Membagi polinomial dengan kalkulator binomial. Cara menyelesaikan persamaan polinomial dalam matematika. Opsi Lab

Algoritma Euclidean untuk polinomial. Algoritma Euclidean memungkinkan Anda menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua polinomial, yaitu. polinomial dengan derajat tertinggi yang membagi kedua polinomial tersebut tanpa sisa.
Algoritme ini didasarkan pada fakta bahwa untuk dua polinomial dalam variabel yang sama, F(X) Dan G(X), ada polinomial seperti itu Q(X) Dan R(X) , masing-masing disebut hasil bagi dan sisa, yang mana

F(X) = G(X)∙Q(X) + R(X), (*)

dalam hal ini derajat sisanya lebih kecil dari derajat pembaginya, polinomial G(X), dan, sebagai tambahan, menurut polinomial ini F(X) Dan G(X) hasil bagi dan sisanya ditemukan secara unik. Jika persamaan (*) mempunyai sisa R(X) sama dengan polinomial nol (nol), maka dikatakan polinomial F(X) dibagi dengan G(X) tanpa sisa.
Algoritme ini terdiri dari pembagian berurutan dengan sisa polinomial pertama yang diberikan, F(X), Yang kedua, G(X):

F(X) = G(X)∙Q 1 (X) + R 1 (X), (1)

lalu jika R 1 (X) ≠ 0, – polinomial kedua yang diberikan, G(X), ke sisa pertama – ke polinomial R 1 (X):

G(X) = R 1 (X)∙Q 2 (X) + R 2 (X), (2)

R 1 (X) = R 2 (X)∙Q 3 (X) + R 3 (X), (3)

lalu jika R 3 (X) ≠ 0, – sisa kedua sampai ketiga:

R 2 (X) = R 3 (X)∙Q 4 (X) + R 4 (X), (4)

dll. Karena pada setiap tahapan derajat sisa berikutnya semakin berkurang, maka proses tersebut tidak dapat berlanjut tanpa batas waktu, maka pada tahapan tertentu kita pasti akan sampai pada keadaan dimana tahapan berikutnya, N+ sisa pertama R N+ 1 sama dengan nol:

R N–2 (X) = R N–1 (X)∙Q N (X) + R N (X),	(N)
R N–1 (X) = R N (X)∙Q N+1 (X) + R N+1 (X),	(N+1)
R N+1 (X) = 0.	(N+2)

Kemudian sisa bukan nol terakhir R N dan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar dari pasangan polinomial asal F(X) Dan G(X).
Memang benar, jika berdasarkan kesetaraan ( N+ 2) gantikan 0 sebagai gantinya R N + 1 (X) menjadi persamaan ( N+ 1), maka – persamaan yang dihasilkan R N – 1 (X) = R N (X)∙Q N + 1 (X) alih-alih R N – 1 (X) – menjadi kesetaraan ( N), ternyata R N – 2 (X) = R N (X)∙Q N + 1 (X) Q N (X) + R N (X), yaitu R N – 2 (X) = R N (X)(Q N + 1 (X) Q N (X) + 1), dst. Dalam persamaan (2) setelah substitusi kita memperolehnya G(X) = R N (X)∙Q(X), dan, akhirnya, dari persamaan (1) – itu F(X) = R N (X)∙S(X), Di mana Q Dan S– beberapa polinomial. Dengan demikian, R N (X) adalah pembagi persekutuan dari dua polinomial asli, dan fakta bahwa polinomial tersebut adalah yang terbesar (yaitu, derajat terbesar yang mungkin) mengikuti prosedur algoritma.
Jika pembagi persekutuan terbesar dari dua polinomial tidak mengandung variabel (yaitu bilangan), maka polinomial aslinya F(X) Dan G(X) disebut saling prima.

Definisi. Jika masing-masing dari dua polinomial habis dibagi oleh polinomial ketiga, maka polinomial tersebut disebut pembagi persekutuan dari dua polinomial pertama.

Pembagi Persekutuan Terbesar (PBT) dua polinomial disebut pembagi persekutuan derajat tertingginya.

GCD dapat dicari dengan menggunakan faktorisasi tak tereduksi atau menggunakan algoritma Euclidean.

Contoh 40 Temukan gcd polinomial
.

Larutan. Mari kita faktorkan kedua polinomialnya:

Dari perluasan tersebut terlihat bahwa GCD yang dibutuhkan adalah polinomial ( X– 1).

Contoh 41 Temukan gcd dari polinomial
Dan
.

Larutan. Mari kita faktorkan kedua polinomial tersebut.

Untuk polinomial
XX– 1) menurut skema Horner.

Untuk polinomial
akar rasional yang mungkin adalah bilangan 1, 2, 3 dan 6. Dengan menggunakan substitusi kami memverifikasi itu X= 1 adalah akarnya. Bagilah polinomial tersebut dengan ( X– 1) menurut skema Horner.

Oleh karena itu, , dimana perluasan trinomial kuadrat
diproduksi menggunakan teorema Vieta.

Membandingkan faktorisasi polinomial, kita menemukan bahwa GCD yang diperlukan adalah polinomial ( X– 1)(X– 2).

Demikian pula, Anda dapat menemukan GCD untuk beberapa polinomial.

Namun, metode mencari GCD dengan faktorisasi tidak selalu tersedia. Metode yang memungkinkan seseorang menemukan GCD untuk semua kasus disebut algoritma Euclidean.

Skema algoritma Euclid adalah sebagai berikut. Salah satu dari dua polinomial habis dibagi dengan polinomial lain yang derajatnya tidak lebih tinggi dari derajat polinomial pertama. Selanjutnya, pembagian tersebut setiap kali diambil sebagai polinomial yang menjadi pembagi pada operasi sebelumnya, dan sisa yang diperoleh pada operasi yang sama diambil sebagai pembagi. Proses ini berhenti segera setelah sisanya nol. Mari kita tunjukkan algoritma ini dengan contoh.

Mari kita lihat polinomial yang digunakan pada dua contoh sebelumnya.

Contoh 42 Temukan gcd dari polinomial
Dan
.

Larutan. Mari kita membagi
pada
"sudut":

Sekarang mari kita bagi dengan pembaginya
untuk sisanya X– 1:

X+ 1

Karena pembagian terakhir terjadi tanpa sisa, maka GCD akan terjadi X– 1, yaitu polinomial yang digunakan sebagai pembagi dalam pembagian ini.

Contoh 43 Temukan gcd dari polinomial
Dan
.

Larutan. Untuk mencari GCD kita akan menggunakan algoritma Euclidean. Mari kita membagi
pada
"sudut":

Mari kita buat divisi kedua. Untuk melakukan ini kita harus membagi pembagi sebelumnya
untuk sisanya
, tapi sejak itu
=
, untuk memudahkan kita akan membagi polinomialnya
tidak menyala
, dan seterusnya
. Penggantian seperti itu tidak akan mengubah penyelesaian masalah, karena gcd dari sepasang polinomial ditentukan hingga faktor konstan. Kita punya:

Sisanya ternyata sama dengan nol, yang berarti pembagi terakhir, yaitu polinomial

dan akan menjadi GCD yang diinginkan.

Fungsi rasional pecahan

Definisi dan pernyataan untuk 2.5 dapat ditemukan di .

Fungsi rasional pecahan dengan koefisien real disebut ekspresi bentuk , Di mana
Dan
- polinomial.

Fungsi rasional pecahan (selanjutnya kita sebut “pecahan”) disebut benar, jika derajat polinomial pada pembilangnya lebih kecil dari derajat polinomial pada penyebutnya. Kalau tidak, itu disebut salah.

Algoritma reduksi fraksi yang tidak tepat memilih bagian yang benar disebut “memilih seluruh bagian”.

Contoh 44 Pilih seluruh bagian pecahan:
.

Larutan. Untuk mengisolasi seluruh bagian pecahan, Anda perlu membagi pembilang pecahan dengan penyebutnya. Bagilah pembilang pecahan ini dengan penyebutnya menggunakan “sudut”:

Karena derajat polinomial yang dihasilkan lebih kecil dari derajat pembaginya, maka proses pembagian selesai. Pada akhirnya:

=
. Pecahan yang dihasilkan
benar.

Pecahan formulir
disebut paling sederhana jika φ( X ) adalah polinomial yang tidak dapat direduksi, dan derajatnya
kurang dari derajat φ( X ).

Komentar. Harap dicatat bahwa pangkat pembilang dan polinomial tak tereduksi pada penyebut dibandingkan (abaikan pangkat ).

Untuk pecahan dengan koefisien real, ada 4 jenis pecahan sederhana:

Pecahan apa pun yang tepat dapat direpresentasikan sebagai jumlah pecahan sederhana, yang penyebutnya semua kemungkinan pembaginya
.

Algoritma untuk menguraikan pecahan menjadi bentuk paling sederhana:

Jika pecahannya tidak wajar, maka kita pilih seluruh bagiannya, dan kita dekomposisi pecahan biasa yang dihasilkan menjadi pecahan sederhana.

Kami memfaktorkan penyebut pecahan biasa menjadi faktor.

Kita menulis pecahan biasa sebagai penjumlahan dari pecahan sederhana yang koefisiennya tidak dapat ditentukan.

Kita bawa jumlah pecahan di ruas kanan ke penyebut yang sama.

Menemukan koefisien yang belum ditentukan:

Baik dengan menyamakan koefisien pangkat yang sama dari pembilang tereduksi kiri dan kanan;

Atau dengan mengganti nilai tertentu (biasanya akar dari penyebut yang sama). X.

Kami menulis jawabannya dengan memperhitungkan seluruh bagian pecahan.

Contoh 45 Pecahkan menjadi yang paling sederhana
.

Larutan. Karena fungsi rasional pecahan ini salah, kita pilih seluruh bagiannya:

= 1 +
.

Mari kita perluas pecahan yang dihasilkan
hingga yang paling sederhana. Pertama, mari kita faktorkan penyebutnya. Untuk melakukan ini, kita mencari akarnya menggunakan rumus standar:

Mari kita tuliskan penguraian fungsi rasional pecahan menjadi bentuk paling sederhana, menggunakan koefisien tak tentu:

Mari kita bawa ruas kanan persamaan ke penyebut yang sama:

Kita membuat sistem dengan menyamakan koefisien pangkat yang sama pada pembilang pecahan kiri dan kanan:

Menjawab:
.

Contoh 46 Pecahkan menjadi yang paling sederhana
.

Larutan. Karena pecahan ini wajar (yaitu, pangkat pembilangnya lebih kecil dari pangkat penyebutnya), maka tidak perlu menyorot seluruh bagiannya. Mari kita faktorkan penyebut pecahan tersebut:

Mari kita tuliskan penguraian pecahan ini menjadi bentuk paling sederhana, dengan menggunakan koefisien tak tentu:

Menurut pernyataan tersebut, penyebut pecahan paling sederhana haruslah semua jenis pembagi penyebut pecahan:

. (2.2) Sistem persamaan dapat dibuat dengan menyamakan pembilang pecahan kiri dan kanan, tetapi dalam dalam contoh ini perhitungannya akan terlalu rumit. Teknik berikut akan membantu menyederhanakannya: kita substitusikan akar-akar penyebut ke dalam pembilangnya satu per satu.

Pada x = 1:

Pada X= ‑1:

Sekarang untuk menentukan koefisien yang tersisa A Dan DENGAN Cukup dengan menyamakan koefisien derajat tertinggi dan suku bebas. Mereka dapat ditemukan tanpa membuka tanda kurung:

Ruas kiri persamaan pertama berisi 0, karena pembilang pecahan kiri pada (2.2) tidak mengandung suku dengan , dan di pecahan kanan istilah dengan koefisien A + C. Ruas kiri persamaan kedua berisi 0, karena pembilang pecahan kiri pada (2.2) anggota bebas sama dengan nol, dan pembilang pecahan biasa pada (2.2) memiliki suku bebas sama dengan (‑ A + B + C + D). Kita punya:

Menjawab:
.

PEMBAGIAN POLINOMI. ALGORITMA EUCLID

§1. Pembagian polinomial

Saat membagi, polinomial direpresentasikan dalam bentuk kanonik dan disusun dalam pangkat huruf menurun, yang menentukan derajat pembagian dan pembagi. Derajat pembagi harus lebih besar atau sama dengan derajat pembagi.

Hasil pembagian adalah sepasang polinomial - hasil bagi dan sisanya, yang harus memenuhi persamaan:

< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток > .

Jika polinomial derajat nPn(x ) habis dibagi,

Polinomial derajat m Rk(x ) adalah pembagi ( n³m),

Polinomial Qn – m (x ) – hasil bagi. Derajat polinomial ini sama dengan selisih antara derajat pembagi dan pembagi,

Polinomial derajat k Rk (x ) adalah sisa dari ( k< m ).

Kesetaraan itu

Pn(x) = Fm(x) × Qn – m(x) + Rk(x) (1.1)

harus dipenuhi secara identik, yaitu tetap valid untuk sembarang nilai riil x.

Mari kita perhatikan sekali lagi bahwa derajatnya adalah sisanya k harus lebih kecil dari pangkat pembagi M . Tujuan sisanya adalah untuk melengkapi hasil kali polinomial Fm (x) dan Qn – m (x ) ke polinomial yang sama dengan dividen.

Jika hasil kali polinomial Fm (x) × Qn – m (x ) menghasilkan polinomial yang sama dengan pembagian, lalu sisanya R = 0. Dalam hal ini dikatakan pembagian dilakukan tanpa sisa.

Mari kita lihat algoritma pembagian polinomial menggunakan contoh spesifik.

Misalkan Anda ingin membagi polinomial (5x5 + x3 + 1) dengan polinomial (x3 + 2).

1. Bagilah suku terdepan dari pembagi 5x5 dengan suku utama dari pembagi x3:

Di bawah ini akan ditunjukkan bahwa dengan cara inilah suku pertama hasil bagi ditemukan.

2. Pembagi dikalikan dengan suku berikutnya (awalnya suku pertama) dari hasil bagi dan hasil kali ini dikurangi dari pembagian:

5x5 + x3 + 1 – 5x2(x3 + 2) = x3 – 10x2 + 1.

3. Dividen dapat direpresentasikan sebagai

5x5 + x3 + 1 = 5x2(x3 + 2) + (x3 – 10x2 +

Jika pada tindakan (2) derajat selisihnya ternyata lebih besar atau sama dengan derajat pembagi (seperti pada contoh yang dibahas), maka dengan perbedaan ini tindakan yang disebutkan di atas diulangi. Di mana

1. Suku terdepan selisih x3 dibagi suku utama pembagi x3:

Di bawah ini akan ditunjukkan bahwa suku kedua dalam hasil bagi ditemukan dengan cara ini.

2. Pembagi dikalikan dengan suku berikutnya (sekarang kedua) dari hasil bagi dan hasil kali ini dikurangi dari selisih terakhir

X3 – 10x2 + 1 – 1 × (x3 + 2) = – 10x2 – 1.

3. Kemudian selisih terakhir dapat direpresentasikan sebagai

X3 – 10x2 + 1 = 1 × (x3 + 2) + (–10x2 +

Jika derajat selisih berikutnya ternyata lebih kecil dari derajat pembagi (seperti pada pengulangan tindakan (2)), maka pembagian selesai dengan sisa yang sama dengan selisih terakhir.

Untuk memastikan bahwa hasil bagi adalah jumlah (5x2 + 1), kita substitusikan ke persamaan (1.2) hasil transformasi polinomial x3 – 10x2 + 1 (lihat (1.3)): 5x5 + x3 + 1 = 5x2(x3 + 2 ) + 1× (x3 + 2) + (– 10x2 – 1). Kemudian, setelah mengeluarkan faktor persekutuan (x3 + 2) dari tanda kurung, akhirnya kita peroleh

5x5 + x3 + 1 = (x3 + 2)(5x2 + 1) + (– 10x2 – 1).

Yang sesuai dengan persamaan (1.1), dianggap sebagai hasil pembagian polinomial (5x5 + x3 + 1) dengan polinomial (x3 + 2) dengan hasil bagi (5x2 + 1) dan sisanya (– 10x2 – 1).

Tindakan ini biasanya digambarkan dalam bentuk diagram yang disebut “pembagian dengan sudut”. Pada saat yang sama, dalam menuliskan pembagian dan selisih selanjutnya, diinginkan untuk menghasilkan syarat-syarat penjumlahan dalam semua pangkat argumen yang menurun tanpa penghilangan.

ukuran font:14.0pt;tinggi garis: 150%"> 5x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 2

5x5 +10x2 5x2 + 1

x3 –10x2 + 0x + 1

X3 + 2

–10x2 + 0x – 1

posisi:relatif; indeks-z:1">Kita melihat bahwa pembagian polinomial dilakukan dengan pengulangan tindakan yang berurutan:

1) di awal algoritma, suku terdepan dari pembagi, selanjutnya suku terdepan dari selisih berikutnya dibagi dengan suku terdepan dari pembagi;

2) hasil pembagian menghasilkan suku berikutnya dalam hasil bagi, yang dengannya pembagi dikalikan. Produk yang dihasilkan ditulis di bawah dividen atau selisih berikutnya;

3) polinomial bawah dikurangi dari polinomial atas dan, jika derajat selisih yang dihasilkan lebih besar atau sama dengan derajat pembagi, maka tindakan 1, 2, 3 diulangi dengannya.

Jika derajat selisih yang dihasilkan lebih kecil dari derajat pembaginya, maka pembagian selesai. Dalam hal ini, selisih terakhir adalah sisanya.

Contoh No.1

posisi:absolute;z-index: 9;kiri:0px;margin-kiri:190px;margin-atas:0px;lebar:2px;tinggi:27px">

4x2 + 0x – 2

4x2 ± 2x ± 2

Jadi, 6x3 + x2 – 3x – 2 = (2x2 – x – 1)(3x + 2) + 2x.

Contoh No.2

A3b2 + b5

A3b2 a2b3

– a2b3 + b5

± a2b3 ± ab4

Ab4 + b5

– ab4 b5

Dengan demikian , a5 + b5 = (a + b)(a4 –a3b + a2b2 – ab3 + b4).

Contoh №3

posisi:absolute;z-index: 26;kiri:0px;margin-kiri:132px;margin-atas:24px;lebar:194px;tinggi:2px"> x5 – kamu5 x – kamu

X5 x4y x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4

Х3у2 – у5

X3y2 ± x2y3

Hu 4 – tahun 5

Jadi, x5 – y5 = (x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4).

Generalisasi hasil yang diperoleh pada contoh 2 dan 3 adalah dua rumus perkalian yang disingkat:

(x + a)(x2 n – x2 n –1 a + x2 n –2 a 2 – ... + a2n) = x 2n+1 + a2n + 1;

(x – a)(x 2n + x 2n–1 a + x 2n–2 a2 + … + a2n) = x 2n+1 – a2n + 1, di mana n О N.

Latihan

Lakukan tindakan

1. (– 2x5 + x4 + 2x3 – 4x2 + 2x + 4) : (x3 + 2).

Jawaban: – 2x2 + x +2 – hasil bagi, 0 – sisa.

2. (x4 – 3x2 + 3x + 2) : (x – 1).

Jawaban: x3 + x2 – 2x + 1 – hasil bagi, 3 – sisa.

3. (x2 + x5 + x3 + 1) : (1 + x + x2).

Jawaban: x3 – x2 + x + 1 – hasil bagi, 2x – sisa.

4. (x4 + x2y2 + y4) : (x2 + xy + y2).

Jawaban: x2 – xy + y2 – hasil bagi, 0 – sisa.

5. (a 3 + b 3 + c 3 – 3 abc) : (a + b + c).

Jawaban: a 2 – (b + c) a + (b 2 – bc + c 2 ) – hasil bagi, 0 – sisa.

§2. Menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua polinomial

1. Algoritma Euclidean

Jika masing-masing dari dua polinomial habis dibagi oleh polinomial ketiga, maka polinomial ketiga tersebut disebut pembagi persekutuan dari dua polinomial pertama.

Pembagi persekutuan terbesar (PBT) dari dua polinomial adalah pembagi persekutuan yang derajatnya paling besar.

Perhatikan bahwa bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol adalah pembagi persekutuan dari dua polinomial mana pun. Oleh karena itu, bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol disebut pembagi persekutuan sepele dari polinomial tersebut.

Algoritme Euclidean mengusulkan serangkaian tindakan yang mengarah pada pencarian gcd dari dua polinomial tertentu, atau menunjukkan bahwa pembagi dalam bentuk polinomial derajat pertama atau lebih tinggi tidak ada.

Algoritma Euclidean diimplementasikan sebagai rangkaian pembagian. Pada pembagian pertama, polinomial dengan derajat yang lebih besar diperlakukan sebagai pembagi, dan polinomial dengan derajat yang lebih kecil diperlakukan sebagai pembagi. Jika polinomial yang ditemukan GCDnya memiliki derajat yang sama, maka pembagian dan pembaginya dipilih secara sembarang.

Jika pada pembagian berikutnya polinomial pada sisanya mempunyai derajat lebih besar atau sama dengan 1, maka pembaginya menjadi pembagi, dan sisanya menjadi pembagi.

Jika pembagian polinomial berikutnya menghasilkan sisa sama dengan nol, maka gcd polinomial tersebut telah ditemukan. Ini adalah pembagi dari divisi terakhir.

Jika pada pembagian polinomial berikutnya ternyata sisanya adalah bilangan yang tidak sama dengan nol, maka untuk polinomial tersebut tidak ada gcd selain yang sepele.

Contoh No.1

Kurangi pecahan .

Larutan

Mari kita cari gcd dari polinomial ini menggunakan algoritma Euclidean

1) x3 + 6x2 + 11x + 6 x3 + 7x2 + 14x + 8

X3 + 7x2 + 14x + 8 1

– x2 – 3x – 2

posisi:absolute;z-index: 37;kiri:0px;margin-kiri:182px;margin-atas:28px;lebar:121px;tinggi:2px">2) x3 + 7x2 + 14x + 8 – x2 – 3x – 2

X3 + 3x2 + 2x – x – 4

3x2 + 9x + 6

Dengan demikian,

posisi:absolute;z-index: 49;kiri:0px;margin-kiri:209px;margin-top:6px;lebar:112px;tinggi:20px"> ukuran font:14.0pt;tinggi garis:150%">Jawaban: ukuran font:14.0pt;tinggi garis:150%"> 2. Kemungkinan untuk menyederhanakan perhitungan GCD dalam algoritma Euclidean

Dalil

Saat mengalikan dividen dengan angka yang tidak sama dengan nol, hasil bagi dan sisanya dikalikan dengan angka yang sama.

Bukti

Misalkan P adalah pembagi, F adalah pembagi, Q adalah hasil bagi, dan R - sisa. Kemudian,

P = F × Q + R.

Mengalikan identitas ini dengan angka a ¹ 0, kita dapatkan

a P = F × (a Q) + a R,

di mana polinomialnya a P dapat dianggap sebagai dividen, dan polinomial sebuah Q dan sebuah R – sebagai hasil bagi dan sisa yang diperoleh dengan membagi polinomial a P ke polinomial F . Jadi, saat mengalikan dividen dengan angka sebuah¹ 0, hasil bagi dan sisanya juga dikalikan a, h.t.d

Konsekuensi

Mengalikan pembagi dengan angka sebuah¹ 0 dapat dianggap mengalikan dividen dengan angka tersebut.

Oleh karena itu, saat mengalikan suatu pembagi dengan suatu bilangan sebuah¹ 0 adalah hasil bagi dan sisanya dikalikan dengan .

Contoh No.2

Tentukan hasil bagi Q dan sisa R saat membagi polinomial

Ukuran font:14.0pt;tinggi garis:150%"> Larutan

Untuk mendapatkan koefisien bilangan bulat pada dividen dan pembagi, kita mengalikan dividen dengan 6, yang akan menghasilkan perkalian hasil bagi yang diinginkan dengan 6 Q dan sisanya R . Setelah itu, kalikan pembaginya dengan 5, yang akan menghasilkan hasil bagi 6 Q dan sisa 6 R pada . Akibatnya, hasil bagi dan sisa yang diperoleh dengan membagi polinomial dengan koefisien bilangan bulat akan berbeda beberapa kali lipat dari nilai hasil bagi yang diinginkan. Q dan sisanya R diperoleh dengan membagi polinomial ini.

12y4 – 22xy3 + 18x2y2 – 11x3y + 3x4 2y2 – 3xy + 5x2

12у4 ± 18ху3 30x2y2 6y2 – 2xy – 9x2 =

– 4x3 – 12x2y2 – 11x3y + 3x4

± 4ху3 6х2у2 ± 10х3у

– 18x2y2 – x3y + 3x4

± 18х2у2 27х3у ± 45х4

– 28х3у + 48х4 = font-size:14.0pt;line-height:150%">Oleh karena itu, ;

Menjawab: , .

Perhatikan bahwa jika pembagi persekutuan terbesar dari polinomial-polinomial ini ditemukan, maka dengan mengalikannya dengan bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol, kita juga akan memperoleh pembagi terbesar dari polinomial-polinomial tersebut. Keadaan ini memungkinkan untuk menyederhanakan perhitungan dalam algoritma Euclidean. Yaitu, sebelum pembagian berikutnya, pembilang atau pembagi dapat dikalikan dengan bilangan-bilangan yang dipilih secara khusus sehingga koefisien suku pertama hasil bagi adalah bilangan bulat. Seperti yang ditunjukkan di atas, mengalikan pembilang dan pembagi akan menyebabkan perubahan yang sesuai pada sisa sebagian, tetapi sebagai hasilnya, GCD dari polinomial ini akan dikalikan dengan suatu bilangan yang sama dengan nol, dan hal ini dapat diterima.

Contoh No.3

Kurangi pecahan .

Larutan

Menerapkan algoritma Euclidean, kita memperoleh

posisi:absolute;z-index: 59;kiri:0px;margin-kiri:220px;margin-atas:27px;lebar:147px;tinggi:2px">1) x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 x4 + x3 – 3x2 + 4

X4 x3 ± 3x2 ukuran font:14.0pt; tinggi garis:150%"> 4 1

2x3 + 6x2 + 3x – 2

ukuran font:14.0pt; tinggi garis:150%">2) 2(x4 + x3 – 3x2 + 4) = 2x4 + 2x3 – 6x2 + 8 2x3 + 6x2 + 3x – 2

2x4 6x3 3x2 ± 2x x – 2

– 4x3 – 9x2 + 2x + 8

± 4х3 ± 12х2 ± 6х ukuran font:14.0pt; tinggi garis:150%">4

3x2 + 8x + 4

3) 3(2x3 + 6x2 + 3x – 2) = 6x3 + 18x2 + 9x – 6 3x2 + 8x + 4

Ukuran font 6x3:14.0pt">Ukuran font 16x2:14.0pt">8x 2x +

1. Algoritma Euclidean

Jika masing-masing dari dua polinomial habis dibagi oleh polinomial ketiga, maka polinomial ketiga tersebut disebut pembagi persekutuan dari dua polinomial pertama.

Pembagi persekutuan terbesar (PBT) dari dua polinomial adalah pembagi persekutuan yang derajatnya paling besar.

Algoritma Euclidean diimplementasikan sebagai rangkaian pembagian. Pada pembagian pertama, polinomial yang derajatnya lebih besar dianggap sebagai pembagi, dan polinomial yang derajatnya lebih kecil dianggap sebagai pembagi. Jika polinomial yang ditemukan GCDnya memiliki derajat yang sama, maka pembagian dan pembaginya dipilih secara sembarang.

Jika pada pembagian berikutnya polinomial pada sisanya mempunyai derajat lebih besar atau sama dengan 1, maka pembaginya menjadi pembagi dan sisanya menjadi pembagi.

Jika pembagian polinomial berikutnya menghasilkan sisa sama dengan nol, maka gcd polinomial tersebut telah ditemukan. Ini adalah pembagi dari divisi terakhir.

Jika pada pembagian polinomial berikutnya ternyata sisanya adalah bilangan yang tidak sama dengan nol, maka untuk polinomial tersebut tidak ada gcd selain yang sepele.

Contoh No.1

Kurangi pecahan.

2. Kemungkinan untuk menyederhanakan perhitungan GCD dalam algoritma Euclidean

Saat mengalikan dividen dengan angka yang tidak sama dengan nol, hasil bagi dan sisanya dikalikan dengan angka yang sama.

Bukti

Misalkan P adalah pembagian, F adalah pembagi, Q adalah hasil bagi, dan R adalah sisanya. Kemudian,

Mengalikan identitas ini dengan angka 0, kita peroleh

dimana polinomial P dapat dianggap sebagai pembagian, dan polinomial Q dan R - sebagai hasil bagi dan sisa yang diperoleh dengan membagi polinomial P dengan polinomial F. Jadi, ketika mengalikan pembagian dengan angka 0, hasil bagi dan sisanya adalah juga dikalikan dengan, h.t.d

Konsekuensi

Mengalikan pembagi dengan angka 0 dapat disamakan dengan mengalikan pembagi dengan angka tersebut.

Oleh karena itu, jika suatu pembagi dikalikan dengan suatu bilangan, 0 adalah hasil bagi dan sisanya dikalikan.

Contoh No.2

Temukan hasil bagi Q dan sisa R saat membagi polinomial

algoritma pembagian polinomial Euclidean

Untuk mendapatkan koefisien bilangan bulat pada dividen dan pembagi, kita mengalikan dividen dengan 6, yang akan menghasilkan perkalian hasil bagi yang diinginkan Q dan sisa R dengan 6. Setelah itu, kita mengalikan pembagi dengan 5, yang akan menghasilkan perkalian hasil bagi 6Q dan sisanya 6R dengan. Akibatnya, hasil bagi dan sisa yang diperoleh dengan membagi polinomial dengan koefisien bilangan bulat akan berbeda beberapa kali lipat dari nilai hasil bagi Q dan sisa R yang diinginkan yang diperoleh dengan membagi polinomial tersebut.

Karena itu, ;

Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Manusia menggunakan persamaan pada zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Polinomial adalah jumlah aljabar hasil kali bilangan, variabel, dan pangkatnya. Mengonversi polinomial biasanya melibatkan dua jenis soal. Ekspresinya perlu disederhanakan atau difaktorkan, mis. menyatakannya sebagai hasil kali dua atau lebih polinomial atau monomial dan polinomial.

Untuk menyederhanakan polinomial, berikan suku-suku serupa. Contoh. Sederhanakan ekspresi \ Temukan monomial dengan bagian huruf yang sama. Lipat. Tuliskan ekspresi yang dihasilkan: \ Anda telah menyederhanakan polinomialnya.

Untuk soal yang memerlukan pemfaktoran suatu polinomial, tentukan faktor persekutuan dari persamaan yang diberikan. Untuk melakukan ini, pertama-tama hapus variabel-variabel yang termasuk dalam semua anggota ekspresi dari tanda kurung. Selain itu, variabel-variabel tersebut harus memiliki indikator yang paling rendah. Kemudian hitung pembagi persekutuan terbesar dari masing-masing koefisien polinomial tersebut. Modulus bilangan yang dihasilkan akan menjadi koefisien pengali persekutuan.

Contoh. Faktorkan polinomialnya \ Keluarkan dari tanda kurung \ karena variabel m termasuk dalam setiap suku persamaan ini dan eksponen terkecilnya adalah dua. Hitung faktor pengali persekutuan. Itu sama dengan lima. Jadi, faktor persekutuan dari persamaan ini adalah \ Oleh karena itu: \

Di mana saya bisa menyelesaikan persamaan polinomial secara online?

Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https://site. Pemecah online gratis ini memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan online dengan kompleksitas apa pun dalam hitungan detik. Yang perlu Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam pemecah. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda masih memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu dengan senang hati membantu Anda.