Teorema 3.1. Gabungan sejumlah himpunan terbuka adalah himpunan terbuka.
Membiarkan Gk, dimana k О N adalah himpunan terbuka.
3Pilih titik mana saja X HAI AKU G. Menurut definisi kesatuan himpunan, intinya X o termasuk dalam salah satu himpunan Gk. Karena Gk adalah himpunan terbuka, maka ada e- lingkungan suatu titik x o, yang seluruhnya terletak di himpunan Gk: kamu(x o , e)Ì G k Þ U(xo,e)AKU G.
Mengerti x o ÎG– internal, yang artinya G– set terbuka. 4
Teorema 3.2 . Perpotongan sejumlah himpunan terbuka tak kosong yang berhingga merupakan himpunan terbuka.
Membiarkan Gk (k = 1,2, …,N) adalah himpunan terbuka.
Mari kita buktikan bahwa itu adalah himpunan terbuka.
3Pilih titik mana saja X HAI AKU G. Menurut definisi perpotongan himpunan X o milik masing-masing himpunan Gk. Sejak setiap set Gk terbuka, lalu di set mana pun Gk ada e k- lingkungan suatu titik X HAI : kamu(X Hai , ek)Ì Gk. Banyak angka ( e 1 , e 2 ,…, dan) terbatas, jadi ada nomornya e = menit{e 1 ,e 2 ,…,dan). Kemudian e- lingkungan suatu titik X o ada di setiap e k- lingkungan suatu titik X HAI :kamu(X Hai , e)MU e(X Hai , ek) Þ kamu(X Hai , e)AKU G.
Mengerti X o – titik dalam himpunan G, yang berarti itu G– set terbuka. 4
Catatan 3.1. Perpotongan himpunan terbuka yang jumlahnya tak terhingga belum tentu merupakan himpunan terbuka.
Contoh 3.1. Biarkan di luar angkasa RG k =(2 – 1/k; 4+ 1/k), Di mana k= 1,2,…,N,…. G 1 =(1;5), G 2(1.5;4.5), Segmen Ì Gk dan bukan merupakan himpunan terbuka, poin 2 dan 4 bukan merupakan himpunan internal.
Teorema 3.3 . Perpotongan sembarang himpunan himpunan tertutup tak kosong adalah himpunan tertutup.
Membiarkan FK- set tertutup.
Mari kita buktikan bahwa himpunan tersebut tertutup, yaitu. itu berisi semua titik batasnya.
3Biarkan X F. Dari definisi perpotongan himpunan dapat disimpulkan bahwa dalam sembarang e- lingkungan suatu titik X o ada banyak sekali titik pada setiap himpunan FK, yang berarti itu X o – titik batas setiap set FK. Karena tertutupnya lokasi syuting FK dot
X HAI О F k "k Þ x HAI JIKA. Sejak saat itu X F, dan itu sangat berarti F tertutup. 4
Teorema 3.4. Gabungan sejumlah himpunan tertutup yang berhingga disebut himpunan tertutup.
Biarkan setiap set FK tertutup.
Mari kita buktikan bahwa himpunan tersebut tertutup, yaitu jika X o – titik batas himpunan F, Itu X HAI tentang F.
3Biarkan X o – titik batas mana pun dari himpunan F, lalu kapan saja e- lingkungan suatu titik X o terdapat banyak sekali titik pada himpunan tersebut. Karena jumlah set FK terbatas, kalau begitu X o termasuk dalam setidaknya salah satu himpunan FK, yaitu X o adalah titik batas himpunan ini.
Karena isolasi FK dot X o milik FK, dan karena itu banyak. Sejak saat itu X o dipilih secara sembarang, maka semua titik batas termasuk dalam himpunan F, yang sangat berarti F tertutup. 4
Catatan 3.2. Gabungan himpunan tertutup yang jumlahnya tak terhingga dapat menjadi himpunan terbuka.
Contoh 3.2 . Di ruang hampa R: F k =
F 1 =; F 2 = ; …. Interval (2;5) merupakan himpunan terbuka.
Mari kita terima tanpa pembuktian Teorema 3.5 dan 3.6 yang berhubungan dengan komplemen himpunan E terlalu banyak X: C x E=CE.
Teorema 3.5 . Jika set E tertutup, lalu komplemennya SE set terbuka.
Contoh 3.3 . E=, C R E =(- ¥, 2)È (5,+¥ ).
Teorema 3.6 . Jika set E terbuka, lalu pelengkapnya SE himpunan tertutup.
Contoh 3.4 . E=(2,5), C R E =(-¥, 2]È[ 5, +¥ ).
Salah satu tugas utama teori himpunan titik adalah mempelajari sifat-sifat berbagai jenis himpunan titik. Mari kita kenali teori ini dengan menggunakan dua contoh dan pelajari sifat-sifat yang disebut himpunan tertutup dan terbuka.
Himpunan tersebut disebut tertutup , jika berisi semua titik batasnya. Jika suatu himpunan tidak mempunyai titik batas tunggal, maka himpunan tersebut dianggap tertutup. Selain titik batasnya, himpunan tertutup juga dapat memuat titik-titik terisolasi. Himpunan tersebut disebut membuka , jika masing-masing poinnya bersifat internal untuknya.
Mari kita memberi contoh himpunan tertutup dan himpunan terbuka .
Setiap ruas merupakan himpunan tertutup, dan setiap interval (a,b) merupakan himpunan terbuka. Setengah interval yang tidak tepat dan tertutup, dan interval yang tidak tepat dan membuka. Keseluruhan garis merupakan himpunan tertutup dan himpunan terbuka. Akan lebih mudah untuk menganggap himpunan kosong sebagai himpunan tertutup dan terbuka pada saat yang bersamaan. Himpunan titik berhingga pada suatu garis adalah tertutup, karena tidak mempunyai titik batas.
Satu set yang terdiri dari poin:
tertutup; himpunan ini mempunyai titik batas unik x=0, yang termasuk dalam himpunan tersebut.
Tugas utamanya adalah mencari tahu bagaimana himpunan tertutup atau terbuka sembarang disusun. Untuk melakukan ini, kita memerlukan sejumlah fakta tambahan, yang akan kita terima tanpa bukti.
- 1. Perpotongan sejumlah himpunan tertutup adalah tertutup.
- 2. Jumlah sejumlah himpunan terbuka adalah himpunan terbuka.
- 3. Jika suatu himpunan tertutup dibatasi di atasnya, maka himpunan tersebut memuat supremumnya. Demikian pula, jika suatu himpunan tertutup dibatasi di bawah, maka himpunan tersebut memuat titik terkecilnya.
Misalkan E adalah himpunan titik-titik sembarang pada suatu garis. Mari kita sebut komplemen himpunan E dan dilambangkan dengan CE himpunan semua titik pada garis yang tidak termasuk dalam himpunan E. Jelas bahwa jika x adalah titik luar untuk E, maka x adalah titik dalam untuk himpunan CE dan sebaliknya.
4. Jika himpunan F tertutup, maka komplemen CFnya terbuka dan sebaliknya.
Proposisi 4 menunjukkan bahwa terdapat hubungan yang sangat erat antara himpunan tertutup dan himpunan terbuka: ada yang saling melengkapi dengan yang lain. Oleh karena itu, cukup mempelajari himpunan tertutup saja atau himpunan terbuka saja. Mengetahui sifat-sifat himpunan suatu jenis memungkinkan Anda untuk segera mengetahui sifat-sifat himpunan jenis lain. Misalnya, setiap himpunan terbuka diperoleh dengan menghilangkan beberapa himpunan tertutup dari sebuah garis.
Mari kita mulai mempelajari sifat-sifat himpunan tertutup. Mari kita perkenalkan satu definisi. Misalkan F adalah himpunan tertutup. Interval (a, b) yang mempunyai sifat tidak ada satu pun titiknya yang termasuk dalam himpunan F, tetapi titik a dan b termasuk dalam F, disebut interval bertetangga dari himpunan F.
Kami juga akan memasukkan interval tak wajar di antara interval yang berdekatan, atau jika titik a atau titik b termasuk dalam himpunan F, dan interval itu sendiri tidak berpotongan dengan F. Mari kita tunjukkan bahwa jika suatu titik x tidak termasuk dalam himpunan tertutup F, maka titik tersebut termasuk dalam salah satu interval yang berdekatan.
Dilambangkan dengan bagian himpunan F yang terletak di sebelah kanan titik x. Karena titik x sendiri bukan milik himpunan F, maka dapat direpresentasikan dalam bentuk perpotongan:
Masing-masing himpunan adalah F dan tertutup. Oleh karena itu, dengan Proposisi 1, himpunan tersebut ditutup. Jika himpunan tersebut kosong, maka seluruh setengah intervalnya bukan milik himpunan F. Sekarang mari kita asumsikan bahwa himpunan tersebut tidak kosong. Karena himpunan ini seluruhnya terletak pada setengah interval, maka himpunan ini dibatasi di bawah. Mari kita nyatakan batas bawahnya dengan b. Menurut Proposisi 3 yang artinya. Selanjutnya, karena b adalah titik terkecil dari himpunan tersebut, maka setengah interval (x, b) yang terletak di sebelah kiri titik b tidak memuat titik-titik himpunan dan, oleh karena itu, tidak memuat titik-titik himpunan F. Jadi, kita telah membuat setengah interval (x, b) yang tidak memuat titik-titik himpunan F, dan salah satu atau titik b termasuk dalam himpunan F. Demikian pula, dibuat setengah interval (a, x) yang tidak memuat titik-titik dari himpunan F, dan salah satu atau. Sekarang jelas bahwa interval (a, b) memuat titik x dan merupakan interval yang berdekatan dari himpunan F. Mudah untuk melihat bahwa jika dan adalah dua interval yang berdekatan dari himpunan F, maka interval-interval ini akan bertepatan atau sama. tidak berpotongan.
Dari penjelasan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa setiap himpunan tertutup pada suatu garis diperoleh dengan menghilangkan sejumlah interval tertentu dari garis tersebut, yaitu interval-interval yang berdekatan dari himpunan F. Karena setiap interval memuat paling sedikit satu titik rasional, dan terdapat himpunan yang dapat dihitung. semua titik rasional pada garis, mudah untuk memastikan bahwa jumlah semua interval yang berdekatan paling banyak dapat dihitung. Dari sini kita mendapatkan kesimpulan akhir. Setiap himpunan tertutup pada suatu garis diperoleh dengan menghilangkan paling banyak himpunan interval lepas yang dapat dihitung dari garis tersebut.
Berdasarkan Proposisi 4, maka setiap himpunan terbuka pada suatu garis tidak lebih dari jumlah interval lepas yang dapat dihitung. Berdasarkan Proposisi 1 dan 2, jelas pula bahwa himpunan apa pun yang tersusun sebagaimana disebutkan di atas memang tertutup (terbuka).
Seperti dapat dilihat dari contoh berikut, himpunan tertutup dapat memiliki struktur yang sangat kompleks.
Himpunan terbuka dan tertutup
Lampiran 1 . Himpunan terbuka dan tertutup
Sekelompok M pada garis lurus disebut membuka, jika setiap titiknya terdapat dalam himpunan ini dengan interval tertentu. Tertutup adalah himpunan yang memuat semua titik batasnya (yaitu, sedemikian rupa sehingga setiap interval yang memuat titik ini memotong himpunan tersebut setidaknya di satu titik lagi). Misalnya, suatu segmen adalah himpunan tertutup, tetapi tidak terbuka, dan suatu interval, sebaliknya, adalah himpunan terbuka, tetapi tidak tertutup. Ada himpunan yang tidak terbuka atau tertutup (misalnya, setengah interval). Ada dua set yang tertutup dan terbuka - ini kosong dan hanya itu Z(buktikan bahwa tidak ada yang lain). Sangat mudah untuk melihatnya jika M buka, lalu [` M] (atau Z \ M- tambahan untuk diatur M sebelum Z) ditutup. Memang, jika [` M] tidak tertutup, maka tidak mengandung titik batasnya sendiri M. Tapi kemudian M TENTANG M, dan setiap interval berisi M, berpotongan dengan himpunan [` M], yaitu ada benarnya tidak berbohong M, dan ini bertentangan dengan fakta itu M- membuka. Demikian pula langsung dari definisinya dibuktikan jika M ditutup, lalu [` M] buka (periksa!).
Sekarang kita akan membuktikan teorema penting berikut.
Dalil. Set terbuka apa pun M dapat direpresentasikan sebagai gabungan interval dengan tujuan rasional (yaitu, dengan tujuan pada titik rasional).
Bukti . Pertimbangkan serikat pekerja kamu semua interval dengan ujung rasional yang merupakan himpunan bagian dari himpunan kita. Mari kita buktikan bahwa penyatuan ini bertepatan dengan keseluruhan himpunan. Memang benar jika M- beberapa poin dari M, maka terdapat interval ( M 1 , M 2) M M mengandung M(ini mengikuti dari fakta bahwa M- membuka). Pada interval mana pun Anda dapat menemukan titik rasional. Biarkan ( M 1 , M) - Ini M 3, pada ( M, M 2) – ini adalah M 4. Lalu tunjuk M dicakup oleh serikat pekerja kamu, yaitu interval ( M 3 , M 4). Jadi, kami telah membuktikan setiap poinnya M dari M dicakup oleh serikat pekerja kamu. Terlebih lagi, seperti yang jelas terlihat dari konstruksinya kamu, tidak ada gunanya tidak terkandung di dalamnya M, tidak tertutupi kamu. Cara, kamu Dan M sesuai.
Konsekuensi penting dari teorema ini adalah kenyataan bahwa setiap himpunan terbuka adalah himpunan terbuka dapat dihitung menggabungkan interval.
Tidak ada himpunan padat dan himpunan ukuran nol. Perangkat penyanyi>
Lampiran 2 . Tidak ada himpunan padat dan himpunan ukuran nol. Set penyanyi
Sekelompok A ditelepon tidak ada tempat yang padat, jika untuk poin yang berbeda A Dan B ada segmen [ C, D] M [ A, B], tidak berpotongan dengan A. Misalnya himpunan titik-titik dalam barisan A N = [ 1/(N)] tidak padat, tetapi himpunan bilangan rasional tidak padat.
teorema Baire. Sebuah segmen tidak dapat direpresentasikan sebagai gabungan himpunan padat yang dapat dihitung.
Bukti . Misalkan ada suatu urutan A k tidak ada tempat yang padat sehingga Dan Saya A Saya = [A, B]. Mari kita buat urutan segmen berikut. Membiarkan SAYA 1 – beberapa segmen tertanam di [ A, B] dan tidak berpotongan dengan A 1 . Menurut definisinya, suatu himpunan padat pada suatu interval SAYA 1 ada ruas yang tidak berpotongan dengan himpunan A 2. Ayo telepon dia SAYA 2. Selanjutnya pada segmen tersebut SAYA 2, ambil juga segmennya SAYA 3, tidak bersinggungan dengan A 3, dst. Urutan SAYA k segmen bersarang memiliki titik yang sama (ini adalah salah satu sifat utama bilangan real). Secara konstruksi, titik ini tidak terletak pada himpunan mana pun A k, artinya himpunan ini tidak mencakup seluruh segmen [ A, B].
Sebut saja setnya M memiliki ukuran nol, jika untuk sembarang e positif terdapat barisan SAYA k interval dengan panjang total kurang dari e, meliputi M. Jelasnya, setiap himpunan yang dapat dihitung mempunyai ukuran nol. Namun, ada juga himpunan tak terhitung yang ukurannya nol. Mari kita bangun satu, yang sangat terkenal, yang disebut Cantor's.
|
|
| Beras. sebelas |
Mari kita ambil satu segmen. Mari kita bagi menjadi tiga bagian yang sama. Mari kita buang segmen tengahnya (Gbr. 11, A). Akan ada dua segmen dengan total panjang [2/3]. Kami akan melakukan operasi yang persis sama dengan masing-masingnya (Gbr. 11, B). Akan ada empat segmen tersisa dengan panjang total [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Melanjutkan seperti ini (Gbr. 11, V–e) hingga tak terhingga, kita memperoleh himpunan yang ukurannya lebih kecil dari sembarang ukuran positif yang telah ditentukan, yaitu ukuran nol. Dimungkinkan untuk membuat korespondensi satu-satu antara titik-titik himpunan ini dan barisan nol dan satu yang tak terhingga. Jika pada “pembuangan” pertama titik kita jatuh ke ruas kanan, kita letakkan 1 di awal barisan, jika di kiri - 0 (Gbr. 11, A). Selanjutnya, setelah “pembuangan” pertama, kita mendapatkan salinan kecil dari segmen besar, yang dengannya kita melakukan hal yang sama: jika titik kita setelah membuang jatuh ke segmen kanan, kita masukkan 1, jika di kiri. – 0, dst. (periksa hubungan satu-satu) , Nasi. sebelas, B, V. Karena himpunan barisan nol dan satu mempunyai kontinum kardinalitas, maka himpunan Cantor juga mempunyai kontinum kardinalitas. Selain itu, mudah untuk membuktikan bahwa ia tidak padat di mana pun. Namun, tidak benar bahwa ukuran ketatnya nol (lihat definisi ukuran ketat). Ide untuk membuktikan fakta tersebut adalah sebagai berikut: ambil urutannya A N, cenderung nol dengan sangat cepat. Misalnya urutannya A N = [ 1/(2 2 N)]. Kemudian kita akan buktikan bahwa barisan ini tidak dapat mencakup himpunan Cantor (lakukan!).
Lampiran 3 . Tugas
Tetapkan Operasi
Set A Dan B disebut setara, jika setiap elemen himpunan A milik himpunan B, dan sebaliknya. Penamaan: A = B.
Sekelompok A ditelepon bagian set B, jika setiap elemen himpunan A milik himpunan B. Penamaan: A M B.
1.
Untuk masing-masing dua himpunan berikut, tunjukkan apakah salah satu himpunan merupakan bagian dari himpunan lainnya:
|
2. Buktikan bahwa himpunan tersebut A jika dan hanya jika merupakan bagian dari himpunan B, ketika setiap elemen bukan milik B, bukan milik A.
3. Buktikan bahwa untuk himpunan sembarang A, B Dan C
A) A M A; b) jika A M B Dan B M C, Itu A M C;
V) A = B, jika dan hanya jika A M B Dan B M A.
Himpunan tersebut disebut kosong, jika tidak mengandung elemen apa pun. Sebutan: F.
4.
Berapa banyak elemen yang dimiliki masing-masing himpunan berikut:
|
5. Berapa banyak himpunan bagian yang dimiliki oleh himpunan tiga elemen?
6. Dapatkah suatu himpunan mempunyai tepat a) 0; b*) 7; c) 16 himpunan bagian?
Asosiasi set A Dan B X, Apa X TENTANG A atau X TENTANG B. Penamaan: A DAN B.
Dengan menyeberang set A Dan B disebut himpunan yang terdiri dari itu X, Apa X TENTANG A Dan X TENTANG B. Penamaan: A Z B.
Berdasarkan perbedaan set A Dan B disebut himpunan yang terdiri dari itu X, Apa X TENTANG A Dan X P B. Penamaan: A \ B.
7. Set yang diberikan A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Temukan setnya:
| A) A DAN B; | B) A Z B; | V) ( A Z B)DAN D; |
| G) C Z ( D Z B); | D) ( A DAN B)Z ( C DAN D); | e) ( A DAN ( B Z C))Z D; |
| Dan) ( C Z A)DAN (( A DAN ( C Z D))Z B); | H) ( A DAN B) \ (C Z D); | Dan) A \ (B \ (C \ D)); |
| Ke) (( A \ (B DAN D)) \ C)DAN B. |
8. Membiarkan A adalah himpunan bilangan genap, dan B– himpunan bilangan yang habis dibagi 3. Temukan A Z B.
9. Buktikan itu untuk set apa pun A, B, C
A) A DAN B = B DAN A, A Z B = B Z A;
B) A DAN ( B DAN C) = (A DAN B)DAN C, A Z ( B Z C) = (A Z B)Z C;
V) A Z ( B DAN C) = (A Z B)DAN ( A Z C), A DAN ( B Z C) = (A DAN B)Z ( A DAN C);
G) A \ (B DAN C) = (A \ B)Z ( A \ C), A \ (B Z C) = (A \ B)DAN ( A \ C).
10. Apakah benar untuk set apa pun A, B, C
| A) A Z ZH = F, A JIKA = A; | B) A DAN A = A, A Z A = A; | V) A Z B = A Y A M B; |
| G) ( A \ B)DAN B = A; 7d) A \ (A \ B) = A Z B; | e) A \ (B \ C) = (A \ B)DAN ( A Z C); | |
| Dan) ( A \ B)DAN ( B \ A) = A DAN B? |
Tetapkan pemetaan
Jika setiap elemen X set X tepat satu elemen cocok F(X) set Y, lalu mereka mengatakan bahwa itu diberikan menampilkan F dari banyak X ke dalam orang banyak Y. Pada saat yang sama, jika F(X) = kamu, lalu elemennya kamu ditelepon jalan elemen X saat ditampilkan F, dan elemennya X ditelepon prototipe elemen kamu saat ditampilkan F. Penamaan: F: X ® Y.
11. Gambarkan semua kemungkinan pemetaan dari himpunan (7,8,9) ke himpunan (0,1).
Membiarkan F: X ® Y, kamu TENTANG Y, A M X, B M Y. Prototipe lengkap dari elemen tersebut kamu saat ditampilkan F disebut himpunan ( X TENTANG X | F(X) = kamu). Penamaan: F - 1 (kamu). Gambaran orang banyak A M X saat ditampilkan F disebut himpunan ( F(X) | X TENTANG A). Penamaan: F(A). Prototipe himpunan B M Y disebut himpunan ( X TENTANG X | F(X) TENTANG B). Penamaan: F - 1 (B).
12. Menampilkan F: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), diberikan oleh gambar, temukan F({0,3}), F({1,3,4}), F - 1 (2), F - 1 ({2,5}), F - 1 ({5,18}).
| a B C) |
13. Membiarkan F: X ® Y, A 1 , A 2 M X, B 1 , B 2 M Y. Apakah selalu benar hal itu
A) F(X) = Y;
B) F - 1 (Y) = X;
V) F(A 1 saya A 2) = F(A 1)Dan F(A 2);
G) F(A 1 W A 2) = F(A 1)Z F(A 2);
D) F - 1 (B 1 saya B 2) = F - 1 (B 1)Dan F - 1 (B 2);
e) F - 1 (B 1 W B 2) = F - 1 (B 1)Z F - 1 (B 2);
g) jika F(A 1M F(A 2), lalu A 1M A 2 ;
h) jika F - 1 (B 1M F - 1 (B 2), lalu B 1M B 2 ?
Komposisi pemetaan F: X ® Y Dan G: Y ® Z disebut pemetaan yang mengaitkan suatu elemen X set X elemen G(F(X)) set Z. Penamaan: G° F.
14. Buktikan itu untuk pemetaan sembarang F: X ® Y, G: Y ® Z Dan H: Z ® W berikut ini dilakukan: H° ( G° F) = (H° G)° F.
15. Membiarkan F: (1,2,3,5) ® (0,1,2), G: (0,1,2) ® (3,7,37,137), H: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – pemetaan ditunjukkan pada gambar:
| F: G: H: |
Buatlah gambar untuk tampilan berikut:
A) G° F; B) H° G; V) F° H° G; G) G° H° F.
Menampilkan F: X ® Y ditelepon bijektif, jika untuk masing-masing kamu TENTANG Y tepat ada satu X TENTANG X seperti yang F(X) = kamu.
16. Membiarkan F: X ® Y, G: Y ® Z. Benarkah jika F Dan G kalau begitu, bersifat bijektif G° F secara bijektif?
17. Membiarkan F: (1,2,3) ® (1,2,3), G: (1,2,3) ® (1,2,3), – pemetaan seperti pada gambar:
18. Untuk setiap dua himpunan berikut, cari tahu apakah terdapat bijeksi dari himpunan pertama ke himpunan kedua (dengan asumsi nol adalah bilangan asli):
a) himpunan bilangan asli;
b) himpunan bilangan asli genap;
c) himpunan bilangan asli tanpa bilangan 3.
Ruang metrik disebut satu set X dengan yang diberikan metrik R: X× X ® Z
1) " X,kamu TENTANG X R( X,kamu) saya 0, dan r ( X,kamu) = 0 jika dan hanya jika X = kamu (non-negatif ); 2) " X,kamu TENTANG X R( X,kamu) = r ( kamu,X) (simetri ); 3) " X,kamu,z TENTANG X R( X,kamu) + r ( kamu,z) aku ( X,z) (pertidaksamaan segitiga ). 19 19. X
A) X = Z, R ( X,kamu) = | X - kamu| ;
B) X = Z 2 , r 2 (( X 1 ,kamu 1),(X 2 ,kamu 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (kamu 1 - kamu 2) 2 };
V) X = C[A,BA,B] fungsi,
Membuka(masing-masing, tertutup) bola radius R di ruang hampa X terpusat pada suatu titik X disebut satu set kamu R (X) = {kamu TENTANG X:R ( X,kamu) < R) (masing-masing, B R (X) = {kamu TENTANG X:R ( X,kamu) Ј R}).
Poin dalam set kamu M X kamu
membuka lingkungan titik ini.
Batas titik set F M X F.
tertutup
20. Buktikan itu
21. Buktikan itu
b) penyatuan suatu himpunan A hubungan pendek A
Menampilkan F: X ® Y ditelepon kontinu
22.
23. Buktikan itu
F (X) = info kamu TENTANG F R( X,kamu
F.
24. Membiarkan F: X ® Y– . Benarkah kebalikannya kontinu?
Pemetaan satu-ke-satu yang berkelanjutan F: X ® Y homeomorfisme. Spasi X, Yhomeomorfik.
25.
26. Untuk pasangan yang mana? X, Y F: X ® Y, yang tidak saling menempel poin (yaitu F(X) № F(kamu) pada X № kamu investasi)?
27*. homeomorfisme lokal(yaitu di setiap titik X pesawat dan F(X) torus ada lingkungan seperti itu kamu Dan V, Apa F peta secara homeomorfik kamu pada V).
Ruang metrik dan pemetaan berkelanjutan
Ruang metrik disebut satu set X dengan yang diberikan metrik R: X× X ® Z, memenuhi aksioma berikut:
1) " X,kamu TENTANG X R( X,kamu) saya 0, dan r ( X,kamu) = 0 jika dan hanya jika X = kamu (non-negatif ); 2) " X,kamu TENTANG X R( X,kamu) = r ( kamu,X) (simetri ); 3) " X,kamu,z TENTANG X R( X,kamu) + r ( kamu,z) aku ( X,z) (pertidaksamaan segitiga ). 28. Buktikan bahwa pasangan berikut ( X,r ) adalah ruang metrik:
A) X = Z, R ( X,kamu) = | X - kamu| ;
B) X = Z 2 , r 2 (( X 1 ,kamu 1),(X 2 ,kamu 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (kamu 1 - kamu 2) 2 };
V) X = C[A,B] – set terus menerus pada [ A,B] fungsi,
Membuka(masing-masing, tertutup) bola radius R di ruang hampa X terpusat pada suatu titik X disebut satu set kamu R (X) = {kamu TENTANG X:R ( X,kamu) < R) (masing-masing, B R (X) = {kamu TENTANG X:R ( X,kamu) Ј R}).
Poin dalam set kamu M X adalah poin yang terkandung di dalamnya kamu bersama dengan beberapa bola yang radiusnya bukan nol.
Himpunan yang semua titiknya berada di dalam disebut membuka. Himpunan terbuka yang memuat suatu titik tertentu disebut lingkungan titik ini.
Batas titik set F M X adalah suatu titik yang setiap lingkungannya memuat titik-titik yang tak terhingga banyaknya F.
Himpunan yang memuat semua titik limitnya disebut tertutup(bandingkan definisi ini dengan definisi yang diberikan dalam Lampiran 1).
29. Buktikan itu
a) suatu himpunan terbuka jika dan hanya jika komplemennya tertutup;
b) gabungan berhingga dan perpotongan terhitung dari himpunan tertutup ditutup;
c) gabungan terhitung dan perpotongan berhingga dari himpunan terbuka adalah terbuka.
30. Buktikan itu
a) himpunan titik batas suatu himpunan adalah himpunan tertutup;
b) penyatuan suatu himpunan A dan himpunan titik batasnya ( hubungan pendek A) adalah himpunan tertutup.
Menampilkan F: X ® Y ditelepon kontinu, jika bayangan invers setiap himpunan terbuka terbuka.
31. Buktikan bahwa definisi tersebut konsisten dengan definisi kontinuitas fungsi pada suatu garis.
32. Buktikan itu
a) jarak untuk mengatur r F (X) = info kamu TENTANG F R( X,kamu) merupakan fungsi kontinu;
b) himpunan nol dari fungsi pada butir a) bertepatan dengan penutupan F.
33. Membiarkan F: X ® Y
Pemetaan satu-ke-satu yang berkelanjutan F: X ® Y, yang kebalikannya juga kontinu disebut homeomorfisme. Spasi X, Y, yang memiliki pemetaan seperti itu, disebut homeomorfik.
34. Untuk setiap pasangan himpunan berikut, tentukan apakah himpunan tersebut homeomorfik:
35. Untuk pasangan yang mana? X, Y ruang dari masalah sebelumnya ada pemetaan berkelanjutan F: X ® Y, yang tidak saling menempel poin (yaitu F(X) № F(kamu) pada X № kamu– pemetaan seperti itu disebut investasi)?
36*. Buatlah pemetaan berkelanjutan dari bidang ke torus homeomorfisme lokal(yaitu di setiap titik X pesawat dan F(X) torus ada lingkungan seperti itu kamu Dan V, Apa F peta secara homeomorfik kamu pada V).
Kelengkapan. teorema Baire
Membiarkan X– ruang metrik. Selanjutnya X N unsur-unsurnya disebut mendasar, Jika
|
37. Buktikan bahwa barisan konvergen itu fundamental. Apakah pernyataan sebaliknya benar?
Ruang metrik disebut menyelesaikan, jika setiap barisan fundamental konvergen di dalamnya.
38. Benarkah suatu ruang homeomorfik menjadi lengkap adalah lengkap?
39. Buktikan bahwa subruang tertutup dari ruang lengkap adalah lengkap; subruang lengkap dari ruang sembarang tertutup di dalamnya.
40. Buktikan bahwa dalam ruang metrik lengkap barisan bola tertutup yang bersarang dengan jari-jari cenderung nol mempunyai elemen yang sama.
41. Apakah pada soal sebelumnya dapat menghilangkan kondisi kelengkapan ruang atau kecenderungan jari-jari bola ke nol?
Menampilkan F ruang metrik X dipanggil ke dalam diri sendiri tekan, Jika
|
42. Buktikan bahwa peta kontraksi itu kontinu.
43. a) Buktikan bahwa pemetaan kontraksi suatu ruang metrik lengkap ke dalam dirinya sendiri mempunyai tepat satu titik tetap.
b) Letakkan peta Rusia skala 1:20.000.000 pada peta Rusia skala 1:5.000.000 Buktikan bahwa ada suatu titik yang bayangan pada kedua peta itu berhimpitan.
44*. Apakah ada ruang metrik yang tidak lengkap yang pernyataan masalahnya benar?
Subset dari ruang metrik disebut padat dimana-mana, jika penutupannya bertepatan dengan seluruh ruangan; tidak ada tempat yang padat– jika penutupannya tidak mempunyai himpunan bagian terbuka yang tidak kosong (bandingkan definisi ini dengan definisi yang diberikan dalam Lampiran 2).
45. a) Biarkan A, B, a , b HAI Z Dan A < a < b < B. Buktikan bahwa himpunan fungsi kontinu pada [ A,B], monoton pada , tidak padat dalam ruang semua fungsi kontinu pada [ A,B] dengan metrik seragam.
b) Biarkan A, B, C, e HAI Z Dan A < B, C> 0, e > 0. Kemudian himpunan fungsi kontinu pada [ A,B], seperti yang
|
46. (Teorema Baire yang digeneralisasikan .) Buktikan bahwa ruang metrik lengkap tidak dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari sejumlah himpunan padat tempat yang dapat dihitung.
47. Buktikan bahwa himpunan fungsi kontinu, tidak monoton pada sembarang interval tak kosong dan tidak ada fungsi terdiferensiasi yang terdefinisi pada interval tersebut padat di mana-mana dalam ruang semua fungsi kontinu pada metrik seragam.
48*. Membiarkan F– fungsi terdiferensiasi pada interval. Buktikan bahwa turunannya kontinu pada himpunan titik yang rapat dimana-mana. Inilah definisinya Lebesgue mengukur nol. Jika jumlah interval yang dapat dihitung diganti dengan interval yang terbatas, kita mendapatkan definisinya Jordanova mengukur nol.
Sekarang mari kita buktikan beberapa sifat khusus himpunan tertutup dan himpunan terbuka.
Teorema 1. Jumlah himpunan terbuka yang jumlahnya terbatas atau dapat dihitung adalah himpunan terbuka. Hasil kali sejumlah himpunan terbuka berhingga adalah himpunan terbuka,
Pertimbangkan jumlah himpunan terbuka yang terbatas atau dapat dihitung:
Jika , maka P termasuk dalam paling sedikit salah satu dari Misalkan Karena merupakan himpunan terbuka, maka beberapa lingkungan dari P juga termasuk dalam lingkungan P. Lingkungan yang sama dari P juga termasuk dalam jumlah g, yang berarti bahwa g adalah himpunan terbuka. Sekarang mari kita pertimbangkan produk akhir
dan biarkan P menjadi milik g. Mari kita buktikan, seperti di atas, bahwa beberapa lingkungan P juga termasuk dalam g. Karena P milik g, maka P milik semua orang. Karena - adalah himpunan terbuka, maka untuk setiap himpunan tersebut terdapat -lingkungan suatu titik yang menjadi milik . Jika bilangan tersebut dianggap sama dengan bilangan terkecil yang bilangannya berhingga, maka -lingkungan titik P akan menjadi milik semua orang dan, akibatnya, milik g. Perhatikan bahwa kita tidak dapat menyatakan bahwa hasil kali himpunan terbuka yang jumlahnya dapat dihitung adalah himpunan terbuka.
Teorema 2. Himpunan CF terbuka dan himpunan CO tertutup.
Mari kita buktikan pernyataan pertama. Misalkan P milik CF. Perlu dibuktikan bahwa beberapa lingkungan P termasuk dalam CF. Hal ini mengikuti fakta bahwa jika terdapat titik F di sembarang lingkungan P, maka titik P, yang tidak termasuk dalam syarat, akan menjadi titik batas untuk F dan, karena ketertutupannya, harus termasuk, yang mengarah ke a kontradiksi.
Teorema 3. Hasil kali sejumlah himpunan tertutup yang berhingga atau dapat dihitung adalah himpunan tertutup. Jumlah sejumlah himpunan tertutup yang berhingga merupakan himpunan tertutup.
Mari kita buktikan, misalnya, bahwa himpunan
tertutup. Pindah ke set tambahan, kita bisa menulis
Berdasarkan teorema, himpunan terbuka, dan berdasarkan Teorema 1, himpunan tersebut juga terbuka, sehingga himpunan tambahan g ditutup. Perhatikan bahwa jumlah himpunan tertutup yang dapat dihitung juga bisa menjadi himpunan terbuka.
Teorema 4. Himpunan adalah himpunan terbuka dan himpunan tertutup.
Sangat mudah untuk memeriksa persamaan berikut:
Dari sini, berdasarkan teorema sebelumnya, Teorema 4 mengikuti.
Kita dapat mengatakan bahwa himpunan g dicakup oleh sistem M dari himpunan tertentu jika setiap titik g termasuk dalam paling sedikit salah satu himpunan sistem M.
Teorema 5 (Borel). Jika suatu himpunan berbatas tertutup F dicakup oleh sistem tak hingga a dari himpunan terbuka O, maka dari sistem tak hingga ini dimungkinkan untuk mengekstrak sejumlah himpunan terbuka berhingga yang juga mencakup F.
Kami membuktikan teorema ini dengan kebalikannya. Mari kita asumsikan bahwa tidak ada himpunan terbuka yang jumlahnya terbatas dari sistem a yang mencakup dan kita menjadikannya kontradiksi. Karena F adalah himpunan berbatas, maka semua titik di F termasuk dalam interval dua dimensi berhingga. Mari kita bagi interval tertutup ini menjadi empat bagian yang sama, membagi interval tersebut menjadi dua. Kami akan mengambil masing-masing dari empat interval yang dihasilkan untuk ditutup. Titik-titik F yang terletak pada salah satu dari empat interval tertutup ini, berdasarkan Teorema 2, akan mewakili himpunan tertutup, dan paling sedikit salah satu dari himpunan tertutup ini tidak dapat ditutupi oleh sejumlah himpunan terbuka berhingga dari sistem a. Kami mengambil salah satu dari empat interval tertutup yang ditunjukkan di atas di mana keadaan ini terjadi. Kami kembali membagi interval ini menjadi empat bagian yang sama dan beralasan dengan cara yang sama seperti di atas. Dengan demikian, kita memperoleh sistem interval bersarang yang masing-masing interval berikutnya mewakili seperempat dari interval sebelumnya, dan keadaan berikut ini berlaku: himpunan titik F yang dimiliki oleh k mana pun tidak dapat ditutupi oleh sejumlah himpunan terbuka yang terbatas dari sistem. A. Dengan peningkatan k yang tak terhingga, intervalnya akan menyusut tak terhingga hingga titik P tertentu, yang termasuk dalam semua interval. Karena untuk setiap k terdapat titik yang jumlahnya tak terhingga, maka titik P merupakan titik pembatas dan oleh karena itu termasuk dalam F, karena F merupakan himpunan tertutup. Jadi, titik P ditutupi oleh suatu himpunan terbuka yang termasuk dalam sistem a. Beberapa -lingkungan dari titik P juga akan termasuk dalam himpunan terbuka O. Untuk nilai k yang cukup besar, interval D akan berada di dalam lingkungan -di atas dari titik P. Jadi, ini seluruhnya akan dicakup oleh satu saja himpunan terbuka O dari sistem a, dan hal ini bertentangan dengan fakta bahwa titik-titik yang termasuk dalam k tidak dapat ditutupi oleh sejumlah himpunan terbuka yang termasuk dalam a. Dengan demikian teorema tersebut terbukti.
Teorema 6. Himpunan terbuka dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari sejumlah interval setengah terbuka yang dapat dihitung berpasangan tanpa titik persekutuan.
Ingatlah bahwa kita menyebut interval setengah terbuka pada suatu bidang sebagai interval berhingga yang ditentukan oleh pertidaksamaan bentuk .
Mari kita menggambar di bidang datar sebuah kotak persegi dengan sisi-sisinya sejajar dengan sumbu dan panjang sisinya sama dengan satu. Himpunan persegi-persegi tersebut merupakan himpunan terhitung. Dari kotak-kotak ini, mari kita pilih kotak-kotak yang semua titiknya termasuk dalam himpunan terbuka tertentu O. Jumlah kotak-kotak tersebut mungkin berhingga atau dapat dihitung, atau mungkin tidak ada kotak-kotak tersebut sama sekali. Kami membagi masing-masing kotak yang tersisa dari kisi-kisi menjadi empat kotak yang identik dan dari kotak-kotak yang baru diperoleh kami memilih kembali kotak-kotak yang semua titiknya milik O. Kami membagi lagi setiap kotak yang tersisa menjadi empat bagian yang sama dan memilih kotak-kotak yang semua titiknya milik O, dst. Mari kita tunjukkan bahwa setiap titik P dari himpunan O akan jatuh ke dalam salah satu kotak yang dipilih, yang semua titiknya milik O. Memang benar, misalkan d adalah jarak positif dari P ke batas O. Ketika kita mencapai bujur sangkar yang diagonalnya lebih kecil dari , maka kita dapat dengan jelas menyatakan bahwa titik P telah jatuh ke dalam bujur sangkar yang seluruh volumenya adalah milik O. Jika bujur sangkar yang dipilih dianggap setengah terbuka, maka bujur sangkar tersebut tidak akan terbuka. mempunyai titik-titik yang sama berpasangan, dan teorema tersebut terbukti. Banyaknya kotak yang dipilih tentu dapat dihitung, karena jumlah berhingga dari interval setengah terbuka jelas bukan himpunan terbuka. Dilambangkan dengan DL kotak setengah terbuka yang kita peroleh sebagai hasil konstruksi di atas, kita dapat menulis
Bukti.
1) Memang kalau intinya A termasuk dalam gabungan himpunan terbuka, maka ia termasuk dalam paling sedikit salah satu dari himpunan tersebut, yang menurut ketentuan teorema, terbuka. Artinya ia termasuk dalam lingkungan tertentu O(a) dari titik tersebut A, tapi lingkungan ini juga termasuk dalam gabungan semua himpunan terbuka. Oleh karena itu, intinya A adalah titik penyatuan internal. Karena A adalah titik gabungan sembarang, maka hanya terdiri dari titik-titik internal, dan oleh karena itu, menurut definisi, merupakan himpunan terbuka.
2) Biarkan sekarang X– perpotongan sejumlah himpunan terbuka yang terbatas. Jika A adalah titik setel X, maka ia termasuk dalam masing-masing himpunan terbuka, dan oleh karena itu, merupakan titik dalam setiap himpunan terbuka. Dengan kata lain, ada interval-interval yang seluruhnya terdapat dalam himpunan masing-masing. Mari kita nyatakan dengan angka terkecil. Maka interval tersebut akan dimuat secara bersamaan di semua interval, yaitu. akan sepenuhnya terkandung di dalamnya , dan di ,..., dan di , yaitu. . Dari sini dan kita simpulkan bahwa setiap titik merupakan titik dalam himpunan X, yaitu sekelompok X terbuka.
Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa perpotongan sejumlah lingkungan berhingga dari suatu titik a juga merupakan lingkungan dari titik tersebut. Perhatikan bahwa perpotongan himpunan terbuka yang jumlahnya tak terhingga tidak selalu merupakan himpunan terbuka. Misalnya perpotongan interval ,... adalah himpunan yang terdiri dari satu titik a, yang bukan merupakan himpunan terbuka (mengapa?).
Suatu titik a disebut titik limit himpunan X jika di setiap lingkungan tertusuk titik tersebut terdapat paling sedikit satu titik himpunan X.
Jadi, titik tersebut adalah titik batas ruas tersebut , karena dalam setiap interval titik yang tertusuk terdapat titik yang termasuk dalam segmen tersebut. Misalnya, titik yang memenuhi pertidaksamaan. Dan jelas ada banyak hal seperti itu.
Mudah untuk membuktikan bahwa setiap titik pada segmen [ 0, 1] adalah terakhir titik segmen ini. Dengan kata lain, segmen tersebut seluruhnya terdiri dari titik-titik batasnya. Pernyataan serupa berlaku untuk segmen mana pun. Perhatikan di sini bahwa semua titik batas himpunan milik segmen ini. Jelas juga bahwa semua titik pada segmen tersebut akan menjadi titik batas interval (0, 1 ) (buktikan itu!). Namun, sudah ada dua titik pembatas 0 dan 1 tidak termasuk dalam interval (0, 1). Dalam contoh-contoh ini kita melihatnya
titik batas suatu himpunan mungkin termasuk atau bukan miliknya. Dapat dibuktikan bahwa di setiap lingkungan tertusuk dari titik limit a himpunan X terdapat banyak sekali titik himpunan X.
Himpunan X disebut himpunan tertutup jika memuat semua titik batasnya.
Jadi, setiap segmen merupakan himpunan tertutup. Selang (0, 1) bukan merupakan himpunan tertutup, karena kedua titik batasnya tidak termasuk dalam himpunan tersebut 0 dan 1. Himpunan semua bilangan rasional Q tidak tertutup, karena tidak memuat beberapa titik batasnya. Secara khusus, bilangan tersebut merupakan titik batas himpunan Q(buktikan!), tapi Q.
Karena setiap titik himpunan R adalah titik batas himpunan ini dan termasuk di dalamnya R – himpunan tertutup.
Setiap himpunan berhingga tertutup, karena himpunan titik batasnya merupakan himpunan kosong Æ , yang merupakan milik himpunan itu sendiri.
Himpunan tertutup dapat dibatasi, misalnya segmen, dan tidak dibatasi, misalnya himpunan bilangan real R. Benar
