Hitung proyeksi vektor a ke sumbu koordinat. Proyeksi gaya ke sumbu. Proyeksi jumlah vektor gaya ke sumbu. Jika jarak yang ditempuh besar, apakah modul perpindahannya bisa kecil?

Proyeksi aljabar suatu vektor pada sembarang sumbu sama dengan hasil kali panjang vektor dan kosinus sudut antara sumbu dan vektor:

Pr a b = |b|cos(a,b) atau

Dimana a b adalah hasil kali skalar vektor, |a| - modulus vektor a.

instruksi. Untuk mencari proyeksi vektor Pr a b secara online, Anda harus menentukan koordinat vektor a dan b. Dalam hal ini, vektor dapat ditentukan pada bidang (dua koordinat) dan dalam ruang (tiga koordinat). Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word. Jika vektor ditentukan melalui koordinat titik, maka Anda perlu menggunakan kalkulator ini.

Klasifikasi proyeksi vektor

Jenis proyeksi menurut definisi proyeksi vektor

Proyeksi geometri vektor AB pada sumbu (vektor) disebut vektor A"B", yang awalnya A' adalah proyeksi awal A pada sumbu (vektor), dan ujung B' adalah proyeksinya. ujung B pada sumbu yang sama.
Proyeksi aljabar vektor AB pada sumbu (vektor) disebut panjang vektor A"B", diambil dengan tanda + atau -, tergantung apakah vektor A"B" mempunyai arah yang sama dengan sumbu ( vektor).

Jenis proyeksi menurut sistem koordinat

Properti Proyeksi Vektor

Proyeksi geometri suatu vektor adalah vektor (memiliki arah).
Proyeksi aljabar suatu vektor adalah suatu bilangan.

Teorema proyeksi vektor

Teorema 1. Proyeksi jumlah vektor pada suatu sumbu sama dengan proyeksi penjumlahan vektor-vektor tersebut pada sumbu yang sama.

AC" =AB" +B"C"

Teorema 2. Proyeksi aljabar suatu vektor ke suatu sumbu sama dengan hasil kali panjang vektor dan kosinus sudut antara sumbu dan vektor:

Pr a b = |b|·cos(a,b)

Jenis proyeksi vektor

proyeksi ke sumbu OX.
proyeksi ke sumbu OY.
proyeksi ke suatu vektor.

Proyeksi pada sumbu OX	Proyeksi pada sumbu OY	Proyeksi ke vektor
Jika arah vektor A’B’ berimpit dengan arah sumbu OX, maka proyeksi vektor A’B’ bertanda positif.	Jika arah vektor A’B’ berimpit dengan arah sumbu OY, maka proyeksi vektor A’B’ bertanda positif.	Jika arah vektor A’B’ berimpit dengan arah vektor NM, maka proyeksi vektor A’B’ bertanda positif.
Jika arah vektor berlawanan dengan arah sumbu OX, maka proyeksi vektor A’B’ bertanda negatif.	Jika arah vektor A’B’ berlawanan dengan arah sumbu OY, maka proyeksi vektor A’B’ bertanda negatif.	Jika arah vektor A’B’ berlawanan dengan arah vektor NM, maka proyeksi vektor A’B’ bertanda negatif.
Jika vektor AB sejajar dengan sumbu OX, maka proyeksi vektor A’B’ sama dengan nilai mutlak vektor AB.	Jika vektor AB sejajar dengan sumbu OY, maka proyeksi vektor A’B’ sama dengan nilai mutlak vektor AB.	Jika vektor AB sejajar dengan vektor NM, maka proyeksi vektor A’B’ sama dengan nilai mutlak vektor AB.
Jika vektor AB tegak lurus sumbu OX, maka proyeksi A’B’ sama dengan nol (vektor nol).	Jika vektor AB tegak lurus sumbu OY, maka proyeksi A’B’ sama dengan nol (vektor nol).	Jika vektor AB tegak lurus terhadap vektor NM, maka proyeksi A’B’ sama dengan nol (vektor nol).

1. Pertanyaan: Apakah proyeksi suatu vektor dapat bertanda negatif? Jawaban: Ya, vektor proyeksi dapat bernilai negatif. Dalam hal ini vektor mempunyai arah yang berlawanan (lihat bagaimana arah sumbu OX dan vektor AB)
2. Pertanyaan: Dapatkah proyeksi suatu vektor bertepatan dengan nilai mutlak vektor tersebut? Jawaban : Ya, bisa. Dalam hal ini, vektor-vektornya sejajar (atau terletak pada garis yang sama).
3. Pertanyaan: Dapatkah proyeksi suatu vektor sama dengan nol (vektor nol). Jawaban : Ya, bisa. Dalam hal ini, vektor tegak lurus terhadap sumbu yang bersesuaian (vektor).

Contoh 1. Vektor (Gbr. 1) membentuk sudut 60° dengan sumbu OX (ditentukan oleh vektor a). Jika OE adalah satuan skala, maka |b|=4, jadi .

Memang panjang vektor (proyeksi geometri b) sama dengan 2, dan arahnya berimpit dengan arah sumbu OX.

Contoh 2. Vektor (Gbr. 2) membentuk sudut (a,b) = 120 o dengan sumbu OX (dengan vektor a). Panjang |b| vektor b sama dengan 4, jadi pr a b=4·cos120 o = -2.

Memang panjang vektornya adalah 2 dan arahnya berlawanan dengan arah sumbu.

Sumbu adalah arahnya. Artinya proyeksi pada suatu sumbu atau pada garis berarah dianggap sama. Proyeksi dapat berbentuk aljabar atau geometris. Dalam istilah geometri, proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu dipahami sebagai vektor, dan dalam istilah aljabar dipahami sebagai bilangan. Artinya, konsep proyeksi vektor ke suatu sumbu dan proyeksi numerik suatu vektor ke suatu sumbu digunakan.

Jika kita mempunyai sumbu L dan vektor bukan nol A B →, maka kita dapat membuat vektor A 1 B 1 ⇀, yang menyatakan proyeksi titik-titiknya A 1 dan B 1.

A 1 B → 1 akan menjadi proyeksi vektor A B → ke L.

Definisi 1

Proyeksi vektor ke sumbu adalah vektor yang awal dan akhirnya merupakan proyeksi awal dan akhir suatu vektor tertentu. n p L A B → → biasanya dilambangkan dengan proyeksi A B → ke L. Untuk membuat proyeksi ke L, garis tegak lurus dijatuhkan ke L.

Contoh 1

Contoh proyeksi vektor pada suatu sumbu.

Pada bidang koordinat O x y ditentukan titik M 1 (x 1, y 1). Perlu dibuat proyeksi pada O x dan O y untuk menggambarkan vektor jari-jari titik M 1. Kita memperoleh koordinat vektor (x 1, 0) dan (0, y 1).

Jika kita berbicara tentang proyeksi a → ke benda bukan nol b → atau proyeksi a → ke arah b → , maka yang kita maksud adalah proyeksi a → ke sumbu yang arahnya bertepatan b →. Proyeksi a → ke garis yang ditentukan oleh b → dilambangkan dengan n p b → a → → . Diketahui bahwa jika sudut antara a → dan b → , n p b → a → → dan b → dapat dianggap searah. Jika sudutnya tumpul, n p b → a → → dan b → berlawanan arah. Dalam situasi tegak lurus a → dan b →, dan a → adalah nol, maka proyeksi a → pada arah b → adalah vektor nol.

Karakteristik numerik dari proyeksi suatu vektor ke suatu sumbu adalah proyeksi numerik suatu vektor ke suatu sumbu tertentu.

Definisi 2

Proyeksi numerik vektor ke sumbu adalah bilangan yang sama dengan hasil kali panjang suatu vektor dan kosinus sudut antara vektor tersebut dan vektor yang menentukan arah sumbu.

Proyeksi numerik A B → ke L dilambangkan dengan n p L A B → , dan a → ke b → - n p b → a → .

Berdasarkan rumus tersebut, kita memperoleh n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , dimana a → adalah panjang vektor a → , a ⇀ , b → ^ adalah sudut antara vektor a → dan b → .

Kita memperoleh rumus untuk menghitung proyeksi numerik: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Ini berlaku untuk panjang a → dan b → dan sudut di antara keduanya yang diketahui. Rumus ini berlaku untuk koordinat a → dan b → yang diketahui, tetapi ada bentuk yang disederhanakan.

Contoh 2

Tentukan proyeksi numerik a → pada garis lurus searah b → dengan panjang a → sama dengan 8 dan sudut antara keduanya 60 derajat. Dengan syarat kita mempunyai a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Artinya kita substitusikan nilai numerik tersebut ke dalam rumus n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Menjawab: 4.

Dengan diketahui cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , kita mempunyai a → , b → sebagai hasil kali skalar dari a → dan b → . Mengikuti rumus n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , kita dapat mencari proyeksi numerik a → yang diarahkan sepanjang vektor b → dan mendapatkan n p b → a → = a → , b → b → . Rumusnya setara dengan definisi yang diberikan di awal paragraf.

Definisi 3

Proyeksi numerik vektor a → pada sumbu yang searah dengan b → adalah perbandingan hasil kali skalar vektor a → dan b → dengan panjangnya b → . Rumus n p b → a → = a → , b → b → dapat diterapkan untuk mencari proyeksi numerik a → pada garis yang searah dengan b → , yang diketahui koordinat a → dan b →.

Contoh 3

Diberikan b → = (- 3 , 4) . Temukan proyeksi numerik a → = (1, 7) ke L.

Larutan

Pada bidang koordinat n p b → a → = a → , b → b → berbentuk n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , dengan a → = (ax , a y ) dan b → = bx , oleh y . Untuk mencari proyeksi numerik vektor a → ke sumbu L, Anda memerlukan: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Menjawab: 5.

Contoh 4

Tentukan proyeksi a → pada L yang berimpit dengan arah b →, dimana terdapat a → = - 2, 3, 1 dan b → = (3, - 2, 6). Ruang tiga dimensi ditentukan.

Larutan

Diketahui a → = a x , a y , a z dan b → = b x , b y , b z , kita menghitung hasil kali skalar: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Panjang b → dicari menggunakan rumus b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Maka rumus untuk menentukan proyeksi numerik a → adalah: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Substitusikan nilai numeriknya: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Jawaban: - 6 7.

Mari kita lihat hubungan antara a → di L dan panjang proyeksi a → di L. Mari kita menggambar sumbu L, menambahkan a → dan b → dari suatu titik di L, setelah itu kita menggambar garis tegak lurus dari ujung a → ke L dan menggambar proyeksi ke L. Ada 5 variasi gambar:

Pertama kasus dengan a → = n p b → a → → berarti a → = n p b → a → → , maka n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Kedua kasus tersebut menyiratkan penggunaan n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , yang artinya n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Ketiga kasus tersebut menjelaskan bahwa ketika n p b → a → → = 0 → kita memperoleh n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , maka n p b → a → → = 0 dan n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Keempat kasus menunjukkan n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , mengikuti n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Kelima kasusnya menunjukkan a → = n p b → a → → , artinya a → = n p b → a → → , maka kita punya n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Definisi 4

Proyeksi numerik vektor a → pada sumbu L, yang arahnya sama seperti b →, mempunyai nilai sebagai berikut:

panjang proyeksi vektor a → ke L, dengan syarat sudut antara a → dan b → kurang dari 90 derajat atau sama dengan 0: n p b → a → = n p b → a → → dengan syarat 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
nol dengan syarat a → dan b → tegak lurus: n p b → a → = 0, bila (a → , b → ^) = 90 °;
panjang proyeksi a → ke L dikalikan -1, bila terdapat sudut tumpul atau lurus dari vektor a → dan b →: n p b → a → = - n p b → a → → dengan syarat 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Contoh 5

Diketahui panjang proyeksi a → ke L, sama dengan 2. Temukan proyeksi numerik a → asalkan sudutnya 5 π 6 radian.

Larutan

Dari kondisi tersebut jelas bahwa sudut ini tumpul: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Jawaban: - 2.

Contoh 6

Diberikan sebuah bidang O x y z dengan panjang vektor a → sama dengan 6 3, b → (- 2, 1, 2) dengan sudut 30 derajat. Temukan koordinat proyeksi a → pada sumbu L.

Larutan

Pertama, kita menghitung proyeksi numerik vektor a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Syaratnya sudut lancip, maka proyeksi numerik a → = panjang proyeksi vektor a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Kasus ini menunjukkan bahwa vektor n p L a → → dan b → berarah bersama, artinya ada bilangan t yang persamaannya benar: n p L a → → = t · b → . Dari sini kita melihat bahwa n p L a → → = t · b → , yang berarti kita dapat mencari nilai parameter t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Maka n p L a → → = 3 · b → dengan koordinat proyeksi vektor a → pada sumbu L sama dengan b → = (- 2 , 1 , 2) , dimana perlu mengalikan nilainya dengan 3. Kita punya n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Jawaban: (- 6, 3, 6).

Penting untuk mengulangi informasi yang telah dipelajari sebelumnya tentang kondisi kolinearitas vektor.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pertama, mari kita ingat apa itu sumbu koordinat, proyeksi suatu titik ke suatu sumbu Dan koordinat suatu titik pada sumbu.

Sumbu koordinat- Ini adalah garis lurus yang diberi arah tertentu. Anda dapat menganggapnya sebagai vektor dengan modulus yang sangat besar.

Sumbu koordinat dilambangkan dengan beberapa huruf: X, Y, Z, s, t... Biasanya suatu titik dipilih (sewenang-wenang) pada sumbu, yang disebut titik asal dan, biasanya, dilambangkan dengan huruf O. Dari titik ini jarak ke tempat menarik lainnya bagi kami diukur.

Proyeksi suatu titik ke suatu sumbu- ini adalah alas garis tegak lurus yang diturunkan dari titik ini ke sumbu ini (Gbr. 8). Artinya, proyeksi suatu titik pada sumbunya adalah sebuah titik.

Koordinat titik pada sumbu- ini adalah bilangan yang nilai absolutnya sama dengan panjang segmen sumbu (pada skala yang dipilih) yang terdapat di antara titik asal sumbu dan proyeksi titik ke sumbu tersebut. Angka ini diambil dengan tanda plus jika proyeksi titik tersebut terletak pada arah sumbu dari titik asal dan dengan tanda minus jika berlawanan arah.

Proyeksi skalar suatu vektor ke suatu sumbu- Ini nomor, yang nilai absolutnya sama dengan panjang segmen sumbu (pada skala yang dipilih) yang berada di antara proyeksi titik awal dan titik akhir vektor. Penting! Biasanya bukan ekspresi proyeksi skalar suatu vektor ke suatu sumbu mereka hanya mengatakan - proyeksi vektor ke sumbu, yaitu kata skalar diturunkan. Proyeksi vektor dilambangkan dengan huruf yang sama dengan vektor yang diproyeksikan (dalam tulisan normal, tidak tebal), dengan indeks yang lebih rendah (sebagai aturan) dari nama sumbu di mana vektor ini diproyeksikan. Misalnya, jika sebuah vektor diproyeksikan ke sumbu X A, maka proyeksinya dilambangkan dengan ax. Saat memproyeksikan vektor yang sama ke sumbu lain, katakanlah sumbu Y, proyeksinya akan dilambangkan dengan y (Gbr. 9).

Menghitung proyeksi vektor ke sumbu(misalnya sumbu X), maka perlu dikurangi koordinat titik awal dari koordinat titik akhirnya, yaitu

ax = xk − xn.

Kita harus ingat: proyeksi skalar suatu vektor ke suatu sumbu (atau, sederhananya, proyeksi suatu vektor ke suatu sumbu) adalah suatu bilangan (bukan vektor)! Apalagi proyeksinya bisa positif jika nilai xk lebih besar dari nilai xn, negatif jika nilai xk lebih kecil dari nilai xn dan sama dengan nol jika xk sama dengan xn (Gbr. 10).

Proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu juga dapat diketahui dengan mengetahui modulus vektor dan sudut yang dibuatnya terhadap sumbu tersebut.

Dari Gambar 11 terlihat jelas bahwa a x = a Cos α

Artinya, proyeksi vektor ke sumbu sama dengan produk modulus vektor dan kosinus sudut antara arah sumbu dan arah vektor. Jika sudutnya lancip, maka Cos α > 0 dan a x > 0, dan jika tumpul, maka kosinus sudut tumpul tersebut negatif, dan proyeksi vektor pada sumbunya juga negatif.

Sudut yang diukur dari sumbu berlawanan arah jarum jam dianggap positif, dan sudut yang diukur sepanjang sumbu dianggap negatif. Namun, karena kosinus merupakan fungsi genap, yaitu Cos α = Cos (− α), saat menghitung proyeksi, sudut dapat dihitung searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam.

Saat menyelesaikan masalah, sifat proyeksi berikut akan sering digunakan: jika

A = B + C +…+ D, maka a x = b x + c x +…+ d x (mirip dengan sumbu lainnya),

A= m B, maka a x = mb x (demikian pula untuk sumbu lainnya).

Rumusnya a x = a Cos α akan menjadi Sering terjadi ketika menyelesaikan masalah, jadi kamu pasti perlu mengetahuinya. Anda perlu mengetahui aturan untuk menentukan proyeksi dengan hati!

Ingat!

Untuk mencari proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu, modulus vektor tersebut harus dikalikan dengan kosinus sudut antara arah sumbu dan arah vektor.

Sekali lagi - dengan hati!

Menyelesaikan masalah keseimbangan gaya-gaya konvergen dengan membuat poligon gaya tertutup memerlukan konstruksi yang rumit. Metode universal untuk menyelesaikan masalah seperti itu adalah dengan melanjutkan menentukan proyeksi gaya-gaya tertentu ke sumbu koordinat dan mengoperasikan proyeksi ini. Sumbu adalah garis lurus yang mempunyai arah tertentu.

Proyeksi suatu vektor ke suatu sumbu merupakan besaran skalar, yang ditentukan oleh ruas sumbu yang dipotong oleh garis tegak lurus yang dijatuhkan ke atasnya dari awal dan akhir vektor.

Suatu proyeksi vektor dianggap positif jika arah dari awal proyeksi sampai akhir bertepatan dengan arah positif sumbu. Suatu proyeksi vektor dianggap negatif jika arah dari awal proyeksi sampai akhir berlawanan dengan arah positif sumbu.

Jadi, proyeksi gaya pada sumbu koordinat sama dengan hasil kali modulus gaya dan kosinus sudut antara vektor gaya dan arah positif sumbu.

Mari kita perhatikan beberapa kasus memproyeksikan gaya ke suatu sumbu:

Vektor gaya F(Gbr. 15) membentuk sudut lancip dengan arah positif sumbu x.

Untuk mencari proyeksi, dari awal dan akhir vektor gaya kita turunkan garis tegak lurus terhadap sumbu Oh; kita mendapatkan

1. Fx = F karena α

Proyeksi vektor dalam hal ini adalah positif

Memaksa F(Gbr. 16) dengan arah sumbu positif X sudut tumpul α.

Kemudian F x = F cos α, tetapi karena α = 180 0 - φ,

F x = F karena α = F cos180 0 - φ =- F karena φ.

Proyeksi kekuatan F per sumbu Oh dalam hal ini negatif.

Memaksa F(Gbr. 17) tegak lurus terhadap sumbu Oh.

Proyeksi gaya F pada sumbu X sama dengan nol

F x = F karena 90° = 0.

Kekuatan terletak di pesawat bagaimana(Gbr. 18), dapat diproyeksikan ke dua sumbu koordinat Oh Dan kamu.

Kekuatan F dapat dipecah menjadi beberapa komponen: F x dan F kamu. Modul vektor F x sama dengan proyeksi vektor F per sumbu sapi, dan modulus vektor F y sama dengan proyeksi vektor F per sumbu Oh.

Dari Δ OAV: F x = F karena α, F x = F dosa α.

Dari Δ OAS: F x = F karena φ, F x = F dosa φ.

Besarnya gaya dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras:

Proyeksi suatu penjumlahan atau resultan vektor pada suatu sumbu sama dengan jumlah aljabar proyeksi penjumlahan vektor-vektor tersebut pada sumbu yang sama.

Pertimbangkan kekuatan-kekuatan yang berkumpul F 1 , F 2 , F 3, dan F 4, (Gbr. 19, a). Jumlah geometris, atau resultan, gaya-gaya ini F ditentukan oleh sisi penutup poligon gaya

Mari kita turunkan dari titik sudut poligon gaya ke sumbunya X tegak lurus.

Mempertimbangkan proyeksi gaya yang diperoleh langsung dari konstruksi yang telah selesai, kita punya

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

dimana n adalah banyaknya suku vektor. Proyeksinya masuk ke persamaan di atas dengan tanda yang sesuai.

Dalam sebuah bidang, jumlah gaya geometris dapat diproyeksikan ke dua sumbu koordinat, dan di ruang angkasa, masing-masing, ke tiga sumbu.

Pendahuluan…………………………………………………………………………………3

1. Nilai vektor dan skalar…………………………………….4

2. Pengertian proyeksi, sumbu dan koordinat suatu titik………………...5

3. Proyeksi vektor ke sumbu…………………………………………………...6

4. Rumus dasar aljabar vektor……………………………..8

5. Perhitungan modulus suatu vektor dari proyeksinya…………………...9

Kesimpulan………………………………………………………………………...11

Sastra…………………………………………………………………………………...12

Perkenalan:

Fisika terkait erat dengan matematika. Matematika memberi fisika sarana dan teknik untuk menyatakan hubungan antara besaran-besaran fisis secara umum dan tepat yang ditemukan sebagai hasil eksperimen atau penelitian teoretis.Bagaimanapun, metode utama penelitian dalam fisika adalah eksperimental. Artinya seorang ilmuwan mengungkapkan perhitungan dengan menggunakan pengukuran. Menunjukkan hubungan antara berbagai kuantitas fisik. Kemudian semuanya diterjemahkan ke dalam bahasa matematika. Model matematika terbentuk. Fisika adalah ilmu yang mempelajari hukum-hukum yang paling sederhana sekaligus paling umum. Tugas fisika adalah menciptakan dalam pikiran kita gambaran dunia fisik yang paling mencerminkan sifat-sifatnya dan memastikan hubungan antara elemen-elemen model yang ada antar elemen.

Jadi, fisika menciptakan model dunia sekitar kita dan mempelajari sifat-sifatnya. Namun model apa pun terbatas. Saat membuat model fenomena tertentu, hanya properti dan koneksi yang penting untuk rentang fenomena tertentu yang diperhitungkan. Ini adalah seni seorang ilmuwan - untuk memilih hal utama dari semua keragaman.

Model fisik bersifat matematis, tetapi matematika bukanlah landasannya. Hubungan kuantitatif antara besaran fisis ditentukan sebagai hasil pengukuran, observasi dan studi eksperimental dan hanya diungkapkan dalam bahasa matematika. Namun, tidak ada bahasa lain untuk membangun teori fisika.

1. Pengertian vektor dan skalar.

Dalam fisika dan matematika, vektor adalah besaran yang dicirikan oleh nilai numerik dan arahnya. Dalam ilmu fisika banyak sekali besaran-besaran penting yang bersifat vektor, misalnya gaya, posisi, kecepatan, percepatan, torsi, momentum, kuat medan listrik dan magnet. Besaran-besaran tersebut dapat dibandingkan dengan besaran-besaran lain seperti massa, volume, tekanan, suhu dan massa jenis, yang dapat dinyatakan dengan bilangan biasa, dan disebut " skalar".

Mereka ditulis dengan huruf biasa atau angka (a, b, t, G, 5, −7....). Besaran skalar bisa positif atau negatif. Pada saat yang sama, beberapa objek studi mungkin memiliki sifat-sifat seperti itu, yang untuk penjelasan lengkapnya pengetahuan tentang ukuran numerik saja tidak cukup; sifat-sifat ini juga perlu dikarakterisasi berdasarkan arah dalam ruang. Sifat-sifat tersebut dicirikan oleh besaran vektor (vektor). Vektor, tidak seperti skalar, dilambangkan dengan huruf tebal: a, b, g, F, C....
Seringkali vektor dilambangkan dengan huruf biasa (tidak tebal), tetapi dengan panah di atasnya:

Selain itu, vektor sering kali dilambangkan dengan sepasang huruf (biasanya menggunakan huruf kapital), dengan huruf pertama menunjukkan awal vektor dan huruf kedua menunjukkan akhir.

Modulus suatu vektor, yaitu panjang suatu ruas garis lurus berarah, dilambangkan dengan huruf yang sama dengan vektor itu sendiri, tetapi dengan penulisan biasa (tidak tebal) dan tanpa tanda panah di atasnya, atau dengan cara yang persis sama. sebagai vektor (yaitu, dicetak tebal atau teratur, tetapi dengan panah), tetapi penunjukan vektor diapit dengan tanda hubung vertikal.
Vektor adalah suatu benda kompleks yang secara simultan dicirikan oleh besaran dan arahnya.

Juga tidak ada vektor positif dan negatif. Tapi vektor bisa sama satu sama lain. Ini terjadi ketika, misalnya, a dan b memiliki modul yang sama dan diarahkan ke arah yang sama. Dalam hal ini notasinya benar A= b. Perlu juga diingat bahwa simbol vektor dapat diawali dengan tanda minus, misalnya - c, namun tanda ini secara simbolis menunjukkan bahwa vektor -c mempunyai modulus yang sama dengan vektor c, tetapi arahnya berlawanan. arah.

Vektor -c disebut kebalikan (atau kebalikan) dari vektor c.
Dalam fisika, setiap vektor diisi dengan konten tertentu, dan ketika membandingkan vektor-vektor dengan jenis yang sama (misalnya gaya), poin penerapannya juga bisa menjadi signifikan.

2. Penentuan proyeksi, sumbu dan koordinat suatu titik.

Sumbu- Ini adalah garis lurus yang diberi arah tertentu.
Suatu sumbu dilambangkan dengan beberapa huruf: X, Y, Z, s, t... Biasanya sebuah titik dipilih (secara sewenang-wenang) pada sumbu, yang disebut titik asal dan, biasanya, dilambangkan dengan huruf O. Dari titik ini jarak ke tempat menarik lainnya diukur.

Proyeksi suatu titik pada suatu sumbu adalah alas suatu garis tegak lurus yang ditarik dari titik ini ke suatu sumbu tertentu. Artinya, proyeksi suatu titik pada sumbunya adalah sebuah titik.

Koordinat titik pada suatu sumbu tertentu adalah suatu bilangan yang nilai mutlaknya sama dengan panjang ruas sumbu (pada skala yang dipilih) yang terdapat di antara titik asal sumbu dan proyeksi titik pada sumbu tersebut. Angka ini diambil dengan tanda plus jika proyeksi titik tersebut terletak pada arah sumbu dari titik asal dan dengan tanda minus jika berlawanan arah.

3. Proyeksi vektor ke sumbu.

Proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu adalah vektor yang diperoleh dengan mengalikan proyeksi skalar suatu vektor pada sumbu tersebut dan vektor satuan pada sumbu tersebut. Misalnya, jika a x adalah proyeksi skalar vektor a pada sumbu X, maka a x ·i adalah proyeksi vektornya pada sumbu tersebut.

Mari kita nyatakan proyeksi vektor dengan cara yang sama seperti vektor itu sendiri, tetapi dengan indeks sumbu di mana vektor tersebut diproyeksikan. Jadi, proyeksi vektor dari vektor a ke sumbu X dilambangkan dengan ax (huruf tebal yang menunjukkan vektor dan subskrip dari nama sumbu) atau

(huruf tebal rendah yang menunjukkan vektor, tetapi dengan panah di bagian atas (!) dan subskrip untuk nama sumbu).

Proyeksi skalar vektor per sumbu disebut nomor, yang nilai absolutnya sama dengan panjang segmen sumbu (pada skala yang dipilih) yang berada di antara proyeksi titik awal dan titik akhir vektor. Biasanya bukan ekspresi proyeksi skalar mereka hanya mengatakan - proyeksi. Proyeksi dilambangkan dengan huruf yang sama dengan vektor yang diproyeksikan (dalam penulisan normal, tidak tebal), dengan indeks yang lebih rendah (sebagai aturan) dari nama sumbu di mana vektor ini diproyeksikan. Misalnya, jika sebuah vektor diproyeksikan ke sumbu X A, maka proyeksinya dilambangkan dengan ax. Ketika memproyeksikan vektor yang sama ke sumbu lain, jika sumbunya adalah Y, proyeksinya akan dilambangkan dengan y.

Untuk menghitung proyeksi vektor pada suatu sumbu (misalnya sumbu X), koordinat titik awal perlu dikurangi dari koordinat titik akhirnya, yaitu

ax = xk − xn.

Proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu adalah suatu bilangan. Apalagi proyeksinya bisa positif jika nilai x k lebih besar dari nilai x n,

negatif jika nilai x k lebih kecil dari nilai x n

dan sama dengan nol jika x k sama dengan x n.

Proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu juga dapat diketahui dengan mengetahui modulus vektor dan sudut yang dibuatnya terhadap sumbu tersebut.

Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa a x = a Cos α

Artinya, proyeksi vektor ke sumbu sama dengan hasil kali modulus vektor dan kosinus sudut antara arah sumbu dan arah vektor. Jika sudutnya lancip, maka
Cos α > 0 dan a x > 0, dan jika tumpul, maka kosinus sudut tumpul tersebut negatif, dan proyeksi vektor ke sumbu juga akan negatif.

Untuk mencari proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu, modulus vektor tersebut harus dikalikan dengan kosinus sudut antara arah sumbu dan arah vektor.

4. Rumus dasar aljabar vektor.

Mari kita memproyeksikan vektor a pada sumbu X dan Y dari sistem koordinat persegi panjang. Mari kita cari proyeksi vektor dari vektor a pada sumbu berikut:

ax = ax ·i, dan y = ay ·j.

Namun sesuai dengan aturan penjumlahan vektor

a = ax + ay.

a = axi + ayj.

Jadi, kita telah menyatakan vektor dalam proyeksinya dan vektor sistem koordinat persegi panjang (atau dalam proyeksi vektornya).

Proyeksi vektor ax dan ay disebut komponen atau komponen vektor a. Operasi yang kami lakukan disebut penguraian vektor sepanjang sumbu sistem koordinat persegi panjang.

Jika vektor diberikan dalam ruang, maka

a = a x i + a y j + a z k.

Rumus ini disebut rumus dasar aljabar vektor. Tentu saja bisa ditulis seperti ini.