Diantara sekian banyak ilmu yang menjadi tanda literasi, abjad menempati urutan pertama. Unsur “tanda” berikutnya yang sama adalah keterampilan penjumlahan-perkalian dan, berdekatan dengannya, tetapi berlawanan maknanya, operasi aritmatika pengurangan-pembagian. Keterampilan yang dipelajari di masa kanak-kanak jauh berfungsi dengan setia siang dan malam: TV, koran, SMS, dan di mana pun kita membaca, menulis, menghitung, menambah, mengurangi, mengalikan. Dan, katakan padaku, apakah Anda sering harus menggali akar dalam hidup Anda, kecuali di dacha? Misalnya, soal yang menghibur, seperti akar kuadrat dari bilangan 12345... Apakah masih ada bubuk mesiu di dalam termos? Bisakah kita mengatasinya? Tidak ada yang lebih sederhana! Dimana kalkulatorku... Dan tanpanya, pertarungan tangan kosong menjadi lemah?

Pertama, mari kita perjelas apa itu - akar kuadrat dari suatu bilangan. Secara umum, “mengambil akar suatu bilangan” berarti melakukan operasi aritmatika yang berlawanan dengan pangkat - di sini Anda memiliki kesatuan yang berlawanan dalam penerapan kehidupan. Katakanlah kuadrat adalah perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri, yaitu seperti yang diajarkan di sekolah, X * X = A atau dalam notasi lain X2 = A, dan dengan kata lain - “X kuadrat sama dengan A.” Maka soal kebalikannya berbunyi seperti ini: akar kuadrat dari bilangan A adalah bilangan X, yang jika dikuadratkan sama dengan A.

Mengambil akar kuadrat

Dari kursus sekolah Aritmatika mengetahui metode penghitungan "dalam kolom", yang membantu melakukan penghitungan apa pun menggunakan empat operasi aritmatika pertama. Sayangnya... Untuk akar kuadrat, dan bukan hanya akar kuadrat, algoritma seperti itu tidak ada. Dan dalam hal ini, bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat tanpa kalkulator? Berdasarkan definisinya akar pangkat dua Hanya ada satu kesimpulan - perlu untuk memilih nilai hasil dengan menghitung secara berurutan angka-angka yang kuadratnya mendekati nilai ekspresi akar. Itu saja! Sebelum satu atau dua jam berlalu, Anda dapat menghitung, menggunakan metode perkalian yang terkenal dalam “kolom”, akar kuadrat apa pun. Jika Anda memiliki keterampilan, ini hanya akan memakan waktu beberapa menit. Bahkan pengguna kalkulator atau PC yang tidak terlalu mahir pun dapat melakukan ini dalam satu gerakan - kemajuan.

Tapi serius, penghitungan akar kuadrat sering kali dilakukan dengan menggunakan teknik “garpu artileri”: pertama-tama ambil bilangan yang kuadratnya kira-kira sesuai dengan ekspresi akar. Lebih baik jika “kotak kita” sedikit lebih kecil dari ungkapan ini. Kemudian mereka menyesuaikan angkanya sesuai dengan kemampuan dan pemahamannya masing-masing, misalnya dikalikan dua, dan… dikuadratkan lagi. Jika hasilnya nomor lebih banyak di bawah root, berturut-turut menyesuaikan nomor aslinya, secara bertahap mendekati "rekannya" di bawah root. Seperti yang Anda lihat - tidak ada kalkulator, hanya kemampuan menghitung "dalam kolom". Tentu saja, ada banyak algoritma yang terbukti secara ilmiah dan dioptimalkan untuk menghitung akar kuadrat, tetapi untuk “penggunaan di rumah” teknik di atas memberikan keyakinan 100% pada hasilnya.

Ya, saya hampir lupa, untuk memastikan peningkatan literasi kita, mari kita hitung akar kuadrat dari angka 12345 yang ditunjukkan sebelumnya. Kita melakukannya langkah demi langkah:

1. Mari kita ambil, secara intuitif, X=100. Mari kita hitung: X * X = 10.000. Intuisi sedang dalam kondisi terbaik - hasilnya kurang dari 12345.

2. Mari kita coba, juga secara intuitif murni, X = 120. Kemudian: X * X = 14400. Dan sekali lagi, intuisi baik-baik saja - hasilnya lebih dari 12345.

3. Di atas kita mendapat "garpu" 100 dan 120. Mari kita pilih angka baru - 110 dan 115. Kita mendapatkan, masing-masing, 12100 dan 13225 - garpunya menyempit.

4. Mari kita coba “mungkin” X=111. Didapatkan X*X = 12321. Angka ini sudah cukup mendekati 12345. Sesuai dengan ketelitian yang dibutuhkan, “fit” dapat dilanjutkan atau dihentikan pada hasil yang diperoleh. Itu saja. Seperti yang dijanjikan - semuanya sangat sederhana dan tanpa kalkulator.

Sedikit sejarah...

Berpikir untuk menggunakannya akar kuadrat juga Pythagoras, murid sekolah dan pengikut Pythagoras, 800 SM. dan kemudian kita “menemukan” penemuan-penemuan baru di bidang angka. Dan dari mana asalnya?

1. Penyelesaian masalah dengan mengekstraksi akar memberikan hasil berupa bilangan kelas baru. Mereka disebut irasional, dengan kata lain “tidak masuk akal”, karena. mereka tidak ditulis sebagai angka lengkap. Contoh paling klasik dari jenis ini adalah akar kuadrat dari 2. Kasus ini berhubungan dengan penghitungan diagonal persegi dengan sisi sama dengan 1 - ini adalah pengaruh aliran Pythagoras. Ternyata pada segitiga dengan satuan ukuran sisi yang sangat spesifik, sisi miringnya mempunyai ukuran yang dinyatakan dengan angka yang “tidak ada ujungnya”. Ini adalah bagaimana mereka muncul dalam matematika

2. Diketahui bahwa ternyata operasi matematika ini mengandung kendala lain - saat mengekstraksi akar, kita tidak mengetahui bilangan mana, positif atau negatif, yang merupakan kuadrat dari ekspresi akar. Ketidakpastian ini, hasil ganda dari satu operasi, dicatat dengan cara ini.

Studi tentang masalah yang berkaitan dengan fenomena ini telah menjadi suatu arah dalam matematika yang disebut teori variabel kompleks, yang memiliki kepentingan praktis yang besar dalam fisika matematika.

Sangat mengherankan bahwa I. Newton yang sama di mana-mana menggunakan penunjukan akar - radikal - dalam "Aritmatika Universal" -nya, dan bentuk notasi akar modern telah dikenal sejak tahun 1690 dari buku "Manual" karya orang Prancis Rolle. Aljabar”.

    Nah, jika kita memperhitungkan bahwa akar kuadrat ini adalah hasil kali bilangan yang sama (yaitu b = a), maka akar kuadrat dari seratus adalah 10 (100 = 10).

    Perlu diperhatikan bahwa angka 100 dapat direpresentasikan sebagai hasil kali 25 dan 4. Lalu hitung akar kuadrat dari 25 dan 4. 5 dan 2. Kalikan dan dapatkan juga 10.

    Saat kami pertama kali mempelajari topik ini di sekolah, akar kuadrat dari 100 mungkin salah satu yang paling mudah untuk dipahami dan perhitungan. Biasanya saya melihat bilangan genap (!) dari nol dan langsung menghitung bilangan mana, dikalikan dengan dirinya sendiri, yang menghasilkan angka di bawah akar kuadrat. Misalnya, jika jumlahnya 10.000, maka akar kuadrat dari angka tersebut adalah seratus (100x100 = 10.000). Jika angka di bawah persegi. akarnya enam angka nol, maka jawabannya akan mengandung tiga angka nol. Dll.

    Dalam hal ini, hanya ada dua angka nol, yang berarti ada dua puluhan. Jadi, Akar kuadrat dari 100 adalah 10. Kami memeriksa: 10x10 = 100

    Ada beberapa cara untuk menghitung akar kuadrat.

    1) Ambil kalkulator atau smartphone/tablet/komputer yang sudah terinstal program perhitungan, masukkan angka 100 dan klik ikon akar kuadrat, yang terlihat seperti ini:

    2) Mengetahui tabel kuadrat bilangan sampai dengan 100=25*4.

    3) Dengan metode pembagian.

    4) Dengan cara penguraian menjadi faktor prima 100=10*10.

    Secara teoritis, jika Anda melakukan semuanya dengan benar, Anda akan mendapatkan hasil 10.

    Ikon yang digunakan untuk mewakili akar kuadrat disebut radikal dan terlihat seperti ini.

    Dan akar kuadrat dari 100 mudah diekstraksi jika Anda mengetahui kuadrat angkanya. 10 X 10 = 100. Jadi akar kuadrat dari 100, menurut definisi akar kuadrat, adalah 10.

    Mungkin setiap anak sekolah mengetahui bahwa bilangan 100 adalah hasil perkalian 10 dengan 10.

    Karena akar kuadrat adalah suatu bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan itu sendiri akan menghasilkan ekspresi radikal, maka Akar kuadrat dari seratus sama dengan angka 10.

    Jika Anda lupa bahwa 100=10*10, Anda dapat menggunakan properti akar:

    akar dari 100 = akar dari (25*4) = akar dari 25 * akar dari 4.

    Semua orang tahu bahwa 5*5 = 25, dan 2*2 = 4. Jadi, akar dari 100 = 5 * 2 = 10.

    Nah, jika Anda belum mengetahuinya, maka Anda bisa menggunakan kalkulator atau tabel Excel, mereka memiliki rumus khusus yang disebut AKAR. Begini tampilannya secara visual:

    Saat ini, dengan menggunakan kalkulator, sangat mudah untuk menghitung akar kuadrat dari bilangan apa pun.

    Anda dapat mengekstrak akar kuadrat 100 secara lisan. Diketahui bahwa menguadratkan bilangan x adalah bilangan x dikalikan bilangan x.

    Jika 10 10 = 100, maka akar kuadrat dari 100 adalah 10.

    Jawab pertanyaan: 10 .

    Akar kuadrat dalam matematika dilambangkan dengan simbol konvensional.

    Akar kuadrat suatu bilangan adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan a. Karena 10^2=100, akar kuadrat dari 100 adalah 10.

    Ada angka-angka yang akarnya sangat mudah diingat. Bagi saya, ini misalnya 25 - akarnya adalah 5, karena 5*5=25, 625 adalah akar dari 25, karena 25*25=625.

    Saya juga memasukkan angka 100 sebagai angka tersebut - akarnya adalah 10, centang 10*10=100. Jadi itu benar.

    Akar kuadrat dari seratus? sepertinya akan menjadi 10

    Sulit untuk membayangkan seseorang akan online untuk menemukan jawaban ini, tetapi jika kita membayangkan bahwa dia benar-benar tidak terkoordinasi dan lalai, maka saya memberikan jawabannya Akar kuadrat dari angka 100 adalah 10, dan juga -10. Banyak sumber menulis seperti ini.

    Akar kuadrat dari 100 memiliki dua nilai: 10 dan -10. Bagi yang tidak percaya bisa mengeceknya dengan mengalikan.

    Untuk mengekstrak akar kuadrat tanpa kalkulator, Anda perlu menguraikan angka di bawah akar menjadi faktor terkecil dan melanjutkan dari sana. Jadi untuk angka seratus:

    Dan karenanya, dari sini segera menjadi jelas bahwa akar kuadrat dari seratus adalah tepat 10.

    Saya harus mengingat aturan yang saya ingat dari sekolah:

    Meskipun mengekstraksi akar dari 100 adalah hal sederhana yang tidak memerlukan penggunaan kalkulator, karena sudah tertanam dalam memori seumur hidup. Angka 100 diperoleh dengan mengalikan 10 dengan 10, dan karenanya menjadi angka 10 dan akan menjadi akar dari seratus.

Hari ini kita akan mencari tahu di halaman situs kita ini apa itu akar kuadrat dari 100. Mari kita cari tahu bersama apa itu akar kuadrat dari 100, karena 1000 ilmuwan telah memikirkan topik ini selama beberapa dekade, dan banyak yang sampai pada kesimpulan yang tak terelakkan dari perhitungan bahwa akar seperti itu tidak ada sama sekali dan hanya ada mustahil untuk menghitungnya. Dalam hal ini juga sangat penting untuk menanyakan pertanyaan yang tepat untuk mengidentifikasi akar kuadrat dari 100. Tepatnya, kita akan menghitung akar kuadrat aritmatika dari 100, karena dalam akar kuadrat biasa dari 100 kita akan mendapatkan dua angka: 10 dan - 10.

Kita dapat menghitung jumlah angka-angka yang kita butuhkan dengan menggunakan teknik aritmatika sederhana dengan menggunakan garis vertikal yang sudah dikenal, angka-angka dan akar-akar yang tertulis di kanan bawah. Di sana kita akan mencari kuadrat satuan dari akar yang kita perlukan, lalu mengalikan puluhannya dan mencari hasil kali dua kali lipat, bukan tiga kali lipat, dari sepuluh akar mana pun dengan satuannya. Kami harus mengkuadratkan beberapa angka sehingga totalnya menjadi angka dua digit; jika pada akhirnya kami mendapatkan angka 10, maka kami telah melakukan segalanya dengan benar dengan Anda. Hal utama adalah pada awalnya menjadi setidaknya sedikit akrab dengan matematika dan perkembangan matematika dalam menyusun akar kuadrat sebelum memulai perhitungan.

Ingat satu aturan dasar: untuk mengekstrak akar kuadrat yang diperlukan dari bilangan bulat apa pun, pertama-tama kita mengekstrak akar apa pun yang kita perlukan dari jumlah jumlah dan ratusannya. Jika bilangan tersebut sama dengan atau lebih besar dari 100, maka kita mulai mencari akar dari ratusan bilangan sebenarnya dari ratusan tersebut, kemudian dari puluhan ribu bilangan sebenarnya, apalagi jika bilangan yang diberikan lebih dari 100 , maka kita perlu mengekstrak akar dari bilangan ratusan puluhan ribu atau lebih tepatnya: dari satu juta bilangan tertentu. Ada banyak aturan dan berbagai rekomendasi ilmiah mengenai topik ini, program sekolah saat mengekstraksi akar kuadrat dari 100 akan selalu sama.

Jika kita mempertimbangkan kemajuan pencarian akar bilangan 100, kita perlu memperhatikan fakta bahwa jumlah bilangan di dalam akar sama banyaknya dengan jumlah bilangan di bawahnya. nomor terbatas sisi, sedangkan sisi kiri hanya dapat terdiri dari satu angka. Berdasarkan semua ini, akar kuadrat paling akurat dari bilangan apa pun di planet bumi adalah jumlah bilangan yang kuadratnya tepat ketika dihitung sama dengan nomor yang diberikan. Di sinilah kita bisa mengakhiri kita kursus pendek dengan menghitung akar kuadrat dari 100 yang sama dengan (10) sepuluh.

Konstantinova Vera

Cara mencari akar suatu bilangan

Masalah mencari akar dalam matematika merupakan kebalikan dari masalah menaikkan suatu bilangan ke pangkat. Ada akar-akar yang berbeda-beda: akar derajat kedua, akar derajat ketiga, akar derajat keempat, dan seterusnya. Itu tergantung pada pangkat berapa angka tersebut awalnya dinaikkan. Akar dilambangkan dengan simbol: √ adalah akar kuadrat, yaitu akar derajat kedua; jika akar mempunyai derajat lebih besar dari yang kedua, maka derajat yang bersangkutan ditempatkan di atas tanda akar. Angka yang berada di bawah tanda akar merupakan ekspresi radikal. Saat mencari root, ada beberapa aturan yang akan membantu Anda agar tidak salah dalam mencari root:

  • Akar pangkat genap (jika pangkat 2, 4, 6, 8, dst.) dari angka negatif Tidak ada. Jika ekspresi radikalnya negatif, tetapi dicari akar pangkat ganjil (3, 5, 7, dan seterusnya), maka hasilnya akan negatif.
  • Akar pangkat apa pun selalu satu: √1 = 1.
  • Akar dari nol adalah nol: √0 = 0.

Cara mencari akar dari 100

Jika soal tidak menyebutkan akar derajat apa yang perlu dicari, maka biasanya yang dimaksud adalah akar derajat kedua (kuadrat) yang perlu dicari.
Mari kita cari √100 = ? Kita perlu mencari suatu bilangan yang jika dipangkatkan kedua akan menghasilkan bilangan 100. Tentu saja bilangan tersebut adalah bilangan 10, karena: 10 2 = 100. Jadi, √100 = 10: akar kuadrat dari 100 adalah 10.

Saat memutuskan berbagai tugas Dalam mata kuliah matematika dan fisika, siswa dan mahasiswa sering dihadapkan pada kebutuhan untuk mengekstrak akar derajat kedua, ketiga atau n. Tentu saja, di abad ini teknologi Informasi Tidak akan sulit untuk menyelesaikan soal ini menggunakan kalkulator. Namun, ada situasi ketika asisten elektronik tidak dapat digunakan.

Misalnya, banyak ujian yang tidak memperbolehkan Anda membawa barang elektronik. Selain itu, Anda mungkin tidak memiliki kalkulator. Dalam kasus seperti ini, ada gunanya mengetahui setidaknya beberapa metode untuk menghitung radikal secara manual.

Menemukan akar kuadrat menggunakan tabel kuadrat

Salah satu cara paling sederhana untuk menghitung akar adalah dengan menggunakan tabel khusus. Apa itu dan bagaimana cara menggunakannya dengan benar?

Dengan menggunakan tabel, Anda dapat menemukan kuadrat bilangan apa pun dari 10 hingga 99. Baris tabel berisi nilai puluhan, dan kolom berisi nilai satuan. Sel pada perpotongan baris dan kolom berisi persegi angka dua digit. Untuk menghitung kuadrat 63, Anda perlu mencari baris dengan nilai 6 dan kolom dengan nilai 3. Di persimpangan kita akan menemukan sel dengan angka 3969.

Karena mengekstraksi akar adalah operasi kebalikan dari kuadrat, untuk melakukan tindakan ini Anda harus melakukan yang sebaliknya: pertama-tama cari sel dengan bilangan yang akarnya ingin Anda hitung, kemudian gunakan nilai kolom dan baris untuk menentukan jawabannya. . Sebagai contoh, pertimbangkan menghitung akar kuadrat dari 169.

Kita cari sel dengan nomor ini di tabel, secara horizontal kita tentukan puluhan - 1, secara vertikal kita cari satuan - 3. Jawaban: √169 = 13.

Demikian pula, Anda dapat menghitung pangkat tiga dan akar ke-n menggunakan tabel yang sesuai.

Keuntungan dari metode ini adalah kesederhanaannya dan tidak adanya perhitungan tambahan. Kerugiannya jelas: metode ini hanya dapat digunakan untuk rentang angka yang terbatas (angka yang akarnya ditemukan harus berkisar antara 100 hingga 9801). Selain itu, tidak akan berfungsi jika nomor yang diberikan tidak ada dalam tabel.

Faktorisasi prima

Jika tabel kuadrat tidak tersedia atau tidak mungkin menemukan akar dengan bantuannya, Anda dapat mencobanya faktorkan bilangan di bawah akar menjadi faktor prima. Faktor prima adalah faktor yang seluruhnya (tanpa sisa) hanya dapat dibagi oleh dirinya sendiri atau oleh salah satu faktornya. Contohnya bisa 2, 3, 5, 7, 11, 13, dst.

Mari kita lihat menghitung akar menggunakan √576 sebagai contoh. Mari kita pecahkan menjadi faktor prima. Kita mendapatkan hasil sebagai berikut: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Dengan menggunakan sifat dasar akar √a² = a, kita akan menghilangkan akar dan kuadrat, lalu menghitung jawabannya: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Apa yang harus dilakukan jika salah satu pengganda tidak memiliki pasangannya sendiri? Misalnya, perhatikan perhitungan √54. Setelah difaktorkan, diperoleh hasil berupa: √54 = √(2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Bagian yang tidak dapat dilepas dapat dibiarkan di bawah root. Untuk sebagian besar soal geometri dan aljabar, jawaban ini akan dihitung sebagai jawaban akhir. Namun jika ada kebutuhan untuk menghitung nilai perkiraan, Anda bisa menggunakan metode yang akan dibahas di bawah ini.

metode bangau

Apa yang harus dilakukan ketika Anda perlu mengetahui setidaknya kira-kira berapa nilai akar yang diekstraksi (jika tidak mungkin mendapatkan nilai integer)? Hasil yang cepat dan cukup akurat diperoleh dengan menggunakan metode Heron. Esensinya adalah dengan menggunakan rumus perkiraan:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

dimana R adalah bilangan yang akarnya perlu dihitung, a adalah bilangan terdekat yang nilai akarnya diketahui.

Mari kita lihat bagaimana metode ini bekerja dalam praktiknya dan evaluasi seberapa akurat metode tersebut. Mari kita hitung berapa √111 sama dengan. Bilangan yang paling dekat dengan 111 yang diketahui akarnya adalah 121. Jadi, R = 111, a = 121. Substitusikan nilainya ke dalam rumus:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Sekarang mari kita periksa keakuratan metode ini:

10,55² = 111,3025.

Kesalahan metode ini sekitar 0,3. Jika keakuratan metode ini perlu ditingkatkan, Anda dapat mengulangi langkah-langkah yang dijelaskan sebelumnya:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Mari kita periksa keakuratan perhitungannya:

10,536² = 111,0073.

Setelah menerapkan kembali rumus tersebut, kesalahannya menjadi tidak signifikan.

Menghitung akar dengan pembagian panjang

Cara mencari nilai akar kuadrat ini sedikit lebih rumit dari cara sebelumnya. Namun, ini adalah yang paling akurat di antara metode penghitungan lainnya tanpa kalkulator.

Katakanlah Anda perlu mencari akar kuadrat yang akurat hingga 4 tempat desimal. Mari kita menganalisis algoritma perhitungan menggunakan contoh bilangan arbitrer 1308.1912.

  1. Bagilah lembaran kertas menjadi 2 bagian dengan garis vertikal, lalu tarik garis lain ke kanan, sedikit di bawah tepi atas. Mari kita tulis angka di sisi kiri, bagi menjadi kelompok 2 digit, pindah ke kanan dan kiri koma desimal. Digit pertama di sebelah kiri mungkin tanpa pasangan. Jika tanda di sisi kanan angka hilang, maka Anda harus menambahkan 0. Dalam kasus kami, hasilnya adalah 13 08.19 12.
  2. Mari kita pilih yang terbaik jumlah yang besar, yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan kelompok angka pertama. Dalam kasus kita adalah 3. Mari kita tulis di kanan atas; 3 adalah digit pertama dari hasilnya. Di kanan bawah kami menunjukkan 3×3 = 9; ini akan diperlukan untuk perhitungan selanjutnya. Dari 13 di kolom kita kurangi 9, kita mendapat sisa 4.
  3. Mari kita tetapkan pasangan angka berikutnya ke sisa 4; kita mendapatkan 408.
  4. Kalikan angka di kanan atas dengan 2 dan tuliskan di kanan bawah, tambahkan _ x _ = ke dalamnya. Kami mendapatkan 6_ x _ =.
  5. Alih-alih tanda hubung, Anda perlu mengganti angka yang sama, kurang dari atau sama dengan 408. Kita mendapatkan 66 × 6 = 396. Kita menulis 6 dari kanan atas, karena ini adalah digit kedua dari hasilnya. Kurangi 396 dari 408, kita mendapat 12.
  6. Mari ulangi langkah 3-6. Karena angka-angka yang dipindahkan ke bawah berada di bagian pecahan suatu bilangan, maka tanda desimal perlu ditempatkan di kanan atas setelah 6. Mari kita tuliskan hasil gandanya dengan tanda hubung: 72_ x _ =. Bilangan yang cocok adalah 1: 721×1 = 721. Mari kita tuliskan sebagai jawabannya. Mari kita kurangi 1219 - 721 = 498.
  7. Mari kita lakukan urutan tindakan yang diberikan di paragraf sebelumnya tiga kali lagi untuk mendapatkan jumlah tempat desimal yang diperlukan. Jika karakter tidak cukup untuk penghitungan lebih lanjut, Anda perlu menambahkan dua angka nol ke angka saat ini di sebelah kiri.

Hasilnya, kita mendapatkan jawabannya: √1308.1912 ≈ 36.1689. Jika Anda memeriksa tindakan menggunakan kalkulator, Anda dapat memastikan bahwa semua tanda teridentifikasi dengan benar.

Perhitungan akar kuadrat bitwise

Metode ini sangat akurat. Selain itu, cukup dimengerti dan tidak memerlukan menghafal rumus atau algoritma tindakan yang rumit, karena inti dari metode ini adalah memilih hasil yang benar.

Mari kita ekstrak akar dari angka 781. Mari kita lihat urutan tindakannya secara detail.

  1. Mari kita cari tahu digit mana dari nilai akar kuadrat yang paling signifikan. Untuk melakukan ini, mari kita kuadratkan 0, 10, 100, 1000, dst. dan cari tahu di antara keduanya bilangan radikal tersebut berada. Kami mendapatkan 10² itu< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
  2. Mari kita pilih nilai puluhan. Caranya, kita bergantian menaikkan pangkat 10, 20, ..., 90 hingga kita mendapatkan angka yang lebih besar dari 781. Untuk kasus kita, kita mendapatkan 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. nilai hasil n akan berada dalam 20< n <30.
  3. Mirip dengan langkah sebelumnya, nilai digit satuan dipilih. Mari kita kuadratkan 21,22, ..., 29 satu per satu: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Kita peroleh 27< n < 28.
  4. Setiap digit berikutnya (persepuluh, seperseratus, dst.) dihitung dengan cara yang sama seperti yang ditunjukkan di atas. Perhitungan dilakukan sampai ketelitian yang dibutuhkan tercapai.

Video

Video ini akan menunjukkan cara mencari akar kuadrat tanpa menggunakan kalkulator.

Sebelum adanya kalkulator, siswa dan guru menghitung akar kuadrat dengan tangan. Ada beberapa cara untuk menghitung akar kuadrat suatu bilangan secara manual. Beberapa dari mereka hanya menawarkan solusi perkiraan, yang lain memberikan jawaban yang tepat.

Langkah

Faktorisasi prima

    Faktorkan bilangan radikal menjadi faktor-faktor yang merupakan bilangan kuadrat. Bergantung pada bilangan radikalnya, Anda akan mendapatkan jawaban perkiraan atau eksak. Bilangan kuadrat adalah bilangan yang dapat diambil seluruh akar kuadratnya. Faktor adalah bilangan yang bila dikalikan akan menghasilkan bilangan aslinya. Misalnya faktor bilangan 8 adalah 2 dan 4, karena 2 x 4 = 8, maka bilangan 25, 36, 49 adalah bilangan kuadrat, karena √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Faktor kuadrat adalah faktor yang merupakan bilangan kuadrat. Pertama, cobalah memfaktorkan bilangan radikal menjadi faktor kuadrat.

    • Misalnya, hitung akar kuadrat dari 400 (dengan tangan). Pertama-tama cobalah memfaktorkan 400 menjadi faktor kuadrat. 400 adalah kelipatan 100, yaitu habis dibagi 25 - ini adalah bilangan kuadrat. Membagi 400 dengan 25 menghasilkan 16. Angka 16 juga merupakan bilangan kuadrat. Jadi, 400 dapat difaktorkan menjadi faktor kuadrat dari 25 dan 16, yaitu 25 x 16 = 400.
    • Dapat ditulis sebagai berikut: √400 = √(25 x 16).

  1. Akar kuadrat hasil kali beberapa suku sama dengan hasil kali akar kuadrat masing-masing suku, yaitu √(a x b) = √a x √b. Gunakan aturan ini untuk mengambil akar kuadrat dari setiap faktor kuadrat dan mengalikan hasilnya untuk menemukan jawabannya.

    • Dalam contoh kita, ambil akar dari 25 dan 16.
      • √(25x16)
      • √25x √16
      • 5 x 4 = 20

  2. Jika bilangan radikal tidak difaktorkan menjadi dua faktor kuadrat (dan hal ini sering terjadi), Anda tidak akan dapat menemukan jawaban pastinya dalam bentuk bilangan bulat. Namun Anda dapat menyederhanakan soal dengan menguraikan bilangan radikal menjadi faktor kuadrat dan faktor biasa (bilangan yang tidak dapat diambil seluruh akar kuadratnya). Kemudian Anda akan mengambil akar kuadrat dari faktor kuadrat dan mengambil akar dari faktor persekutuannya.

    • Misalnya, hitung akar kuadrat dari angka 147. Angka 147 tidak dapat difaktorkan menjadi dua faktor kuadrat, tetapi dapat difaktorkan menjadi faktor berikut: 49 dan 3. Selesaikan soal sebagai berikut:
      • = √(49 x 3)
      • = √49x √3
      • = 7√3

  3. Jika perlu, perkirakan nilai akarnya. Sekarang Anda dapat memperkirakan nilai akar (mencari nilai perkiraan) dengan membandingkannya dengan nilai akar-akar bilangan kuadrat yang paling dekat (di kedua sisi garis bilangan) dengan bilangan radikal. Anda akan menerima nilai akar sebagai pecahan desimal, yang harus dikalikan dengan angka di belakang tanda akar.

    • Mari kita kembali ke contoh kita. Bilangan radikalnya adalah 3. Bilangan kuadrat yang paling dekat dengannya adalah bilangan 1 (√1 = 1) dan 4 (√4 = 2). Jadi, nilai √3 terletak di antara 1 dan 2. Karena nilai √3 kemungkinan lebih dekat ke 2 daripada ke 1, perkiraan kita adalah: √3 = 1,7. Nilai ini kita kalikan dengan angka pada tanda akar: 7 x 1,7 = 11,9. Jika Anda menghitungnya dengan kalkulator, Anda akan mendapatkan 12,13, yang hampir sama dengan jawaban kami.
      • Cara ini juga bisa digunakan pada jumlah yang besar. Misalnya, pertimbangkan √35. Bilangan radikalnya adalah 35. Bilangan kuadrat terdekatnya adalah bilangan 25 (√25 = 5) dan 36 (√36 = 6). Jadi, nilai √35 terletak di antara 5 dan 6. Karena nilai √35 jauh lebih dekat ke 6 dibandingkan ke 5 (karena 35 hanya 1 kurang dari 36), kita dapat mengatakan bahwa √35 sedikit lebih kecil dari 6 Periksa kalkulator memberi kita jawaban 5,92 - kita benar.

  4. Cara lain - memfaktorkan bilangan radikal menjadi faktor prima . Faktor prima adalah bilangan yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Tuliskan faktor prima dalam suatu deret dan temukan pasangan faktor yang identik. Faktor-faktor tersebut dapat dikeluarkan dari tanda akarnya.

    • Misalnya, hitung akar kuadrat dari 45. Kita faktorkan bilangan radikal tersebut menjadi faktor prima: 45 = 9 x 5, dan 9 = 3 x 3. Jadi, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 dapat diambil sebagai tanda akar: √45 = 3√5. Sekarang kita dapat memperkirakan √5.
    • Mari kita lihat contoh lainnya: √88.
      • = √(2 x 44)
      • = √ (2 x 4 x 11)
      • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Anda menerima tiga pengganda 2; ambil beberapa di antaranya dan pindahkan melampaui tanda akar.
      • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Sekarang Anda dapat mengevaluasi √2 dan √11 dan menemukan perkiraan jawabannya.

    Menghitung akar kuadrat secara manual

    Menggunakan pembagian panjang

    1. Metode ini melibatkan proses yang mirip dengan pembagian panjang dan memberikan jawaban yang akurat. Pertama, gambarlah garis vertikal yang membagi lembaran menjadi dua bagian, lalu ke kanan dan sedikit di bawah tepi atas lembaran, gambarlah garis horizontal ke garis vertikal. Sekarang bagilah bilangan radikal menjadi pasangan-pasangan bilangan, dimulai dengan bagian pecahan setelah koma. Jadi angka 79520789182.47897 ditulis "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Misalnya, mari kita hitung akar kuadrat dari angka 780,14. Gambarlah dua garis (seperti yang ditunjukkan pada gambar) dan tuliskan angka yang diberikan dalam bentuk “7 80, 14” di kiri atas. Wajar jika digit pertama dari kiri merupakan digit tidak berpasangan. Anda akan menulis jawabannya (akar dari angka ini) di kanan atas.

    2. Untuk pasangan bilangan (atau bilangan tunggal) pertama dari kiri, carilah n bilangan bulat terbesar yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan pasangan bilangan (atau bilangan tunggal) yang dimaksud. Dengan kata lain, carilah bilangan kuadrat yang terdekat, namun lebih kecil dari, pasangan bilangan pertama (atau bilangan tunggal) dari kiri, dan ambil akar kuadrat dari bilangan kuadrat tersebut; Anda akan mendapatkan nomor n. Tulis n yang Anda temukan di kanan atas, dan tuliskan kuadrat n di kanan bawah.

      • Dalam kasus kita, angka pertama di sebelah kiri adalah 7. Selanjutnya, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

    3. Kurangi kuadrat bilangan n yang baru saja Anda temukan dari pasangan bilangan pertama (atau bilangan tunggal) di sebelah kiri. Tuliskan hasil perhitungannya di bawah tanda pengurang (kuadrat dari bilangan n).

      • Dalam contoh kita, kurangi 4 dari 7 dan dapatkan 3.

    4. Catat pasangan angka kedua dan tuliskan di sebelah nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya. Kemudian gandakan angka di kanan atas dan tuliskan hasilnya di kanan bawah dengan tambahan "_×_=".

      • Dalam contoh kita, pasangan angka kedua adalah "80". Tulis "80" setelah 3. Kemudian, gandakan angka di kanan atas menjadi 4. Tulis "4_×_=" di kanan bawah.

    5. Isilah bagian yang kosong di sebelah kanan.

      • Dalam kasus kita, jika kita menggunakan angka 8 sebagai pengganti tanda hubung, maka 48 x 8 = 384, yang berarti lebih dari 380. Oleh karena itu, 8 adalah angka yang terlalu besar, tetapi 7 sudah cukup. Tulis 7 sebagai pengganti tanda hubung dan dapatkan: 47 x 7 = 329. Tulis 7 di kanan atas - ini adalah digit kedua dari akar kuadrat yang diinginkan dari angka 780,14.

    6. Kurangi angka yang dihasilkan dari angka saat ini di sebelah kiri. Tuliskan hasil langkah sebelumnya di bawah angka saat ini di sebelah kiri, cari selisihnya dan tuliskan di bawah tanda pengurang.

      • Dalam contoh kita, kurangi 329 dari 380, sehingga hasilnya adalah 51.

    7. Ulangi langkah 4. Jika pasangan bilangan yang dipindahkan merupakan bagian pecahan dari bilangan aslinya, maka berilah tanda pemisah (koma) antara bagian bilangan bulat dan pecahan pada akar kuadrat yang diperlukan di kanan atas. Di sebelah kiri, turunkan pasangan angka berikutnya. Gandakan angka di kanan atas dan tulis hasilnya di kanan bawah dengan tambahan "_×_=".

      • Dalam contoh kita, pasangan angka berikutnya yang akan dihilangkan adalah bagian pecahan dari angka 780.14, jadi tempatkan pemisah bagian bilangan bulat dan pecahan pada akar kuadrat yang diinginkan di kanan atas. Catat 14 dan tulis di kiri bawah. Gandakan angka di kanan atas (27) adalah 54, jadi tulislah "54_×_=" di kanan bawah.

    8. Ulangi langkah 5 dan 6. Temukan angka terbesar di tempat tanda hubung di sebelah kanan (sebagai pengganti tanda hubung Anda harus mengganti angka yang sama) sehingga hasil perkaliannya kurang dari atau sama dengan angka saat ini di sebelah kiri.

      • Dalam contoh kita, 549 x 9 = 4941, yang lebih kecil dari angka di sebelah kiri saat ini (5114). Tuliskan 9 di kanan atas dan kurangi hasil perkaliannya dengan angka di sebelah kiri saat ini: 5114 - 4941 = 173.

    9. Jika Anda perlu mencari lebih banyak tempat desimal untuk akar kuadrat, tulis beberapa angka nol di sebelah kiri angka saat ini dan ulangi langkah 4, 5, dan 6. Ulangi langkah tersebut hingga Anda mendapatkan jawaban yang presisi (jumlah tempat desimal) Anda membutuhkan.

    Memahami Prosesnya

      Untuk menguasai metode ini, bayangkan bilangan yang akar kuadratnya perlu Anda cari sebagai luas persegi S. Dalam hal ini, Anda akan mencari panjang sisi L dari persegi tersebut. Kita hitung nilai L sehingga L² = S.

      Berikan huruf untuk setiap nomor pada jawaban. Mari kita nyatakan dengan A digit pertama dari nilai L (akar kuadrat yang diinginkan). B akan menjadi digit kedua, C akan menjadi digit ketiga, dan seterusnya.

      Tentukan huruf untuk setiap pasangan digit pertama. Mari kita nyatakan dengan S a pasangan digit pertama dari nilai S, dengan S b pasangan digit kedua, dan seterusnya.

      Pahami hubungan antara metode ini dan pembagian panjang. Sama seperti dalam pembagian, di mana kita hanya tertarik pada digit berikutnya dari angka yang kita bagi setiap kali, saat menghitung akar kuadrat, kita mengerjakan sepasang digit secara berurutan (untuk mendapatkan satu digit berikutnya dalam nilai akar kuadrat) .

    1. Perhatikan pasangan digit pertama Sa dari bilangan S (Sa = 7 dalam contoh kita) dan temukan akar kuadratnya. Dalam hal ini, digit pertama A dari nilai akar kuadrat yang diinginkan adalah digit yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan S a (yaitu, kita mencari A sedemikian sehingga pertidaksamaan A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Katakanlah kita perlu membagi 88962 dengan 7; di sini langkah pertamanya akan serupa: kita perhatikan angka pertama dari bilangan habis dibagi 88962 (8) dan pilih bilangan terbesar yang jika dikalikan 7 akan menghasilkan nilai kurang dari atau sama dengan 8. Artinya, kita mencari bilangan d yang pertidaksamaannya benar: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.