Dalam pelajaran ini kita akan mengenal rumus kuadrat jumlah dan kuadrat selisih serta menurunkannya. Mari kita buktikan rumus kuadrat jumlah tersebut secara geometris. Selain itu, kami akan menyelesaikan banyak contoh berbeda menggunakan rumus ini.
Perumusan topik pelajaran
Perhatikan rumus kuadrat jumlah tersebut:
Penurunan dan pembuktian rumus jumlah kuadrat
Jadi, kami telah membuat rumus kuadrat dari jumlah tersebut:
Kata-berat-tetapi rumus ini dinyatakan seperti ini: kuadrat jumlah sama dengan kuadrat bilangan pertama ditambah dua kali lipat pro-iz-ve- membagi bilangan pertama dengan bilangan kedua ditambah kuadrat bilangan kedua .
Bentuk ini mudah untuk direpresentasikan sebagai geo-met-ri-che-ski.
Misalkan sebuah persegi dengan seratus:
Daerah persegi.
Sebaliknya, persegi yang sama dapat direpresentasikan secara berbeda dengan membagi persegi menjadi a dan b (Gbr. 1).
Beras. 1. Kotak
Maka luas persegi dapat direpresentasikan sebagai jumlah luas:
Karena perseginya sama, maka luasnya sama, artinya:
Jadi, kami melakukan-ka-za-li geo-met-ri-che-ski untuk-mu-lu square-ra-ta jumlah.
Contoh penyelesaian menggunakan rumus kuadrat jumlah
Perhatikan contoh:
Contoh 1:
Komentar: Contohnya diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadrat jumlah.
Contoh 2:
Contoh 3:
Penurunan rumus selisih kuadrat
Perbedaan Anda-kita-kita-bentuk-mu-lu-persegi-ta:
Jadi, kami telah membuat perbedaan quad-ra-ta:
Kata-berat-tetapi rumus ini dinyatakan seperti ini: kuadrat selisihnya sama dengan kuadrat bilangan pertama dikurangi dua kali lipat pro- dari bilangan pertama ke bilangan kedua ditambah kuadrat bilangan kedua.
Contoh penyelesaian menggunakan rumus selisih kuadrat
Perhatikan contoh:
Contoh 4:
Contoh 5:
Contoh 6:
Rumus kuadrat jumlah dan kuadrat selisih dapat digunakan dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Jika digunakan dari kiri ke kanan, ini akan menjadi rumus kecerdasan yang disingkat, digunakan saat Anda memberi nomor dan menyiapkan contoh. Dan bila menggunakan kanan ke kiri, rumusnya dibagi menjadi beberapa kelipatan.
Mari kita lihat beberapa contoh di mana Anda perlu membagi polinomial tertentu menjadi multiplisitas menggunakan bentuk - kuadrat jumlah dan kuadrat selisihnya. Untuk melakukan ini, Anda perlu memperhatikan polinomial dengan cermat dan menentukan dengan tepat bagaimana polinomial tersebut harus dibagi.
Menyelesaikan contoh faktorisasi polinomial
Contoh 7:
Komentar: Untuk menguraikan suku polinomial menjadi multiplisitas, Anda perlu menentukan apa yang direpresentasikan dalam ekspresi tertentu. Jadi, kita melihat persegi dan persegi sebagai satu kesatuan. Sekarang Anda perlu menemukan produk yang digandakan - ini adalah . Jadi, semua elemen yang diperlukan ada di sana, Anda hanya perlu menentukan apakah ini kuadrat jumlah atau selisihnya. Ada tanda tambah di depan hasil perkalian yang digandakan, artinya kita mempunyai kuadrat dari jumlah tersebut.
Contoh 8:
Contoh 9:
Komentar: untuk menyelesaikan contoh ini, Anda perlu menghilangkan tanda minus di luar tanda kurung agar Anda dapat melihat bentuk yang kita perlukan.
Menyelesaikan berbagai masalah umum menggunakan rumus jumlah dan selisih kuadrat
Mari kita lanjutkan ke penyelesaian persamaan:
Contoh 10:
Komentar: untuk menyelesaikan persamaan ini, Anda perlu menyederhanakan ruas kiri menggunakan rumus selisih kuadrat dan selisih kuadrat, lalu bawa suku-suku sejenisnya. Setelah itu, pindahkan semua suku yang tidak diketahui ke ruas kiri, dan suku bebas ke ruas kanan, lalu selesaikan persamaan linear dasar.
Contoh 11:
Hitung: .
Komentar: untuk menyelesaikan contoh ini, Anda perlu menggunakan rumus selisih antara kuadrat dan kuadrat jumlah, lalu mencuri pecahannya.
Contoh 12:
Untuk membuktikan kesetaraan:
Bagi menjadi kelipatan:
Dari setiap multiplisitas Anda mengurangi satu dalam tanda kurung:
Kita telah mencapai persamaan (a - b)2 = (b - a)2.
Persamaan ini sangat berguna saat menyederhanakan persamaan Anda. Mari kita lihat sebuah contoh.
Contoh 13:
Bagi menjadi banyak: .
Contoh 14:
Asalkan kuadrat seluruh bilangan ganjil dikurangi satu habis dibagi delapan.
Kita membayangkan bilangan ganjil bebas sebagai , dan kuadratnya sebagai . Mari kita menulis sesuai dengan ketentuan berikut:
Mari sederhanakan ekspresi yang dihasilkan:
Untuk membuktikan bahwa nilai yang dihasilkan adalah kelipatan delapan, kita perlu membuktikan bahwa nilai tersebut habis dibagi 2 dan 4. Jelas bahwa Anda adalah kelipatan dari apa, karena memiliki faktor 4. Oleh karena itu, kita perlu membuktikan itu -lit-xia pada 2.
Pencatatan adalah produksi dua bilangan berikutnya, dan selalu merupakan kelipatan dua, karena dari dua bilangan berikutnya dari semua bilangan, yang satu akan selalu genap, dan yang kedua, karenanya, ganjil, dan konversi bilangan genap menjadi ganjil Kelipatan dua berarti kelipatan delapan. Jadi, kita telah menyadari bahwa kuadrat seluruh bilangan ganjil, dikurangi satu, habis dibagi delapan.
Kesimpulan dari pelajaran
Kesimpulan: dalam pelajaran ini, kita membuat rumus kuadrat jumlah dan kuadrat selisihnya dan belajar menyelesaikan berbagai macam masalah menggunakan rumus ini.
Pada pembelajaran kali ini kita akan mengingat kembali rumus-rumus perkalian singkat yang telah kita pelajari sebelumnya, yaitu kuadrat jumlah dan kuadrat selisihnya. Mari kita turunkan rumus selisih kuadrat dan selesaikan berbagai masalah umum menggunakan rumus ini. Selain itu, kami akan memecahkan masalah yang melibatkan penerapan beberapa rumus secara kompleks.
Rumusan topik dan tujuan pelajaran serta pengingat materi pelajaran sebelumnya
Ingatlah bahwa pada pelajaran sebelumnya kita telah mempelajari rumus kuadrat jumlah dan kuadrat selisihnya. Kami menuliskannya:
Penurunan rumus selisih kuadrat
Anda-ve-dem untuk-mu-lu quad-ra-tov yang berbeda-no-sti. Anda dapat mengalikan dua suku sesuai aturan:
Kata-kata dari formulir ini terlihat seperti ini: selisih kuadrat dua nilai sama dengan hasil kali jumlah nilai-nilai ini ra-zhe-niy dengan selisihnya.
Kami menyebutnya selisih kuadrat.
Kita menyebut persegi itu berbeda; kita tidak boleh mengacaukan kedua ekspresi ini.
Contoh penggunaan langsung rumus dan rumusan standard error
Pertimbangan penggunaan rumus dalam tugas tertentu. Mari kita mulai dengan tugas penerapan langsung rumus tersebut.
Contoh 1: 
.
Mari kita ambil untuk , untuk , katakanlah:
.
Kami menulis sesuai dengan bentuk:
Kembali ke perubahan awal:
Kesalahan standar:
menurut saya, dalam tanda kurung yang diberi tanda plus titik lemah kita peroleh:
.
Seringkali, dengan pi-si seperti itu, mereka menentukan kotak mana yang harus Anda hormati:
Contoh penyelesaian untuk penerapan langsung rumus
Contoh 2:
Komentar: jika Anda peduli dengan tenaga kerja, Anda dapat, seperti contoh sebelumnya, mengganti salah satu tanda Anda dengan a, dan tanda kedua dengan b, agar lebih mudah melihat bentuk yang diinginkan.
Contoh 3:
Komentar: dalam contoh ini, Anda harus berhati-hati dan tidak melakukan kesalahan yang sama seperti dijelaskan di atas. Untuk melakukan ini, akan lebih mudah untuk mengubah titik lemah di braket pertama.
Mari kita kembali ke penerapan rumus sebaliknya - membaginya menjadi banyak.
Contoh 4:
Komentar: contoh diselesaikan dari definisi selisih kuadrat. Anda hanya perlu menentukan kuadrat kemunculan suku pertama dan suku kedua.
Contoh 5:
Contoh 6:
Komentar: dalam contoh ini Anda perlu mempelajari formulir beberapa kali. Dimungkinkan untuk memperoleh bentuk standar polinomial dari hasil yang diperoleh di akhir rumus yang panjang, kemudian perlu berbusa, tetapi tekan kembali tanda kurung menjadi satu dan lipat ke bentuk yang paling sederhana.
Contoh penerapan kompleks beberapa rumus
Jenis soal selanjutnya adalah penerapan beberapa rumus secara ko-bi-ni-ro-van.
Contoh 7 - sederhanakan:
Komentar: dalam contoh ini, Anda perlu menggunakan dua rumus: kuadrat berbeda dan kuadrat IMS berbeda, dengan cara terbaik, ada anggota yang serupa.
Contoh 8:
Memecahkan persamaan dan masalah komputasi
Mari kita lanjutkan ke penyelesaian persamaannya.
Contoh 9:
Kami sedang mencari nomornya untuk Anda.
Contoh 10:
Contoh 11:
Kesimpulan pelajaran dan pekerjaan rumah
Kesimpulan: dalam pelajaran ini, kita merumuskan berbagai jenis quad-ra-tov dan menyelesaikan banyak contoh yang berbeda, yaitu persamaan -no-niya, bilangan kamu untuk-da-chi, for-da-nia untuk penggunaan langsung dan terbalik kamu- ve-den- tidak ada bentuk-mu-ly dan lain-lain. Selain itu, kami memecahkan beberapa masalah yang melibatkan penerapan beberapa rumus secara kompleks.
Pada pelajaran kali ini kita akan melanjutkan mempelajari rumus-rumus perkalian yang disingkat yaitu kita akan melihat rumus selisih dan jumlah pangkat tiga. Selain itu, kami akan menyelesaikan berbagai masalah umum menggunakan rumus ini.
Penurunan rumus selisih kubus
Saat mempelajari rumus kepintaran jangka pendek, kita telah mempelajari:
Kuadrat jumlah dan selisih;
Perbedaan persegi-ra-tov.
Anda akan merumuskan kubus yang berbeda.
Tujuan kami adalah untuk menunjukkan bahwa ketika tanda kurung di sisi kanan dibuka dan titik lemah serupa diperkenalkan, kami akan -dem di re-zul-ta-te ke sisi kiri.
Anda menyebutnya kuadrat jumlah yang tidak lengkap, karena tidak ada dua di depan hasil kali you-ra-zhe-niy.
Penurunan rumus jumlah kubus
Definisi
Selisih antara pangkat tiga dari dua ekspresi adalah hasil kali selisih antara ekspresi tersebut dan kuadrat tak lengkap dari jumlah keduanya.
Anda mempunyai rumus jumlah kubus.
Anda penuh dengan istilah perkalian yang cerdas:
Q.E.D.
Anda menyebutnya selisih kuadrat tidak lengkap, karena tidak ada dua di depan hasil kali -tidak-kamu-sama.
Masalah dalam menyederhanakan ekspresi
Definisi
Jumlah pangkat tiga dari dua ekspresi adalah hasil kali jumlah ekspresi tersebut dengan kuadrat tak lengkap selisihnya.
Contoh 1 - untuk menyederhanakan perhitungan:
Biarkan dan , kita punya:
Ini adalah studi tentang bentuk-mu-la - variasi kubus:
Contoh 2 - untuk menyederhanakan perhitungan:
Biarkan dan , kita punya:
Ini adalah studi tentang rumus - jumlah kubus.
Digunakan untuk menyederhanakan perhitungan, serta memfaktorkan polinomial, perkalian cepat polinomial. Kebanyakan rumus perkalian yang disingkat dapat diperoleh dari binomial Newton - Anda akan segera melihatnya.
Rumus persegi lebih sering digunakan dalam perhitungan. Mereka mulai dipelajari kurikulum sekolah Mulai dari kelas 7 hingga akhir pelajaran, anak sekolah harus hafal rumus persegi dan kubus.
Rumus kubus tidak terlalu rumit dan Anda perlu mengetahuinya saat mereduksi polinomial ke bentuk standar, untuk menyederhanakan menaikkan jumlah atau selisih suatu variabel dan bilangan ke pangkat tiga.
Rumus yang diberi tanda warna merah diperoleh dari rumus sebelumnya dengan mengelompokkan suku-suku sejenis.
Rumus derajat keempat dan kelima V kursus sekolah Hanya sedikit orang yang akan merasakan manfaatnya, tetapi ada masalah dalam studi matematika tingkat tinggi di mana Anda perlu menghitung koefisien pangkat.
Rumus gelar n ditulis melalui koefisien binomial menggunakan faktorial berikut 
Contoh penggunaan rumus perkalian yang disingkat
Contoh 1. Hitung 51^2.
Larutan. Jika Anda memiliki kalkulator, Anda dapat menemukannya tanpa masalah.
Saya bercanda - semua orang bijak dengan kalkulator, tanpanya... (jangan membicarakan hal-hal yang menyedihkan).
Tanpa kalkulator dan mengetahui aturan di atas, kita mencari kuadrat suatu bilangan menggunakan aturan tersebut
Contoh 2. Temukan 99^2.
Larutan. Mari kita terapkan rumus kedua
Contoh 3: Kuadratkan ekspresi
(x+y-3).
Larutan. Kami secara mental menganggap jumlah dua suku pertama sebagai satu suku dan, dengan menggunakan rumus kedua untuk perkalian yang disingkat, kami mendapatkan
Contoh 4. Temukan selisih kuadrat
11^2-9^2.
Larutan. Karena angkanya kecil, Anda cukup mengganti nilai kuadratnya
Namun tujuan kami sangat berbeda - mempelajari cara menggunakan rumus perkalian yang disingkat untuk menyederhanakan penghitungan. Untuk contoh ini, kami menerapkan rumus ketiga
Contoh 5. Temukan selisih kuadrat
17^2-3^2
.
Larutan. Dalam contoh ini, Anda pasti ingin mempelajari aturan untuk mengurangi penghitungan menjadi satu baris
Seperti yang Anda lihat, kami tidak melakukan sesuatu yang mengejutkan.
Contoh 6: Sederhanakan sebuah ekspresi
(x-y)^2-(x+y)^2.
Larutan. Anda dapat menyusun kotak dan kemudian mengelompokkan istilah serupa. Namun, perbedaan kuadrat dapat langsung diterapkan 
Sederhana dan tanpa solusi panjang.
Contoh 7. Kubus suatu polinomial
x^3-4.
Solusi. Mari kita terapkan 5 rumus perkalian yang disingkat 
Contoh 8. Tulislah selisih kuadrat atau jumlah keduanya
a) x^2-8x+7
b) x^2+4x+29
Larutan. a) Susun ulang syarat-syaratnya
b) Sederhanakan berdasarkan argumen sebelumnya 
Contoh 9. Perluas pecahan rasional
Larutan. Mari kita terapkan rumus selisih kuadrat 
Mari kita buat sistem persamaan untuk menentukan konstanta
Mari kita tambahkan persamaan kedua ke persamaan pertama yang dikalikan tiga kali lipat. Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam persamaan pertama 
Dekomposisi akhirnya akan terbentuk 
Memperluas pecahan rasional sering kali diperlukan sebelum melakukan integrasi untuk mengurangi pangkat penyebutnya.
Contoh 10. Dengan menggunakan binomial Newton, tulislah
ekspresi (xa)^7.
Larutan. Anda mungkin sudah mengetahui apa itu binomial Newton. Jika tidak, berikut adalah koefisien binomialnya
Mereka dibentuk sebagai berikut: unit-unit berjalan di sepanjang tepi, koefisien di antara mereka di garis bawah dibentuk dengan menjumlahkan koefisien-koefisien teratas yang berdekatan. Jika kita mencari perbedaan sampai batas tertentu, maka tanda-tanda pada jadwal bergantian dari plus ke minus. Jadi, untuk urutan ketujuh kita mendapatkan tata letak berikut
Perhatikan juga dengan cermat bagaimana indikator berubah - untuk variabel pertama masing-masing berkurang satu di setiap suku berikutnya, dan untuk variabel kedua meningkat satu. Secara total, indikator harus selalu sama dengan derajat dekomposisi (=7).
Saya rasa berdasarkan materi di atas Anda akan dapat menyelesaikan masalah dengan menggunakan binomial Newton. Pelajari rumus perkalian yang disingkat dan terapkan di mana pun rumus tersebut dapat menyederhanakan perhitungan dan menghemat waktu dalam mengerjakan tugas.
Di antara berbagai ekspresi yang dibahas dalam aljabar, jumlah monomial menempati tempat yang penting. Berikut adalah contoh ekspresi tersebut:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Jumlah monomial disebut polinomial. Suku-suku dalam suatu polinomial disebut suku-suku polinomial. Monomial juga diklasifikasikan sebagai polinomial, mengingat monomial adalah polinomial yang terdiri dari satu anggota.
Misalnya polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
dapat disederhanakan.
Mari kita nyatakan semua suku dalam bentuk monomial dari bentuk standar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Mari kita sajikan suku-suku serupa dalam polinomial yang dihasilkan:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya adalah polinomial, yang semua sukunya merupakan monomial dari bentuk standar, dan tidak ada yang serupa di antara mereka. Polinomial seperti ini disebut polinomial bentuk standar.
Di belakang derajat polinomial bentuk standar mengambil kekuasaan tertinggi dari para anggotanya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b\) mempunyai derajat ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6\) mempunyai derajat kedua.
Biasanya, suku-suku polinomial bentuk standar yang memuat satu variabel disusun dalam urutan eksponen menurun. Misalnya:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Jumlah beberapa polinomial dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar.
Terkadang suku-suku polinomial perlu dibagi menjadi beberapa kelompok, dan setiap kelompok diapit tanda kurung. Karena tanda kurung kurawal merupakan kebalikan dari tanda kurung buka, maka rumusannya mudah aturan untuk membuka tanda kurung:
Jika tanda “+” diletakkan sebelum tanda kurung, maka suku-suku yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang sama.
Jika tanda “-” diletakkan sebelum tanda kurung, maka suku-suku yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan.
Transformasi (penyederhanaan) hasil kali monomial dan polinomial
Dengan menggunakan sifat distributif perkalian, Anda dapat mengubah (menyederhanakan) hasil kali monomial dan polinomial menjadi polinomial. Misalnya:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Hasil kali monomial dan polinomial sama dengan jumlah hasil kali monomial tersebut dan masing-masing suku polinomialnya.
Hasil ini biasanya dirumuskan sebagai suatu aturan.
Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, Anda harus mengalikan monomial tersebut dengan masing-masing suku polinomial tersebut.
Kami telah menggunakan aturan ini beberapa kali untuk mengalikan dengan suatu jumlah.
Produk polinomial. Transformasi (penyederhanaan) hasil kali dua polinomial
Secara umum, hasil kali dua polinomial sama dengan jumlah hasil kali setiap suku dari satu polinomial dan setiap suku dari polinomial lainnya.
Biasanya aturan berikut digunakan.
Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku dari polinomial lainnya dan menjumlahkan hasil perkaliannya.
Rumus perkalian yang disingkat. Jumlah kuadrat, selisih dan selisih kuadrat
Anda harus lebih sering menangani beberapa ekspresi dalam transformasi aljabar daripada yang lain. Mungkin ekspresi yang paling umum adalah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), yaitu kuadrat dari jumlah, kuadrat dari perbedaan dan perbedaan kuadrat. Anda memperhatikan bahwa nama ekspresi ini tampaknya tidak lengkap, misalnya, \((a + b)^2 \) tentu saja bukan hanya kuadrat dari jumlah, tetapi kuadrat dari jumlah a dan b . Namun, kuadrat dari jumlah a dan b tidak terlalu sering muncul; biasanya, alih-alih huruf a dan b, ia berisi berbagai ekspresi, terkadang cukup rumit.
Ekspresi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dapat dengan mudah diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar; sebenarnya, Anda telah menemui tugas ini saat mengalikan polinomial:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Penting untuk mengingat identitas yang dihasilkan dan menerapkannya tanpa perhitungan perantara. Rumusan verbal singkat membantu dalam hal ini.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuadrat dari jumlah tersebut sama dengan jumlah kuadrat dan hasil kali gandanya.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuadrat selisihnya sama dengan jumlah kuadrat tanpa hasil kali ganda.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - selisih kuadrat sama dengan hasil kali selisih dan jumlah.
Ketiga identitas ini memungkinkan seseorang untuk mengganti bagian kirinya dengan bagian kanan dalam transformasi dan sebaliknya - bagian kanan dengan bagian kiri. Hal tersulit adalah melihat ekspresi yang sesuai dan memahami bagaimana variabel a dan b diganti di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus perkalian yang disingkat.
Ekspresi matematika (rumus) perkalian yang disingkat(jumlah dan selisih kuadrat, kubus jumlah dan selisih, selisih kuadrat, jumlah dan selisih kubus) sangat tak tergantikan di banyak bidang ilmu eksakta. 7 notasi simbolik ini sangat berharga untuk menyederhanakan ekspresi, menyelesaikan persamaan, mengalikan polinomial, mereduksi pecahan, menyelesaikan integral, dan banyak lagi. Artinya akan sangat berguna untuk memahami bagaimana hal tersebut diperoleh, mengapa hal tersebut dibutuhkan, dan yang terpenting, bagaimana cara mengingatnya dan kemudian menerapkannya. Kemudian melamar rumus perkalian yang disingkat dalam praktiknya, hal yang paling sulit adalah melihat apa yang ada X dan apa yang kamu punya. Jelas, tidak ada batasan untuk itu A Dan B tidak, yang berarti dapat berupa ekspresi numerik atau abjad apa pun.
Dan inilah mereka:
Pertama x 2 - jam 2 = (x - y) (x+y).Menghitung perbedaan persegi dua ekspresi, Anda perlu mengalikan perbedaan ekspresi ini dengan jumlahnya.
Kedua (x + kamu) 2 = x 2 + 2xy + kamu 2. Mencari kuadrat dari jumlah tersebut dua ekspresi, Anda perlu menambahkan ke kuadrat ekspresi pertama hasil kali ganda dari ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah kuadrat dari ekspresi kedua.
Ketiga (x - kamu) 2 = x 2 - 2xy + kamu 2. Menghitung perbedaan kuadrat dua ekspresi, Anda perlu mengurangi kuadrat ekspresi pertama dua kali hasil kali ekspresi pertama dengan ekspresi kedua ditambah kuadrat ekspresi kedua.
Keempat (x + kamu) 3 = x 3 + 3x 2 tahun + 3xy 2 + jam 3. Menghitung kubus jumlah dua ekspresi, Anda perlu menambahkan ke pangkat tiga ekspresi pertama hasil kali rangkap tiga dari kuadrat ekspresi pertama dengan ekspresi kedua ditambah hasil kali rangkap tiga dari ekspresi pertama dengan kuadrat ekspresi kedua ditambah pangkat tiga dari ekspresi kedua.
Kelima (x - kamu) 3 = x 3 - 3x 2 tahun + 3xy 2 - di 3. Menghitung kubus perbedaan dua ekspresi, dari pangkat tiga ekspresi pertama perlu dikurangi hasil kali rangkap tiga dari kuadrat ekspresi pertama dengan ekspresi kedua ditambah hasil kali rangkap tiga dari ekspresi pertama dengan kuadrat ekspresi kedua dikurangi pangkat tiga dari ekspresi kedua.
Keenam x 3 + kamu 3 = (x + kamu) (x 2 - xy + kamu 2) Menghitung jumlah kubus dua ekspresi, Anda perlu mengalikan jumlah ekspresi pertama dan kedua dengan sebagian persegi perbedaan antara ekspresi-ekspresi ini.
Ketujuh x 3 - di 3 = (x - y) (x 2 + xy + kamu 2) Untuk melakukan perhitungan perbedaan kubus dua ekspresi, Anda perlu mengalikan selisih ekspresi pertama dan kedua dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah ekspresi tersebut.
Tidak sulit untuk mengingat bahwa semua rumus digunakan untuk melakukan perhitungan dalam arah yang berlawanan (dari kanan ke kiri).
Keberadaan pola tersebut diketahui sekitar 4 ribu tahun yang lalu. Mereka banyak digunakan oleh penduduk Babilonia kuno dan Mesir. Namun pada era tersebut diungkapkan secara verbal atau geometris dan tidak menggunakan huruf dalam perhitungannya.
Mari kita selesaikan bukti jumlah persegi(a + b) 2 = a 2 +2ab +b 2.
Pertama ini pola matematika Dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Euclid, yang bekerja di Alexandria pada abad ke-3 SM, ia menggunakan metode geometris untuk membuktikan rumusnya, karena para ilmuwan Hellas kuno tidak menggunakan huruf untuk menunjukkan angka. Di mana-mana mereka tidak menggunakan "a 2", tetapi "persegi pada segmen a", bukan "ab", tetapi "persegi panjang yang diapit di antara segmen a dan b".
Rumus perkalian yang disingkat.
Mempelajari rumus perkalian yang disingkat: kuadrat jumlah dan kuadrat selisih dua ekspresi; perbedaan kuadrat dua ekspresi; pangkat tiga jumlah dan pangkat tiga selisih dua ekspresi; jumlah dan selisih pangkat tiga dari dua ekspresi.
Penerapan rumus perkalian yang disingkat saat menyelesaikan contoh.
Untuk menyederhanakan ekspresi, memfaktorkan polinomial, dan mereduksi polinomial ke bentuk standar, digunakan rumus perkalian yang disingkat. Rumus perkalian yang disingkat perlu dihafal.
Misalkan a, b R. Kemudian:
1. Kuadrat jumlah dua ekspresi sama dengan kuadrat ekspresi pertama ditambah dua kali hasil kali ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah kuadrat ekspresi kedua.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kuadrat selisih dua ekspresi sama dengan kuadrat ekspresi pertama dikurangi dua kali hasil kali ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah kuadrat ekspresi kedua.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Perbedaan kuadrat dua ekspresi sama dengan hasil kali selisih ekspresi tersebut dan jumlah keduanya.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Kubus jumlah dua ekspresi sama dengan pangkat tiga ekspresi pertama ditambah tiga kali lipat hasil kali kuadrat ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah tiga kali lipat hasil kali ekspresi pertama dan kuadrat ekspresi kedua ditambah pangkat tiga ekspresi kedua.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Perbedaan kubus dua ekspresi sama dengan pangkat tiga ekspresi pertama dikurangi tiga kali lipat hasil kali kuadrat ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah tiga kali lipat hasil kali ekspresi pertama dan kuadrat ekspresi kedua dikurangi pangkat tiga ekspresi kedua.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Jumlah kubus dua ekspresi sama dengan hasil kali jumlah ekspresi pertama dan kedua dan kuadrat tak lengkap dari selisih ekspresi tersebut.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Perbedaan kubus dua ekspresi sama dengan hasil kali selisih ekspresi pertama dan kedua dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah ekspresi tersebut.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Penerapan rumus perkalian yang disingkat saat menyelesaikan contoh.
Contoh 1.
Menghitung
a) Dengan menggunakan rumus kuadrat jumlah dua ekspresi, kita peroleh
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Dengan menggunakan rumus kuadrat selisih dua ekspresi, kita peroleh
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10.000 – 400 + 4 = 9604
Contoh 2.
Menghitung
Dengan menggunakan rumus selisih kuadrat dua ekspresi, kita peroleh
Contoh 3.
Sederhanakan sebuah ekspresi
(x - kamu) 2 + (x + kamu) 2
Mari kita gunakan rumus kuadrat jumlah dan kuadrat selisih dua ekspresi
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Rumus perkalian yang disingkat dalam satu tabel:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
