Pertidaksamaan dan sistem pertidaksamaan merupakan salah satu topik yang dibahas dalam aljabar di sekolah menengah. Dari segi tingkat kesulitan, ini bukan yang paling sulit, karena aturannya sederhana (lebih lanjut tentangnya nanti). Biasanya, anak-anak sekolah belajar memecahkan sistem ketidaksetaraan dengan cukup mudah. Hal ini juga disebabkan oleh kenyataan bahwa guru hanya “melatih” siswanya tentang topik ini. Dan mereka mau tidak mau melakukan hal ini, karena kedepannya dipelajari dengan menggunakan besaran matematika lainnya, dan juga diujikan pada UN Unified State dan UN Unified State. Dalam buku pelajaran sekolah, topik ketimpangan dan sistem ketimpangan dibahas dengan sangat rinci, jadi jika Anda ingin mempelajarinya, sebaiknya gunakan topik tersebut. Artikel ini hanya merangkum materi yang lebih besar dan mungkin ada beberapa kekurangan.

Konsep sistem ketidaksetaraan

Jika kita beralih ke bahasa ilmiah, kita dapat mendefinisikan konsep “sistem ketidaksetaraan”. Ini adalah model matematika yang mewakili beberapa ketidaksetaraan. Model ini tentunya memerlukan penyelesaian, dan ini akan menjadi jawaban umum untuk semua pertidaksamaan sistem yang diajukan dalam tugas (biasanya tertulis di dalamnya, misalnya: “Selesaikan sistem pertidaksamaan 4 x + 1 > 2 dan 30 - x > 6... "). Namun, sebelum beralih ke jenis dan metode penyelesaian, Anda perlu memahami hal lain.

Sistem pertidaksamaan dan sistem persamaan

Saat mempelajari suatu topik baru, sering terjadi kesalahpahaman. Di satu sisi, semuanya jelas dan Anda ingin mulai menyelesaikan tugas sesegera mungkin, namun di sisi lain, beberapa momen masih dalam "bayangan" dan tidak sepenuhnya dipahami. Selain itu, beberapa elemen pengetahuan yang telah diperoleh mungkin terkait dengan elemen baru. Akibat “tumpang tindih” ini, sering terjadi kesalahan.

Oleh karena itu, sebelum kita mulai menganalisis topik kita, kita harus mengingat perbedaan antara persamaan dan pertidaksamaan serta sistemnya. Untuk melakukan ini, kita perlu sekali lagi menjelaskan apa yang diwakili oleh konsep-konsep matematika ini. Persamaan selalu merupakan persamaan, dan selalu sama dengan sesuatu (dalam matematika kata ini dilambangkan dengan tanda "="). Ketimpangan adalah model di mana suatu nilai lebih besar atau lebih kecil dari nilai lainnya, atau mengandung pernyataan bahwa keduanya tidak sama. Jadi, dalam kasus pertama, adalah tepat untuk berbicara tentang kesetaraan, dan dalam kasus kedua, betapapun jelasnya kedengarannya dari namanya, tentang ketidaksetaraan data awal. Sistem persamaan dan pertidaksamaan praktis tidak berbeda satu sama lain dan cara penyelesaiannya sama. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa dalam kasus pertama persamaan digunakan, dan dalam kasus kedua digunakan ketidaksetaraan.

Jenis-jenis ketidaksetaraan

Ada dua jenis pertidaksamaan: numerik dan dengan variabel yang tidak diketahui. Tipe pertama merepresentasikan besaran (angka) yang tidak sama satu sama lain, misalnya 8 > 10. Tipe kedua adalah pertidaksamaan yang mengandung variabel yang tidak diketahui (dilambangkan dengan huruf alfabet Latin, paling sering X). Variabel ini perlu ditemukan. Tergantung pada jumlahnya, model matematika membedakan antara pertidaksamaan dengan satu (membentuk sistem pertidaksamaan dengan satu variabel) atau beberapa variabel (membentuk sistem pertidaksamaan dengan beberapa variabel).

Dua jenis terakhir, menurut tingkat konstruksinya dan tingkat kerumitan solusinya, dibagi menjadi sederhana dan kompleks. Pertidaksamaan sederhana disebut juga pertidaksamaan linier. Mereka, pada gilirannya, dibagi menjadi ketat dan tidak ketat. Yang ketat secara khusus “mengatakan” bahwa suatu besaran harus lebih kecil atau lebih besar, jadi ini adalah ketimpangan murni. Beberapa contoh dapat diberikan: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, dst. Yang tidak ketat juga mencakup kesetaraan. Artinya, suatu nilai bisa lebih besar atau sama dengan nilai lain (tanda “≥”) atau lebih kecil atau sama dengan nilai lain (tanda “≤”). Bahkan dalam pertidaksamaan linier, variabelnya tidak berada pada akar, kuadrat, atau habis dibagi apa pun, oleh karena itu disebut “sederhana”. Yang kompleks melibatkan variabel yang tidak diketahui yang memerlukan lebih banyak matematika untuk menemukannya. Mereka sering terletak di persegi, kubus atau di bawah akar, mereka dapat berbentuk modular, logaritmik, pecahan, dll. Namun karena tugas kita adalah kebutuhan untuk memahami solusi sistem pertidaksamaan, kita akan berbicara tentang sistem pertidaksamaan linier . Namun, sebelum itu, beberapa kata harus disampaikan tentang propertinya.

Sifat-sifat ketidaksetaraan

Sifat-sifat ketidaksetaraan antara lain sebagai berikut:

  1. Tanda pertidaksamaan dibalik jika suatu operasi digunakan untuk mengubah urutan sisi-sisinya (misalnya, jika t 1 ≤ t 2, maka t 2 ≥ t 1).
  2. Kedua ruas pertidaksamaan memungkinkan Anda menjumlahkan bilangan yang sama ke bilangan itu sendiri (misalnya, jika t 1 ≤ t 2, maka t 1 + bilangan ≤ t 2 + bilangan).
  3. Dua atau lebih pertidaksamaan yang bertanda searah memungkinkan penjumlahan ruas kiri dan kanannya (misalnya, jika t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, maka t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
  4. Kedua bagian pertidaksamaan tersebut dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama (misalnya, jika t 1 ≤ t 2 dan suatu bilangan ≤ 0, maka bilangan · t 1 ≥ bilangan · t 2).
  5. Dua atau lebih pertidaksamaan yang suku-sukunya positif dan bertanda searah dapat dikalikan satu sama lain (misalnya, jika t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 maka t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
  6. Kedua bagian pertidaksamaan boleh dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, tetapi dalam hal ini tanda pertidaksamaannya berubah (misalnya, jika t 1 ≤ t 2 dan suatu bilangan ≤ 0, maka bilangan tersebut · t 1 ≥ angka · t 2).
  7. Semua pertidaksamaan mempunyai sifat transitivitas (misalnya, jika t 1 ≤ t 2 dan t 2 ≤ t 3, maka t 1 ≤ t 3).

Kini, setelah mempelajari prinsip-prinsip dasar teori terkait ketimpangan, kita bisa langsung membahas aturan-aturan penyelesaian sistemnya.

Memecahkan sistem ketidaksetaraan. Informasi Umum. Solusi

Seperti disebutkan di atas, solusinya adalah nilai-nilai variabel yang sesuai untuk semua pertidaksamaan sistem yang diberikan. Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah penerapan operasi matematika yang pada akhirnya menghasilkan solusi untuk keseluruhan sistem atau membuktikan bahwa sistem tersebut tidak mempunyai solusi. Dalam hal ini, variabel tersebut dikatakan termasuk dalam himpunan numerik kosong (ditulis sebagai berikut: huruf yang menunjukkan variabel∈ (tanda “milik”) ø (tanda “himpunan kosong”), misalnya x ∈ ø (baca: “Variabel “x” termasuk himpunan kosong”). Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan: grafis, aljabar, metode substitusi. Perlu dicatat bahwa mereka mengacu pada model matematika yang memiliki beberapa variabel yang tidak diketahui. Jika hanya ada satu, metode interval cocok.

Metode grafis

Memungkinkan Anda menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan beberapa besaran yang tidak diketahui (dari dua ke atas). Berkat metode ini, sistem pertidaksamaan linier dapat diselesaikan dengan cukup mudah dan cepat, sehingga merupakan metode yang paling umum. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa membuat grafik mengurangi jumlah penulisan operasi matematika. Sangat menyenangkan untuk beristirahat sejenak dari pena, mengambil pensil dengan penggaris dan memulai tindakan lebih lanjut dengan bantuan mereka ketika banyak pekerjaan telah dilakukan dan Anda menginginkan sedikit variasi. Namun, beberapa orang tidak menyukai metode ini karena mereka harus melepaskan diri dari tugas dan mengalihkan aktivitas mentalnya ke menggambar. Namun, ini adalah cara yang sangat efektif.

Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan menggunakan metode grafis, semua suku dari setiap pertidaksamaan perlu dipindahkan ke ruas kirinya. Tandanya akan dibalik, nol harus ditulis di sebelah kanan, kemudian setiap pertidaksamaan harus ditulis terpisah. Akibatnya, fungsi akan diperoleh dari pertidaksamaan. Setelah ini, Anda bisa mengeluarkan pensil dan penggaris: sekarang Anda perlu menggambar grafik dari setiap fungsi yang diperoleh. Seluruh himpunan bilangan yang berada pada selang perpotongannya akan menjadi penyelesaian sistem pertidaksamaan.

cara aljabar

Memungkinkan Anda menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui. Selain itu, pertidaksamaan juga harus mempunyai tanda pertidaksamaan yang sama (artinya, pertidaksamaan tersebut hanya boleh memuat tanda “lebih besar dari”, atau hanya tanda “kurang dari”, dsb.). Walaupun terdapat keterbatasan, metode ini juga lebih rumit. Itu diterapkan dalam dua tahap.

Yang pertama melibatkan tindakan untuk menghilangkan salah satu variabel yang tidak diketahui. Pertama Anda perlu memilihnya, lalu periksa keberadaan angka di depan variabel ini. Jika tidak ada (maka variabelnya akan terlihat seperti satu huruf), maka kita tidak mengubah apa pun, jika ada (jenis variabelnya misalnya 5y atau 12y), maka perlu dibuat yakin bahwa pada setiap pertidaksamaan, angka di depan variabel yang dipilih adalah sama. Untuk melakukannya, Anda perlu mengalikan setiap suku pertidaksamaan dengan faktor persekutuan, misalnya jika 3y ditulis pada pertidaksamaan pertama, dan 5y pada pertidaksamaan kedua, maka Anda perlu mengalikan semua suku pertidaksamaan pertama dengan 5 , dan yang kedua dengan 3. Hasilnya berturut-turut adalah 15y dan 15y.

Solusi tahap kedua. Ruas kiri setiap pertidaksamaan harus dipindahkan ke ruas kanannya, mengubah tanda setiap suku menjadi kebalikannya, dan menulis nol di sebelah kanan. Kemudian tibalah bagian yang menyenangkan: menghilangkan variabel yang dipilih (atau dikenal sebagai “pengurangan”) sambil menambahkan pertidaksamaan. Hal ini mengakibatkan adanya ketimpangan dengan satu variabel yang perlu diselesaikan. Setelah ini, Anda harus melakukan hal yang sama, hanya dengan variabel lain yang tidak diketahui. Hasil yang diperoleh akan menjadi solusi sistem.

Metode substitusi

Memungkinkan Anda menyelesaikan sistem pertidaksamaan jika memungkinkan untuk memasukkan variabel baru. Biasanya, metode ini digunakan jika variabel yang tidak diketahui pada satu suku pertidaksamaan dipangkatkan keempat, dan pada suku lainnya dikuadratkan. Dengan demikian, cara ini bertujuan untuk mengurangi derajat kesenjangan dalam sistem. Pertidaksamaan sampel x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 diselesaikan dengan cara ini. Variabel baru diperkenalkan, misalnya t. Mereka menulis: “Misalkan t = x 2,” kemudian model tersebut ditulis ulang dalam bentuk baru. Dalam kasus kita, kita mendapatkan t 2 - t - 1 ≤0. Pertidaksamaan ini perlu diselesaikan dengan menggunakan metode interval (lebih lanjut nanti), lalu kembali ke variabel X, lalu lakukan hal yang sama dengan pertidaksamaan lainnya. Jawaban yang diterima akan menjadi solusi sistem.

Metode interval

Ini adalah cara paling sederhana untuk menyelesaikan sistem kesenjangan, dan sekaligus bersifat universal dan tersebar luas. Ini digunakan di sekolah menengah dan bahkan di sekolah tinggi. Esensinya terletak pada siswa mencari interval pertidaksamaan pada garis bilangan yang digambar di buku catatan (ini bukan grafik, melainkan hanya garis biasa dengan angka). Jika interval pertidaksamaan berpotongan, penyelesaian sistem akan ditemukan. Untuk menggunakan metode interval, Anda perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

  1. Semua suku setiap pertidaksamaan dipindahkan ke ruas kiri dengan tanda berubah ke arah sebaliknya (di sebelah kanan ditulis nol).
  2. Pertidaksamaan dituliskan secara terpisah, dan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan ditentukan.
  3. Perpotongan pertidaksamaan pada garis bilangan ditemukan. Semua bilangan yang terletak pada perpotongan tersebut akan menjadi penyelesaian.

Metode mana yang harus saya gunakan?

Jelas salah satu yang tampaknya paling mudah dan nyaman, tetapi ada kalanya tugas memerlukan metode tertentu. Paling sering mereka mengatakan bahwa Anda perlu menyelesaikannya menggunakan metode grafik atau interval. Metode aljabar dan substitusi sangat jarang digunakan atau tidak digunakan sama sekali, karena cukup rumit dan membingungkan, selain itu, metode ini lebih banyak digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan daripada pertidaksamaan, jadi Anda harus menggunakan menggambar grafik dan interval. Mereka memberikan kejelasan, yang tidak bisa tidak berkontribusi pada pelaksanaan operasi matematika yang efisien dan cepat.

Jika sesuatu tidak berhasil

Saat mempelajari topik tertentu dalam aljabar, tentu saja ada masalah dengan pemahamannya. Dan hal ini wajar, karena otak kita dirancang sedemikian rupa sehingga tidak mampu memahami materi yang kompleks sekaligus. Seringkali Anda perlu membaca ulang sebuah paragraf, meminta bantuan dari guru, atau berlatih menyelesaikan tugas-tugas standar. Dalam kasus kita, persamaannya terlihat seperti ini: “Selesaikan sistem pertidaksamaan 3 x + 1 ≥ 0 dan 2 x - 1 > 3.” Jadi, keinginan pribadi, bantuan dari pihak luar, dan latihan membantu dalam memahami topik yang kompleks.

Pemecah?

Buku solusi juga sangat cocok, tapi bukan untuk menyalin pekerjaan rumah, tapi untuk membantu diri sendiri. Di dalamnya Anda dapat menemukan sistem ketidaksetaraan dengan solusi, melihatnya (sebagai templat), mencoba memahami dengan tepat bagaimana pembuat solusi mengatasi tugas tersebut, dan kemudian mencoba melakukan hal yang sama sendiri.

kesimpulan

Aljabar adalah salah satu mata pelajaran tersulit di sekolah. Nah, apa yang bisa kamu lakukan? Matematika selalu seperti ini: bagi sebagian orang mudah, tetapi bagi sebagian lainnya sulit. Namun bagaimanapun juga, harus diingat bahwa program pendidikan umum disusun sedemikian rupa sehingga setiap siswa dapat mengatasinya. Selain itu, kita harus ingat banyaknya jumlah asisten. Beberapa di antaranya telah disebutkan di atas.

Menyelesaikan pertidaksamaan dua variabel, dan terlebih lagi sistem pertidaksamaan dengan dua variabel, tampaknya merupakan tugas yang cukup sulit. Namun, ada algoritma sederhana yang membantu memecahkan masalah yang tampaknya sangat kompleks dengan mudah dan tanpa banyak usaha. Mari kita coba mencari tahu.

Mari kita buat pertidaksamaan dengan dua variabel yang salah satu tipenya berikut ini:

kamu > f(x); y ≥ f(x); kamu< f(x); y ≤ f(x).

Untuk menggambarkan himpunan solusi pertidaksamaan tersebut pada bidang koordinat, lakukan sebagai berikut:

1. Kita membuat grafik fungsi y = f(x), yang membagi bidang menjadi dua daerah.

2. Kami memilih salah satu area yang dihasilkan dan mempertimbangkan titik sembarang di dalamnya. Kami memeriksa kelayakan pertidaksamaan awal untuk poin ini. Jika pengujian menghasilkan pertidaksamaan numerik yang benar, maka kita menyimpulkan bahwa pertidaksamaan awal terpenuhi di seluruh wilayah tempat titik yang dipilih berada. Jadi, himpunan solusi pertidaksamaan tersebut adalah wilayah tempat titik yang dipilih berada. Jika hasil pemeriksaannya adalah pertidaksamaan numerik yang salah, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah daerah kedua yang tidak termasuk dalam titik yang dipilih.

3. Jika pertidaksamaannya tegas, maka batas daerah yaitu titik-titik grafik fungsi y = f(x) tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian dan batas tersebut digambarkan dengan garis putus-putus. Jika pertidaksamaan tidak tegas, maka batas-batas daerah, yaitu titik-titik grafik fungsi y = f(x), termasuk dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut dan batas dalam hal ini digambarkan sebagai garis padat.
Sekarang mari kita lihat beberapa masalah pada topik ini.

Tugas 1.

Himpunan poin apa yang diberikan oleh pertidaksamaan x · kamu ≤ 4?

Larutan.

1) Kita buat grafik persamaan x · y = 4. Untuk melakukannya, kita transformasikan terlebih dahulu. Jelasnya, x dalam kasus ini tidak berubah menjadi 0, karena jika tidak, kita akan mendapatkan 0 · y = 4, dan ini tidak benar. Ini berarti kita dapat membagi persamaan kita dengan x. Kita peroleh: y = 4/x. Grafik fungsi ini adalah hiperbola. Ini membagi seluruh bidang menjadi dua wilayah: wilayah di antara dua cabang hiperbola dan wilayah di luarnya.

2) Mari kita pilih titik sembarang dari daerah pertama, misalkan titik (4; 2).
Mari kita periksa pertidaksamaannya: 4 · 2 ≤ 4 – salah.

Artinya titik-titik pada daerah tersebut tidak memenuhi pertidaksamaan awal. Kemudian kita dapat menyimpulkan bahwa himpunan solusi pertidaksamaan tersebut adalah daerah kedua yang tidak termasuk dalam titik yang dipilih.

3) Karena pertidaksamaannya tidak tegas, maka kita gambarkan titik-titik batasnya, yaitu titik-titik grafik fungsi y = 4/x, dengan garis padat.

Mari kita warnai himpunan titik yang menentukan pertidaksamaan awal dengan warna kuning (Gbr. 1).

Tugas 2.

Gambarlah luas yang ditentukan pada bidang koordinat oleh sistem
( kamu > x 2 + 2;
(kamu + x > 1;
( x 2 + kamu 2 ≤ 9.

Larutan.

Untuk memulainya, kita membuat grafik dari fungsi-fungsi berikut (Gbr. 2):

y = x 2 + 2 – parabola,

y + x = 1 – garis lurus

x 2 + kamu 2 = 9 – lingkaran.

1) kamu > x 2 + 2.

Kita ambil titik (0; 5) yang terletak di atas grafik fungsi.
Mari kita periksa pertidaksamaannya: 5 > 0 2 + 2 – benar.

Akibatnya, semua titik yang terletak di atas parabola y = x 2 + 2 memenuhi pertidaksamaan pertama sistem tersebut. Mari kita mengecatnya dengan warna kuning.

2) kamu + x > 1.

Kita ambil titik (0; 3) yang terletak di atas grafik fungsi.
Mari kita periksa pertidaksamaannya: 3 + 0 > 1 – benar.

Akibatnya, semua titik yang terletak di atas garis lurus y + x = 1 memenuhi pertidaksamaan kedua sistem tersebut. Mari kita mengecatnya dengan warna hijau.

3) x 2 + kamu 2 ≤ 9.

Ambil titik (0; -4) yang terletak di luar lingkaran x 2 + y 2 = 9.
Mari kita periksa pertidaksamaannya: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – salah.

Jadi, semua titik yang terletak di luar lingkaran x 2 + y 2 = 9, tidak memenuhi pertidaksamaan ketiga sistem. Maka kita dapat menyimpulkan bahwa semua titik yang terletak di dalam lingkaran x 2 + y 2 = 9 memenuhi pertidaksamaan ketiga sistem tersebut. Mari kita mengecatnya dengan warna ungu.

Jangan lupa bahwa jika pertidaksamaannya tegas, maka garis batas yang bersangkutan harus digambar dengan garis putus-putus. Kami mendapatkan gambar berikut (Gbr. 3).

(Gbr. 4).

Tugas 3.

Gambarlah luas yang ditentukan pada bidang koordinat oleh sistem:
(x 2 + kamu 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + kamu 2 ≥ 4.

Larutan.

Untuk memulainya, kita membuat grafik dari fungsi-fungsi berikut:

x 2 + kamu 2 = 16 – lingkaran,

x = -y – garis lurus

x 2 + kamu 2 = 4 – lingkaran (Gbr. 5).

Sekarang mari kita lihat setiap ketimpangan secara terpisah.

1) x 2 + kamu 2 ≤ 16.

Ambil titik (0; 0) yang terletak di dalam lingkaran x 2 + y 2 = 16.
Mari kita periksa pertidaksamaannya: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – benar.

Oleh karena itu, semua titik yang terletak di dalam lingkaran x 2 + y 2 = 16 memenuhi pertidaksamaan pertama sistem tersebut.
Mari kita mengecatnya dengan warna merah.

Kita ambil titik (1; 1), yang terletak di atas grafik fungsi.
Mari kita periksa pertidaksamaannya: 1 ≥ -1 – benar.

Akibatnya, semua titik yang terletak di atas garis x = -y memenuhi pertidaksamaan kedua sistem tersebut. Mari kita mengecatnya dengan warna biru.

3) x 2 + kamu 2 ≥ 4.

Ambil titik (0; 5) yang terletak di luar lingkaran x 2 + y 2 = 4.
Mari kita periksa pertidaksamaannya: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – benar.

Akibatnya, semua titik yang terletak di luar lingkaran x 2 + y 2 = 4 memenuhi pertidaksamaan ketiga sistem tersebut. Mari kita mengecatnya dengan warna biru.

Dalam soal ini, semua ketimpangan tidak tegas, artinya kita menarik semua batasan dengan garis utuh. Kami mendapatkan gambar berikut (Gbr. 6).

Area pencarian adalah area dimana ketiga area berwarna saling berpotongan (Gambar 7).

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan sistem pertidaksamaan dua variabel?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Sistem pertidaksamaan. Contoh penyelesaian"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator pendidikan di toko online Integral untuk kelas 9
Buku teks interaktif untuk kelas 9 "Aturan dan latihan geometri"
Buku teks elektronik "Geometri yang Dapat Dimengerti" untuk kelas 7-9

Sistem ketidaksetaraan

Teman-teman, Anda telah mempelajari pertidaksamaan linier dan kuadrat dan mempelajari cara menyelesaikan masalah pada topik tersebut. Sekarang mari kita beralih ke konsep baru dalam matematika - sistem pertidaksamaan. Sistem pertidaksamaan mirip dengan sistem persamaan. Apakah Anda ingat sistem persamaan? Anda mempelajari sistem persamaan di kelas tujuh, coba ingat bagaimana Anda menyelesaikannya.

Mari kita perkenalkan definisi sistem ketidaksetaraan.
Beberapa pertidaksamaan dengan beberapa variabel x membentuk sistem pertidaksamaan jika Anda perlu mencari semua nilai x yang masing-masing pertidaksamaannya membentuk ekspresi numerik yang benar.

Setiap nilai x yang setiap pertidaksamaannya mempunyai ekspresi numerik yang benar adalah solusi pertidaksamaan tersebut. Bisa juga disebut solusi pribadi.
Apa solusi pribadinya? Misalnya, dalam jawaban kami menerima ekspresi x>7. Maka x=8, atau x=123, atau bilangan lain yang lebih besar dari tujuh adalah penyelesaian khusus, dan persamaan x>7 adalah penyelesaian umum. Solusi umum dibentuk oleh banyak solusi privat.

Bagaimana kita menggabungkan sistem persamaan? Itu benar, kurung kurawal, jadi mereka melakukan hal yang sama dengan pertidaksamaan. Mari kita lihat contoh sistem pertidaksamaan: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Jika sistem pertidaksamaan terdiri dari ekspresi yang identik, misalnya, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Jadi, apa maksudnya: mencari solusi terhadap sistem kesenjangan?
Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah himpunan penyelesaian parsial suatu pertidaksamaan yang memenuhi kedua pertidaksamaan sistem sekaligus.

Kita menulis bentuk umum sistem pertidaksamaan sebagai $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Mari kita nyatakan $Х_1$ sebagai solusi umum pertidaksamaan f(x)>0.
$X_2$ adalah solusi umum pertidaksamaan g(x)>0.
$X_1$ dan $X_2$ adalah serangkaian solusi tertentu.
Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah bilangan-bilangan yang dimiliki oleh $X_1$ dan $X_2$.
Mari kita ingat operasi pada himpunan. Bagaimana cara mencari elemen suatu himpunan yang dimiliki kedua himpunan sekaligus? Benar, ada operasi persimpangan untuk ini. Jadi, penyelesaian pertidaksamaan kita adalah himpunan $A= X_1∩ X_2$.

Contoh penyelesaian sistem ketidaksetaraan

Mari kita lihat contoh penyelesaian sistem pertidaksamaan.

Memecahkan sistem kesenjangan.
a) $\begin(kasus)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(kasus)2x-4≤6\\-x-4
Larutan.
a) Selesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Mari tandai interval kita pada satu garis koordinat.

Solusi dari sistem ini adalah ruas perpotongan interval kita. Ketimpangannya ketat, maka segmennya akan terbuka.
Jawaban: (1;3).

B) Kami juga akan menyelesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5$.


Solusi dari sistem ini adalah ruas perpotongan interval kita. Pertidaksamaan kedua sangat ketat, maka ruasnya akan terbuka di sebelah kiri.
Jawaban: (-5; 5].

Mari kita rangkum apa yang telah kita pelajari.
Katakanlah kita perlu menyelesaikan sistem pertidaksamaan: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Maka, interval ($x_1; x_2$) adalah solusi pertidaksamaan pertama.
Interval ($y_1; y_2$) adalah solusi pertidaksamaan kedua.
Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah perpotongan penyelesaian setiap pertidaksamaan.

Sistem ketimpangan tidak hanya terdiri dari ketimpangan tingkat pertama, namun juga jenis ketimpangan lainnya.

Aturan penting untuk menyelesaikan sistem ketidaksetaraan.
Jika salah satu pertidaksamaan suatu sistem tidak mempunyai solusi, maka keseluruhan sistem tidak mempunyai solusi.
Jika salah satu pertidaksamaan terpenuhi untuk sembarang nilai variabel, maka penyelesaian sistem tersebut akan menjadi penyelesaian pertidaksamaan lainnya.

Contoh.
Selesaikan sistem pertidaksamaan:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Larutan.
Mari kita selesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.



Mari kita selesaikan pertidaksamaan kedua.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah interval.
Mari kita menggambar kedua interval pada garis yang sama dan menemukan titik potongnya.
Perpotongan intervalnya adalah ruas (4; 6].
Jawaban: (4;6].

Memecahkan sistem kesenjangan.
a) $\begin(kasus)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(kasus)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(kasus )$.

Larutan.
a) Pertidaksamaan pertama mempunyai solusi x>1.
Mari kita cari diskriminan untuk pertidaksamaan kedua.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Mari kita ingat aturannya: jika salah satu pertidaksamaan tidak memiliki solusi, maka keseluruhan sistem tidak memiliki solusi.
Jawaban: Tidak ada solusi.

B) Pertidaksamaan pertama mempunyai solusi x>1.
Pertidaksamaan kedua lebih besar dari nol untuk semua x. Kemudian penyelesaian sistem tersebut bertepatan dengan penyelesaian pertidaksamaan pertama.
Jawaban: x>1.

Masalah pada sistem ketidaksetaraan untuk solusi independen

Memecahkan sistem ketidaksetaraan:
a) $\begin(kasus)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(kasus)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(kasus)x^2-25 d) $\begin(kasus)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(kasus)$
e) $\begin(kasus)x^2+36

Artikel ini membahas topik kesenjangan, definisi sistem dan solusinya dibahas. Contoh-contoh umum penyelesaian sistem persamaan di sekolah dalam aljabar akan dipertimbangkan.

Pengertian sistem ketimpangan

Sistem pertidaksamaan ditentukan oleh definisi sistem persamaan, artinya perhatian khusus diberikan pada catatan dan makna persamaan itu sendiri.

Definisi 1

Sistem ketidaksetaraan disebut catatan persamaan yang digabungkan dengan kurung kurawal dengan himpunan solusi secara bersamaan untuk semua pertidaksamaan yang termasuk dalam sistem.

Di bawah ini adalah contoh-contoh kesenjangan. Diberikan dua pertidaksamaan: 2 x − 3 > 0 dan 5 − x ≥ 4 x − 11. Anda perlu menulis satu persamaan di bawah persamaan lainnya, lalu menggabungkannya menggunakan tanda kurung kurawal:

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

Dengan cara yang sama, definisi sistem ketimpangan disajikan dalam buku teks sekolah baik untuk menggunakan satu variabel maupun dua.

Jenis utama sistem ketidaksetaraan

Sistem ketidaksetaraan yang jumlahnya tak terbatas tercipta. Mereka diklasifikasikan ke dalam kelompok-kelompok yang berbeda dalam karakteristik tertentu. Ketimpangan dibagi menurut kriteria berikut:

  • jumlah kesenjangan sistem;
  • jumlah variabel pencatatan;
  • jenis kesenjangan.

Jumlah ketimpangan yang masuk bisa dua atau lebih. Paragraf sebelumnya membahas contoh penyelesaian sistem dengan dua pertidaksamaan.

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan sistem dengan empat pertidaksamaan.

x ≥ - 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 - x 2 - 4 y 2

Menyelesaikan pertidaksamaan secara terpisah tidak menunjukkan penyelesaian sistem secara keseluruhan. Untuk menyelesaikan sistem tersebut, perlu memanfaatkan semua kesenjangan yang ada.

Sistem ketimpangan tersebut dapat mempunyai satu, dua, tiga atau lebih variabel. Dalam sistem yang digambarkan terakhir, hal ini terlihat jelas; di sana kita memiliki tiga variabel: x, y, z. Persamaan dapat berisi satu variabel, seperti pada contoh, atau beberapa. Berdasarkan contoh di atas, pertidaksamaan x + 0 · y + 0 · z ≥ − 2 dan 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 tidak dianggap ekuivalen. Kurikulum sekolah fokus pada penyelesaian kesenjangan dalam satu variabel.

Saat menulis suatu sistem, persamaan dengan jenis yang berbeda dan dengan jumlah variabel yang berbeda dapat dilibatkan. Yang paling sering terjadi adalah kesenjangan yang menyeluruh derajat yang berbeda. Saat mempersiapkan ujian, Anda mungkin menemukan sistem dengan persamaan irasional, logaritmik, dan eksponensial dalam bentuk:

544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Sistem seperti itu mencakup persamaan eksponensial dan logaritma.

Memecahkan sistem kesenjangan

Definisi 2

Mari kita perhatikan contoh penyelesaian sistem persamaan dengan satu variabel.

x > 7, 2 - 3 x ≤ 0

Jika nilai x = 8, maka penyelesaian sistem sudah jelas, karena 8 > 7 dan 2 − 3 8 ≤ 0 berlaku. Pada x = 1, sistem tidak akan terselesaikan, karena pertidaksamaan numerik pertama selama substitusi memiliki 1 > 7. Sebuah sistem dengan dua variabel atau lebih diselesaikan dengan cara yang sama.

Definisi 3

Memecahkan sistem pertidaksamaan dengan dua variabel atau lebih sebutkan nilai-nilai yang merupakan penyelesaian semua pertidaksamaan jika masing-masing pertidaksamaan berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang benar.

Jika x = 1 dan y = 2 merupakan penyelesaian pertidaksamaan x + y< 7 x - y < 0 , потому как выражения 1 + 2 < 7 и 1 − 2 < 0 верны. Если подставить числовую пару (3 , 5 , 3) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 < 0 .

Saat menyelesaikan sistem pertidaksamaan, mereka dapat memberikan sejumlah jawaban tertentu, atau dapat memberikan jumlah jawaban yang tidak terbatas. Artinya ada banyak solusi untuk sistem seperti itu. Jika tidak ada solusi maka dikatakan himpunan solusinya kosong. Jika suatu solusi mempunyai bilangan tertentu, maka himpunan solusi tersebut mempunyai jumlah elemen yang berhingga. Jika terdapat banyak solusi, maka himpunan solusi tersebut berisi bilangan yang tak terhingga banyaknya.

Beberapa buku teks memberikan definisi solusi tertentu dari sistem pertidaksamaan, yang dipahami sebagai solusi terpisah. Dan solusi umum suatu sistem pertidaksamaan dianggap sebagai semua solusi partikularnya. Definisi ini jarang digunakan, sehingga disebut “menyelesaikan sistem ketidaksetaraan”.

Definisi sistem pertidaksamaan dan solusi ini dianggap sebagai perpotongan dari himpunan solusi untuk semua pertidaksamaan dalam sistem. Perhatian khusus harus diberikan pada bagian yang membahas tentang kesenjangan yang setara.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter


Artikel ini memberikan informasi awal tentang sistem kesenjangan. Berikut adalah pengertian sistem pertidaksamaan dan pengertian penyelesaian sistem pertidaksamaan. Jenis sistem utama yang paling sering harus dikerjakan dalam pelajaran aljabar di sekolah juga dicantumkan, dan contohnya diberikan.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan sistem kesenjangan?

Lebih mudah untuk mendefinisikan sistem pertidaksamaan dengan cara yang sama seperti kita memperkenalkan definisi sistem persamaan, yaitu berdasarkan jenis notasi dan makna yang terkandung di dalamnya.

Definisi.

Sistem ketidaksetaraan adalah catatan yang mewakili sejumlah pertidaksamaan yang ditulis satu di bawah yang lain, disatukan di sebelah kiri dengan tanda kurung kurawal, dan menunjukkan himpunan semua solusi yang sekaligus merupakan solusi untuk setiap pertidaksamaan dalam sistem.

Mari kita beri contoh sistem ketidaksetaraan. Mari kita ambil dua bilangan sembarang, misalnya, 2 x−3>0 dan 5−x≥4 x−11, tuliskan satu di bawah yang lain
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
dan disatukan dengan tanda sistem – kurung kurawal, sehingga diperoleh sistem pertidaksamaan berbentuk sebagai berikut:

Gagasan serupa diberikan tentang sistem kesenjangan dalam buku pelajaran sekolah. Perlu dicatat bahwa definisi mereka diberikan lebih sempit: untuk ketidaksetaraan dengan satu variabel atau dengan dua variabel.

Jenis utama sistem ketidaksetaraan

Jelas bahwa kita bisa saja menciptakan banyak sistem kesenjangan yang berbeda-beda. Agar tidak tersesat dalam keberagaman tersebut, disarankan untuk mempertimbangkannya dalam kelompok yang memiliki ciri khas tersendiri. Semua sistem kesenjangan dapat dibagi menjadi beberapa kelompok berdasarkan kriteria berikut:

  • berdasarkan jumlah kesenjangan dalam sistem;
  • berdasarkan jumlah variabel yang terlibat dalam pencatatan;
  • berdasarkan jenis kesenjangan itu sendiri.

Berdasarkan jumlah pertidaksamaan yang termasuk dalam pencatatan, sistem dua, tiga, empat, dst dibedakan. kesenjangan Pada paragraf sebelumnya kita telah memberikan contoh sistem, yaitu sistem dengan dua pertidaksamaan. Mari kita tunjukkan contoh lain dari sistem empat pertidaksamaan .

Secara terpisah, kita dapat mengatakan bahwa tidak ada gunanya membicarakan sistem ketimpangan saja, dalam hal ini pada hakikatnya yang kita bicarakan adalah ketimpangan itu sendiri, bukan sistemnya.

Jika dilihat dari jumlah variabelnya, maka terdapat sistem pertidaksamaan dengan satu, dua, tiga, dst. variabel (atau, seperti yang juga mereka katakan, tidak diketahui). Lihatlah sistem pertidaksamaan terakhir yang ditulis dua paragraf di atas. Ini adalah sistem dengan tiga variabel x, y dan z. Perlu diingat bahwa dua pertidaksamaan pertamanya tidak memuat ketiga variabel tersebut, melainkan hanya satu saja. Dalam konteks sistem ini, persamaan tersebut harus dipahami sebagai pertidaksamaan dengan tiga variabel yang masing-masing berbentuk x+0·y+0·z≥−2 dan 0·x+y+0·z≤5. Perhatikan bahwa sekolah berfokus pada kesenjangan dengan satu variabel.

Masih perlu dibahas jenis-jenis kesenjangan yang terjadi dalam sistem pencatatan. Di sekolah, mereka terutama mempertimbangkan sistem dua ketidaksetaraan (lebih jarang - tiga, bahkan lebih jarang - empat atau lebih) dengan satu atau dua variabel, dan ketidaksetaraan itu sendiri biasanya seluruh kesenjangan derajat pertama atau kedua (lebih jarang - derajat yang lebih tinggi atau rasional pecahan). Namun jangan heran jika dalam materi persiapan UN Anda menjumpai sistem pertidaksamaan yang mengandung pertidaksamaan irasional, logaritmik, eksponensial, dan lainnya. Sebagai contoh, kami memberikan sistem ketidaksetaraan , itu diambil dari .

Apa solusi untuk sistem kesenjangan?

Mari kita perkenalkan definisi lain yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan - definisi penyelesaian sistem pertidaksamaan:

Definisi.

Memecahkan sistem pertidaksamaan dengan satu variabel disebut nilai suatu variabel yang mengubah setiap pertidaksamaan sistem menjadi benar, dengan kata lain merupakan penyelesaian setiap pertidaksamaan sistem.

Mari kita jelaskan dengan sebuah contoh. Mari kita ambil sistem dua pertidaksamaan dengan satu variabel. Mari kita ambil nilai variabel x sama dengan 8, ini adalah solusi untuk sistem pertidaksamaan kita menurut definisi, karena substitusinya ke dalam pertidaksamaan sistem menghasilkan dua pertidaksamaan numerik yang benar 8>7 dan 2−3·8≤0. Sebaliknya, kesatuan bukanlah penyelesaian sistem, karena jika disubstitusikan ke variabel x, pertidaksamaan pertama akan berubah menjadi pertidaksamaan numerik salah 1>7.

Demikian pula, Anda dapat memperkenalkan definisi solusi sistem pertidaksamaan dengan dua, tiga atau lebih variabel:

Definisi.

Memecahkan sistem pertidaksamaan dengan dua, tiga, dst. variabel disebut sepasang, tiga, dan seterusnya. nilai-nilai variabel-variabel tersebut, yang sekaligus merupakan penyelesaian setiap pertidaksamaan sistem, yaitu mengubah setiap pertidaksamaan sistem menjadi pertidaksamaan numerik yang benar.

Misalnya sepasang nilai x=1, y=2 atau notasi lain (1, 2) merupakan penyelesaian sistem pertidaksamaan dua variabel, karena 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Sistem pertidaksamaan mungkin tidak mempunyai solusi, mungkin mempunyai jumlah solusi terbatas, atau mungkin mempunyai jumlah solusi tak terhingga. Orang sering berbicara tentang serangkaian solusi terhadap sistem kesenjangan. Jika suatu sistem tidak memiliki solusi, maka terdapat himpunan solusi yang kosong. Jika jumlah solusinya berhingga, maka himpunan solusi tersebut mengandung elemen yang jumlahnya berhingga, dan jika terdapat banyak solusi yang tak terhingga, maka himpunan solusi tersebut terdiri dari elemen yang jumlahnya tak terhingga.

Beberapa sumber memperkenalkan definisi solusi khusus dan umum untuk sistem ketidaksetaraan, seperti, misalnya, dalam buku teks Mordkovich. Di bawah solusi pribadi dari sistem ketidaksetaraan memahami satu keputusannya. Pada gilirannya solusi umum untuk sistem pertidaksamaan- ini semua adalah keputusan pribadinya. Namun, istilah-istilah ini hanya masuk akal jika perlu untuk secara spesifik menekankan solusi seperti apa yang sedang kita bicarakan, namun biasanya hal ini sudah jelas dari konteksnya, sehingga lebih sering istilah-istilah tersebut hanya mengatakan “solusi terhadap sistem ketidaksetaraan.”

Dari pengertian sistem pertidaksamaan dan penyelesaiannya yang dikemukakan dalam artikel ini, maka penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah perpotongan himpunan penyelesaian semua pertidaksamaan sistem tersebut.

Bibliografi.

  1. Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  2. Aljabar: kelas 9: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  3. Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 9. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-13, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
  4. Mordkovich A.G. Aljabar dan awal analisis matematika. Kelas 11. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum (tingkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
  5. Ujian Negara Bersatu-2013. Matematika: pilihan ujian standar: 30 pilihan / ed. A.L.Semenova, I.V.Yashchenko. – M.: Penerbitan “Pendidikan Nasional”, 2012. – 192 hal. – (USE-2013. FIPI - sekolah).