Tabel fungsi turunan dengan argumen kompleks. Aturan untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks. Turunan fungsi kompleks dari beberapa variabel

Sejak Anda datang ke sini, Anda mungkin sudah melihat rumus ini di buku teks

dan buatlah wajah seperti ini:

Teman, jangan khawatir! Faktanya, semuanya sungguh keterlaluan. Anda pasti akan mengerti segalanya. Hanya satu permintaan - baca artikelnya perlahan-lahan, cobalah untuk memahami setiap langkah. Saya menulis sesederhana dan sejelas mungkin, tetapi Anda tetap perlu memahami idenya. Dan pastikan untuk menyelesaikan tugas-tugas dari artikel tersebut.

Apa yang dimaksud dengan fungsi kompleks?

Bayangkan Anda pindah ke apartemen lain dan karena itu mengemas barang-barang ke dalam kotak besar. Misalkan Anda perlu mengumpulkan beberapa barang kecil, misalnya bahan tulis sekolah. Jika Anda membuangnya begitu saja ke dalam kotak besar, antara lain mereka akan hilang. Untuk menghindarinya, masukkan dulu, misalnya ke dalam tas, lalu masukkan ke dalam kotak besar, lalu tutup rapat. Proses “kompleks” ini disajikan dalam diagram di bawah ini:

Tampaknya, apa hubungannya matematika dengan itu? Ya, meskipun fungsi kompleks dibentuk dengan cara yang PERSIS! Hanya saja kita “mengemas” bukan buku catatan dan pulpen, melainkan \(x\), sedangkan “paket” dan “kotak” berbeda.

Sebagai contoh, mari kita ambil x dan “mengemasnya” ke dalam sebuah fungsi:

Sebagai hasilnya, tentu saja kita mendapatkan \(\cos⁡x\). Ini adalah “kantong barang” kami. Sekarang mari kita masukkan ke dalam “kotak” - kemas, misalnya, ke dalam fungsi kubik.

Apa yang akan terjadi pada akhirnya? Ya, benar, akan ada “sekantong barang di dalam kotak”, yaitu “kosinus X pangkat tiga”.

Desain yang dihasilkan merupakan fungsi yang kompleks. Ini berbeda dari yang sederhana dalam hal itu BEBERAPA “pengaruh” (paket) diterapkan pada satu X berturut-turut dan ternyata “fungsi dari fungsi” - “pengemasan di dalam kemasan”.

DI DALAM kursus sekolah Jenis “paket” ini sangat sedikit, hanya ada empat:

Sekarang mari kita “mengemas” X terlebih dahulu ke dalam fungsi eksponensial dengan basis 7, lalu ke dalam fungsi trigonometri. Kita mendapatkan:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Sekarang mari kita “mengemas” X dua kali ke dalamnya fungsi trigonometri, pertama di , dan kemudian di:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Sederhana, bukan?

Sekarang tulis sendiri fungsinya, di mana x:
- pertama “dikemas” ke dalam kosinus, dan kemudian ke dalam fungsi eksponensial dengan basis \(3\);
- pertama pangkat kelima, lalu singgung;
- pertama ke logaritma ke basis \(4\) , lalu pangkat \(-2\).

Temukan jawaban atas tugas ini di akhir artikel.

Bisakah kita “mengemas” X bukan dua, tapi tiga kali? Tidak masalah! Dan empat, dan lima, dan dua puluh lima kali. Di sini, misalnya, adalah fungsi di mana x “dikemas” \(4\) kali:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Namun rumus seperti itu tidak akan ditemukan dalam praktik sekolah (siswa lebih beruntung - rumusnya mungkin lebih rumit☺).

"Membongkar" fungsi yang kompleks

Lihat kembali fungsi sebelumnya. Bisakah Anda mengetahui urutan “pengemasan”? X apa yang dimasukkan terlebih dahulu, lalu apa, dan seterusnya hingga akhir. Artinya, fungsi mana yang bersarang di dalamnya? Ambil selembar kertas dan tuliskan apa yang Anda pikirkan. Anda dapat melakukan ini dengan rantai dengan panah seperti yang kami tulis di atas atau dengan cara lain.

Sekarang jawaban yang benar adalah: pertama, x “dikemas” ke dalam pangkat \(4\), kemudian hasilnya dimasukkan ke dalam sinus, selanjutnya dimasukkan ke dalam logaritma ke basis \(2\) , dan pada akhirnya seluruh konstruksi ini dimasukkan ke dalam kekuatan lima.

Artinya, Anda perlu melepas urutannya DALAM URUTAN TERBALIK. Dan inilah petunjuk bagaimana melakukannya dengan lebih mudah: segera lihat X – Anda harus menari darinya. Mari kita lihat beberapa contoh.

Misalnya, berikut adalah fungsi berikut: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Kita melihat X - apa yang terjadi pertama kali? Diambil darinya. Kemudian? Garis singgung dari hasilnya diambil. Urutannya akan sama:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Contoh lain: \(y=\cos⁡((x^3))\). Mari kita analisis - pertama kita potong dadu X, lalu ambil kosinus hasilnya. Artinya barisannya adalah: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Perhatikan, fungsinya sepertinya mirip dengan yang pertama (yang ada gambarnya). Namun fungsi ini sangat berbeda: di sini, di dalam kubus terdapat x (yaitu, \(\cos⁡((x·x·x))))\), dan di dalam kubus terdapat kosinus \(x\) ( yaitu \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Perbedaan ini muncul dari urutan “pengemasan” yang berbeda.

Contoh terakhir (dengan informasi penting di dalamnya): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jelas di sini mereka terlebih dahulu melakukan operasi aritmatika dengan x, lalu mengambil sinus hasilnya: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Dan ini adalah poin penting: meskipun operasi aritmatika bukanlah fungsi itu sendiri, di sini operasi tersebut juga bertindak sebagai cara untuk "mengemas". Mari kita selidiki lebih dalam kehalusan ini.

Seperti yang saya katakan di atas, dalam fungsi sederhana x “dikemas” satu kali, dan dalam fungsi kompleks - dua atau lebih. Selain itu, setiap kombinasi fungsi sederhana (yaitu jumlah, selisih, perkalian atau pembagiannya) juga merupakan fungsi sederhana. Misalnya, \(x^7\) adalah fungsi sederhana dan begitu pula \(ctg x\). Artinya semua kombinasinya merupakan fungsi sederhana:

\(x^7+ ctg x\) - sederhana,
\(x^7· tempat tidur x\) – sederhana,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – sederhana, dll.

Namun, jika fungsi lain diterapkan pada kombinasi tersebut, maka akan menjadi fungsi kompleks, karena akan ada dua “paket”. Lihat diagram:

Oke, silakan sekarang. Tuliskan urutan fungsi “pembungkus”:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Jawabannya ada lagi di akhir artikel.

Fungsi internal dan eksternal

Mengapa kita perlu memahami fungsi yang bersarang? Apa manfaatnya bagi kita? Faktanya adalah tanpa analisis seperti itu kita tidak akan dapat menemukan turunan dari fungsi yang dibahas di atas dengan andal.

Dan untuk melanjutkan, kita memerlukan dua konsep lagi: fungsi internal dan eksternal. Ini adalah hal yang sangat sederhana, apalagi sebenarnya kita sudah menganalisisnya di atas: jika kita mengingat analogi kita di awal, maka fungsi internal adalah "paket", dan fungsi eksternal adalah "kotak". Itu. apa yang “dibungkus” X terlebih dahulu adalah fungsi internal, dan apa yang “dibungkus” dengan fungsi internal sudah menjadi fungsi eksternal. Yah, jelas alasannya - dia di luar, itu berarti di luar.

Dalam contoh ini: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), fungsi \(\log_2⁡x\) bersifat internal, dan
- eksternal.

Dan dalam hal ini: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) adalah internal, dan
- eksternal.

Selesaikan latihan terakhir dalam menganalisis fungsi kompleks, dan akhirnya mari kita lanjutkan ke tujuan awal kita - kita akan menemukan turunan dari fungsi kompleks:

Isilah bagian yang kosong pada tabel:

Turunan dari fungsi kompleks

Bravo bagi kami, kami akhirnya sampai pada "bos" dari topik ini - sebenarnya, turunan fungsi yang kompleks, dan khususnya, formula yang sangat buruk dari awal artikel.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Rumusnya berbunyi seperti ini:

Turunan fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi luar terhadap konstanta fungsi dalam dan turunan fungsi dalam.

Dan segera lihat diagram parsing “kata demi kata” untuk memahami apa itu:

Saya berharap istilah “turunan” dan “produk” tidak menimbulkan kesulitan. "Fungsi kompleks" - kami telah mengatasinya. Tangkapannya ada pada “turunan dari fungsi eksternal terhadap fungsi internal yang konstan.” Apa itu?

Jawaban: Ini adalah turunan biasa dari fungsi eksternal, yang hanya fungsi eksternalnya yang berubah, dan fungsi internalnya tetap sama. Masih belum jelas? Oke, mari kita gunakan sebuah contoh.

Misalkan kita mempunyai fungsi \(y=\sin⁡(x^3)\). Jelas bahwa fungsi internal di sini adalah \(x^3\), dan eksternal
. Sekarang mari kita cari turunan eksterior terhadap konstanta interior.

Pelajaran ini dikhususkan untuk topik “Diferensiasi fungsi kompleks. Soal dari latihan persiapan UN Unified State bidang matematika.” Pelajaran ini mengeksplorasi membedakan fungsi kompleks. Tabel turunan dari fungsi kompleks telah disusun. Selain itu, contoh pemecahan masalah dari praktik persiapan Ujian Negara Bersatu dalam matematika juga dipertimbangkan.

Topik: Derivatif

Pelajaran: Membedakan fungsi kompleks. Tugas latihan untuk mempersiapkan Ujian Negara Bersatu dalam matematika

Kompleksfungsi kita sudah membedakannya, tapi argumennya dulu fungsi linear, yaitu kita mengetahui cara membedakan fungsinya . Misalnya, . Sekarang, dengan cara yang sama, kita akan menemukan turunan dari fungsi kompleks, yang mungkin terdapat fungsi lain selain fungsi linier.

Mari kita mulai dengan fungsinya

Jadi, kami menemukan turunan sinus dari fungsi kompleks, yang argumen sinusnya adalah fungsi kuadrat.

Jika Anda perlu mencari nilai turunan pada suatu titik tertentu, maka titik tersebut harus disubstitusikan ke turunan yang ditemukan.

Jadi, dalam dua contoh kita melihat cara kerja aturan tersebut diferensiasi kompleks fungsi.

2.

3. . Izinkan kami mengingatkan Anda akan hal itu.

7.

8. .

Dengan demikian, kita akan menyelesaikan tabel diferensiasi fungsi kompleks pada tahap ini. Selanjutnya tentu saja akan digeneralisasikan lebih jauh lagi, namun sekarang mari kita beralih ke permasalahan spesifik pada turunannya.

Dalam praktik persiapan Ujian Negara Bersatu, tugas-tugas berikut diusulkan.

Temukan minimum suatu fungsi .

ODZ: .

Mari kita cari turunannya. Mari kita ingat bahwa, .

Mari kita samakan turunannya dengan nol. Titik tersebut termasuk dalam ODZ.

Mari kita cari interval tanda konstan turunannya (interval monotonisitas fungsi) (lihat Gambar 1).

Beras. 1. Interval monotonisitas suatu fungsi .

Mari kita lihat suatu titik dan cari tahu apakah itu merupakan titik ekstrem. Tanda ekstrem yang cukup adalah turunannya berubah tanda ketika melewati suatu titik. Dalam hal ini turunannya berubah tanda, artinya merupakan titik ekstrem. Karena turunannya berubah tanda dari “-” menjadi “+”, maka ini adalah titik minimumnya. Mari kita cari nilai fungsi pada titik minimum: . Mari kita menggambar diagram (lihat Gambar 2).

Gambar.2. Fungsi ekstrem .

Pada interval - fungsinya berkurang, pada - fungsinya meningkat, titik ekstremnya unik. Nilai terendah fungsi hanya menerima pada titik tersebut.

Pada pembelajaran kita melihat diferensiasi fungsi kompleks, menyusun tabel dan melihat aturan-aturan untuk membedakan fungsi kompleks, serta memberikan contoh penggunaan turunan dari latihan persiapan UN.

1. Aljabar dan awal analisis, kelas 10 (dalam dua bagian). Tutorial untuk lembaga pendidikan (tingkat profil) edisi. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Aljabar dan Analisis Awal Kelas 10 (dalam dua bagian). Buku Soal Institusi Pendidikan (Tingkat Profil), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Aljabar dan kalkulus untuk kelas 10 ( tutorial untuk siswa sekolah dan kelas dengan studi mendalam matematika).-M.: Pendidikan, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studi lanjutan tentang aljabar dan analisis matematis.-M.: Pendidikan, 1997.

5. Kumpulan soal-soal matematika bagi pelamar perguruan tinggi (diedit oleh M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator aljabar.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Aljabar Chinkina dan awal mula analisis. Kelas 8-11: Panduan untuk sekolah dan kelas dengan pembelajaran matematika yang mendalam (materi didaktik) - M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Soal aljabar dan prinsip analisis (panduan untuk siswa kelas 10-11 lembaga pendidikan umum) - M.: Prosveshchenie, 2003.

9. Karp A.P. Kumpulan soal aljabar dan prinsip analisis: buku teks. tunjangan untuk kelas 10-11. dengan kedalaman dipelajari Matematika.-M.: Pendidikan, 2006.

10. Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. Kelas 9-10 (panduan untuk guru).-M.: Pendidikan, 1983

Sumber daya web tambahan

2. Pintu gerbang Ilmu pengetahuan Alam ().

Buatlah di rumah

42.2, 42.3 (Aljabar dan permulaan analisis, kelas 10 (dalam dua bagian). Buku soal untuk lembaga pendidikan umum (tingkat profil) diedit oleh A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)

Memutuskan tugas fisik atau contoh dalam matematika sama sekali tidak mungkin dilakukan tanpa mengetahui turunan dan metode penghitungannya. Turunan adalah salah satu konsep terpenting dalam analisis matematika. Kami memutuskan untuk mendedikasikan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa yang dimaksud dengan turunan, apa sifat fisisnya dan makna geometris bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini bisa digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?

Arti geometri dan fisis turunan

Biarlah ada fungsinya f(x) , ditentukan dalam interval tertentu (a, b) . Poin x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Mengubah argumen - perbedaan nilainya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai suatu fungsi di dua titik. Definisi turunan:

Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada suatu titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika argumen tersebut cenderung nol.

Kalau tidak, dapat ditulis seperti ini:

Apa gunanya menemukan batasan seperti itu? Dan inilah isinya:

turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di suatu titik tertentu.

Arti fisik turunan: turunan lintasan terhadap waktu sama dengan kecepatan gerak lurus.

Memang sejak masa sekolah semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur tertentu x=f(t) dan waktu T . Kecepatan rata-rata dalam jangka waktu tertentu:

Untuk mengetahui kecepatan gerak pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batasnya:

Aturan satu: tetapkan konstanta

Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi hal ini harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, anggaplah sebagai aturan - Jika Anda dapat menyederhanakan suatu ekspresi, pastikan untuk menyederhanakannya .

Contoh. Mari kita hitung turunannya:

Aturan kedua: turunan dari jumlah fungsi

Turunan dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama juga berlaku untuk turunan selisih fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.

Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Aturan ketiga: turunan dari produk fungsi

Turunan hasil kali dua fungsi terdiferensiasi dihitung dengan rumus:

Contoh: mencari turunan suatu fungsi:

Larutan:

Penting untuk membicarakan penghitungan turunan fungsi kompleks di sini. Turunan suatu fungsi kompleks sama dengan hasil kali turunan fungsi tersebut terhadap argumen perantara dan turunan argumen perantara terhadap variabel bebas.

Dalam contoh di atas kita menemukan ungkapan:

Dalam hal ini, argumen perantaranya adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita menghitung turunan fungsi eksternal terhadap argumen perantara, dan kemudian mengalikannya dengan turunan dari argumen perantara itu sendiri terhadap variabel bebas.

Aturan empat: turunan dari hasil bagi dua fungsi

Rumus untuk menentukan turunan hasil bagi dua fungsi:

Kami mencoba membicarakan turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kelihatannya, jadi berhati-hatilah: sering kali terdapat kesalahan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.

Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda menyelesaikan tes yang paling sulit dan memahami tugas-tugasnya, meskipun Anda belum pernah melakukan perhitungan turunan sebelumnya.

Sangat mudah diingat.

Baiklah, tidak usah jauh-jauh, langsung saja kita simak fungsi terbalik. Fungsi manakah yang merupakan kebalikan dari Fungsi eksponensial? Logaritma:

Dalam kasus kami, basisnya adalah angka:

Logaritma seperti itu (yaitu, logaritma dengan basis) disebut “alami”, dan kami menggunakan notasi khusus untuk itu: kami menulisnya.

Sama dengan apa? Tentu saja, .

Turunan dari logaritma natural juga sangat sederhana:

Contoh:

1. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2. Berapakah turunan dari fungsi tersebut?

Jawaban: Peserta pameran dan logaritma natural- Fungsinya sangat sederhana dalam hal turunannya. Fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis lain akan mempunyai turunan yang berbeda, yang akan kita analisis nanti, setelah kita membahas aturan diferensiasi.

Aturan diferensiasi

Aturan apa? Lagi istilah baru, lagi?!...

Diferensiasi adalah proses mencari turunannya.

Itu saja. Apa lagi yang bisa Anda sebut proses ini dalam satu kata? Bukan turunan... Matematikawan menyebut diferensial sebagai pertambahan fungsi yang sama di. Istilah ini berasal dari bahasa Latin differential – perbedaan. Di Sini.

Saat menurunkan semua aturan ini, kita akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kita juga memerlukan rumus untuk kenaikannya:

Total ada 5 aturan.

Konstanta tersebut dikeluarkan dari tanda turunannya.

Jika - suatu bilangan konstan (konstan), maka.

Tentu saja, aturan ini juga berlaku untuk perbedaannya: .

Mari kita buktikan. Biarlah, atau lebih sederhana.

Contoh.

Temukan turunan dari fungsi:

1. pada suatu titik;
2. pada suatu titik;
3. pada suatu titik;
4. pada intinya.

Solusi:

1. (turunannya sama di semua titik, karena merupakan fungsi linier, ingat?);

Turunan dari produk

Semuanya serupa di sini: mari perkenalkan fungsi baru dan temukan kenaikannya:

Turunan:

Contoh:

1. Temukan turunan dari fungsi dan;
2. Temukan turunan fungsi di suatu titik.

Solusi:

Turunan dari fungsi eksponensial

Sekarang pengetahuan Anda sudah cukup untuk mempelajari cara mencari turunan fungsi eksponensial apa pun, dan bukan hanya eksponen (apakah Anda sudah lupa apa itu?).

Jadi, di mana nomornya.

Kita sudah mengetahui turunan dari fungsi tersebut, jadi mari kita coba mereduksi fungsi kita ke basis baru:

Untuk ini kami akan menggunakan aturan sederhana: . Kemudian:

Ya, itu berhasil. Sekarang coba cari turunannya, dan jangan lupa bahwa fungsi ini kompleks.

Telah terjadi?

Di sini, periksa diri Anda:

Rumusnya ternyata sangat mirip dengan turunan eksponen: semula tetap sama, hanya muncul faktor yang hanya berupa bilangan, bukan variabel.

Contoh:
Temukan turunan dari fungsi:

Jawaban:

Ini hanyalah angka yang tidak dapat dihitung tanpa kalkulator, yaitu tidak dapat dituliskan lagi dalam bentuk yang sederhana. Oleh karena itu, kami membiarkannya dalam bentuk ini dalam jawabannya.

Perhatikan bahwa ini adalah hasil bagi dua fungsi, jadi kami menerapkan aturan diferensiasi yang sesuai:

Dalam contoh ini, hasil kali dua fungsi:

Turunan dari fungsi logaritma

Di sini serupa: Anda sudah mengetahui turunan dari logaritma natural:

Oleh karena itu, untuk mencari logaritma sembarang dengan basis berbeda, misalnya:

Kita perlu mengurangi logaritma ini ke basis. Bagaimana cara mengubah basis logaritma? Saya harap Anda ingat rumus ini:

Hanya sekarang kami akan menulis:

Penyebutnya hanyalah sebuah konstanta (bilangan konstan, tanpa variabel). Turunannya diperoleh dengan sangat sederhana:

Turunan dari eksponensial dan fungsi logaritma hampir tidak pernah muncul di Unified State Examination, tapi tidak ada salahnya untuk mengetahuinya.

Turunan dari fungsi kompleks.

Apa yang dimaksud dengan "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan tangen busur. Fungsi-fungsi ini mungkin sulit untuk dipahami (walaupun jika Anda merasa logaritmanya sulit, bacalah topik “Logaritma” dan Anda akan baik-baik saja), tetapi dari sudut pandang matematika, kata “kompleks” tidak berarti “sulit”.

Bayangkan sebuah ban berjalan kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa benda. Misalnya, yang pertama membungkus sebatang coklat dengan bungkusnya, dan yang kedua mengikatnya dengan pita. Hasilnya adalah sebuah benda gabungan: sebatang coklat yang dibungkus dan diikat dengan pita. Untuk memakan sebatang coklat, Anda perlu melakukan langkah sebaliknya dalam urutan terbalik.

Mari kita membuat alur matematika serupa: pertama kita akan mencari kosinus suatu bilangan, lalu mengkuadratkan bilangan yang dihasilkan. Jadi, kita diberi nomor (cokelat), saya mencari cosinusnya (pembungkusnya), lalu Anda mengkuadratkan apa yang saya dapat (ikat dengan pita). Apa yang telah terjadi? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: ketika, untuk mencari nilainya, kita melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan kedua dengan hasil yang pertama.

Dengan kata lain, fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya merupakan fungsi lain: .

Sebagai contoh kita, .

Kita dapat dengan mudah melakukan langkah yang sama dalam urutan terbalik: pertama Anda mengkuadratkannya, lalu saya mencari kosinus dari bilangan yang dihasilkan: . Mudah ditebak bahwa hasilnya hampir selalu berbeda. Fitur penting dari fungsi kompleks: ketika urutan tindakan berubah, fungsinya pun berubah.

Contoh kedua: (hal yang sama). .

Tindakan yang terakhir kita lakukan akan dipanggil fungsi "eksternal"., dan tindakan yang dilakukan pertama kali - sesuai fungsi "internal".(ini nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa sederhana).

Coba tentukan sendiri mana fungsi eksternal dan mana internal:

Jawaban: Memisahkan fungsi dalam dan luar sangat mirip dengan mengubah variabel: misalnya, dalam suatu fungsi

1. Tindakan apa yang akan kita lakukan pertama kali? Pertama, mari kita hitung sinusnya, lalu pangkatkan. Artinya, ini adalah fungsi internal, tetapi fungsi eksternal.
   Dan fungsi aslinya adalah komposisinya: .
2. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
3. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
4. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
5. Dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .

Kami mengubah variabel dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kita akan mengekstrak coklat batangan kita dan mencari turunannya. Prosedurnya selalu terbalik: pertama kita mencari turunan fungsi luar, lalu kita mengalikan hasilnya dengan turunan fungsi dalam. Sehubungan dengan contoh aslinya, tampilannya seperti ini:

Contoh lain:

Jadi, mari kita rumuskan aturan resminya:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

Tampaknya sederhana, bukan?

Mari kita periksa dengan contoh:

Solusi:

1) Dalaman: ;

Eksternal: ;

2) Dalaman: ;

(Hanya saja, jangan mencoba memotongnya sekarang! Tidak ada yang keluar dari bawah kosinus, ingat?)

3) Dalaman: ;

Eksternal: ;

Segera jelas bahwa ini adalah fungsi kompleks tiga tingkat: lagi pula, ini sudah merupakan fungsi kompleks itu sendiri, dan kami juga mengekstrak akarnya, yaitu, kami melakukan tindakan ketiga (memasukkan coklat ke dalam bungkusnya dan dengan pita di tas kerja). Namun tidak ada alasan untuk takut: kami akan tetap “membongkar” fungsi ini dengan urutan yang sama seperti biasanya: dari akhir.

Artinya, pertama-tama kita bedakan akarnya, lalu kosinusnya, dan baru kemudian ekspresi dalam tanda kurung. Dan kemudian kita kalikan semuanya.

Dalam kasus seperti itu, akan lebih mudah untuk memberi nomor pada tindakan. Artinya, mari kita bayangkan apa yang kita ketahui. Dalam urutan apa kita akan melakukan tindakan untuk menghitung nilai ekspresi ini? Mari kita lihat sebuah contoh:

Semakin lama suatu tindakan dilakukan, semakin “eksternal” fungsi yang bersangkutan. Urutan tindakannya sama seperti sebelumnya:

Di sini sarangnya umumnya 4 tingkat. Mari kita tentukan tindakannya.

1. Ekspresi radikal. .

2. Akar. .

3. Sinus. .

4. Persegi. .

5. Menyatukan semuanya:

TURUNAN. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Turunan dari suatu fungsi- rasio pertambahan fungsi dengan pertambahan argumen untuk pertambahan argumen yang sangat kecil:

Turunan dasar:

Aturan diferensiasi:

Konstanta dikeluarkan dari tanda turunannya:

Turunan dari jumlah:

Turunan dari produk:

Turunan dari hasil bagi:

Turunan dari fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

1. Kami mendefinisikan fungsi "internal" dan mencari turunannya.
2. Kami mendefinisikan fungsi "eksternal" dan mencari turunannya.
3. Kita kalikan hasil poin pertama dan kedua.

Jika mengikuti definisi tersebut, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi tersebut Δ kamu dengan kenaikan argumen Δ X:

Segalanya tampak jelas. Tapi coba gunakan rumus ini untuk menghitung, katakanlah, turunan suatu fungsi F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X dosa X. Jika Anda melakukan semuanya sesuai definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.

Pertama-tama, kita perhatikan bahwa dari seluruh ragam fungsi kita dapat membedakan apa yang disebut fungsi dasar. Itu relatif ekspresi sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan dicantumkan dalam tabel. Fungsi seperti itu cukup mudah diingat - beserta turunannya.

Turunan dari fungsi dasar

Semua fungsi dasar tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus dihafal. Selain itu, menghafalnya sama sekali tidak sulit - itulah mengapa mereka bersifat dasar.

Jadi, turunan dari fungsi dasar:

Nama	Fungsi	Turunan
Konstan	F(X) = C, C ∈ R	0 (ya, nol!)
Kekuatan dengan eksponen rasional	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinus	F(X) = dosa X	karena X
Kosinus	F(X) = karena X	−dosa X(dikurangi sinus)
Garis singgung	F(X) = tg X	1/karena 2 X
Kotangens	F(X) = ctg X	− 1/dosa 2 X
Logaritma natural	F(X) = catatan X	1/X
Logaritma sewenang-wenang	F(X) = catatan A X	1/(X dalam A)
Fungsi eksponensial	F(X) = e X	e X(Tidak ada yang berubah)

Jika suatu fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru tersebut juga mudah dihitung:

(C · F)’ = C · F ’.

Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Misalnya:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Jelasnya, fungsi-fungsi dasar dapat dijumlahkan, dikalikan, dibagi - dan masih banyak lagi. Dengan demikian akan muncul fungsi-fungsi baru, tidak lagi bersifat dasar, tetapi juga dibedakan menurut aturan-aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah ini.

Turunan dari jumlah dan selisih

Biarkan fungsinya diberikan F(X) Dan G(X), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat mencari turunan dari jumlah dan selisih fungsi berikut:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Misalnya, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Sebenarnya, tidak ada konsep “pengurangan” dalam aljabar. Ada konsep “elemen negatif”. Oleh karena itu perbedaannya F − G dapat ditulis ulang sebagai jumlah F+ (−1) G, dan hanya satu rumus yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.

F(X) = X 2 + dosa x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Fungsi F(X) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, oleh karena itu:

F ’(X) = (X 2 + dosa X)’ = (X 2)' + (dosa X)’ = 2X+ karena x;

Kami beralasan serupa untuk fungsinya G(X). Hanya saja sudah ada tiga suku (dari sudut pandang aljabar):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Menjawab:
F ’(X) = 2X+ karena x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Turunan dari produk

Matematika merupakan ilmu logika, sehingga banyak orang yang meyakini bahwa jika turunan suatu penjumlahan sama dengan jumlah turunannya, maka turunan dari hasil perkaliannya memukul">sama dengan hasil kali turunan. Tapi persetan! Turunan suatu hasil kali dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Rumusnya sederhana, namun sering dilupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tapi juga pelajar. Hasilnya adalah masalah yang diselesaikan secara tidak benar.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = X 3 karena x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Fungsi F(X) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:

F ’(X) = (X 3 karena X)’ = (X 3)' karena X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 karena X + X 3 (− dosa X) = X 2 (3ko X − X dosa X)

Fungsi G(X) faktor pertama sedikit lebih rumit, tapi skema umum ini tidak berubah. Jelasnya, faktor pertama adalah fungsinya G(X) adalah polinomial dan turunannya merupakan turunan dari jumlah tersebut. Kita punya:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Menjawab:
F ’(X) = X 2 (3ko X − X dosa X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Harap dicatat bahwa pada langkah terakhir turunannya difaktorkan. Secara formal, hal ini tidak perlu dilakukan, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, melainkan untuk menguji fungsinya. Artinya, selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, ditentukan tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti ini, lebih baik ekspresi difaktorkan.

Jika ada dua fungsi F(X) Dan G(X), Dan G(X) ≠ 0 pada himpunan yang kita minati, kita dapat mendefinisikan fungsi baru H(X) = F(X)/G(X). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat mencari turunannya:

Tidak lemah, ya? Minusnya dari mana? Mengapa G 2? Dan seperti ini! Ini adalah salah satu formula yang paling rumit - Anda tidak dapat mengetahuinya tanpa botol. Oleh karena itu, lebih baik mempelajarinya dengan contoh-contoh spesifik.

Tugas. Temukan turunan fungsi:

Pembilang dan penyebut setiap pecahan mengandung fungsi dasar, jadi yang kita perlukan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:

Menurut tradisi, mari kita memfaktorkan pembilangnya - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:

Fungsi kompleks belum tentu merupakan rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya saja mengambil fungsinya saja F(X) = dosa X dan ganti variabelnya X, katakanlah, aktif X 2 + ln X. Ini akan berhasil F(X) = dosa ( X 2 + ln X) - ini adalah fungsi yang kompleks. Ia juga memiliki turunannya, tetapi tidak mungkin menemukannya menggunakan aturan yang dibahas di atas.

Apa yang harus saya lakukan? Dalam kasus seperti itu, mengganti variabel dan rumus dengan turunan fungsi kompleks akan membantu:

F ’(X) = F ’(T) · T', Jika X digantikan oleh T(X).

Biasanya, situasi pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan dibandingkan dengan turunan hasil bagi. Oleh karena itu, ada baiknya juga menjelaskannya dengan menggunakan contoh spesifik, dengan penjelasan rinci setiap langkahnya.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = dosa ( X 2 + ln X)

Perhatikan bahwa jika dalam fungsinya F(X) alih-alih ekspresi 2 X+3 akan mudah X, maka kita mendapatkan fungsi dasar F(X) = e X. Oleh karena itu, kami melakukan penggantian: misalkan 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Kita mencari turunan fungsi kompleks menggunakan rumus:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Dan sekarang - perhatian! Kami melakukan penggantian terbalik: T = 2X+ 3. Kita mendapatkan:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Sekarang mari kita lihat fungsinya G(X). Jelas itu perlu diganti X 2 + ln X = T. Kita punya:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (dosa T)’ · T' = karena T · T ’

Penggantian terbalik: T = X 2 + ln X. Kemudian:

G ’(X) = karena ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Itu saja! Seperti dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh masalah direduksi menjadi menghitung jumlah turunan.

Menjawab:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) karena ( X 2 + ln X).

Seringkali dalam pelajaran saya, alih-alih menggunakan istilah “turunan”, saya menggunakan kata “prima”. Misalnya, pukulan dari penjumlahan sama dengan jumlah pukulan. Apakah itu lebih jelas? Itu bagus.

Jadi, penghitungan turunannya dilakukan untuk menghilangkan goresan yang sama sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir Mari kita kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:

(X N)’ = N · X N − 1

Hanya sedikit orang yang mengetahui peran itu N mungkin bertindak bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah X 0,5. Bagaimana jika ada sesuatu yang mewah di bawah akarnya? Sekali lagi, hasilnya akan menjadi fungsi yang kompleks - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu tes dan ujian.

Tugas. Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Pertama, mari kita tulis ulang akar sebagai pangkat dengan eksponen rasional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Sekarang kita buat penggantinya: biarkan X 2 + 8X − 7 = T. Kami menemukan turunannya menggunakan rumus:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Mari lakukan penggantian terbalik: T = X 2 + 8X− 7. Kita mempunyai:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Terakhir, kembali ke akar: