Bab 3. Ruang vektor linier

Topik 8. Ruang vektor linier

Definisi ruang linier. Contoh ruang linier

Dalam §2.1 operasi penjumlahan vektor bebas dari R 3 dan operasi perkalian vektor dengan bilangan real, dan juga mencantumkan sifat-sifat operasi ini. Perluasan operasi-operasi ini dan sifat-sifatnya ke sekumpulan objek (elemen) yang bersifat arbitrer mengarah pada generalisasi konsep ruang linier vektor-vektor geometris dari R 3 didefinisikan dalam §2.1. Mari kita rumuskan definisi ruang vektor linier.

Definisi 8.1. Sekelompok V elemen X , pada , z ,... ditelepon ruang vektor linier, Jika:

ada aturan bahwa setiap dua elemen X Dan pada dari V cocok dengan elemen ketiga dari V, ditelepon jumlah X Dan pada dan ditunjuk X + pada ;

ada aturan bahwa setiap elemen X dan siapa pun bilangan real cocok dengan elemen dari V, ditelepon produk dari elemen tersebut X per nomor dan ditunjuk X .

Apalagi jumlah dua elemen apa pun X + pada dan bekerja X elemen apa pun untuk nomor apa pun harus memenuhi persyaratan berikut - aksioma ruang linier:

1°. X + pada = pada + X (komutatifitas penjumlahan).

2°. ( X + pada ) + z = X + (pada + z ) (asosiasi penjumlahan).

3°. Ada sebuah elemen 0 , ditelepon nol, seperti yang

X + 0 = X , X .

4°. Untuk siapa pun X ada elemen (– X ), ditelepon berlawanan untuk X , seperti yang

X + (– X ) = 0 .

5°. ( X ) = ()X , X , , R.

6°. X = X , X .

7°. () X = X + X , X , , R.

8°. ( X + pada ) = X + kamu , X , kamu , R.

Kita akan menyebut unsur-unsur ruang linier vektor terlepas dari sifatnya.

Dari aksioma 1°–8° dapat disimpulkan bahwa dalam ruang linier apa pun V properti berikut ini valid:

1) ada satu vektor nol;

2) untuk setiap vektor X hanya ada satu vektor yang berlawanan (– X ) , Dan (- X ) = (– aku) X ;

3) untuk vektor apa pun X persamaan 0× benar X = 0 .

Mari kita buktikan, misalnya sifat 1). Mari kita asumsikan hal itu terjadi di luar angkasa V ada dua angka nol: 0 1 dan 0 2. Menempatkan 3° dalam aksioma X = 0 1 , 0 = 0 2, kita dapatkan 0 1 + 0 2 = 0 1 . Demikian pula jika X = 0 2 , 0 = 0 1, lalu 0 2 + 0 1 = 0 2. Dengan mempertimbangkan aksioma 1°, kita peroleh 0 1 = 0 2 .

Mari kita berikan contoh ruang linier.

1. Himpunan bilangan real membentuk ruang linier R. Aksioma 1°–8° jelas terpenuhi di dalamnya.

2. Himpunan vektor bebas dalam ruang tiga dimensi, seperti ditunjukkan pada §2.1, juga membentuk ruang linier, dilambangkan R 3. Nol ruang ini adalah vektor nol.

Himpunan vektor pada bidang dan garis juga merupakan ruang linier. Kami akan menunjukkannya R 1 dan R 2 masing-masing.

3. Generalisasi ruang R 1 , R 2 dan R 3 menyajikan ruang RN, N N, ditelepon ruang berdimensi n aritmatika, yang elemennya (vektor) merupakan koleksi terurut N bilangan real sembarang ( X 1 ,…, xn), yaitu

RN = {(X 1 ,…, xn) | x saya R, Saya = 1,…, N}.

Lebih mudah menggunakan notasi X = (X 1 ,…, xn), di mana x saya ditelepon koordinat ke-i(komponen)vektor X .

Untuk X , pada RN Dan R Kami mendefinisikan penjumlahan dan perkalian dengan suatu bilangan menggunakan rumus berikut:

X + pada = (X 1 + kamu 1 ,…, xn+ kamu n);

X = (X 1 ,…, xn).

Elemen nol ruang RN adalah vektor 0 = (0,…, 0). Persamaan dua vektor X = (X 1 ,…, xn) Dan pada = (kamu 1 ,…, kamu n) dari RN, menurut definisi, berarti persamaan koordinat yang bersesuaian, yaitu. X = pada Û X 1 = kamu 1 &… & xn = kamu n.

Pemenuhan aksioma 1°–8° terlihat jelas di sini.

4. Biarkan C [ A ; B] – himpunan kontinu nyata pada interval [ A; B] fungsi F: [A; B] R.

Jumlah fungsi F Dan G dari C [ A ; B] disebut fungsi H = F + G, ditentukan oleh kesetaraan

H = F + G Û H(X) = (F + G)(X) = F(X) + G(X), " X Î [ A; B].

Produk dari suatu fungsi F Î C [ A ; B] berdasarkan nomor A Î R ditentukan oleh kesetaraan

kamu = F Û kamu(X) = (F)(X) = F(X), " X Î [ A; B].

Jadi, operasi penjumlahan dua fungsi dan mengalikan suatu fungsi dengan suatu bilangan mengubah himpunan tersebut C [ A ; B] ke dalam ruang linier yang vektor-vektornya merupakan fungsi. Aksioma 1°–8° jelas terpenuhi dalam ruang ini. Vektor nol dari ruang ini adalah fungsi identik nol, dan persamaan dua fungsi F Dan G berarti, menurut definisi, sebagai berikut:

F = G F(X) = G(X), " X Î [ A; B].

Kuliah 6. Ruang vektor.

Pertanyaan utama.

1. Ruang linier vektor.

2. Dasar dan dimensi ruang.

3. Orientasi ruang.

4. Penguraian suatu vektor berdasarkan basis.

5. Koordinat vektor.

1. Ruang linier vektor.

Himpunan yang terdiri dari unsur-unsur apa pun yang operasi liniernya didefinisikan: penjumlahan dua unsur dan perkalian suatu unsur dengan suatu bilangan disebut spasi, dan elemennya adalah vektor ruang ini dan dilambangkan dengan cara yang sama seperti besaran vektor dalam geometri: . vektor Ruang abstrak seperti itu, pada umumnya, tidak memiliki kesamaan dengan vektor geometris biasa. Elemen ruang abstrak dapat berupa fungsi, sistem bilangan, matriks, dll., dan dalam kasus tertentu, vektor biasa. Oleh karena itu, ruang seperti itu biasa disebut ruang vektor .

Ruang vektor adalah, Misalnya, satu set vektor collinear, dilambangkan V1 , himpunan vektor koplanar V2 , himpunan vektor-vektor biasa (ruang nyata) V3 .

Untuk kasus khusus ini, kita dapat memberikan definisi ruang vektor sebagai berikut.

Definisi 1. Himpunan vektor disebut ruang vektor, jika kombinasi linier dari sembarang vektor suatu himpunan juga merupakan vektor himpunan tersebut. Vektor itu sendiri disebut elemen ruang vektor.

Yang lebih penting, baik secara teoritis maupun terapan, adalah konsep umum (abstrak) ruang vektor.

Definisi 2. Sekelompok R elemen yang jumlahnya ditentukan untuk dua elemen apa pun dan untuk elemen apa pun https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> disebut vektor(atau linier) ruang angkasa, dan elemen-elemennya adalah vektor, jika operasi penjumlahan vektor dan perkalian suatu vektor dengan suatu bilangan memenuhi syarat berikut ( aksioma) :

1) penjumlahan bersifat komutatif, yaitu..gif" width="184" height="25">;

3) ada elemen (vektor nol) sehingga untuk https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" tinggi="27">;

5) untuk sembarang vektor dan dan sembarang bilangan λ persamaan berlaku;

6) untuk vektor apa pun dan bilangan apa pun λ Dan µ persamaannya benar: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> dan nomor apa pun λ Dan µ adil ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Aksioma paling sederhana yang mendefinisikan ruang vektor adalah sebagai berikut: konsekuensi :

1. Dalam ruang vektor hanya ada satu nol - elemen - vektor nol.

2. Dalam ruang vektor, setiap vektor mempunyai satu vektor yang berlawanan.

3. Untuk setiap elemen persamaan terpenuhi.

4. Untuk sembarang bilangan real λ dan vektor nol https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" lebar = "145" tinggi = "28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> adalah vektor yang memenuhi persamaan https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Jadi, memang himpunan semua vektor geometri adalah ruang linier (vektor), karena untuk elemen-elemen himpunan ini ditentukan tindakan penjumlahan dan perkalian dengan suatu bilangan yang memenuhi aksioma yang dirumuskan.

2. Dasar dan dimensi ruang.

Konsep esensial ruang vektor adalah konsep basis dan dimensi.

Definisi. Himpunan vektor-vektor bebas linier, yang diambil dalam urutan tertentu, yang melaluinya setiap vektor ruang dapat dinyatakan secara linier, disebut dasar ruang ini. vektor. Komponen dasar ruang disebut dasar .

Basis dari himpunan vektor-vektor yang terletak pada suatu garis sembarang dapat dianggap sebagai satu vektor yang segaris terhadap garis tersebut.

Dasar di pesawat sebut saja dua vektor non-kolinier pada bidang ini, diambil dalam urutan tertentu https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Jika vektor-vektor basisnya berpasangan tegak lurus (ortogonal), maka basisnya disebut ortogonal, dan jika vektor-vektor tersebut mempunyai panjang sama dengan satu, maka basisnya disebut ortonormal .

Angka terbesar vektor-vektor ruang yang bebas linier disebut dimensi ruang ini, yaitu dimensi ruang tersebut bertepatan dengan jumlah vektor basis ruang tersebut.

Jadi, menurut definisi berikut:

1. Ruang satu dimensi V1 adalah garis lurus, dan alasnya terdiri dari satu kolinear vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Ruang biasa adalah ruang tiga dimensi V3 , yang dasarnya terdiri dari tiga non-coplanar vektor

Dari sini kita melihat bahwa banyaknya vektor basis pada suatu garis, pada suatu bidang, dalam ruang nyata sama dengan apa yang dalam geometri biasa disebut dengan banyaknya dimensi (dimensi) suatu garis, bidang, ruang. Oleh karena itu, wajar jika kita memperkenalkan definisi yang lebih umum.

Definisi. Ruang vektor R ditelepon N– dimensi jika tidak lebih dari N vektor bebas linier dan dilambangkan R N. Nomor N ditelepon dimensi ruang angkasa.

Sesuai dengan dimensinya ruang dibagi menjadi berdimensi terbatas Dan berdimensi tak terbatas. Dimensi ruang nol dianggap sama dengan nol menurut definisi.

Catatan 1. Di setiap ruang Anda dapat menentukan basis sebanyak yang Anda suka, tetapi semua basis dari ruang tertentu terdiri dari jumlah vektor yang sama.

Catatan 2. DI DALAM N– dalam ruang vektor berdimensi, basis adalah kumpulan terurut N vektor bebas linier.

3. Orientasi ruang.

Biarkan vektor basis berada dalam ruang V3 memiliki awal yang umum Dan dipesan, yaitu ditunjukkan vektor mana yang dianggap pertama, mana yang dianggap kedua, dan mana yang dianggap ketiga. Misalnya, pada basis, vektor-vektor diurutkan berdasarkan indeksasi.

Untuk itu untuk mengorientasikan ruang, perlu menetapkan suatu dasar dan menyatakannya positif .

Dapat ditunjukkan bahwa himpunan semua basis ruang terbagi dalam dua kelas, yaitu menjadi dua himpunan bagian yang saling lepas.

a) semua basa yang termasuk dalam satu subset (kelas) memiliki sama orientasi (basis dengan nama yang sama);

b) dua basa apa pun yang termasuk dalam bermacam-macam himpunan bagian (kelas), miliki sebaliknya orientasi, ( nama yang berbeda pangkalan).

Jika salah satu dari dua kelas alas suatu ruang dinyatakan positif dan yang lainnya negatif, maka dikatakan ruang tersebut berorientasi .

Seringkali, ketika mengorientasikan ruang, beberapa pangkalan dipanggil Kanan, dan lain-lain - kiri .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> dipanggil Kanan, jika jika diamati dari ujung vektor ketiga, putaran terpendek dari vektor pertama https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > dilaksanakan berlawanan arah jarum jam(Gbr. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Beras. 1.8. Basis kanan (a) dan basis kiri (b)

Biasanya basis ruang yang tepat dinyatakan sebagai basis positif

Basis ruang kanan (kiri) juga dapat ditentukan dengan menggunakan aturan sekrup atau gimlet “kanan” (“kiri”).

Dengan analogi ini, konsep kanan dan kiri diperkenalkan bertiga vektor non-coplanar yang harus diurutkan (Gbr. 1.8).

Jadi, dalam kasus umum, dua rangkap tiga dari vektor non-coplanar memiliki orientasi yang sama (nama yang sama) dalam ruang V3 jika keduanya kanan atau keduanya kiri, dan - orientasinya berlawanan (berlawanan) jika salah satunya kanan dan yang lain kiri.

Hal serupa juga dilakukan pada ruang V2 (pesawat).

4. Penguraian suatu vektor berdasarkan basis.

Untuk menyederhanakan penalaran, mari kita pertimbangkan pertanyaan ini dengan menggunakan contoh ruang vektor tiga dimensi R3 .

Misalkan https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> menjadi vektor sembarang dari ruang ini.

Sesuai dengan ruang vektor tersebut. Dalam artikel ini definisi pertama akan diambil sebagai titik tolak.

N (\gaya tampilan n)-ruang Euclidean berdimensi biasanya dilambangkan E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); notasi ini juga sering digunakan jika konteksnya jelas bahwa ruang tersebut dilengkapi dengan struktur Euclidean yang alami.

Definisi formal

Untuk mendefinisikan ruang Euclidean, cara termudah adalah dengan menggunakan produk skalar sebagai konsep utama. Ruang vektor Euclidean didefinisikan sebagai ruang vektor berdimensi terbatas pada bidang bilangan real, yang pasangan vektornya menentukan fungsi bernilai real. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) mempunyai tiga sifat berikut:

Contoh ruang Euclidean - ruang koordinat R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) terdiri dari semua himpunan bilangan real yang mungkin (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),) produk skalar yang ditentukan oleh rumus (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\jumlah _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Panjang dan sudut

Produk skalar yang didefinisikan pada ruang Euclidean sudah cukup untuk diperkenalkan konsep geometris panjang dan sudut. Panjang vektor kamu (\gaya tampilan u) didefinisikan sebagai (kamu , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) dan ditunjuk | kamu | . (\gaya tampilan |u|.) Kepastian positif dari hasil kali skalar menjamin bahwa panjang vektor bukan nol adalah bukan nol, dan dari bilinearitas dapat disimpulkan bahwa | kamu | = | sebuah | | kamu | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) yaitu, panjang vektor proporsional adalah proporsional.

Sudut antar vektor kamu (\gaya tampilan u) Dan v (\gaya tampilan v) ditentukan oleh rumus φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \kiri((\frac ((x,y))(|x||y|))\kanan).) Dari teorema kosinus dapat disimpulkan bahwa untuk ruang Euclidean dua dimensi ( Pesawat Euclidean) definisi ini sudutnya bertepatan dengan sudut biasanya. Vektor ortogonal, seperti dalam ruang tiga dimensi, dapat didefinisikan sebagai vektor yang sudut antara keduanya sama π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Pertidaksamaan Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz dan pertidaksamaan segitiga

Ada satu celah tersisa dalam definisi sudut yang diberikan di atas: agar arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) telah didefinisikan, maka perlu adanya ketimpangan | (x, kamu) | x | | kamu | | ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Ketimpangan ini berlaku dalam ruang Euclidean yang berubah-ubah, dan disebut ketimpangan Cauchy–Bunyakovsky–Schwartz. Dari pertidaksamaan ini, selanjutnya timbul pertidaksamaan segitiga: | kamu + v | ⩽ | kamu | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Pertidaksamaan segitiga, bersama dengan sifat-sifat panjang yang tercantum di atas, berarti bahwa panjang suatu vektor merupakan norma pada ruang vektor Euclidean, dan fungsinya d(x, y) = | x − kamu | (\gaya tampilan d(x,y)=|x-y|) mendefinisikan struktur ruang metrik pada ruang Euclidean (fungsi ini disebut metrik Euclidean). Khususnya, jarak antar elemen (titik) x (\gaya tampilan x) Dan y (\gaya tampilan y) mengkoordinasikan ruang R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) diberikan oleh rumus d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (xi − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Sifat aljabar

Basis ortonormal

Konjugasi ruang dan operator

Vektor apa pun x (\gaya tampilan x) Ruang Euclidean mendefinisikan fungsi linier x ∗ (\gaya tampilan x^(*)) di ruang ini, didefinisikan sebagai x ∗ (kamu) = (x , kamu) . (\gaya tampilan x^(*)(y)=(x,y).) Perbandingan ini merupakan isomorfisme antara ruang Euclidean dan ruang gandanya dan memungkinkan keduanya diidentifikasi tanpa mengorbankan perhitungan. Secara khusus, operator konjugasi dapat dianggap bekerja pada ruang aslinya, dan bukan pada ruang gandanya, dan operator adjoin mandiri dapat didefinisikan sebagai operator yang bertepatan dengan konjugasinya. Dalam basis ortonormal, matriks operator adjoint ditransposisikan ke matriks operator asli, dan matriks operator self-adjoint simetris.

Pergerakan ruang Euclidean

Pergerakan ruang Euclidean adalah transformasi yang mempertahankan metrik (juga disebut isometri). Contoh gerak adalah translasi paralel ke vektor v (\gaya tampilan v), yang menerjemahkan maksudnya p (\gaya tampilan p) tepat p + v (\gaya tampilan p+v). Sangat mudah untuk melihat bahwa setiap gerakan adalah komposisi translasi dan transformasi paralel yang menjaga satu titik tetap. Dengan memilih titik tetap sebagai titik asal koordinat, setiap pergerakan tersebut dapat dianggap sebagai

4.3.1 Pengertian ruang linier

Membiarkan ā , , - elemen dari beberapa himpunan ā , , Tanah λ , μ - bilangan real, λ , μ R..

Himpunan L disebutlinier atauruang vektor, jika dua operasi didefinisikan:

1 0 . Tambahan. Setiap pasangan elemen dari himpunan ini dikaitkan dengan elemen dari himpunan yang sama, yang disebut jumlah mereka

ā + =

2°.Mengalikan dengan angka. Bilangan real apa pun λ dan elemen ā L cocok dengan elemen dari himpunan yang sama λ ā L dan properti berikut terpenuhi:

1.ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. ada elemen nol
, seperti yang ā +=ā ;

4. ada elemen yang berlawanan -
seperti yang ā +(-ā )=.

Jika λ , μ - bilangan real, maka:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Elemen ruang linier ā, , ... disebut vektor.

Latihan. Tunjukkan pada diri Anda bahwa himpunan ini membentuk ruang linier:

1) Himpunan vektor geometri pada suatu bidang;

2) Himpunan vektor geometri dalam ruang tiga dimensi;

3) Satu set polinomial dengan derajat tertentu;

4) Himpunan matriks yang berdimensi sama.

4.3.2 Vektor bergantung linier dan vektor bebas. Dimensi dan dasar ruang

Kombinasi linear vektor ā 1 , ā 2 , …, ā N Ldisebut vektor dengan ruang yang sama dengan bentuk:

Di mana λ saya adalah bilangan real.

vektor ā 1 , .. , ā N disebutindependen linier, jika kombinasi liniernya merupakan vektor nol jika dan hanya jika semua λ Saya sama dengan nol, itu adalah

λ saya =0

Jika kombinasi liniernya adalah vektor nol dan paling sedikit salah satu darinya λ Saya berbeda dengan nol, maka vektor-vektor tersebut disebut bergantung linier. Yang terakhir berarti bahwa setidaknya salah satu vektor dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya. Memang benar, meskipun, misalnya,
. Kemudian,
, Di mana

.

Sistem vektor terurut yang bebas linier maksimal disebut dasar ruang angkasa L. Banyaknya vektor basis disebut dimensi ruang angkasa.

Anggap saja ada N vektor bebas linier, maka ruang tersebut disebut N-dimensi. Vektor ruang lainnya dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier N vektor dasar. Per dasar N- ruang dimensi dapat diambil setiap N vektor bebas linier dari ruang ini.

Contoh 17. Temukan basis dan dimensi ruang linier berikut:

a) himpunan vektor-vektor yang terletak pada suatu garis (sejajar terhadap suatu garis)

b) himpunan vektor-vektor yang termasuk dalam bidang tersebut

c) himpunan vektor ruang tiga dimensi

d) himpunan polinomial yang derajatnya tidak lebih tinggi dari dua.

Larutan.

A) Dua buah vektor yang terletak pada suatu garis lurus akan bergantung linier, karena kedua vektor tersebut segaris
, Itu
, λ - skalar. Akibatnya, basis suatu ruang tertentu hanya satu (setiap) vektor yang berbeda dari nol.

Biasanya ruang ini diperuntukkan R, dimensinya adalah 1.

B) dua vektor yang tidak segaris
akan bebas linier, dan tiga vektor apa pun pada bidang tersebut akan bebas linier. Untuk vektor apa pun , ada angka  Dan  seperti yang
. Ruang disebut dua dimensi, dilambangkan dengan R 2 .

Basis ruang dua dimensi dibentuk oleh dua vektor yang tidak segaris.

V) Tiga vektor non-coplanar mana pun akan bebas linier dan membentuk basis ruang tiga dimensi R 3 .

G) Sebagai basis untuk ruang polinomial yang derajatnya tidak lebih tinggi dari dua, kita dapat memilih tiga vektor berikut: ē 1 = X 2 ; ē 2 = X; ē 3 =1 .

(1 adalah polinomial yang identik dengan satu). Ruang ini akan berbentuk tiga dimensi.

BAB 8. RUANG LINIER § 1. Pengertian ruang linier

Menggeneralisasikan konsep vektor, yang diketahui dari geometri sekolah, kita akan mendefinisikan struktur aljabar (ruang linier) yang memungkinkan untuk membangun geometri berdimensi n, kasus khusus di antaranya adalah geometri analitik.

Definisi 1. Diberikan himpunan L=(a,b,c,…) dan bidang P=( ,…). Biarkan L didefinisikan operasi aljabar penjumlahan dan perkalian unsur dari L dengan unsur bidang P didefinisikan:

Himpunan L disebut ruang linier di atas bidang P, jika persyaratan berikut terpenuhi (aksioma ruang linier):

1. L kelompok komutatif terhadap penjumlahan;

2. α(βa)=(αβ)a α,β P, a L;

3. α(a+b)=αa+αb α P, a,b L;

4. (α+β)a=αa+βa α,β P, a L;

5. a L persamaan berikut ini benar: 1 a=a (di mana 1 adalah satuan bidang P).

Unsur-unsur ruang linier L disebut vektor (kita perhatikan sekali lagi bahwa unsur-unsur tersebut dilambangkan dengan huruf latin a, b, c,...), dan unsur-unsur bidang P disebut bilangan (kita akan menyatakannya dengan huruf Yunani α,

Catatan 1. Kita melihat bahwa sifat-sifat vektor “geometris” yang terkenal diambil sebagai aksioma ruang linier.

Catatan 2. Beberapa buku teks aljabar terkenal menggunakan notasi berbeda untuk bilangan dan vektor.

Contoh dasar ruang linier

1. R 1 adalah himpunan semua vektor pada suatu garis.

DI DALAM berikut ini kita akan menyebut vektor-vektor tersebutvektor segmen pada garis lurus. Jika kita mengambil R sebagai P, maka jelas R1 adalah ruang linier di atas bidang R.

2. R 2 , R3 – vektor segmen pada bidang dan ruang tiga dimensi. Sangat mudah untuk melihat bahwa R2 dan R3 adalah ruang linier di atas R.

3. Biarkan P menjadi bidang sembarang. Misalkan himpunan P(n) semua himpunan terurut dari n elemen bidang P:

P(n) = (α1 ,α2 ,α3 ,...,αn )| αi P, saya=1,2,..,n .

Himpunan a=(α1,α2,…,αn) disebut berdimensi-n vektor baris. Bilangan i akan disebut komponen

vektor a.

Untuk vektor dari P(n) , dengan analogi dengan geometri, kita secara alami memperkenalkan operasi penjumlahan dan perkalian dengan suatu bilangan, dengan asumsi untuk setiap (α1 ,α2 ,…,αn ) P(n) dan (β1 ,β2 ,.. .,βn ) P(n) :

(α1 ,α2 ,…,αn )+(β1 ,β2 ,...,βn )=(α1 +β1 ,α2 +b2 ,...,αn +βn ),
(α1 ,α2 ,…,αn )= (α1 , α2 ,…, αn ) R.

Dari pengertian penjumlahan vektor baris jelas dilakukan secara komponen. Sangat mudah untuk memeriksa bahwa P(n) adalah ruang linier di atas P.

Vektor 0=(0,…,0) adalah vektor nol (a+0=a a P(n)), dan vektor -a=(-α1,-α2,…,-αn) adalah kebalikan dari a (karena .a+(-a)=0).

Ruang linier P(n) disebut ruang berdimensi n dari vektor baris, atau ruang aritmatika berdimensi n.

Catatan 3. Kadang-kadang kita juga akan menyatakan dengan P(n) ruang aritmatika berdimensi n dari vektor kolom, yang berbeda dari P(n) hanya pada cara penulisan vektornya.

4. Misalkan himpunan M n (P) dari semua matriks orde ke-n dengan elemen-elemen dari bidang P. Ini adalah ruang linier di atas P, dimana matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol.

5. Perhatikan himpunan P[x] dari semua polinomial dalam variabel x dengan koefisien dari bidang P. Mudah untuk memverifikasi bahwa P[x] adalah ruang linier di atas P. Mari kita sebut sajaruang polinomial.

6. Misalkan P n [x]=( 0 xn +…+ n | i P, i=0,1,..,n) himpunan semua polinomial yang berderajat tidak lebih tinggi dari n bersama dengan

0. Ini adalah ruang linier di atas bidang P.P n [x] kami akan menelepon ruang polinomial derajat paling banyak n.

7. Mari kita nyatakan dengan Ф himpunan semua fungsi variabel real dengan domain definisi yang sama. Maka Ф adalah ruang linier di atas R.

DI DALAM Dalam ruang ini dapat ditemukan ruang linier lainnya, misalnya ruang fungsi linier, fungsi terdiferensiasi, fungsi berkelanjutan dan seterusnya.

8. Setiap bidang adalah ruang linier di atasnya.

Beberapa akibat wajar dari aksioma ruang linier

Akibat wajar 1. Misalkan L adalah ruang linier di atas bidang P. L memuat unsur nol 0 dan a L (-а) L (karena L merupakan golongan penjumlahan).

DI DALAM Berikut ini, elemen nol pada bidang P dan ruang linier L akan dilambangkan secara identik dengan

0. Hal ini biasanya tidak menimbulkan kebingungan.

Akibat wajar 2. 0 a=0 a L (0 P di sisi kiri, 0 L di sisi kanan).

Bukti. Mari kita pertimbangkan α a, di mana α adalah bilangan apa pun dari P. Kita mempunyai: α a=(α+0)a=α a+0 a, sehingga 0 a= α a +(-α a)=0.

Akibat wajar 3. α 0=0 α P.

Bukti. Pertimbangkan α a=α(a+0)=α a+α 0; maka α 0=0. Akibat wajar 4. α a=0 jika dan hanya jika α=0 atau a=0.

Bukti. Kecukupan dibuktikan dalam Akibat Akibat 2 dan 3.

Mari kita buktikan perlunya. Misalkan α a=0 (2). Misalkan α 0. Maka, karena α P, maka terdapat α-1 P. Mengalikan (2) dengan α-1, kita peroleh:

α-1 (α a)=α-1 0. Berdasarkan Akibat Akibat 2 α-1 0=0, yaitu α-1 (α a)=0. (3)

Sebaliknya, dengan menggunakan aksioma 2 dan 5 ruang linier, kita mendapatkan: α-1 (α a)=(α-1 α) a=1 a=a.

Dari (3) dan (4) diperoleh a=0. Investigasi telah terbukti.

Kami menyajikan pernyataan berikut tanpa bukti (validitasnya mudah diverifikasi).

Akibat wajar 5. (-α) a=-α a α P, a L. Akibat wajar 6. α (-a)=-α a α P, a L. Akibat wajar 7. α (a–b)=α a–α b α P, a,b L.

§ 2. Ketergantungan linier vektor

Misalkan L adalah ruang linier di atas bidang P dan a1 ,a2 ,…sebagai (1) adalah himpunan vektor berhingga dari L.

Himpunan a1 ,a2 ,…as disebut sistem vektor.

Jika b = α1 a1 +α2 a2 +…+αs sebagai , (αi P), maka dikatakan bahwa vektor b dinyatakan secara linear melalui sistem (1), atau adalah kombinasi linear vektor sistem (1).

Seperti dalam geometri analitik, dalam ruang linier seseorang dapat memperkenalkan konsep sistem vektor yang bergantung linier dan sistem vektor yang bebas linier. Mari kita lakukan ini dengan dua cara.

Definisi I. Sistem vektor berhingga (1) untuk s 2 disebut bergantung linier, jika setidaknya salah satu vektornya merupakan kombinasi linier dari vektor lainnya. Jika tidak (yaitu ketika tidak ada satupun vektornya yang merupakan kombinasi linier dari vektor lainnya), maka disebut independen linier.

Definisi II. Sistem vektor berhingga (1) disebut bergantung secara linear, jika ada himpunan bilangan α1 ,α2 ,…,αs , αi P, paling sedikit salah satu di antaranya tidak sama dengan 0 (himpunan tersebut disebut bukan nol), maka persamaannya berlaku: α1 a1 +…+ αs sebagai =0 (2).

Dari Definisi II kita dapat memperoleh beberapa definisi yang setara sistem bebas linier:

Definisi 2.

a) sistem (1) independen linier, jika dari (2) diperoleh α1 =…=αs =0.

b) sistem (1) independen linier, jika persamaan (2) dipenuhi hanya untuk semua αi =0 (i=1,…,s).

c) sistem (1) independen linier, jika ada kombinasi linier non-trivial dari vektor-vektor sistem ini yang berbeda dari 0, yaitu. jika β1 , …,βs adalah himpunan bilangan bukan nol, maka β1 a1 +…βs adalah 0.

Teorema 1. Untuk definisi s 2 ketergantungan linier I dan II setara.

Bukti.

I) Misalkan (1) bergantung linier menurut definisi I. Maka kita dapat berasumsi, tanpa kehilangan keumuman, bahwa sebagai =α1 a1 +…+αs-1 as-1 . Mari tambahkan vektor (-as) pada kedua ruas persamaan ini. Kita mendapatkan:

0= α1 a1 +…+αs-1 as-1 +(-1) as (3) (karena akibat wajar 5

(–sebagai ) =(-1) sebagai ). Dalam persamaan (3) koefisien (-1) adalah 0, dan oleh karena itu sistem (1) bergantung linier dan menurut definisi

II) Misalkan sistem (1) bergantung linier menurut definisi II, yaitu. ada himpunan bukan nol α1 ,…,αs, yang memenuhi (2). Tanpa kehilangan keumumannya, kita dapat berasumsi bahwa αs 0. Pada (2) kita menambahkan (-αs as) pada kedua ruas. Kita mendapatkan:

α1 a1 +α2 a2 +…+αs as - αs as = -αs as , sehingga α1 a1 +…+αs-1 as-1 = -αs as .

Karena αs 0, maka ada αs -1 P. Mari kalikan kedua ruas persamaan (4) dengan (-αs -1 ) dan gunakan beberapa aksioma ruang linier. Kita mendapatkan:

(-αs -1 ) (-αs as )= (-αs -1 )(α1 a1 +…+αs-1 as-1 ), sebagai berikut: (-αs -1 α1 ) a1 +…+(-αs - 1) αs-1 as-1 =as.

Mari kita perkenalkan notasi β1 = -αs -1 α1 ,…, βs-1 =(-αs -1 ) αs-1 . Maka persamaan yang diperoleh di atas akan ditulis ulang menjadi:

sebagai = β1 a1 +…+ βs-1 as-1 .

Karena s 2, paling sedikit terdapat satu vektor ai di ruas kanan. Kami menemukan bahwa sistem (1) bergantung linier menurut Definisi I.

Teorema tersebut telah terbukti.

Berdasarkan Teorema 1, jika perlu, untuk s 2 kita dapat menerapkan salah satu definisi ketergantungan linier di atas.

Catatan 1. Jika sistem hanya terdiri dari satu vektor a1, maka hanya definisi yang berlaku padanya

Misalkan a1 =0; maka 1a1 =0. Karena 1 0, maka a1 =0 adalah sistem bergantung linier.

Misalkan a1 0; maka α1 a1 ≠0, untuk sembarang α1 0. Artinya vektor bukan nol a1 bebas linier

Ada koneksi penting antara ketergantungan linier suatu sistem vektor dan subsistemnya.

Teorema 2. Jika beberapa subsistem (yaitu bagian) dari sistem vektor berhingga bergantung linier, maka seluruh sistem bergantung linier.

Pembuktian teorema ini tidak sulit untuk dilakukan sendiri. Ini dapat ditemukan di buku teks aljabar atau geometri analitik mana pun.

Akibat wajar 1. Semua subsistem dari sistem bebas linier adalah bebas linier. Diperoleh dari Teorema 2 melalui kontradiksi.

Catatan 2. Sangat mudah untuk melihat bahwa sistem yang bergantung linier dapat memiliki subsistem yang juga linier

Akibat wajar 2. Jika suatu sistem memuat 0 atau dua vektor proporsional (sama), maka sistem tersebut bergantung linier (karena subsistem yang terdiri dari 0 atau dua vektor proporsional bergantung linier).

§ 3. Subsistem independen linier maksimal

Definisi 3. Misalkan a1, a2,…,ak,…. (1) adalah sistem vektor ruang linier berhingga atau tak terhingga. Subsistem berhingga ai1, ai2, …, udara (2) disebut dasar sistem (1) atau subsistem bebas linier maksimum sistem ini jika dua kondisi berikut terpenuhi:

1) subsistem (2) bebas linier;

2) jika ada vektor aj dari sistem (1) ditugaskan ke subsistem (2), maka kita memperoleh ketergantungan linier

sistem ai1, ai2,…, udara, aj (3).

Contoh 1. Pada ruang Pn [x], perhatikan sistem polinomial 1,x1 , …, xn (4). Mari kita buktikan bahwa (4) bebas linier. Misalkan α0, α1,…, αn merupakan bilangan dari P sehingga α0 1+α1 x+...+αn xn =0. Kemudian, berdasarkan definisi persamaan polinomial, α0 =α1 =…=αn =0. Artinya sistem polinomial (4) bebas linier.

Sekarang mari kita buktikan bahwa sistem (4) adalah basis dari ruang linier Pn [x].

Untuk setiap f(x) Pn [x] kita mempunyai: f(x)=β0 xn +…+βn 1 Pn [x]; oleh karena itu, f(x) adalah kombinasi linier dari vektor (4); maka sistem 1,x1 , …, xn ,f(x) bergantung linier (menurut definisi I). Jadi, (4) adalah basis dari ruang linier Pn [x].

Contoh 2. Pada Gambar. 1 a1, a3 dan a2, a3 – basis sistem vektor a1,a2,a3.

Teorema 3. Subsistem (2) ai1 ,…, udara dari sistem berhingga atau tak terhingga (1) a1 , a2 ,…,as ,… adalah subsistem (basis) bebas linier maksimal dari sistem (1) jika dan hanya jika

a) (2) bebas linier; b) setiap vektor dari (1) dinyatakan secara linier melalui (2).

Kebutuhan . Misalkan (2) adalah subsistem bebas linier maksimal dari sistem (1). Maka dua kondisi dari Definisi 3 terpenuhi:

1) (2) bebas linier.

2) Untuk sembarang vektor a j dari (1) sistem ai1 ,…, ais ,aj (5) bergantung linier. Perlu dibuktikan bahwa pernyataan a) dan b) benar.

Kondisi a) bertepatan dengan 1); oleh karena itu, a) puas.

Selanjutnya, berdasarkan 2) terdapat himpunan bukan nol α1 ,...,αr ,β P (6) sehingga α1 ai1 +…+αr air +βaj =0 (7). Mari kita buktikan bahwa β 0 (8). Misalkan β=0 (9). Kemudian dari (7) kita peroleh: α1 ai1 +…+αr air =0 (10). Dari kenyataan bahwa himpunan (6) bukan nol dan β=0 maka α1 ,...,αr adalah himpunan bukan nol. Kemudian dari (10) diperoleh bahwa (2) bergantung linier, yang bertentangan dengan kondisi a). Hal ini dibuktikan (8).

Dengan menjumlahkan vektor (-βaj) pada kedua ruas persamaan (7), diperoleh: -βaj = α1 ai1 +…+αr air. Sejak β 0, maka

ada β-1 P; kalikan kedua ruas persamaan terakhir dengan β-1: (β-1 α1 )ai1 +…+ (β-1 αr )air =aj . Mari kita perkenalkan

notasi: (β-1 α1 )= 1 ,…, (β-1 αr )= r ; jadi, kita mendapatkan: 1 ai1 +…+ r air =aj ; oleh karena itu, kepuasan kondisi b) telah terbukti.

Kebutuhannya telah terbukti.

Kecukupan. Misalkan syarat a) dan b) dari Teorema 3 terpenuhi, maka perlu dibuktikan bahwa syarat 1) dan 2) dari Definisi 3 terpenuhi.

Karena kondisi a) bertepatan dengan kondisi 1), maka 1) terpenuhi.

Mari kita buktikan bahwa 2) berlaku. Berdasarkan kondisi b), sembarang vektor aj (1) dinyatakan secara linier melalui (2). Akibatnya, (5) bergantung linier (menurut definisi 1), yaitu. 2) terpenuhi.

Teorema tersebut telah terbukti.

Komentar. Tidak semua ruang linear mempunyai basis. Misalnya, tidak ada basis di ruang P[x] (jika tidak, derajat semua polinomial di P[x] akan, seperti berikut dari paragraf b) Teorema 3, dibatasi secara kolektif).

§ 4. Teorema utama tentang ketergantungan linier. Konsekuensinya

Definisi 4. Misalkan dua sistem berhingga dari vektor-vektor ruang linier L:a1 ,a2 ,…,al (1) dan

b1 ,b2 ,…,b (2).

Jika setiap vektor sistem (1) dinyatakan linier melalui (2), maka kita katakan sistem (1)

dinyatakan secara linear melalui (2). Contoh:

1. Subsistem apa pun dari suatu sistem 1 ,…,ai ,…,ak dinyatakan secara linier melalui keseluruhan sistem, karena

ai =0 a1 +…+1 ai +…+0 ak .

2. Setiap sistem vektor segmen dari R2 dinyatakan secara linier melalui sistem yang terdiri dari dua vektor bidang tidak segaris.

Definisi 5. Jika dua sistem vektor berhingga dinyatakan secara linier melalui satu sama lain, maka keduanya disebut ekuivalen.

Catatan 1. Jumlah vektor dalam dua sistem ekuivalen mungkin berbeda, seperti terlihat pada contoh berikut.

3. Setiap sistem ekuivalen dengan basisnya (mengikuti Teorema 3 dan Contoh 1).

4. Dua sistem apa pun vektor segmen dari R2, yang masing-masing memuat dua vektor yang tidak segaris, adalah ekuivalen.

Teorema berikut adalah salah satu pernyataan terpenting dalam teori ruang linier. Teorema dasar tentang ketergantungan linier. Misalkan dalam ruang linier L di atas bidang P diberikan dua

sistem vektor:

a1 ,a2 ,…,al (1) dan b1 ,b2 ,…,bs (2), dan (1) bebas linier dan dinyatakan secara linier melalui (2). Lalu aku s (3). Bukti. Kita perlu membuktikan ketidaksetaraan (3). Mari kita asumsikan sebaliknya, misalkan l>s (4).

Dengan syarat, setiap vektor ai dari (1) dinyatakan secara linier melalui sistem (2):

a1 =α11 b1 +α12 b2 +…+α1s bs a2 =α21 b1 +a22 b2 +…+α2s bs

…………………... (5)

al =αl1 b1 +αl2 b2 +…+αls bs .

Mari kita buat persamaan berikut: x1 a1 +x2 a2 +…+x1 al =0 (6), dimana xi adalah bilangan tak diketahui yang mengambil nilai dari bidang P (i=1,…,s).

Mari kita kalikan masing-masing persamaan (5) dengan x1,x2,…,xl, substitusikan ke (6) dan satukan suku-suku yang mengandung b1, lalu b2 dan terakhir bs. Kita mendapatkan:

x1 a1 +…+xl al = (α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl )b1	+ (α12 x1 +α22 x2 + … +αl2 xl )b2 + …+(α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl )bs =0.

Mari kita coba mencari solusi yang bukan nol	persamaan (6). Untuk melakukan ini, mari kita samakan semuanya dengan nol
koefisien untuk bi (i=1, 2,…,s) dan buatlah sistem persamaan berikut:
α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl =0
α12 x1 +α22 x2 +…+αl2 xl =0
…………………….

α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl =0.

(8) sistem persamaan s homogen untuk x yang tidak diketahui 1 ,…,xl . Dia selalu kooperatif.

DI DALAM karena pertidaksamaan (4) dalam sistem ini jumlah yang tidak diketahui nomor lebih banyak persamaan, dan oleh karena itu, sebagai berikut dari metode Gauss, persamaan tersebut direduksi menjadi bentuk trapesium. Artinya ada yang bukan nol

solusi sistem (8). Mari kita nyatakan salah satunya dengan x1 0 ,x2 0 ,…,xl 0 (9), xi 0 P (i=1, 2,…s).

Substitusikan bilangan (9) ke ruas kiri (7), kita peroleh: x1 0 a1 +x2 0 a2 +…+xl 0 al =0 b1 +0 b2 +…+0 bs =0. (10)

Jadi, (9) adalah solusi bukan nol untuk persamaan (6). Oleh karena itu, sistem (1) bergantung linier, dan hal ini bertentangan dengan kondisi. Oleh karena itu, asumsi kami (4) salah dan l s.

Teorema tersebut telah terbukti.

Akibat wajar dari teorema utama ketergantungan linier Akibat wajar 1. Dua sistem vektor bebas linier ekuivalen berhingga terdiri dari

jumlah vektor yang sama.

Bukti. Misalkan sistem vektor (1) dan (2) ekuivalen dan bebas linier. Untuk membuktikannya, kami menerapkan teorema utama dua kali.

Karena sistem (2) bebas linier dan dinyatakan secara linier melalui (1), kemudian dengan teorema utama l s (11).

Di sisi lain, (1) bebas linier dan dinyatakan secara linier melalui (2), dan dengan teorema utama s l (12).

Dari (11) dan (12) diperoleh s=l. Pernyataan itu terbukti.

Akibat wajar 2. Jika dalam suatu sistem vektor a1 ,…,as ,… (13) (berhingga atau tak terhingga) terdapat dua basis, maka keduanya terdiri dari jumlah vektor yang sama.

Bukti. Misalkan ai1 ,…,ail (14) dan aj1 ,..ajk (15) menjadi basis dari sistem (13). Mari kita tunjukkan bahwa keduanya setara.

Menurut Teorema 3, setiap vektor sistem (13) dinyatakan secara linier melalui basisnya (15), khususnya, setiap vektor sistem (14) dinyatakan secara linier melalui sistem (15). Demikian pula, sistem (15) dinyatakan secara linier melalui (14). Ini berarti bahwa sistem (14) dan (15) adalah ekuivalen dan berdasarkan akibat wajar 1 kita mendapatkan: l=k.

Pernyataan itu terbukti.

Definisi 6. Banyaknya vektor dalam basis sembarang suatu sistem vektor yang berhingga (tak terhingga) disebut pangkat sistem tersebut (jika tidak ada basis, maka pangkat sistem tersebut tidak ada).

Akibat wajar 2, jika sistem (13) mempunyai setidaknya satu basis, peringkatnya unik.

Catatan 2. Jika suatu sistem hanya terdiri dari vektor-vektor nol, maka kita asumsikan rank-nya adalah 0. Dengan menggunakan konsep rank, kita dapat memperkuat teorema utama.

Akibat wajar 3. Diberikan dua sistem vektor berhingga (1) dan (2), dan (1) dinyatakan secara linier melalui (2). Maka pangkat sistem (1) tidak melebihi pangkat sistem (2).

Bukti . Mari kita nyatakan pangkat sistem (1) dengan r1, pangkat sistem (2) dengan r2. Jika r1 =0, maka pernyataan tersebut benar.

Misalkan r1 0. Lalu r2 0, karena (1) dinyatakan secara linier melalui (2). Artinya sistem (1) dan (2) mempunyai basis.

Misalkan a1 ,…,ar1 (16) menjadi basis sistem (1) dan b1 ,…,br2 (17) menjadi basis sistem (2). Mereka bebas linier menurut definisi basisnya.

Karena (16) bebas linier, maka teorema utama dapat diterapkan pada pasangan sistem (16), (17). Dengan ini

teorema r1 r2 . Pernyataan itu terbukti.

Akibat wajar 4. Dua sistem vektor ekuivalen berhingga mempunyai pangkat yang sama. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita perlu menerapkan Akibat wajar 3 dua kali.

Catatan 3. Perhatikan bahwa pangkat suatu sistem vektor bebas linier sama dengan jumlah vektornya (karena dalam sistem bebas linier, satu-satunya basisnya bertepatan dengan sistem itu sendiri). Oleh karena itu, akibat wajar 1 adalah kasus spesial Akibat wajar 4. Namun tanpa bukti kasus khusus ini, kita tidak akan dapat membuktikan Akibat Akibat 2, memperkenalkan konsep pangkat suatu sistem vektor, dan memperoleh Akibat Akibat 4.

§ 5. Ruang linier berdimensi hingga

Definisi 7. Ruang linier L pada bidang P disebut berdimensi hingga jika terdapat paling sedikit satu basis di L.

Contoh dasar ruang linier berdimensi hingga:

1. Segmen vektor pada suatu garis lurus, bidang dan dalam ruang (ruang linier R1, R2, R3).

2. ruang aritmatika berdimensi n P(n) . Mari kita tunjukkan bahwa pada P(n) terdapat basis berikut: e1 =(1,0,…,0)

e2 =(0,1,…,0) (1)

id =(0,0,…1).

Mari kita buktikan terlebih dahulu bahwa (1) adalah sistem bebas linier. Mari kita buat persamaan x1 e1 +x2 e2 +…+xn en =0 (2).

Dengan menggunakan bentuk vektor (1), kita tulis ulang persamaan (2) sebagai berikut: x1 (1,0,…,0)+x2 (0,1,…,0)+…+xn (0,0,…, 1)=( x1 , x2 , …,xn )=(0,0,…,0).

Berdasarkan definisi persamaan vektor baris, berikut ini:

x1 =0, x2 =0,…, xn =0 (3). Oleh karena itu, (1) adalah sistem bebas linier. Mari kita buktikan bahwa (1) adalah basis dari ruang P(n) dengan menggunakan Teorema 3 tentang basis.

Untuk setiap a=(α1 ,α2 ,…,αn ) Pn kita mempunyai:

а=(α1 ,α2 ,…,αn )=(α1 ,0,…,0)+(0,α2 ,…,0)+(0,0,…,αn )= 1 e1 + 2 e2 +…+ dan id.

Artinya setiap vektor dalam ruang P(n) dapat dinyatakan secara linier melalui (1). Akibatnya, (1) adalah basis dari ruang P(n), dan oleh karena itu P(n) adalah ruang linier berdimensi hingga.

3. Ruang linier Pn [x]=(α0 xn +...+αn | αi P).

Mudah untuk memverifikasi bahwa basis ruang Pn [x] adalah sistem polinomial 1,x,…,xn. Jadi Pn

[X] adalah ruang linier berdimensi terbatas.

4. Ruang linier M n(P). Dapat dibuktikan bahwa himpunan matriks berbentuk Eij yang hanya memiliki elemen 1 yang bukan nol persimpangan ke-i baris dan kolom ke-j (i,j=1,…,n) merupakan basis Mn (P).

Akibat wajar dari teorema utama ketergantungan linier untuk ruang linier berdimensi hingga

Seiring dengan akibat wajar dari teorema ketergantungan linier utama 1–4, beberapa pernyataan penting lainnya dapat diperoleh dari teorema ini.

Akibat wajar 5. Dua basis dari ruang linier berdimensi hingga terdiri dari jumlah vektor yang sama.

Pernyataan ini merupakan kasus khusus Akibat Akibat 2 dari teorema ketergantungan linier utama yang diterapkan pada seluruh ruang linier.

Definisi 8. Banyaknya vektor dalam basis sembarang suatu ruang linier berdimensi berhingga L disebut dimensi ruang tersebut dan dilambangkan dengan dim L.

Berdasarkan Akibat wajar 5, setiap ruang linier berdimensi hingga memiliki dimensi unik. Definisi 9. Jika suatu ruang linier L berdimensi n, maka disebut berdimensi n

ruang linier. Contoh:

1. redup R 1 =1;

2. redupR 2 =2;

3. dimP (n) =n, yaitu P(n) adalah ruang linier berdimensi n, karena di atas, pada contoh 2 terlihat bahwa (1) adalah basis

P(n);

4. dimP n [x]=(n+1), karena, seperti yang mudah untuk diperiksa, 1,x,x2 ,…,xn adalah basis dari n+1 vektor pada ruang ini;

5. dimM n (P)=n2, karena terdapat tepat n2 matriks berbentuk Eij yang ditunjukkan pada contoh 4.

Akibat wajar 6. Dalam ruang linier berdimensi n L, sembarang n+1 vektor a1 ,a2 ,…,an+1 (3) merupakan sistem bergantung linier.

Bukti. Berdasarkan definisi dimensi ruang dalam L, terdapat basis dari n vektor: e1 ,e2 ,…,en (4). Mari kita perhatikan sepasang sistem (3) dan (4).

Mari kita asumsikan bahwa (3) bebas linier. Karena (4) adalah basis dari L, maka setiap vektor ruang L dapat dinyatakan secara linier melalui (4) (menurut Teorema 3 dari §3). Secara khusus, sistem (3) dinyatakan secara linier melalui (4). Dengan asumsi (3) bebas linier; maka teorema utama ketergantungan linier dapat diterapkan pada pasangan sistem (3) dan (4). Kita mendapatkan: n+1 n, yang tidak mungkin. Kontradiksi tersebut membuktikan bahwa (3) bergantung linier.

Investigasi telah terbukti.

Catatan 1. Dari Akibat wajar 6 dan Teorema 2 dari §2 kita peroleh bahwa dalam ruang linier berdimensi n, setiap sistem vektor berhingga yang memuat lebih dari n vektor bergantung linier.

Dari pernyataan ini berikut ini

Akibat wajar 7. Dalam ruang linier berdimensi n, setiap sistem bebas linier memuat paling banyak n vektor.

Catatan 2. Dengan menggunakan pernyataan ini kita dapat menetapkan bahwa beberapa ruang linier tidak berdimensi berhingga.

Contoh. Mari kita perhatikan ruang polinomial P[x] dan buktikan bahwa polinom tersebut tidak berdimensi hingga. Mari kita asumsikan bahwa dim P[x]=m, m N. Misalkan 1, x,…, xm – himpunan vektor (m+1) dari P[x]. Sistem vektor ini, seperti disebutkan di atas, bebas linier, yang bertentangan dengan asumsi bahwa dimensi P[x] sama dengan m.

Sangat mudah untuk memeriksa (menggunakan P[x]) bahwa ruang linier berdimensi hingga bukanlah ruang seluruh fungsi variabel real, ruang fungsi kontinu, dan sebagainya.

Akibat wajar 8. Setiap sistem vektor bebas linier berhingga a1 , a2 ,…,ak (5) dari ruang linier berdimensi hingga L dapat disuplementasikan ke basis ruang ini.

Bukti. Misal n=redup L. Mari kita pertimbangkan dua kemungkinan kasus.

1. Jika k=n, maka a 1 , a2 ,…,ak adalah sistem bebas linier yang terdiri dari n vektor. Berdasarkan Akibat wajar 7, untuk sembarang b L sistem a1 , a2 ,…,ak , b bergantung linier, yaitu (5) – dasar L.

2. Biarkan k n. Maka sistem (5) bukan basis dari L yang berarti terdapat vektor a k+1 L, bahwa a1 , a2 ,…,ak , ak+1 (6) adalah sistem bebas linier. Jika (k+1)

Berdasarkan Akibat wajar 7, proses ini berakhir setelah sejumlah langkah yang terbatas. Kita memperoleh basis a1 , a2 ,…,ak , ak+1 ,…,an dari ruang linier L yang memuat (5).

Investigasi telah terbukti.

Dari Akibat wajar 8 berikut ini

Akibat wajar 9. Setiap vektor bukan nol dari ruang linier berdimensi hingga L terkandung dalam beberapa basis L (karena vektor tersebut adalah sistem bebas linier).

Oleh karena itu, jika P adalah medan tak hingga, maka dalam ruang linier berdimensi hingga di atas medan P terdapat banyak basis yang tak terhingga (karena dalam L terdapat vektor-vektor berbentuk a, a 0, P\0) yang tak terhingga banyaknya.

§ 6. Isomorfisme ruang linier

Definisi 10. Dua ruang linier L dan L` pada satu bidang P disebut isomorfik jika terdapat bijeksi: L L` yang memenuhi syarat berikut:

1. (a+b)= (a)+ (b) a, b L,

2. (a)= (a) P, a L.

Pemetaan seperti itu sendiri disebut isomorfisme atau pemetaan isomorfik.

Sifat-sifat isomorfisme.

1. Dengan isomorfisme, vektor nol menjadi nol.

Bukti. Misalkan L dan: L L` merupakan isomorfisme. Karena a=a+0, maka (a)= (a+0)= (a)+ (0).

Karena (L)=L` maka dari persamaan terakhir jelas bahwa (0) (kita nyatakan dengan 0`) adalah vektor nol dari

2. Dengan isomorfisme, sistem bergantung linier berubah menjadi sistem bergantung linier. Bukti. Misalkan a1 , a2 ,…,sebagai (2) adalah suatu sistem yang bergantung linier dari L. Maka terdapatlah

himpunan bilangan bukan nol 1 ,…, s (3) dari P, sehingga 1 a1 +…+ s sebagai =0. Mari kita lakukan pemetaan isomorfik pada kedua sisi persamaan ini. Dengan mempertimbangkan definisi isomorfisme, kita memperoleh:

1 (a1 )+…+ s (as )= (0)=0` (kami menggunakan properti 1). Karena himpunan (3) bukan nol, maka dari persamaan terakhir diperoleh bahwa (1),..., (s) adalah sistem bergantung linier.

3. Jika: L L` isomorfisme, maka -1 : L` L juga isomorfisme.

Bukti. Karena merupakan bijeksi, maka terdapat bijeksi -1 : L` L. Kita perlu membuktikan bahwa jika a`,

Karena merupakan isomorfisme, maka a`+b`= (a)+ (b) = (a+b). Ini menyiratkan:

a+b= -1 ((a+b))= -1 ((a)+ (b)).

Dari (5) dan (6) kita mendapatkan -1 (a`+b`)=a+b= -1 (a`)+ -1 (b`).

Demikian pula, diperiksa bahwa -1 (a`)= -1 (a`). Jadi, -1 adalah isomorfisme.

Properti telah terbukti.

4. Dengan isomorfisme, sistem bebas linier berubah menjadi sistem bebas linier. Bukti. Misalkan: L L` adalah isomorfisme dan a1, a2,…,karena (2) adalah sistem bebas linier. Diperlukan

buktikan bahwa (a1), (a2),…, (as) (7) juga bebas linier.

Mari kita asumsikan bahwa (7) bergantung linier. Kemudian, ketika menampilkan -1, masuk ke sistem a1,...,as.

Berdasarkan sifat 3 -1 adalah isomorfisme, dan kemudian berdasarkan sifat 2, sistem (2) juga akan bergantung linier, yang bertentangan dengan kondisi. Oleh karena itu, asumsi kami salah.

Properti telah terbukti.

5. Dengan isomorfisme, basis sistem vektor apa pun menjadi basis sistem gambarnya. Bukti. Misalkan a1 , a2 ,…,as ,… (8) adalah sistem vektor linier berhingga atau tak terhingga

spasi L, : L L` adalah isomorfisme. Misalkan sistem (8) mempunyai basis ai1 , …,udara (9). Mari kita tunjukkan bahwa sistemnya

(a1),…, (ak),… (10) mempunyai basis (ai1),…, (udara) (11).

Karena (9) bebas linier, maka berdasarkan sifat 4 sistem (11) bebas linier. Mari kita tetapkan ke (11) vektor apa pun dari (10); kita peroleh: (ai1), …, (udara), (aj) (12). Perhatikan sistem ai1 , …,air , aj (13). Ini bergantung linier, karena (9) adalah basis dari sistem (8). Tapi (13) di bawah isomorfisme berubah menjadi (12). Karena (13) bergantung linier, maka berdasarkan sifat 2 sistem (12) juga bergantung linier. Artinya (11) merupakan basis dari sistem (10).

Menerapkan Properti 5 ke seluruh ruang linier berdimensi hingga L, kita peroleh

Pernyataan 1. Misalkan L adalah ruang linier berdimensi n di atas bidang P, : L L` isomorfisme. Maka L` juga merupakan ruang berdimensi berhingga dan redup L`= redup L = n.

Secara khusus, Pernyataan 2 benar. Jika ruang linier berdimensi hingga bersifat isomorfik, maka dimensinya sama.

Komentar. Dalam §7 validitas kebalikan dari pernyataan ini juga akan ditetapkan.

§ 7. Koordinat vektor

Misalkan L adalah ruang linier berdimensi hingga di atas bidang P dan e1 ,...,en (1) adalah suatu basis dari L.

Definisi 11. Misalkan a L. Mari kita nyatakan vektor a melalui basis (1), yaitu. a= 1 e1 +…+ n en (2), i P (i=1,…,n). Kolom (1,…, n)t (3) disebut kolom koordinat vektor a dalam basis (1).

Kolom koordinat vektor a pada basis e dilambangkan juga dengan [a], [a]e atau [1,.., n].

Seperti dalam geometri analitik, keunikan ekspresi vektor melalui basis dibuktikan, yaitu. keunikan kolom koordinat vektor pada basis tertentu.

Catatan 1. Di beberapa buku teks, alih-alih kolom koordinat, yang digunakan adalah garis koordinat (misalnya, di buku). Dalam hal ini, rumus yang diperoleh dalam bahasa kolom koordinat terlihat berbeda.

Teorema 4. Misalkan L adalah ruang linier berdimensi n di atas bidang P dan (1) menjadi basis dari L. Perhatikan pemetaan: a (1,..., n)t, yang mengasosiasikan sembarang vektor a dari L dengan kolom koordinatnya pada dasar (1). Maka adalah isomorfisme ruang L dan P(n) (P(n) adalah ruang aritmatika berdimensi n dari vektor kolom).

Bukti . Pemetaannya unik karena keunikan koordinat vektornya. Sangat mudah untuk memeriksa apakah itu bijection dan (a)= (a), (a)+ (b)= (a+b). Ini berarti isomorfisme.

Teorema tersebut telah terbukti.

Akibat wajar 1. Suatu sistem vektor a1 ,a2 ,…,pada ruang linier berdimensi berhingga L bergantung linier jika dan hanya jika sistem yang terdiri dari kolom-kolom koordinat vektor-vektor tersebut pada suatu basis ruang L bergantung linier.

Validitas pernyataan ini mengikuti Teorema 1 dan sifat isomorfisme kedua dan keempat. Catatan 2. Akibat wajar 1 memungkinkan kita mempelajari pertanyaan tentang ketergantungan linier sistem vektor di

dalam ruang linier berdimensi terbatas dapat direduksi menjadi penyelesaian pertanyaan yang sama untuk kolom-kolom matriks tertentu.

Teorema 5 (kriteria isomorfisme ruang linier berdimensi hingga). Dua ruang linier berdimensi hingga L dan L` pada satu bidang P bersifat isomorfik jika dan hanya jika keduanya mempunyai dimensi yang sama.

Kebutuhan. Misalkan L L` Berdasarkan Pernyataan 2 dari §6, dimensi L bertepatan dengan dimensi L1.

Kecukupan. Misalkan redup L = redup L`= n. Kemudian, berdasarkan Teorema 4, kita mendapatkan: L P(n)		dan L`P(n) . Dari sini
tidak sulit untuk mendapatkan L L` itu.
Teorema tersebut telah terbukti.
Catatan. Berikut ini, kita sering menyatakan ruang linier berdimensi n dengan Ln.
§ 8. Matriks transisi
Definisi 12. Biarkan dalam ruang linier Ln	dua basis diberikan:
e= (е1,...еn) dan e`=(e1`,...,e`n) (lama dan baru).
Mari kita perluas vektor-vektor dari basis e` menjadi basis e:
e`1 =t11 e1 +…+tn1 en
…………………..

e`n =t1n e1 +…+tnn en .

t11………t1n

T= ……………

tn1………tn

ditelepon matriks transisi dari basis e ke basis e`.

Perhatikan bahwa persamaan (1) mudah ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: e` = eT (2). Kesetaraan ini setara dengan mendefinisikan matriks transisi.

Catatan 1. Mari kita rumuskan aturan untuk membuat matriks transisi: untuk membuat matriks transisi dari basis e ke basis e`, semua vektor ej` dari basis e` yang baru perlu mencari kolom koordinatnya di basis lama e dan tuliskan sebagai kolom-kolom yang bersesuaian dari matriks T.

Catatan 2. Dalam buku, matriks transisi disusun baris demi baris (dari baris koordinat vektor-vektor basis baru ke basis lama).

Teorema 6. Matriks transisi dari satu basis ruang linier berdimensi n Ln di atas bidang P ke basis lainnya adalah matriks tak berdegenerasi orde ke-n dengan elemen-elemen dari bidang P.

Bukti. Misalkan T adalah matriks transisi dari basis e ke basis e`. Kolom-kolom matriks T, menurut definisi 12, adalah kolom-kolom koordinat dari vektor-vektor basis e` pada basis e. Karena e` adalah sistem bebas linier, maka berdasarkan Akibat Wajar 1 Teorema 4 kolom-kolom matriks T bebas linier, dan oleh karena itu |T|≠0.

Teorema tersebut telah terbukti.

Hal sebaliknya juga benar.

Teorema 7. Setiap matriks persegi tak berdegenerasi orde ke-n dengan elemen-elemen dari bidang P berfungsi sebagai matriks transisi dari satu basis ruang linier berdimensi-n Ln di atas bidang P ke basis lain Ln.

Bukti . Misalkan basis e = (e1, ..., en) dari ruang linier L dan matriks persegi non-tunggal diberikan

= t11………t1n

tn1………tn

orde ke-n dengan elemen-elemen dari bidang P. Dalam ruang linier Ln, pertimbangkan sistem vektor terurut e`=(e1 `,…,e`n), yang kolom-kolom matriks T adalah kolom koordinat di basis e .

Sistem vektor e` terdiri dari n vektor dan, berdasarkan Akibat Wajar 1 Teorema 4, bebas linier, karena kolom-kolom matriks T tak tunggal bebas linier. Oleh karena itu, sistem ini adalah basis dari ruang linier Ln, dan karena pilihan vektor sistem e` persamaan e`=eT berlaku. Artinya T adalah matriks transisi dari basis e ke basis e`.

Teorema tersebut telah terbukti.

Hubungan antara koordinat vektor a pada basis yang berbeda

Misalkan basis e=(е1,...еn) dan e`=(e1`,...,e`n) diberikan dalam ruang linier Ln dengan matriks transisi T dari basis e ke basis e` , yaitu (2) benar. Vektor a mempunyai koordinat pada basis e dan e` [a]e =(1 ,…, n)T dan [a]e` =(1 `,…,

n `)T , yaitu. a=e[a]e dan a=e`[a]e` .

Kemudian, di satu sisi, a=e[a]e , dan di sisi lain a=e`[a]e` =(eT)[a]e` =e(T[a]e` ) (kami menggunakan persamaan (2)). Dari persamaan ini kita mendapatkan: a=e[a]e =e(T[a]e` ). Oleh karena itu, karena keunikan pemuaian vektor pada basisnya

Ini menyiratkan persamaan [a]e =Т[a]e` (3), atau




	n` .

Hubungan (3) dan (4) disebut rumus transformasi koordinat ketika dasar ruang linier berubah. Mereka menyatakan koordinat vektor lama dalam bentuk koordinat vektor baru. Rumus ini dapat diselesaikan relatif terhadap koordinat vektor baru dengan mengalikan (4) di sebelah kiri dengan T-1 (matriks seperti itu ada karena T adalah matriks non-singular).

Kemudian kita mendapatkan: [a]e` =T-1 [a]e . Dengan menggunakan rumus ini, dengan mengetahui koordinat vektor pada basis lama e dari ruang linier Ln, Anda dapat mencari koordinatnya pada basis baru, e`.

§ 9. Subruang dari ruang linier

Definisi 13. Misalkan L adalah ruang linier pada bidang P dan H L. Jika H juga merupakan ruang linier pada P terhadap operasi yang sama dengan L, maka H disebut subruang ruang linier L.

Pernyataan 1. Subset H dari ruang linier L di atas bidang P adalah subruang dari L jika kondisi berikut terpenuhi:

1. h 1 +h2 H untuk sembarang h1 , h2 H;

2. h H untuk setiap h H dan P.

Bukti. Jika kondisi 1 dan 2 terpenuhi di H, maka penjumlahan dan perkalian dengan elemen bidang P ditentukan di H. Validitas sebagian besar aksioma ruang linier untuk H mengikuti validitasnya untuk L. Mari kita periksa beberapa di antaranya:

a) 0 h=0 H (karena kondisi 2);

b) h H kita mempunyai: (-h)=(-1)h H (karena kondisi 2).

Pernyataan itu terbukti.

1. Subruang dari setiap ruang linier L adalah 0 dan L.

2. R 1 – subruang dari ruang R2 vektor segmen pada bidang.

3. Ruang fungsi variabel riil, khususnya, memiliki subruang berikut:

a) fungsi linier berbentuk ax+b;

b) fungsi berkelanjutan; c) fungsi terdiferensiasi.

Salah satu cara universal untuk mengidentifikasi subruang dari setiap ruang linier dikaitkan dengan konsep lambung linier.

Definisi 14. Misalkan a1 ,…sebagai (1) adalah sistem vektor berhingga sembarang dalam ruang linier L. Mari kita sebut cangkang linier dari himpunan sistem ini ( 1 a1 +…+ s sebagai | i P) = . Cangkang linier sistem (1) juga dilambangkan dengan L(a1 ,…,as ).

Teorema 8. Lambung linier H dari setiap sistem vektor berhingga (1) dari ruang linier L adalah subruang berdimensi berhingga dari ruang linier L. Basis sistem (1) juga merupakan basis dari H, dan dimensi dari H sama dengan pangkat sistem (1).

Bukti. Misalkan H= . Dari definisi lambung linier dapat dengan mudah disimpulkan bahwa kondisi 1 dan 2 dari Pernyataan 1 terpenuhi. Berdasarkan pernyataan ini, H adalah subruang dari ruang linier L. Misalkan ai1 ,….,udara (2) menjadi basis sistem (1). Maka kita mendapatkan: vektor apa pun h H dinyatakan secara linier melalui (1) - menurut definisi kulit linier, dan (1) dinyatakan secara linier melalui basisnya (2). Karena (2) adalah sistem bebas linier, maka basisnya adalah N. Namun banyaknya vektor pada (2) sama dengan pangkat sistem (1). Ini berarti redupH=r.

Teorema tersebut telah terbukti.

Catatan 1. Jika H adalah subruang berdimensi hingga dari ruang linier L dan h1 ,...,hm adalah basis dari H, maka mudah untuk melihat bahwa H=