Pembuktian teorema Fermat bersifat mendasar, sederhana, dan dapat dimengerti. Untuk siapa bidang tidak ditekan Ketika teorema Fermat terbukti

Tidak banyak orang di dunia yang belum pernah mendengarnya Teorema Terakhir Fermat- mungkin ini satu-satunya masalah matematika, yang menjadi begitu dikenal luas dan menjadi legenda nyata. Hal ini disebutkan dalam banyak buku dan film, dan konteks utama dari hampir semua referensi adalah ketidakmungkinan membuktikan teorema.

Ya, teorema ini sangat terkenal dan, dalam arti tertentu, telah menjadi "berhala" yang dipuja oleh ahli matematika amatir dan profesional, tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahwa buktinya telah ditemukan, dan ini terjadi pada tahun 1995. Tapi hal pertama yang pertama.

Jadi, Teorema Terakhir Fermat (sering disebut Teorema Terakhir Fermat), dirumuskan pada tahun 1637 oleh seorang ahli matematika Perancis yang brilian Pierre Fermat, pada intinya sangat sederhana dan dapat dimengerti oleh siapa saja yang berpendidikan menengah. Dikatakan bahwa rumus a n + b n = c n tidak memiliki solusi natural (yaitu, bukan pecahan) untuk n > 2. Segalanya tampak sederhana dan jelas, tetapi ahli matematika terbaik dan amatir biasa telah berjuang untuk menemukan solusi lebih dari tiga setengah abad.

Fermat sendiri mengaku telah memperoleh bukti teorinya yang sangat sederhana dan ringkas, namun belum ada bukti dokumenter mengenai fakta tersebut yang ditemukan. Oleh karena itu, sekarang diyakini demikian Fermat tidak pernah mampu menemukan solusi umum terhadap teoremanya, meskipun bukti khusus untuk n = 4 berasal dari penanya.

Setelah Fermat, para pemikir hebat seperti Leonard Euler(pada tahun 1770 ia mengusulkan solusi untuk n = 3), Adrien Legendre dan Johann Dirichlet(para ilmuwan ini bersama-sama menemukan bukti untuk n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lame(yang menemukan bukti n = 7) dan masih banyak lainnya. Pada pertengahan tahun 1980-an, hal itu menjadi jelas dunia ilmiah sedang menuju solusi akhir

Akan tetapi, Teorema Terakhir Fermat, baru pada tahun 1993 para ahli matematika melihat dan percaya bahwa epik tiga abad dalam menemukan bukti teorema terakhir Fermat secara praktis telah berakhir.

Pada tahun 1993, seorang ahli matematika Inggris Andrew Wiles disajikan kepada dunia miliknya bukti Teorema Terakhir Fermat, pekerjaan yang berlangsung lebih dari tujuh tahun. Namun ternyata keputusan tersebut mengandung kesalahan besar, meski secara umum benar. Wiles tidak menyerah, meminta bantuan ahli teori bilangan terkenal Richard Taylor, dan pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorema yang telah dikoreksi dan diperluas. Yang paling menakjubkan adalah karya ini memakan sebanyak 130 (!) halaman di jurnal matematika “Annals of Mathematics”. Namun ceritanya juga tidak berakhir di situ - titik akhir baru tercapai pada tahun berikutnya, 1995, ketika versi pembuktian final dan "ideal", dari sudut pandang matematis, diterbitkan.

Banyak waktu telah berlalu sejak saat itu, namun masih ada anggapan di masyarakat bahwa Teorema Terakhir Fermat tidak dapat dipecahkan. Tetapi bahkan mereka yang mengetahui bukti yang ditemukan terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit yang puas bahwa Teorema Besar memerlukan solusi sepanjang 130 halaman! Oleh karena itu, sekarang upaya banyak ahli matematika (kebanyakan amatir, bukan ilmuwan profesional) dicurahkan untuk mencari bukti yang sederhana dan ringkas, tetapi jalan ini, kemungkinan besar, tidak akan membawa kemana-mana...

Tidak banyak orang di dunia yang belum pernah mendengar tentang Teorema Terakhir Fermat - mungkin inilah satu-satunya soal matematika yang begitu dikenal luas dan menjadi legenda nyata. Hal ini disebutkan dalam banyak buku dan film, dan konteks utama dari hampir semua penyebutan adalah ketidakmungkinan membuktikan teorema tersebut.

Jadi, Teorema Terakhir Fermat (sering disebut Teorema Terakhir Fermat), yang dirumuskan pada tahun 1637 oleh ahli matematika Prancis yang brilian, Pierre Fermat, pada intinya sangat sederhana dan dapat dipahami oleh siapa saja yang berpendidikan menengah. Dikatakan bahwa rumus a pangkat n + b pangkat n = c pangkat n tidak memiliki solusi alami (yaitu, bukan pecahan) untuk n > 2. Semuanya tampak sederhana dan jelas, tetapi matematikawan terbaik dan amatir biasa berjuang mencari solusi selama lebih dari tiga setengah abad.

Kenapa dia begitu terkenal? Sekarang kita akan mencari tahu...

Apakah ada banyak teorema yang terbukti, belum terbukti, dan belum terbukti? Intinya di sini adalah Teorema Terakhir Fermat mewakili kontras terbesar antara kesederhanaan rumusan dan kompleksitas pembuktian. Teorema Terakhir Fermat adalah tugas yang luar biasa sulit, namun rumusannya dapat dipahami oleh siapa saja yang tingkat kelas 5 SD. sekolah menengah atas, namun buktinya tidak dimiliki oleh semua matematikawan profesional. Baik dalam fisika, kimia, biologi, maupun matematika, tidak ada satu masalah pun yang dapat dirumuskan dengan begitu sederhana, namun tetap tidak terpecahkan begitu lama. 2. Terdiri dari apa?

Mari kita mulai dengan celana Pythagoras, kata-katanya sangat sederhana - pada pandangan pertama. Seperti yang kita ketahui sejak kecil, “Celana Pythagoras sama di semua sisi.” Soalnya terlihat sangat sederhana karena didasarkan pada pernyataan matematika yang diketahui semua orang - teorema Pythagoras: dalam bentuk apa pun segitiga siku-siku persegi yang dibangun pada sisi miring sama dengan jumlah persegi yang dibangun pada kaki-kakinya.

Pada abad ke-5 SM. Pythagoras mendirikan persaudaraan Pythagoras. Penganut Pythagoras, antara lain, mempelajari bilangan bulat kembar tiga yang memenuhi persamaan x²+y²=z². Mereka membuktikan bahwa ada banyak sekali tripel Pythagoras dan memperoleh rumus umum untuk mencarinya. Mereka mungkin mencoba mencari bertiga atau lebih derajat tinggi. Yakin bahwa ini tidak berhasil, kaum Pythagoras meninggalkan upaya sia-sia mereka. Anggota persaudaraan lebih banyak filsuf dan estetika daripada ahli matematika.

Artinya, mudah untuk memilih sekumpulan bilangan yang memenuhi persamaan x²+y²=z² secara sempurna

Mulai dari 3, 4, 5 – memang seorang siswa SMP paham bahwa 9 + 16 = 25.

Atau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Hebat.

Jadi, ternyata TIDAK. Di sinilah triknya dimulai. Kesederhanaan tampak jelas, karena sulit untuk membuktikan bukan keberadaan sesuatu, melainkan ketidakhadirannya. Ketika Anda perlu membuktikan bahwa ada solusi, Anda dapat dan harus menyajikan solusi tersebut.

Membuktikan ketidakhadiran lebih sulit: misalnya, seseorang berkata: persamaan ini dan itu tidak memiliki solusi. Taruh dia di genangan air? mudah: bam - dan ini dia, solusinya! (berikan solusi). Dan itu saja, lawannya dikalahkan. Bagaimana cara membuktikan ketidakhadiran?

Katakan: “Saya belum menemukan solusi seperti itu”? Atau mungkin kamu sedang tidak dalam keadaan sehat? Bagaimana jika mereka ada, hanya sangat besar, sangat besar, sehingga bahkan komputer yang sangat kuat pun masih belum memiliki kekuatan yang cukup? Inilah yang sulit.

Hal ini dapat ditunjukkan secara visual seperti ini: jika Anda mengambil dua kotak dengan ukuran yang sesuai dan membongkarnya menjadi kotak satuan, maka dari kumpulan kotak satuan ini Anda mendapatkan kotak ketiga (Gbr. 2):

Tapi mari kita lakukan hal yang sama dengan dimensi ketiga (Gbr. 3) - itu tidak berhasil. Kubusnya tidak cukup, atau masih ada kubus tambahan yang tersisa:

Namun matematikawan Prancis abad ke-17, Pierre de Fermat, dengan antusias melakukan eksplorasi persamaan umum x n +y n =z n . Dan akhirnya saya menyimpulkan: untuk n>2 tidak ada solusi bilangan bulat. Bukti Fermat hilang dan tidak dapat diperbaiki lagi. Naskahnya terbakar! Yang tersisa hanyalah pernyataannya dalam Aritmatika Diophantus: “Saya telah menemukan bukti yang sungguh menakjubkan dari proposisi ini, namun margin di sini terlalu sempit untuk memuatnya.”

Sebenarnya teorema tanpa pembuktian disebut hipotesis. Namun Fermat memiliki reputasi tidak pernah melakukan kesalahan. Meski dia tidak meninggalkan bukti pernyataannya, hal itu kemudian dikonfirmasi. Selain itu, Fermat membuktikan tesisnya untuk n=4. Dengan demikian, hipotesis ahli matematika Perancis tercatat dalam sejarah sebagai Teorema Terakhir Fermat.

Setelah Fermat, pemikir besar seperti Leonhard Euler bekerja mencari bukti (pada tahun 1770 ia mengusulkan solusi untuk n = 3),

Adrien Legendre dan Johann Dirichlet (para ilmuwan ini bersama-sama menemukan bukti n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lamé (yang menemukan bukti n = 7) dan banyak lainnya. Pada pertengahan tahun 80-an abad yang lalu, menjadi jelas bahwa dunia ilmiah sedang menuju solusi akhir Teorema Terakhir Fermat, tetapi baru pada tahun 1993 para ahli matematika melihat dan percaya bahwa epik tiga abad dalam mencari bukti Teorema terakhir Fermat praktis telah berakhir.

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa membuktikan teorema Fermat hanya untuk n sederhana: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Untuk komposit n, pembuktiannya tetap valid. Tapi bilangan prima itu jumlahnya tak terhingga...

Pada tahun 1825, dengan menggunakan metode Sophie Germain, matematikawan wanita, Dirichlet dan Legendre secara independen membuktikan teorema n=5. Pada tahun 1839, dengan menggunakan metode yang sama, orang Perancis Gabriel Lame menunjukkan kebenaran teorema untuk n=7. Lambat laun teorema tersebut terbukti untuk hampir semua n kurang dari seratus.

Terakhir, matematikawan Jerman Ernst Kummer, dalam penelitiannya yang brilian, menunjukkan bahwa teorema tersebut secara umum tidak dapat dibuktikan dengan menggunakan metode matematika abad ke-19. Hadiah Akademi Perancis Ilmu pengetahuan, yang didirikan pada tahun 1847 untuk pembuktian teorema Fermat, masih belum mendapat penghargaan.

Pada tahun 1907, industrialis kaya Jerman Paul Wolfskehl memutuskan untuk bunuh diri karena cinta tak berbalas. Layaknya orang Jerman sejati, ia menetapkan tanggal dan waktu bunuh diri: tepat tengah malam. Pada hari terakhir dia membuat surat wasiat dan menulis surat kepada teman dan kerabatnya. Segalanya berakhir sebelum tengah malam. Harus dikatakan bahwa Paul tertarik pada matematika. Karena tidak punya pekerjaan lain, dia pergi ke perpustakaan dan mulai membaca artikel terkenal Kummer. Tiba-tiba dia merasa Kummer telah melakukan kesalahan dalam penalarannya. Wolfskel mulai menganalisis bagian artikel ini dengan pensil di tangannya. Tengah malam telah berlalu, pagi telah tiba. Kesenjangan dalam pembuktian telah terisi. Dan alasan untuk bunuh diri sekarang tampak sangat konyol. Paul merobek surat perpisahannya dan menulis ulang surat wasiatnya.

Dia segera meninggal karena sebab alamiah. Ahli waris cukup terkejut: 100.000 mark (lebih dari 1.000.000 pound sterling saat ini) ditransfer ke rekening Royal Scientific Society of Göttingen, yang pada tahun yang sama mengumumkan kompetisi untuk Hadiah Wolfskehl. 100.000 nilai diberikan kepada orang yang membuktikan teorema Fermat. Tidak ada pfennig yang diberikan karena menyangkal teorema tersebut...

Kebanyakan matematikawan profesional menganggap pencarian bukti Teorema Terakhir Fermat sebagai tugas yang sia-sia dan dengan tegas menolak membuang waktu untuk latihan yang tidak berguna tersebut. Tapi para amatir bersenang-senang. Beberapa minggu setelah pengumuman tersebut, banyak “bukti” melanda Universitas Göttingen. Profesor E.M. Landau, yang bertanggung jawab menganalisis bukti yang dikirimkan, membagikan kartu kepada murid-muridnya:

Sayang. . . . . . . .

Terima kasih telah mengirimkan saya naskah dengan bukti Teorema Terakhir Fermat. Kesalahan pertama ada di halaman...sebaris... . Oleh karena itu, seluruh bukti kehilangan keabsahannya.
Profesor E.M. Landau

Pada tahun 1980an, Samuel Wagstaff menaikkan batas menjadi 25.000, dan pada tahun 1990an, ahli matematika menyatakan bahwa Teorema Terakhir Fermat benar untuk semua nilai n hingga 4 juta. Namun jika Anda mengurangi satu triliun triliun pun dari tak terhingga, jumlahnya tidak akan menjadi lebih kecil. Matematikawan tidak yakin dengan statistik. Membuktikan Teorema Besar berarti membuktikannya untuk SEMUA n yang menuju tak terhingga.

Namun, setelah pengujian yang cermat, teman-teman mengajukan hipotesis: setiap persamaan elips memiliki kembaran - bentuk modular, dan sebaliknya. Hipotesis inilah yang menjadi landasan seluruh arah matematika, namun hingga hipotesis Taniyama-Shimura terbukti, seluruh bangunan bisa runtuh kapan saja.

Pada tahun 1984, Gerhard Frey menunjukkan bahwa solusi persamaan Fermat, jika ada, dapat dimasukkan ke dalam persamaan elips. Dua tahun kemudian, Profesor Ken Ribet membuktikan bahwa persamaan hipotetis ini tidak ada tandingannya di dunia modular. Mulai sekarang, Teorema Terakhir Fermat terkait erat dengan dugaan Taniyama-Shimura. Setelah membuktikan bahwa setiap kurva elips bersifat modular, kami menyimpulkan bahwa tidak ada persamaan elips dengan solusi persamaan Fermat, dan Teorema Terakhir Fermat akan segera dibuktikan. Namun selama tiga puluh tahun hipotesis Taniyama-Shimura tidak dapat dibuktikan, dan harapan untuk berhasil pun semakin berkurang.

Pada tahun 1963, ketika dia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona oleh matematika. Ketika dia mempelajari Teorema Besar, dia menyadari bahwa dia tidak bisa menyerah begitu saja. Sebagai anak sekolah, pelajar, dan mahasiswa pascasarjana, dia mempersiapkan diri untuk tugas ini.

Setelah mengetahui temuan Ken Ribet, Wiles langsung membuktikan hipotesis Taniyama-Shimura. Dia memutuskan untuk bekerja dalam isolasi dan kerahasiaan total. “Saya menyadari bahwa segala sesuatu yang berhubungan dengan Teorema Terakhir Fermat menimbulkan terlalu banyak minat... Terlalu banyak penonton jelas mengganggu pencapaian tujuan.” Kerja keras selama tujuh tahun membuahkan hasil, Wiles akhirnya menyelesaikan pembuktian dugaan Taniyama-Shimura.

Pada tahun 1993, ahli matematika Inggris Andrew Wiles mempresentasikan kepada dunia bukti Teorema Terakhir Fermat (Wiles membaca makalah sensasionalnya di sebuah konferensi di Institut Sir Isaac Newton di Cambridge.), yang pengerjaannya berlangsung lebih dari tujuh tahun.

Ternyata keputusan tersebut mengandung kesalahan besar, meski secara umum benar. Wiles tidak menyerah, meminta bantuan ahli teori bilangan terkenal Richard Taylor, dan pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorema yang telah dikoreksi dan diperluas. Yang paling menakjubkan adalah karya ini memakan sebanyak 130 (!) halaman di jurnal matematika “Annals of Mathematics”. Namun ceritanya juga tidak berakhir di situ - titik akhir baru tercapai pada tahun berikutnya, 1995, ketika versi pembuktian final dan "ideal", dari sudut pandang matematis, diterbitkan.

“...setengah menit setelah dimulainya jamuan makan malam di hari ulang tahunnya, saya memberikan Nadya naskah bukti lengkapnya” (Andrew Wales). Bukankah saya sudah mengatakan bahwa matematikawan adalah orang yang aneh?

Kali ini buktinya tidak diragukan lagi. Dua artikel menjadi sasaran analisis yang paling cermat dan diterbitkan pada Mei 1995 di Annals of Mathematics.

Oleh karena itu, sekarang upaya banyak ahli matematika (kebanyakan amatir, bukan ilmuwan profesional) dicurahkan untuk mencari bukti yang sederhana dan ringkas, tetapi jalan ini, kemungkinan besar, tidak akan membawa kemana-mana...

sumber

BERITA ILMU PENGETAHUAN DAN TEKNOLOGI

UDC 51:37;517.958

A.V. Konovko, Ph.D.

Akademi Pemadam Kebakaran Negara Kementerian Situasi Darurat Rusia TEOREMA BESAR FERMA TELAH TERBUKTI. ATAU TIDAK?

Selama beberapa abad, tidak mungkin membuktikan bahwa persamaan xn+yn=zn untuk n>2 tidak dapat diselesaikan dalam bilangan rasional, dan oleh karena itu dalam bilangan bulat. Masalah ini lahir di bawah kepengarangan pengacara Perancis Pierre Fermat, yang pada saat yang sama terlibat secara profesional di bidang matematika. Keputusannya dikreditkan ke guru matematika Amerika Andrew Wiles. Pengakuan ini berlangsung dari tahun 1993 hingga 1995.

TEOREMA BESAR FERMA TERBUKTI ATAU TIDAK?

Sejarah dramatis pembuktian teorema terakhir Fermat dipertimbangkan. Butuh waktu hampir empat ratus tahun. Pierre Fermat menulis sedikit. Dia menulis dengan gaya ringkas. Selain itu dia tidak mempublikasikan penelitiannya. Pernyataan bahwa persamaan xn+yn=zn tidak dapat diselesaikan pada himpunan bilangan rasional dan bilangan bulat jika n>2 dihadiri oleh komentar Fermat yang menurutnya merupakan bukti yang luar biasa terhadap pernyataan ini. Keturunannya tidak terjangkau oleh pembuktian ini. Belakangan pernyataan ini disebut teorema terakhir Fermat. Ahli matematika terbaik dunia mematahkan teorema ini tanpa hasil. Pada tahun tujuh puluhan, ahli matematika Perancis anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris Andre Veil meletakkan pendekatan baru terhadap solusi tersebut. Pada tanggal 23 Juni, pada tahun 1993, pada konferensi teori bilangan di Cambridge, ahli matematika dari Universitas Princeton Andrew Whiles mengumumkan bahwa pembuktian teorema terakhir Fermat telah selesai. Namun masih terlalu dini untuk meraih kemenangan.

Pada tahun 1621, penulis Perancis dan pecinta matematika Claude Gaspard Bachet de Meziriak menerbitkan risalah Yunani "Aritmatika" oleh Diophantus dengan terjemahan dan komentar Latin. “Aritmatika” yang mewah, dengan margin yang luar biasa lebar, jatuh ke tangan Fermat yang berusia dua puluh tahun dan menjadi buku referensinya selama bertahun-tahun. Di pinggirnya ia meninggalkan 48 catatan berisi fakta-fakta yang ia temukan tentang sifat-sifat bilangan. Di sini, di pinggir “Aritmatika”, teorema besar Fermat dirumuskan: “Tidak mungkin menguraikan sebuah kubus menjadi dua kubus atau bikuadrat menjadi dua bikuadrat, atau secara umum pangkat lebih besar dari dua menjadi dua pangkat dengan eksponen yang sama; Saya menemukan bukti yang sangat luar biasa tentang hal ini, yang karena kurangnya ruang tidak dapat ditampung di bidang ini." Omong-omong, dalam bahasa Latin terlihat seperti ini: “Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est Dividere; cujus rei demonstrasiem mirabilem waras detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”

Matematikawan besar Perancis Pierre Fermat (1601-1665) mengembangkan metode untuk menentukan luas dan volume serta menciptakan metode baru tentang garis singgung dan ekstrem. Bersama Descartes, ia menjadi pencipta geometri analitik, bersama Pascal ia berdiri di awal mula teori probabilitas, di bidang metode yang sangat kecil. peraturan umum diferensiasi dan membuktikan secara umum aturan integrasi fungsi daya... Tapi, yang paling penting, nama ini dikaitkan dengan salah satu kisah paling misterius dan dramatis yang pernah mengguncang matematika - kisah pembuktian teorema besar Peternakan. Sekarang teorema ini dinyatakan dalam bentuk pernyataan sederhana: persamaan xn + yn = zn untuk n>2 tidak dapat diselesaikan dalam bilangan rasional, dan oleh karena itu dalam bilangan bulat. Omong-omong, untuk kasus n = 3, ahli matematika Asia Tengah Al-Khojandi mencoba membuktikan teorema ini pada abad ke-10, tetapi buktinya tidak bertahan.

Berasal dari Perancis selatan, Pierre Fermat menerima pendidikan hukum dan dari tahun 1631 menjabat sebagai penasihat parlemen kota Toulouse (yaitu, pengadilan tertinggi). Setelah seharian bekerja di dalam tembok parlemen, ia mempelajari matematika dan segera terjun ke dunia yang sama sekali berbeda. Uang, prestise, pengakuan publik – semua ini tidak penting baginya. Sains tidak pernah menjadi mata pencaharian baginya, tidak berubah menjadi sebuah kerajinan, selalu hanya menjadi permainan pikiran yang mengasyikkan, hanya dapat dimengerti oleh segelintir orang. Dia melanjutkan korespondensinya dengan mereka.

Fermat tidak pernah menulis makalah ilmiah seperti biasanya. Dan dalam korespondensinya dengan teman-temannya selalu ada tantangan, bahkan semacam provokasi, dan sama sekali bukan pemaparan akademis tentang masalah dan penyelesaiannya. Itu sebabnya banyak suratnya kemudian disebut sebagai tantangan.

Mungkin inilah sebabnya dia tidak pernah menyadari niatnya untuk menulis esai khusus tentang teori bilangan. Sementara itu, ini adalah bidang matematika favoritnya. Baginya Fermat mendedikasikan baris-baris suratnya yang paling menginspirasi. "Aritmatika," tulisnya, "memiliki bidangnya sendiri, teori bilangan bulat. Teori ini hanya sedikit disinggung oleh Euclid dan tidak cukup dikembangkan oleh para pengikutnya (kecuali jika dimuat dalam karya-karya Diophantus, yang merusak waktu telah merampas kita). Oleh karena itu, ahli aritmatika harus mengembangkan dan memperbaruinya."

Mengapa Fermat sendiri tidak takut dengan dampak buruk waktu? Dia menulis sedikit dan selalu sangat ringkas. Namun yang terpenting, dia tidak mempublikasikan karyanya. Selama masa hidupnya, mereka hanya beredar dalam bentuk manuskrip. Oleh karena itu, tidak mengherankan jika hasil-hasil Fermat mengenai teori bilangan telah sampai kepada kita dalam bentuk yang tersebar. Namun Bulgakov mungkin benar: manuskrip yang bagus tidak akan terbakar! Karya Fermat masih ada. Mereka tetap dalam suratnya kepada teman-temannya: guru matematika Lyon Jacques de Billy, karyawan percetakan uang Bernard Freniquel de Bessy, Marcenny, Descartes, Blaise Pascal... Yang tersisa adalah "Aritmatika" Diophantus dengan komentarnya di pinggir, yang kemudian Kematian Fermat dimasukkan bersama dengan komentar Bachet ke dalam edisi baru Diophantus, yang diterbitkan oleh putra sulungnya Samuel pada tahun 1670. Hanya buktinya saja yang tidak bertahan.

Dua tahun sebelum kematiannya, Fermat mengirimkan surat wasiat kepada temannya Carcavi, yang tercatat dalam sejarah matematika dengan judul "Ringkasan Hasil Baru dalam Ilmu Bilangan". Dalam surat ini, Fermat membuktikan pernyataannya yang terkenal untuk kasus n = 4. Namun kemungkinan besar dia tidak tertarik pada pernyataan itu sendiri, melainkan pada metode pembuktian yang dia temukan, yang oleh Fermat sendiri disebut keturunan tak terbatas atau tak terbatas.

Naskah tidak terbakar. Namun, jika bukan karena dedikasi Samuel, yang setelah kematian ayahnya mengumpulkan semua sketsa matematika dan risalah kecilnya, dan kemudian menerbitkannya pada tahun 1679 dengan judul “Miscellaneous Mathematical Works”, para matematikawan terpelajar harus menemukan dan menemukan kembali banyak hal. . Namun bahkan setelah publikasinya, permasalahan yang ditimbulkan oleh ahli matematika hebat itu tetap tidak bergerak selama lebih dari tujuh puluh tahun. Dan ini tidak mengherankan. Dalam bentuk yang muncul di media cetak, hasil teori bilangan P. Fermat muncul di hadapan para spesialis dalam bentuk masalah serius yang tidak selalu jelas bagi orang sezaman, hampir tanpa bukti, dan indikasi hubungan logis internal di antara mereka. Mungkin, karena tidak adanya teori yang koheren dan dipikirkan dengan matang, terdapat jawaban atas pertanyaan mengapa Fermat sendiri tidak pernah memutuskan untuk menerbitkan buku tentang teori bilangan. Tujuh puluh tahun kemudian, L. Euler menjadi tertarik dengan karya-karya ini, dan ini benar-benar merupakan kelahiran kedua mereka...

Matematikawan membayar mahal atas cara aneh Fermat dalam menyajikan hasil-hasilnya, seolah-olah sengaja menghilangkan pembuktiannya. Namun jika Fermat mengaku telah membuktikan teorema ini atau itu, maka teorema tersebut kemudian terbukti. Namun, ada kendala dengan teorema besar tersebut.

Sebuah misteri selalu menggairahkan imajinasi. Seluruh benua ditaklukkan oleh senyum misterius Gioconda; teori relativitas, sebagai kunci misteri hubungan ruang-waktu, menjadi yang paling populer teori fisika abad. Dan kita dapat dengan aman mengatakan bahwa tidak ada yang seperti itu masalah matematika, yang akan sepopuler mereka__93

Masalah ilmiah dan pendidikan perlindungan sipil

Apa teorema Fermat? Upaya untuk membuktikannya mengarah pada penciptaan cabang matematika yang luas - teori bilangan aljabar, tetapi (sayangnya!) Teorema itu sendiri masih belum terbukti. Pada tahun 1908, matematikawan Jerman Wolfskehl mewariskan 100.000 nilai kepada siapa saja yang dapat membuktikan teorema Fermat. Ini adalah jumlah yang sangat besar pada masa itu! Dalam sekejap Anda tidak hanya bisa menjadi terkenal, tapi juga menjadi kaya raya! Oleh karena itu, tidak mengherankan jika para siswa sekolah menengah bahkan di Rusia, jauh dari Jerman, saling berlomba-lomba untuk membuktikan teorema besar tersebut. Apa yang dapat kami katakan tentang matematikawan profesional! Tapi... sia-sia! Setelah Perang Dunia Pertama, uang menjadi tidak berharga, dan aliran surat dengan bukti palsu mulai mengering, meskipun tentu saja tidak pernah berhenti. Mereka mengatakan bahwa matematikawan Jerman terkenal Edmund Landau menyiapkan formulir cetak untuk dikirimkan kepada penulis bukti teorema Fermat: “Ada kesalahan pada halaman…, pada baris….” (Asisten profesor ditugaskan untuk menemukan kesalahannya.) Ada begitu banyak keanehan dan anekdot yang berkaitan dengan pembuktian teorema ini sehingga seseorang dapat menyusun sebuah buku darinya. Anekdot terbaru adalah kisah detektif A. Marinina “Coincidence of Circumstances”, yang difilmkan dan ditayangkan di layar televisi negara pada bulan Januari 2000. Di dalamnya, rekan senegara kita membuktikan sebuah teorema yang belum dibuktikan oleh semua pendahulunya dan klaimnya yang hebat Penghargaan Nobel. Seperti diketahui, penemu dinamit mengabaikan ahli matematika dalam wasiatnya, sehingga penulis pembuktian hanya bisa mengklaim Fields. medali emas- penghargaan internasional tertinggi, disetujui oleh ahli matematika sendiri pada tahun 1936.

Dalam karya klasik ahli matematika Rusia terkemuka A.Ya. Khinchin, yang berdedikasi pada teorema besar Fermat, memberikan informasi tentang sejarah masalah ini dan memperhatikan metode yang dapat digunakan Fermat untuk membuktikan teoremanya. Bukti untuk kasus n = 4 dan tinjauan singkat hasil penting lainnya diberikan.

Tetapi pada saat cerita detektif itu ditulis, dan terlebih lagi pada saat pembuatan filmnya, bukti umum dari teorema tersebut telah ditemukan. Pada tanggal 23 Juni 1993, pada konferensi teori bilangan di Cambridge, matematikawan Princeton Andrew Wiles mengumumkan bahwa Teorema Terakhir Fermat telah terbukti. Tapi sama sekali tidak seperti yang "dijanjikan" oleh Fermat sendiri. Jalan yang diambil Andrew Wiles tidak didasarkan pada metode matematika dasar. Ia mempelajari apa yang disebut teori kurva elips.

Untuk mendapatkan gambaran tentang kurva elips, Anda perlu mempertimbangkan kurva bidang yang ditentukan oleh persamaan derajat ketiga

Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0. (1)

Semua kurva tersebut dibagi menjadi dua kelas. Kelas pertama meliputi kurva yang mempunyai titik lancip (seperti parabola semikubik y2 = a2-X dengan titik lancip (0; 0)), titik potong sendiri (seperti lembaran Kartesius x3+y3-3axy = 0 , pada titik (0; 0)), serta kurva yang polinomialnya Dx,y) direpresentasikan dalam bentuk

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

dimana ^(x,y) dan ^(x,y) adalah polinomial dengan derajat lebih rendah. Kurva kelas ini disebut kurva degenerasi derajat ketiga. Kurva kelas kedua dibentuk oleh kurva yang tidak merosot; kami akan menyebutnya elips. Ini mungkin termasuk, misalnya, Agnesi Curl (x2 + a2)y - a3 = 0). Jika koefisien polinomial (1) adalah bilangan rasional, maka kurva elips dapat diubah menjadi bentuk kanonik

y2= x3 + kapak + b. (2)

Pada tahun 1955, matematikawan Jepang Y. Taniyama (1927-1958), dalam kerangka teori kurva elips, berhasil merumuskan hipotesis yang membuka jalan bagi pembuktian teorema Fermat. Namun baik Taniyama sendiri maupun rekan-rekannya tidak mencurigai hal ini saat itu. Selama hampir dua puluh tahun hipotesis ini tidak menarik perhatian serius dan baru populer pada pertengahan tahun 70-an. Menurut dugaan Taniyama, setiap elips

kurva c koefisien rasional bersifat modular. Namun, sejauh ini rumusan hipotesis tersebut tidak banyak memberi informasi kepada pembaca yang teliti. Oleh karena itu, diperlukan beberapa definisi.

Setiap kurva elips dapat dikaitkan dengan karakteristik numerik penting - diskriminannya. Untuk kurva yang diberikan dalam bentuk kanonik (2), diskriminan A ditentukan oleh rumus

SEBUAH = -(4a + 27b2).

Misalkan E berupa kurva elips, diberikan oleh persamaan(2), dimana a dan b adalah bilangan bulat.

Untuk bilangan prima p, perhatikan perbandingannya

y2 = x3 + kapak + b(mod p), (3)

dimana a dan b adalah sisa pembagian bilangan bulat a dan b dengan p, dan dilambangkan dengan np banyaknya solusi untuk perbandingan ini. Bilangan pr sangat berguna dalam mempelajari soal solvabilitas persamaan bentuk (2) bilangan bulat: jika sebagian pr sama dengan nol, maka persamaan (2) tidak mempunyai penyelesaian bilangan bulat. Namun, angka hanya dapat dihitung dalam kasus yang paling jarang terjadi. (Pada saat yang sama diketahui bahwa р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).

Mari kita perhatikan bilangan prima p yang membagi diskriminan A pada kurva elips (2). Dapat dibuktikan bahwa untuk p tersebut polinomial x3 + ax + b dapat ditulis dengan salah satu dari dua cara berikut:

x3 + kapak + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)

x3 + kapak + b = (x + y)3 (mod p),

dimana a, ß, y adalah sisa pembagian dengan p. Jika untuk semua bilangan prima p membagi diskriminan kurva, kemungkinan pertama dari dua kemungkinan yang ditunjukkan terwujud, maka kurva elips disebut semistabil.

Bilangan prima yang membagi diskriminan dapat digabungkan menjadi apa yang disebut jig kurva elips. Jika E adalah kurva semistabil, maka konduktornya N diberikan oleh rumus

dimana untuk semua bilangan prima p > 5 membagi A, eksponen eP sama dengan 1. Eksponen 82 dan 83 dihitung menggunakan algoritma khusus.

Pada dasarnya, hanya ini yang diperlukan untuk memahami esensi pembuktian. Namun, hipotesis Taniyama mengandung konsep modularitas yang kompleks dan, dalam kasus kami, merupakan kuncinya. Oleh karena itu, mari kita lupakan sejenak kurva elips dan pertimbangkan fungsi analitik f (yaitu, fungsi yang dapat diwakili oleh deret pangkat) dari argumen kompleks z, yang diberikan pada setengah bidang atas.

Dilambangkan dengan H setengah bidang kompleks atas. Misalkan N bilangan asli dan k bilangan bulat. Bentuk parabola modular dengan berat k tingkat N adalah fungsi analitik f(z), yang didefinisikan pada setengah bidang atas dan memenuhi relasi

f = (cz + d)kf (z) (5)

untuk sembarang bilangan bulat a, b, c, d sehingga ae - bc = 1 dan c habis dibagi N. Selain itu, diasumsikan bahwa

lim f (r + itu) = 0,

dimana r - bilangan rasional, Terus

Ruang bentuk parabola modular dengan berat k tingkat N dilambangkan dengan Sk(N). Dapat ditunjukkan bahwa ia mempunyai dimensi yang terbatas.

Berikut ini, kita akan secara khusus tertarik pada bentuk parabola modular dengan berat 2. Untuk N kecil, dimensi ruang S2(N) disajikan pada Tabel. 1. Secara khusus,

Dimensi ruang S2(N)

Tabel 1

N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

Dari kondisi (5) maka % + 1) = untuk setiap bentuk f e S2(N). Oleh karena itu, f adalah fungsi periodik. Fungsi seperti itu dapat direpresentasikan sebagai

Mari kita sebut bentuk parabola modular A^) dalam S2(N) jika koefisiennya adalah bilangan bulat yang memenuhi hubungan:

a g ■ a = a g+1 ■ p ■ c Г_1 untuk p sederhana yang tidak membagi bilangan N; (8)

(ap) untuk bilangan prima p yang membagi bilangan N;

atn = pada sebuah, jika (t,n) = 1.

Sekarang mari kita merumuskan definisi yang memainkan peran kunci dalam pembuktian teorema Fermat. Kurva elips dengan koefisien rasional dan konduktor N disebut modular jika terdapat bentuk eigen seperti itu

f (z) = ^anq" g S2(N),

bahwa ap = p - pr untuk hampir semua bilangan prima p. Di sini n adalah banyaknya solusi perbandingan (3).

Sulit dipercaya adanya satu kurva seperti itu saja. Cukup sulit untuk membayangkan bahwa akan ada fungsi A(r) yang memenuhi batasan ketat yang tercantum (5) dan (8), yang akan diperluas menjadi deret (7), yang koefisiennya akan diasosiasikan dengan praktis yang tidak dapat dihitung. nomor Pr. Namun hipotesis Taniyama yang berani sama sekali tidak meragukan fakta keberadaan mereka, dan materi empiris yang terakumulasi dari waktu ke waktu dengan cemerlang menegaskan validitasnya. Setelah dua dekade hampir terlupakan, hipotesis Taniyama mendapat angin kedua dalam karya matematikawan Prancis, anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris Andre Weil.

Lahir pada tahun 1906, A. Weil akhirnya menjadi salah satu pendiri sekelompok matematikawan yang bertindak dengan nama samaran N. Bourbaki. Sejak tahun 1958, A. Weil menjadi profesor di Princeton Institute for Advanced Study. Dan munculnya minatnya pada geometri aljabar abstrak dimulai pada periode yang sama. Pada tahun tujuh puluhan ia beralih ke fungsi elips dan dugaan Taniyama. Monograf tentang fungsi elips diterjemahkan di sini di Rusia. Dia tidak sendirian dalam hobinya. Pada tahun 1985, matematikawan Jerman Gerhard Frey mengusulkan bahwa jika teorema Fermat salah, yaitu jika ada tripel bilangan bulat a, b, c sehingga a" + bn = c" (n > 3), maka kurva elipsnya

y2 = x (x - a")-(x - cn)

tidak bisa modular, yang bertentangan dengan dugaan Taniyama. Frey sendiri gagal membuktikan pernyataan tersebut, namun tak lama kemudian pembuktiannya diperoleh oleh ahli matematika Amerika Kenneth Ribet. Dengan kata lain, Ribet menunjukkan bahwa teorema Fermat merupakan konsekuensi dari dugaan Taniyama.

Ia merumuskan dan membuktikan teorema berikut:

Teorema 1 (Ribet). Misalkan E adalah kurva elips dengan koefisien rasional dan mempunyai diskriminan

dan konduktor

Mari kita asumsikan bahwa E bersifat modular dan misalkan

/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)

adalah bentuk tingkat N yang sesuai. Kita menetapkan bilangan prima £, dan

p:еР =1;- " 8 hal

Lalu ada bentuk parabola seperti itu

/(g) = 2 dnqn e N)

dengan koefisien bilangan bulat sehingga selisih an - dn habis dibagi I untuk semua 1< п<ад.

Jelas bahwa jika teorema ini terbukti untuk eksponen tertentu, maka teorema ini juga terbukti untuk semua eksponen yang habis dibagi n. Karena setiap bilangan bulat n > 2 habis dibagi 4 atau bilangan prima ganjil, maka kita dapat membatasi diri pada kasus ketika eksponennya adalah 4 atau bilangan prima ganjil. Untuk n = 4, bukti dasar teorema Fermat diperoleh pertama kali oleh Fermat sendiri, dan kemudian oleh Euler. Jadi, mempelajari persamaannya saja sudah cukup

a1 + b1 = c1, (12)

dimana eksponen I adalah bilangan prima ganjil.

Sekarang teorema Fermat dapat diperoleh dengan perhitungan sederhana (2).

Teorema 2. Teorema terakhir Fermat mengikuti dugaan Taniyama untuk kurva elips semistabil.

Bukti. Mari kita berasumsi bahwa teorema Fermat salah, dan biarkan ada contoh tandingannya (seperti di atas, di sini saya adalah bilangan prima ganjil). Mari kita terapkan Teorema 1 pada kurva elips

y2 = x (x - ae) (x - c1).

Perhitungan sederhana menunjukkan bahwa konduktor kurva ini diberikan oleh rumus

Membandingkan rumus (11) dan (13), kita melihat bahwa N = 2. Oleh karena itu, menurut Teorema 1 terdapat bentuk parabola

berbaring di ruang 82(2). Namun berdasarkan relasi (6), ruang ini adalah nol. Oleh karena itu, dn = 0 untuk semua n. Pada saat yang sama, a^ = 1. Oleh karena itu, selisih ag - dl = 1 tidak habis dibagi I dan kita sampai pada suatu kontradiksi. Dengan demikian, teorema tersebut terbukti.

Teorema ini memberikan kunci pembuktian Teorema Terakhir Fermat. Namun hipotesis itu sendiri masih belum terbukti.

Setelah mengumumkan pada tanggal 23 Juni 1993, bukti dugaan Taniyama untuk kurva elips semistabil, yang mencakup kurva bentuk (8), Andrew Wiles sedang terburu-buru. Masih terlalu dini bagi para matematikawan untuk merayakan kemenangan mereka.

Musim panas yang hangat segera berakhir, musim gugur yang hujan telah berlalu, dan musim dingin pun tiba. Wiles menulis dan menulis ulang versi terakhir dari buktinya, namun rekan-rekannya yang teliti menemukan semakin banyak ketidakakuratan dalam karyanya. Maka, pada awal Desember 1993, beberapa hari sebelum naskah Wiles dicetak, kesenjangan serius dalam bukti-buktinya kembali ditemukan. Dan kemudian Wiles menyadari bahwa dia tidak dapat memperbaiki apa pun dalam satu atau dua hari. Hal ini memerlukan perbaikan yang serius. Publikasi karya tersebut harus ditunda. Wiles meminta bantuan Taylor. “Mengerjakan kesalahan” membutuhkan waktu lebih dari satu tahun. Versi terakhir dari bukti dugaan Taniyama, yang ditulis oleh Wiles bekerja sama dengan Taylor, baru diterbitkan pada musim panas 1995.

Berbeda dengan pahlawan A. Marinina, Wiles tidak melamar Hadiah Nobel, tapi tetap saja... dia seharusnya dianugerahi semacam penghargaan. Tapi yang mana? Wiles saat itu sudah berusia lima puluhan, dan medali emas Fields diberikan secara ketat hingga usia empat puluh, ketika puncak aktivitas kreatif belum berlalu. Dan kemudian mereka memutuskan untuk memberikan penghargaan khusus untuk Wiles - lencana perak dari Komite Lapangan. Lencana ini diberikan kepadanya pada kongres matematika berikutnya di Berlin.

Dari semua soal yang, dengan probabilitas lebih besar atau lebih kecil, menggantikan teorema terakhir Fermat, soal pengepakan bola terdekat memiliki peluang paling besar. Masalah pengepakan bola yang paling padat dapat dirumuskan sebagai masalah cara melipat jeruk menjadi piramida yang paling ekonomis. Matematikawan muda mewarisi tugas ini dari Johannes Kepler. Masalah ini muncul pada tahun 1611, ketika Kepler menulis esai pendek “On Hexagonal Snowflakes.” Ketertarikan Kepler pada susunan dan pengorganisasian partikel-partikel materi membawanya untuk membahas masalah lain - kumpulan partikel terpadat, di mana mereka menempati volume terkecil. Jika kita berasumsi bahwa partikel-partikel tersebut berbentuk bola, maka jelas bahwa bagaimana pun letaknya di ruang angkasa, pasti akan ada celah di antara partikel-partikel tersebut, dan pertanyaannya adalah untuk mengurangi volume celah tersebut seminimal mungkin. Dalam karya tersebut, misalnya, dinyatakan (tetapi tidak dibuktikan) bahwa bentuk tersebut adalah tetrahedron, sumbu koordinat di dalamnya menentukan sudut ortogonalitas dasar 109°28", dan bukan 90°. Masalah ini sangat penting untuk fisika partikel, kristalografi, dan cabang ilmu alam lainnya.

literatur

1. Weil A. Fungsi elips menurut Eisenstein dan Kronecker. - M., 1978.

2. Solovyov Yu.P. Dugaan Taniyama dan teorema terakhir Fermat // Jurnal pendidikan Soros. - Nomor 2. - 1998. - Hal.78-95.

3. Teorema Terakhir Singh S. Fermat. Kisah misteri yang menyita pikiran terbaik dunia selama 358 tahun / Trans. dari bahasa Inggris Yu.A. Danilova. M.: MTsNMO. 2000. - 260 hal.

4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. Aljabar kuarter dan rotasi tiga dimensi // Jurnal ini No. 1(1), 2008. - P. 75-80.

TEOREMA BESAR FERMA - pernyataan Pierre Fermat (seorang pengacara Perancis dan ahli matematika paruh waktu) bahwa persamaan Diophantine X n + Y n = Z n , dengan eksponen n>2, di mana n = bilangan bulat, tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif. Teks penulis: “Tidak mungkin menguraikan kubus menjadi dua kubus, atau bikuadrat menjadi dua bikuadrat, atau secara umum pangkat lebih besar dari dua menjadi dua pangkat dengan eksponen yang sama.”

"Fermat dan teoremanya", Amadeo Modigliani, 1920

Pierre mengemukakan teorema ini pada tanggal 29 Maret 1636. Dan sekitar 29 tahun kemudian dia meninggal. Tapi di situlah semuanya dimulai. Lagipula, seorang pencinta matematika Jerman yang kaya bernama Wolfskehl mewariskan seratus ribu nilai kepada orang yang mau memberikan bukti lengkap teorema Fermat! Namun kegembiraan seputar teorema tidak hanya dikaitkan dengan hal ini, tetapi juga dengan minat matematika profesional. Fermat sendiri memberi isyarat kepada komunitas matematika bahwa dia mengetahui buktinya - sesaat sebelum kematiannya, pada tahun 1665, dia meninggalkan catatan berikut di pinggir Aritmatika Diophantus dari Alexandria: "Saya memiliki bukti yang sangat mencolok, tetapi itu terlalu besar untuk dijadikan bukti. ditempatkan di ladang."

Petunjuk inilah (ditambah, tentu saja, bonus uang tunai) yang memaksa para ahli matematika menghabiskan tahun-tahun terbaik mereka tanpa hasil dalam mencari bukti (menurut ilmuwan Amerika, ahli matematika profesional saja menghabiskan total 543 tahun untuk hal ini).

Pada titik tertentu (pada tahun 1901), pengerjaan teorema Fermat memperoleh reputasi yang meragukan sebagai "pekerjaan yang mirip dengan pencarian mesin gerak abadi"(Bahkan istilah yang menghina muncul - "Fermatis"). Dan tiba-tiba pada tanggal 23 Juni 1993, pada konferensi matematika tentang teori bilangan di Cambridge, seorang profesor matematika Inggris dari Universitas Princeton (New Jersey, AS) Andrew Wiles mengumumkan bahwa dia akhirnya membuktikan Fermat!

Namun, buktinya tidak hanya rumit, tetapi juga jelas keliru, seperti yang ditunjukkan oleh Wiles oleh rekan-rekannya. Namun Profesor Wiles sepanjang hidupnya bermimpi untuk membuktikan teorema tersebut, sehingga tidak mengherankan jika pada bulan Mei 1994 ia menyajikan versi bukti baru yang telah direvisi kepada komunitas ilmiah. Tidak ada harmoni atau keindahan di dalamnya, dan itu masih sangat kompleks - fakta bahwa para ahli matematika menghabiskan satu tahun penuh (!) menganalisis bukti ini untuk memahami apakah bukti tersebut salah membuktikannya!

Namun pada akhirnya, bukti Wiles terbukti benar. Tetapi para ahli matematika tidak memaafkan Pierre Fermat atas petunjuknya dalam “Aritmatika”, dan, pada kenyataannya, mulai menganggapnya pembohong. Faktanya, orang pertama yang mempertanyakan integritas moral Fermat adalah Andrew Wiles sendiri, yang menyatakan bahwa "Fermat tidak mungkin memiliki bukti seperti itu. Ini adalah bukti abad kedua puluh." Kemudian, di antara para ilmuwan lain, pendapat tersebut menjadi lebih kuat bahwa Fermat “tidak dapat membuktikan teoremanya dengan cara yang berbeda, dan Fermat tidak dapat membuktikannya dengan cara yang diambil Wiles karena alasan objektif”.

Nyatanya, Fermat tentu saja bisa membuktikannya, dan sebentar lagi bukti ini akan diciptakan kembali oleh para analis dari New Analytical Encyclopedia. Tapi apa “alasan obyektif” ini?
Sebenarnya hanya ada satu alasan seperti itu: pada tahun-tahun ketika Fermat hidup, dugaan Taniyama, yang menjadi dasar bukti Andrew Wiles, tidak dapat muncul, karena fungsi modular yang digunakan dugaan Taniyama hanya ditemukan di akhir XIX abad.

Bagaimana Wiles sendiri membuktikan teorema tersebut? Pertanyaannya bukan pertanyaan kosong - penting untuk memahami bagaimana Fermat sendiri dapat membuktikan teoremanya. Wiles mendasarkan pembuktiannya pada bukti dugaan Taniyama, yang dikemukakan pada tahun 1955 oleh matematikawan Jepang berusia 28 tahun Yutaka Taniyama.

Hipotesisnya berbunyi seperti ini: “setiap kurva elips berhubungan dengan bentuk modular tertentu.” Kurva elips yang sudah dikenal sejak lama mempunyai bentuk dua dimensi (terletak pada suatu bidang), sedangkan fungsi modular mempunyai bentuk empat dimensi. Artinya, hipotesis Taniyama berhubungan sepenuhnya konsep yang berbeda- Kurva datar sederhana dan bentuk empat dimensi yang tak terbayangkan. Fakta menggabungkan figur-figur berdimensi berbeda dalam hipotesis tampak tidak masuk akal bagi para ilmuwan, itulah sebabnya pada tahun 1955 hal ini tidak dianggap penting.

Namun, pada musim gugur tahun 1984, “dugaan Taniyama” tiba-tiba teringat kembali, dan tidak hanya diingat, tetapi kemungkinan pembuktiannya dihubungkan dengan pembuktian teorema Fermat! Hal ini dilakukan oleh ahli matematika Saarbrücken, Gerhard Frey, yang memberi tahu komunitas ilmiah bahwa “jika seseorang berhasil membuktikan dugaan Taniyama, maka Teorema Terakhir Fermat juga akan terbukti.”

Apa yang dilakukan Frey? Dia mengubah persamaan Fermat menjadi persamaan kubik, kemudian memperhatikan bahwa kurva elips diperoleh dengan mengubahnya menjadi persamaan kubik Sebuah peternakan tidak bisa bersifat modular. Namun, dugaan Taniyama menyatakan bahwa kurva elips apa pun bisa bersifat modular! Oleh karena itu, kurva elips yang dibangun dari persamaan Fermat tidak mungkin ada, yang berarti tidak mungkin ada solusi lengkap dan teorema Fermat, yang berarti benar. Nah, pada tahun 1993, Andrew Wiles membuktikan dugaan Taniyama, dan juga teorema Fermat.

Namun, teorema Fermat dapat dibuktikan dengan lebih sederhana, berdasarkan multidimensi yang sama yang dioperasikan oleh Taniyama dan Frey.

Untuk memulainya, mari kita perhatikan kondisi yang ditentukan oleh Pierre Fermat sendiri - n>2. Mengapa kondisi ini diperlukan? Ya, hanya karena fakta bahwa dengan n=2 kasus khusus dari teorema Fermat menjadi teorema Pythagoras biasa X 2 +Y 2 =Z 2, yang memiliki jumlah solusi bilangan bulat tak terhingga - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149 dan seterusnya. Jadi, teorema Pythagoras merupakan pengecualian terhadap teorema Fermat.

Tetapi mengapa pengecualian seperti itu terjadi pada kasus n=2? Semuanya akan beres jika Anda melihat hubungan antara derajat (n=2) dan dimensi bangun itu sendiri. Segitiga Pythagoras merupakan bangun datar dua dimensi. Tidak mengherankan, Z (yaitu, sisi miring) dapat dinyatakan dalam bentuk kaki (X dan Y), yang dapat berupa bilangan bulat. Besarnya sudut (90) memungkinkan kita menganggap sisi miring sebagai vektor, dan kaki-kaki adalah vektor yang terletak pada sumbu dan berasal dari titik asal. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk menyatakan vektor dua dimensi yang tidak terletak pada sumbu mana pun dalam bentuk vektor yang terletak pada sumbu tersebut.

Sekarang, jika kita beralih ke dimensi ketiga, dan oleh karena itu ke n=3, untuk menyatakan vektor tiga dimensi, informasi tentang dua vektor tidak akan cukup, dan oleh karena itu, Z dapat dinyatakan dalam persamaan Fermat melalui setidaknya tiga suku (tiga vektor terletak masing-masing pada tiga sumbu sistem koordinat).

Jika n=4 maka harus ada 4 suku, jika n=5 maka harus ada 5 suku, dan seterusnya. Dalam hal ini, solusinya akan lebih dari cukup. Misalnya, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 dan seterusnya (Anda dapat memilih sendiri contoh lain untuk n=3, n=4 dan seterusnya).

Apa hasil dari semua ini? Oleh karena itu, teorema Fermat sebenarnya tidak memiliki solusi bilangan bulat untuk n>2 - tetapi hanya karena persamaannya sendiri salah! Dengan keberhasilan yang sama, seseorang dapat mencoba menyatakan volume sebuah parallelepiped dalam bentuk panjang kedua sisinya - tentu saja, ini tidak mungkin (seluruh solusi tidak akan pernah ditemukan), tetapi hanya karena untuk menemukan volume sebuah parallelepiped Anda perlu mengetahui panjang ketiga sisinya.

Ketika matematikawan terkenal David Gilbert ditanya masalah apa yang paling penting bagi sains saat ini, dia menjawab “untuk menangkap lalat sisi belakang Bulan." Untuk pertanyaan yang masuk akal, "Siapa yang butuh ini?" dia menjawab: "Tidak ada yang membutuhkan ini. Tapi pikirkan betapa pentingnya tugas yang paling rumit Anda harus memutuskan untuk mewujudkannya."

Dengan kata lain, Fermat (seorang pengacara pertama dan terpenting!) memainkan lelucon hukum yang jenaka di seluruh dunia matematika, berdasarkan rumusan masalah yang salah. Faktanya, dia menyarankan agar para ahli matematika menemukan jawaban mengapa seekor lalat di sisi lain Bulan tidak dapat hidup, dan di pinggir “Aritmatika” dia hanya ingin menulis bahwa tidak ada udara di Bulan, yaitu. Tidak mungkin ada solusi menyeluruh terhadap teoremanya untuk n>2 hanya karena setiap nilai n harus sesuai dengan sejumlah suku tertentu di sisi kiri persamaannya.

Tapi apakah itu hanya lelucon? Sama sekali tidak. Kejeniusan Fermat justru terletak pada kenyataan bahwa dialah orang pertama yang melihat hubungan antara derajat dan dimensi suatu bangun matematika - yaitu, yang benar-benar ekuivalen, jumlah suku di ruas kiri persamaan. Arti dari teorema terkenalnya justru tidak hanya mendorong dunia matematika pada gagasan hubungan ini, tetapi juga untuk memulai bukti keberadaan hubungan ini - dapat dimengerti secara intuitif, tetapi belum dibuktikan secara matematis.

Fermat, tidak seperti orang lain, memahami bahwa membangun hubungan antara objek yang tampaknya berbeda sangat bermanfaat tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam sains apa pun. Hubungan ini menunjukkan beberapa prinsip mendalam yang mendasari kedua objek dan memungkinkan pemahaman yang lebih mendalam tentang keduanya.

Misalnya, fisikawan awalnya memandang listrik dan magnet sebagai fenomena yang sama sekali tidak berhubungan, namun pada abad ke-19, para ahli teori dan peneliti menyadari bahwa listrik dan magnet mempunyai hubungan yang erat. Hasilnya, pemahaman yang lebih baik tentang listrik dan magnet tercapai. Arus listrik menimbulkan Medan magnet, dan magnet dapat menginduksi listrik pada konduktor yang terletak di dekat magnet. Hal ini menyebabkan penemuan dinamo dan motor listrik. Akhirnya diketahui bahwa cahaya merupakan hasil terpadu getaran harmonis medan magnet dan listrik.

Matematika pada masa Fermat terdiri dari pulau-pulau pengetahuan di lautan ketidaktahuan. Di satu pulau tinggal para ahli geometri mempelajari bentuk, di pulau lain teori probabilitas matematikawan mempelajari risiko dan keacakan. Bahasa geometri sangat berbeda dengan bahasa teori probabilitas, dan terminologi aljabar asing bagi mereka yang hanya berbicara tentang statistik. Sayangnya, matematika zaman kita terdiri dari pulau-pulau yang kurang lebih sama.

Fermat adalah orang pertama yang menyadari bahwa semua pulau ini saling berhubungan. Dan teoremanya yang terkenal - Teorema Terakhir Fermat - adalah konfirmasi yang sangat baik tentang hal ini.

Jadi, Teorema Terakhir Fermat (sering disebut Teorema Terakhir Fermat), yang dirumuskan pada tahun 1637 oleh ahli matematika Prancis yang brilian, Pierre Fermat, sifatnya sangat sederhana dan dapat dipahami oleh siapa saja yang berpendidikan menengah. Dikatakan bahwa rumus a pangkat n + b pangkat n = c pangkat n tidak memiliki solusi alami (yaitu, bukan pecahan) untuk n > 2. Semuanya tampak sederhana dan jelas, tetapi matematikawan terbaik dan amatir biasa berjuang mencari solusi selama lebih dari tiga setengah abad.

Kenapa dia begitu terkenal? Sekarang kita akan mencari tahu...

Apakah ada banyak teorema yang terbukti, belum terbukti, dan belum terbukti? Intinya di sini adalah Teorema Terakhir Fermat mewakili kontras terbesar antara kesederhanaan rumusan dan kompleksitas pembuktian. Teorema Terakhir Fermat adalah soal yang sangat sulit, namun rumusannya dapat dipahami oleh siapa saja yang duduk di bangku kelas 5 SMA, namun tidak semua ahli matematika profesional dapat memahami pembuktiannya. Baik dalam fisika, kimia, biologi, maupun matematika, tidak ada satu masalah pun yang dapat dirumuskan dengan begitu sederhana, namun tetap tidak terpecahkan begitu lama. 2. Terdiri dari apa?

Mari kita mulai dengan celana Pythagoras, kata-katanya sangat sederhana - pada pandangan pertama. Seperti yang kita ketahui sejak kecil, “Celana Pythagoras sama di semua sisi.” Soalnya terlihat sangat sederhana karena didasarkan pada pernyataan matematika yang diketahui semua orang - teorema Pythagoras: dalam segitiga siku-siku apa pun, luas persegi yang dibangun di sisi miring sama dengan jumlah persegi yang dibangun di kaki-kakinya.

Pada abad ke-5 SM. Pythagoras mendirikan persaudaraan Pythagoras. Penganut Pythagoras, antara lain, mempelajari bilangan bulat kembar tiga yang memenuhi persamaan x²+y²=z². Mereka membuktikan bahwa ada banyak sekali tripel Pythagoras dan memperoleh rumus umum untuk mencarinya. Mereka mungkin mencoba mencari nilai C dan lebih tinggi. Yakin bahwa ini tidak berhasil, kaum Pythagoras meninggalkan upaya sia-sia mereka. Anggota persaudaraan lebih banyak filsuf dan estetika daripada ahli matematika.

Artinya, mudah untuk memilih sekumpulan bilangan yang memenuhi persamaan x²+y²=z² secara sempurna

Mulai dari 3, 4, 5 – memang seorang siswa SMP paham bahwa 9 + 16 = 25.

Atau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Hebat.

Dan seterusnya. Bagaimana jika kita mengambil persamaan serupa x³+y³=z³? Mungkin ada angka seperti itu juga?

Dan seterusnya (Gbr. 1).

Jadi, ternyata TIDAK. Di sinilah triknya dimulai. Kesederhanaan tampak jelas, karena sulit untuk membuktikan bukan keberadaan sesuatu, melainkan ketidakhadirannya. Ketika Anda perlu membuktikan bahwa ada solusi, Anda dapat dan harus menyajikan solusi tersebut.

Membuktikan ketidakhadiran lebih sulit: misalnya, seseorang berkata: persamaan ini dan itu tidak memiliki solusi. Taruh dia di genangan air? mudah: bam - dan ini dia, solusinya! (berikan solusi). Dan itu saja, lawannya dikalahkan. Bagaimana cara membuktikan ketidakhadiran?

Katakan: “Saya belum menemukan solusi seperti itu”? Atau mungkin kamu sedang tidak dalam keadaan sehat? Bagaimana jika mereka ada, hanya sangat besar, sangat besar, sehingga bahkan komputer yang sangat kuat pun masih belum memiliki kekuatan yang cukup? Inilah yang sulit.

Hal ini dapat ditunjukkan secara visual seperti ini: jika Anda mengambil dua kotak dengan ukuran yang sesuai dan membongkarnya menjadi kotak satuan, maka dari kumpulan kotak satuan ini Anda mendapatkan kotak ketiga (Gbr. 2):

Tapi mari kita lakukan hal yang sama dengan dimensi ketiga (Gbr. 3) – ini tidak berhasil. Kubusnya tidak cukup, atau masih ada kubus tambahan yang tersisa:

Namun matematikawan Perancis abad ke-17 Pierre de Fermat dengan antusias mempelajari persamaan umum x n +y n =zn . Dan akhirnya saya menyimpulkan: untuk n>2 tidak ada solusi bilangan bulat. Bukti Fermat hilang dan tidak dapat diperbaiki lagi. Naskahnya terbakar! Yang tersisa hanyalah pernyataannya dalam Aritmatika Diophantus: “Saya telah menemukan bukti yang sungguh menakjubkan dari proposisi ini, namun margin di sini terlalu sempit untuk memuatnya.”

Sebenarnya teorema tanpa pembuktian disebut hipotesis. Namun Fermat memiliki reputasi tidak pernah melakukan kesalahan. Meski dia tidak meninggalkan bukti pernyataannya, hal itu kemudian dikonfirmasi. Selain itu, Fermat membuktikan tesisnya untuk n=4. Dengan demikian, hipotesis ahli matematika Perancis tercatat dalam sejarah sebagai Teorema Terakhir Fermat.

Setelah Fermat, pemikir besar seperti Leonhard Euler bekerja mencari bukti (pada tahun 1770 ia mengusulkan solusi untuk n = 3),

Adrien Legendre dan Johann Dirichlet (para ilmuwan ini bersama-sama menemukan bukti n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lamé (yang menemukan bukti n = 7) dan banyak lainnya. Pada pertengahan tahun 80-an abad terakhir, menjadi jelas bahwa dunia ilmiah sedang menuju solusi akhir Teorema Terakhir Fermat, tetapi baru pada tahun 1993 para ahli matematika melihat dan percaya bahwa epik tiga abad dalam mencari bukti teorema terakhir Fermat praktis sudah berakhir.

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa membuktikan teorema Fermat hanya untuk n sederhana: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Untuk komposit n, pembuktiannya tetap valid. Tapi bilangan prima itu jumlahnya tak terhingga...

Pada tahun 1825, dengan menggunakan metode Sophie Germain, matematikawan wanita, Dirichlet dan Legendre secara independen membuktikan teorema n=5. Pada tahun 1839, dengan menggunakan metode yang sama, orang Perancis Gabriel Lame menunjukkan kebenaran teorema untuk n=7. Lambat laun teorema tersebut terbukti untuk hampir semua n kurang dari seratus.

Terakhir, matematikawan Jerman Ernst Kummer, dalam penelitiannya yang brilian, menunjukkan bahwa teorema tersebut secara umum tidak dapat dibuktikan dengan menggunakan metode matematika abad ke-19. Hadiah dari Akademi Ilmu Pengetahuan Perancis, yang didirikan pada tahun 1847 untuk pembuktian teorema Fermat, tetap tidak diberikan.

Pada tahun 1907, industrialis kaya Jerman Paul Wolfskehl memutuskan untuk bunuh diri karena cinta tak berbalas. Layaknya orang Jerman sejati, ia menetapkan tanggal dan waktu bunuh diri: tepat tengah malam. Pada hari terakhir dia membuat surat wasiat dan menulis surat kepada teman dan kerabatnya. Segalanya berakhir sebelum tengah malam. Harus dikatakan bahwa Paul tertarik pada matematika. Karena tidak punya pekerjaan lain, dia pergi ke perpustakaan dan mulai membaca artikel terkenal Kummer. Tiba-tiba dia merasa Kummer telah melakukan kesalahan dalam penalarannya. Wolfskel mulai menganalisis bagian artikel ini dengan pensil di tangannya. Tengah malam telah berlalu, pagi telah tiba. Kesenjangan dalam pembuktian telah terisi. Dan alasan untuk bunuh diri sekarang tampak sangat konyol. Paul merobek surat perpisahannya dan menulis ulang surat wasiatnya.

Dia segera meninggal karena sebab alamiah. Ahli waris cukup terkejut: 100.000 mark (lebih dari 1.000.000 pound sterling saat ini) ditransfer ke rekening Royal Scientific Society of Göttingen, yang pada tahun yang sama mengumumkan kompetisi untuk Hadiah Wolfskehl. 100.000 nilai diberikan kepada orang yang membuktikan teorema Fermat. Tidak ada pfennig yang diberikan karena menyangkal teorema tersebut...

Kebanyakan matematikawan profesional menganggap pencarian bukti Teorema Terakhir Fermat sebagai tugas yang sia-sia dan dengan tegas menolak membuang waktu untuk latihan yang tidak berguna tersebut. Tapi para amatir bersenang-senang. Beberapa minggu setelah pengumuman tersebut, banyak “bukti” melanda Universitas Göttingen. Profesor E.M. Landau, yang bertanggung jawab menganalisis bukti yang dikirimkan, membagikan kartu kepada murid-muridnya:

Sayang. . . . . . . .

Terima kasih telah mengirimkan saya naskah dengan bukti Teorema Terakhir Fermat. Kesalahan pertama ada di halaman...sebaris... . Oleh karena itu, seluruh bukti kehilangan keabsahannya.
Profesor E.M. Landau

Pada tahun 1963, Paul Cohen, dengan mengandalkan temuan Gödel, membuktikan tidak terpecahkannya salah satu dari dua puluh tiga masalah Hilbert - hipotesis kontinum. Bagaimana jika Teorema Terakhir Fermat juga tidak dapat diputuskan?! Namun para fanatik Teorema Besar sejati tidak kecewa sama sekali. Munculnya komputer tiba-tiba memberi para ahli matematika metode pembuktian baru. Setelah Perang Dunia II, tim pemrogram dan matematikawan membuktikan Teorema Terakhir Fermat untuk semua nilai n hingga 500, lalu hingga 1.000, dan kemudian hingga 10.000.

Pada tahun 1980an, Samuel Wagstaff menaikkan batas menjadi 25.000, dan pada tahun 1990an, ahli matematika menyatakan bahwa Teorema Terakhir Fermat benar untuk semua nilai n hingga 4 juta. Namun jika Anda mengurangi satu triliun triliun pun dari tak terhingga, jumlahnya tidak akan menjadi lebih kecil. Matematikawan tidak yakin dengan statistik. Membuktikan Teorema Besar berarti membuktikannya untuk SEMUA n yang menuju tak terhingga.

Pada tahun 1954, dua teman matematikawan muda Jepang mulai meneliti bentuk modular. Bentuk-bentuk ini menghasilkan rangkaian angka, masing-masing dengan rangkaiannya sendiri. Secara kebetulan, Taniyama membandingkan deret tersebut dengan deret yang dihasilkan oleh persamaan elips. Mereka cocok! Tapi bentuk modular adalah objek geometris, dan persamaan elips adalah aljabar. Tidak ada hubungan yang pernah ditemukan antara objek-objek berbeda tersebut.

Namun, setelah pengujian yang cermat, teman-teman mengajukan hipotesis: setiap persamaan elips memiliki kembaran - bentuk modular, dan sebaliknya. Hipotesis inilah yang menjadi landasan seluruh arah matematika, namun hingga hipotesis Taniyama-Shimura terbukti, seluruh bangunan bisa runtuh kapan saja.

Pada tahun 1984, Gerhard Frey menunjukkan bahwa solusi persamaan Fermat, jika ada, dapat dimasukkan ke dalam persamaan elips. Dua tahun kemudian, Profesor Ken Ribet membuktikan bahwa persamaan hipotetis ini tidak ada tandingannya di dunia modular. Mulai sekarang, Teorema Terakhir Fermat terkait erat dengan dugaan Taniyama – Shimura. Setelah membuktikan bahwa setiap kurva elips bersifat modular, kami menyimpulkan bahwa tidak ada persamaan elips dengan solusi persamaan Fermat, dan Teorema Terakhir Fermat akan segera dibuktikan. Namun selama tiga puluh tahun hipotesis Taniyama-Shimura tidak dapat dibuktikan, dan harapan untuk berhasil pun semakin berkurang.

Pada tahun 1963, ketika dia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona oleh matematika. Ketika dia mempelajari Teorema Besar, dia menyadari bahwa dia tidak bisa menyerah begitu saja. Sebagai anak sekolah, pelajar, dan mahasiswa pascasarjana, dia mempersiapkan diri untuk tugas ini.

Setelah mengetahui temuan Ken Ribet, Wiles langsung membuktikan dugaan Taniyama-Shimura. Dia memutuskan untuk bekerja dalam isolasi dan kerahasiaan total. “Saya menyadari bahwa segala sesuatu yang berhubungan dengan Teorema Terakhir Fermat menimbulkan terlalu banyak minat... Terlalu banyak penonton jelas mengganggu pencapaian tujuan.” Kerja keras selama tujuh tahun membuahkan hasil; Wiles akhirnya menyelesaikan pembuktian dugaan Taniyama – Shimura.

Pada tahun 1993, ahli matematika Inggris Andrew Wiles mempresentasikan kepada dunia bukti Teorema Terakhir Fermat (Wiles membaca makalah sensasionalnya di sebuah konferensi di Institut Sir Isaac Newton di Cambridge.), yang pengerjaannya berlangsung lebih dari tujuh tahun.

Sementara hype terus berlanjut di media, upaya serius mulai memverifikasi bukti. Setiap bukti harus diperiksa secara cermat sebelum bukti tersebut dapat dianggap teliti dan akurat. Wiles menghabiskan musim panas yang gelisah menunggu masukan dari pengulas, berharap dia bisa mendapatkan persetujuan mereka. Pada akhir bulan Agustus, para ahli menemukan bahwa putusan tersebut tidak memiliki dasar yang cukup.

Ternyata keputusan tersebut mengandung kesalahan besar, meski secara umum benar. Wiles tidak menyerah, meminta bantuan ahli teori bilangan terkenal Richard Taylor, dan pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorema yang telah dikoreksi dan diperluas. Yang paling menakjubkan adalah karya ini memakan sebanyak 130 (!) halaman di jurnal matematika “Annals of Mathematics”. Namun ceritanya juga tidak berakhir di situ - titik akhir baru tercapai pada tahun berikutnya, 1995, ketika versi pembuktian final dan "ideal", dari sudut pandang matematis, diterbitkan.

“...setengah menit setelah dimulainya jamuan makan malam di hari ulang tahunnya, saya memberikan Nadya naskah bukti lengkapnya” (Andrew Wales). Bukankah saya sudah mengatakan bahwa matematikawan adalah orang yang aneh?

Kali ini buktinya tidak diragukan lagi. Dua artikel menjadi sasaran analisis yang paling cermat dan diterbitkan pada Mei 1995 di Annals of Mathematics.

Banyak waktu telah berlalu sejak saat itu, namun masih ada anggapan di masyarakat bahwa Teorema Terakhir Fermat tidak dapat dipecahkan. Tetapi bahkan mereka yang mengetahui bukti yang ditemukan terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit yang puas bahwa Teorema Besar memerlukan solusi sepanjang 130 halaman!

Oleh karena itu, sekarang upaya banyak ahli matematika (kebanyakan amatir, bukan ilmuwan profesional) dicurahkan untuk mencari bukti yang sederhana dan ringkas, tetapi jalan ini, kemungkinan besar, tidak akan membawa kemana-mana...