tidak berubah. (Ada satu fitur di sini, tapi sulit dijelaskan dengan kata-kata, tapi oh baiklah).
Itu saja. Saya rasa tidak perlu menghafal rumusnya sendiri jika Anda dapat mengingat beberapa aturan dan menggunakannya dengan mudah. Omong-omong, rumus ini sangat mudah dibuktikan:
- 
-
Dan mereka juga menyusun tabel yang rumit, lalu kita tahu:
- 
-
Persamaan dasar trigonometri: Anda perlu hafal mereka dengan sangat baik.
Identitas trigonometri dasar(persamaan):
dosa^2(a) + cos^2(a) = 1
Jika tidak percaya, lebih baik periksa sendiri dan lihat sendiri. Gantikan nilai sudut yang berbeda.
Rumus ini sangat-sangat bermanfaat, ingatlah selalu. menggunakannya Anda dapat mengekspresikan sinus melalui kosinus dan sebaliknya, yang terkadang sangat berguna. Namun, seperti formula lainnya, Anda perlu mengetahui cara menanganinya. Ingatlah selalu bahwa tanda fungsi trigonometri bergantung pada kuadran di mana sudut tersebut berada. Itu sebabnya saat mengekstraksi root, Anda perlu mengetahui kuartalnya.
Tangen dan kotangen: Kami sudah mendapatkan rumus ini sejak awal.
tg a = dosa a / cos a
cot a = cos a / sin a
Hasil kali tangen dan kotangen:
tg a * ctg a = 1
Karena:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - pecahan dibatalkan.
Seperti yang Anda lihat, semua rumus adalah permainan dan kombinasi.
Berikut dua lagi, diperoleh dari pembagian dengan cosinus kuadrat dan sinus kuadrat dari rumus pertama:
- 
-
Harap dicatat bahwa dua rumus terakhir dapat digunakan dengan batasan nilai sudut a, karena Anda tidak dapat membaginya dengan nol.
Rumus penjumlahan: dibuktikan dengan menggunakan aljabar vektor.
- 
-
Jarang digunakan, tapi akurat. Ada rumus dalam pemindaian, namun mungkin tidak terbaca atau bentuk digitalnya lebih mudah dipahami:
- -
Rumus sudut ganda:
Mereka diperoleh berdasarkan rumus penjumlahan, misalnya: kosinus sudut ganda cos 2a = cos (a + a) - apakah itu mengingatkan Anda pada sesuatu? Mereka baru saja mengganti cupang dengan alpha.
- 
-
Dua rumus selanjutnya diturunkan dari substitusi pertama sin^2(a) = 1 - cos^2(a) dan cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Sinus sudut ganda lebih sederhana dan lebih sering digunakan:
- 
-
Dan orang mesum khusus dapat memperoleh garis singgung dan kotangen sudut ganda, mengingat tan a = sin a / cos a, dst.
- 
-
Untuk orang-orang yang disebutkan di atas Rumus sudut rangkap tiga: mereka diturunkan dengan menjumlahkan sudut 2a dan a, karena kita sudah mengetahui rumus sudut ganda.
- 
-
Rumus setengah sudut:
- 
-
Saya tidak tahu bagaimana cara menurunkannya, atau lebih tepatnya, bagaimana menjelaskannya... Jika kita menuliskan rumus-rumus ini, mengganti identitas trigonometri utama dengan a/2, maka jawabannya akan konvergen.
Rumus penjumlahan dan pengurangan fungsi trigonometri:
- 
-
Mereka diperoleh dari rumus penjumlahan, tapi tidak ada yang peduli. Hal itu tidak sering terjadi.
Seperti yang Anda pahami, masih ada banyak rumus, yang tidak ada gunanya dicantumkan, karena saya tidak dapat menulis sesuatu yang memadai tentang rumus tersebut, dan rumus kering dapat ditemukan di mana saja, dan merupakan permainan dengan rumus yang sudah ada sebelumnya. Semuanya sangat logis dan tepat. Aku akan memberitahumu yang terakhir saja tentang metode sudut bantu:
Mengonversi ekspresi a cosx + b sinx ke bentuk Acos(x+) atau Asin(x+) disebut metode memasukkan sudut bantu (atau argumen tambahan). Metode ini digunakan ketika menyelesaikan persamaan trigonometri, ketika memperkirakan nilai fungsi, dalam masalah ekstrem, dan penting untuk dicatat bahwa beberapa masalah tidak dapat diselesaikan tanpa memperkenalkan sudut bantu.
Tidak peduli bagaimana Anda mencoba menjelaskan metode ini, tidak ada hasil, jadi Anda harus melakukannya sendiri:
- 
-
Suatu hal yang menakutkan, tapi bermanfaat. Jika Anda memecahkan masalah, maka masalah tersebut akan berhasil.
Dari sini, misalnya: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm
Mata kuliah selanjutnya adalah grafik fungsi trigonometri. Tapi itu cukup untuk satu pelajaran. Mengingat di sekolah mereka mengajarkan hal ini selama enam bulan.
Tulis pertanyaan Anda, pecahkan masalah, minta pindaian beberapa tugas, cari tahu, coba.
Selalu milikmu, Dan Faraday.
