Karakteristik numerik dasar variabel acak diskrit dan kontinu: nilai yang diharapkan, varians dan deviasi standar. Sifat-sifatnya dan contohnya.
Hukum distribusi (fungsi distribusi dan deret distribusi atau kepadatan probabilitas) secara lengkap menggambarkan perilaku tersebut variabel acak. Namun dalam beberapa soal, cukup mengetahui beberapa ciri numerik dari nilai yang diteliti (misalnya nilai rata-rata dan kemungkinan penyimpangannya) untuk menjawab pertanyaan yang diajukan. Mari kita pertimbangkan karakteristik numerik utama dari variabel acak diskrit.
Definisi 7.1.Harapan matematis Variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari nilai yang mungkin dan probabilitas yang sesuai:
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x hal hal.(7.1)
Jika banyaknya nilai yang mungkin dari suatu variabel acak tidak terhingga, maka deret yang dihasilkan konvergen mutlak.
Catatan 1. Ekspektasi matematis kadang-kadang disebut rata-rata tertimbang, karena kira-kira sama dengan rata-rata aritmatika dari nilai observasi variabel acak di jumlah besar eksperimen.
Catatan 2. Dari definisi ekspektasi matematis dapat disimpulkan bahwa nilainya tidak kurang dari nilai terkecil yang mungkin dari suatu variabel acak dan tidak lebih dari nilai terbesar.
Catatan 3. Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit adalah tidak acak(konstan. Nanti kita akan melihat bahwa hal yang sama juga berlaku untuk variabel acak kontinu.
Contoh 1. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak X- jumlah suku cadang standar di antara tiga suku cadang yang dipilih dari kumpulan 10 suku cadang, termasuk 2 suku cadang yang rusak. Mari buat rangkaian distribusi untuk X. Dari kondisi masalah berikut ini X dapat mengambil nilai 1, 2, 3. Lalu
Contoh 2. Tentukan ekspektasi matematis dari suatu variabel acak X- jumlah lemparan koin sebelum lambang pertama kali muncul. Besaran ini dapat mempunyai jumlah nilai yang tak terhingga (himpunan nilai yang mungkin adalah himpunan bilangan asli). Rangkaian distribusinya berbentuk:
| X | … | P | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)P | … |
+ (saat menghitung, rumus jumlah berkurang tak terhingga perkembangan geometri: , Di mana ).
Sifat ekspektasi matematis.
1) Ekspektasi matematis suatu konstanta sama dengan konstanta itu sendiri:
M(DENGAN) = DENGAN.(7.2)
Bukti. Jika kita mempertimbangkan DENGAN sebagai variabel acak diskrit yang hanya mengambil satu nilai DENGAN dengan probabilitas R= 1, maka M(DENGAN) = DENGAN?1 = DENGAN.
2) Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda ekspektasi matematis:
M(CX) = CM(X). (7.3)
Bukti. Jika variabel acak X diberikan berdasarkan seri distribusi
Kemudian M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx hal hal = DENGAN(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).
Definisi 7.2. Dua variabel acak dipanggil mandiri, jika hukum distribusi salah satunya tidak bergantung pada nilai apa yang diambil pihak lain. Kalau tidak, variabel acak bergantung.
Definisi 7.3. Mari kita menelepon produk dari variabel acak independen X Dan Y variabel acak XY, nilai kemungkinannya sama dengan hasil kali semua nilai yang mungkin X untuk semua nilai yang mungkin Y, dan probabilitas yang bersesuaian sama dengan produk probabilitas faktor-faktornya.
3) Ekspektasi matematis dari hasil kali dua variabel acak independen sama dengan hasil kali ekspektasi matematisnya:
M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)
Bukti. Untuk menyederhanakan perhitungan, kami membatasi diri pada kasus kapan X Dan Y ambil hanya dua nilai yang mungkin:
Karena itu, M(XY) = X 1 kamu 1 ?P 1 G 1 + X 2 kamu 1 ?P 2 G 1 + X 1 kamu 2 ?P 1 G 2 + X 2 kamu 2 ?P 2 G 2 = kamu 1 G 1 (X 1 P 1 + X 2 P 2) + + kamu 2 G 2 (X 1 P 1 + X 2 P 2) = (kamu 1 G 1 + kamu 2 G 2) (X 1 P 1 + X 2 P 2) = M(X)?M(Y).
Catatan 1. Anda juga dapat membuktikan sifat ini untuk sejumlah kemungkinan nilai faktor yang lebih besar.
Catatan 2. Sifat 3 berlaku untuk hasil kali sejumlah variabel acak bebas, yang dibuktikan dengan induksi matematika.
Definisi 7.4. Mari kita definisikan jumlah variabel acak X Dan Y sebagai variabel acak X+Y, nilai yang mungkin sama dengan jumlah dari setiap nilai yang mungkin X dengan setiap nilai yang mungkin Y; probabilitas dari jumlah tersebut sama dengan produk dari probabilitas suku-suku tersebut (untuk variabel acak dependen - produk dari probabilitas satu suku dengan probabilitas bersyarat dari suku kedua).
4) Ekspektasi matematis dari jumlah dua variabel acak (terikat atau bebas) sama dengan jumlah ekspektasi matematis suku:
M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)
Bukti.
Mari kita perhatikan kembali variabel acak yang ditentukan oleh deret distribusi yang diberikan dalam bukti properti 3. Kemudian nilai yang mungkin X+Y adalah X 1 + pada 1 , X 1 + pada 2 , X 2 + pada 1 , X 2 + pada 2. Mari kita nyatakan probabilitasnya masing-masing sebagai R 11 , R 12 , R 21 dan R 22. Kami akan menemukannya M(X+Y) = (X 1 + kamu 1)P 11 + (X 1 + kamu 2)P 12 + (X 2 + kamu 1)P 21 + (X 2 + kamu 2)P 22 =
= X 1 (P 11 + P 12) + X 2 (P 21 + P 22) + kamu 1 (P 11 + P 21) + kamu 2 (P 12 + P 22).
Mari kita buktikan itu R 11 + R 22 = R 1 . Memang acara itu X+Y akan mengambil nilai X 1 + pada 1 atau X 1 + pada 2 dan peluangnya adalah R 11 + R 22 bertepatan dengan kejadian itu X = X 1 (probabilitasnya adalah R 1). Hal serupa juga dibuktikan P 21 + P 22 = R 2 , P 11 + P 21 = G 1 , P 12 + P 22 = G 2. Cara,
M(X+Y) = X 1 P 1 + X 2 P 2 + kamu 1 G 1 + kamu 2 G 2 = M (X) + M (Y).
Komentar. Dari properti 4 dapat disimpulkan bahwa jumlah sejumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari suku-suku tersebut.
Contoh. Tentukan ekspektasi matematis dari jumlah banyaknya poin yang diperoleh dengan pelemparan lima buah dadu.
Mari kita cari ekspektasi matematis dari jumlah poin yang dilempar saat melempar satu dadu:
M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Angka yang sama sama dengan ekspektasi matematis dari jumlah poin yang dilempar pada dadu mana pun. Oleh karena itu, berdasarkan properti 4 M(X)=
Penyebaran.
Untuk mengetahui perilaku suatu variabel acak, tidak cukup hanya mengetahui ekspektasi matematisnya saja. Pertimbangkan dua variabel acak: X Dan Y, ditentukan oleh rangkaian distribusi formulir
| X | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| P | 0,5 | 0,5 |
Kami akan menemukannya M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. Seperti yang Anda lihat, ekspektasi matematis kedua besaran adalah sama, tetapi jika untuk Hm(X) menggambarkan dengan baik perilaku variabel acak, karena nilainya yang paling mungkin (dan nilai yang tersisa tidak berbeda jauh dari 50), maka nilainya Y dihapus secara signifikan dari M(Y). Oleh karena itu, seiring dengan ekspektasi matematis, perlu diketahui seberapa besar penyimpangan nilai variabel acak darinya. Untuk mengkarakterisasi indikator ini, dispersi digunakan.
Definisi 7.5.Dispersi (hamburan) suatu variabel acak adalah ekspektasi matematis dari kuadrat deviasinya dari ekspektasi matematisnya:
D(X) = M (XM(X))². (7.6)
Mari kita cari varians dari variabel acak X(jumlah bagian standar di antara yang dipilih) dalam contoh 1 kuliah ini. Mari kita hitung deviasi kuadrat setiap nilai yang mungkin dari ekspektasi matematis:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Karena itu,
Catatan 1. Saat menentukan dispersi, yang dinilai bukanlah deviasi dari mean itu sendiri, melainkan kuadratnya. Hal ini dilakukan agar penyimpangan tanda yang berbeda tidak saling meniadakan.
Catatan 2. Dari definisi dispersi dapat disimpulkan bahwa besaran ini hanya mempunyai nilai non-negatif.
Catatan 3. Terdapat rumus penghitungan varians yang lebih mudah untuk dihitung, yang validitasnya dibuktikan dengan teorema berikut:
Teorema 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)
Bukti.
Menggunakan apa M(X) adalah nilai konstan, dan sifat-sifat ekspektasi matematisnya, kita ubah rumus (7.6) menjadi bentuk:
D(X) = M(XM(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =
= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), itulah yang perlu dibuktikan.
Contoh. Mari kita hitung varians variabel acak X Dan Y dibahas di awal bagian ini. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Jadi, varians variabel acak kedua beberapa ribu kali lebih besar daripada varians variabel acak pertama. Jadi, bahkan tanpa mengetahui hukum distribusi besaran-besaran ini, berdasarkan nilai dispersi yang diketahui kita dapat menyatakan hal itu X sedikit menyimpang dari ekspektasi matematisnya, sedangkan untuk Y penyimpangan ini cukup signifikan.
Sifat dispersi.
1) Varians nilai konstan DENGAN sama dengan nol:
D (C) = 0. (7.8)
Bukti. D(C) = M((CM(C))²) = M((CC)²) = M(0) = 0.
2) Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya:
D(CX) = C² D(X). (7.9)
Bukti. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( XM(X))²) =
= C² D(X).
3) Varians jumlah dua variabel acak independen sama dengan jumlah variansnya:
D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)
Bukti. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +
+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).
Akibat wajar 1. Varians dari jumlah beberapa variabel acak yang saling bebas sama dengan jumlah variansnya.
Akibat wajar 2. Varians jumlah suatu konstanta dan variabel acak sama dengan varians variabel acak.
4) Varians selisih dua variabel acak independen sama dengan jumlah variansnya:
D(XY) = D(X) + D(Y). (7.11)
Bukti. D(XY) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).
Varians memberikan nilai rata-rata deviasi kuadrat suatu variabel acak dari mean; Untuk mengevaluasi simpangan itu sendiri digunakan suatu nilai yang disebut simpangan baku.
Definisi 7.6.Deviasi standarσ variabel acak X ditelepon Akar pangkat dua dari dispersi:
Contoh. Pada contoh sebelumnya, standar deviasi X Dan Y masing-masing sama
Ekspektasi matematis (nilai rata-rata) dari variabel acak X yang diberikan pada ruang probabilitas diskrit adalah bilangan m =M[X]=∑x i p i jika deret tersebut konvergen mutlak.
Tujuan layanan. Menggunakan layanan online ekspektasi matematis, varians dan deviasi standar dihitung(lihat contoh). Selain itu, grafik fungsi distribusi F(X) diplot.
Sifat-sifat ekspektasi matematis dari variabel acak
- Ekspektasi matematis dari suatu nilai konstanta sama dengan dirinya sendiri: M[C]=C, C – konstan;
- M=C M[X]
- Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya: M=M[X]+M[Y]
- Ekspektasi matematis dari produk variabel acak independen sama dengan produk dari ekspektasi matematisnya: M=M[X] M[Y] , jika X dan Y independen.
Sifat dispersi
- Varians suatu nilai konstan adalah nol: D(c)=0.
- Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari bawah tanda dispersi dengan mengkuadratkannya: D(k*X)= k 2 D(X).
- Jika variabel acak X dan Y saling bebas, maka varians dari jumlah tersebut sama dengan jumlah variansnya: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Jika variabel acak X dan Y saling bergantung: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Rumus komputasi berikut ini valid untuk dispersi:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Contoh. Ekspektasi matematis dan varians dari dua variabel acak independen X dan Y diketahui: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Temukan ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak Z=9X-8Y+7.
Larutan. Berdasarkan sifat-sifat ekspektasi matematis: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Berdasarkan sifat dispersi: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritma untuk menghitung ekspektasi matematis
Sifat-sifat variabel acak diskrit: semua nilainya dapat dinomori ulang bilangan asli; Tetapkan setiap nilai probabilitas bukan nol.- Kita kalikan pasangannya satu per satu: x i dengan p i .
- Tambahkan hasil kali setiap pasangan x i p i .
Misalnya, untuk n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Contoh No.1.
| x saya | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi saya | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Kita mencari ekspektasi matematisnya menggunakan rumus m = ∑x i p i .
Harapan M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Kita mencari variansnya menggunakan rumus d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varians D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Simpangan baku σ(x).
σ = kuadrat(D[X]) = kuadrat(7,69) = 2,78
Contoh No.2. Variabel acak diskrit memiliki deret distribusi sebagai berikut:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Larutan. Nilai a dicari dari relasi: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 atau 0,24=3 a , dari mana a = 0,08
Contoh No.3. Tentukan hukum distribusi suatu variabel acak diskrit jika variansnya diketahui, dan x 1
hal 1 =0,3; hal 2 =0,3; hal 3 =0,1; hal 4 =0,3
d(x)=12,96
Larutan.
Di sini Anda perlu membuat rumus untuk mencari varians d(x):
d(x) = x 1 2 hal 1 +x 2 2 hal 2 +x 3 2 hal 3 +x 4 2 hal 4 -m(x) 2
dimana ekspektasi m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Untuk data kami
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
atau -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Oleh karena itu, kita perlu mencari akar-akar persamaannya, dan akan ada dua akar persamaan tersebut.
x 3 =8, x 3 =12
Pilih salah satu yang memenuhi kondisi x 1
Hukum distribusi variabel acak diskrit
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
hal 1 =0,3; hal 2 =0,3; hal 3 =0,1; hal 4 =0,3
Dalam teori probabilitas dan banyak penerapannya, berbagai karakteristik numerik dari variabel acak sangatlah penting. Yang utama adalah ekspektasi dan varians matematis.
1. Ekspektasi matematis dari suatu variabel acak dan sifat-sifatnya.
Mari kita perhatikan contoh berikut terlebih dahulu. Biarkan pabrik menerima batch yang terdiri dari N bantalan. Di mana:
m 1 x 1,
m 2- jumlah bantalan dengan diameter luar x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M N- jumlah bantalan dengan diameter luar xn,
Di Sini m 1 +m 2 +...+m n =N. Mari kita cari mean aritmatikanya x rata-rata diameter luar bantalan. Jelas sekali,
Diameter luar bantalan yang diambil secara acak dapat dianggap sebagai variabel acak yang mengambil nilai x 1, x 2, ..., xn, dengan probabilitas yang sesuai hal 1 =m 1 /N, hal 2 =m 2 /N, ..., p n =m n /T, karena kemungkinannya pi saya penampilan bantalan dengan diameter luar x saya sama dengan saya /T. Jadi, mean aritmatika x rata-rata Diameter luar bantalan dapat ditentukan dengan menggunakan relasi 
Misalkan adalah variabel acak diskrit dengan hukum distribusi probabilitas tertentu
Nilai-nilai
x 1
x 2
. . .
xn
Kemungkinan
hal 1
hal2
. . .
hal
Harapan matematis variabel acak diskrit adalah jumlah produk berpasangan dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dengan probabilitas yang sesuai, mis. *
Dalam hal ini, diasumsikan bahwa integral tak wajar pada ruas kanan persamaan (40) ada.
Mari kita perhatikan sifat-sifat ekspektasi matematis. Dalam hal ini, kita akan membatasi diri pada pembuktian hanya dua sifat pertama, yang akan kita lakukan untuk variabel acak diskrit.
1°. Ekspektasi matematis dari konstanta C sama dengan konstanta ini.
Bukti. Konstan C dapat dianggap sebagai variabel acak yang hanya dapat mengambil satu nilai C dengan probabilitas sama dengan satu. Itu sebabnya 
2°. Faktor konstanta dapat diambil melampaui tanda ekspektasi matematis, yaitu 
Bukti. Menggunakan relasi (39), kita punya 
3°. Ekspektasi matematis dari jumlah beberapa variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari variabel-variabel tersebut:
Ekspektasi matematis adalah definisinya
Skakmat menunggu adalah salah satu konsep terpenting dalam statistik matematika dan teori probabilitas, yang mencirikan distribusi nilai atau probabilitas variabel acak. Biasanya dinyatakan sebagai rata-rata tertimbang dari semua parameter yang mungkin dari variabel acak. Banyak digunakan dalam analisis teknis, studi tentang deret angka, dan studi tentang proses yang berkelanjutan dan memakan waktu. Penting dalam menilai risiko, memprediksi indikator harga saat berdagang di pasar keuangan, dan digunakan dalam mengembangkan strategi dan metode taktik permainan di teori perjudian.
Skakmat menunggu- Ini nilai rata-rata variabel acak, distribusi probabilitas variabel acak dipertimbangkan dalam teori probabilitas.
Skakmat menunggu adalah ukuran nilai rata-rata variabel acak dalam teori probabilitas. Skakmat ekspektasi variabel acak X dilambangkan dengan M(x).
Ekspektasi matematis (Rata-rata populasi) adalah
Skakmat menunggu adalah
Skakmat menunggu adalah dalam teori probabilitas, rata-rata tertimbang dari semua nilai yang mungkin diambil oleh variabel acak.
Skakmat menunggu adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas nilai-nilai ini.
Ekspektasi matematis (Rata-rata populasi) adalah
Skakmat menunggu adalah manfaat rata-rata dari suatu keputusan tertentu, asalkan keputusan tersebut dapat dipertimbangkan dalam kerangka teori jumlah besar dan jarak jauh.
Skakmat menunggu adalah dalam teori perjudian, jumlah kemenangan yang dapat diperoleh atau dikalahkan oleh seorang spekulan, secara rata-rata, pada setiap taruhan. Dalam bahasa perjudian spekulan ini terkadang disebut "keuntungan" spekulan" (jika positif bagi spekulan) atau "house edge" (jika negatif bagi spekulan).
Ekspektasi matematis (Rata-rata populasi) adalah
Konsep ekspektasi matematis dapat dilihat dengan menggunakan contoh pelemparan sebuah dadu. Dengan setiap lemparan, poin yang dijatuhkan dicatat. Untuk menyatakannya digunakan nilai natural pada rentang 1 – 6.
Setelah sejumlah lemparan tertentu, dengan menggunakan perhitungan sederhana, Anda dapat menemukan rata-rata aritmatika dari poin yang diperoleh.
Sama seperti kemunculan nilai mana pun dalam rentang tersebut, nilai ini akan acak.
Bagaimana jika Anda menambah jumlah lemparan beberapa kali? Dengan jumlah lemparan yang banyak, rata-rata aritmatika poin akan mendekati bilangan tertentu, yang dalam teori probabilitas disebut ekspektasi matematis.
Jadi, yang kami maksud dengan ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata dari suatu variabel acak. Indikator ini juga dapat disajikan sebagai jumlah tertimbang dari nilai-nilai kemungkinan.
Konsep ini memiliki beberapa sinonim:
- nilai rata-rata;
- nilai rata-rata;
- indikator tendensi sentral;
- momen pertama.
Dengan kata lain, ini tidak lebih dari sebuah angka di mana nilai-nilai variabel acak didistribusikan.
Dalam berbagai bidang aktivitas manusia, pendekatan untuk memahami ekspektasi matematis akan sedikit berbeda.
Ini dapat dianggap sebagai:
- rata-rata manfaat yang diperoleh dari pengambilan suatu keputusan, jika keputusan tersebut dipertimbangkan dari sudut pandang teori bilangan besar;
- jumlah kemungkinan menang atau kalah (teori perjudian), dihitung rata-rata untuk setiap taruhan. Dalam bahasa gaul, terdengar seperti “keuntungan pemain” (positif untuk pemain) atau “keuntungan kasino” (negatif untuk pemain);
- persentase keuntungan yang diterima dari kemenangan.
Ekspektasinya tidak wajib untuk semua variabel acak. Tidak ada bagi mereka yang memiliki perbedaan dalam jumlah atau integral yang sesuai.
Sifat ekspektasi matematis
Seperti parameter statistik lainnya, ekspektasi matematis memiliki sifat berikut:
Rumus dasar ekspektasi matematis
Perhitungan ekspektasi matematis dapat dilakukan baik untuk variabel acak yang bercirikan kontinuitas (rumus A) dan diskrit (rumus B):
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, dengan xi adalah nilai variabel acak, pi adalah probabilitas:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, dengan f(x) adalah kepadatan probabilitas yang diberikan.
Contoh penghitungan ekspektasi matematis
Contoh A.
Apakah mungkin untuk mengetahui tinggi rata-rata para kurcaci dalam dongeng tentang Putri Salju. Diketahui bahwa masing-masing dari 7 kurcaci tersebut memiliki tinggi badan tertentu: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 dan 0,81 m.
Algoritma perhitungannya cukup sederhana:
- kami menemukan jumlah semua nilai indikator pertumbuhan (variabel acak):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Bagilah jumlah yang dihasilkan dengan jumlah gnome:
6,31:7=0,90.
Jadi rata-rata tinggi kurcaci dalam dongeng adalah 90 cm, dengan kata lain ini adalah ekspektasi matematis dari pertumbuhan kurcaci.
Rumus kerja - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6
Implementasi praktis dari ekspektasi matematis
Perhitungan indikator statistik ekspektasi matematis digunakan di berbagai bidang kegiatan praktik. Pertama-tama, kita berbicara tentang bidang komersial. Bagaimanapun, pengenalan indikator ini oleh Huygens dikaitkan dengan penentuan peluang yang mungkin menguntungkan, atau, sebaliknya, tidak menguntungkan, untuk suatu peristiwa.
Parameter ini banyak digunakan untuk menilai risiko, terutama dalam investasi keuangan.
Jadi, dalam bisnis, penghitungan ekspektasi matematis bertindak sebagai metode untuk menilai risiko saat menghitung harga.
Indikator ini juga dapat digunakan untuk menghitung efektivitas tindakan tertentu, misalnya perlindungan tenaga kerja. Berkat itu, Anda dapat menghitung kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.
Area penerapan lain dari parameter ini adalah manajemen. Itu juga dapat dihitung selama kontrol kualitas produk. Misalnya menggunakan mat. ekspektasi, Anda dapat menghitung kemungkinan jumlah suku cadang cacat yang diproduksi.
Ekspektasi matematis juga ternyata sangat diperlukan ketika melakukan pengolahan statistik terhadap hasil yang diperoleh selama penelitian ilmiah. Ini memungkinkan Anda menghitung kemungkinan hasil yang diinginkan atau tidak diinginkan dari suatu eksperimen atau penelitian tergantung pada tingkat pencapaian tujuan. Bagaimanapun, pencapaiannya dapat dikaitkan dengan untung dan rugi, dan kegagalannya dapat dikaitkan dengan kerugian atau kerugian.
Menggunakan ekspektasi matematis dalam Forex
Penerapan praktis parameter statistik ini dimungkinkan ketika melakukan transaksi di pasar valuta asing. Dengan bantuannya, Anda dapat menganalisis keberhasilan transaksi perdagangan. Selain itu, peningkatan nilai ekspektasi menunjukkan peningkatan keberhasilan mereka.
Penting juga untuk diingat bahwa ekspektasi matematis tidak boleh dianggap sebagai satu-satunya parameter statistik yang digunakan untuk menganalisis kinerja trader. Penggunaan beberapa parameter statistik beserta nilai rata-ratanya meningkatkan keakuratan analisis secara signifikan.
Parameter ini telah membuktikan dirinya dengan baik dalam memantau observasi akun perdagangan. Berkat itu, penilaian cepat atas pekerjaan yang dilakukan pada rekening deposito dilakukan. Jika aktivitas trader berhasil dan dia terhindar dari kerugian, tidak disarankan untuk hanya menggunakan perhitungan ekspektasi matematis. Dalam kasus ini, risiko tidak diperhitungkan, sehingga mengurangi efektivitas analisis.
Studi yang dilakukan mengenai taktik trader menunjukkan bahwa:
- Taktik yang paling efektif adalah taktik yang didasarkan pada entri acak;
- Yang paling tidak efektif adalah taktik yang didasarkan pada masukan terstruktur.
Dalam mencapai hasil positif, yang tidak kalah pentingnya adalah:
- taktik pengelolaan uang;
- strategi keluar.
Dengan menggunakan indikator seperti ekspektasi matematis, Anda dapat memprediksi berapa untung atau ruginya ketika berinvestasi 1 dolar. Diketahui bahwa indikator ini, yang dihitung untuk semua permainan yang dilakukan di kasino, menguntungkan pihak institusi. Inilah yang memungkinkan Anda menghasilkan uang. Dalam kasus serangkaian permainan yang panjang, kemungkinan klien kehilangan uang meningkat secara signifikan.
Permainan yang dimainkan oleh pemain profesional dibatasi dalam jangka waktu singkat, sehingga meningkatkan kemungkinan menang dan mengurangi risiko kalah. Pola yang sama diamati ketika melakukan operasi investasi.
Seorang investor dapat memperoleh keuntungan besar dengan memiliki ekspektasi positif dan melakukan transaksi dalam jumlah besar dalam waktu singkat.
Ekspektasi dapat diartikan sebagai selisih antara persentase keuntungan (PW) dikalikan dengan rata-rata keuntungan (AW) dan probabilitas kerugian (PL) dikalikan dengan rata-rata kerugian (AL).
Sebagai contoh, kita dapat mempertimbangkan hal berikut: posisi – 12,5 ribu dolar, portofolio – 100 ribu dolar, risiko deposit – 1%. Profitabilitas transaksi adalah 40% kasus dengan keuntungan rata-rata 20%. Jika terjadi kerugian, rata-rata kerugiannya adalah 5%. Menghitung ekspektasi matematis untuk transaksi tersebut menghasilkan nilai $625.
