Jadi, kita punya kekuatan dua. Jika Anda mengambil angka dari garis bawah, Anda dapat dengan mudah menemukan pangkat yang harus Anda naikkan dua untuk mendapatkan angka ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Hal ini dapat dilihat dari tabel.

Dan sekarang sebenarnya definisi logaritma:

Basis logaritma dari x adalah pangkat yang harus dipangkatkan a untuk mendapatkan x.

Notasi: log a x = b, dengan a adalah basis, x adalah argumen, b adalah logaritma sebenarnya.

Misalnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Dengan keberhasilan yang sama, log 2 64 = 6, karena 2 6 = 64.

Operasi mencari logaritma suatu bilangan ke basis tertentu disebut logaritma. Jadi, mari tambahkan baris baru ke tabel kita:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
catatan 2 2 = 1catatan 2 4 = 2catatan 2 8 = 3catatan 2 16 = 4catatan 2 32 = 5catatan 2 64 = 6

Sayangnya, tidak semua logaritma dapat dihitung dengan mudah. Misalnya, coba cari log 2 5. Angka 5 tidak ada dalam tabel, tetapi logika menyatakan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat pada interval tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bilangan seperti itu disebut irasional: bilangan setelah koma dapat ditulis ad infinitum dan tidak pernah terulang. Jika logaritmanya ternyata irasional, lebih baik dibiarkan seperti itu: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Banyak orang yang awalnya bingung mana dasarnya dan mana dalilnya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:

[Keterangan untuk gambar]

Di hadapan kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana basis harus dibangun untuk mendapatkan argumen. Ini adalah basis yang dinaikkan ke pangkat - disorot dengan warna merah pada gambar. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu siswa saya aturan luar biasa ini pada pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan yang timbul.

Kami telah menemukan definisinya - yang tersisa hanyalah mempelajari cara menghitung logaritma, mis. hilangkan tanda "log". Untuk memulainya, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti definisi tersebut:

  1. Argumen dan basisnya harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti dari definisi derajat indikator rasional, yang menjadi dasar definisi logaritma.
  2. Basisnya harus berbeda dari yang satu, karena yang satu tetap satu sampai tingkat apa pun. Oleh karena itu, pertanyaan “kepada kekuatan apa seseorang harus dinaikkan untuk mendapatkan dua” tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!

Pembatasan seperti ini disebut rentang nilai yang dapat diterima(ODZ). Ternyata ODZ logaritmanya seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma). Misalnya, logaritmanya mungkin negatif: log 2 0,5 = −1, karena 0,5 = 2 −1.

Namun, saat ini kami hanya mempertimbangkannya ekspresi numerik, dimana tidak perlu mengetahui logaritma CVD. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penulis masalah. Tapi saat mereka pergi persamaan logaritma dan kesenjangan, persyaratan DHS akan menjadi wajib. Bagaimanapun juga, dasar dan argumennya mungkin mengandung konstruksi yang sangat kuat yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.

Sekarang mari kita pertimbangkan skema umum menghitung logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:

  1. Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan basis minimum yang mungkin lebih besar dari satu. Dalam prosesnya, lebih baik menghilangkan desimal;
  2. Selesaikan persamaan variabel b: x = a b ;
  3. Angka b yang dihasilkan akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Jika logaritmanya ternyata irasional, hal ini sudah terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangatlah penting: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Sama halnya dengan pecahan desimal: jika Anda segera mengubahnya menjadi pecahan biasa, kesalahannya akan jauh lebih sedikit.

Mari kita lihat cara kerja skema ini menggunakan contoh spesifik:

Tugas. Hitung logaritmanya: log 5 25

  1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
  2. Mari buat dan selesaikan persamaannya:
    log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
  3. Kami menerima jawabannya: 2.

Tugas. Hitung logaritmanya:

[Keterangan untuk gambar]

Tugas. Hitung logaritmanya: log 4 64

  1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
  2. Mari buat dan selesaikan persamaannya:
    log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
  3. Kami menerima jawabannya: 3.

Tugas. Hitung logaritmanya: log 16 1

  1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
  2. Mari buat dan selesaikan persamaannya:
    log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
  3. Kami menerima jawabannya: 0.

Tugas. Hitung logaritmanya: log 7 14

  1. Mari kita bayangkan basis dan argumennya sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
  2. Dari paragraf sebelumnya dapat disimpulkan bahwa logaritma tidak dihitung;
  3. Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.

Sebuah catatan kecil untuk contoh terakhir. Bagaimana Anda bisa yakin bahwa suatu bilangan bukanlah pangkat eksak dari bilangan lain? Caranya sangat sederhana - faktorkan saja ke dalam faktor prima. Dan jika faktor-faktor tersebut tidak dapat dipangkatkan dengan eksponen yang sama, maka bilangan aslinya bukanlah pangkat pasti.

Tugas. Cari tahu apakah angka-angka tersebut merupakan pangkat eksak: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - derajat eksak, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - bukan pangkat eksak, karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - derajat eksak;
35 = 7 · 5 - sekali lagi bukan pangkat pasti;
14 = 7 · 2 - sekali lagi bukan derajat pasti;

Mari kita perhatikan juga bahwa kita sendiri bilangan prima selalu merupakan derajat yang tepat dari diri mereka sendiri.

Logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum sehingga mempunyai nama dan simbol khusus.

Logaritma desimal x adalah logaritma basis 10, yaitu. Pangkat bilangan 10 yang harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Sebutan: lg x.

Misalnya log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.

Mulai sekarang, ketika frasa seperti “Temukan lg 0,01” muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika Anda belum terbiasa dengan notasi ini, Anda selalu dapat menulis ulang:
catatan x = log 10 x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk logaritma desimal.

Logaritma natural

Ada logaritma lain yang memiliki sebutan tersendiri. Dalam beberapa hal, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Kita berbicara tentang logaritma natural.

Logaritma natural dari x adalah logaritma ke basis e, yaitu pangkat berapa bilangan e harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Penunjukan: ln x .

Banyak yang akan bertanya: berapakah angka e? Ini adalah bilangan irasional; nilai pastinya tidak dapat ditemukan atau dituliskan. Saya hanya akan memberikan angka pertama:
e = 2,718281828459...

Kami tidak akan menjelaskan secara detail tentang apa nomor ini dan mengapa diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis logaritma natural:
ln x = log e x

Jadi ln e = 1; dalam e 2 = 2; dalam e 16 = 16 - dst. Sebaliknya, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural apa pun bilangan rasional irasional. Kecuali, tentu saja, untuk satu hal: ln 1 = 0.

Untuk logaritma natural semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.

DEFINISI

Logaritma desimal disebut logaritma basis 10:

Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}

Logaritma ini adalah solusinya persamaan eksponensial. Kadang-kadang (terutama di sastra asing) logaritma desimal juga dilambangkan sebagai , meskipun dua sebutan pertama juga melekat pada logaritma natural.

Tabel logaritma desimal pertama diterbitkan oleh matematikawan Inggris Henry Briggs (1561-1630) pada tahun 1617 (oleh karena itu, ilmuwan asing sering menyebut logaritma desimal juga Briggs), tetapi tabel ini mengandung kesalahan. Berdasarkan tabel (1783) ahli matematika Slovenia dan Austria Georg Barthalomew Vega (Juri Veha atau Vehovec, 1754-1802), pada tahun 1857 astronom dan surveyor Jerman Karl Bremiker (1804-1877) menerbitkan edisi bebas kesalahan pertama. Dengan partisipasi ahli matematika dan guru Rusia Leonty Filippovich Magnitsky (Telyatin atau Telyashin, 1669-1739), tabel logaritma pertama diterbitkan di Rusia pada tahun 1703. Logaritma desimal banyak digunakan untuk perhitungan.

Sifat Logaritma Desimal

Logaritma ini memiliki semua properti yang melekat pada logaritma ke basis arbitrer:

1. Identitas logaritma dasar:

5. .

7. Transisi ke basis baru:

Fungsi logaritma desimal adalah sebuah fungsi. Grafik kurva ini sering disebut logaritma.

Sifat-sifat fungsi y=lg x

1) Ruang lingkup definisi: .

2) Berbagai arti: .

3) Fungsi umum.

4) Fungsinya non-periodik.

5) Grafik fungsi memotong sumbu x di titik .

6) Interval keteguhan tanda: title="Rendered oleh QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} itu untuk.

Mereka sering mengambil nomor sepuluh. Logaritma bilangan yang berdasarkan basis sepuluh disebut desimal. Saat melakukan perhitungan dengan logaritma desimal, biasanya dilakukan dengan tanda lg, tapi tidak catatan; dalam hal ini, angka sepuluh, yang mendefinisikan basis, tidak ditunjukkan. Ya, mari kita ganti catatan 10 105 untuk disederhanakan lg105; A catatan 10 2 pada lg2.

Untuk logaritma desimal ciri-ciri yang sama yang dimiliki logaritma dengan basis lebih besar dari satu adalah tipikal. Yaitu, logaritma desimal dikarakterisasi secara eksklusif untuk bilangan positif. Logaritma desimal dari bilangan yang lebih besar dari satu adalah positif, dan bilangan yang kurang dari satu adalah negatif; dari dua bilangan non-negatif, bilangan yang lebih besar setara dengan logaritma desimal yang lebih besar, dan seterusnya. Selain itu, logaritma desimal memiliki fitur khas dan ciri-ciri khusus yang menjelaskan mengapa angka sepuluh lebih disukai sebagai basis logaritma.

Sebelum mengkaji sifat-sifat ini, mari kita kenali formulasi berikut ini.

Bagian bilangan bulat dari logaritma desimal suatu bilangan A disebut ciri, dan pecahannya adalah mantissa logaritma ini.

Ciri-ciri logaritma desimal suatu bilangan A diindikasikan sebagai , dan mantissa sebagai (lg A}.

Misalkan log 2 ≈ 0,3010, maka = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Begitu juga untuk log 543.1 ≈2.7349. Oleh karena itu, = 2, (log 543.1)≈ 0,7349.

Perhitungan logaritma desimal bilangan positif dari tabel banyak digunakan.

Ciri ciri logaritma desimal.

Tanda pertama logaritma desimal. tidak keseluruhan angka negatif, diwakili oleh angka satu yang diikuti dengan angka nol, adalah bilangan bulat positif yang sama dengan banyaknya angka nol pada entri angka yang dipilih .

Misalkan log 100 = 2, log 1 00000 = 5.

Secara umum, jika

Itu A= 10N , dari mana kita mendapatkan

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Tanda kedua. Sepuluh logaritma desimal positif, yang ditampilkan sebagai satu dengan nol di depannya, adalah - P, Di mana P- jumlah angka nol dalam representasi angka ini, dengan memperhitungkan nol bilangan bulat.

Mari kita pertimbangkan , catatan 0,001 = - 3, catatan 0,000001 = -6.

Secara umum, jika

,

Itu A= 10-N dan ternyata

lga= lg 10N =-n log 10 =-n

Tanda ketiga. Ciri-ciri logaritma desimal suatu bilangan non-negatif yang lebih besar dari satu sama dengan banyaknya digit pada bagian bilangan bulat bilangan tersebut tidak termasuk satu.

Mari kita analisa fitur ini: 1) Karakteristik logaritma lg 75.631 sama dengan 1.

Memang benar, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Ini menyiratkan,

catatan 75.631 = 1 +b,

Offset koma masuk desimal ke kanan atau ke kiri setara dengan operasi mengalikan pecahan ini dengan pangkat sepuluh dengan eksponen bilangan bulat P(positif atau negatif). Oleh karena itu, ketika koma desimal pada pecahan desimal positif digeser ke kiri atau ke kanan, mantissa logaritma desimal pecahan tersebut tidak berubah.

Jadi, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).