Turunan suatu eksponen sama dengan eksponen itu sendiri (turunan e pangkat x sama dengan e pangkat x):
(1) (ex )′ = ex.

Turunan Fungsi eksponensial dengan basis pangkat a sama dengan fungsi itu sendiri dikalikan dengan logaritma natural a:
(2) .

Penurunan rumus turunan eksponensial e pangkat x

Eksponensial adalah fungsi eksponensial yang basisnya sama dengan bilangan e yang mempunyai limit sebagai berikut:
.
Di sini bisa alami dan bilangan real. Selanjutnya kita turunkan rumus (1) untuk turunan eksponensial.

Penurunan rumus turunan eksponensial

Pertimbangkan eksponensial, e pangkat x:
kamu = e x .
Fungsi ini ditentukan untuk semua orang. Mari kita cari turunannya terhadap variabel x. Menurut definisinya, turunannya adalah limit berikut:
(3) .

Mari kita ubah ekspresi ini untuk mereduksinya menjadi sifat dan aturan matematika yang diketahui. Untuk melakukan ini kita memerlukan fakta-fakta berikut:
A) Properti eksponen:
(4) ;
B) Properti logaritma:
(5) ;
DI DALAM) Kontinuitas logaritma dan sifat limit fungsi kontinu:
(6) .
Berikut adalah fungsi yang mempunyai limit dan limit tersebut positif.
G) Arti dari batas luar biasa kedua:
(7) .

Mari kita terapkan fakta ini pada batas kita (3). Kami menggunakan properti (4):
;
.

Mari kita melakukan substitusi. Kemudian ; .
Karena kontinuitas eksponensial,
.
Oleh karena itu, ketika , . Hasilnya kita mendapatkan:
.

Mari kita melakukan substitusi. Kemudian . Pada , . Dan kita mempunyai:
.

Mari kita terapkan properti logaritma (5):
. Kemudian
.

Mari kita terapkan properti (6). Karena ada limit positif dan logaritmanya kontinu, maka:
.
Di sini kami juga menggunakan yang kedua batas yang luar biasa(7). Kemudian
.

Jadi, kita memperoleh rumus (1) untuk turunan eksponensial.

Penurunan rumus turunan fungsi eksponensial

Sekarang kita turunkan rumus (2) untuk turunan fungsi eksponensial dengan basis derajat a. Kami percaya itu dan . Kemudian fungsi eksponensial
(8)
Didefinisikan untuk semua orang.

Mari kita ubah rumus (8). Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan properti fungsi eksponensial dan logaritma.
;
.
Jadi, kami mengubah rumus (8) menjadi bentuk berikut:
.

Turunan orde tinggi dari e pangkat x

Sekarang mari kita cari turunan dari orde yang lebih tinggi. Mari kita lihat eksponennya terlebih dahulu:
(14) .
(1) .

Kita melihat bahwa turunan dari fungsi (14) sama dengan fungsi (14) itu sendiri. Membedakan (1), kita memperoleh turunan orde kedua dan ketiga:
;
.

Hal ini menunjukkan bahwa turunan orde ke-n juga sama dengan fungsi aslinya:
.

Turunan orde tinggi dari fungsi eksponensial

Sekarang perhatikan fungsi eksponensial dengan basis derajat a:
.
Kami menemukan turunan orde pertama:
(15) .

Membedakan (15), kita memperoleh turunan orde kedua dan ketiga:
;
.

Kita melihat bahwa setiap diferensiasi menghasilkan perkalian fungsi aslinya dengan . Oleh karena itu, turunan orde ke-n memiliki bentuk sebagai berikut:
.

Pembelajaran dan presentasi dengan topik: "Bilangan e. Fungsi. Grafik. Sifat"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator di toko online Integral untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9–11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10–11 "Logaritma"

Teman-teman, hari ini kita akan mempelajari nomor khusus. Ia menempati tempat terpisah dalam matematika "dewasa" dan memiliki banyak sifat luar biasa, beberapa di antaranya akan kita bahas.

Mari kita kembali ke fungsi eksponensial $y=a^x$, di mana $a>1$. Kita dapat memplot banyak grafik fungsi berbeda untuk basis berbeda.
Namun perlu diperhatikan bahwa:

  • semua fungsi melewati titik (0;1),
  • untuk $x→-∞$, grafiknya memiliki asimtot horizontal $y=0$,
  • semua fungsi meningkat dan cembung ke bawah,
  • dan juga kontinu, yang berarti keduanya dapat terdiferensiasi.
Jika fungsi-fungsi dapat terdiferensiasi di mana-mana, maka garis singgung fungsi-fungsi tersebut dapat dibuat di setiap titik. Jika semua fungsi melewati titik (0;1), maka hal tersebut menjadi perhatian khusus. Mari kita buat beberapa garis singgung secara berurutan.

Mari kita pertimbangkan fungsi $y=2^x$ dan buat garis singgung padanya.
Setelah memplot grafik kita dengan cermat, Anda dapat melihat bahwa sudut kemiringan garis singgung adalah 35°.
Sekarang mari kita plot fungsinya $y=3^x$ dan juga plot garis singgungnya:
Kali ini sudut singgungnya kira-kira 48°. Secara umum, perlu diperhatikan: semakin besar basis fungsi eksponensial, semakin besar sudut kemiringannya.
Yang menarik adalah garis singgung dengan sudut kemiringan sebesar 45°. Pada grafik fungsi eksponensial manakah garis singgung tersebut dapat ditarik di titik (0;1)?
Basis fungsi eksponensial harus lebih besar dari 2 tetapi kurang dari 3, karena sudut singgung yang diperlukan tercapai di antara fungsi $y=2^x$ dan $y=3^x$. Jumlah tersebut ditemukan dan ternyata cukup unik.

Fungsi eksponensial yang garis singgungnya melalui titik (0;1) mempunyai sudut kemiringan sebesar 45° biasanya dilambangkan dengan: $y=e^x$ .
Dasar dari fungsi kami adalah bilangan irasional. Matematikawan telah memperoleh perkiraan nilai bilangan ini $e=2.7182818284590…$.
Dalam mata pelajaran matematika sekolah, biasanya dibulatkan ke persepuluhan terdekat, yaitu $e=2,7$.
Mari kita buat grafik fungsi $y=e^x$ dan garis singgung grafik ini.
Fungsi kami biasanya disebut eksponensial.
Sifat-sifat fungsi $y=e^x$.
1.$D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Tidak genap dan tidak ganjil.
3. Meningkat di seluruh domain definisi.
4. Tidak dibatasi dari atas, dibatasi dari bawah.
5. Nilai terbesar tidak, tidak ada nilai minimum.
6. Terus menerus.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Cembung ke bawah.
Dalam matematika tingkat tinggi telah dibuktikan bahwa fungsi eksponensial dapat terdiferensiasi di semua tempat, dan turunannya sama dengan fungsi itu sendiri: $(e^x)"=e^x$.
Fungsi kami banyak digunakan di banyak bidang matematika (dalam analisis matematika, teori probabilitas, dalam pemrograman), dan banyak objek nyata yang diasosiasikan dengan bilangan ini.

Contoh.
Tentukan garis singgung grafik fungsi $y=e^x$ di titik $x=2$.
Larutan.
Persamaan tangen digambarkan dengan rumus: $y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Kami secara berurutan menemukan nilai yang diperlukan:
1.$f(a)=f(2)=e^2$.
2.$f"(a)=e^a$.
3.$f"(2)=e^2$.
4. $y=f(a)+f"(a)(x-a)=e^2+e^2(x-2)=e^2*x-e^2$.
Jawaban: $y=e^2*x-e^2$

Contoh.
Tentukan nilai turunan fungsi $y=e^(3x-15)$ di titik $x=5$.
Larutan.
Mari kita ingat aturan untuk membedakan fungsi berbentuk $y=f(kx+m)$.
$y"=k*f"(kx+m)$.
Dalam kasus kita $f(kx+m)=e^(3x-15)$.
Mari kita cari turunannya:
$y"=(e^(3x-15))"=3*e^(3x-15)$.
$y"(5)=3*e^(15-15)=3*e^0=3$.
Jawaban: 3.

Contoh.
Periksa fungsi $y=x^3*e^x$ untuk mengetahui ekstremnya.
Larutan.
Mari kita cari turunan dari fungsi kita $y"=(x^3*e^x)"=(x^3)"*e^x+x^3(e^x)"=3x^2*e^x +x^ 3*e^x=x^2*e^x(x+3)$.
Fungsi tersebut tidak memiliki titik kritis, karena turunannya ada untuk sembarang x.
Menyamakan turunannya dengan 0, kita mendapatkan dua akar: $x_1=0$ dan $x_2=-3$.
Mari kita tandai titik-titik kita pada garis bilangan:

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

1. Tentukan garis singgung grafik fungsi $y=e^(2x)$ di titik $x=2$.
2. Tentukan nilai turunan fungsi $y=e^(4x-36)$ di titik $x=9$.
3. Periksa fungsi $y=x^4*e^(2x)$ untuk mengetahui ekstremnya.

Tujuan pelajaran: membentuk gagasan tentang bilangan e; membuktikan diferensiabilitas suatu fungsi pada suatu titik X;perhatikan pembuktian teorema diferensiabilitas suatu fungsi; memeriksa kematangan keterampilan dan kemampuan ketika memecahkan contoh penerapannya.

Tujuan pelajaran.

Edukasi: mengulang kembali pengertian turunan, aturan diferensiasi, turunan fungsi dasar, mengingat grafik dan sifat-sifat fungsi eksponensial, mengembangkan kemampuan mencari turunan fungsi eksponensial, menguji pengetahuan menggunakan tugas tes dan a tes.

Perkembangan: mempromosikan pengembangan perhatian, pengembangan pemikiran logis, intuisi matematika, kemampuan menganalisis, dan menerapkan pengetahuan dalam situasi non-standar.

Pendidikan: menumbuhkan budaya informasi, mengembangkan keterampilan bekerja dalam kelompok dan individu.

Metode pengajaran: verbal, visual, aktif.

Bentuk pelatihan: kolektif, individu, kelompok.

Peralatan : buku teks “Aljabar dan permulaan analisis” (diedit oleh Kolmogorov), semua tugas kelompok B “Segmen tertutup” diedit oleh A.L. Semenova, I.V.Yashchenko, proyektor multimedia.

Langkah-langkah pelajaran:

  1. Pernyataan topik, maksud dan tujuan pelajaran (2 menit).
  2. Persiapan mempelajari materi baru dengan mengulang materi yang telah dipelajari sebelumnya (15 menit).
  3. Pengenalan materi baru (10 menit)
  4. Pemahaman awal dan konsolidasi pengetahuan baru (15 menit).
  5. Tugas pekerjaan rumah (1 menit).
  6. Kesimpulannya (2 menit).

Selama kelas

1. Momen organisasi.

Topik pelajaran diumumkan: “Turunan dari fungsi eksponensial. Nomor e.”, tujuan, sasaran. Geser 1. Presentasi

2. Aktivasi ilmu pendukung.

Untuk melakukan ini, pada tahap pertama pelajaran kita akan menjawab pertanyaan dan memecahkan masalah pengulangan. Geser 2.

Di papan tulis, dua siswa mengerjakan kartu, menyelesaikan tugas seperti B8 Unified State Examination.

Tugas untuk siswa pertama:

Tugas untuk siswa kedua:

Siswa lainnya melakukan pekerjaan mandiri sesuai dengan pilihan berikut:

Pilihan 1 pilihan 2
1. 1.
2. 2.
3.
3.
4.
4.
5. 5.

Berpasangan bertukar solusi dan mengecek pekerjaan masing-masing, mengecek jawaban pada slide 3.

Keputusan dan jawaban siswa yang bekerja di dewan dipertimbangkan.

Memeriksa pekerjaan rumah No.1904. Slide 4 ditampilkan.

3. Memperbarui topik pelajaran, menciptakan situasi masalah.

Guru meminta untuk mendefinisikan fungsi eksponensial dan menyebutkan sifat-sifat fungsi y = 2 x. Grafik fungsi eksponensial digambarkan sebagai garis halus yang setiap titiknya dapat ditarik garis singgungnya. Namun keberadaan garis singgung grafik suatu fungsi di suatu titik dengan absis x 0 setara dengan diferensiasinya di x 0.

Untuk grafik fungsi y = 2 x dan y = 3 x, kita tarik garis singgungnya di titik dengan absis 0. Sudut kemiringan garis singgung tersebut terhadap sumbu absis masing-masing kira-kira sama dengan 35° dan 48° . Geser 5.

Kesimpulan: jika basis fungsi eksponensial A bertambah dari 2 menjadi, misalnya 10, maka sudut antara garis singgung grafik fungsi di titik x = 0 dan sumbu x berangsur-angsur bertambah dari 35° menjadi 66,5°. Masuk akal untuk berasumsi bahwa ada alasannya A, yang sudutnya adalah 45

Terbukti ada bilangan yang lebih besar dari 2 dan kurang dari 3. Biasanya dilambangkan dengan huruf e. Dalam matematika ditetapkan bahwa bilangan e– tidak rasional, yaitu mewakili pecahan non-periodik desimal tak terbatas.

e = 2,7182818284590…

Catatan (tidak terlalu serius). Geser 6.

Pada slide 7 berikutnya, potret matematikawan hebat muncul - John Napier, Leonhard Euler dan informasi singkat tentang mereka.

  • Perhatikan sifat-sifat fungsi y=e x
  • Bukti Teorema 1. Slide 8.
  • Bukti Teorema 2. Slide 9.

4. Jeda dinamis atau relaksasi mata.

(Posisi awal - duduk, setiap latihan diulang 3-4 kali):

1. Bersandar ke belakang, tarik napas dalam-dalam, lalu sambil mencondongkan tubuh ke depan, buang napas.

2. Bersandar di kursi, tutup kelopak mata, tutup mata rapat-rapat tanpa membuka kelopak mata.

3. Lengan sepanjang badan, gerakan melingkar bahu maju mundur.

5. Konsolidasi materi yang dipelajari.

5.1 Penyelesaian latihan No.538, No.540, No.544c.

5.2 Penerapan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan secara mandiri. Pekerjaan verifikasi dalam bentuk tes. Waktu penyelesaian tugas – 5 menit.

Kriteria evaluasi:

“5” – 3 poin

“4” – 2 poin

"3" - 1 poin

6. Menyimpulkan hasil pekerjaan dalam pembelajaran.

  1. Cerminan.
  2. Penilaian.
  3. Penyerahan tugas tes.

7. Pekerjaan Rumah: ayat 41 (1, 2); Nomor 539 (a,b,d); 540 (c, d), 544 (a, b).

“Segmen Tertutup” No. 1950, 2142.

Grafik fungsi eksponensial adalah garis lengkung mulus tanpa kekusutan, yang dapat ditarik garis singgung pada setiap titik yang dilaluinya. Masuk akal untuk berasumsi bahwa jika suatu garis singgung dapat ditarik, maka fungsinya akan terdiferensiasi pada setiap titik dalam domain definisinya.

Mari kita tampilkan beberapa grafik fungsi y = x a pada sumbu koordinat yang sama Untuk a = 2; sebuah = 2,3; sebuah = 3; sebuah = 3,4.

Di suatu titik dengan koordinat (0;1). Sudut garis singgung ini masing-masing kira-kira 35, 40, 48 dan 51 derajat. Masuk akal untuk berasumsi bahwa dalam interval 2 hingga 3 terdapat bilangan yang sudut kemiringan garis singgungnya adalah 45 derajat.

Mari kita rumuskan pernyataan ini secara tepat: ada bilangan yang lebih besar dari 2 dan kurang dari 3, dilambangkan dengan huruf e, sehingga fungsi eksponensial y = e x di titik 0 mempunyai turunan sama dengan 1. Yaitu: (e ∆x -1) / ∆x cenderung ke 1 karena ∆x cenderung ke nol.

Nomor ini e tidak rasional dan ditulis sebagai pecahan desimal non-periodik tak hingga:

e = 2,7182818284…

Karena e positif dan bukan nol, maka ada logaritma yang berbasis e. Logaritma ini disebut logaritma natural. Dilambangkan dengan ln(x) = log e (x).

Turunan dari fungsi eksponensial

Teorema: Fungsi e x terdiferensiasi pada setiap titik pada domain definisinya, dan (e x)’ = e x .

Fungsi eksponensial a x terdiferensialkan pada setiap titik domain definisinya, dan (a x)’ = (a x)*ln(a).
Akibat wajar dari teorema ini adalah kenyataan bahwa fungsi eksponensial kontinu di titik mana pun dalam domain definisinya.

Contoh: carilah turunan dari fungsi y = 2 x.

Dengan menggunakan rumus turunan fungsi eksponensial, kita memperoleh:

(2 x)' = (2 x)*ln(2).

Jawaban: (2 x)*ln(2).

Antiturunan dari fungsi eksponensial

Untuk fungsi eksponensial a x yang didefinisikan pada himpunan bilangan real, antiturunannya adalah fungsi (a x)/(ln(a)).
ln(a) adalah suatu konstanta, maka (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x untuk sembarang x. Kami telah membuktikan teorema ini.

Mari kita perhatikan contoh mencari antiturunan dari fungsi eksponensial.

Contoh: carilah antiturunan dari fungsi f(x) = 5 x. Mari kita gunakan rumus yang diberikan di atas dan aturan untuk mencari antiturunan. Kita peroleh: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Topik: Turunan dari fungsi eksponensial. Nomor .

Tujuan didaktik: membentuk gagasan tentang bilangan e, membuktikan diferensiabilitas fungsi kapan saja , diferensiasi fungsi . Berikan konsepnya logaritma natural.

Tujuan perkembangan: mengembangkan kemampuan melakukan perhitungan dengan cepat dan benar menggunakan komputer pribadi.

Tujuan pendidikan: terus mengembangkan kemampuan untuk memahami dengan benar dan mengingat secara aktif informasi baru, Itu adalah kualitas yang paling penting spesialis masa depan.

Alat peraga: poster.

selebaran: kartu tugas untuk pekerjaan individu. Peralatan: komputer guru, proyektor multimedia, layar. Motivasi aktivitas kognitif siswa. Jelaskan pentingnya peran logaritma dalam mata kuliah matematika, serta dalam disiplin ilmu teknik umum dan khusus, sambil menekankan pentingnya bilangan e dan logaritma natural.

Selama kelas.

I. Momen organisasi.

II. Penjelasan materi baru.

1) Grafik fungsi eksponensial.

3) Nomor .

4) Perhitungan angka .

5) Rumus turunan fungsi eksponensial.

6) Hitung logaritma natural menggunakanMSUnggul.

7) Antiturunan dari fungsi eksponensial.

8) 3 arti angka .

AKU AKU AKU. Contoh pemecahan.

IV. Ringkasan pelajaran.

V. Pekerjaan rumah.

Penjelasan. Grafik fungsi eksponensial digambarkan sebagai garis halus (yaitu tanpa kekusutan), yang dapat ditarik garis singgung di setiap titik. Namun adanya garis singgung pada grafik suatu fungsi pada titik dengan absis setara dengan diferensiasinya dalam x 0 . Oleh karena itu, wajar untuk berasumsi bahwa ia dapat terdiferensiasi di semua titik dalam domain definisi. Mari kita menggambar beberapa grafik fungsi y=a X untuk y=2 X , kamu=Z X , kamu=2,З X (Lampiran No.1)

Mari kita menggambar garis singgungnya di titik absis . Garis singgung yang terletak pada grafik berbeda-beda. Kami mengukur sudut kemiringan masing-masing garis singgung terhadap sumbu absis dan memastikan bahwa sudut kemiringan garis singgung ini kira-kira sama dengan 35°...51°, mis. dengan bertambahnya a, koefisien sudut terhadap grafik di titik M(0;1) berangsur-angsur meningkat daritg35 sampaitg51.

Ada bilangan yang lebih besar dari 2 dan kurang dari 3 sehingga fungsi eksponensial y = a X di titik 0 mempunyai turunan sama dengan 1. Basis fungsi ini biasanya dilambangkan dengan huruf e. Bilangan e tidak rasional, oleh karena itu ditulis dalam bentuk tak terhingga desimal

e ≈ 2.7182818284…

Dengan menggunakan komputer, ditemukan lebih dari 2 ribu tempat desimal dari angka e. Angka pertama adalah 2.718288182459045 ~ 2.7.

Fungsi sering disebut eksponen. Angka yang dihasilkan memainkan peran besar dalam matematika tingkat tinggi, seperti angka terkenal 3.14. Rumus turunan fungsi eksponensial.

Teorema 1. Fungsi .

Bukti. Menemukan kenaikan fungsi

pada .

Menurut definisi turunan , yaitu untuk apa pun .

Buktikan itu sendiri.

Contoh.

Saya beri definisi: Logaritma natural adalah logaritma ke basis :

Teorema 2. Fungsi eksponensial dapat dibedakan di setiap titik dalam domain definisi, dan .

Contoh. , . Temukan turunan fungsi.

Menghitung logaritma natural menggunakanMSUnggul.

Contoh. Mari kita jelajahi fungsinya untuk naik (menurun) dan ekstrem dan membuat grafiknya.

Karena untuk apa pun , maka tandanya bertepatan dengan tandanya . Karena itu pada , - meningkat

pada , - berkurang.

Untuk membuat grafik kami menggunakan programMSUnggul.

Antiturunan dari fungsi eksponensial.

Teorema 3. Antiturunan untuk fungsi tersebut padaRadalah sebuah fungsi . Bukti:

Contoh:

A) ,

B) ,

V) , .

d) Hitung luas gambar, dibatasi oleh garis , , , .

Arti dari e.

Nomor yang dihasilkan memainkan peran besar dalam matematika, fisika, astronomi, biologi dan ilmu-ilmu lainnya. Berikut ini beberapa:

Ini sungguh mulia

Ini cukup banyak membantu

Jelaskan kepada Anda dan saya

Tahun lahir Tolstoy L.N. 2.71828

rumus Euler.

Leonhard Euler (1707-1783) Ahli matematika terkenal abad ke-18. Euler menetapkan ketergantungan gaya gesekan pada jumlah putaran tali di sekitar tiang.

, -kekuatan yang menjadi sasaran upaya kita ; e;

Koefisien gesekan antara tali dan tiang, - sudut belitan, mis. perbandingan panjang busur yang ditutupi tali dengan jari-jari busur tersebut. Dalam kehidupan sehari-hari, tanpa kita sadari, kita sering memanfaatkan manfaat yang ditunjukkan oleh rumus Euler.

Apa itu simpul? Ini adalah tali yang dililitkan pada roller. Bagaimana jumlah yang lebih besar putaran tali, semakin besar gesekannya. Aturan untuk memperbesar gesekan adalah dengan bertambahnya jumlah putaran dalam barisan aritmatika, maka gesekan bertambah dalam barisan geometri.

Penjahit secara tidak sadar memanfaatkan keadaan yang sama saat menjahit kancing. Ia melilitkan benang berkali-kali pada area bahan yang terjepit jahitan lalu memutusnya, kecuali jika benangnya kuat maka kancingnya tidak akan lepas. Di sini aturan yang sudah kita kenal berlaku: dengan peningkatan jumlah putaran benang dalam deret aritmatika, kekuatan menjahit meningkat secara eksponensial. Jika tidak ada gesekan, kami tidak dapat menggunakan kancing: benang akan terurai karena beratnya dan kancing akan terlepas. , -Ludwig Boltzmann (1844-1906), seorang fisikawan Austria yang menemukan hukum dasar alam, yang menentukan arah semua proses fisik yang cenderung menuju keseimbangan sebagai keadaan yang paling mungkin. -entropi, yaitu ukuran pencapaian sistem keseimbangan, -probabilitas keadaan sistem.

Ringkasan pelajaran. Pekerjaan Rumah : No.538, No.542

Lampiran No.1