Integral tak tentu

1Integral antiturunan dan tak tentu 1

2Sifat paling sederhana dari integral tak tentu. 3

Tabel integral dasar 3

2.1 Tabel integral tambahan 4

3Mengganti suatu variabel pada integral tak tentu 5

3.1 Metode pengintegrasian fungsi bentuk dan (a≠ 0). 6

4Integrasi bagian-bagian dalam integral tak tentu 7

4.1Metode mengintegrasikan fungsi formulir. 7

4.2 Metode pengintegrasian fungsi bentuk : 8

5Integrasi pecahan rasional 8

5.1Metode pengintegrasian pecahan sederhana tipe 4. sebelas

6Integrasi ekspresi irasional 12

6.1Integrasi ekspresi trigonometri 14

1. Integral antiturunan dan integral tak tentu

Memecahkan persamaan diferensial

pada interval, yaitu kami menemukan fungsi seperti itu. Sejak , maka persamaan (1) dapat ditulis ulang dalam diferensial:

Solusi apa pun terhadap persamaan tersebut disebut antiturunan suatu fungsi. Jadi fungsinya dipanggil fungsi antiturunan pada interval, jika untuk semua. Kasus dan/atau tidak dikecualikan. Jelas bahwa jika bersifat antiturunan, maka ia juga antiturunan. Tugas kita adalah menemukan semua solusi persamaan (1). Fungsi dua variabel disebut solusi umum persamaan (1) atau dengan kata lain, integral tak tentu berfungsi jika, ketika mensubstitusi suatu bilangan, kita memperoleh solusi khusus untuk persamaan (1) dan solusi khusus apa pun untuk persamaan (1) diperoleh dengan cara ini.

Integral tak tentu dilambangkan dengan . Fungsinya disebut integran, diferensialnya disebut integran, dan tanda integralnya (huruf latin S yang direntangkan, huruf pertama kata Sum adalah penjumlahan). Timbul pertanyaan tentang keberadaan antiturunan dan integral tak tentu. Pada bagian “Integral Pasti”, § Rumus Newton-Leibniz, akan dibuktikan bahwa antiturunan suatu fungsi kontinu selalu ada.

Kata pengantar singkat.Biarkan itu sama untuk semua orang. Maka adalah konstanta pada interval ini.

Bukti. Mari kita nyatakan untuk titik mana pun. Mari kita ambil suatu titik sembarang dan terapkan teorema Lagrange pada perbedaannya: untuk beberapa titik . Ini membuktikan lemma.□

Teorema antiturunan. Dua antiturunan dari fungsi yang sama yang didefinisikan pada suatu interval berbeda sebesar sebuah konstanta.

Bukti. Biarkan dan menjadi fungsi antiturunan. Lalu dari mana, menurut lemmanya -- konstan. Karena itu, . □

Konsekuensi. Jika merupakan antiturunan suatu fungsi, maka .

Perhatikan bahwa jika kita tidak mengambil interval sebagai fungsi ODZ, tetapi, misalnya, himpunan tidak terhubung seperti gabungan dua interval , Itu fungsi apa pun dari formulir

memiliki turunan nol, sehingga lemma dan teorema antiturunan tidak lagi berlaku dalam kasus ini.

1. Sifat paling sederhana dari integral tak tentu.

1. Integral dari jumlah tersebut sama dengan jumlah integralnya:

2. Konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral:

3. Turunan integral sama dengan fungsi integran.

4. Diferensial integral sama dengan ekspresi integran.

5. (Perubahan variabel linier) Jika , Itu (Di Sini ).

Tabel integral dasar

Secara khusus,

Untuk kasus luar biasa kami memiliki:

1. Tabel integral tambahan

1. Mengubah variabel dalam integral tak tentu

Mari kita memperluas definisi integral tak tentu ke kasus yang lebih umum: kita berasumsi berdasarkan definisi . Jadi, misalnya

Dalil. Biarkan menjadi fungsi terdiferensiasi. Kemudian

Bukti. Membiarkan . Kemudian

itulah yang perlu dibuktikan.□

Dalam kasus khusus ketika kita memperoleh perubahan variabel linier (lihat Properti 5, §1). Menerapkan rumus (1) “dari kiri ke kanan” berarti mengganti suatu variabel. Penerapan rumus (1) dalam arah berlawanan, “dari kanan ke kiri”, disebut masuk di bawah tanda diferensial.

Contoh. A.

1. Pilih turunan trinomial kuadrat pada pembilangnya:

3. Untuk menghitung integral pertama pada (2), kita menggunakan entri di bawah tanda diferensial:

Untuk menghitung integral kedua, kita memilih kuadrat lengkap dalam trinomial kuadrat dan mereduksinya menjadi tabel menggunakan perubahan variabel linier.

Metode yang sama digunakan untuk menghitung integral bentuk

Contoh

1. Integrasi bagian-bagian dalam integral tak tentu

Dalil. Untuk fungsi terdiferensiasi dan relasinya berlaku

Bukti. Mengintegrasikan sisi kiri dan kanan rumus , kita mendapatkan:

Karena menurut definisi dan , rumus (1) berikut.□

Contoh.

Untuk mengintegrasikan fungsi tersebut, kita memasukkan polinomial di bawah tanda diferensial dan menerapkan rumus integrasi per bagian. Kami mengulangi prosedur ini sebanyak k kali.

Contoh.

1. Mengintegrasikan pecahan rasional

Pecahan rasional disebut fungsi dari bentuk , dimana polinomial. Jika , maka pecahan rasional disebut benar. Kalau tidak, itu disebut salah.

Pecahan rasional berikut ini disebut pecahan paling sederhana

(tipe 2)

(tipe 3)

(tipe 4) ,

Teorema 1. Pecahan apa pun dapat diekspansi menjadi jumlah polinomial dan pecahan rasional wajar.

Bukti. Misalkan pecahan rasional tak wajar. Mari kita bagi pembilangnya dengan penyebutnya dan sisanya: Ini polinomialnya, dan Kemudian

Pecahan tersebut benar karena adanya pertidaksamaan. □

Teorema 2. Pecahan rasional apa pun dapat diuraikan menjadi jumlah sederhana.

Algoritma dekomposisi.

a) Kami memperluas penyebut pecahan biasa menjadi produk polinomial yang tidak dapat direduksi (linier dan kuadrat dengan diskriminan negatif):

Di Sini dan -- banyaknya akar-akar yang bersesuaian.

b) Kita perluas pecahan menjadi jumlah pecahan paling sederhana dengan koefisien tak tentu menurut prinsip berikut:

Kami melakukan ini untuk setiap faktor linier dan untuk setiap faktor kuadrat.

c) Kita mengalikan pemuaian yang dihasilkan dengan penyebut yang sama, dan mencari koefisien yang belum ditentukan dengan syarat ruas kiri dan kanan identik. Kami menggunakan kombinasi dua metode

??? – alasan algoritma

Contoh. A. Mari kita kembangkan ke jumlah yang paling sederhana

Oleh karena itu. Menggantikan ke dalam rasio ini kita segera menemukan. Jadi

B. Mari kita kembangkan pecahan rasional ke jumlah yang paling sederhana. Perluasan pecahan ini dengan koefisien yang tidak dapat ditentukan mempunyai bentuk

Mengalikan dengan penyebut yang sama, kita memperoleh relasinya

Mengganti di sini, kita menemukan dari mana asalnya. Mengganti kami menemukan . Menyamakan koefisien untuk memperoleh sistem

Oleh karena itu dan. Menambahkan persamaan dari sistem terakhir, kita memperoleh dan . Kemudian Dan

Karena itu,

/**/ Tugas. Generalisasikan hasil Contoh A dan buktikan persamaannya

1. Metode pengintegrasian pecahan sederhana tipe 4.

a) Dengan mengisolasi turunan penyebut pada pembilangnya, kita perluas integralnya menjadi jumlah dua integral.

b) Integral hasil pertama, setelah dimasukkan di bawah tanda diferensial, akan menjadi tabel.

c) Pada langkah kedua, kita memilih kuadrat lengkap pada penyebutnya dan mereduksi perhitungan menjadi integral berbentuk . Untuk integral ini kami menerapkan prosedur berulang berikut

Pada integral terakhir kita terapkan rumus integrasi per bagian:

Jadi, jika kita mendefinisikan , Itu

Ini adalah rumus berulang untuk menghitung integral dengan mempertimbangkan nilai awal .

Contoh

1. Mengintegrasikan Ekspresi Irasional

Integral formulir , dimana m/n,...,r/s adalah bilangan rasional dengan penyebut yang sama k, direduksi menjadi integral fungsi rasional dengan mengganti

Kemudian merupakan ekspresi rasional, oleh karena itu, setelah substitusi, diperoleh integral pecahan rasional:

Setelah menghitung integral ini (lihat par. 4) dan melakukan substitusi terbalik, kita mendapatkan jawabannya.

Demikian pula integral bentuk

dimana ad-bc≠ 0, dan k mempunyai arti yang sama seperti di atas, direduksi menjadi integral pecahan rasional dengan mengganti

Contoh. A. Mari kita hitung integralnya

B. Hitung integralnya

Metode yang lebih sederhana untuk mengintegrasikan (tetapi memerlukan dugaan) fungsi yang sama adalah:

1. Mengintegrasikan Ekspresi Trigonometri

Integral formulir direduksi menjadi integral fungsi rasional dengan penggantian universal

oleh karena itu kita memperoleh integral dari ekspresi rasional

Dalam kasus khusus  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx dan R(sin 2 x, cos 2 x, tan x, ctg x) dx lebih baik menggunakan substitusi yang sesuai.

>>Metode integrasi

Metode integrasi dasar

Pengertian integral, integral tentu dan tak tentu, tabel integral, rumus Newton-Leibniz, integrasi bagian, contoh penghitungan integral.

Integral tak tentu

Suatu fungsi F(x) yang terdiferensiasi dalam interval tertentu X disebut antiturunan dari fungsi tersebut f(x), atau integral dari f(x), jika untuk setiap x ∈X persamaan berikut berlaku:

F " (x) = f(x). (8.1)

Menemukan semua antiturunan untuk suatu fungsi disebut nya integrasi. Fungsi integral tak tentu f(x) pada interval tertentu X adalah himpunan semua fungsi antiturunan untuk fungsi f(x); penamaan -

Jika F(x) merupakan antiturunan dari fungsi f(x), maka ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

di mana C adalah konstanta sembarang.

Tabel integral

Langsung dari definisinya kita memperoleh sifat-sifat utama integral tak tentu dan daftar integral tabel:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=konstan)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Daftar integral tabel

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = busursin x + C

10. = - ctg x + C

Penggantian variabel

Untuk mengintegrasikan banyak fungsi, gunakan metode penggantian variabel atau pergantian pemain, memungkinkan Anda mereduksi integral menjadi bentuk tabel.

Jika fungsi f(z) kontinu pada [α,β], fungsi z =g(x) mempunyai turunan kontinu dan α ≤ g(x) ≤ β, maka

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Selain itu, setelah integrasi pada ruas kanan, harus dilakukan substitusi z=g(x).

Untuk membuktikannya cukup dengan menuliskan integral aslinya dalam bentuk:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Misalnya:

1)

2) .

Metode integrasi berdasarkan bagian

Misalkan u = f(x) dan v = g(x) adalah fungsi yang mempunyai kontinuitas. Kemudian, menurut pekerjaannya,

d(uv))= udv + vdu atau udv = d(uv) - vdu.

Untuk ekspresi d(uv), antiturunannya jelas adalah uv, sehingga rumusnya berlaku:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Rumus ini mengungkapkan aturannya integrasi berdasarkan bagian. Ini mengarahkan integrasi ekspresi udv=uv"dx ke integrasi ekspresi vdu=vu"dx.

Misalnya, Anda ingin mencari ∫xcosx dx. Misalkan u = x, dv = cosxdx, jadi du=dx, v=sinx. Kemudian

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Aturan integrasi per bagian memiliki cakupan yang lebih terbatas dibandingkan substitusi variabel. Tapi ada seluruh kelas integral, misalnya,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax dan lain-lain, yang dihitung secara tepat menggunakan integrasi per bagian.

Integral pasti

Konsep integral tertentu diperkenalkan sebagai berikut. Misalkan suatu fungsi f(x) terdefinisi pada suatu interval. Mari kita bagi segmen [a,b] menjadi N bagian demi poin a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x saya =xi - x saya-1. Jumlah dari bentuk f(ξ i)Δ x i disebut jumlah integral, dan limitnya di λ = maxΔx i → 0, jika ada dan berhingga, disebut integral tertentu fungsi f(x) dari A sebelum B dan ditunjuk:

F(ξ saya)Δx saya (8.5).

Fungsi f(x) dalam hal ini disebut dapat diintegrasikan pada interval tersebut, bilangan a dan b dipanggil batas bawah dan batas atas integral.

Sifat-sifat berikut ini berlaku untuk integral tertentu:

4), (k = konstanta, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Properti terakhir disebut teorema nilai rata-rata.

Misalkan f(x) kontinu pada . Kemudian pada ruas tersebut terdapat integral tak tentu

f(x)dx = F(x) + C

dan berlangsung Rumus Newton-Leibniz, menghubungkan integral tertentu dengan integral tak tentu:

F(b) - F(a). (8.6)

Interpretasi geometri: integral tentu adalah luas trapesium lengkung yang dibatasi dari atas oleh kurva y=f(x), garis lurus x = a dan x = b dan ruas sumbunya Sapi.

Integral tak wajar

Integral dengan limit tak terhingga dan integral fungsi terputus-putus (tak terbatas) disebut bukan milikmu sendiri. Integral tak wajar jenis pertama - Ini adalah integral pada interval tak terbatas, yang didefinisikan sebagai berikut:

(8.7)

Jika limit ini ada dan berhingga, maka disebut integral tak wajar konvergen dari f(x) pada interval [a,+ ∞), dan fungsi f(x) dipanggil dapat diintegrasikan dalam interval tak terbatas[a,+ ∞). Jika tidak maka dikatakan integral tidak ada atau menyimpang.

Integral tak wajar pada interval (-∞,b] dan (-∞, + ∞) didefinisikan dengan cara yang sama:

Mari kita definisikan konsep integral dari fungsi tak terbatas. Jika f(x) kontinu untuk semua nilai X segmen , kecuali titik c, di mana f(x) mempunyai diskontinuitas tak terhingga integral tak wajar jenis kedua f(x) mulai dari a sampai b jumlahnya disebut:

jika batas-batas ini ada dan terbatas. Penamaan:

Contoh perhitungan integral

Contoh 3.30. Hitung ∫dx/(x+2).

Larutan. Misalkan t = x+2, maka dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Contoh 3.31. Temukan ∫ tgxdx.

Larutan.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Misalkan t=cosx, maka ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Contoh3.32 . Carilah ∫dx/sinx

Larutan.

Contoh3.33. Menemukan .

Larutan. =

.

Contoh3.34 . Temukan ∫arctgxdx.

Larutan. Mari berintegrasi per bagian. Mari kita nyatakan u=arctgx, dv=dx. Maka du = dx/(x 2 +1), v=x, sehingga ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; Karena
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Contoh3.35 . Hitung ∫lnxdx.

Larutan. Menerapkan rumus integrasi per bagian, kita memperoleh:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Maka ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Contoh3.36 . Hitung ∫e x sinxdx.

Larutan. Misalkan u = e x, dv = sinxdx, maka du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integralkan juga integral ∫e x cosxdx per bagian: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Kita punya:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Kita peroleh relasi ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, yang mana 2∫e x sinx dx = - ex cosx + e x sinx + C.

Contoh 3.37. Hitung J = ∫cos(lnx)dx/x.

Larutan. Karena dx/x = dlnx, maka J= ∫cos(lnx)d(lnx). Mengganti lnx dengan t, kita mendapatkan tabel integral J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Contoh 3.38 . Hitung J = .

Larutan. Mengingat = d(lnx), kita substitusikan lnx = t. Maka J = .

Integrasi berdasarkan bagian. Contoh solusi

Halo lagi. Hari ini dalam pelajaran kita akan belajar bagaimana mengintegrasikan bagian-bagiannya. Metode integrasi bagian merupakan salah satu landasan kalkulus integral. Selama ulangan atau ujian, siswa hampir selalu diminta untuk menyelesaikan jenis integral berikut: integral paling sederhana (lihat artikel) atau integral dengan mengganti variabel (lihat artikel) atau integralnya baru saja aktif integrasi dengan metode bagian.

Seperti biasa, Anda harus menyiapkan: Tabel integral Dan Tabel derivatif. Jika Anda masih belum memilikinya, silakan kunjungi ruang penyimpanan website saya: Rumus dan tabel matematika. Saya tidak akan bosan mengulanginya – lebih baik mencetak semuanya. Seluruh materi akan saya coba sajikan secara konsisten, sederhana dan jelas, tidak ada kesulitan khusus dalam mengintegrasikan bagian-bagiannya.

Masalah apa yang dipecahkan oleh metode integrasi per bagian? Metode integrasi per bagian memecahkan masalah yang sangat penting; metode ini memungkinkan Anda untuk mengintegrasikan beberapa fungsi yang tidak ada dalam tabel, bekerja fungsi, dan dalam beberapa kasus – bahkan hasil bagi. Seperti yang kita ingat, tidak ada rumus yang mudah: . Tapi ada yang ini: – rumus untuk integrasi bagian-bagian secara langsung. Saya tahu, saya tahu, Anda satu-satunya - kami akan bekerja dengannya sepanjang pelajaran (sekarang lebih mudah).

Dan segera daftar ke studio. Integral jenis berikut ini diambil bagiannya:

1) , , – logaritma, logaritma dikalikan dengan beberapa polinomial.

2) ,adalah fungsi eksponensial dikalikan dengan beberapa polinomial. Ini juga termasuk integral seperti - fungsi eksponensial dikalikan polinomial, tetapi dalam praktiknya 97 persen, di bawah integral ada huruf bagus “e”. ...artikelnya ternyata agak liris, oh ya...musim semi telah tiba.

3) , , adalah fungsi trigonometri dikalikan dengan beberapa polinomial.

4) , – fungsi trigonometri terbalik (“lengkungan”), “lengkungan” dikalikan dengan beberapa polinomial.

Beberapa pecahan juga diambil sebagian, kami juga akan mempertimbangkan contoh terkait secara rinci.

Integral logaritma

Contoh 1

Klasik. Dari waktu ke waktu integral ini dapat ditemukan dalam tabel, tetapi tidak disarankan untuk menggunakan jawaban yang sudah jadi, karena guru mengalami kekurangan vitamin dan akan bersumpah keras. Karena integral yang dipertimbangkan sama sekali bukan tabel - integral tersebut diambil sebagian. Kami memutuskan:

Kami menyela solusi untuk penjelasan perantara.

Kami menggunakan rumus integrasi per bagian:

Rumusnya diterapkan dari kiri ke kanan

Kami melihat sisi kiri: . Tentu saja, dalam contoh kita (dan contoh lain yang akan kita pertimbangkan), sesuatu perlu ditetapkan sebagai , dan sesuatu sebagai .

Dalam integral dari tipe yang dipertimbangkan, logaritma selalu dilambangkan.

Secara teknis desain solusinya diimplementasikan sebagai berikut; kita tulis pada kolom:

Artinya, kami menyatakan logaritma dengan, dan dengan - bagian yang tersisa ekspresi integran.

Tahap selanjutnya: temukan diferensialnya:

Diferensial hampir sama dengan turunan, cara mencarinya sudah kita bahas pada pelajaran sebelumnya.

Sekarang kita temukan fungsinya. Untuk menemukan fungsi yang perlu Anda integrasikan sisi kanan kesetaraan yang lebih rendah:

Sekarang kita buka solusinya dan buat sisi kanan rumusnya: .
Omong-omong, berikut adalah contoh solusi akhir dengan beberapa catatan:

Satu-satunya poin dalam pekerjaan ini adalah saya segera menukar dan , karena faktornya biasanya ditulis sebelum logaritma.

Seperti yang Anda lihat, menerapkan rumus integrasi per bagian pada dasarnya mengurangi solusi kita menjadi dua integral sederhana.

Harap dicatat bahwa dalam beberapa kasus tepat setelah penerapan rumus, penyederhanaan harus dilakukan pada integral yang tersisa - dalam contoh yang dipertimbangkan, kami mengurangi integral menjadi "x".

Mari kita periksa. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil turunan dari jawabannya:

Fungsi integral asli telah diperoleh, artinya integral tersebut diselesaikan dengan benar.

Selama pengujian, kami menggunakan aturan diferensiasi produk: . Dan ini bukanlah suatu kebetulan.

Rumus integrasi per bagian dan rumus – ini adalah dua aturan yang saling bertolak belakang.

Contoh 2

Temukan integral tak tentu.

Integran adalah hasil kali logaritma dan polinomial.
Mari kita putuskan.

Sekali lagi saya akan menjelaskan secara rinci tata cara penerapan aturan tersebut, kedepannya akan disajikan contoh-contoh yang lebih singkat, dan jika Anda mengalami kesulitan dalam menyelesaikannya sendiri, Anda perlu kembali ke dua contoh pertama pelajaran. .

Seperti yang telah disebutkan, logaritma perlu dilambangkan (fakta bahwa itu adalah pangkat tidak menjadi masalah). Kami menunjukkan dengan bagian yang tersisa ekspresi integran.

Kami menulis di kolom:

Pertama kita temukan perbedaannya:

Di sini kita menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks . Bukan suatu kebetulan bahwa pada pelajaran pertama topik tersebut Integral tak tentu. Contoh solusi Saya fokus pada fakta bahwa untuk menguasai integral, perlu “mendapatkan” turunan. Anda harus berurusan dengan derivatif lebih dari sekali.

Sekarang kita temukan fungsinya, untuk ini kita integrasikan sisi kanan kesetaraan yang lebih rendah:

Untuk integrasi kami menggunakan rumus tabel paling sederhana

Sekarang semuanya siap untuk menerapkan rumusnya . Buka dengan tanda bintang dan “buat” solusinya sesuai dengan sisi kanan:

Di bawah integral kita kembali mempunyai polinomial untuk logaritma! Oleh karena itu, penyelesaiannya kembali diinterupsi dan aturan integrasi bagian diterapkan untuk kedua kalinya. Jangan lupa bahwa dalam situasi seperti itu, logaritma selalu dilambangkan.

Alangkah baiknya jika sekarang Anda sudah mengetahui cara mencari integral dan turunan paling sederhana secara lisan.

(1) Jangan bingung dengan tanda-tandanya! Seringkali minusnya hilang di sini, perhatikan juga apa yang dimaksud dengan minus untuk semua mengurung , dan tanda kurung ini perlu diperluas dengan benar.

(2) Buka tanda kurung. Kami menyederhanakan integral terakhir.

(3) Kita ambil integral terakhir.

(4) “Menyisir” jawabannya.

Kebutuhan untuk menerapkan aturan integrasi per bagian dua kali (atau bahkan tiga kali) tidak jarang muncul.

Dan sekarang beberapa contoh untuk solusi Anda sendiri:

Contoh 3

Temukan integral tak tentu.

Contoh ini diselesaikan dengan mengubah variabel (atau menggantinya di bawah tanda diferensial)! Mengapa tidak - Anda dapat mencoba mengambilnya sebagian, itu akan menjadi hal yang lucu.

Contoh 4

Temukan integral tak tentu.

Tetapi integral ini terintegrasi dengan bagian-bagiannya (pecahan yang dijanjikan).

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri, solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Tampaknya pada contoh 3 dan 4 integrannya serupa, tetapi metode penyelesaiannya berbeda! Ini adalah kesulitan utama dalam menguasai integral - jika Anda memilih metode yang salah untuk menyelesaikan integral, maka Anda dapat mengotak-atiknya selama berjam-jam, seperti teka-teki sungguhan. Oleh karena itu, semakin banyak Anda menyelesaikan berbagai integral, semakin baik, semakin mudah ujian dan ujiannya. Selain itu, pada tahun kedua akan ada persamaan diferensial, dan tanpa pengalaman menyelesaikan integral dan turunan tidak ada yang bisa dilakukan disana.

Dari segi logaritma, ini mungkin lebih dari cukup. Selain itu, saya juga ingat bahwa mahasiswa teknik menggunakan logaritma untuk menyebut payudara wanita =). Omong-omong, berguna untuk hafal grafik fungsi dasar utama: sinus, kosinus, tangen busur, eksponen, polinomial derajat ketiga, keempat, dll. Tentu saja tidak ada kondom di dunia
Saya tidak akan memperluasnya, tetapi sekarang Anda akan mengingat banyak hal dari bagian tersebut Bagan dan fungsi =).

Integral eksponensial dikalikan polinomial

Peraturan umum:

Contoh 5

Temukan integral tak tentu.

Dengan menggunakan algoritme yang sudah dikenal, kami mengintegrasikan berdasarkan bagian:

Jika Anda mengalami kesulitan dengan integral, Anda harus kembali ke artikel Metode perubahan variabel dalam integral tak tentu.

Satu-satunya hal lain yang dapat Anda lakukan adalah mengubah jawabannya:

Namun jika teknik perhitungan Anda kurang bagus, maka pilihan yang paling menguntungkan adalah membiarkannya sebagai jawaban atau bahkan

Artinya, contoh tersebut dianggap terselesaikan ketika integral terakhir diambil. Ini bukan suatu kesalahan; itu adalah soal lain yang mungkin diminta oleh guru Anda untuk menyederhanakan jawabannya.

Contoh 6

Temukan integral tak tentu.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Integral ini diintegrasikan dua kali per bagian. Perhatian khusus harus diberikan pada tanda-tandanya - mudah untuk menjadi bingung, kita juga ingat bahwa ini adalah fungsi yang kompleks.

Tidak ada lagi yang bisa dikatakan tentang peserta pameran. Saya hanya dapat menambahkan bahwa eksponensial dan logaritma natural adalah fungsi yang saling berbanding terbalik, ini saya tentang topik menghibur grafik matematika tingkat tinggi =) Berhenti, berhenti, jangan khawatir, dosennya sadar.

Integral fungsi trigonometri dikalikan polinomial

Peraturan umum: for selalu menunjukkan polinomial

Contoh 7

Temukan integral tak tentu.

Mari kita integrasikan berdasarkan bagian:

Hmmm...dan tidak ada yang perlu dikomentari.

Contoh 8

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk Anda selesaikan sendiri

Contoh 9

Temukan integral tak tentu

Contoh lain dengan pecahan. Seperti pada dua contoh sebelumnya, for menunjukkan polinomial.

Mari kita integrasikan berdasarkan bagian:

Jika Anda mengalami kesulitan atau kesalahpahaman dalam mencari integral, saya sarankan untuk mengikuti pelajaran Integral fungsi trigonometri.

Contoh 10

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Petunjuk: Sebelum menggunakan metode integrasi bagian, sebaiknya terapkan beberapa rumus trigonometri yang mengubah hasil kali dua fungsi trigonometri menjadi satu fungsi. Rumusnya juga dapat digunakan saat menerapkan metode integrasi per bagian, mana saja yang lebih nyaman bagi Anda.

Mungkin itu saja yang ada di paragraf ini. Entah kenapa saya teringat sebuah baris dari himne fisika dan matematika “Dan grafik sinus berjalan gelombang demi gelombang sepanjang sumbu absis”….

Integral fungsi trigonometri terbalik.
Integral fungsi trigonometri terbalik dikalikan polinomial

Peraturan umum: selalu menunjukkan fungsi trigonometri terbalik.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa invers fungsi trigonometri meliputi arcsinus, arccosine, arctangent, dan arccotangent. Demi singkatnya catatan saya akan menyebutnya "lengkungan"

Kita tidak selalu dapat menghitung fungsi antiturunan, namun masalah diferensiasi dapat diselesaikan untuk fungsi apa pun. Itulah sebabnya tidak ada metode integrasi tunggal yang dapat digunakan untuk semua jenis penghitungan.

Pada materi ini, kita akan melihat contoh penyelesaian masalah yang berkaitan dengan pencarian integral tak tentu, dan melihat jenis integran apa yang cocok untuk setiap metode.

Metode integrasi langsung

Metode utama untuk menghitung fungsi antiturunan adalah integrasi langsung. Tindakan ini didasarkan pada sifat-sifat integral tak tentu, dan untuk perhitungannya kita memerlukan tabel antiturunan. Metode lain hanya dapat membantu membawa integral asli ke bentuk tabel.

Contoh 1

Hitung himpunan antiturunan dari fungsi f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Larutan

Pertama kita ubah bentuk fungsinya menjadi f(x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3.

Kita mengetahui bahwa integral jumlah fungsi akan sama dengan jumlah integral tersebut, yang artinya:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Kami memperoleh koefisien numerik di belakang tanda integral:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Untuk mencari integral pertama, kita perlu mengacu pada tabel antiturunan. Kita ambil darinya nilai ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Untuk mencari integral kedua, Anda memerlukan tabel antiturunan untuk fungsi pangkat ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , serta aturan ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Jadi, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x dalam 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Kami mendapatkan yang berikut ini:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x dalam 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

dengan C = C 1 + 3 2 C 2

Menjawab:∫ f(x) dx = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Kami mendedikasikan artikel terpisah untuk mengarahkan integrasi menggunakan tabel antiturunan. Kami menyarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Metode substitusi

Metode integrasi ini terdiri dari ekspresi integran melalui variabel baru yang diperkenalkan khusus untuk tujuan ini. Hasilnya, kita akan mendapatkan bentuk tabel dari integral tersebut atau integral yang tidak terlalu rumit.

Cara ini sangat berguna ketika Anda perlu mengintegrasikan fungsi dengan fungsi radikal atau trigonometri.

Contoh 2

Evaluasi integral tak tentu ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Larutan

Mari tambahkan satu variabel lagi z = 2 x - 9 . Sekarang kita perlu menyatakan x dalam bentuk z:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Kita ambil tabel antiturunan dan temukan bahwa 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Sekarang kita perlu kembali ke variabel x dan mendapatkan jawabannya:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Menjawab:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Jika kita harus mengintegrasikan fungsi dengan irasionalitas bentuk x m (a + b x n) p, dimana nilai m, n, p adalah bilangan rasional, maka penting untuk merumuskan ekspresi dengan benar untuk memasukkan variabel baru. Baca lebih lanjut tentang ini di artikel tentang mengintegrasikan fungsi irasional.

Seperti yang kami katakan di atas, metode substitusi mudah digunakan saat Anda perlu mengintegrasikan fungsi trigonometri. Misalnya, dengan menggunakan substitusi universal, Anda dapat mereduksi suatu ekspresi menjadi bentuk rasional pecahan.

Metode ini menjelaskan aturan integrasi ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Kita tambahkan variabel lain z = k x + b. Kami mendapatkan yang berikut:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Sekarang kita mengambil ekspresi yang dihasilkan dan menambahkannya ke integral yang ditentukan dalam kondisi:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Jika kita menerima C 1 k = C dan kembali ke variabel asal x, maka kita peroleh:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Metode berlangganan tanda diferensial

Metode ini didasarkan pada transformasi integran menjadi fungsi berbentuk f (g (x)) d (g (x)). Setelah itu, kita melakukan substitusi dengan memasukkan variabel baru z = g (x), mencari antiturunannya dan kembali ke variabel asal.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( g(x)) + C

Untuk menyelesaikan masalah dengan lebih cepat menggunakan metode ini, siapkan tabel turunan dalam bentuk diferensial dan tabel antiturunan untuk menemukan ekspresi yang perlu dikurangi integrannya.

Mari kita menganalisis masalah di mana kita perlu menghitung himpunan antiturunan dari fungsi kotangen.

Contoh 3

Hitung integral tak tentu ∫ c t g x d x .

Larutan

Mari kita ubah ekspresi asli menjadi integral menggunakan rumus dasar trigonometri.

c t g x d x = cos s d x dosa x

Kita lihat tabel turunannya dan lihat bahwa pembilangnya dapat dimasukkan ke dalam tanda diferensial cos x d x = d (sin x), yang artinya:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x, yaitu ∫ c t g x d x = ∫ d dosa x dosa x .

Misalkan sin x = z, dalam hal ini ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Berdasarkan tabel antiturunan, ∫ d z z = ln z + C . Sekarang mari kita kembali ke variabel awal ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Seluruh solusi dapat ditulis secara singkat sebagai berikut:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Jawaban: ∫ c t g x d x = ln sin x + C

Metode berlangganan tanda diferensial sangat sering digunakan dalam praktik, jadi kami menyarankan Anda untuk membaca artikel terpisah yang didedikasikan untuk itu.

Metode integrasi berdasarkan bagian

Metode ini didasarkan pada transformasi integran menjadi produk berbentuk f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x)), setelah itu rumus ∫ u (x) d ( v (x)) = u (x) · v (x) - ∫ v (x) · d u (x).Ini adalah metode penyelesaian yang sangat mudah dan umum. Terkadang integrasi parsial dalam satu soal harus diterapkan beberapa kali sebelum memperoleh hasil yang diinginkan.

Mari kita menganalisis masalah di mana kita perlu menghitung himpunan antiturunan dari garis singgung busur.

Contoh 4

Hitung integral tak tentu ∫ a r c t g (2 x) d x .

Larutan

Misalkan u (x) = a r c t g (2 x), d (v (x)) = d x, dalam hal ini:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Saat kita menghitung nilai fungsi v (x), kita tidak boleh menambahkan konstanta sembarang C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Kami menghitung integral yang dihasilkan menggunakan metode menjumlahkan tanda diferensial.

Karena ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , maka 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 dalam 1 + 4 x 2 + C

Menjawab:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Kesulitan utama dalam menggunakan metode ini adalah harus memilih bagian mana yang akan dijadikan diferensial dan bagian mana yang akan dijadikan fungsi u (x). Artikel tentang metode integrasi per bagian memberikan beberapa saran tentang masalah ini yang harus Anda pahami.

Jika kita perlu mencari himpunan antiturunan dari fungsi rasional pecahan, pertama-tama kita harus menyatakan integran sebagai jumlah pecahan sederhana, lalu mengintegrasikan pecahan yang dihasilkan. Untuk informasi lebih lanjut, lihat artikel tentang pengintegrasian pecahan sederhana.

Jika kita mengintegrasikan ekspresi pangkat dalam bentuk sin 7 x · d x atau d x (x 2 + a 2) 8, maka kita akan mendapat manfaat dari rumus perulangan yang secara bertahap dapat menurunkan pangkatnya. Mereka diturunkan menggunakan integrasi berulang secara berurutan berdasarkan bagian-bagiannya. Kami merekomendasikan membaca artikel “Integrasi menggunakan rumus perulangan.

Mari kita rangkum. Untuk menyelesaikan masalah, sangat penting untuk mengetahui metode integrasi langsung. Metode lain (substitusi, substitusi, integrasi per bagian) juga memungkinkan Anda menyederhanakan integral dan membawanya ke bentuk tabel.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Metode integrasi per bagian digunakan ketika diperlukan untuk menyederhanakan integral tak tentu yang ada atau mereduksinya menjadi nilai tabel. Paling sering digunakan dengan adanya rumus trigonometri eksponensial, logaritmik, garis lurus dan terbalik serta kombinasinya dalam integran.

Rumus dasar yang diperlukan untuk menggunakan metode ini adalah:

∫ f (x) d x = ∫ u (x) d (v (x)) = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x))

Artinya, pertama-tama kita perlu menyatakan ekspresi di bawah integral sebagai hasil kali fungsi u (x) dan diferensial fungsi v (x). Setelah ini, kita menghitung nilai fungsi v (x) dengan beberapa metode (metode integrasi langsung paling sering digunakan), dan mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam rumus yang ditunjukkan, mengurangi integral asli menjadi selisih u (x) v (x) - ∫ v (x) d(u(x)) . Integral yang dihasilkan juga dapat diambil dengan menggunakan metode integrasi apa pun.

Mari kita pertimbangkan masalah di mana kita perlu mencari himpunan antiturunan dari fungsi logaritma.

Contoh 1

Evaluasi integral tak tentu ∫ ln (x) d x .

Larutan

Kami menggunakan metode integrasi per bagian. Untuk melakukan ini, kita ambil ln (x) sebagai fungsi dari u (x) dan sisa integralnya sebagai d (v (x)). Hasilnya, kita memperoleh bahwa ln (x) d x = u (x) d (v (x)), di mana u (x) = ln (x), d (v (x)) = d x.

Diferensial fungsi u(x) adalah d(u(x)) - u"(x)d x = d x x, dan fungsi v(x) dapat ditulis sebagai v(x) = ∫ d(v(x) ) = ∫ d x = x

Penting: konstanta C akan dianggap sama dengan 0 saat menghitung fungsi v (x).

Mari kita gantikan apa yang kita dapatkan ke dalam rumus integrasi per bagian:

∫ ln (x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = ln (x) x - ∫ x d x x = ln (x) x - ∫ d x = ln ( x) x - x + C 1 = = x (ln (x) - 1) + C

dimana C = - C 1

Menjawab:∫ ln (x) d x = x (ln (x) - 1) + C .

Hal tersulit dalam menerapkan metode ini adalah memilih bagian mana dari ekspresi asli di bawah integral yang akan diambil sebagai u (x) dan mana sebagai d (v (x)).

Mari kita lihat beberapa kasus standar.

Jika kondisi kita mengandung integral berbentuk ∫ P n (x) · e a x d x , ∫ P n (x) · sin (a x) d x atau ∫ P n (x) · cos (a x) d x , dimana a adalah koefisien dan P n (x) adalah polinomial berderajat n, maka P n (x) harus diambil sebagai fungsi u (x).

Contoh 2

Tentukan himpunan antiturunan dari fungsi f (x) = (x + 1) · sin (2 x) .

Larutan

Integral tak tentu ∫ (x + 1) · sin (2 x) d x dapat kita ambil per bagian. Kita ambil x + 1 sebagai u (x) dan sin (2 x) d x sebagai d (v (x)), yaitu d (u (x)) = d (x + 1) = d x.

Dengan menggunakan integrasi langsung, kita peroleh:

v (x) = ∫ sin (2 x) d x = - 1 2 cos (2 x)

Gantikan ke dalam rumus integrasi per bagian:

∫ (x + 1) sin (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = (x + 1) - 1 2 cos (2 x ) - ∫ - 1 2 cos (2 x) d x = = - 1 2 (x + 1) cos (2 x) + 1 2 ∫ cos (2 x) d (x) = = - 1 2 (x + 1) cos ( 2 x) + 1 4 dosa (2 x) + C

Menjawab:∫ (x + 1) · sin (2 x) d x = - 1 2 (x + 1) · cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) + C .

Contoh 3

Evaluasi integral tak tentu ∫ (x 2 + 2 x) e x d x .

Larutan

Kita ambil polinomial orde kedua x 2 + 2 x sebagai u (x) dan d (v (x)) - e x d x .

∫ x 2 + 2 x e x d x = u (x) = x 2 + 2 x , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = (2 x + 2) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = (x 2 + 2 x) e x - ∫ (2 x + 2) e x d x

Terhadap apa yang telah kita peroleh, kita harus kembali menerapkan metode integrasi per bagian:

∫ (2 x + 2) e x d x = (x 2 + 2 x) e x - ∫ 2 x + 2 e x d x = = u (x) = (2 x + 2) , d (v (x)) = e x d x d (u ( x)) = 2 d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = (x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ v (x) d (u (x)) = = ( x 2 + 2 x) e x - (2 x + 2) e x - ∫ 2 e x d x = = (x 2 + 2 x - 2 x - 2) e x + 2 ∫ e x d x = (x 2 - 2) e x + 2 e x + C = x 2 e x + C

Menjawab:∫ (x 2 + 2 x) e x d x = x 2 e x + C .

Contoh 4

Evaluasi integral ∫ x 3 cos 1 3 x d x .

Larutan

Menurut metode integrasi bagian, kita ambil u (x) = x 3 dan d (v (x)) = cos 1 3 x d x.

Dalam hal ini, d (u (x)) = 3 x 2 d x dan v (x) = ∫ cos 1 3 x d x = 3 sin 1 3 x .

Sekarang mari kita gantikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam rumus:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u)) = = x 3 3 sin 1 3 x - ∫ 3 x 2 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x

Kita mempunyai integral tak tentu, yang lagi-lagi perlu dibagi menjadi beberapa bagian:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x = = u (x) = x 2 , d (v (x)) = sin 1 3 x d x d (u (x )) = 2 x d x , v (x) = ∫ sin 1 3 x d x = - 3 cos 1 3 x = = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 - 3 x 2 cos 1 3 x - ∫ - 3 cos 1 3 x · 2 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 · cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x

Kami melakukan integrasi parsial lagi:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 · cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x = = u (x) = x , d (v (x)) = cos 1 3 x d x d (u (x)) = d x , v (x) = ∫ cos 1 3 x d x = 3 sin 1 3 x = = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 54 3 x sin 1 3 x - ∫ 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 - 162 x sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x + 162 ∫ sin 1 3 x d x = = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 486 cos 1 3 x + C = = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C

Menjawab:∫ x 3 cos 1 3 x d x = (3 x 3 - 162 x) sin 1 3 x + (27 x 2 - 486) cos 1 3 x + C .

Jika kondisi kita mengandung integral berbentuk ∫ P n (x) · ln (a x) d x , ∫ P n (x) · a r c sin (a x) d x , ∫ P n (x) · a r c cos (a x) d x , ∫ P n (x) · a r c t g (a x) d x , ∫ P n (x) · a r c c t g (a x) d x

maka kita harus mengambil fungsi u (x) a r c t g (a x) , a r c c t g (x) , ln (a x) , a r c sin (a x) , a r cos (a x) .

Contoh 5

Hitung himpunan antiturunan dari fungsi (x + 1) ln (2 x) .

Larutan

Kita ambil ln (2 x) sebagai u (x) dan (x + 1) d x sebagai d (v (x)). Kita mendapatkan:

d (u (x)) = (ln (2 x)) " d x = 1 2 x (2 x) " d x = d x x v (x) = ∫ (x + 1) d x = x 2 2 + x

Mari kita gantikan ekspresi ini ke dalam rumus:

∫ (x + 1) ln (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 + x ln 2 x - ∫ x 2 2 + x d x x = = x 2 2 + x ln (2 x) - ∫ x 2 + 1 d x = x 2 2 + x ln 2 x - 1 2 ∫ x d x - ∫ d x = = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C

Menjawab:∫ (x + 1) ln (2 x) d x = x 2 2 + x ln (2 x) - x 2 4 - x + C .

Contoh 6

Evaluasi integral tak tentu ∫ x · a r c sin (2 x) d x .

Larutan

Kita putuskan bagian mana yang akan diambil sebagai u (x) dan bagian mana yang akan diambil sebagai d (v (x)). Berdasarkan aturan di atas, Anda perlu mengambil a r c sin (2 x) sebagai fungsi pertama, dan d (v (x)) = x d x. Kita mendapatkan:

d (u (x)) = (a r c sin (2 x) " d x = 2 x " d x 1 - (2 x) 2 = 2 d x 1 - (2 x) 2 , v (x) = ∫ x d x = x 2 2

Gantikan nilainya ke dalam rumus:

∫ x · a r c sin (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 2 - 2 d x 1 - (2 x) 2 = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

Hasilnya, kami sampai pada persamaan berikut:

∫ x · a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

Sekarang mari kita hitung integral yang dihasilkan ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = ∫ x 2 d x 4 1 4 - x 2 = 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 = - 1 2 ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 - 1 4 1 4 - x 2 d x = - 1 2 1 4 - x 2 d x + 1 8 ∫ d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c dosa (2 x)

Di sini Anda dapat menerapkan metode integrasi per bagian dan mendapatkan:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c sin (2 x) = = u (x) = 1 4 - x 2 , d (v (x)) = d x d (u (x)) = 1 4 - x 2 " d x 2 1 4 - x 2 = - x d x 1 4 - x 2 , v (x) = ∫ d x = x = = - 1 2 u (x) v ( x) - ∫ v (x) d (u (x)) + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

Sekarang kesetaraan kita terlihat seperti ini:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin (2 x)

Kita melihat bahwa integral di sebelah kanan sama dengan integral di sebelah kiri. Kami memindahkannya ke bagian lain dan mendapatkan:

2 ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin (2 x) + C 1 ⇒ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 4 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 8 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2

dimana C 2 = C 1 2

Mari kembali ke variabel awal:

∫ x · a r c sin (2 x) d x = x 2 2 a r c sin (2 x) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = = x 2 2 a r c sin (2 x) - - 1 8 x 1 - 4 x 2 + 1 16 a r c sin (2 x) + C 2 = = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C

dimana C = - C 2

Menjawab:∫ x · a r c sin (2 x) d x = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin (2 x) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C .

Jika soal kita mengandung integral berbentuk ∫ e a · x · sin (b x) d x atau ∫ e a · x · cos (b x) d x , maka fungsi apa pun dapat dipilih sebagai u (x).

Contoh 7

Evaluasi integral tak tentu ∫ e x · sin (2 x) d x .

Larutan

∫ e x sin (2 x) d x = u (x) = sin (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = 2 cos (2 x) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = sin (2 x) e x - ∫ e x 2 cos 2 x d x = = sin (2 x) e x - 2 ∫ e x cos (2 x) d x = u (x) = cos (2 x) , d (v (x)) = e x d x d (u (x)) = - 2 sin (2 x) d x , v (x) = ∫ e x d x = e x = = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - ∫ (ex (- 2 sin (2 x) d x)) = = sin (2 x) e x = 2 cos (2 x ) e x - 4 ∫ e x dosa (2 x) d x

Hasilnya, kita akan mendapatkan:

∫ e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x - 4 ∫ e x sin (2 x) d x

Kita melihat integral yang sama di kiri dan kanan, yang berarti kita dapat menyajikan suku-suku serupa:

5 ∫ e x sin (2 x) d x = sin (2 x) e x - 2 cos (2 x) e x ⇒ ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

Jawaban: ∫ e x sin (2 x) d x = 1 5 sin (2 x) e x - 2 5 cos (2 x) e x + C

Metode penyelesaian ini standar, dan di sebelah kanan Anda sering kali mendapatkan integral yang identik dengan integral aslinya.

Kami melihat masalah paling umum di mana Anda dapat secara akurat menentukan bagian mana dari ekspresi yang akan diambil sebagai d (v (x)) dan bagian mana sebagai u (x). Dalam kasus lain, Anda harus menentukannya sendiri.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter