Tujuan pelajaran: Dalam pelajaran ini, Anda akan mengenal konsep “garis sejajar”, ​​mempelajari cara memverifikasi kesejajaran garis, serta sifat-sifat apa yang dimiliki sudut yang dibentuk oleh garis sejajar dan garis transversal.

Garis sejajar

Anda tahu bahwa konsep “garis lurus” adalah salah satu konsep geometri yang tidak dapat dijelaskan.

Anda telah mengetahui bahwa dua garis dapat berhimpitan, yaitu mempunyai semua titik yang sama, atau berpotongan, yaitu mempunyai satu titik yang sama. Garis lurus berpotongan pada sudut yang berbeda, dan sudut antara garis lurus dianggap sudut terkecil yang dibentuknya. Kasus perpotongan khusus dapat dianggap sebagai kasus tegak lurus, bila sudut yang dibentuk oleh garis lurus sama dengan 90 0.

Tapi dua garis lurus mungkin tidak ada poin umum, yaitu, tidak berpotongan. Garis seperti itu disebut paralel.

Bekerja dengan elektronik sumber daya pendidikan « ».

Untuk mengenal konsep “garis sejajar”, ​​kerjakan materi pelajaran video

Nah, sekarang Anda sudah mengetahui pengertian garis sejajar.

Dari materi penggalan video pelajaran, Anda belajar tentang berbagai jenis sudut yang terbentuk jika dua garis lurus berpotongan dengan garis ketiga.

Pasangan sudut 1 dan 4; 3 dan 2 dipanggil sudut satu sisi bagian dalam(mereka terletak di antara garis lurus A Dan B).

Pasangan sudut 5 dan 8; 7 dan 6 dipanggil sudut satu sisi luar(mereka berada di luar garis A Dan B).

Pasangan sudut 1 dan 8; 3 dan 6; 5 dan 4; 7 dan 2 disebut sudut satu sisi tegak lurus A Dan B dan garis potong C. Seperti yang Anda lihat, dari sepasang sudut yang bersesuaian, salah satu terletak di antara sudut siku-siku A Dan B, dan yang lainnya berada di luarnya.

Tanda-tanda garis sejajar

Jelaslah bahwa dengan menggunakan definisi tersebut tidak mungkin untuk menyimpulkan bahwa dua garis sejajar. Oleh karena itu, untuk menyimpulkan bahwa dua garis sejajar, gunakanlah tanda-tanda.

Anda sudah bisa merumuskan salah satunya setelah membaca materi video pelajaran bagian pertama:

Teorema 1. Dua garis yang tegak lurus garis ketiga tidak berpotongan, artinya sejajar.

Anda akan mengenal tanda-tanda kesejajaran garis lainnya berdasarkan persamaan pasangan sudut tertentu dengan mempelajari materi pada bagian kedua dari video pelajaran."Tanda-tanda garis sejajar."

Oleh karena itu, Anda harus mengetahui tiga lagi tanda garis sejajar.

Teorema 2 (tanda pertama garis sejajar). Jika dua garis berpotongan melintang dan sudut-sudut yang terlibat sama besar, maka garis-garis tersebut sejajar.

Beras. 2. Ilustrasi untuk tanda pertama paralelisme garis

Ulangi tanda pertama garis sejajar sekali lagi dengan menggunakan sumber daya pendidikan elektronik « ».

Jadi, untuk membuktikan tanda pertama kesejajaran garis, digunakan tanda persamaan segitiga (pada dua sisi dan sudut di antara keduanya), serta tanda kesejajaran garis yang tegak lurus terhadap satu garis lurus.

Latihan 1.

Tuliskan rumusan tanda pertama garis sejajar dan pembuktiannya di buku catatanmu.

Teorema 3 (tanda kedua garis sejajar). Jika dua garis berpotongan dengan garis transversal, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua garis tersebut sejajar.

Ulangi tanda kedua garis sejajar sekali lagi dengan menggunakan sumber daya pendidikan elektronik « ».

Untuk membuktikan tanda kesejajaran garis yang kedua, digunakan sifat sudut vertikal dan tanda kesejajaran garis yang pertama.

Tugas 2.

Tuliskan rumusan kriteria kedua kesejajaran garis dan pembuktiannya di buku catatanmu.

Teorema 4 (tanda ketiga garis sejajar). Jika dua garis berpotongan dengan garis transversal, jumlah sudut satu sisinya sama dengan 180 0, maka kedua garis tersebut sejajar.

Ulangi tanda ketiga garis sejajar sekali lagi dengan menggunakan sumber daya pendidikan elektronik « ».

Jadi, ketika membuktikan tanda pertama kesejajaran garis, digunakan sifat-sifat sudut yang berdekatan dan tanda pertama kesejajaran garis.

Tugas 3.

Tuliskan rumusan kriteria ketiga garis sejajar dan pembuktiannya di buku catatanmu.

Untuk berlatih memecahkan masalah sederhana, bekerjalah dengan materi sumber pendidikan elektronik « ».

Tanda-tanda kesejajaran garis digunakan dalam menyelesaikan masalah.

Sekarang perhatikan contoh penyelesaian masalah pada tanda garis sejajar, mengerjakan materi video pelajaran“Memecahkan masalah dengan topik “Tanda-tanda garis sejajar”.

Sekarang uji diri Anda dengan menyelesaikan tugas kontrol sumber daya pendidikan elektronik « ».

Siapa pun yang ingin bekerja lebih lanjut dengan solusi tersebut tugas yang kompleks, dapat bekerja dengan materi pelajaran video "Tugas tentang tanda-tanda paralelisme garis."

Sifat-sifat garis sejajar

Garis sejajar mempunyai sekumpulan sifat.

Anda akan mempelajari properti ini dengan menggunakan materi tutorial video "Sifat-sifat garis sejajar."

Jadi, fakta penting yang harus Anda ketahui adalah aksioma konkurensi.

Aksioma paralelisme. Melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, dimungkinkan untuk menggambar garis yang sejajar dengan garis tertentu, dan terlebih lagi, hanya satu garis.

Seperti yang Anda pelajari dari video tutorial, berdasarkan aksioma ini, dua konsekuensi dapat dirumuskan.

Akibat wajar 1. Jika suatu garis memotong salah satu garis sejajar, maka garis tersebut juga memotong garis sejajar lainnya.

Akibat wajar 2. Jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar satu sama lain.

Tugas 4.

Tuliskan rumusan akibat-akibat yang disebutkan dan pembuktiannya dalam buku catatanmu.

Sifat-sifat sudut yang dibentuk oleh garis sejajar dan garis transversal merupakan teorema yang berbanding terbalik dengan sifat-sifat yang bersesuaian.

Nah, dari video materi pelajaran anda mempelajari sifat-sifat sudut siku-siku.

Teorema 5 (teorema kebalikan dari kriteria pertama garis sejajar). Ketika dua garis sejajar berpotongan melintang, sudut-sudut yang terlibat adalah sama besar.

Tugas 5.

Ulangi properti pertama garis paralel sekali lagi dengan menggunakan sumber daya pendidikan elektronik « ».

Teorema 6 (teorema kebalikan dari kriteria kedua paralelisme garis). Ketika dua garis sejajar berpotongan, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Tugas 6.

Tuliskan pernyataan teorema ini dan pembuktiannya di buku catatanmu.

Ulangi properti kedua dari garis paralel sekali lagi dengan menggunakan sumber daya pendidikan elektronik « ».

Teorema 7 (teorema kebalikan dari kriteria ketiga paralelisme garis). Dua garis sejajar berpotongan, jumlah sudut satu sisinya adalah 180 0.

Tugas 7.

Tuliskan pernyataan teorema ini dan pembuktiannya di buku catatanmu.

Ulangi properti ketiga dari garis paralel sekali lagi dengan menggunakan sumber daya pendidikan elektronik « ».

Semua sifat garis sejajar juga digunakan dalam menyelesaikan masalah.

Pertimbangkan contoh-contoh tipikal pemecahan masalah dengan mengerjakan materi pelajaran video “Garis sejajar dan permasalahan pada sudut antara garis tersebut dan garis transversalnya.”

Tanda-tanda kesejajaran dua garis

Teorema 1. Jika, ketika dua garis berpotongan dengan garis potong:

    sudut bersilangan sama besar, atau

    sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau

    jumlah sudut satu sisinya adalah 180°

garis sejajar(Gbr. 1).

Bukti. Kami membatasi diri untuk membuktikan kasus 1.

Misalkan garis potong a dan b bersilangan dan sudut AB sama besar. Misalnya, ∠ 4 = ∠ 6. Mari kita buktikan bahwa a || B.

Misalkan garis a dan b tidak sejajar. Kemudian keduanya berpotongan di suatu titik M dan oleh karena itu, salah satu sudut 4 atau 6 adalah sudut luar segitiga ABM. Agar lebih pasti, misalkan ∠ 4 adalah sudut luar segitiga ABM, dan ∠ 6 adalah sudut dalam. Dari teorema sudut luar suatu segitiga diperoleh bahwa ∠ 4 lebih besar dari ∠ 6, dan hal ini bertentangan dengan syarat, yaitu garis a dan 6 tidak dapat berpotongan sehingga sejajar.

Akibat wajar 1. Dua garis berbeda pada suatu bidang yang tegak lurus terhadap garis yang sama adalah sejajar(Gbr. 2).

Komentar. Cara kita membuktikan kasus 1 Teorema 1 tadi disebut metode pembuktian dengan kontradiksi atau reduksi ke absurditas. Metode ini mendapat nama depannya karena pada awal argumentasi dibuat asumsi yang bertentangan (berlawanan) dengan apa yang perlu dibuktikan. Disebut mengarah pada absurditas karena dengan menalar berdasarkan asumsi yang dibuat, kita sampai pada suatu kesimpulan yang absurd (to the absurd). Menerima kesimpulan seperti itu memaksa kita untuk menolak asumsi yang dibuat di awal dan menerima asumsi yang perlu dibuktikan.

Tugas 1. Buatlah garis yang melalui titik M dan sejajar dengan garis a, tidak melalui titik M.

Larutan. Kita tarik garis lurus p melalui titik M yang tegak lurus terhadap garis lurus a (Gbr. 3).

Kemudian kita tarik garis b melalui titik M yang tegak lurus garis p. Garis b sejajar dengan garis a menurut akibat wajar Teorema 1.

Kesimpulan penting berikut dari masalah yang dipertimbangkan:
melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, selalu mungkin untuk menggambar garis yang sejajar dengan garis tersebut.

Sifat utama garis sejajar adalah sebagai berikut.

Aksioma garis sejajar. Melalui suatu titik tertentu yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis tersebut.

Mari kita perhatikan beberapa sifat garis sejajar yang mengikuti aksioma ini.

1) Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga memotong garis lainnya (Gbr. 4).

2) Jika dua garis berbeda sejajar dengan garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar (Gbr. 5).

Teorema berikut juga benar.

Teorema 2. Jika dua garis sejajar berpotongan dengan garis transversal, maka:

    sudut-sudut melintangnya sama besar;

    sudut-sudut yang bersesuaian sama besar;

    jumlah sudut satu sisi adalah 180°.

Akibat wajar 2. Jika suatu garis tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis lainnya(lihat Gambar 2).

Komentar. Teorema 2 disebut invers dari Teorema 1. Kesimpulan Teorema 1 merupakan syarat dari Teorema 2. Dan syarat dari Teorema 1 merupakan kesimpulan dari Teorema 2. Tidak semua teorema mempunyai invers, yaitu jika teorema ini kalau begitu, itu benar teorema kebalikan mungkin salah.

Mari kita jelaskan dengan menggunakan contoh teorema sudut vertikal. Teorema ini dapat dirumuskan sebagai berikut: jika dua sudut tegak lurus, maka keduanya sama besar. Teorema kebalikannya adalah: jika dua sudut sama besar, maka keduanya vertikal. Dan ini tentu saja tidak benar. Dua sudut yang sama tidak harus vertikal sama sekali.

Contoh 1. Dua garis sejajar berpotongan sepertiga. Diketahui selisih dua sudut sepihak dalam adalah 30°. Temukan sudut-sudut ini.

Larutan. Biarkan Gambar 6 memenuhi kondisi tersebut.

Pada artikel kali ini kita akan membahas tentang garis sejajar, memberikan definisi, dan menguraikan tanda dan syarat paralelisme. Untuk memperjelas materi teoritis, kami akan menggunakan ilustrasi dan solusi contoh-contoh tipikal.

Definisi 1

Garis sejajar pada bidang datar– dua garis lurus pada suatu bidang yang tidak mempunyai titik persekutuan.

Definisi 2

Garis sejajar dalam ruang tiga dimensi– dua garis lurus dalam ruang tiga dimensi, terletak pada bidang yang sama dan tidak mempunyai titik persekutuan.

Perlu diperhatikan bahwa untuk menentukan garis sejajar dalam ruang, klarifikasi “terletak pada bidang yang sama” sangatlah penting: dua garis dalam ruang tiga dimensi yang tidak mempunyai titik persekutuan dan tidak terletak pada bidang yang sama adalah tidak sejajar. , tapi berpotongan.

Untuk menunjukkan garis sejajar, biasanya digunakan simbol ∥. Artinya, jika garis a dan b sejajar, maka kondisi ini harus ditulis secara singkat sebagai berikut: a ‖ b. Secara lisan kesejajaran garis dinotasikan sebagai berikut: garis a dan b sejajar, atau garis a sejajar dengan garis b, atau garis b sejajar dengan garis a.

Mari kita rumuskan suatu pernyataan yang mempunyai peranan penting dalam topik yang sedang dipelajari.

Aksioma

Melalui suatu titik yang tidak termasuk dalam suatu garis tertentu melewati satu-satunya garis lurus yang sejajar dengan garis tersebut. Pernyataan ini tidak dapat dibuktikan berdasarkan aksioma planimetri yang diketahui.

Jika kita berbicara tentang ruang, teorema berikut ini benar:

Teorema 1

Melalui titik mana pun dalam ruang yang tidak termasuk dalam suatu garis tertentu, akan ada satu garis lurus yang sejajar dengan garis tersebut.

Teorema ini mudah dibuktikan berdasarkan aksioma di atas (program geometri untuk kelas 10 - 11).

Kriteria paralelisme merupakan syarat cukup yang pemenuhannya menjamin paralelisme garis. Dengan kata lain, terpenuhinya syarat ini cukup untuk menegaskan fakta paralelisme.

Secara khusus, terdapat kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis pada bidang dan ruang. Mari kita jelaskan: perlu berarti syarat yang pemenuhannya diperlukan untuk garis sejajar; jika tidak terpenuhi maka garis-garisnya tidak sejajar.

Ringkasnya, syarat perlu dan cukup untuk kesejajaran garis adalah syarat yang perlu dan cukup dipenuhi agar garis-garis sejajar satu sama lain. Di satu sisi, ini adalah tanda paralelisme, di sisi lain, ini adalah sifat yang melekat pada garis sejajar.

Sebelum memberikan rumusan pasti tentang syarat perlu dan syarat cukup, mari kita ingat kembali beberapa konsep tambahan.

Definisi 3

Garis potong– garis lurus yang memotong masing-masing dua garis lurus yang tidak berhimpitan.

Memotong dua garis lurus, sebuah garis transversal membentuk delapan sudut yang belum berkembang. Untuk merumuskan syarat perlu dan syarat cukup, kita akan menggunakan jenis sudut bersilangan, bersesuaian, dan satu sisi. Mari kita tunjukkan dalam ilustrasi:

Teorema 2

Jika dua garis pada suatu bidang berpotongan dengan garis transversal, maka agar garis-garis tersebut sejajar, sudut-sudut yang berpotongan harus sama besar, atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau jumlah sudut satu sisi sama dengan 180 derajat.

Mari kita ilustrasikan secara grafis kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis pada suatu bidang:

Bukti kondisi tersebut terdapat pada program geometri untuk kelas 7 – 9.

Secara umum, kondisi ini juga berlaku untuk ruang tiga dimensi, asalkan dua garis dan satu garis potong berada pada bidang yang sama.

Mari kita tunjukkan beberapa teorema lagi yang sering digunakan untuk membuktikan fakta bahwa garis sejajar.

Teorema 3

Pada sebuah bidang, dua garis yang sejajar dengan garis ketiga sejajar satu sama lain. Ciri ini dibuktikan berdasarkan aksioma paralelisme yang ditunjukkan di atas.

Teorema 4

Dalam ruang tiga dimensi, dua garis yang sejajar dengan garis ketiga sejajar satu sama lain.

Pembuktian suatu tanda dipelajari pada kurikulum geometri kelas 10.

Mari kita beri ilustrasi teorema ini:

Mari kita tunjukkan satu pasang teorema lagi yang membuktikan paralelisme garis.

Teorema 5

Pada sebuah bidang, dua garis yang tegak lurus sepertiga sejajar satu sama lain.

Mari kita rumuskan hal serupa untuk ruang tiga dimensi.

Teorema 6

Dalam ruang tiga dimensi, dua garis yang tegak lurus sepertiga sejajar satu sama lain.

Mari kita ilustrasikan:

Semua teorema, tanda, dan kondisi di atas memungkinkan pembuktian paralelisme garis dengan mudah menggunakan metode geometri. Artinya, untuk membuktikan kesejajaran garis, seseorang dapat menunjukkan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau menunjukkan fakta bahwa dua garis tertentu tegak lurus terhadap garis ketiga, dan seterusnya. Namun perhatikan bahwa seringkali lebih mudah menggunakan metode koordinat untuk membuktikan paralelisme garis pada bidang atau ruang tiga dimensi.

Paralelisme garis pada sistem koordinat persegi panjang

Dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu, garis lurus ditentukan oleh persamaan garis lurus pada bidang dari salah satu jenis yang mungkin. Demikian pula, garis lurus yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi berhubungan dengan beberapa persamaan garis lurus dalam ruang.

Mari kita tuliskan syarat-syarat perlu dan cukup untuk kesejajaran garis-garis dalam sistem koordinat persegi panjang bergantung pada jenis persamaan yang menggambarkan garis-garis tersebut.

Mari kita mulai dengan kondisi paralelisme garis pada suatu bidang. Hal ini didasarkan pada definisi vektor arah suatu garis dan vektor normal suatu garis pada suatu bidang.

Teorema 7

Agar dua garis yang tidak berhimpitan sejajar pada suatu bidang, vektor-vektor arah dari garis-garis tertentu harus segaris, atau vektor-vektor normal dari garis-garis tersebut adalah segaris, atau vektor arah suatu garis tegak lurus terhadap vektor normal garis lainnya.

Jelaslah bahwa syarat kesejajaran garis pada suatu bidang didasarkan pada syarat kolinearitas vektor atau syarat tegak lurus dua vektor. Artinya, jika a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) adalah vektor arah garis a dan b ;

dan n b → = (n b x , n b y) adalah vektor normal garis a dan b, maka syarat perlu dan cukup di atas kita tuliskan sebagai berikut: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y atau n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y atau a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , dimana t adalah bilangan real. Koordinat pemandu atau vektor lurus ditentukan oleh persamaan garis lurus yang diberikan. Mari kita lihat contoh utamanya.

  1. Lurus a dalam sistem koordinat persegi panjang didefinisikan persamaan umum garis lurus: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; garis lurus b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Maka vektor-vektor normal dari garis-garis tersebut masing-masing mempunyai koordinat (A 1, B 1) dan (A 2, B 2). Kondisi paralelismenya kita tuliskan sebagai berikut:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

  1. Garis a digambarkan dengan persamaan garis yang kemiringannya berbentuk y = k 1 x + b 1 . Garis lurus b - y = k 2 x + b 2. Maka vektor-vektor normal dari garis-garis tersebut masing-masing mempunyai koordinat (k 1, - 1) dan (k 2, - 1), dan kita tuliskan kondisi paralelismenya sebagai berikut:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Jadi, jika garis-garis sejajar pada suatu bidang dalam sistem koordinat persegi panjang diberikan oleh persamaan dengan koefisien sudut, maka koefisien sudut garis-garis tersebut akan sama. Dan pernyataan sebaliknya yang benar: jika garis-garis yang tidak berhimpitan pada suatu bidang dalam sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan garis dengan koefisien sudut yang sama, maka garis-garis tersebut sejajar.

  1. Garis a dan b pada sistem koordinat persegi panjang ditentukan dengan persamaan kanonik garis pada bidang: x - x 1 a x = y - y 1 a y dan x - x 2 b x = y - y 2 b y atau dengan persamaan parametrik garis pada bidang: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y dan x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Maka vektor-vektor arah dari garis-garis tersebut masing-masing adalah: a x, a y dan b x, b y, dan kita tuliskan kondisi paralelismenya sebagai berikut:

ax = tbx ay = tb y

Mari kita lihat contohnya.

Contoh 1

Diberikan dua garis: 2 x - 3 y + 1 = 0 dan x 1 2 + y 5 = 1. Penting untuk menentukan apakah keduanya paralel.

Larutan

Mari kita tuliskan persamaan garis lurus dalam ruas-ruas dalam bentuk persamaan umum:

x 1 2 + kamu 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 kamu - 1 = 0

Kita lihat bahwa n a → = (2, - 3) adalah vektor normal garis 2 x - 3 y + 1 = 0, dan n b → = 2, 1 5 adalah vektor normal garis x 1 2 + y 5 = 1.

Vektor-vektor yang dihasilkan tidak segaris, karena tidak ada nilai tat yang persamaannya akan benar:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Dengan demikian, syarat perlu dan cukup agar kesejajaran garis pada suatu bidang tidak terpenuhi, artinya garis-garis tersebut tidak sejajar.

Menjawab: garis-garis yang diberikan tidak sejajar.

Contoh 2

Diberikan garis y = 2 x + 1 dan x 1 = y - 4 2. Apakah keduanya paralel?

Larutan

Mari kita ubah persamaan kanonik garis lurus x 1 = y - 4 2 menjadi persamaan garis lurus dengan kemiringan:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Kita melihat bahwa persamaan garis y = 2 x + 1 dan y = 2 x + 4 tidak sama (jika sebaliknya, garis-garisnya akan berhimpitan) dan koefisien sudut garis-garisnya sama, yang berarti garis-garis tertentu sejajar.

Mari kita coba menyelesaikan masalah ini secara berbeda. Pertama, mari kita periksa apakah garis-garis yang diberikan bertepatan. Kita gunakan sembarang titik pada garis y = 2 x + 1, misalnya (0, 1), koordinat titik tersebut tidak sesuai dengan persamaan garis x 1 = y - 4 2, artinya garis-garis tersebut sesuai tidak bertepatan.

Langkah selanjutnya adalah menentukan apakah kondisi paralelisme garis-garis tertentu terpenuhi.

Vektor normal garis y = 2 x + 1 adalah vektor na → = (2 , - 1) , dan vektor arah garis kedua adalah b → = (1 , 2) . Produk skalar dari vektor-vektor ini sama dengan nol:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Jadi, vektor-vektornya tegak lurus: ini menunjukkan kepada kita terpenuhinya kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis asli. Itu. garis-garis yang diberikan sejajar.

Menjawab: garis-garis ini sejajar.

Untuk membuktikan kesejajaran garis pada sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi digunakan syarat perlu dan syarat cukup sebagai berikut.

Teorema 8

Agar dua garis yang tidak berhimpitan dalam ruang tiga dimensi menjadi sejajar, vektor-vektor arah garis-garis tersebut harus segaris dan cukup.

Itu. Mengingat persamaan garis-garis dalam ruang tiga dimensi, jawaban atas pertanyaan sejajar atau tidak ditemukan dengan menentukan koordinat vektor-vektor arah garis-garis tersebut, serta memeriksa kondisi kolinearitasnya. Dengan kata lain, jika a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) masing-masing adalah vektor arah garis lurus a dan b, maka agar keduanya sejajar, maka harus ada seperti bilangan real t agar persamaan tetap berlaku:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Contoh 3

Diberikan garis x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 dan x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Kita perlu membuktikan paralelisme garis-garis ini.

Larutan

Kondisi permasalahan diberikan persamaan kanonik satu garis lurus dalam ruang dan persamaan parametrik garis lain di ruang angkasa. Vektor panduan sebuah → dan b → garis-garis tertentu mempunyai koordinat: (1, 0, - 3) dan (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , maka a → = 1 2 · b → .

Oleh karena itu, syarat perlu dan syarat cukup bagi kesejajaran garis-garis dalam ruang terpenuhi.

Menjawab: paralelisme garis-garis yang diberikan terbukti.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

1. Jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar:

Jika A||C Dan B||C, Itu A||B.

2. Jika dua garis tegak lurus terhadap garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar:

Jika A⊥C Dan B⊥C, Itu A||B.

Tanda-tanda paralelisme garis lainnya didasarkan pada sudut yang terbentuk ketika dua garis lurus berpotongan dengan garis ketiga.

3. Jika jumlah sudut dalam satu sisi adalah 180°, maka garis-garisnya sejajar:

Jika ∠1 + ∠2 = 180°, maka A||B.

4. Jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka garis-garisnya sejajar:

Jika ∠2 = ∠4, maka A||B.

5. Jika sudut-sudut dalam bersilangan sama besar, maka garis-garisnya sejajar:

Jika ∠1 = ∠3, maka A||B.

Sifat-sifat garis sejajar

Pernyataan tanda-tanda yang berlawanan paralelisme garis adalah sifat-sifatnya. Mereka didasarkan pada sifat-sifat sudut yang dibentuk oleh perpotongan dua garis sejajar dengan garis ketiga.

1. Ketika dua garis sejajar memotong garis ketiga, jumlah sudut satu sisi dalam yang dibentuk oleh kedua garis tersebut sama dengan 180°:

Jika A||B, maka ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Ketika dua garis sejajar memotong garis ketiga, sudut-sudut bersesuaian yang dibentuk oleh kedua garis tersebut adalah sama besar:

Jika A||B, maka ∠2 = ∠4.

3. Ketika dua garis sejajar memotong garis ketiga, sudut bersilangan yang dibentuknya adalah sama besar:

Jika A||B, maka ∠1 = ∠3.

Properti berikut ini merupakan kasus khusus untuk setiap properti sebelumnya:

4. Jika sebuah garis pada suatu bidang tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis yang lain:

Jika A||B Dan C⊥A, Itu C⊥B.

Sifat kelima adalah aksioma garis sejajar:

5. Melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, hanya satu garis yang dapat ditarik sejajar dengan garis tersebut.

BAB III.
LANGSUNG PARALEL

§ 35. TANDA DUA GARIS PARALEL.

Teorema dua garis tegak lurus pada satu garis sejajar (§ 33) memberikan tanda bahwa dua garis sejajar. Anda dapat menarik lebih banyak tanda-tanda umum paralelisme dua garis.

1. Tanda pertama paralelisme.

Jika, ketika dua garis lurus memotong garis ketiga, sudut-sudut dalam yang terletak bersilangan adalah sama besar, maka garis-garis tersebut sejajar.

Misalkan garis lurus AB dan CD berpotongan dengan garis lurus EF dan / 1 = / 2. Ambil titik O - bagian tengah ruas KL dari garis potong EF (Gbr. 189).

Mari kita turunkan garis tegak lurus OM dari titik O ke garis lurus AB dan lanjutkan sampai berpotongan dengan garis lurus CD, AB_|_MN. Mari kita buktikan CD_|_MN itu.
Untuk melakukan ini, pertimbangkan dua segitiga: MOE dan NOK. Segitiga-segitiga ini sama besar satu sama lain. Memang: / 1 = / 2 menurut ketentuan teorema; ОK = ОL - berdasarkan konstruksi;
/ MOL = / NOK, seperti sudut vertikal. Jadi, sisi dan dua sudut yang berdekatan pada suatu segitiga masing-masing sama dengan sisi dan dua sudut yang berdekatan pada segitiga lainnya; karena itu, /\ MOL = /\ NOK, dan karenanya
/ LMO = / TAHU, tapi / LMO itu langsung yang artinya / KNO juga lurus. Jadi garis AB dan CD tegak lurus terhadap garis MN yang sama, oleh karena itu sejajar (§ 33), itu yang perlu dibuktikan.

Catatan. Perpotongan garis lurus MO dan CD dapat ditentukan dengan memutar segitiga MOL mengelilingi titik O sebesar 180°.

2. Tanda paralelisme yang kedua.

Mari kita lihat apakah garis lurus AB dan CD sejajar jika, ketika keduanya memotong garis lurus ketiga EF, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Misalkan beberapa sudut yang bersesuaian sama besar / 3 = / 2 (gambar 190);
/ 3 = / 1, karena sudutnya vertikal; Cara, / 2 akan sama / 1. Tetapi sudut 2 dan 1 merupakan sudut dalam yang berpotongan, dan kita telah mengetahui bahwa jika dua garis lurus memotong garis ketiga, sudut dalam yang berpotongan sama besar, maka garis-garis tersebut sejajar. Oleh karena itu AB || CD.

Jika dua garis berpotongan dengan garis ketiga, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua garis tersebut sejajar.

Konstruksi garis sejajar menggunakan penggaris dan gambar segitiga didasarkan pada sifat ini. Ini dilakukan sebagai berikut.

Mari kita tempelkan segitiga pada penggaris seperti yang ditunjukkan pada gambar 191. Kita akan memindahkan segitiga tersebut sehingga salah satu sisinya meluncur di sepanjang penggaris, dan menggambar beberapa garis lurus di sepanjang sisi segitiga yang lain. Garis-garis ini akan sejajar.

3. Tanda ketiga paralelisme.

Diketahui bahwa ketika dua garis lurus AB dan CD berpotongan dengan garis lurus ketiga, jumlah sudut dalam satu sisi sama dengan 2 D(atau 180°). Akankah garis lurus AB dan CD sejajar dalam kasus ini (Gbr. 192).

Membiarkan / 1 dan / 2 adalah sudut satu sisi dalam dan jumlahnya menjadi 2 D.
Tetapi / 3 + / 2 = 2D sebagai sudut yang berdekatan. Karena itu, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Dari sini / 1 = / 3, dan sudut-sudut dalam ini terletak melintang. Oleh karena itu AB || CD.

Jika, ketika dua garis lurus memotong garis ketiga, jumlah sudut dalam satu sisi sama dengan 2 d, maka kedua garis tersebut sejajar.

Latihan.

Buktikan bahwa garis-garis tersebut sejajar:
a) jika sudut melintang luar sama besar (Gbr. 193);
b) jika jumlah sudut luar satu sisi sama dengan 2 D(gambar 194).