Hitung luas bangun yang dibatasi garis.
Larutan.
Kami menemukan titik potong dari garis-garis yang diberikan. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan sistem persamaan:
Untuk mencari absis titik potong garis tertentu, kita selesaikan persamaan:
Kami menemukan: X 1 = -2, X 2 = 4.
Jadi, garis-garis yang merupakan parabola dan garis lurus ini berpotongan di titik-titik A(-2; 0), B(4; 6).
Garis-garis ini membentuk bangun tertutup yang luasnya dihitung menggunakan rumus di atas:
Dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz kita menemukan:
Temukan luas daerah yang dibatasi oleh elips.
Larutan.
Dari persamaan elips untuk kuadran pertama yang kita miliki. Dari sini, dengan menggunakan rumus, kita peroleh
Mari kita terapkan substitusi X = A dosa T, dx = A karena T dt. Batasan integrasi baru T = α Dan T = β ditentukan dari persamaan 0 = A dosa T, A = A dosa T. Dapat dimasukkan α = 0 dan β = π /2.
Temukan seperempat dari luas yang dibutuhkan
Dari sini S = πab.
Temukan luas bangun yang dibatasi oleh gariskamu = - X 2 + X + 4 dankamu = - X + 1.
Larutan.
Mari kita cari titik potong garisnya kamu = -X 2 + X + 4, kamu = -X+1, menyamakan ordinat garis: - X 2 + X + 4 = -X+ 1 atau X 2 - 2X- 3 = 0. Menemukan akar-akarnya X 1 = -1, X 2 = 3 dan ordinatnya yang bersesuaian kamu 1 = 2, kamu 2 = -2.
Dengan menggunakan rumus luas suatu bangun, kita peroleh
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabolakamu = X 2 +1 dan lurusX + kamu = 3.
Larutan.
Memecahkan sistem persamaan
carilah absis titik potongnya X 1 = -2 dan X 2 = 1.
Percaya kamu 2 = 3 - X Dan kamu 1 = X 2 + 1, berdasarkan rumus yang kita peroleh
Hitung luas daerah lemniscate BernoulliR 2 = A 2 karena 2 φ .
Larutan.
Dalam sistem koordinat kutub, luas suatu bangun yang dibatasi oleh busur suatu kurva R = F(φ ) dan dua jari-jari kutub φ 1 = ʅ Dan φ 2 = ʆ , akan dinyatakan dengan integral
Karena simetri kurva, pertama-tama kita tentukan seperempat luas yang dibutuhkan
Oleh karena itu, luas keseluruhannya sama S = A 2 .
Hitung panjang busur astroidX 2/3 + kamu 2/3 = A 2/3 .
Larutan.
Mari kita tulis persamaan astroid dalam bentuk
(X 1/3) 2 + (kamu 1/3) 2 = (A 1/3) 2 .
Ayo taruh X 1/3 = A 1/3 karena T, kamu 1/3 = A 1/3 dosa T.
Dari sini kita memperoleh persamaan parametrik astroid
X = A karena 3 T, kamu = A dosa 3 T, (*)
dimana 0 ≤ T ≤ 2π .
Karena simetri kurva (*), cukup mencari seperempat panjang busur L, sesuai dengan perubahan parameter T dari 0 hingga π /2.
Kita mendapatkan
dx = -3A karena 2 T dosa t dt, mati = 3A dosa 2 T karena t dt.
Dari sini kita temukan
Mengintegrasikan ekspresi yang dihasilkan dari 0 hingga π /2, kita mengerti
Dari sini L = 6A.
Temukan area yang dikelilingi oleh spiral ArchimedesR = aφ dan dua vektor radius yang sesuai dengan sudut kutubφ 1 Danφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Larutan.
Daerah yang dibatasi oleh kurva R = F(φ ) dihitung dengan rumus, dimana α Dan β - batas perubahan sudut kutub.
Jadi, kita dapatkan
(*)
Dari (*) diperoleh luas yang dibatasi oleh sumbu kutub dan putaran pertama spiral Archimedes ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Demikian pula, kita menemukan luas yang dibatasi oleh sumbu kutub dan putaran kedua spiral Archimedes ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Luas yang dibutuhkan sama dengan selisih luas tersebut
Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar pada suatu sumbuSapi bangun datar yang dibatasi oleh parabolakamu = X 2 DanX = kamu 2 .
Larutan.
Mari kita selesaikan sistem persamaannya
dan kita mendapatkan X 1 = 0, X 2 = 1, kamu 1 = 0, kamu 2 = 1, yang merupakan titik potong kurva HAI(0; 0), B(sebelas). Seperti terlihat pada gambar, volume suatu benda yang berputar sama dengan selisih antara dua volume yang dibentuk oleh rotasi pada suatu sumbu. Sapi trapesium lengkung O.C.B.A. Dan ODBA:
Hitunglah luas yang dibatasi oleh suatu sumbuSapi dan sinusoidakamu = dosaX pada segmen: a) ; B) .
Larutan.
a) Pada suatu segmen fungsi dosa X mempertahankan tandanya, dan oleh karena itu menurut rumus, dengan asumsi kamu= dosa X, kami menemukan
b) Pada ruas tersebut, fungsi sin X tanda perubahan. Untuk menyelesaikan masalah dengan benar, segmen tersebut perlu dibagi menjadi dua dan [ π , 2π ], yang masing-masing fungsinya mempertahankan tandanya.
Menurut aturan tanda, pada ruas [ π , 2π ] luasnya diambil dengan tanda minus.
Hasilnya, luas yang dibutuhkan sama dengan
Tentukan volume benda yang dibatasi oleh permukaan yang diperoleh dari putaran elipsdi sekitar sumbu utamaA .
Larutan.
Mengingat elips simetris terhadap sumbu koordinat, maka cukup mencari volume yang dibentuk oleh rotasi pada sumbunya. Sapi daerah OAB, sama dengan seperempat luas elips, dan gandakan hasilnya.
Mari kita nyatakan volume benda rotasi dengan V X; kemudian berdasarkan rumus yang kita miliki, dimana 0 dan A- absis poin B Dan A. Dari persamaan elips kita temukan. Dari sini
Jadi, volume yang dibutuhkan sama dengan . (Saat elips berputar mengelilingi sumbu minor B, volume benda sama dengan )
Temukan luas yang dibatasi oleh parabolakamu 2 = 2 piksel DanX 2 = 2 py .
Larutan.
Pertama, kita mencari koordinat titik potong parabola untuk menentukan segmen integrasi. Mengubah persamaan awal, kita memperoleh dan . Menyamakan nilai-nilai ini, kita mendapatkan atau X 4 - 8P 3 X = 0.
X 4 - 8P 3 X = X(X 3 - 8P 3) = X(X - 2P)(X 2 + 2piksel + 4P 2) = 0.
Menemukan akar persamaan:
Mengingat fakta itu intinya A perpotongan parabola berada pada suku pertama, maka batas integrasinya X= 0 dan X = 2P.
Kami menemukan luas yang dibutuhkan menggunakan rumus
Penerapan integral untuk penyelesaian masalah terapan
Perhitungan luas
Integral pasti dari fungsi non-negatif kontinu f(x) secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu O x dan garis lurus x = a dan x = b. Sesuai dengan itu, rumus luasnya ditulis sebagai berikut:
Mari kita lihat beberapa contoh penghitungan luas bangun datar.
Tugas No. 1. Hitung luas yang dibatasi oleh garis y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Larutan. Mari kita buat sebuah bangun datar yang luasnya harus kita hitung.
y = x 2 + 1 adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dan parabola tersebut digeser ke atas sebesar satu satuan terhadap sumbu O y (Gambar 1).
Gambar 1. Grafik fungsi y = x 2 + 1
Tugas No. 2. Hitung luas yang dibatasi oleh garis y = x 2 – 1, y = 0 dalam rentang 0 sampai 1.
 |
Larutan. Grafik fungsi ini berupa parabola cabang-cabang yang mengarah ke atas, dan parabola tersebut digeser relatif terhadap sumbu O y ke bawah sebanyak satu satuan (Gambar 2).
Gambar 2. Grafik fungsi y = x 2 – 1
Tugas No. 3. Membuat gambar dan menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis
y = 8 + 2x – x 2 dan y = 2x – 4.
Larutan. Garis pertama adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke bawah, karena koefisien x 2 negatif, dan garis kedua adalah garis lurus yang memotong kedua sumbu koordinat.
Untuk membuat parabola, kita mencari koordinat titik puncaknya: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – absis titik sudut; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 adalah ordinatnya, N(1;9) adalah titik puncaknya.
Sekarang mari kita cari titik potong parabola dan garis lurus dengan menyelesaikan sistem persamaan:
Menyamakan ruas kanan persamaan yang ruas kirinya sama.
Kita peroleh 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 atau x 2 – 12 = 0, maka 
.
Jadi titik-titik tersebut merupakan titik potong parabola dan garis lurus (Gambar 1).
Gambar 3 Grafik fungsi y = 8 + 2x – x 2 dan y = 2x – 4
Mari kita buat garis lurus y = 2x – 4. Garis tersebut melalui titik (0;-4), (2;0) pada sumbu koordinat.
Untuk membuat parabola juga dapat menggunakan titik potongnya dengan sumbu 0x yaitu akar-akar persamaan 8 + 2x – x 2 = 0 atau x 2 – 2x – 8 = 0. Dengan menggunakan teorema Vieta, caranya mudah mencari akar-akarnya: x 1 = 2, x 2 = 4.
Gambar 3 menunjukkan suatu bangun (segmen parabola M 1 N M 2) yang dibatasi oleh garis-garis tersebut.
Bagian kedua dari soal adalah mencari luas bangun tersebut. Luasnya dapat dicari dengan menggunakan integral tertentu sesuai rumus 
.
Diaplikasikan ke keadaan ini, kita mendapatkan integralnya: 
2 Perhitungan volume benda rotasi
Volume benda yang diperoleh dari putaran kurva y = f(x) mengelilingi sumbu O x dihitung dengan rumus:
Saat diputar mengelilingi sumbu O y, rumusnya terlihat seperti:
Tugas No.4. Tentukan volume benda yang diperoleh dari putaran trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis lurus x = 0 x = 3 dan kurva y = mengelilingi sumbu O x.
Larutan. Mari kita menggambar (Gambar 4).
Gambar 4. Grafik fungsi y =
Volume yang dibutuhkan adalah 
Tugas No.5. Hitung volume benda yang diperoleh dari putaran trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis lurus y = 0 dan y = 4 mengelilingi sumbu O y.
Larutan. Kita punya:
Tinjau pertanyaan
Masukkan fungsi yang ingin Anda cari integralnya
Kalkulator memberikan solusi RINCI untuk integral tertentu.
Kalkulator ini menemukan solusi integral tertentu dari fungsi f(x) dengan batas atas dan bawah yang ditentukan.
Contoh
Menggunakan gelar
(persegi dan kubus) dan pecahan
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Akar pangkat dua
Kuadrat(x)/(x + 1)
akar pangkat tiga
Cbrt(x)/(3*x + 2)
Menggunakan sinus dan cosinus
2*dosa(x)*cos(x)
arcsinus
X*arcsin(x)
busur kosinus
X*arcos(x)
Penerapan logaritma
X*log(x, 10)
Eksponen
Tg(x)*dosa(x)
Kotangens
Ctg(x)*karena(x)
Pecahan irasional
(akar(x) - 1)/akar(x^2 - x - 1)
Garis singgung busur
X*arctg(x)
Kotangen busur
X*arсctg(x)
Sinus dan kosinus hiperbolik
2*sh(x)*ch(x)
Tangen hiperbolik dan kotangen
Ctgh(x)/tgh(x)
Arcsinus dan arccosine hiperbolik
X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Arctangen hiperbolik dan arckotangen
X^2*arctgh(x)*arctgh(x)
Aturan untuk memasukkan ekspresi dan fungsi
Ekspresi dapat terdiri dari fungsi (notasi diberikan dalam urutan abjad): mutlak(x) Nilai mutlak X
(modul X atau |x|)
arccos(x) Fungsi - arc cosinus dari X arccosh(x) Arc cosinus hiperbolik dari X busursin(x) Arcsinus dari X busur(x) Arcsin hiperbolik dari X arctan(x) Fungsi - tangen busur dari X arctgh(x) Hiperbolik arctangen dari X e e angka yang kira-kira sama dengan 2,7 pengalaman(x) Fungsi - eksponen dari X(sebagai e^X)
catatan(x) atau dalam(x) Logaritma natural dari X
(Untuk memperoleh catatan7(x), Anda harus memasukkan log(x)/log(7) (atau, misalnya, untuk log10(x)=log(x)/log(10)) pi Angkanya adalah "Pi", yang kira-kira sama dengan 3,14 dosa(x) Fungsi - Sinus dari X karena(x) Fungsi - Kosinus dari X sinh(x) Fungsi - Sinus hiperbolik dari X cosh(x) Fungsi - kosinus hiperbolik dari X persegi(x) Fungsi - Akar pangkat dua dari X persegi(x) atau x^2 Fungsinya adalah persegi X berjemur(x) Fungsinya bersinggungan dengan X tgh(x) Fungsi - Garis singgung hiperbolik dari X cbrt(x) Fungsi - akar pangkat tiga dari X
Operasi berikut dapat digunakan dalam ekspresi: Bilangan nyata
masukkan sebagai 7.5
, Bukan 7,5
2*x- perkalian 3/x- pembagian x^3- eksponen x+7- tambahan x - 6- pengurangan
Fitur lainnya: lantai(x) Fungsi - pembulatan X ke bawah (contoh lantai(4.5)==4.0) langit-langit (x) Fungsi - pembulatan X ke atas (contoh plafon(4.5)==5.0) tanda(x) Fungsi - Tanda Tangan X erf(x) Fungsi kesalahan (atau integral probabilitas) tempat(x) Fungsi Laplace
A)
Larutan.
Poin keputusan pertama dan terpenting adalah konstruksi gambar.
Mari kita membuat gambarnya:
Persamaannya kamu=0 mengatur sumbu “x”;
- x=-2 Dan x=1 - lurus, sejajar dengan sumbu universitas;
- kamu=x 2 +2 - parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dengan titik sudut di titik (0;2).
Komentar. Untuk membuat parabola, cukup mencari titik potongnya sumbu koordinat, yaitu menempatkan x=0 carilah perpotongan dengan sumbunya kamu dan mengambil keputusan yang sesuai persamaan kuadrat, temukan perpotongan dengan sumbu Oh .
Titik puncak parabola dapat dicari dengan menggunakan rumus:
Anda juga dapat membuat garis titik demi titik.
Pada interval [-2;1] grafik fungsi kamu=x 2 +2 terletak di atas sumbu Sapi , Itu sebabnya:
Menjawab: S =9 unit persegi
Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, "dengan mata" kita menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, akan ada sekitar 9, tampaknya benar. Sangat jelas jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 satuan persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.
Apa yang harus dilakukan jika ada trapesium melengkung di bawah poros Oh?
B) Hitung luas bangun yang dibatasi garis kamu=-ex , x=1 dan koordinat sumbu.
Larutan.
Mari kita membuat gambar.
Jika trapesium melengkung sepenuhnya terletak di bawah sumbu Oh , maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Menjawab: S=(e-1) unit persegi" 1,72 unit persegi
Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:
1) Jika diminta menyelesaikan integral tertentu saja tanpa integral tertentu makna geometris, maka itu bisa menjadi negatif.
2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.
Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah.
Dengan) Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis y=2x-x 2, y=-x.
Larutan.
Pertama, Anda perlu menyelesaikan gambarnya. Secara umum, ketika membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Cari titik potong parabola dan garis, dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis.
Kami memecahkan persamaan:
Artinya batas bawah integrasi sebuah=0 , batas atas integrasi b=3 .
|
Kita buat garis-garis berikut: 1. Parabola - titik sudut di titik (1;1); persimpangan sumbu Oh - poin (0;0) dan (0;2). 2. Garis lurus - garis bagi sudut koordinat ke-2 dan ke-4. Dan sekarang Perhatian! Jika pada segmen [ a;b] beberapa fungsi berkelanjutan f(x) lebih besar atau sama dengan beberapa fungsi berkelanjutan g(x), maka luas bangun yang bersesuaian dapat dicari dengan menggunakan rumus: . Dan tidak masalah di mana letak gambarnya - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi yang penting adalah grafik mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap grafik lain), dan mana yang DI BAWAH. Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu perlu dilakukan pengurangan dari |
Anda dapat membuat garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional).
Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Di segmen tersebut, sesuai dengan rumus yang sesuai:
Menjawab: S =4,5 unit persegi
Pada bagian sebelumnya, yang membahas tentang analisis makna geometris integral tertentu, kami menerima sejumlah rumus untuk menghitung luas trapesium lengkung:
S (G) = ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-negatif y = f (x) pada interval [ a ; B ] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-positif y = f (x) pada interval [ a ; B ] .
Rumus ini dapat diterapkan untuk menyelesaikannya tugas-tugas sederhana. Pada kenyataannya, kita sering kali harus bekerja dengan figur yang lebih kompleks. Dalam hal ini, bagian ini akan kami persembahkan untuk analisis algoritma untuk menghitung luas bangun yang dibatasi oleh fungsi dalam bentuk eksplisit, yaitu. seperti y = f(x) atau x = g(y).
DalilMisalkan fungsi y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) terdefinisi dan kontinu pada interval [ a ; b ] , dan f 1 (x) ≤ f 2 (x) untuk nilai apa pun x dari [ a ; B ] . Maka rumus menghitung luas bangun G yang dibatasi oleh garis x = a, x = b, y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) akan menjadi S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Rumus serupa juga berlaku untuk luas bangun yang dibatasi oleh garis y = c, y = d, x = g 1 (y) dan x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (kamu) - g 1 (kamu) d kamu .
Bukti
Mari kita lihat tiga kasus yang rumusnya valid.
Dalam kasus pertama, dengan mempertimbangkan sifat penjumlahan luas, jumlah luas gambar asli G dan trapesium lengkung G 1 sama dengan luas gambar G 2. Artinya
Jadi, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Kita dapat melakukan transisi terakhir dengan menggunakan sifat ketiga dari integral tertentu.
Dalam kasus kedua, persamaannya benar: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx
Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:
Jika kedua fungsi tersebut non-positif, diperoleh: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:
Mari kita beralih ke kasus umum ketika y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) berpotongan dengan sumbu O x.
Titik potongnya kita nyatakan sebagai x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Titik-titik ini membagi segmen [a; b ] menjadi n bagian x i - 1 ; x saya, saya = 1, 2, . . . , n, dimana α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Karena itu,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Kita dapat melakukan transisi terakhir menggunakan sifat kelima dari integral tertentu.
Mari kita ilustrasikan kasus umum pada grafik.
Rumus S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x dianggap terbukti.
Sekarang mari kita beralih ke menganalisis contoh menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = f (x) dan x = g (y).
Kami akan memulai pertimbangan kami terhadap salah satu contoh dengan membuat grafik. Gambar ini akan memungkinkan kita untuk merepresentasikan bentuk kompleks sebagai gabungan dari bentuk yang lebih sederhana. Jika membuat grafik dan gambar di atasnya sulit bagi Anda, Anda dapat mempelajari bagian fungsi dasar dasar, transformasi geometri grafik fungsi, serta membuat grafik sambil mempelajari suatu fungsi.
Contoh 1
Perlu ditentukan luas bangun yang dibatasi oleh parabola y = - x 2 + 6 x - 5 dan garis lurus y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Larutan
Mari kita menggambar garis pada grafik dalam sistem koordinat kartesius.
Di segmen [ 1 ; 4 ] grafik parabola y = - x 2 + 6 x - 5 terletak di atas garis lurus y = - 1 3 x - 1 2. Sehubungan dengan itu, untuk memperoleh jawabannya kita menggunakan rumus yang telah diperoleh sebelumnya, serta cara menghitung integral tertentu dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Jawaban: S(G) = 13
Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.
Contoh 2
Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x + 2, y = x, x = 7.
Larutan
Dalam hal ini, kita hanya mempunyai satu garis lurus yang terletak sejajar dengan sumbu x. Ini adalah x = 7. Hal ini mengharuskan kita untuk menemukan sendiri batas integrasi kedua.
Mari kita membuat grafik dan memplot garis-garis yang diberikan dalam rumusan masalah di atasnya.
Dengan adanya grafik di depan mata kita, kita dapat dengan mudah menentukan bahwa batas bawah integrasi adalah absis titik potong grafik garis lurus y = x dan setengah parabola y = x + 2. Untuk mencari absis kita menggunakan persamaan:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Ternyata absis titik potongnya adalah x = 2.
Kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa di contoh umum pada gambar tersebut garis y = x + 2, y = x berpotongan di titik (2; 2), jadi berikut ini perhitungan rinci mungkin tampak tidak perlu. Kami membawa ini ke sini solusi terperinci hanya karena masih banyak lagi kasus-kasus sulit solusinya mungkin tidak begitu jelas. Artinya, selalu lebih baik menghitung koordinat perpotongan garis secara analitis.
Pada interval [ 2 ; 7] grafik fungsi y = x terletak di atas grafik fungsi y = x + 2. Mari kita terapkan rumus untuk menghitung luas:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Jawaban: S (G) = 59 6
Contoh 3
Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi y = 1 x dan y = - x 2 + 4 x - 2.
Larutan
Mari kita gambarkan garis pada grafik.
Mari kita tentukan batasan integrasi. Caranya, kita menentukan koordinat titik potong garis dengan menyamakan ekspresi 1 x dan - x 2 + 4 x - 2. Asalkan x bukan nol, maka persamaan 1 x = - x 2 + 4 x - 2 menjadi ekuivalen dengan persamaan derajat ketiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 dengan koefisien bilangan bulat. Untuk menyegarkan ingatan Anda tentang algoritme penyelesaian persamaan tersebut, kita dapat merujuk ke bagian “Menyelesaikan persamaan kubik”.
Akar persamaan ini adalah x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Membagi ekspresi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dengan binomial x - 1, kita mendapatkan: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Kita dapat mencari akar-akar yang tersisa dari persamaan x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Kami menemukan intervalnya x ∈ 1; 3 + 13 2, dimana gambar G terdapat di atas garis biru dan di bawah garis merah. Ini membantu kita menentukan luas gambar:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Jawaban: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Contoh 4
Perlu dilakukan perhitungan luas bangun yang dibatasi oleh kurva y = x 3, y = - log 2 x + 1 dan sumbu absis.
Larutan
Mari kita gambarkan semua garis pada grafik. Grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dapat kita peroleh dari grafik y = log 2 x jika kita menempatkannya secara simetris terhadap sumbu x dan memindahkannya ke atas satu satuan. Persamaan sumbu x adalah y = 0.
Mari kita tandai titik potong garis tersebut.
Terlihat dari gambar, grafik fungsi y = x 3 dan y = 0 berpotongan di titik (0; 0). Hal ini terjadi karena x = 0 merupakan satu-satunya akar real dari persamaan x 3 = 0.
x = 2 merupakan akar tunggal persamaan - log 2 x + 1 = 0, jadi grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dan y = 0 berpotongan di titik (2; 0).
x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan x 3 = - log 2 x + 1 . Sehubungan dengan itu, grafik fungsi y = x 3 dan y = - log 2 x + 1 berpotongan di titik (1; 1). Pernyataan terakhir mungkin tidak jelas, tetapi persamaan x 3 = - log 2 x + 1 tidak boleh memiliki lebih dari satu akar, karena fungsi y = x 3 meningkat tajam, dan fungsi y = - log 2 x + 1 adalah sangat menurun.
Solusi selanjutnya melibatkan beberapa pilihan.
Pilihan 1
Kita dapat membayangkan gambar G sebagai jumlah dari dua trapesium lengkung yang terletak di atas sumbu x, yang pertama terletak di bawah garis tengah pada ruas x ∈ 0; 1, dan garis kedua di bawah garis merah pada ruas x ∈ 1; 2. Artinya luasnya akan sama dengan S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opsi No.2
Gambar G dapat direpresentasikan sebagai selisih dua angka, yang pertama terletak di atas sumbu x dan di bawah garis biru pada ruas x ∈ 0; 2, dan garis kedua antara garis merah dan biru pada ruas x ∈ 1; 2. Hal ini memungkinkan kita untuk mencari luas sebagai berikut:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 dx - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Dalam hal ini, untuk mencari luasnya, Anda harus menggunakan rumus berbentuk S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktanya, garis yang membatasi gambar tersebut dapat direpresentasikan sebagai fungsi dari argumen y.
Mari kita selesaikan persamaan y = x 3 dan - log 2 x + 1 terhadap x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Kami mendapatkan area yang dibutuhkan:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Jawaban: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Contoh 5
Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Larutan
Kita akan menggambar garis pada grafik dengan garis merah, diberikan oleh fungsinya kamu = x. Kita menggambar garis y = - 1 2 x + 4 dengan warna biru, dan garis y = 2 3 x - 3 dengan warna hitam.
Mari kita tandai titik persimpangannya.
Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Periksa: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 tidak Apakah penyelesaian persamaan x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (4; 2) titik potong i y = x dan y = - 1 2 x + 4
Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Periksa: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (9 ; 3) titik a s y = x dan y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian
Cari titik potong garis y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) titik potong y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3
Metode No.1
Mari kita bayangkan luas bangun yang diinginkan sebagai jumlah luas masing-masing bangun.
Maka luas gambar tersebut adalah:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metode nomor 2
Luas bangun asli dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan dari dua bangun lainnya.
Kemudian kita selesaikan persamaan garis relatif terhadap x, dan baru setelah itu kita terapkan rumus menghitung luas bangun tersebut.
y = x ⇒ x = y 2 garis merah y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 garis hitam y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Jadi luasnya adalah:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Seperti yang Anda lihat, nilainya sama.
Jawaban: S (G) = 11 3
Hasil
Untuk mencari luas bangun yang terbatas garis yang diberikan kita perlu membuat garis pada bidang tersebut, mencari titik potongnya, dan menerapkan rumus untuk mencari luasnya. Di bagian ini, kami memeriksa varian tugas yang paling umum.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
