(Fragmen simfoni matematika)
Hubungan antara impuls gaya dan persamaan dasar dinamika Newton dinyatakan dengan teorema perubahan momentum suatu titik material.
Dalil. Perubahan momentum suatu titik material selama periode waktu tertentu sama dengan impuls gaya () yang bekerja padanya poin materi selama periode waktu yang sama. Bukti matematis dari teorema ini dapat disebut sebagai penggalan simfoni matematika. Ini dia.
Momentum diferensial suatu titik material sama dengan impuls dasar gaya yang bekerja pada titik material tersebut. Mengintegrasikan ekspresi (128) untuk momentum diferensial suatu titik material, kita miliki
(129)
Teorema ini telah terbukti dan para ahli matematika menganggap misi mereka telah selesai, namun para insinyur, yang takdirnya adalah untuk sangat percaya pada ahli matematika, memiliki pertanyaan ketika menggunakan persamaan yang telah terbukti (129). Namun hal-hal tersebut terhalangi oleh urutan dan keindahan operasi matematika (128 dan 129), yang membuat kita terpesona dan mendorong kita untuk menyebutnya sebagai bagian dari simfoni matematika. Berapa generasi insinyur yang setuju dengan ahli matematika dan kagum dengan misteri simbol matematika mereka! Namun kemudian ada seorang insinyur yang tidak setuju dengan para ahli matematika dan mengajukan pertanyaan kepada mereka.
Para matematikawan yang terhormat! Mengapa tidak ada satu pun buku teks mekanika teoretis Anda yang membahas proses penerapan hasil simfoni Anda (129) dalam praktik, misalnya, saat menjelaskan proses percepatan mobil? Ruas kiri persamaan (129) sangat jelas. Mobil memulai akselerasi dari kecepatan dan mengakhirinya, misalnya dengan kecepatan. Wajar jika persamaan (129) menjadi
Dan pertanyaan pertama segera muncul: bagaimana kita dapat menentukan dari persamaan (130) gaya yang bekerja pada mobil yang dipercepat hingga kecepatan 10 m/s? Jawaban atas pertanyaan ini tidak ditemukan dalam buku-buku teks mekanika teoretis yang tak terhitung jumlahnya. Ayo melangkah lebih jauh. Setelah percepatan, mobil mulai bergerak beraturan dengan kecepatan 10 m/s. Gaya apa yang menggerakkan mobil?????????? Saya tidak punya pilihan selain tersipu malu bersama para ahli matematika. Hukum pertama dinamika Newton menyatakan bahwa ketika sebuah mobil bergerak secara seragam, tidak ada gaya yang bekerja padanya, dan mobil, secara kiasan, bersin menurut hukum ini, mengkonsumsi bensin dan melakukan usaha, bergerak, misalnya, jarak 100 km. Berapakah gaya yang melakukan usaha untuk menggerakkan mobil sejauh 100 km? Persamaan matematika simfoni (130) tidak terdengar, namun kehidupan terus berjalan dan menuntut jawaban. Kami mulai mencarinya.
Karena mobil bergerak lurus dan beraturan, gaya yang menggerakkannya tetap besar dan arahnya dan persamaan (130) menjadi
(131)
Jadi, persamaan (131) dalam hal ini menggambarkan gerak dipercepat suatu benda. Berapakah gaya yang sama? Bagaimana cara mengungkapkan perubahannya seiring waktu? Matematikawan lebih memilih untuk mengabaikan pertanyaan ini dan menyerahkannya kepada para insinyur, percaya bahwa mereka harus mencari jawaban atas pertanyaan ini. Insinyur memiliki satu pilihan tersisa - untuk memperhitungkan bahwa jika setelah selesainya percepatan gerak benda, fase gerak seragam dimulai, yang disertai dengan aksi. kekuatan konstan persamaan sekarang (131) untuk momen transisi dari gerak dipercepat ke gerak beraturan dalam bentuk ini
(132)
Tanda panah pada persamaan ini bukan berarti hasil integrasi persamaan tersebut, melainkan proses peralihan dari bentuk integralnya ke bentuk yang disederhanakan. Gaya dalam persamaan ini setara dengan gaya rata-rata yang mengubah momentum benda dari nol ke nilai akhir. Jadi, para ahli matematika dan fisikawan teoretis yang terhormat, tidak adanya metode Anda untuk menentukan besarnya impuls memaksa kita untuk menyederhanakan prosedur untuk menentukan gaya, dan tidak adanya metode untuk menentukan waktu kerja gaya ini secara umum menempatkan kita dalam situasi yang sulit. posisi putus asa dan kita terpaksa menggunakan ekspresi untuk menganalisis proses perubahan momentum suatu benda. Hasilnya adalah semakin lama gaya bekerja, semakin besar pula impulsnya. Hal ini jelas bertentangan dengan gagasan lama bahwa semakin pendek durasi aksinya, semakin besar dorongan gaya.
Mari kita perhatikan fakta bahwa perubahan momentum suatu titik material (impuls gaya) selama gerak dipercepat terjadi di bawah aksi gaya Newton dan gaya hambatan terhadap gerak, dalam bentuk gaya yang dihasilkan oleh hambatan mekanis dan kekuatan inersia. Namun dinamika Newton dalam sebagian besar soal mengabaikan gaya inersia, dan Mekanodinamika menyatakan bahwa perubahan momentum suatu benda selama gerak dipercepat terjadi karena kelebihan gaya Newton dibandingkan gaya resistensi terhadap gerak, termasuk gaya kekuatan inersia.
Ketika suatu benda bergerak lambat, misalnya mobil dengan gigi dimatikan, tidak ada gaya Newton, dan perubahan momentum mobil terjadi karena kelebihan gaya hambatan terhadap gerak terhadap gaya. inersia, yang menggerakkan mobil ketika bergerak lambat.
Bagaimana kita sekarang dapat mengembalikan hasil tindakan matematis “simfoni” yang terkenal (128) ke arus utama hubungan sebab-akibat? Hanya ada satu jalan keluar - untuk menemukan definisi baru tentang konsep "impuls kekuatan" dan "kekuatan tumbukan". Caranya, bagi kedua ruas persamaan (132) dengan waktu t. Hasilnya akan kita dapatkan
. (133)
Mari kita perhatikan bahwa ekspresi mV/t adalah laju perubahan momentum (mV/t) suatu titik atau benda material. Jika kita memperhitungkan bahwa V/t adalah percepatan, maka mV/t adalah gaya yang mengubah momentum benda. Dimensi yang sama di kiri dan kanan tanda sama dengan memberi kita hak untuk menyebut gaya F sebagai gaya tumbukan dan dilambangkan dengan simbol, dan impuls S - impuls tumbukan dan dilambangkan dengan simbol. Hal ini mengarah pada definisi baru tentang kekuatan tumbukan. Gaya tumbukan yang bekerja pada suatu titik atau benda material sama dengan perbandingan perubahan momentum titik atau benda material terhadap waktu terjadinya perubahan tersebut.
Mari kita beri perhatian khusus pada fakta bahwa hanya gaya Newton yang berpartisipasi dalam pembentukan impuls kejut (134), yang mengubah kecepatan mobil dari nilai nol hingga maksimum - , oleh karena itu persamaan (134) sepenuhnya milik dinamika Newton. Karena lebih mudah menentukan besar kecepatan secara eksperimental daripada menentukan percepatan, rumus (134) sangat mudah untuk perhitungan.
Hasil yang tidak biasa ini mengikuti persamaan (134).
Mari kita perhatikan fakta bahwa menurut hukum mekanodinamika yang baru, pembangkit impuls gaya selama percepatan pergerakan suatu titik atau benda material adalah gaya Newton. Ini membentuk percepatan pergerakan suatu titik atau benda, di mana secara otomatis timbul gaya inersia, yang arahnya berlawanan dengan gaya Newton dan tumbukan. Gaya Newton harus mengatasi aksi gaya inersia, oleh karena itu gaya inersia harus diwakili dalam keseimbangan gaya di sisi kiri persamaan (134). Karena gaya inersia sama dengan massa suatu titik atau benda dikalikan dengan perlambatan yang ditimbulkannya, maka persamaan (134) menjadi
(136)
Para matematikawan yang terhormat! Lihat seperti apa bentuknya model matematika, menggambarkan impuls kejut yang mempercepat pergerakan benda yang terkena benturan dari kecepatan nol ke V maksimum (11). Sekarang mari kita periksa kerjanya dalam menentukan impuls tumbukan, yang sama dengan gaya tumbukan yang menembakkan unit daya ke-2 SShG (Gbr. 120), dan kami akan meninggalkan persamaan Anda yang tidak berguna (132). Agar tidak mempersulit penyajiannya, kita tinggalkan rumus (134) untuk saat ini dan gunakan rumus yang memberikan nilai rata-rata gaya. Anda lihat di posisi apa Anda menempatkan seorang insinyur yang mencoba memecahkan masalah tertentu.
Mari kita mulai dengan dinamika Newton. Para ahli menemukan bahwa unit daya ke-2 menjulang setinggi 14 m. Karena ia naik dalam medan gravitasi, maka pada ketinggian h=14m ia energi potensial ternyata setara
dan energi kinetik rata-rata sama dengan
Beras. 120. Foto ruang turbin sebelum bencana
Dari persamaan energi kinetik (138) dan potensial (137), berikut laju rata-rata kenaikan satuan daya (Gbr. 121, 122)
Beras. 121. Foton ruang turbin setelah bencana
Menurut hukum mekanodinamika yang baru, kebangkitan unit daya terdiri dari dua fase (Gbr. 123): fase pertama OA - kenaikan yang dipercepat dan fase kedua AB - kenaikan lambat, , .
Waktu dan jarak aksinya kira-kira sama (). Maka persamaan kinematik fase percepatan kenaikan satuan daya akan ditulis sebagai berikut:
. (140)
Beras. 122. Pemandangan sumur unit tenaga dan unit tenaga itu sendiri setelah bencana
Hukum perubahan laju kenaikan unit daya pada fase pertama berbentuk
. (141)
Beras. 123. Keteraturan perubahan kecepatan terbang V suatu unit daya
Mengganti waktu dari persamaan (140) ke persamaan (141), kita mendapatkan
. (142)
Waktu pengangkatan balok pada tahap pertama ditentukan dari rumus (140)
. (143)
Maka total waktu untuk menaikkan unit daya ke ketinggian 14 m adalah sama dengan . Massa unit daya dan penutupnya adalah 2.580 ton. Menurut dinamika Newton, gaya yang mengangkat satuan daya adalah sama dengan
Para matematikawan yang terhormat! Kami mengikuti hasil simfoni matematika Anda dan menuliskan rumus Anda (129), mengikuti dinamika Newton, untuk menentukan pulsa kejut yang menembakkan unit daya ke-2
dan ajukan pertanyaan dasar: bagaimana cara menentukan durasi pulsa kejut yang menembakkan unit daya ke-2????????????
Sayang!!! Ingat berapa banyak kapur yang ditulis di papan tulis oleh generasi kolega Anda, dengan susah payah mengajari siswa cara menentukan impuls kejut, dan tidak ada yang menjelaskan cara menentukan durasi impuls kejut dalam setiap kasus tertentu. Anda akan mengatakan bahwa durasi pulsa kejut sama dengan interval waktu perubahan kecepatan unit daya dari nol ke, kita asumsikan, nilai maksimum 16,75 m/s (139). Itu ada dalam rumus (143) dan sama dengan 0,84 s. Kami setuju dengan Anda untuk saat ini dan menentukan nilai rata-rata dari impuls kejutan
Pertanyaan yang segera muncul: mengapa besarnya impuls kejut (146) lebih kecil dari gaya Newton sebesar 50600 ton? Anda, para ahli matematika yang terkasih, tidak punya jawaban. Ayo melangkah lebih jauh.
Menurut dinamika Newton, kekuatan utama, yang menahan naiknya unit daya, adalah gaya gravitasi. Karena gaya ini diarahkan melawan pergerakan unit daya, maka timbul perlambatan, yang sama dengan percepatan jatuh bebas. Maka gaya gravitasi yang bekerja pada unit daya yang terbang ke atas adalah sama dengan
Dinamika Newton tidak memperhitungkan gaya-gaya lain yang menghalangi kerja gaya Newton sebesar 50.600 ton (144), dan mekanodinamika menyatakan bahwa bangkitnya satuan daya juga ditentang oleh gaya inersia sebesar
Pertanyaan yang segera muncul: bagaimana cara mengetahui besarnya perlambatan pergerakan unit daya? Dinamika Newton diam, tetapi mekanika menjawab: pada saat aksi gaya Newton yang mengangkat satuan daya, ia ditentang oleh: gaya gravitasi dan gaya inersia, oleh karena itu persamaan gaya yang bekerja pada daya satuan pada saat itu ditulis sebagai berikut.
Besaran ukuran gerak gerakan mekanis, jika gerak mekanis berubah menjadi gerak mekanis. Misalnya, gerakan mekanis bola bilyar (Gbr. 22) sebelum tumbukan berubah menjadi gerakan mekanis bola setelah tumbukan. Untuk suatu titik, momentumnya sama dengan hasil kali.
Ukuran gaya dalam hal ini adalah impuls gaya
.
(9.1)
Momentum menentukan aksi gaya 
selama jangka waktu tertentu 
. Untuk suatu titik material, teorema perubahan momentum dapat digunakan dalam bentuk diferensial 
(9.2) atau bentuk integral (terbatas). 
.
(9.3)
Perubahan momentum suatu titik material selama periode waktu tertentu sama dengan impuls semua gaya yang diterapkan pada titik tersebut selama waktu yang sama.
Gambar 22
Saat menyelesaikan masalah, Teorema (9.3) lebih sering digunakan dalam proyeksi ke sumbu koordinat 
;
;
(9.4)
.
Dengan menggunakan teorema perubahan momentum suatu titik, kita dapat memecahkan masalah di mana suatu titik atau benda yang bergerak secara translasi dikenai gaya konstan atau variabel yang bergantung pada waktu, dan besaran yang diberikan dan dicari mencakup waktu. gerak dan kecepatan pada awal dan akhir gerak. Masalah menggunakan teorema diselesaikan dalam urutan berikut:
1. pilih sistem koordinat;
2. menggambarkan semua gaya dan reaksi (aktif) tertentu yang bekerja pada suatu titik;
3. tuliskan teorema tentang perubahan momentum suatu titik dalam proyeksi pada sumbu koordinat yang dipilih;
4. menentukan jumlah yang dibutuhkan.
CONTOH 12.
Sebuah palu dengan berat G=2t jatuh dari ketinggian h=1m ke benda kerja dalam waktu t=0,01s dan menginjak bagian tersebut (Gbr. 23). Tentukan gaya tekanan rata-rata palu pada benda kerja.
LARUTAN.
1. Benda kerja terkena gaya gravitasi palu 
dan reaksi dasar 
. Besarnya reaksi support berubah seiring waktu, jadi mari kita pertimbangkan nilai rata-ratanya 
.
2. arahkan sumbu koordinat y vertikal ke bawah dan terapkan teorema perubahan momentum suatu titik pada proyeksi ke sumbu ini: 
, (1) dimana 
-- kecepatan palu pada akhir pukulan;
-- kecepatan awal palu pada saat bersentuhan dengan benda kerja.
3. Untuk menentukan kecepatan 
mari kita berbaikan persamaan diferensial gerakan palu dalam proyeksi ke sumbu y:
.
(2)
Mari kita pisahkan variabel-variabelnya dan integrasikan persamaan (2) dua kali: 
;
;
. Kita cari konstanta integrasi C 1, C 2 dari kondisi awal. Pada t=0 V y =0, maka C 1 =0; kamu=0, lalu C 2 =0. Oleh karena itu, palu bergerak menurut hukum 
, (3) dan kecepatan palu berubah menurut hukum 
. (4) Mari kita nyatakan waktu gerak palu dari (3) dan substitusikan ke (4) 
;
.
(5)
4. Kita mencari proyeksi impuls gaya luar pada sumbu y dengan menggunakan rumus: 
. (6) Substitusikan (5) dan (6) ke dalam (1): 
, dari mana kita menemukan reaksi tumpuan, dan akibatnya, tekanan palu yang diinginkan pada benda kerja 
T.
Gambar 24
KEdimana M adalah massa sistem, V c adalah kecepatannya Pusat massa. Teorema perubahan momentum suatu sistem mekanik dapat ditulis dalam bentuk diferensial dan berhingga (integral): 
;
.
(9.7)
. (9.5) Momentum suatu sistem atau benda tegar dapat ditentukan dengan mengetahui massa sistem dan kecepatan pusat massa 
,
(9.6)Perubahan momentum suatu sistem mekanik selama periode waktu tertentu sama dengan jumlah impuls gaya luar yang bekerja dalam waktu yang sama. Terkadang lebih mudah menggunakan teorema perubahan momentum dalam proyeksi pada sumbu koordinat 
;
(9.8)
.
(9.9)
Hukum kekekalan momentum menyatakan bahwa tanpa adanya gaya luar, momentum suatu sistem mekanik tetap konstan. Tindakan kekuatan internal tidak dapat mengubah momentum sistem. Dari persamaan (9.6) jelas kapan 
,
.
Jika 
, Itu 
atau 
.
D
baling-baling atau baling-baling, penggerak jet. Cumi-cumi bergerak tersentak-sentak, mengeluarkan air dari kantung otot seperti meriam air (Gbr. 25). Air yang ditolak memiliki sejumlah gerakan yang diarahkan ke belakang. Cumi-cumi menerima kecepatan yang sesuai 
gerakan maju karena gaya traksi reaktif 
, sejak sebelum cumi-cumi itu meloncat keluar kekuatannya 
diimbangi oleh gravitasi 
.
Penerapan teorema perubahan momentum memungkinkan kita mengecualikan semua gaya internal dari pertimbangan.
CONTOH 13.
Sebuah winch A dengan drum berjari-jari r dipasang pada peron kereta api yang berdiri bebas di atas rel (Gbr. 26). Winch dirancang untuk memindahkan beban B bermassa m 1 sepanjang platform. Berat platform dengan winch m 2. Drum winch berputar menurut hukum 
. Pada awalnya, sistem ini bersifat mobile. Dengan mengabaikan gesekan, temukan hukum perubahan kecepatan platform setelah memutar winch.
R 
LARUTAN.
1. Pertimbangkan platform, winch, dan beban sebagai satu sistem mekanis yang tunduk pada kekuatan luar: memuat gravitasi 
dan platform 
dan reaksi 
Dan 
.
2. Karena semua gaya luar tegak lurus terhadap sumbu x, yaitu. 
, kita menerapkan hukum kekekalan momentum sistem mekanik dalam proyeksi ke sumbu x: 
. Oleh karena itu, pada saat awal sistem tidak bergerak, 
Mari kita nyatakan besarnya gerak sistem pada waktu tertentu. Platform bergerak maju dengan cepat 
, beban mengalami gerakan kompleks yang terdiri dari gerakan relatif sepanjang platform dengan suatu kecepatan 
dan gerakan portabel bersama dengan platform dengan kecepatan 
., Di mana 
. Platform akan bergerak ke arah yang berlawanan dengan pergerakan relatif beban.
CONTOH 14.
LARUTAN.
1. Mari kita terapkan teorema perubahan momentum sistem mekanik yang diproyeksikan ke sumbu x. Karena semua gaya luar yang bekerja pada sistem bersifat vertikal, maka 
, Kemudian 
, Di mana 
.
(1)
2. Mari kita nyatakan proyeksi momentum ke sumbu x untuk sistem mekanik yang ditinjau 
,
t 2) (S-dalam meter, t-dalam detik), (Gbr. 26). Tentukan kelajuan pelat pada waktu t 1 = 1s dengan menggunakan teorema perubahan momentum sistem mekanik.Di mana 
,
-- masing-masing besarnya gerak pelat dan beban. 
;
, Di mana 
--kecepatan absolut beban D. Dari persamaan (1) diperoleh K 1x + K 2x =C 1 atau m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. (2) Untuk menentukan V Dx, anggaplah gerak beban D sebagai kompleks, dengan mempertimbangkan geraknya relatif terhadap pelat relatif, dan gerak pelat itu sendiri portabel, maka 
,
(3)
;atau dalam proyeksi ke sumbu x: 
. (4) Substitusikan (4) ke (2): 
. (5) Kita menentukan konstanta integrasi C 1 dari kondisi awal: pada t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)kamu 0 =C 1. (6) Substitusikan nilai konstanta C 1 ke dalam persamaan (5), kita peroleh 
MS.
Secara material, hukum dasar dinamika dapat direpresentasikan sebagai
Mengalikan kedua ruas relasi ini di sebelah kiri secara vektorial dengan vektor jari-jari (Gbr. 3.9), kita peroleh
(3.32)
Di ruas kanan rumus ini kita mempunyai momen gaya relatif terhadap titik O. Kita ubah ruas kiri dengan menerapkan rumus turunan perkalian vektor
Tetapi 
Bagaimana produk vektor vektor paralel. Setelah ini kita dapatkan
(3.33)
Turunan pertama terhadap waktu momen momentum suatu titik terhadap suatu pusat sama dengan momen gaya terhadap pusat yang sama.
 |
Contoh penghitungan momentum sudut suatu sistem. Hitung momen kinetik relatif terhadap titik O suatu sistem yang terdiri dari poros silinder bermassa M = 20 kg dan berjari-jari R = 0,5 m serta beban turun bermassa m = 60 kg (Gambar 3.12). Poros berputar mengelilingi sumbu Oz dengan kecepatan sudut ω = 10 s -1.
Gambar 3.12
; ; 
Untuk data masukan tertentu, momentum sudut sistem
Teorema perubahan momentum sudut suatu sistem. Kami menerapkan resultan gaya eksternal dan internal pada setiap titik sistem. Untuk setiap titik sistem, Anda dapat menerapkan teorema perubahan momentum sudut, misalnya dalam bentuk (3.33)
Menjumlahkan semua poin sistem dan memperhitungkan bahwa jumlah turunannya sama dengan turunan dari jumlah tersebut, kita peroleh
Dengan menentukan momen kinetik sistem dan sifat-sifat gaya luar dan dalam
Oleh karena itu, hubungan yang dihasilkan dapat direpresentasikan sebagai
Turunan pertama kali momentum sudut suatu sistem relatif terhadap suatu titik sama dengan momen utama gaya luar yang bekerja pada sistem relatif terhadap titik yang sama.
3.3.5. Pekerjaan paksa
1) Kerja dasar suatu gaya sama dengan hasil kali skalar gaya dan jari-jari diferensial vektor titik penerapan gaya (Gbr. 3.13)
Gambar 3.13
Ekspresi (3.36) juga dapat ditulis dalam bentuk padanan berikut
dimana adalah proyeksi gaya terhadap arah kecepatan titik penerapan gaya.
2) Kerja gaya pada perpindahan akhir
Mengintegrasikan kerja gaya dasar, kita memperoleh ekspresi kerja gaya pada perpindahan akhir dari titik A ke titik B berikut ini
3) Usaha dengan gaya konstan
Jika gayanya konstan, maka dari (3.38) berikut ini
Kerja suatu gaya konstan tidak bergantung pada bentuk lintasan, tetapi hanya bergantung pada vektor perpindahan titik penerapan gaya.
4) Kerja gaya berat
Untuk gaya berat (Gbr. 3.14) dan dari (3.39) kita peroleh
Gambar 3.14
Jika perpindahan terjadi dari titik B ke titik A, maka
Secara umum
Tanda “+” menunjukkan pergerakan ke bawah dari titik penerapan gaya, tanda “-” menunjukkan ke atas.
4) Usaha gaya elastis
Misalkan sumbu pegas diarahkan sepanjang sumbu x (Gbr. 3.15), dan ujung pegas bergerak dari titik 1 ke titik 2, maka dari (3.38) kita peroleh 
Jika kekakuan pegas adalah Dengan, sehingga kemudian
A 
(3.41)
Jika ujung pegas berpindah dari titik 0 ke titik 1, maka dalam persamaan ini kita ganti , , maka kerja gaya elastis akan berbentuk
(3.42)
dimana perpanjangan pegas.
Gambar 3.15
5) Usaha gaya yang diterapkan pada benda yang berputar. Pekerjaan saat ini.
Pada Gambar. Gambar 3.16 menunjukkan sebuah benda berputar yang diberi gaya sembarang. Selama rotasi, titik penerapan gaya ini bergerak membentuk lingkaran.
Biarkan suatu titik material bergerak di bawah pengaruh gaya F. Hal ini diperlukan untuk menentukan pergerakan titik ini relatif terhadap sistem yang bergerak Oksiz(lihat gerak kompleks suatu titik material), yang bergerak dengan cara yang diketahui dalam kaitannya dengan sistem stasioner HAI 1 X 1 kamu 1 z 1 .
Persamaan dasar dinamika dalam sistem stasioner
Mari kita tuliskan percepatan absolut suatu titik menggunakan teorema Coriolis
Di mana A abs– percepatan mutlak;
A rel– percepatan relatif;
A jalur– akselerasi portabel;
A inti– Akselerasi Coriolis.
Mari kita tulis ulang (25) dengan memperhitungkan (26)
Mari kita perkenalkan notasinya 
- gaya inersia portabel, 
- Gaya inersia Coriolis. Kemudian persamaan (27) mengambil bentuk
Persamaan dasar dinamika untuk mempelajari gerak relatif (28) ditulis dengan cara yang sama seperti untuk gerak absolut, hanya gaya transfer dan gaya inersia Coriolis yang harus ditambahkan pada gaya yang bekerja pada suatu titik.
Teorema umum tentang dinamika suatu titik material
Saat memecahkan banyak masalah, Anda dapat menggunakan blanko yang sudah jadi yang diperoleh berdasarkan hukum kedua Newton. Metode pemecahan masalah tersebut digabungkan dalam bagian ini.
Teorema perubahan momentum suatu titik material
Mari kita perkenalkan karakteristik dinamis berikut:
1. Momentum suatu titik material – besaran vektor, sama dengan produk massa suatu titik dan vektor kecepatannya
.
(29)
2. Dorongan paksaan
Dorongan kekuatan dasar– besaran vektor sama dengan hasil kali vektor gaya dan selang waktu dasar
(30).
Kemudian dorongan penuh
.
(31)
Pada F=const yang kita dapatkan S=kaki.
Dorongan total untuk jangka waktu tertentu hanya dapat dihitung dalam dua kasus, ketika gaya yang bekerja pada suatu titik adalah konstan atau bergantung pada waktu. Dalam kasus lain, gaya perlu dinyatakan sebagai fungsi waktu.
Kesetaraan dimensi impuls (29) dan momentum (30) memungkinkan kita membangun hubungan kuantitatif di antara keduanya.
Mari kita perhatikan pergerakan titik material M di bawah aksi gaya sewenang-wenang F sepanjang lintasan yang sewenang-wenang.
TENTANG 
UD: 
.
(32)
Kami memisahkan variabel di (32) dan mengintegrasikannya
.
(33)
Hasilnya, dengan memperhitungkan (31), kita peroleh
.
(34)
Persamaan (34) menyatakan teorema berikut.
Dalil: Perubahan momentum suatu titik material selama selang waktu tertentu sama dengan impuls gaya yang bekerja pada titik tersebut dalam selang waktu yang sama.
Saat menyelesaikan masalah, persamaan (34) harus diproyeksikan pada sumbu koordinat
Teorema ini mudah digunakan jika di antara besaran tertentu dan besaran yang tidak diketahui terdapat massa suatu titik, titik awal dan kecepatan akhir, gaya dan waktu pergerakan.
Teorema perubahan momentum sudut suatu titik material
M 
momen momentum suatu titik material relatif terhadap pusat sama dengan produk modulus momentum titik dan bahu, yaitu. jarak terpendek (tegak lurus) dari pusat ke garis yang berimpit vektor kecepatan
,
(36)
.
(37)
Hubungan antara momen gaya (sebab) dan momen momentum (akibat) ditentukan oleh teorema berikut.
Misalkan titik M mempunyai massa tertentu M bergerak di bawah pengaruh kekuatan F.
,
,
,
(38)
.
(39)
Mari kita hitung turunan dari (39)
.
(40)
Menggabungkan (40) dan (38), akhirnya kita peroleh
.
(41)
Persamaan (41) menyatakan teorema berikut.
Dalil: Turunan waktu dari vektor momentum sudut suatu titik material terhadap suatu pusat sama dengan momen gaya yang bekerja pada titik tersebut relatif terhadap pusat yang sama.
Saat menyelesaikan masalah, persamaan (41) harus diproyeksikan pada sumbu koordinat
Dalam persamaan (42), momen momentum dan gaya dihitung relatif terhadap sumbu koordinat.
Dari (41) berikut ini hukum kekekalan momentum sudut (hukum Kepler).
Jika momen gaya yang bekerja pada suatu titik material terhadap pusat mana pun adalah nol, maka momentum sudut titik tersebut terhadap pusat tersebut tetap besar dan arahnya.
Jika 
, Itu 
.
Teorema dan hukum kekekalan digunakan dalam permasalahan yang melibatkan gerakan lengkung, terutama di bawah aksi kekuatan pusat.
Besaran gerak suatu sistem, sebagai besaran vektor, ditentukan oleh rumus (4.12) dan (4.13).
Dalil. Turunan momentum sistem terhadap waktu sama dengan jumlah geometri semua gaya luar yang bekerja padanya.
Dalam proyeksi sumbu Cartesian kita memperoleh persamaan skalar.
Anda dapat menulis vektor
(4.28)
dan persamaan skalar
Yang menyatakan teorema tentang perubahan momentum sistem dalam bentuk integral: perubahan momentum sistem dalam selang waktu tertentu sama dengan jumlah impuls dalam selang waktu yang sama. Saat menyelesaikan masalah, persamaan (4.27) lebih sering digunakan
Hukum kekekalan momentum
Teorema perubahan momentum sudut
Teorema perubahan momentum sudut suatu titik terhadap pusat: turunan waktu dari momentum sudut suatu titik relatif terhadap pusat tetap sama dengan momen vektor gaya yang bekerja pada titik tersebut relatif terhadap pusat yang sama.
Atau 
(4.30)
Membandingkan (4.23) dan (4.30), kita melihat bahwa momen-momen dari vektor-vektor dan berhubungan dengan ketergantungan yang sama seperti vektor-vektor dan vektor-vektor itu sendiri berhubungan (Gbr. 4.1). Jika kita memproyeksikan persamaan ke sumbu yang melalui pusat O, kita peroleh
(4.31)
Persamaan ini menyatakan teorema momentum sudut suatu titik relatif terhadap suatu sumbu.
|
(4.32)
Jika kita memproyeksikan ekspresi (4.32) ke sumbu yang melalui pusat O, kita memperoleh persamaan yang mencirikan teorema perubahan momentum sudut relatif terhadap sumbu.
(4.33)
Substitusikan (4.10) ke dalam persamaan (4.33), kita dapat menuliskan persamaan diferensial benda tegar yang berputar (roda, gandar, poros, rotor, dll) dalam tiga bentuk.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Oleh karena itu, disarankan untuk menggunakan teorema perubahan momentum kinetik untuk mempelajari gerak benda tegar, yang sangat umum dalam teknologi, rotasinya pada sumbu tetap.
Hukum kekekalan momentum sudut suatu sistem
1. Biarkan dalam ekspresi (4.32) .
Maka dari persamaan (4.32) berikut ini, yaitu. jika jumlah momen semua gaya luar yang diterapkan pada sistem terhadap suatu pusat tertentu sama dengan nol, maka momen kinetik sistem terhadap pusat tersebut akan konstan secara numerik dan arahnya.
2. Jika , maka . Jadi, jika jumlah momen gaya luar yang bekerja pada sistem terhadap sumbu tertentu adalah nol, maka momen kinetik sistem terhadap sumbu tersebut akan bernilai konstan.
Hasil ini menyatakan hukum kekekalan momentum sudut.
Dalam kasus benda tegar yang berputar, persamaan (4.34) mengikuti bahwa, jika , maka . Dari sini kita sampai pada kesimpulan berikut:
Jika sistem tidak dapat diubah (mutlak padat), maka, oleh karena itu, benda tegar berputar mengelilingi sumbu tetap dengan kecepatan sudut konstan.
Jika sistemnya dapat diubah, maka . Dengan bertambahnya (kemudian masing-masing elemen sistem menjauh dari sumbu rotasi), kecepatan sudut berkurang, karena , dan ketika menurun, ia bertambah, jadi, dalam kasus sistem variabel, dengan bantuan gaya dalam, kecepatan sudut dapat diubah.
Tugas kedua D2 pekerjaan tes dikhususkan untuk teorema tentang perubahan momentum sudut suatu sistem relatif terhadap sumbu.
Soal D2
Sebuah platform horizontal homogen (bulat berjari-jari R atau persegi panjang dengan sisi R dan 2R, dengan R = 1,2 m) bermassa kg berputar dengan kecepatan sudut mengelilingi sumbu vertikal z, berjarak dari pusat massa C platform di a jarak OC = b (Gambar E2.0 – D2.9, tabel D2); Dimensi untuk semua platform persegi panjang ditunjukkan pada Gambar. D2.0a (tampak atas).
Pada saat tertentu, beban D bermassa kg mulai bergerak sepanjang saluran platform (di bawah pengaruh gaya dalam) menurut hukum, di mana s dinyatakan dalam meter, t - dalam hitungan detik. Pada saat yang sama, sepasang gaya dengan momen M (ditentukan dalam newtonometer; pada M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Tentukan, dengan mengabaikan massa poros, ketergantungannya yaitu. kecepatan sudut platform sebagai fungsi waktu.
Pada semua gambar, beban D ditunjukkan pada posisi dimana s > 0 (bila s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на jarak tertentu OC = b dari pusat C.
Petunjuk arah. Soal D2 – untuk menerapkan teorema tentang perubahan momentum sudut sistem. Saat menerapkan teorema pada sistem yang terdiri dari platform dan beban, momentum sudut sistem relatif terhadap sumbu z ditentukan sebagai jumlah momen platform dan beban. Perlu diingat bahwa kecepatan absolut suatu beban adalah jumlah dari kecepatan relatif dan kecepatan portabel, yaitu. . Oleh karena itu, besarnya pergerakan beban ini 
. Kemudian Anda dapat menggunakan teorema Varignon (statis), yang menurutnya ; momen-momen ini dihitung dengan cara yang sama seperti momen gaya. Solusinya dijelaskan lebih detail pada contoh D2.
Saat memecahkan suatu masalah, akan berguna untuk menggambarkan dalam gambar bantu pemandangan platform dari atas (dari ujung z), seperti yang dilakukan pada Gambar. D2.0, a – D2.9, a.
Momen inersia sebuah pelat bermassa m terhadap sumbu Cz, tegak lurus pelat dan melewati pusat massanya, sama dengan: untuk pelat persegi panjang dengan sisi dan
;
Untuk pelat bundar berjari-jari R
| Nomor kondisi | B | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10 ton 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Contoh D2. Sebuah platform horizontal homogen (persegi panjang dengan sisi 2l dan l), memiliki massa, melekat secara kaku pada poros vertikal dan berputar mengelilingi suatu sumbu z dengan kecepatan sudut (Gbr. E2a ). Pada saat tertentu, torsi M mulai bekerja pada poros, dengan arah berlawanan ; sekaligus kargo D massa terletak di parit AB pada intinya DENGAN, mulai bergerak sepanjang saluran (di bawah pengaruh gaya dalam) menurut hukum s = CD = F(t).
Diketahui: m 1 = 16 kg, t 2= 10kg, aku= 0,5 m, = 2, s = 0,4t 2 (s - dalam meter, t - dalam detik), M= kt, Di mana k=6 Nm/dtk. Definisikan : - hukum perubahan kecepatan sudut platform.
Larutan. Pertimbangkan sistem mekanis yang terdiri dari platform dan beban D. Untuk menentukan w, kita menerapkan teorema perubahan momentum sudut sistem relatif terhadap sumbu z:
(1)
Mari kita gambarkan gaya luar yang bekerja pada sistem: gaya gravitasi reaksi dan torsi M. Karena gaya dan sejajar dengan sumbu z, dan reaksi memotong sumbu ini, momennya relatif terhadap sumbu z adalah sama dengan nol. Kemudian, dengan mempertimbangkan arah momen menjadi positif (yaitu berlawanan arah jarum jam), kita peroleh 
dan persamaan (1) akan mengambil bentuk ini.
