Kalkulator menyelesaikan integral dengan deskripsi tindakan secara DETAIL dalam bahasa Rusia dan gratis!

Menyelesaikan integral tak tentu

Ini adalah layanan online di satu langkah:

Menyelesaikan integral tertentu

Ini adalah layanan online di satu langkah:

Masukkan ekspresi integral (fungsi integral)
Masukkan batas bawah integralnya
Masukkan batas atas integralnya

Menyelesaikan integral ganda

Masukkan ekspresi integral (fungsi integral)

Menyelesaikan integral tak wajar

Masukkan ekspresi integral (fungsi integral)
Masukkan wilayah integrasi atas (atau + tak terhingga)
Masukkan wilayah integrasi yang lebih rendah (atau - tak terhingga)

Menyelesaikan integral rangkap tiga

Masukkan ekspresi integral (fungsi integral)
Masukkan batas bawah dan atas untuk wilayah integrasi pertama
Masukkan batas bawah dan atas untuk wilayah integrasi kedua
Masukkan batas bawah dan atas untuk wilayah integrasi ketiga

Layanan ini memungkinkan Anda untuk memeriksa perhitungan untuk kebenaran

Kemungkinan

Mendukung semua fungsi matematika yang mungkin: sinus, kosinus, eksponen, tangen, kotangen, akar kuadrat dan kubik, pangkat, eksponensial, dan lain-lain.
Ada contoh masukan, baik untuk integral tak tentu maupun integral tak tentu dan pasti.
Memperbaiki kesalahan dalam ekspresi yang Anda masukkan dan menawarkan opsi input Anda sendiri.
Solusi numerik untuk integral tertentu dan integral tak wajar (termasuk integral rangkap dua dan rangkap tiga).
Mendukung bilangan kompleks, serta berbagai parameter (Anda dapat menentukan di integrand tidak hanya variabel integrasi, tetapi juga variabel parameter lainnya)

Integral kompleks

Artikel ini menyimpulkan topik integral tak tentu, dan memuat integral yang menurut saya cukup rumit. Pelajaran ini dibuat atas permintaan berulang kali dari pengunjung yang menyatakan keinginan mereka agar contoh-contoh yang lebih sulit dianalisis di situs.

Diasumsikan bahwa pembaca teks ini telah mempersiapkan diri dengan baik dan mengetahui bagaimana menerapkan teknik dasar integrasi. Orang bodoh dan orang yang tidak terlalu percaya diri dengan integral harus merujuk pada pelajaran pertama - Integral tak tentu. Contoh solusi, di mana Anda dapat menguasai topik tersebut hampir dari awal. Siswa yang lebih berpengalaman dapat mengenal teknik dan metode integrasi yang belum ditemukan dalam artikel saya.

Integral apa yang akan dibahas?

Pertama kita akan membahas integral dengan akar, yang solusinya akan kita gunakan secara berurutan penggantian variabel Dan integrasi berdasarkan bagian. Artinya, dalam satu contoh dua teknik digabungkan sekaligus. Dan bahkan lebih.

Kemudian kita akan berkenalan dengan hal-hal yang menarik dan orisinal metode mereduksi integral ke dirinya sendiri. Cukup banyak integral yang diselesaikan dengan cara ini.

Edisi ketiga dari program ini adalah integral pecahan kompleks, yang melewati meja kas di artikel sebelumnya.

Keempat, integral tambahan dari fungsi trigonometri akan dianalisis. Secara khusus, ada metode yang menghindari substitusi trigonometri universal yang memakan waktu.

(2) Pada fungsi integran, kita membagi pembilangnya dengan penyebut suku demi suku.

(3) Kami menggunakan properti linearitas Bukan integral tertentu. Di integral terakhir segera letakkan fungsinya di bawah tanda diferensial.

(4) Kita ambil integral sisanya. Perhatikan bahwa dalam logaritma Anda dapat menggunakan tanda kurung daripada modulus, karena .

(5) Kami melakukan penggantian terbalik, menyatakan “te” dari penggantian langsung:

Siswa masokis dapat membedakan jawabannya dan mendapatkan integran aslinya, seperti yang baru saja saya lakukan. Tidak, tidak, saya melakukan pengecekan dengan cara yang benar =)

Seperti yang Anda lihat, selama penyelesaian kami harus menggunakan lebih dari dua metode penyelesaian, jadi untuk menangani integral seperti itu, Anda memerlukan keterampilan integrasi yang percaya diri dan sedikit pengalaman.

Dalam praktiknya, tentu saja akar kuadrat lebih umum, berikut tiga contohnya keputusan independen:

Contoh 2

Temukan integral tak tentu

Contoh 3

Temukan integral tak tentu

Contoh 4

Temukan integral tak tentu

Contoh-contoh ini berjenis sama, jadi solusi lengkap di akhir artikel hanya untuk Contoh 2; Contoh 3-4 memiliki jawaban yang sama. Pengganti mana yang akan digunakan di awal pengambilan keputusan, menurut saya, sudah jelas. Mengapa saya memilih contoh yang sejenis? Sering ditemukan dalam peran mereka. Lebih sering, mungkin, hanya sesuatu seperti itu .

Namun tidak selalu, jika di bawah fungsi arctangen, sinus, kosinus, eksponensial, dan lainnya terdapat akar dari fungsi linear, Anda harus menggunakan beberapa metode sekaligus. Dalam beberapa kasus, dimungkinkan untuk “turun dengan mudah”, yaitu, segera setelah penggantian, diperoleh integral sederhana, yang dapat dengan mudah diambil. Tugas termudah yang diusulkan di atas adalah Contoh 4, di mana, setelah penggantian, diperoleh integral yang relatif sederhana.

Dengan mereduksi integral ke dirinya sendiri

Metode yang cerdas dan indah. Mari kita lihat genre klasiknya:

Contoh 5

Temukan integral tak tentu

Di bawah akarnya terdapat binomial kuadrat, dan mencoba mengintegrasikan contoh ini dapat membuat teko sakit kepala selama berjam-jam. Integral seperti itu diambil sebagian dan direduksi menjadi dirinya sendiri. Prinsipnya tidak sulit. Jika Anda tahu caranya.

Mari kita nyatakan integral yang sedang dipertimbangkan dengan huruf Latin dan mulai penyelesaiannya:

Mari kita integrasikan berdasarkan bagian:

(1) Siapkan fungsi integral untuk pembagian suku demi suku.

(2) Kita membagi suku fungsi integran dengan suku. Ini mungkin tidak jelas bagi semua orang, tetapi saya akan menjelaskannya lebih detail:

(3) Kita menggunakan sifat linearitas integral tak tentu.

(4) Ambil integral terakhir (logaritma “panjang”).

Sekarang mari kita lihat awal dari solusinya:

Dan pada akhirnya:

Apa yang telah terjadi? Akibat manipulasi kami, integralnya tereduksi menjadi dirinya sendiri!

Mari kita samakan awal dan akhir:

Pindah ke sisi kiri dengan perubahan tanda:

Dan kami memindahkan keduanya ke sisi kanan. Sebagai akibat:

Konstanta sebenarnya seharusnya ditambahkan lebih awal, tetapi saya menambahkannya di akhir. Saya sangat menyarankan membaca betapa ketatnya di sini:

Catatan: Lebih tepatnya, tahap akhir dari solusi terlihat seperti ini:

Dengan demikian:

Konstanta tersebut dapat didesain ulang dengan . Mengapa bisa didesain ulang? Karena dia masih menerimanya setiap nilai, dan dalam pengertian ini tidak ada perbedaan antara konstanta dan.
Sebagai akibat:

Trik serupa dengan renotasi konstan banyak digunakan di persamaan diferensial. Dan di sana saya akan bersikap tegas. Dan di sini saya mengizinkan kebebasan seperti itu hanya agar tidak membingungkan Anda dengan hal-hal yang tidak perlu dan memusatkan perhatian tepat pada metode integrasi itu sendiri.

Contoh 6

Temukan integral tak tentu

Integral khas lainnya untuk solusi independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Akan ada perbedaan dengan jawaban pada contoh sebelumnya!

Jika di bawah akar pangkat dua terletak trinomial kuadrat, maka solusinya akan bergantung pada dua contoh yang dianalisis.

Misalnya, pertimbangkan integral . Yang perlu Anda lakukan adalah terlebih dahulu pilih kotak lengkap:
.
Selanjutnya, penggantian linier dilakukan, yang “tanpa konsekuensi apa pun”:
, menghasilkan integral . Sesuatu yang familier, bukan?

Atau contoh ini, dengan binomial kuadrat:
Pilih persegi lengkap:
Dan, setelah penggantian linier, kita memperoleh integralnya, yang juga diselesaikan menggunakan algoritma yang telah dibahas.

Mari kita lihat dua contoh umum tentang cara mereduksi integral menjadi dirinya sendiri:
– integral eksponensial dikalikan sinus;
– integral eksponensial dikalikan kosinus.

Dalam integral yang terdaftar berdasarkan bagian, Anda harus mengintegrasikan dua kali:

Contoh 7

Temukan integral tak tentu

Integran adalah eksponensial dikalikan sinus.

Kami mengintegrasikan bagian-bagian dua kali dan mengurangi integral ke dirinya sendiri:

Sebagai hasil dari integrasi ganda oleh bagian-bagian, integral tersebut direduksi menjadi dirinya sendiri. Kami menyamakan awal dan akhir solusi:

Kita pindahkan ke ruas kiri dengan perubahan tanda dan nyatakan integral kita:

Siap. Pada saat yang sama, disarankan untuk menyisir sisi kanan, mis. keluarkan eksponen dari tanda kurung, dan tempatkan sinus dan cosinus dalam tanda kurung dengan urutan yang “indah”.

Sekarang mari kita kembali ke awal contoh, atau lebih tepatnya, integrasi per bagian:

Kami menetapkan eksponen sebagai. Timbul pertanyaan: apakah eksponen harus selalu dilambangkan dengan ? Tidak perlu. Padahal, dianggap integral secara mendasar tidak masalah, apa yang kita maksud dengan , kita bisa saja mengambil cara lain:

Mengapa hal ini mungkin terjadi? Karena eksponensial berubah menjadi dirinya sendiri (baik selama diferensiasi dan integrasi), sinus dan kosinus saling berubah menjadi satu sama lain (sekali lagi, selama diferensiasi dan integrasi).

Artinya, kita juga dapat menyatakan fungsi trigonometri. Namun pada contoh yang dibahas, hal ini kurang rasional, karena akan muncul pecahan. Jika mau, Anda dapat mencoba menyelesaikan contoh ini menggunakan cara kedua; jawabannya harus cocok.

Contoh 8

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Sebelum Anda memutuskan, pikirkan apa yang lebih menguntungkan dalam hal ini untuk ditetapkan sebagai fungsi eksponensial atau trigonometri? Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Dan tentu saja, jangan lupa bahwa sebagian besar jawaban dalam pelajaran ini cukup mudah untuk diperiksa dengan membedakannya!

Contoh-contoh yang dipertimbangkan bukanlah yang paling rumit. Dalam praktiknya, integral lebih umum digunakan jika konstanta berada dalam eksponen dan argumen fungsi trigonometri, misalnya: . Banyak orang akan bingung dengan integral seperti itu, dan saya sendiri sering bingung. Faktanya adalah ada kemungkinan besar pecahan muncul dalam larutan, dan sangat mudah kehilangan sesuatu karena kecerobohan. Selain itu, ada kemungkinan besar kesalahan dalam tanda; perhatikan bahwa eksponen memiliki tanda minus, dan ini menimbulkan kesulitan tambahan.

Pada tahap akhir, seringkali hasilnya seperti ini:

Bahkan di akhir penyelesaian, Anda harus sangat berhati-hati dan memahami pecahan dengan benar:

Mengintegrasikan Pecahan Kompleks

Kami perlahan-lahan mendekati ekuator pelajaran dan mulai mempertimbangkan integral pecahan. Sekali lagi, tidak semuanya super rumit, hanya saja karena satu dan lain hal, contoh-contoh tersebut sedikit “keluar dari topik” di artikel lain.

Melanjutkan tema akar

Contoh 9

Temukan integral tak tentu

Pada penyebut di bawah akar terdapat trinomial kuadrat ditambah “tambahan” berbentuk “X” di luar akar. Integral jenis ini dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi standar.

Kami memutuskan:

Penggantiannya di sini sederhana:

Mari kita lihat kehidupan setelah penggantian:

(1) Setelah substitusi, suku-suku di bawah akar direduksi menjadi penyebut yang sama.
(2) Kami mencabutnya dari bawah akarnya.
(3) Pembilang dan penyebutnya dikurangi . Pada saat yang sama, di bawah root, saya mengatur ulang istilah-istilah tersebut dalam urutan yang nyaman. Dengan beberapa pengalaman, langkah (1), (2) dapat dilewati dengan melakukan tindakan yang dikomentari secara lisan.
(4) Integral yang dihasilkan, seperti yang Anda ingat dari pelajaran Mengintegrasikan Beberapa Pecahan, sedang diputuskan metode ekstraksi persegi lengkap. Pilih kotak yang lengkap.
(5) Dengan integrasi kita memperoleh logaritma “panjang” biasa.
(6) Kami melakukan penggantian terbalik. Jika awalnya , lalu kembali: .
(7) Tindakan terakhir ditujukan untuk meluruskan hasil: di bawah akar kita kembali membawa suku-suku tersebut ke penyebut yang sama dan mengeluarkannya dari bawah akar.

Contoh 10

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Di sini sebuah konstanta ditambahkan ke satu-satunya “X”, dan penggantiannya hampir sama:

Satu-satunya hal yang perlu Anda lakukan tambahan adalah menyatakan “x” dari penggantian yang dilakukan:

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Kadang-kadang dalam integral seperti itu mungkin ada binomial kuadrat di bawah akar, ini tidak mengubah metode penyelesaiannya, bahkan akan lebih sederhana. Rasakan perbedaan nya:

Contoh 11

Temukan integral tak tentu

Contoh 12

Temukan integral tak tentu

Solusi dan jawaban singkat di akhir pelajaran. Perlu dicatat bahwa Contoh 11 adalah persisnya integral binomial, metode penyelesaiannya dibahas di kelas Integral fungsi irasional.

Integral polinomial tak terurai derajat 2 pangkat

(polinomial dalam penyebut)

Lebih jarang, namun tetap ditemukan di contoh praktis jenis integral.

Contoh 13

Temukan integral tak tentu

Tapi mari kita kembali ke contoh dengan angka keberuntungan 13 (jujur, saya tidak menebak dengan benar). Integral ini juga merupakan salah satu integral yang bisa membuat frustasi jika Anda tidak tahu cara menyelesaikannya.

Solusinya dimulai dengan transformasi buatan:

Saya rasa semua orang sudah paham cara membagi pembilang dengan penyebut suku demi suku.

Integral yang dihasilkan diambil sebagian:

Untuk integral berbentuk ( – bilangan asli) ditarik berulang rumus reduksi:
, Di mana – integral satu derajat lebih rendah.

Mari kita verifikasi validitas rumus ini untuk integral terselesaikan.
Dalam hal ini: , , kita menggunakan rumus:

Seperti yang Anda lihat, jawabannya sama.

Contoh 14

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi sampel menggunakan rumus di atas dua kali berturut-turut.

Jika di bawah gelar tersebut tak terpisahkan trinomial persegi, maka penyelesaiannya direduksi menjadi binomial dengan mengisolasi kuadrat sempurna, contoh:

Bagaimana jika ada polinomial tambahan pada pembilangnya? Dalam hal ini, metode yang digunakan koefisien yang tidak pasti, dan integran diperluas menjadi sejumlah pecahan. Tapi dalam praktik saya ada contoh seperti itu tidak pernah bertemu, jadi saya melewatkan kasus ini di artikel Integral fungsi rasional pecahan, saya akan melewatkannya sekarang. Jika Anda masih menemukan integral seperti itu, lihat buku teks - semuanya sederhana di sana. Menurut saya tidak disarankan untuk memasukkan materi (bahkan yang sederhana), yang kemungkinan bertemunya cenderung nol.

Mengintegrasikan fungsi trigonometri kompleks

Kata sifat “kompleks” untuk sebagian besar contoh sekali lagi sebagian besar bersifat kondisional. Mari kita mulai dengan garis singgung dan kotangen derajat tinggi. Dilihat dari metode penyelesaian yang digunakan, tangen dan kotangen hampir sama, jadi saya akan membahas lebih lanjut tentang tangen, yang menyiratkan bahwa metode penyelesaian integral yang ditunjukkan juga berlaku untuk kotangen.

Dalam pelajaran di atas kita melihat substitusi trigonometri universal untuk menyelesaikan jenis integral tertentu dari fungsi trigonometri. Kerugian dari substitusi trigonometri universal adalah penggunaannya sering kali menghasilkan integral yang rumit dan perhitungannya sulit. Dan dalam beberapa kasus, substitusi trigonometri universal dapat dihindari!

Mari kita lihat satu lagi contoh kanonik, integral satu dibagi sinus:

Contoh 17

Temukan integral tak tentu

Di sini Anda dapat menggunakan substitusi trigonometri universal dan mendapatkan jawabannya, tetapi ada cara yang lebih rasional. Saya akan memberikan solusi lengkap dengan komentar untuk setiap langkah:

(1) Kita menggunakan rumus trigonometri untuk sinus sudut ganda.
(2) Kami melaksanakan transformasi buatan: Dalam penyebutnya, bagi dan kalikan dengan.
(3) Dengan menggunakan rumus penyebut yang terkenal, kita ubah pecahan menjadi garis singgung.
(4) Kita letakkan fungsi tersebut di bawah tanda diferensial.
(5) Ambil integralnya.

Pasangan contoh sederhana untuk solusi independen:

Contoh 18

Temukan integral tak tentu

Catatan: Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menggunakan rumus reduksi dan dengan hati-hati melakukan tindakan yang serupa dengan contoh sebelumnya.

Contoh 19

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh yang sangat sederhana.

Solusi dan jawaban lengkap di akhir pelajaran.

Saya pikir sekarang tidak ada yang akan memiliki masalah dengan integral:
dan seterusnya.

Apa ide dari metode ini? Idenya adalah, dengan menggunakan transformasi, rumus trigonometri atur hanya garis singgung dan turunan garis singgung pada integran. Artinya, kita berbicara tentang penggantian: . Pada Contoh 17-19 sebenarnya kita menggunakan penggantian ini, namun integralnya sangat sederhana sehingga kita dapat menggunakan tindakan ekuivalen - dengan memasukkan fungsi tersebut ke dalam tanda diferensial.

Alasan serupa, seperti yang telah saya sebutkan, dapat diterapkan untuk kotangen.

Ada juga prasyarat formal untuk menerapkan penggantian di atas:

Jumlah pangkat cosinus dan sinus adalah bilangan bulat negatif Angka genap , Misalnya:

untuk integral – bilangan GENAP bilangan bulat negatif.

! Catatan : jika integran HANYA berisi sinus atau HANYA kosinus, maka integralnya juga dianggap berderajat ganjil negatif (kasus paling sederhana ada pada Contoh No. 17, 18).

Mari kita lihat beberapa tugas yang lebih bermakna berdasarkan aturan ini:

Contoh 20

Temukan integral tak tentu

Jumlah pangkat sinus dan kosinus: 2 – 6 = –4 adalah bilangan GENAP bilangan bulat negatif, artinya integral tersebut dapat direduksi menjadi garis singgung dan turunannya:

(1) Mari kita ubah penyebutnya.
(2) Dengan menggunakan rumus terkenal, kita memperoleh .
(3) Mari kita ubah penyebutnya.
(4) Kami menggunakan rumus .
(5) Kita letakkan fungsi tersebut di bawah tanda diferensial.
(6) Kami melakukan penggantian. Siswa yang lebih berpengalaman mungkin tidak melakukan penggantian, tetapi lebih baik mengganti garis singgung dengan satu huruf - risiko kebingungan lebih kecil.

Contoh 21

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Bertahanlah, putaran kejuaraan akan segera dimulai =)

Seringkali integrand berisi "gado-gado":

Contoh 22

Temukan integral tak tentu

Integral ini awalnya mengandung garis singgung, yang langsung mengarah pada pemikiran yang sudah dikenal:

Saya akan membiarkan transformasi buatan di awal dan langkah selanjutnya tanpa komentar, karena semuanya telah dibahas di atas.

Pasangan contoh kreatif untuk solusi independen:

Contoh 23

Temukan integral tak tentu

Contoh 24

Temukan integral tak tentu

Ya, di dalamnya, tentu saja, Anda dapat menurunkan pangkat sinus dan kosinus, dan menggunakan substitusi trigonometri universal, tetapi penyelesaiannya akan jauh lebih efisien dan lebih singkat jika dilakukan melalui garis singgung. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran

Menemukan integral tak tentu (sekumpulan antiturunan atau “antiturunan”) berarti merekonstruksi suatu fungsi dari turunan yang diketahui dari fungsi tersebut. Kumpulan antiturunan yang dipulihkan F(X) + DENGAN untuk fungsi F(X) memperhitungkan konstanta integrasi C. Dengan kecepatan gerakan poin materi(turunan) hukum gerak titik ini (antiturunan) dapat dipulihkan; menurut percepatan pergerakan suatu titik - kecepatannya dan hukum gerak. Seperti yang Anda lihat, integrasi adalah bidang yang luas untuk aktivitas fisika Sherlock Holmes. Dan dalam ilmu ekonomi, banyak konsep yang direpresentasikan melalui fungsi dan turunannya, dan oleh karena itu, misalnya, dimungkinkan untuk mengembalikan volume produk yang diproduksi pada waktu yang bersangkutan dengan menggunakan produktivitas tenaga kerja pada titik waktu tertentu (turunan).

Untuk mencari integral tak tentu dibutuhkan waktu yang cukup lama sejumlah besar rumus integrasi dasar. Namun proses menemukannya jauh lebih sulit dari sekedar menerapkan rumus-rumus tersebut. Semua kerumitannya tidak berkaitan dengan integrasi, tetapi membawa ekspresi integral ke bentuk yang memungkinkan untuk mencari integral tak tentu menggunakan rumus dasar yang disebutkan di atas. Artinya, untuk memulai praktik integrasi, Anda perlu mengaktifkan apa yang telah Anda pelajari sekolah menengah atas keterampilan transformasi ekspresi.

Kita akan belajar mencari integral dengan menggunakan sifat-sifat dan tabel integral tak tentu dari pelajaran tentang konsep dasar topik ini (terbuka di jendela baru).

Ada beberapa metode untuk mencari integral, diantaranya metode penggantian variabel Dan integrasi dengan metode bagian- set pria wajib untuk setiap orang yang telah berhasil lulus matematika tingkat tinggi. Namun, akan lebih berguna dan menyenangkan untuk mulai menguasai integrasi menggunakan metode ekspansi, berdasarkan dua teorema sifat-sifat integral tak tentu berikut, yang kami ulangi di sini untuk memudahkan.

Teorema 3. Faktor konstanta integran dapat dikeluarkan dari tanda integral tak tentu, yaitu.

Teorema 4. Integral tak tentu dari jumlah aljabar nomor terbatas fungsi sama dengan jumlah aljabar integral tak tentu dari fungsi-fungsi ini, yaitu.

(2)

Selain itu, aturan berikut mungkin berguna dalam integrasi: jika ekspresi integran mengandung faktor konstan, maka ekspresi antiturunan dikalikan dengan kebalikan dari faktor konstanta, yaitu

(3)

Karena pelajaran ini merupakan pengantar untuk memecahkan masalah integrasi, penting untuk mencatat dua hal yang sudah ada tahap awal, atau sebentar lagi mereka mungkin akan mengejutkan Anda. Kejutannya adalah karena integrasi adalah operasi kebalikan dari diferensiasi dan integral tak tentu dapat disebut sebagai “antiturunan”.

Hal pertama yang tidak perlu mengejutkan Anda saat mengintegrasikan. Dalam tabel integral ada rumus yang tidak memiliki analogi di antara rumus tabel turunan . Ini adalah rumus berikut:

Namun, Anda dapat memastikan bahwa turunan dari ekspresi di sisi kanan rumus ini bertepatan dengan integran yang bersesuaian.

Hal kedua yang tidak mengejutkan saat mengintegrasikan. Meskipun turunan suatu fungsi dasar juga merupakan fungsi dasar, integral tak tentu dari beberapa fungsi dasar bukan lagi fungsi dasar . Contoh integral tersebut adalah sebagai berikut:

Untuk mengembangkan teknik integrasi, keterampilan berikut akan berguna: mereduksi pecahan, membagi polinomial pada pembilang suatu pecahan dengan monomial pada penyebutnya (untuk mendapatkan jumlah integral tak tentu), mengubah akar menjadi pangkat, mengalikan monomial dengan a polinomial, pangkat. Keterampilan ini diperlukan untuk transformasi integran, yang akan menghasilkan jumlah integral yang ada dalam tabel integral.

Menemukan integral tak tentu bersama-sama

Contoh 1. Temukan integral tak tentu

Larutan. Kita melihat pada penyebut integran sebuah polinomial yang x dikuadratkan. Ini adalah tanda yang hampir pasti bahwa Anda dapat menerapkan integral tabel 21 (dengan hasil arctangent). Kita keluarkan faktor-dua dari penyebutnya (ada sifat integral - faktor konstanta dapat dikeluarkan melampaui tanda integral; disebutkan di atas sebagai Teorema 3). Hasil dari semua ini:

Sekarang penyebutnya adalah jumlah kuadrat, yang berarti kita dapat menerapkan integral tabel tersebut. Akhirnya kami mendapatkan jawabannya:

Contoh 2. Temukan integral tak tentu

Larutan. Kami kembali menerapkan Teorema 3 - sifat integral, yang menjadi dasar faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral:

Kami menerapkan rumus 7 dari tabel integral (variabel pangkat) ke fungsi integran:

Kami mengurangi pecahan yang dihasilkan dan kami mendapatkan jawaban akhir:

Contoh 3. Temukan integral tak tentu

Larutan. Menerapkan Teorema 4 terlebih dahulu dan kemudian Teorema 3 tentang sifat, kita menemukan integral ini sebagai jumlah dari tiga integral:

Ketiga integral yang diperoleh adalah tabel. Kami menggunakan rumus (7) dari tabel integral untuk N = 1/2, N= 2 dan N= 1/5, lalu

menggabungkan ketiga konstanta arbitrer yang diperkenalkan ketika menemukan tiga integral. Oleh karena itu, dalam situasi serupa, hanya satu konstanta integrasi sembarang yang harus dimasukkan.

Contoh 4. Temukan integral tak tentu

Larutan. Jika penyebut integralnya mengandung monomial, kita dapat membagi pembilangnya dengan penyebutnya suku demi suku. Integral asli diubah menjadi jumlah dua integral:

Untuk menerapkan integral tabel, kita ubah akar-akarnya menjadi pangkat dan inilah jawaban akhirnya:

Kami terus menemukan integral tak tentu bersama-sama

Contoh 7. Temukan integral tak tentu

Larutan. Jika kita mentransformasikan integral dengan mengkuadratkan binomial dan membagi pembilangnya dengan penyebut suku demi suku, maka integral asal menjadi hasil penjumlahan tiga integral.

Mari kita mulai mempelajari topiknya" Integral tak tentu", dan kami juga akan menganalisis secara detail contoh solusi integral paling sederhana (dan tidak sesederhana itu). Seperti biasa, kami akan membatasi diri pada teori minimum yang ada di banyak buku teks; tugas kami adalah mempelajari cara menyelesaikan integral.

Apa yang perlu Anda ketahui agar berhasil menguasai materi? Untuk menguasai kalkulus integral, Anda harus mampu mencari turunan minimal pada tingkat menengah. Pengalaman tidak akan sia-sia jika Anda memiliki beberapa lusin, atau lebih baik lagi, ratusan turunan yang ditemukan secara independen. Paling tidak, Anda tidak perlu bingung dengan tugas membedakan fungsi yang paling sederhana dan umum.

Nampaknya, apa hubungannya dengan turunan jika artikelnya tentang integral?! Inilah masalahnya. Faktanya, mencari turunan dan mencari integral tak tentu (diferensiasi dan integrasi) adalah dua tindakan yang saling berbanding terbalik, seperti penjumlahan/pengurangan atau perkalian/pembagian. Oleh karena itu, tanpa keahlian dan pengalaman dalam mencari turunan, sayangnya Anda tidak dapat bergerak maju.

Dalam hal ini, kita memerlukan yang berikut ini bahan ajar: Tabel derivatif Dan Tabel integral.

Apa kesulitan mempelajari integral tak tentu? Jika dalam turunan terdapat 5 aturan diferensiasi, tabel turunan dan algoritma tindakan yang cukup jelas, maka dalam integral semuanya berbeda. Ada lusinan metode dan teknik integrasi. Dan, jika metode integrasi pada awalnya dipilih secara salah (yaitu Anda tidak tahu cara menyelesaikannya), maka integralnya dapat “ditusuk” secara harfiah selama berhari-hari, seperti teka-teki sungguhan, mencoba mencari tahu berbagai teknik dan trik. Beberapa orang bahkan menyukainya.

Ngomong-ngomong, kita cukup sering mendengar dari mahasiswa (bukan jurusan humaniora) pendapat seperti: “Saya tidak pernah tertarik menyelesaikan suatu limit atau turunan, tapi integral adalah soal yang sama sekali berbeda, menarik, selalu ada a keinginan untuk "meretas" integral yang kompleks." . Berhenti. Cukup dengan humor hitamnya, mari kita beralih ke integral yang sangat tidak terbatas ini.

Karena ada banyak cara untuk menyelesaikannya, lalu dari mana teko harus mulai mempelajari integral tak tentu? Dalam kalkulus integral, menurut pendapat kami, ada tiga pilar atau semacam “poros” yang mengelilingi segala sesuatu yang lain. Pertama-tama, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang integral paling sederhana (artikel ini).

Maka Anda perlu mempelajari pelajaran secara mendetail. INILAH TEKNIK YANG PALING PENTING! Mungkin bahkan artikel terpenting dari semua artikel tentang integral. Dan ketiga, Anda harus membaca integrasi dengan metode bagian, karena mengintegrasikan berbagai kelas fungsi. Jika Anda menguasai setidaknya tiga pelajaran ini, maka Anda tidak akan lagi memiliki dua pelajaran. Anda mungkin dimaafkan karena tidak mengetahuinya integral fungsi trigonometri, integral pecahan, integral dari fungsi pecahan-rasional, integral fungsi irasional (akar), tetapi jika Anda “mendapat masalah” dengan metode penggantian atau metode integrasi per bagian, maka itu akan sangat-sangat buruk.

Jadi, mari kita mulai dengan sederhana. Mari kita lihat tabel integral. Seperti halnya turunan, kita memperhatikan beberapa aturan integrasi dan tabel integral dari beberapa fungsi dasar. Setiap integral tabel (dan tentu saja setiap integral tak tentu) mempunyai bentuk:

Yuk segera pahami notasi dan istilahnya:

– ikon integral.

– fungsi integrand (ditulis dengan huruf “s”).

– ikon diferensial. Kami akan segera melihat apa ini. Hal utama adalah ketika menulis integral dan selama penyelesaian, penting untuk tidak kehilangan ikon ini. Akan ada cacat yang nyata.

– ekspresi integran atau “pengisian” integral.

– antiturunan fungsi.

– . Tidak perlu terlalu banyak memuat suku-suku; yang paling penting di sini adalah bahwa dalam integral tak tentu, sebuah konstanta ditambahkan ke jawabannya.

Menyelesaikan integral tak tentu berarti mencarisekelompok fungsi antiturunan dari integran yang diberikan

Mari kita lihat entri itu lagi:

Mari kita lihat tabel integral.

Apa yang terjadi? Kami memiliki bagian kiri berubah menjadi ke fungsi lain: .

Mari kita sederhanakan definisi kita:

Selesaikan integral tak tentu - ini berarti TRANSFORMASI menjadi fungsi yang tidak terdefinisi (hingga konstan). , menggunakan beberapa aturan, teknik dan tabel.

Misalnya integral tabel . Apa yang telah terjadi? Notasi simbolik telah berkembang menjadi banyak fungsi primitif.

Seperti halnya turunan, untuk mempelajari cara mencari integral, tidak perlu mengetahui apa itu fungsi integral atau antiturunan dari sudut pandang teoritis. Cukup dengan melakukan transformasi menurut beberapa aturan formal. Jadi, untuk berjaga-jaga Sama sekali tidak perlu memahami mengapa integral berubah menjadi . Anda dapat menerima begitu saja rumus ini dan rumus lainnya. Semua orang menggunakan listrik, namun hanya sedikit orang yang berpikir tentang bagaimana elektron bergerak melalui kabel.

Karena diferensiasi dan integrasi merupakan operasi yang berlawanan, maka untuk setiap antiturunan yang ditemukan dengan benar, maka berlaku hal berikut:

Dengan kata lain, jika Anda membedakan jawaban yang benar, maka Anda harus mendapatkan fungsi integran aslinya.

Mari kita kembali ke integral tabel yang sama .

Mari kita verifikasi validitas rumus ini. Kita ambil turunan dari ruas kanan:

adalah fungsi integran asli.

Omong-omong, menjadi jelas mengapa konstanta selalu ditetapkan ke suatu fungsi. Jika didiferensiasi, konstanta selalu bernilai nol.

Selesaikan integral tak tentu- artinya menemukan sekelompok setiap orang antiturunan, dan bukan hanya satu fungsi. Dalam contoh tabel yang sedang dipertimbangkan, , , , dll. – semua fungsi ini merupakan solusi integral. Ada banyak sekali solusinya, jadi kami menuliskannya secara singkat:

Jadi, integral tak tentu apa pun cukup mudah untuk diperiksa. Ini adalah kompensasi untuk sejumlah besar integral dari tipe yang berbeda.

Mari kita beralih ke contoh spesifik. Mari kita mulai, seperti mempelajari turunan, dengan dua aturan integrasi:

– konstan C dapat (dan harus) dikeluarkan dari tanda integral.

– integral jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) dua integral. Aturan ini berlaku untuk sejumlah persyaratan.

Seperti yang Anda lihat, aturannya pada dasarnya sama dengan turunan. Terkadang mereka dipanggil sifat linearitas integral.

Contoh 1

Temukan integral tak tentu.

Lakukan pemeriksaan.

Larutan: Lebih mudah untuk mengubahnya.

(1) Terapkan aturannya . Kami lupa menuliskan ikon diferensial dx di bawah setiap integral. Mengapa di bawah masing-masing? dx– ini adalah pengganda penuh. Jika kita uraikan secara detail, langkah pertamanya harus ditulis seperti ini:

(2) Menurut aturan kita memindahkan semua konstanta melampaui tanda integral. Harap dicatat bahwa dalam istilah terakhir tg 5 adalah konstanta, kami juga mengeluarkannya.

Selain itu, pada langkah ini kami mempersiapkan akar dan kekuatan untuk integrasi. Seperti halnya diferensiasi, akar-akarnya harus direpresentasikan dalam bentuk . Pindahkan akar dan pangkat yang terletak pada penyebut ke atas.

Catatan: Berbeda dengan turunan, akar-akar integral tidak selalu harus direduksi menjadi bentuk , dan naikkan derajatnya.

Misalnya, - ini adalah integral tabel yang sudah jadi, yang telah dihitung sebelum Anda, dan segala macam trik Cina seperti itu sama sekali tidak diperlukan. Juga: – ini juga merupakan integral tabel; tidak ada gunanya merepresentasikan pecahan dalam bentuk . Pelajari tabelnya dengan cermat!

(3) Semua integral kita berbentuk tabel. Kami melakukan transformasi menggunakan tabel menggunakan rumus: , Dan

Untuk fungsi daya - .

Perlu dicatat bahwa integral tabel adalah kasus spesial rumus fungsi pangkat: .

Konstan C cukup menambahkan satu kali di akhir ekspresi

(daripada menempatkannya setelah setiap integral).

(4) Hasil yang diperoleh kita tuliskan dalam bentuk yang lebih kompak, jika semua pangkat berbentuk

sekali lagi kami merepresentasikannya dalam bentuk akar, dan kami mengatur ulang pangkat dengan eksponen negatif kembali ke penyebutnya.

Penyelidikan. Untuk melakukan pemeriksaan, Anda perlu membedakan jawaban yang diterima:

Menerima yang asli integrand, yaitu integral ditemukan dengan benar. Dari mana mereka menari, itulah tempat mereka kembali. Ada baiknya bila cerita dengan integral berakhir seperti ini.

Dari waktu ke waktu, ada pendekatan yang sedikit berbeda untuk memeriksa integral tak tentu, ketika bukan turunannya, tetapi diferensialnya diambil dari jawabannya:

Hasilnya, kita tidak mendapatkan fungsi integran, melainkan ekspresi integran.

Jangan takut dengan konsep diferensial.

Diferensial adalah turunan dikalikan dengan dx.

Namun, yang penting bagi kami bukanlah seluk-beluk teoretisnya, melainkan apa yang harus dilakukan selanjutnya terhadap perbedaan ini. Perbedaannya terungkap sebagai berikut: ikon D kita hapus, beri bilangan prima di kanan atas tanda kurung, tambahkan faktor di akhir ekspresi dx :

Diterima asli integrand, yaitu integral ditemukan dengan benar.

Seperti yang Anda lihat, diferensialnya adalah mencari turunannya. Saya kurang menyukai metode pemeriksaan kedua, karena saya juga harus menggambar tanda kurung besar dan menyeret ikon diferensial dx sampai akhir pemeriksaan. Meskipun itu lebih benar, atau “lebih terhormat” atau semacamnya.

Faktanya, kita bisa bungkam tentang metode verifikasi kedua. Intinya bukan pada metodenya, tetapi pada kenyataan bahwa kita telah belajar membuka diferensial. Lagi.

Perbedaannya terungkap sebagai berikut:

1) ikon D menghapus;

2) di kanan atas tanda kurung kita beri tanda guratan (notasi turunan);

3) di akhir ekspresi kita menetapkan sebuah faktor dx .

Misalnya:

Ingat ini. Kami akan membutuhkan teknik ini segera.

Contoh 2

Ketika kami menemukan integral tak tentu, kami SELALU mencoba memeriksanya Apalagi peluangnya sangat besar. Tidak semua jenis masalah dalam matematika tingkat tinggi merupakan anugerah dari sudut pandang ini. Tidak masalah sesering itu tugas ujian tidak diperlukan verifikasi, tidak ada yang memeriksanya, dan tidak ada yang menghalangi pelaksanaannya pada draf. Pengecualian hanya dapat dilakukan jika waktu tidak cukup (misalnya saat ulangan atau ujian). Secara pribadi, saya selalu memeriksa integral, dan saya menganggap kurangnya pemeriksaan sebagai pekerjaan peretasan dan tugas yang diselesaikan dengan buruk.

Contoh 3

Temukan integral tak tentu:

. Lakukan pemeriksaan.

Solusi: Menganalisis integral, kita melihat bahwa di bawah integral kita memiliki produk dari dua fungsi, dan bahkan eksponen dari seluruh ekspresi. Sayangnya, di bidang pertarungan integral TIDAK baik dan nyaman rumus untuk mengintegrasikan hasil kali dan hasil bagi sebagai: atau .

Oleh karena itu, ketika suatu hasil kali atau hasil bagi diberikan, selalu masuk akal untuk melihat apakah mungkin untuk mengubah integran menjadi suatu jumlah? Contoh yang dipertimbangkan adalah jika hal ini memungkinkan.

Pertama kami akan menyajikan solusi lengkapnya, komentarnya ada di bawah.

Menerima yang asli integrand, yang berarti integralnya ditemukan dengan benar.

Selama pengujian, selalu disarankan untuk “mengemas” fungsi ke bentuk aslinya, dalam hal ini mengeluarkannya dari tanda kurung dan menerapkan rumus perkalian yang disingkat dalam arah sebaliknya: .

Contoh 4

Temukan integral tak tentu

Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk Anda selesaikan sendiri. Jawaban dan solusi lengkapnya ada di akhir pelajaran.

Contoh 5

Temukan integral tak tentu

. Lakukan pemeriksaan.

DI DALAM dalam contoh ini integran adalah pecahan. Saat kita melihat pecahan dalam integran, pertanyaan pertama yang muncul di benak kita adalah: “Apakah mungkin untuk menghilangkan pecahan ini, atau setidaknya menyederhanakannya?”

Kita perhatikan bahwa penyebutnya mengandung akar tunggal “X”. Yang ada di lapangan bukan pendekar, artinya kita bisa membagi pembilangnya dengan penyebut suku demi suku:

Kami tidak mengomentari tindakan dengan pangkat pecahan, karena tindakan tersebut telah berulang kali dibahas dalam artikel tentang turunan suatu fungsi.

Jika Anda masih bingung dengan contoh seperti

dan jawaban yang benar tidak akan keluar,

Perhatikan juga bahwa solusinya melewatkan satu langkah, yaitu menerapkan aturan , . Biasanya, dengan beberapa pengalaman dalam menyelesaikan integral, aturan-aturan ini dianggap sebagai fakta yang jelas dan tidak dijelaskan secara rinci.

Contoh 6

Temukan integral tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk Anda selesaikan sendiri. Jawaban dan solusi lengkapnya ada di akhir pelajaran.

Secara umum, hal-hal tidak sesederhana pecahan dalam integral, material tambahan tentang pengintegrasian beberapa jenis pecahan dapat dilihat pada artikel : Mengintegrasikan Beberapa Pecahan. Namun, sebelum melanjutkan ke artikel di atas, Anda perlu membiasakan diri dengan pelajarannya: Metode substitusi dalam integral tak tentu. Intinya adalah memasukkan suatu fungsi ke dalam metode penggantian diferensial atau variabel adalah Inti dalam studi topik, karena ditemukan tidak hanya "dalam tugas murni dengan metode penggantian", tetapi juga dalam banyak jenis integral lainnya.

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Solusi:

Contoh 4: Solusi:

Dalam contoh ini kami menggunakan rumus perkalian yang disingkat

Contoh 6: Solusi:

Suatu fungsi F(x) yang terdiferensiasi dalam interval tertentu X disebut antiturunan dari fungsi tersebut f(x), atau integral dari f(x), jika untuk setiap x ∈X persamaan berikut berlaku:

F " (x) = f(x). (8.1)

Menemukan semua antiturunan untuk suatu fungsi disebut nya integrasi. Fungsi integral tak tentu f(x) pada interval tertentu X adalah himpunan semua fungsi antiturunan untuk fungsi f(x); penamaan -

Jika F(x) merupakan antiturunan dari fungsi f(x), maka ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

di mana C adalah konstanta sembarang.

Tabel integral

Langsung dari definisinya kita memperoleh sifat-sifat utama integral tak tentu dan daftar integral tabel:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=konstan)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Daftar integral tabel

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = busursin x + C

10. = - ctg x + C

Penggantian variabel

Untuk mengintegrasikan banyak fungsi, gunakan metode penggantian variabel atau pergantian pemain, memungkinkan Anda mereduksi integral menjadi bentuk tabel.

Jika fungsi f(z) kontinu pada [α,β], fungsi z =g(x) mempunyai turunan kontinu dan α ≤ g(x) ≤ β, maka

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Selain itu, setelah integrasi pada ruas kanan, harus dilakukan substitusi z=g(x).

Untuk membuktikannya cukup dengan menuliskan integral aslinya dalam bentuk:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Misalnya:

Metode integrasi berdasarkan bagian

Misalkan u = f(x) dan v = g(x) adalah fungsi yang mempunyai kontinuitas. Kemudian, menurut pekerjaannya,

d(uv))= udv + vdu atau udv = d(uv) - vdu.

Untuk ekspresi d(uv), antiturunannya jelas adalah uv, sehingga rumusnya berlaku:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Rumus ini mengungkapkan aturannya integrasi berdasarkan bagian. Ini mengarahkan integrasi ekspresi udv=uv"dx ke integrasi ekspresi vdu=vu"dx.

Misalnya, Anda ingin mencari ∫xcosx dx. Misalkan u = x, dv = cosxdx, jadi du=dx, v=sinx. Kemudian

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Aturan integrasi per bagian memiliki cakupan yang lebih terbatas dibandingkan substitusi variabel. Tapi ada seluruh kelas integral, misalnya,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax dan lain-lain, yang dihitung secara tepat menggunakan integrasi per bagian.

Integral pasti

Konsep integral tertentu diperkenalkan sebagai berikut. Misalkan suatu fungsi f(x) terdefinisi pada suatu interval. Mari kita bagi segmen [a,b] menjadi N bagian demi poin a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x saya =xi - x saya-1. Jumlah dari bentuk f(ξ i)Δ x i disebut jumlah integral, dan limitnya di λ = maxΔx i → 0, jika ada dan berhingga, disebut integral tertentu fungsi f(x) dari A sebelum B dan ditunjuk:

F(ξ saya)Δx saya (8.5).

Fungsi f(x) dalam hal ini disebut dapat diintegrasikan pada interval tersebut, bilangan a dan b dipanggil batas bawah dan batas atas integral.

Sifat-sifat berikut ini berlaku untuk integral tertentu:

4), (k = konstanta, k∈R);

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Properti terakhir disebut teorema nilai rata-rata.

Misalkan f(x) kontinu pada . Kemudian pada ruas tersebut terdapat integral tak tentu

f(x)dx = F(x) + C

dan berlangsung Rumus Newton-Leibniz, menghubungkan integral tertentu dengan integral tak tentu:

F(b) - F(a). (8.6)

Interpretasi geometri: integral tentu adalah luas trapesium lengkung yang dibatasi dari atas oleh kurva y=f(x), garis lurus x = a dan x = b dan ruas sumbunya Sapi.

Integral tak wajar

Integral dengan limit tak terhingga dan integral fungsi terputus-putus (tak terbatas) disebut bukan milikmu sendiri. Integral tak wajar jenis pertama - Ini adalah integral pada interval tak terbatas, yang didefinisikan sebagai berikut:

Jika limit ini ada dan berhingga, maka disebut integral tak wajar konvergen dari f(x) pada interval [a,+ ∞), dan fungsi f(x) dipanggil dapat diintegrasikan dalam interval tak terbatas[a,+ ∞). Jika tidak maka dikatakan integral tidak ada atau menyimpang.

Integral tak wajar pada interval (-∞,b] dan (-∞, + ∞) didefinisikan dengan cara yang sama:

Mari kita definisikan konsep integral dari fungsi tak terbatas. Jika f(x) kontinu untuk semua nilai X segmen , kecuali titik c, di mana f(x) mempunyai diskontinuitas tak terhingga integral tak wajar jenis kedua f(x) mulai dari a sampai b jumlahnya disebut:

jika batas-batas ini ada dan terbatas. Penamaan:

Contoh perhitungan integral

Contoh 3.30. Hitung ∫dx/(x+2).

Larutan. Misalkan t = x+2, maka dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Contoh 3.31. Temukan ∫ tgxdx.

Larutan.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Misalkan t=cosx, maka ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Contoh3.32 . Carilah ∫dx/sinx

Larutan.

Contoh3.33. Menemukan .

Larutan. = .

Contoh3.34 . Temukan ∫arctgxdx.

Larutan. Mari berintegrasi per bagian. Mari kita nyatakan u=arctgx, dv=dx. Maka du = dx/(x 2 +1), v=x, sehingga ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; Karena
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Contoh3.35 . Hitung ∫lnxdx.

Larutan. Menerapkan rumus integrasi per bagian, kita memperoleh:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Maka ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Contoh3.36 . Hitung ∫e x sinxdx.

Larutan. Misalkan u = e x, dv = sinxdx, maka du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integralkan juga integral ∫e x cosxdx per bagian: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Kita punya:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Kita peroleh relasi ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, yang mana 2∫e x sinx dx = - ex cosx + e x sinx + C.

Contoh 3.37. Hitung J = ∫cos(lnx)dx/x.

Larutan. Karena dx/x = dlnx, maka J= ∫cos(lnx)d(lnx). Mengganti lnx dengan t, kita mendapatkan tabel integral J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Contoh 3.38 . Hitung J = .

Larutan. Mengingat = d(lnx), kita substitusikan lnx = t. Maka J = .