Contoh teorema pertanian beserta solusinya. Teorema terakhir Fermat. John Wiles membuktikan teorema besar Fermat

Teorema Terakhir Fermat Singh Simon

“Apakah itu terbukti Teorema Hebat Peternakan?"

Itu hanyalah langkah pertama menuju pembuktian dugaan Taniyama-Shimura, namun strategi Wiles merupakan terobosan matematis yang brilian, sebuah hasil yang pantas untuk dipublikasikan. Namun karena Wiles bersumpah untuk diam, dia tidak bisa memberitahu seluruh dunia tentang hasilnya dan tidak tahu siapa lagi yang bisa membuat terobosan yang sama pentingnya.

Wiles mengingat kembali sikap filosofisnya terhadap calon penantang: “Tak seorang pun ingin menghabiskan waktu bertahun-tahun untuk membuktikan sesuatu dan menemukan bahwa orang lain berhasil menemukan buktinya beberapa minggu sebelumnya. Namun anehnya, karena saya mencoba memecahkan masalah yang pada dasarnya dianggap tidak terpecahkan, saya tidak terlalu takut dengan saingan saya. Saya hanya tidak menyangka bahwa saya atau orang lain akan mendapatkan ide yang bisa menghasilkan bukti.”

Pada tanggal 8 Maret 1988, Wiles terkejut melihat kata-kata yang diketik di halaman depan surat kabar. cetakan besar tajuk utama yang berbunyi: “Teorema Terakhir Fermat Terbukti.” Surat kabar "Washington Post" dan " New York The Times melaporkan bahwa Yoichi Miyaoka yang berusia tiga puluh delapan tahun dari Universitas Metropolitan Tokyo telah memecahkan soal matematika tersulit di dunia. Meskipun Miyaoka belum mempublikasikan buktinya, garis besar umum menguraikan kursusnya pada seminar di Institut Matematika Max Planck di Bonn. Don Tsagir, yang hadir pada ceramah Miyaoka, mengungkapkan optimisme komunitas matematika dengan kata-kata berikut: “Pembuktian yang disajikan oleh Miyaoka sangat menarik, dan beberapa ahli matematika percaya bahwa bukti tersebut memiliki kemungkinan besar untuk menjadi benar. Kami belum sepenuhnya yakin, namun sejauh ini buktinya tampak sangat menggembirakan.”

Berbicara pada sebuah seminar di Bonn, Miyaoka berbicara tentang pendekatannya dalam memecahkan masalah, yang ia pertimbangkan dari sudut pandang aljabar-geometris yang sangat berbeda. Selama beberapa dekade terakhir, ahli geometri telah mencapai pemahaman yang mendalam dan halus tentang objek matematika, khususnya sifat-sifat permukaan. Pada tahun 70-an, matematikawan Rusia S. Arakelov mencoba membangun kesejajaran antara masalah geometri aljabar dan masalah teori bilangan. Ini adalah salah satu arahan dari program Langlands, dan para ahli matematika berharap bahwa masalah-masalah yang belum terpecahkan dalam teori bilangan dapat diselesaikan dengan mempelajari masalah-masalah terkait dalam geometri, yang juga masih belum terpecahkan. Program ini dikenal dengan filsafat paralelisme. Para ahli geometri aljabar yang mencoba memecahkan masalah dalam teori bilangan disebut "geometer aljabar aritmatika". Pada tahun 1983, mereka mengumumkan kemenangan signifikan pertama mereka ketika Gerd Faltings dari Princeton Institute for Advanced Study memperkenalkan kontribusi yang signifikan dalam memahami teorema Fermat. Ingat itu, menurut Fermat, persamaannya

pada N lebih besar dari 2 tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat. Faltings memutuskan bahwa dia telah membuat kemajuan dalam membuktikan Teorema Terakhir Fermat dengan belajar permukaan geometris dikaitkan dengan arti yang berbeda N. Permukaan yang berhubungan dengan persamaan Fermat untuk berbagai nilai N, berbeda satu sama lain, tetapi memiliki satu milik bersama- semuanya memiliki lubang tembus, atau, sederhananya, lubang. Permukaan ini berbentuk empat dimensi, seperti grafik bentuk modular. Bagian dua dimensi dari dua permukaan ditunjukkan pada Gambar. 23. Permukaan yang diasosiasikan dengan persamaan Fermat terlihat serupa. Semakin tinggi nilainya N dalam persamaan tersebut, semakin banyak lubang yang ada di permukaan yang bersangkutan.

Beras. 23. Kedua permukaan ini diperoleh dengan menggunakan program komputer"Matematika". Masing-masing mewakili tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi persamaan xn + kamu n = z n(untuk permukaan di sebelah kiri N=3, untuk permukaan di sebelah kanan N=5). Variabel X Dan kamu dianggap rumit di sini

Faltings mampu membuktikan bahwa karena permukaan seperti itu selalu memiliki beberapa lubang, persamaan Fermat yang terkait dengannya hanya dapat memilikinya himpunan terbatas solusi dalam bilangan bulat. Jumlah solusi bisa berapa saja - dari nol, seperti asumsi Fermat, hingga satu juta atau satu miliar. Dengan demikian, Faltings tidak membuktikan Teorema Terakhir Fermat, namun setidaknya berhasil menolak kemungkinan persamaan Fermat memiliki banyak solusi tak terhingga.

Lima tahun kemudian, Miyaoka melaporkan bahwa dia telah mengambil satu langkah lebih jauh. Dia saat itu berusia awal dua puluhan. Miyaoka merumuskan hipotesis mengenai beberapa ketidaksetaraan. Menjadi jelas bahwa membuktikan dugaan geometrinya berarti membuktikan bahwa jumlah solusi persamaan Fermat tidak hanya berhingga, tetapi sama dengan nol. Pendekatan Miyaoka mirip dengan pendekatan Wiles karena keduanya berusaha membuktikan Teorema Terakhir Fermat dengan menghubungkannya dengan hipotesis fundamental dalam cabang matematika lain. Bagi Miyaoka itu adalah geometri aljabar; bagi Wiles, jalan menuju pembuktian terletak melalui kurva elips dan bentuk modular. Yang membuat Wiles kecewa, dia masih berjuang untuk membuktikan dugaan Taniyama-Shimura ketika Miyaoka mengaku memiliki bukti lengkap atas dugaannya sendiri dan, oleh karena itu, Teorema Terakhir Fermat.

Dua minggu setelah pidatonya di Bonn, Miyaoka menerbitkan lima halaman perhitungan yang menjadi inti dari pembuktiannya, dan pemeriksaan menyeluruh pun dimulai. Ahli teori bilangan dan spesialis geometri aljabar di seluruh dunia mempelajari perhitungan baris demi baris. Beberapa hari kemudian, ahli matematika menemukan satu kontradiksi dalam pembuktian yang menimbulkan kekhawatiran. Salah satu bagian dari karya Miyaoka mengarah pada pernyataan dari teori bilangan, yang jika diterjemahkan ke dalam bahasa geometri aljabar, menghasilkan pernyataan yang bertentangan dengan hasil yang diperoleh beberapa tahun sebelumnya. Meskipun hal ini tidak serta merta membatalkan seluruh bukti yang diajukan Miyaoka, kontradiksi yang ditemukan tidak sesuai dengan filosofi paralelisme antara teori bilangan dan geometri.

Dua minggu kemudian, Gerd Faltings, yang telah membuka jalan bagi Miyaoke, mengumumkan bahwa dia telah menemukan penyebab pasti dari pelanggaran paralelisme tersebut - sebuah kesenjangan dalam penalaran. Matematikawan Jepang ini adalah seorang ahli geometri dan tidak terlalu teliti ketika menerjemahkan ide-idenya ke dalam bidang teori bilangan yang kurang familiar. Sekelompok ahli teori bilangan berusaha sekuat tenaga untuk menutup lubang pada bukti Miyaoka, namun sia-sia. Dua bulan setelah Miyaoka mengklaim memiliki bukti lengkap Teorema Terakhir Fermat, komunitas matematika mencapai kesimpulan dengan suara bulat: bukti Miyaoka pasti akan gagal.

Seperti kasus bukti gagal sebelumnya, Miyaoka berhasil memperoleh banyak hal hasil yang menarik. Beberapa bagian dari pembuktiannya patut diperhatikan karena penerapan geometri yang sangat cerdik pada teori bilangan, dan pada tahun-tahun berikutnya matematikawan lain menggunakannya untuk membuktikan beberapa teorema, namun tidak ada yang berhasil membuktikan Teorema Terakhir Fermat dengan cara ini.

Kehebohan atas Teorema Terakhir Fermat segera mereda, dan surat kabar memuat pemberitahuan singkat yang mengatakan bahwa teka-teki berusia tiga ratus tahun itu masih belum terpecahkan. Prasasti berikut muncul di dinding stasiun kereta bawah tanah Eighth Street di New York, tidak diragukan lagi terinspirasi oleh liputan pers tentang Teorema Terakhir Fermat: "Persamaan. xn + kamu = zn tidak memiliki solusi. Saya telah menemukan bukti yang sungguh menakjubkan mengenai fakta ini, namun saya tidak dapat menuliskannya di sini karena kereta saya telah tiba.”

Bab Sepuluh Peternakan Buaya Mereka berkendara di sepanjang jalan yang indah dengan mobil John tua, duduk di kursi belakang. Di belakang kemudi ada seorang pengemudi berkulit hitam dengan kemeja cerah dengan kepala terpotong aneh. Di tengkoraknya yang dicukur berdiri semak-semak rambut hitam sekeras kawat, logikanya

Mempersiapkan balapan. Alaska, Peternakan Iditarod Linda Pletner adalah perlombaan kereta luncur anjing tahunan di Alaska. Panjang rutenya adalah 1150 mil (1800 km). Ini adalah perlombaan kereta luncur anjing terpanjang di dunia. Mulai (upacara) - 4 Maret 2000 dari Anchorage. Awal

Peternakan kambing Ada banyak pekerjaan di desa pada musim panas. Ketika kami mengunjungi desa Khomutets, jerami sedang dipanen di sana dan aroma harum dari herba yang baru dipotong seolah meresap ke segala sesuatu di sekitarnya. Herbal harus dipangkas tepat waktu agar tidak terlalu matang, sehingga segala sesuatu yang berharga dan bergizi akan tetap terjaga. di dalamnya. Ini

Peternakan musim panas Sedotan, seperti kilat genggam, dimasukkan ke dalam rumput; Yang lain, setelah menandatangani pagar, menyalakan api dari segelas air hijau di palung kuda. Ke dalam senja biru Sembilan bebek berkeliaran, bergoyang, sepanjang alur dalam semangat garis paralel. Di sini ayam tidak menatap apa pun sendirian

Peternakan yang hancur Matahari yang tenang, bagai bunga merah tua, Tenggelam ke tanah, tumbuh menuju matahari terbenam, Namun tirai malam dalam kekuatan menganggur Menarik dunia, terusik oleh tatapan. Keheningan menyelimuti pertanian tanpa atap, Seolah-olah seseorang telah mencabut rambutnya, Mereka berebut kaktus

Peternakan atau peternakan? Pada tanggal 13 Februari 1958, semua surat kabar pusat Moskow dan kemudian surat kabar regional menerbitkan keputusan Komite Sentral Partai Komunis Ukraina “Tentang kesalahan dalam pembelian sapi dari petani kolektif di wilayah Zaporozhye.” Kami bahkan tidak membicarakan seluruh wilayah, tetapi tentang dua distriknya: Primorsky

Masalah Fermat Pada tahun 1963, ketika ia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona oleh matematika. “Di sekolah saya suka memecahkan masalah, saya membawanya pulang dan menemukan masalah baru dari setiap masalah. Namun masalah terbaik yang pernah saya temui adalah masalah lokal

Dari Teorema Pythagoras hingga Teorema Terakhir Fermat Teorema Pythagoras dan jumlah tripel Pythagoras yang tak terhingga dibahas dalam buku karya E.T. "The Great Problem" karya Bell - buku perpustakaan yang sama yang menarik perhatian Andrew Wiles. Dan meskipun Pythagoras mencapai hampir selesai

Matematika setelah pembuktian Teorema Terakhir Fermat Anehnya, Wiles sendiri memiliki perasaan campur aduk tentang laporannya: “Kesempatan untuk pidatonya dipilih dengan sangat baik, namun kuliah itu sendiri memberi saya perasaan campur aduk. Sedang mengerjakan buktinya

Bab 63 Peternakan McLennon Tua Sekitar satu setengah bulan setelah kembali ke New York, suatu malam di bulan November, telepon berdering di apartemen keluarga Lennon. Yoko menjawab telepon. Suara laki-laki dengan aksen Puerto Rico bertanya pada Yoko Ono. Berpura-pura

Teorema Pontryagin Bersamaan dengan Konservatorium, ayah saya belajar di Universitas Negeri Moskow, mempelajari mekanika dan matematika. Ia lulus dengan sukses dan bahkan ragu-ragu selama beberapa waktu dalam memilih profesi. Musikologi menang, karena memanfaatkan pola pikir matematisnya, salah satu teman sekelas ayah saya

Teorema Teorema tentang hak suatu perkumpulan keagamaan untuk memilih seorang imam perlu pembuktian. Bunyinya seperti ini: “Komunitas Ortodoks diciptakan... di bawah kepemimpinan spiritual seorang imam yang dipilih oleh komunitas dan diberkati oleh uskup diosesan.”

I. Peternakan (“Di sini, dari kotoran ayam…”) Di sini, dari kotoran ayam Salah satu penyelamat adalah sapu. Cinta - yang mana? - Dia membawaku ke kandang ayam. Mematuk biji-bijian, ayam berkotek, ayam jantan melangkah dengan penting. Dan tanpa ukuran dan sensor, Puisi tersusun dalam pikiran. Tentang suatu sore di Provençal

Tidak mungkin satu tahun pun dalam kehidupan tim editorial kami berlalu tanpa menerima selusin bukti teorema Fermat. Kini, setelah “kemenangan” atas dirinya, arusnya sudah surut, namun belum mengering.

Tentu saja, kami tidak menerbitkan artikel ini untuk mengeringkannya sepenuhnya. Dan bukan untuk pembelaan saya sendiri - itu, kata mereka, makanya kami bungkam, kami sendiri belum cukup dewasa untuk membahas masalah rumit seperti itu.

Namun jika artikelnya memang terkesan rumit, simak langsung sampai akhir. Anda harus merasakan bahwa gairah telah mereda untuk sementara, ilmu pengetahuan belum berakhir, dan bukti baru dari teorema baru akan segera dikirimkan ke editor.

Tampaknya abad kedua puluh tidak sia-sia. Pertama, manusia sejenak menciptakan Matahari kedua dengan meledakkan bom hidrogen. Kemudian mereka berjalan di Bulan dan akhirnya membuktikan teorema Fermat yang terkenal. Dari ketiga mukjizat ini, dua mukjizat pertama sudah diketahui semua orang, karena dampaknya sangat besar konsekuensi sosial. Sebaliknya, keajaiban ketiga tampak seperti mainan ilmiah lainnya - setara dengan teori relativitas, mekanika kuantum, dan teorema Gödel tentang ketidaklengkapan aritmatika. Namun, relativitas dan kuanta mengarahkan fisikawan ke sana bom hidrogen, dan penelitian para ahli matematika memenuhi dunia kita dengan komputer. Akankah rangkaian keajaiban ini berlanjut di abad ke-21? Mungkinkah menelusuri hubungan antara mainan ilmiah terkini dan revolusi dalam kehidupan kita sehari-hari? Apakah hubungan ini memungkinkan kita membuat prediksi yang berhasil? Mari kita coba memahaminya dengan menggunakan contoh teorema Fermat.

Pertama-tama mari kita perhatikan bahwa dia dilahirkan jauh lebih lambat dari tanggal lahirnya. Bagaimanapun, yang pertama kasus spesial Teorema Fermat adalah persamaan Pythagoras X 2 + Y 2 = Z 2, menghubungkan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku. Setelah membuktikan rumus ini dua puluh lima abad yang lalu, Pythagoras langsung mengajukan pertanyaan: adakah banyak segitiga di alam yang kedua sisi dan sisi miringnya memiliki panjang keseluruhan? Tampaknya orang Mesir hanya mengetahui satu segitiga seperti itu - dengan sisi (3, 4, 5). Namun tidak sulit untuk menemukan pilihan lain: misalnya (5, 12, 13), (7, 24, 25) atau (8, 15, 17). Dalam semua kasus ini, panjang sisi miring berbentuk (A 2 + B 2), di mana A dan B relatif merupakan bilangan prima dengan paritas berbeda. Dalam hal ini panjang kakinya sama dengan (A 2 - B 2) dan 2AB.

Dengan memperhatikan hubungan ini, Pythagoras dengan mudah membuktikan bahwa setiap tripel bilangan (X = A 2 - B 2, Y = 2AB, Z = A 2 + B 2) adalah penyelesaian persamaan X 2 + Y 2 = Z 2 dan mendefinisikan a persegi panjang yang panjang sisinya sederhana. Jelas juga bahwa jumlah kembar tiga yang berbeda dari jenis ini tidak terbatas. Tetapi apakah semua solusi persamaan Pythagoras memiliki bentuk ini? Pythagoras tidak dapat membuktikan atau menyangkal hipotesis tersebut dan menyerahkan masalah ini kepada keturunannya tanpa memusatkan perhatian padanya. Siapa yang ingin menyoroti kegagalan mereka? Tampaknya setelah itu masalah segitiga siku-siku bilangan bulat terlupakan selama tujuh abad - sampai seorang jenius matematika baru bernama Diophantus muncul di Aleksandria.

Kita hanya tahu sedikit tentang dia, tapi jelas: dia sama sekali tidak seperti Pythagoras. Dia merasa seperti raja dalam geometri dan bahkan lebih jauh lagi - baik dalam musik, astronomi, atau politik. Hubungan aritmatika pertama antara panjang sisi harpa yang merdu, model pertama Alam Semesta dari bola konsentris yang membawa planet dan bintang, dengan Bumi di tengahnya, dan akhirnya, republik ilmuwan pertama di kota Crotone, Italia - ini adalah pencapaian pribadi Pythagoras. Apa yang bisa ditentang oleh Diophantus, seorang peneliti sederhana di Museum besar, yang sudah lama tidak lagi menjadi kebanggaan masyarakat kota, terhadap keberhasilan seperti itu?

Hanya satu hal: pemahaman yang lebih baik dunia kuno angka-angka, hukum-hukum yang hampir tidak sempat dirasakan oleh Pythagoras, Euclid, dan Archimedes. Perhatikan bahwa Diophantus belum menguasai sistem posisi untuk mencatat bilangan besar, tapi dia tahu apa itu angka negatif dan mungkin menghabiskan waktu berjam-jam memikirkan mengapa hasil kali dua bilangan negatif adalah positif. Dunia bilangan bulat pertama kali diungkapkan kepada Diophantus sebagai alam semesta khusus, berbeda dengan dunia bintang, segmen, atau polihedra. Pekerjaan utama para ilmuwan di dunia ini adalah memecahkan persamaan; seorang ahli sejati menemukan semua solusi yang mungkin dan membuktikan bahwa tidak ada solusi lain. Inilah yang dilakukan Diophantus persamaan kuadrat Pythagoras, lalu berpikir: apakah persamaan kubik serupa X 3 + Y 3 = Z 3 memiliki setidaknya satu solusi?

Diophantus gagal menemukan solusi tersebut, dan usahanya untuk membuktikan bahwa tidak ada solusi juga tidak berhasil. Oleh karena itu, dengan mendokumentasikan hasil karyanya dalam buku “Aritmatika” (ini adalah buku teks teori bilangan pertama di dunia), Diophantus menganalisis persamaan Pythagoras secara rinci, tetapi tidak mengatakan sepatah kata pun tentang kemungkinan generalisasi persamaan ini. Atau bisa juga: bagaimanapun juga, Diophantus-lah yang pertama kali mengusulkan notasi pangkat bilangan bulat! Namun sayang: konsep "buku masalah" asing bagi sains dan pedagogi Hellenic, dan penerbitan daftar masalah yang belum terpecahkan dianggap sebagai aktivitas tidak senonoh (hanya Socrates yang bertindak berbeda). Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah, diamlah! Diophantus terdiam, dan keheningan ini berlangsung selama empat belas abad - hingga munculnya Zaman Baru, ketika minat terhadap proses berpikir manusia dihidupkan kembali.

Siapa yang tidak berfantasi tentang apa pun pada pergantian abad 16 - 17! Kalkulator Kepler yang tak kenal lelah mencoba menebak hubungan antara jarak Matahari ke planet-planet. Pythagoras gagal. Kepler meraih kesuksesan setelah ia belajar mengintegrasikan polinomial dan fungsi sederhana lainnya. Sebaliknya, Descartes yang visioner tidak menyukai perhitungan yang panjang, tetapi dialah yang pertama kali menyajikan semua titik pada suatu bidang atau ruang sebagai kumpulan angka. Model yang berani ini mereduksi permasalahan geometri apa pun tentang bentuk menjadi permasalahan aljabar tentang persamaan—dan sebaliknya. Misalnya, solusi bilangan bulat persamaan Pythagoras berhubungan dengan titik bilangan bulat pada permukaan kerucut. Permukaan yang sesuai persamaan kubik X 3 + Y 3 = Z 3, kelihatannya lebih rumit nya sifat geometris Mereka tidak memberi tahu Pierre Fermat apa pun, dan dia harus membuat jalan baru melewati hutan bilangan bulat.

Pada tahun 1636, sebuah buku karya Diophantus jatuh ke tangan seorang pengacara muda dari Toulouse, baru saja diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dari bahasa Yunani asli, yang secara tidak sengaja disimpan di beberapa arsip Bizantium dan dibawa ke Italia oleh salah satu buronan Romawi pada saat itu. kehancuran Turki. Membaca argumen elegan tentang persamaan Pythagoras, Fermat bertanya-tanya: mungkinkah mencari solusi yang terdiri dari tiga bilangan kuadrat? Jumlahnya tidak sedikit: mudah diperiksa dengan kekerasan. Bagaimana dengan keputusan besar? Tanpa komputer, Fermat tidak dapat melakukan eksperimen numerik. Namun ia memperhatikan bahwa untuk setiap solusi “besar” dari persamaan X 4 + Y 4 = Z 4 dimungkinkan untuk membuat solusi yang lebih kecil. Artinya jumlah pangkat empat dari dua bilangan bulat tidak pernah sama dengan pangkat yang sama dari bilangan ketiga! Bagaimana dengan jumlah dua kubus?

Terinspirasi oleh keberhasilan derajat 4, Fermat mencoba memodifikasi "metode keturunan" untuk derajat 3 - dan dia berhasil. Ternyata tidak mungkin membuat dua kubus kecil dari kubus tunggal yang menjadi tempat tersebarnya kubus besar dengan seluruh panjang rusuknya. Fermat yang berjaya membuat catatan singkat di pinggir buku Diophantus dan mengirim surat ke Paris dengan pesan rinci tentang penemuannya. Namun dia tidak menerima jawaban - meskipun biasanya para ahli matematika ibu kota dengan cepat bereaksi terhadap keberhasilan terbaru dari rekan-rekan mereka yang kesepian di Toulouse. Apa masalahnya?

Sederhananya: pada pertengahan abad ke-17, aritmatika sudah ketinggalan zaman. Keberhasilan besar para aljabar Italia abad ke-16 (ketika persamaan polinomial derajat 3 dan 4 diselesaikan) tidak menjadi awal dari revolusi ilmiah umum, karena mereka tidak memungkinkan pemecahan masalah-masalah baru yang cemerlang di bidang ilmu pengetahuan yang berdekatan. Sekarang, jika Kepler berhasil menebak orbit planet menggunakan aritmatika murni... Namun sayang, hal ini memerlukan analisis matematis. Artinya harus dikembangkan - sampai kemenangan penuh metode matematika dalam ilmu alam! Namun analisis tumbuh dari geometri, sementara aritmatika tetap menjadi bidang yang menyenangkan bagi para pengacara yang menganggur dan pecinta ilmu abadi angka dan angka.

Jadi, keberhasilan aritmatika Fermat ternyata terlalu dini dan tidak dihargai. Dia tidak kecewa dengan hal ini: demi kejayaan seorang ahli matematika, fakta kalkulus diferensial, geometri analitik, dan teori probabilitas yang pertama kali diungkapkan kepadanya sudah cukup. Semua penemuan Fermat ini segera memasuki dana emas ilmu pengetahuan baru Eropa, sementara teori bilangan memudar ke latar belakang selama seratus tahun berikutnya - hingga dihidupkan kembali oleh Euler.

“Raja matematikawan” abad ke-18 ini adalah seorang juara dalam semua penerapan analisis, namun ia tidak mengabaikan aritmatika, karena metode analisis baru menghasilkan fakta-fakta yang tidak terduga tentang angka. Siapa sangka jumlah tak hingga dari kuadrat terbalik (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+...) sama dengan π 2 /6? Hellene mana yang dapat meramalkan bahwa deret serupa akan membuktikan irasionalitas bilangan π?

Keberhasilan seperti itu memaksa Euler untuk membaca kembali dengan cermat manuskrip Fermat yang masih ada (untungnya, putra orang Prancis yang hebat itu berhasil menerbitkannya). Benar, bukti "teorema besar" untuk derajat 3 belum disimpan, tetapi Euler dengan mudah memulihkannya hanya dengan satu indikasi "metode keturunan", dan segera mencoba mentransfer metode ini ke derajat sederhana berikutnya - 5.

Tidak begitu! Dalam penalaran Euler, muncul bilangan kompleks, yang berhasil diabaikan oleh Fermat (ini adalah hal yang biasa dilakukan para penemu). Tapi penguraian keseluruhan bilangan kompleks pengganda adalah masalah yang rumit. Bahkan Euler tidak sepenuhnya memahaminya dan mengesampingkan "masalah Fermat", bergegas menyelesaikan pekerjaan utamanya - buku teks "Fundamentals of Analysis", yang seharusnya membantu setiap pemuda berbakat untuk setara dengan Leibniz dan Euler. Penerbitan buku teks tersebut selesai di St. Petersburg pada tahun 1770. Namun Euler tidak pernah kembali ke teorema Fermat, yakin bahwa segala sesuatu yang disentuh tangan dan pikirannya tidak akan dilupakan oleh para ilmuwan muda yang baru.

Dan begitulah yang terjadi: penerus Euler dalam teori bilangan adalah Adrien Legendre dari Prancis. Pada akhir abad ke-18, ia menyelesaikan pembuktian teorema Fermat untuk pangkat 5 - dan meskipun ia gagal untuk pangkat prima yang besar, ia menyusun buku teks lain tentang teori bilangan. Semoga para pembaca mudanya melampaui penulisnya seperti halnya para pembaca “Prinsip Matematika Filsafat Alam” melampaui Newton yang agung! Legendre bukanlah tandingan Newton atau Euler, namun di antara pembacanya ada dua orang jenius: Carl Gauss dan Evariste Galois.

Konsentrasi tinggi orang-orang jenius difasilitasi oleh Revolusi Perancis, yang memproklamirkan kultus Nalar negara. Setelah itu, setiap ilmuwan berbakat merasa seperti Columbus atau Alexander Agung, yang mampu menemukan atau menaklukkan dunia baru. Banyak yang berhasil dalam hal ini, itulah sebabnya pada abad ke-19 kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi menjadi pendorong utama evolusi manusia, dan semua penguasa yang berakal sehat (dimulai dengan Napoleon) menyadari hal ini.

Gauss memiliki karakter yang mirip dengan Columbus. Namun dia (seperti Newton) tidak tahu bagaimana memikat imajinasi para penguasa atau pelajar dengan pidato-pidato yang indah, dan karena itu membatasi ambisinya pada bidang konsep-konsep ilmiah. Di sini dia bisa melakukan apapun yang dia inginkan. Misalnya, karena alasan tertentu, masalah kuno pembagian tiga sudut tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan kompas dan penggaris. Dengan bantuan bilangan kompleks yang mewakili titik-titik pada bidang, Gauss menerjemahkan masalah ini ke dalam bahasa aljabar - dan memperoleh teori umum tentang kelayakan konstruksi geometris tertentu. Jadi, pada saat yang sama, muncul bukti kuat tentang ketidakmungkinan membuat 7 atau 9 gon beraturan dengan kompas dan penggaris, dan metode untuk membuat 17 gon biasa, yang dimiliki oleh ahli geometri paling bijaksana di Hellas. tidak pernah bermimpi.

Tentu saja, kesuksesan tersebut tidak sia-sia: kita harus menciptakan konsep-konsep baru yang mencerminkan esensi permasalahan. Newton memperkenalkan tiga konsep tersebut: fluksi (turunan), lancar (integral) dan deret pangkat. Jumlah tersebut cukup untuk membuat analisis matematis dan model ilmiah pertama dunia fisik, termasuk mekanika dan astronomi. Gauss juga memperkenalkan tiga konsep baru: ruang vektor, medan, dan ring. Dari mereka tumbuh aljabar baru, yang mensubordinasikan aritmatika Yunani dan teori fungsi numerik yang diciptakan oleh Newton. Logika yang diciptakan oleh Aristoteles masih harus disubordinasikan ke aljabar: maka dimungkinkan, dengan menggunakan perhitungan, untuk membuktikan deduksi atau non-derivabilitas pernyataan ilmiah apa pun dari set ini aksioma! Misalnya, apakah teorema Fermat berasal dari aksioma aritmatika, atau postulat Euclid tentang garis sejajar dari aksioma planimetri lainnya?

Gauss tidak punya waktu untuk mewujudkan mimpi berani ini - meskipun ia telah melangkah jauh dan menebak kemungkinan adanya aljabar eksotik (non-komutatif). Hanya Nikolai Lobachevsky dari Rusia yang berani yang berhasil membangun geometri non-Euclidean pertama, dan aljabar non-komutatif pertama (Teori Grup) dibangun oleh orang Prancis Evariste Galois. Dan hanya lama setelah kematian Gauss - pada tahun 1872 - Felix Klein muda dari Jerman menyadari bahwa keragaman geometri yang mungkin dapat dijabarkan ke dalam korespondensi satu-satu dengan keragaman kemungkinan aljabar. Sederhananya, setiap geometri ditentukan oleh kelompok simetrinya - sedangkan aljabar umum mempelajari semua kemungkinan kelompok dan sifat-sifatnya.

Namun pemahaman tentang geometri dan aljabar muncul belakangan, dan serangan terhadap teorema Fermat berlanjut pada masa hidup Gauss. Dia sendiri mengabaikan teorema Fermat karena prinsipnya: bukanlah urusan kerajaan untuk menyelesaikan masalah individu yang tidak sesuai dengan tujuan. teori ilmiah! Namun murid-murid Gauss, yang dipersenjatai dengan aljabar barunya dan analisis klasik Newton dan Euler, beralasan berbeda. Pertama, Peter Dirichlet membuktikan teorema Fermat untuk pangkat 7 menggunakan gelanggang bilangan bulat kompleks yang dihasilkan oleh akar pangkat satu ini. Kemudian Ernst Kummer memperluas metode Dirichlet ke SEMUANYA kekuatan utama(!) - begitulah yang dia rasakan di saat yang panas, dan dia menang. Namun segera muncul kesadaran serius: pembuktian tersebut sempurna hanya jika setiap elemen cincin dapat didekomposisi secara unik menjadi faktor prima! Untuk bilangan bulat biasa, fakta ini diketahui oleh Euclid, tetapi hanya Gauss yang memberikan bukti yang kuat mengenai hal ini. Bagaimana dengan bilangan bulat kompleks?

Menurut “prinsip kejahatan terbesar”, faktorisasi yang ambigu bisa dan HARUS terjadi! Segera setelah Kummer belajar menghitung tingkat ambiguitas menggunakan metode analisis matematis, ia menemukan trik kotor ini di ring pangkat 23. Gauss tidak punya waktu untuk mempelajari versi aljabar komutatif eksotik ini, tetapi siswa Gauss menumbuhkan Teori Cita-cita baru yang indah sebagai pengganti trik kotor lainnya. Benar, hal ini tidak terlalu membantu memecahkan masalah Fermat: hanya kompleksitas alamiahnya saja yang menjadi lebih jelas.

Sepanjang abad ke-19, berhala kuno ini menuntut semakin banyak pengorbanan dari pengagumnya dalam bentuk teori-teori baru yang kompleks. Tidak mengherankan bahwa pada awal abad ke-20, orang-orang beriman menjadi putus asa dan memberontak, menolak berhala mereka sebelumnya. Kata "fermatist" telah menjadi julukan kotor di kalangan matematikawan profesional. Dan meskipun hadiah yang cukup besar diberikan untuk bukti lengkap teorema Fermat, sebagian besar pelamarnya adalah orang-orang bodoh yang percaya diri. Matematikawan paling berpengaruh pada masa itu - Poincaré dan Hilbert - dengan tegas menghindari topik ini.

Pada tahun 1900, Hilbert tidak memasukkan teorema Fermat dalam daftar dua puluh tiga masalah terpenting yang dihadapi matematika pada abad kedua puluh. Benar, dia memasukkan dalam seri mereka masalah umum solvabilitas persamaan Diophantine. Petunjuknya jelas: ikuti contoh Gauss dan Galois, buatlah teori umum objek matematika baru! Kemudian suatu hari yang baik (tetapi tidak dapat diprediksi sebelumnya) duri tua itu akan rontok dengan sendirinya.

Inilah tepatnya yang dilakukan oleh Henri Poincaré yang romantis dan hebat. Mengabaikan banyak masalah "abadi", sepanjang hidupnya ia mempelajari SIMETRI objek matematika atau fisika tertentu: baik fungsi variabel kompleks, atau lintasan benda langit, atau kurva aljabar, atau variasi halus (ini adalah generalisasi multidimensi dari garis lengkung). Motif tindakannya sederhana: jika dua benda berbeda mempunyai kesimetrian yang serupa, berarti mungkin ada hubungan internal di antara keduanya, yang belum bisa kita pahami! Misalnya, masing-masing geometri dua dimensi (Euclidean, Lobachevsky, atau Riemann) memiliki kelompok simetrinya sendiri yang bekerja pada bidang tersebut. Tetapi titik-titik pada bidang tersebut adalah bilangan kompleks: dengan cara ini aksi apa pun kelompok geometris diangkut ke dunia luas dengan fungsi yang kompleks. Adalah mungkin dan perlu untuk mempelajari fungsi-fungsi yang paling simetris: OTOMORFIK (yang termasuk dalam kelompok Euclidean) dan MODULAR (yang termasuk dalam kelompok Lobachevsky)!

Ada juga kurva elips di pesawat. Mereka sama sekali tidak terhubung dengan elips, tetapi diberikan oleh persamaan bentuk Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX dan oleh karena itu berpotongan dengan garis mana pun di tiga poin. Fakta ini memungkinkan kita untuk memperkenalkan perkalian di antara titik-titik kurva elips - untuk mengubahnya menjadi satu grup. Struktur aljabar kelompok ini mencerminkan sifat geometris kurva; mungkinkah struktur aljabar ditentukan secara unik oleh kelompoknya? Pertanyaan ini patut dipelajari, karena untuk beberapa kurva kelompok yang kita minati ternyata bersifat modular, yaitu terkait dengan geometri Lobachevsky...

Ini adalah alasan Poincaré, merayu para pemuda matematika Eropa, tetapi pada awal abad ke-20 godaan ini tidak menghasilkan teorema atau hipotesis yang cemerlang. Ternyata berbeda dengan seruan Hilbert: belajar solusi umum Persamaan Diophantine dengan koefisien bilangan bulat! Pada tahun 1922, Lewis Mordell muda dari Amerika menghubungkan himpunan solusi persamaan tersebut (ini adalah ruang vektor berdimensi tertentu) dengan genus geometri kurva kompleks yang diberikan oleh persamaan ini. Mordell sampai pada kesimpulan bahwa jika derajat persamaan cukup besar (lebih dari dua), maka dimensi ruang solusi dinyatakan dalam genus kurva, dan oleh karena itu dimensi ini adalah FINITE. Sebaliknya - pangkat 2, persamaan Pythagoras memiliki rangkaian solusi DIMENSI TAK TERBATAS!

Tentu saja Mordell melihat hubungan antara hipotesisnya dan teorema Fermat. Jika diketahui bahwa untuk setiap derajat n > 2 ruang solusi bilangan bulat persamaan Fermat berdimensi berhingga, hal ini akan membantu membuktikan bahwa tidak ada solusi seperti itu sama sekali! Tetapi Mordell tidak melihat cara apa pun untuk membuktikan hipotesisnya - dan meskipun umurnya panjang, dia tidak menunggu hipotesis ini diubah menjadi teorema Faltings. Ini terjadi pada tahun 1983 - di era yang sama sekali berbeda, setelah kesuksesan besar topologi varietas aljabar.

Poincaré menciptakan ilmu ini seolah-olah secara kebetulan: dia ingin mengetahui apa itu manifold tiga dimensi. Bagaimanapun, Riemann menemukan struktur semua permukaan tertutup dan menerima jawaban yang sangat sederhana! Jika dalam kasus tiga dimensi atau multidimensi tidak ada jawaban seperti itu, Anda perlu membuat sistem invarian aljabar dari suatu ragam yang menentukan struktur geometrinya. Yang terbaik adalah jika invarian tersebut adalah elemen dari beberapa kelompok - komutatif atau non-komutatif.

Anehnya, rencana Poincaré yang berani ini berhasil: dilaksanakan dari tahun 1950 hingga 1970 berkat upaya banyak ahli geometri dan aljabar. Sampai tahun 1950, ada akumulasi diam-diam dari berbagai metode untuk mengklasifikasikan varietas, dan setelah tanggal ini, sejumlah besar orang dan ide tampaknya terakumulasi dan sebuah ledakan meletus, sebanding dengan penemuan analisis matematika pada abad ke-17. Namun revolusi analitis berlangsung lebih dari satu setengah abad biografi kreatif empat generasi ahli matematika - dari Newton dan Leibniz hingga Fourier dan Cauchy. Sebaliknya, revolusi topologi abad kedua puluh terjadi dalam waktu dua puluh tahun - berkat jumlah yang besar pesertanya. Pada saat yang sama, generasi besar matematikawan muda yang percaya diri terbentuk, yang tiba-tiba kehilangan pekerjaan di tanah air bersejarah mereka.

Pada tahun tujuh puluhan, mereka bergegas ke bidang matematika dan fisika teoretis yang berdekatan. Banyak yang telah mendirikan sekolah ilmiah sendiri di puluhan universitas di Eropa dan Amerika. Saat ini, banyak siswa dari berbagai usia dan kebangsaan, dengan kemampuan dan kecenderungan berbeda, beredar di antara pusat-pusat ini, dan setiap orang ingin menjadi terkenal karena suatu penemuan. Dalam kekacauan inilah dugaan Mordell dan teorema Fermat akhirnya terbukti.

Namun, burung layang-layang pertama, tanpa menyadari nasibnya, tumbuh di Jepang pada tahun-tahun kelaparan dan pengangguran pascaperang. Nama burung layang-layang itu adalah Yutaka Taniyama. Pada tahun 1955, pahlawan ini berusia 28 tahun, dan dia memutuskan (bersama teman Goro Shimura dan Takauji Tamagawa) untuk menghidupkan kembali penelitian matematika di Jepang. Di mana memulainya? Tentunya dengan mengatasi isolasi dari rekan-rekan asing! Maka pada tahun 1955, tiga pemuda Jepang menyelenggarakan konferensi internasional pertama tentang aljabar dan teori bilangan di Tokyo. Tampaknya lebih mudah melakukan hal ini di Jepang, yang dididik ulang oleh Amerika, daripada di Rusia, yang dibekukan oleh Stalin...

Di antara tamu kehormatan ada dua pahlawan dari Perancis: Andre Weil dan Jean-Pierre Serre. Di sini orang Jepang sangat beruntung: Weyl adalah pemimpin aljabar Prancis yang diakui dan anggota kelompok Bourbaki, dan Serre muda memainkan peran serupa di antara para ahli topologi. Dalam diskusi panas dengan mereka, kepala pemuda Jepang retak, otak mereka meleleh, namun pada akhirnya ide dan rencana seperti itu terkristalisasi yang hampir tidak mungkin lahir di lingkungan yang berbeda.

Suatu hari Taniyama mendekati Weil dengan pertanyaan tentang kurva elips dan fungsi modular. Awalnya orang Prancis itu tidak mengerti apa pun: Taniyama bukanlah ahli dalam mengekspresikan dirinya dalam bahasa Inggris. Kemudian inti masalahnya menjadi jelas, namun Taniyama tidak mampu memberikan rumusan yang tepat atas harapannya. Yang bisa dijawab Weil kepada pemuda Jepang itu hanyalah jika dia sangat beruntung dalam hal inspirasi, maka sesuatu yang berguna akan muncul dari hipotesisnya yang tidak jelas. Namun sejauh ini hanya ada sedikit harapan untuk hal ini!

Jelas sekali, Weil tidak menyadari api surgawi dalam tatapan Taniyama. Dan terjadilah api: nampaknya sejenak orang Jepang dirasuki oleh pemikiran gigih mendiang Poincaré! Taniyama menjadi yakin bahwa setiap kurva elips dihasilkan oleh fungsi modular - lebih tepatnya, “diseragamkan oleh bentuk modular.” Sayangnya, rumusan yang tepat ini lahir jauh kemudian - dalam percakapan antara Taniyama dan temannya Shimura. Dan kemudian Taniyama bunuh diri karena depresi... Hipotesisnya dibiarkan tanpa pemilik: tidak jelas bagaimana membuktikannya atau di mana mengujinya, dan oleh karena itu tidak ada yang menganggapnya serius untuk waktu yang lama. Respons pertama muncul tiga puluh tahun kemudian - hampir seperti di era Fermat!

Kebekuan mencair pada tahun 1983, ketika Gerd Faltings dari Jerman yang berusia dua puluh tujuh tahun mengumumkan kepada seluruh dunia: hipotesis Mordell terbukti! Para ahli matematika merasa waspada, namun Faltings adalah orang Jerman sejati: tidak ada celah dalam pembuktiannya yang panjang dan rumit. Waktunya telah tiba, fakta dan konsep telah terakumulasi - dan sekarang seorang aljabar berbakat, dengan mengandalkan hasil sepuluh aljabar lainnya, berhasil memecahkan masalah yang telah menunggu pemiliknya selama enam puluh tahun. Hal ini biasa terjadi dalam matematika abad ke-20. Perlu diingat masalah kontinum kuno dalam teori himpunan, dua dugaan Burnside dalam teori grup, atau dugaan Poincaré dalam topologi. Akhirnya, dalam teori bilangan, waktunya telah tiba untuk menuai hasil panen yang sudah lama ada... Puncak manakah yang akan menjadi puncak berikutnya dalam rangkaian yang ditaklukkan oleh para ahli matematika? Akankah permasalahan Euler, hipotesis Riemann, atau teorema Fermat benar-benar runtuh? Itu bagus!

Dan dua tahun setelah penemuan Faltings, ahli matematika lain yang terinspirasi muncul di Jerman. Namanya Gerhard Frey, dan dia menyatakan sesuatu yang aneh: bahwa teorema Fermat BERASAL dari dugaan Taniyama! Sayangnya, dalam gaya menyampaikan pemikirannya, Frey lebih mengingatkan pada Taniyama yang kurang beruntung daripada rekan senegaranya Faltings. Di Jerman, tidak ada yang memahami Frey, dan dia pergi ke luar negeri - ke kota Princeton yang megah, di mana, setelah Einstein, mereka tidak terbiasa menerima pengunjung seperti itu. Bukan tanpa alasan bahwa Barry Mazur, seorang ahli topologi serba bisa dan salah satu pahlawan dalam serangan baru-baru ini terhadap manifold halus, telah membangun sarangnya di sana. Dan seorang siswa, Ken Ribet, tumbuh di sebelah Mazur, sama-sama berpengalaman dalam seluk-beluk topologi dan aljabar, tetapi belum mengagungkan dirinya dalam hal apa pun.

Saat pertama kali mendengar pidato Frey, Ribet menganggap bahwa pidato tersebut tidak masuk akal dan fiksi ilmiah semu (Weil mungkin bereaksi dengan cara yang sama terhadap pengungkapan Taniyama). Namun Ribet tidak bisa melupakan “fantasi” ini dan dari waktu ke waktu kembali memikirkannya. Enam bulan kemudian, Ribet percaya bahwa ada sesuatu yang berguna dalam fantasi Frey, dan setahun kemudian dia memutuskan bahwa dia sendiri hampir bisa membuktikannya. hipotesis yang aneh Freya. Namun masih ada “lubang” yang tersisa, dan Ribet memutuskan untuk mengaku kepada bosnya, Mazur. Dia mendengarkan siswa tersebut dengan cermat dan dengan tenang menjawab: “Ya, Anda sudah menyelesaikan semuanya! Di sini Anda perlu menerapkan transformasi Ф, di sini Anda perlu menggunakan Lemmas B dan K, dan semuanya akan terlihat sempurna! Jadi Ribet melakukan lompatan dari ketidakjelasan menuju keabadian, menggunakan ketapel dalam diri Frey dan Mazur. Agar adil, semuanya - bersama dengan mendiang Taniyama - harus dianggap sebagai bukti Teorema Terakhir Fermat.

Tapi inilah masalahnya: pernyataan mereka berasal dari hipotesis Taniyama, yang pada dasarnya belum terbukti! Bagaimana jika dia tidak setia? Para ahli matematika telah lama mengetahui bahwa “segala sesuatu berasal dari kebohongan.” Jika tebakan Taniyama salah, maka alasan sempurna Ribet tidak ada gunanya! Kita perlu segera membuktikan (atau menyangkal) dugaan Taniyama - jika tidak, seseorang seperti Faltings akan membuktikan teorema Fermat dengan cara yang berbeda. Dia akan menjadi pahlawan!

Kecil kemungkinan kita akan mengetahui berapa banyak ahli aljabar muda atau berpengalaman yang menyerang teorema Fermat setelah kesuksesan Faltings atau setelah kemenangan Ribet pada tahun 1986. Mereka semua berusaha bekerja secara sembunyi-sembunyi, sehingga jika gagal mereka tidak dianggap sebagai komunitas “boneka” - petani. Diketahui, yang paling beruntung, Andrew Wiles dari Cambridge, baru merasakan kemenangan di awal tahun 1993. Hal ini tidak terlalu membuat Wiles senang tapi juga membuatnya takut: bagaimana jika ditemukan kesalahan atau celah dalam bukti dugaan Taniyama? Kemudian reputasi ilmiahnya lenyap! Anda perlu menuliskan buktinya dengan hati-hati (tetapi jumlahnya akan puluhan halaman!) dan menyisihkannya selama enam bulan atau satu tahun, sehingga Anda dapat membacanya kembali dengan tenang dan cermat... Tapi bagaimana jika selama ini kapan seseorang menerbitkan buktinya? Oh, masalah...

Namun, Wiles menemukan cara ganda untuk memeriksa buktinya dengan cepat. Pertama, Anda perlu memercayai salah satu teman kolega Anda yang dapat diandalkan dan memberi tahu dia seluruh alasannya. Dari luar, semua kesalahan terlihat lebih jelas! Kedua, mahasiswa cerdas dan mahasiswa pascasarjana perlu membaca mata kuliah khusus tentang topik ini: orang-orang pintar ini tidak akan melewatkan satu kesalahan pun dari dosen! Hanya saja, jangan beri tahu mereka tujuan akhir kursus sampai saat-saat terakhir - jika tidak, seluruh dunia akan mengetahuinya! Dan tentu saja, Anda perlu mencari audiens seperti itu lebih jauh dari Cambridge - lebih baik bahkan tidak di Inggris, tetapi di Amerika... Apa yang bisa lebih baik dari Princeton yang jauh?

Wiles menuju ke sana pada musim semi 1993. Temannya yang sabar, Niklas Katz, setelah mendengarkan laporan panjang Wiles, menemukan sejumlah celah di dalamnya, namun semuanya dapat dengan mudah diperbaiki. Namun mahasiswa pascasarjana Princeton segera lari dari kursus khusus Wiles, tidak ingin mengikuti pemikiran aneh dosen tersebut, yang membawa mereka entah ke mana. Setelah pemeriksaan (tidak terlalu mendalam) terhadap karyanya, Wiles memutuskan bahwa sudah waktunya untuk mengungkapkan keajaiban besar kepada dunia.

Pada bulan Juni 1993, konferensi lain yang didedikasikan untuk “teori Iwasawa”, cabang teori bilangan yang populer, diadakan di Cambridge. Wiles memutuskan untuk menceritakan bukti dugaan Taniyama tentang hal itu, tanpa mengumumkannya hasil utama sampai akhir. Pelaporan ini memakan waktu lama, namun berhasil; para jurnalis perlahan-lahan mulai berdatangan, merasakan sesuatu. Akhirnya, guntur melanda: teorema Fermat terbukti! Kegembiraan umum tidak dibayangi oleh keraguan apa pun: semuanya tampak jelas... Namun dua bulan kemudian, Katz, setelah membaca teks terakhir Wiles, melihat ada lubang lain di dalamnya. Transisi tertentu dalam penalaran didasarkan pada “sistem Euler” - tetapi yang dibangun Wiles bukanlah sistem seperti itu!

Tipuan memeriksa kemacetan dan menyadari bahwa dia salah di sini. Lebih buruk lagi: tidak jelas bagaimana cara mengganti alasan yang salah tersebut! Setelah itu, bulan-bulan tergelap dalam hidup Wiles dimulai. Sebelumnya, dia dengan bebas mensintesis bukti yang belum pernah ada sebelumnya dari bahan yang tersedia. Sekarang dia terikat pada tugas yang sempit dan jelas - tanpa keyakinan bahwa tugas itu memiliki solusi dan dia akan dapat menemukannya dalam waktu dekat. Belakangan ini Frey tak kuasa menahan perjuangan yang sama - dan kini namanya dikaburkan dengan nama Ribet yang sukses, meski tebakan Frey ternyata benar. Apa yang akan terjadi pada tebakanKU dan namaKU?

Kerja keras ini berlangsung tepat satu tahun. Pada bulan September 1994, Wiles siap mengakui kekalahan dan menyerahkan hipotesis Taniyama kepada penerus yang lebih sukses. Setelah membuat keputusan ini, dia mulai membaca kembali buktinya secara perlahan - dari awal hingga akhir, mendengarkan ritme penalaran, menghidupkan kembali kesenangan dari penemuan yang berhasil. Namun, setelah mencapai tempat “terkutuk”, Wiles tidak mendengar nada palsu dalam hati. Apakah alur pemikirannya benar-benar sempurna, dan kesalahan hanya muncul selama deskripsi VERBAL dari gambaran mental? Jika tidak ada “sistem Euler” di sini, lalu apa yang tersembunyi di sini?

Tiba-tiba sebuah pemikiran sederhana muncul di benak saya: “sistem Euler” tidak akan berfungsi jika teori Iwasawa dapat diterapkan. Mengapa tidak menerapkan teori ini secara langsung - untungnya, Wiles sendiri dekat dan akrab dengannya? Dan mengapa dia tidak mencoba pendekatan ini sejak awal, tetapi terbawa oleh pandangan orang lain tentang masalahnya? Wiles tidak dapat lagi mengingat detail ini - dan tidak ada gunanya. Dia melakukan alasan yang diperlukan dalam kerangka teori Iwasawa, dan semuanya berjalan dalam waktu setengah jam! Jadi, dengan penundaan satu tahun, kesenjangan terakhir dalam pembuktian dugaan Taniyama telah tertutup. Teks terakhir dibiarkan dirobek-robek oleh sekelompok pengulas dari jurnal matematika terkenal; setahun kemudian mereka menyatakan bahwa sekarang tidak ada kesalahan. Jadi, pada tahun 1995, hipotesis terakhir Fermat mati pada tahun ke tiga ratus enam puluh hidupnya, berubah menjadi teorema terbukti yang pasti akan dimasukkan dalam buku teks teori bilangan.

Menyimpulkan keributan selama tiga abad seputar teorema Fermat, kita harus menarik kesimpulan yang aneh: epik heroik ini mungkin tidak akan terjadi! Memang, teorema Pythagoras mengungkapkan hubungan sederhana dan penting antara visual benda-benda alam- panjang segmen. Namun hal yang sama tidak dapat dikatakan mengenai teorema Fermat. Ini lebih terlihat seperti suprastruktur budaya pada landasan ilmiah - seperti mencapai Kutub Utara Bumi atau terbang ke Bulan. Mari kita ingat bahwa kedua prestasi ini dinyanyikan oleh para penulis jauh sebelum pencapaian mereka - di zaman kuno, setelah munculnya Elemen Euclid, tetapi sebelum munculnya Aritmatika Diophantus. Ini berarti bahwa kemudian muncul kebutuhan sosial akan eksploitasi intelektual semacam ini - setidaknya yang bersifat khayalan! Sebelumnya, orang-orang Hellenes sudah muak dengan puisi-puisi Homer, sama seperti orang Prancis yang sudah muak dengan hobi keagamaan seratus tahun sebelum Fermat. Namun kemudian gairah keagamaan mereda - dan sains berdiri di sampingnya.

Di Rusia, proses seperti itu dimulai satu setengah ratus tahun yang lalu, ketika Turgenev menempatkan Yevgeny Bazarov setara dengan Yevgeny Onegin. Benar, penulis Turgenev kurang memahami motif tindakan ilmuwan Bazarov dan tidak berani menyanyikannya, tetapi ilmuwan Ivan Sechenov dan jurnalis tercerahkan Jules Verne segera melakukan hal ini. Revolusi ilmu pengetahuan dan teknologi yang terjadi secara spontan membutuhkan cangkang budaya untuk menembus pikiran kebanyakan orang, sehingga fiksi ilmiah muncul pertama kali, diikuti oleh literatur sains populer (termasuk majalah “Knowledge is Power”).

Pada saat yang sama, topik ilmiah tertentu sama sekali tidak penting bagi masyarakat umum dan tidak terlalu penting bahkan bagi para pahlawan pertunjukan. Jadi, setelah mendengar tentang pencapaian Kutub Utara oleh Peary dan Cook, Amundsen langsung mengubah tujuan ekspedisinya yang sudah disiapkan - dan segera mencapai Kutub Selatan, unggul satu bulan dari Scott. Belakangan, keberhasilan penerbangan Yuri Gagarin mengelilingi Bumi memaksa Presiden Kennedy untuk mengubah tujuan program luar angkasa Amerika sebelumnya menjadi lebih mahal, tetapi jauh lebih mengesankan: mendaratkan manusia di Bulan.

Bahkan sebelumnya, Hilbert yang berwawasan luas menjawab pertanyaan naif para siswa: “Solusi masalah ilmiah manakah yang paling berguna saat ini”? - menjawab dengan lelucon: "Tangkap lalat di sisi jauh Bulan!" Untuk pertanyaan yang membingungkan: “Mengapa ini diperlukan?” - datanglah jawaban yang jelas: “Tidak ada yang membutuhkan INI! Tapi pikirkan tentang itu metode ilmiah dan sarana teknis yang harus kita kembangkan untuk memecahkan masalah seperti itu - dan betapa banyak masalah indah lainnya yang akan kita pecahkan selama ini!

Inilah yang terjadi dengan teorema Fermat. Euler bisa saja melewatkannya.

Dalam hal ini, beberapa masalah lain akan menjadi idola para ahli matematika - mungkin juga dari teori bilangan. Misalnya, masalah Eratosthenes: apakah ada bilangan prima kembar yang berhingga atau tak terhingga (seperti 11 dan 13, 17 dan 19, dan seterusnya)? Atau masalah Euler: apa saja bilangan genap merupakan jumlah dua bilangan prima? Atau: apakah ada hubungan aljabar antara bilangan π dan e? Ketiga masalah ini masih belum terpecahkan, meskipun pada abad ke-20 para matematikawan semakin memahami esensinya. Namun abad ini juga telah melahirkan banyak permasalahan baru yang tidak kalah menariknya, terutama pada titik persimpangan matematika dengan fisika dan cabang ilmu pengetahuan alam lainnya.

Pada tahun 1900, Hilbert mengidentifikasi salah satunya: menciptakan sistem aksioma fisika matematika yang lengkap! Seratus tahun kemudian, masalah ini masih jauh dari terpecahkan, jika hanya karena persenjataan alat matematika dalam fisika terus bertambah, dan tidak semuanya memiliki dasar yang kuat. Namun setelah tahun 1970, fisika teoretis terpecah menjadi dua cabang. Yang satu (klasik) sejak zaman Newton telah terlibat dalam pemodelan dan peramalan proses BERKELANJUTAN, yang lain (baru) mencoba memformalkan interaksi proses TIDAK STABIL dan cara mengendalikannya. Jelas bahwa kedua cabang fisika ini harus diaksiomakan secara terpisah.

Yang pertama mungkin akan diselesaikan dalam dua puluh atau lima puluh tahun...

Dan apa yang hilang dari cabang fisika kedua - cabang yang bertanggung jawab atas semua jenis evolusi (termasuk fraktal aneh dan penarik aneh, ekologi biocenosis, dan teori passionaritas Gumilyov)? Kecil kemungkinan kita akan memahami hal ini dalam waktu dekat. Namun pemujaan para ilmuwan terhadap berhala baru sudah menjadi fenomena massal. Mungkin, sebuah epik akan terungkap di sini, sebanding dengan biografi teorema Fermat yang berusia tiga abad. Dengan demikian, di persimpangan ilmu-ilmu yang berbeda, lahirlah berhala-berhala baru - mirip dengan agama, tetapi lebih kompleks dan dinamis...

Rupanya, seseorang tidak bisa tetap menjadi manusia tanpa menggulingkan berhala lama dari waktu ke waktu dan menciptakan yang baru - dalam kesakitan dan kegembiraan! Pierre Fermat beruntung berada di momen yang menentukan dekat dengan titik panas kelahiran idola baru - dan dia berhasil meninggalkan jejak kepribadiannya pada bayi yang baru lahir. Nasib seperti itu bisa membuat iri, dan menirunya bukanlah dosa.

Sergei Smirnov
"Pengetahuan adalah kekuatan"

Tidak banyak orang di dunia yang belum pernah mendengar Teorema Terakhir Fermat - mungkin ini satu-satunya masalah matematika, yang menjadi begitu dikenal luas dan menjadi legenda nyata. Hal ini disebutkan dalam banyak buku dan film, dan konteks utama dari hampir semua penyebutan adalah ketidakmungkinan membuktikan teorema tersebut.

Ya, teorema ini sangat terkenal dan, dalam arti tertentu, telah menjadi "berhala" yang dipuja oleh ahli matematika amatir dan profesional, tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahwa buktinya telah ditemukan, dan ini terjadi pada tahun 1995. Tapi hal pertama yang pertama.

Jadi, Teorema Terakhir Fermat (sering disebut Teorema Terakhir Fermat), yang dirumuskan pada tahun 1637 oleh ahli matematika Prancis yang brilian, Pierre Fermat, pada intinya sangat sederhana dan dapat dipahami oleh siapa saja yang berpendidikan menengah. Dikatakan bahwa rumus a pangkat n + b pangkat n = c pangkat n tidak memiliki solusi alami (yaitu, bukan pecahan) untuk n > 2. Semuanya tampak sederhana dan jelas, tetapi matematikawan terbaik dan amatir biasa berjuang mencari solusi selama lebih dari tiga setengah abad.

Kenapa dia begitu terkenal? Sekarang kita akan mencari tahu...

Apakah ada banyak teorema yang terbukti, belum terbukti, dan belum terbukti? Intinya di sini adalah Teorema Terakhir Fermat mewakili kontras terbesar antara kesederhanaan rumusan dan kompleksitas pembuktian. Teorema Terakhir Fermat adalah tugas yang luar biasa sulit, namun rumusannya dapat dipahami oleh siapa saja yang tingkat kelas 5 SD. sekolah menengah atas, namun buktinya tidak dimiliki oleh semua matematikawan profesional. Baik dalam fisika, kimia, biologi, maupun matematika, tidak ada satu masalah pun yang dapat dirumuskan dengan begitu sederhana, namun tetap tidak terpecahkan begitu lama. 2. Terdiri dari apa?

Mari kita mulai dengan celana Pythagoras, kata-katanya sangat sederhana - pada pandangan pertama. Seperti yang kita ketahui sejak kecil, “Celana Pythagoras sama di semua sisi.” Soalnya terlihat sangat sederhana karena didasarkan pada pernyataan matematika yang diketahui semua orang - teorema Pythagoras: dalam bentuk apa pun segitiga siku-siku persegi yang dibangun pada sisi miring sama dengan jumlah persegi yang dibangun pada kaki-kakinya.

Pada abad ke-5 SM. Pythagoras mendirikan persaudaraan Pythagoras. Penganut Pythagoras, antara lain, mempelajari bilangan bulat kembar tiga yang memenuhi persamaan x²+y²=z². Mereka membuktikan bahwa ada banyak sekali tripel Pythagoras dan memperoleh rumus umum untuk mencarinya. Mereka mungkin mencoba mencari bertiga atau lebih derajat tinggi. Yakin bahwa ini tidak berhasil, kaum Pythagoras meninggalkan upaya sia-sia mereka. Anggota persaudaraan lebih banyak filsuf dan estetika daripada ahli matematika.

Artinya, mudah untuk memilih sekumpulan bilangan yang memenuhi persamaan x²+y²=z² secara sempurna

Mulai dari 3, 4, 5 – memang seorang siswa SMP paham bahwa 9 + 16 = 25.

Atau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Hebat.

Jadi, ternyata TIDAK. Di sinilah triknya dimulai. Kesederhanaan tampak jelas, karena sulit untuk membuktikan bukan keberadaan sesuatu, melainkan ketidakhadirannya. Ketika Anda perlu membuktikan bahwa ada solusi, Anda dapat dan harus menyajikan solusi tersebut.

Membuktikan ketidakhadiran lebih sulit: misalnya, seseorang berkata: persamaan ini dan itu tidak memiliki solusi. Taruh dia di genangan air? mudah: bam - dan ini dia, solusinya! (berikan solusi). Dan itu saja, lawannya dikalahkan. Bagaimana cara membuktikan ketidakhadiran?

Katakan: “Saya belum menemukan solusi seperti itu”? Atau mungkin kamu sedang tidak dalam keadaan sehat? Bagaimana jika mereka ada, hanya sangat besar, sangat besar, sehingga bahkan komputer yang sangat kuat pun masih belum memiliki kekuatan yang cukup? Inilah yang sulit.

Hal ini dapat ditunjukkan secara visual seperti ini: jika Anda mengambil dua kotak dengan ukuran yang sesuai dan membongkarnya menjadi kotak satuan, maka dari kumpulan kotak satuan ini Anda mendapatkan kotak ketiga (Gbr. 2):

Tapi mari kita lakukan hal yang sama dengan dimensi ketiga (Gbr. 3) - itu tidak berhasil. Kubusnya tidak cukup, atau masih ada kubus tambahan yang tersisa:

Namun matematikawan Prancis abad ke-17, Pierre de Fermat, dengan antusias melakukan eksplorasi persamaan umum x n +y n =z n . Dan akhirnya saya menyimpulkan: untuk n>2 tidak ada solusi bilangan bulat. Bukti Fermat hilang dan tidak dapat diperbaiki lagi. Naskahnya terbakar! Yang tersisa hanyalah pernyataannya dalam Aritmatika Diophantus: “Saya telah menemukan bukti yang sungguh menakjubkan dari proposisi ini, namun margin di sini terlalu sempit untuk memuatnya.”

Sebenarnya teorema tanpa pembuktian disebut hipotesis. Namun Fermat memiliki reputasi tidak pernah melakukan kesalahan. Meski dia tidak meninggalkan bukti pernyataannya, hal itu kemudian dikonfirmasi. Selain itu, Fermat membuktikan tesisnya untuk n=4. Dengan demikian, hipotesis ahli matematika Perancis tercatat dalam sejarah sebagai Teorema Terakhir Fermat.

Setelah Fermat, pemikir besar seperti Leonhard Euler bekerja mencari bukti (pada tahun 1770 ia mengusulkan solusi untuk n = 3),

Adrien Legendre dan Johann Dirichlet (para ilmuwan ini bersama-sama menemukan bukti n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lamé (yang menemukan bukti n = 7) dan banyak lainnya. Pada pertengahan tahun 1980-an, hal itu menjadi jelas dunia ilmiah sedang menuju solusi akhir Teorema Terakhir Fermat, tetapi baru pada tahun 1993 para ahli matematika melihat dan percaya bahwa epik tiga abad dalam mencari bukti teorema terakhir Fermat secara praktis telah berakhir.

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa membuktikan teorema Fermat hanya untuk n sederhana: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Untuk komposit n, pembuktiannya tetap valid. Tapi bilangan prima itu jumlahnya tak terhingga...

Pada tahun 1825, dengan menggunakan metode Sophie Germain, matematikawan wanita, Dirichlet dan Legendre secara independen membuktikan teorema n=5. Pada tahun 1839, dengan menggunakan metode yang sama, orang Perancis Gabriel Lame menunjukkan kebenaran teorema untuk n=7. Lambat laun teorema tersebut terbukti untuk hampir semua n kurang dari seratus.

Terakhir, matematikawan Jerman Ernst Kummer, dalam penelitiannya yang brilian, menunjukkan bahwa teorema tersebut secara umum tidak dapat dibuktikan dengan menggunakan metode matematika abad ke-19. Hadiah dari Akademi Ilmu Pengetahuan Perancis, yang didirikan pada tahun 1847 untuk pembuktian teorema Fermat, tetap tidak diberikan.

Pada tahun 1907, industrialis kaya Jerman Paul Wolfskehl memutuskan untuk bunuh diri karena cinta tak berbalas. Layaknya orang Jerman sejati, ia menetapkan tanggal dan waktu bunuh diri: tepat tengah malam. Pada hari terakhir dia membuat surat wasiat dan menulis surat kepada teman dan kerabatnya. Segalanya berakhir sebelum tengah malam. Harus dikatakan bahwa Paul tertarik pada matematika. Karena tidak punya pekerjaan lain, dia pergi ke perpustakaan dan mulai membaca artikel terkenal Kummer. Tiba-tiba dia merasa Kummer telah melakukan kesalahan dalam penalarannya. Wolfskel mulai menganalisis bagian artikel ini dengan pensil di tangannya. Tengah malam telah berlalu, pagi telah tiba. Kesenjangan dalam pembuktian telah terisi. Dan alasan untuk bunuh diri sekarang tampak sangat konyol. Paul merobek surat perpisahannya dan menulis ulang surat wasiatnya.

Dia segera meninggal karena sebab alamiah. Ahli waris cukup terkejut: 100.000 mark (lebih dari 1.000.000 pound sterling saat ini) ditransfer ke rekening Royal Scientific Society of Göttingen, yang pada tahun yang sama mengumumkan kompetisi untuk Hadiah Wolfskehl. 100.000 nilai diberikan kepada orang yang membuktikan teorema Fermat. Tidak ada pfennig yang diberikan karena menyangkal teorema tersebut...

Kebanyakan matematikawan profesional menganggap pencarian bukti Teorema Terakhir Fermat sebagai tugas yang sia-sia dan dengan tegas menolak membuang waktu untuk latihan yang tidak berguna tersebut. Tapi para amatir bersenang-senang. Beberapa minggu setelah pengumuman tersebut, banyak “bukti” melanda Universitas Göttingen. Profesor E.M. Landau, yang bertanggung jawab menganalisis bukti yang dikirimkan, membagikan kartu kepada murid-muridnya:

Sayang. . . . . . . .

Terima kasih telah mengirimkan saya naskah dengan bukti Teorema Terakhir Fermat. Kesalahan pertama ada di halaman...sebaris... . Oleh karena itu, seluruh bukti kehilangan keabsahannya.
Profesor E.M. Landau

Pada tahun 1963, Paul Cohen, dengan mengandalkan temuan Gödel, membuktikan tidak terpecahkannya salah satu dari dua puluh tiga masalah Hilbert - hipotesis kontinum. Bagaimana jika Teorema Terakhir Fermat juga tidak dapat diputuskan?! Namun para fanatik Teorema Besar sejati tidak kecewa sama sekali. Munculnya komputer tiba-tiba memberi semangat bagi para ahli matematika metode baru bukti. Setelah Perang Dunia II, tim pemrogram dan matematikawan membuktikan Teorema Terakhir Fermat untuk semua nilai n hingga 500, lalu hingga 1.000, dan kemudian hingga 10.000.

Pada tahun 1980an, Samuel Wagstaff menaikkan batas menjadi 25.000, dan pada tahun 1990an, ahli matematika menyatakan bahwa Teorema Terakhir Fermat benar untuk semua nilai n hingga 4 juta. Namun jika Anda mengurangi satu triliun triliun pun dari tak terhingga, jumlahnya tidak akan menjadi lebih kecil. Matematikawan tidak yakin dengan statistik. Membuktikan Teorema Besar berarti membuktikannya untuk SEMUA n yang menuju tak terhingga.

Pada tahun 1954, dua teman matematikawan muda Jepang mulai meneliti bentuk modular. Bentuk-bentuk ini menghasilkan rangkaian angka, masing-masing dengan rangkaiannya sendiri. Secara kebetulan, Taniyama membandingkan deret tersebut dengan deret yang dihasilkan oleh persamaan elips. Mereka cocok! Tapi bentuk modular adalah objek geometris, dan persamaan elips adalah aljabar. Tidak ada hubungan yang pernah ditemukan antara objek-objek berbeda tersebut.

Namun, setelah pengujian yang cermat, teman-teman mengajukan hipotesis: setiap persamaan elips memiliki kembaran - bentuk modular, dan sebaliknya. Hipotesis inilah yang menjadi landasan seluruh arah matematika, namun hingga hipotesis Taniyama-Shimura terbukti, seluruh bangunan bisa runtuh kapan saja.

Pada tahun 1984, Gerhard Frey menunjukkan bahwa solusi persamaan Fermat, jika ada, dapat dimasukkan ke dalam persamaan elips. Dua tahun kemudian, Profesor Ken Ribet membuktikan bahwa persamaan hipotetis ini tidak ada tandingannya di dunia modular. Mulai sekarang, Teorema Terakhir Fermat terkait erat dengan dugaan Taniyama-Shimura. Setelah membuktikan bahwa setiap kurva elips bersifat modular, kami menyimpulkan bahwa tidak ada persamaan elips dengan solusi persamaan Fermat, dan Teorema Terakhir Fermat akan segera dibuktikan. Namun selama tiga puluh tahun hipotesis Taniyama-Shimura tidak dapat dibuktikan, dan harapan untuk berhasil pun semakin berkurang.

Pada tahun 1963, ketika dia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona oleh matematika. Ketika dia mempelajari Teorema Besar, dia menyadari bahwa dia tidak bisa menyerah begitu saja. Sebagai anak sekolah, pelajar, dan mahasiswa pascasarjana, dia mempersiapkan diri untuk tugas ini.

Setelah mengetahui temuan Ken Ribet, Wiles langsung membuktikan hipotesis Taniyama-Shimura. Dia memutuskan untuk bekerja dalam isolasi dan kerahasiaan total. “Saya menyadari bahwa segala sesuatu yang berhubungan dengan Teorema Terakhir Fermat menimbulkan terlalu banyak minat... Terlalu banyak penonton jelas mengganggu pencapaian tujuan.” Kerja keras selama tujuh tahun membuahkan hasil, Wiles akhirnya menyelesaikan pembuktian dugaan Taniyama-Shimura.

Pada tahun 1993, ahli matematika Inggris Andrew Wiles mempresentasikan kepada dunia bukti Teorema Terakhir Fermat (Wiles membaca makalah sensasionalnya di sebuah konferensi di Institut Sir Isaac Newton di Cambridge.), yang pengerjaannya berlangsung lebih dari tujuh tahun.

Sementara hype terus berlanjut di media, upaya serius mulai memverifikasi bukti. Setiap bukti harus diperiksa secara cermat sebelum bukti tersebut dapat dianggap teliti dan akurat. Wiles menghabiskan musim panas yang gelisah menunggu masukan dari pengulas, berharap dia bisa mendapatkan persetujuan mereka. Pada akhir bulan Agustus, para ahli menemukan bahwa putusan tersebut tidak memiliki dasar yang cukup.

Ternyata keputusan tersebut mengandung kesalahan besar, meski secara umum benar. Wiles tidak menyerah, meminta bantuan ahli teori bilangan terkenal, Richard Taylor, dan pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorema yang telah dikoreksi dan diperluas. Yang paling menakjubkan adalah karya ini memakan sebanyak 130 (!) halaman di jurnal matematika “Annals of Mathematics”. Namun ceritanya juga tidak berakhir di situ - titik akhir baru tercapai pada tahun berikutnya, 1995, ketika versi pembuktian final dan "ideal", dari sudut pandang matematis, diterbitkan.

“...setengah menit setelah dimulainya jamuan makan malam di hari ulang tahunnya, saya menghadiahkan Nadya naskah bukti lengkapnya” (Andrew Wales). Bukankah saya sudah mengatakan bahwa matematikawan adalah orang yang aneh?

Kali ini buktinya tidak diragukan lagi. Dua artikel menjadi sasaran analisis yang paling cermat dan diterbitkan pada Mei 1995 di Annals of Mathematics.

Banyak waktu telah berlalu sejak saat itu, namun masih ada anggapan di masyarakat bahwa Teorema Terakhir Fermat tidak dapat dipecahkan. Tetapi bahkan mereka yang mengetahui bukti yang ditemukan terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit yang puas bahwa Teorema Besar memerlukan solusi sepanjang 130 halaman!

Oleh karena itu, sekarang upaya banyak ahli matematika (kebanyakan amatir, bukan ilmuwan profesional) dicurahkan untuk mencari bukti yang sederhana dan ringkas, tetapi jalan ini, kemungkinan besar, tidak akan membawa kemana-mana...

sumber

Ivliev Yu.A.

Artikel ini dikhususkan untuk deskripsi kesalahan matematika mendasar yang dibuat dalam proses pembuktian Teorema Terakhir Fermat pada akhir abad kedua puluh. Kesalahan yang ditemukan tidak hanya mendistorsi arti sebenarnya dari teorema tersebut, tetapi juga menghambat pengembangan pendekatan aksiomatik baru terhadap studi pangkat bilangan dan deret bilangan alami.

Pada tahun 1995, sebuah artikel diterbitkan, seukuran buku, dan melaporkan pembuktian Teorema Besar (Terakhir) Fermat (WTF) yang terkenal (untuk sejarah teorema dan upaya pembuktiannya, lihat, misalnya, ). Setelah peristiwa ini, banyak artikel ilmiah dan buku sains populer bermunculan yang mempromosikan bukti ini, namun tidak satupun dari karya tersebut mengungkapkan kesalahan matematika mendasar di dalamnya, yang muncul bukan karena kesalahan penulisnya, namun karena optimisme aneh yang mencengkeram. pikiran ahli matematika yang mempelajari masalah ini dan isu-isu terkait. Aspek psikologis Fenomena ini telah dipelajari di. Di sini kami memberikan analisis rinci tentang kesalahan yang terjadi, yang bukan bersifat pribadi, tetapi merupakan akibat dari kesalahpahaman tentang sifat-sifat pangkat bilangan bulat. Seperti ditunjukkan dalam, masalah Fermat berakar pada pendekatan aksiomatik baru terhadap studi sifat-sifat ini, yang masih dalam tahap pengembangan. ilmu pengetahuan modern tidak diterapkan. Namun bukti yang salah menghalanginya, memberikan pedoman yang salah kepada spesialis teori bilangan dan membuat peneliti masalah Fermat menjauh dari solusi langsung dan memadai. Pekerjaan ini dikhususkan untuk menghilangkan hambatan ini.

1. Anatomi kesalahan yang dibuat selama pembuktian WTF

Dalam proses penalaran yang sangat panjang dan membosankan, pernyataan asli Fermat dirumuskan kembali dalam bentuk perbandingan persamaan Diophantine derajat pth dengan kurva elips orde ke-3 (lihat Teorema 0,4 dan 0,5 in). Perbandingan ini memaksa penulis bukti kolektif untuk mengumumkan bahwa metode dan alasan mereka mengarah pada solusi akhir untuk masalah Fermat (ingat bahwa WTF tidak memiliki bukti yang diakui untuk kasus pangkat bilangan bulat sembarang dari bilangan bulat sampai tahun 90an yang lalu. abad). Tujuan dari pertimbangan ini adalah untuk menetapkan kesalahan matematis dari perbandingan di atas dan, sebagai hasil analisis, untuk menemukan kesalahan mendasar dalam pembuktian yang disajikan.

a) Dimana dan apa kesalahannya?

Jadi kita ikuti teksnya, dimana pada halaman 448 dikatakan bahwa setelah “ide jenaka” G. Frey, kemungkinan untuk membuktikan WTF terbuka. Pada tahun 1984, G. Frey menyarankan dan

K. Ribet kemudian membuktikan bahwa kurva elips yang diduga mewakili solusi bilangan bulat hipotetis persamaan Fermat

kamu 2 = x(x + kamu p)(x - ay p) (1)

tidak bisa modular. Namun, A. Wiles dan R. Taylor membuktikan bahwa setiap kurva elips semistabil yang didefinisikan pada bidang bilangan rasional bersifat modular. Hal ini mengarah pada kesimpulan tentang ketidakmungkinan solusi bilangan bulat persamaan Fermat dan, akibatnya, validitas pernyataan Fermat, yang dalam notasi A. Wiles ditulis sebagai Teorema 0,5: biarlah ada persamaan

kamu p+ ay p+ w hal = 0 (2)

Di mana kamu, ay, w - angka rasional, indikator keseluruhan p ≥ 3; maka (2) terpenuhi hanya jika uvw = 0 .

Tampaknya, sekarang kita harus kembali ke masa lalu dan memikirkan secara kritis mengapa kurva (1) secara apriori dianggap berbentuk elips dan apa hubungan sebenarnya dengan persamaan Fermat. Mengantisipasi pertanyaan ini, A. Wiles mengacu pada karya Y. Hellegouarch, di mana ia menemukan cara untuk mengasosiasikan persamaan Fermat (mungkin diselesaikan dalam bilangan bulat) dengan kurva hipotetis orde ketiga. Berbeda dengan G. Frey, I. Elleguarche tidak menghubungkan kurvanya dengan bentuk modular, namun metodenya dalam memperoleh persamaan (1) digunakan untuk lebih memajukan pembuktian A. Wiles.

Mari kita lihat lebih dekat pekerjaan. Penulis melakukan penalarannya dalam kerangka geometri proyektif. Menyederhanakan beberapa notasinya dan menyelaraskannya dengan , kita menemukan kurva Abelian

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

persamaan Diophantine dibandingkan

X p+ kamu p+ z hal = 0 (4)

Di mana X, kamu, z adalah bilangan bulat yang tidak diketahui, p adalah eksponen bilangan bulat dari (2), dan solusi persamaan Diophantine (4) α p , β p , γ p digunakan untuk menulis kurva Abelian (3).

Sekarang, untuk memastikan bahwa ini adalah kurva elips orde ke-3, perlu diperhatikan variabel X dan Y pada (3) pada bidang Euclidean. Untuk melakukan ini, kita menggunakan aturan aritmatika kurva elips yang terkenal: jika ada dua titik rasional pada kurva aljabar kubik dan sebuah garis yang melalui titik-titik ini memotong kurva ini di titik lain, maka titik terakhir juga merupakan titik rasional. . Persamaan hipotetis (4) secara formal mewakili hukum penjumlahan titik-titik pada garis lurus. Jika kita melakukan perubahan variabel X p = SEBUAH, kamu hal = B, z p = C dan arahkan garis lurus yang dihasilkan sepanjang sumbu X pada (3), maka akan memotong kurva derajat 3 di tiga titik: (X = 0, Y = 0), (X = β p, Y = 0) , (X = - γ p, Y = 0), yang tercermin dalam notasi kurva Abelian (3) dan notasi serupa (1). Namun, apakah kurva (3) atau (1) sebenarnya berbentuk elips? Jelas tidak, karena ruas-ruas garis Euclidean, jika dijumlahkan titik-titik di atasnya, diambil dalam skala nonlinier.

Kembali ke sistem koordinat linier ruang Euclidean, kita memperoleh rumus (1) dan (3) yang sangat berbeda dengan rumus kurva elips. Misalnya, (1) dapat berbentuk berikut:

η 2p = ξ p (ξ p + kamu hal)(ξ hal - ay p) (5)

dimana ξ p = x, η p = y, dan banding ke (1) dalam hal ini untuk menurunkan WTF tampaknya tidak sah. Meskipun (1) memenuhi beberapa kriteria untuk kelas kurva elips, kriteria yang paling penting adalah persamaan derajat ke-3 dalam sistem linier itu tidak memenuhi koordinat.

b) Klasifikasi kesalahan

Jadi, mari kita kembali ke awal pembahasan dan melihat bagaimana kesimpulan tentang kebenaran WTF dapat dicapai. Pertama, diasumsikan bahwa terdapat solusi terhadap persamaan Fermat dalam bilangan bulat positif. Kedua, solusi ini secara sewenang-wenang dimasukkan ke dalam bentuk aljabar dari bentuk yang diketahui (kurva bidang derajat 3) dengan asumsi bahwa kurva elips yang diperoleh ada (asumsi kedua yang belum dikonfirmasi). Ketiga, karena metode lain membuktikan bahwa kurva tertentu yang dibangun adalah non-modular, maka kurva tersebut tidak ada. Hal ini mengarah pada kesimpulan: tidak ada solusi bilangan bulat untuk persamaan Fermat dan oleh karena itu, WTF benar.

Ada satu titik lemah dalam argumen ini, yang setelah diverifikasi secara mendetail, ternyata merupakan kesalahan. Kesalahan ini terjadi pada proses pembuktian tahap kedua, ketika diasumsikan bahwa solusi hipotetis persamaan Fermat juga merupakan solusi. persamaan aljabar Derajat 3, menggambarkan kurva elips dari tipe yang diketahui. Asumsi seperti itu sendiri dapat dibenarkan jika kurva yang ditunjukkan benar-benar berbentuk elips. Namun, seperti dapat dilihat dari poin 1a), kurva ini disajikan dalam koordinat nonlinier, sehingga menjadikannya “ilusi”, yaitu. tidak benar-benar ada dalam ruang topologi linier.

Sekarang kita perlu mengklasifikasikan kesalahan yang ditemukan dengan jelas. Letaknya pada kenyataan bahwa apa yang perlu dibuktikan dihadirkan sebagai dalil pembuktian. Dalam logika klasik kesalahan ini dikenal sebagai “lingkaran setan”. Dalam hal ini, solusi bilangan bulat persamaan Fermat dibandingkan (tampaknya, mungkin unik) dengan kurva elips fiktif yang tidak ada, dan kemudian semua alur pemikiran lebih lanjut dihabiskan untuk membuktikan bahwa kurva elips spesifik dari bentuk ini, diperoleh dari solusi hipotetis persamaan Fermat, tidak ada.

Bagaimana bisa kesalahan mendasar seperti itu terlewatkan dalam pekerjaan matematika yang serius? Hal ini mungkin terjadi karena objek “ilusi” sebelumnya belum pernah dipelajari dalam matematika. angka geometris dari tipe yang ditentukan. Memangnya siapa yang tertarik, misalnya, pada lingkaran fiktif yang diperoleh dari persamaan Fermat dengan mengganti variabel x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? Bagaimanapun, persamaannya C 2 = A 2 + B 2 tidak memiliki solusi bilangan bulat untuk bilangan bulat x, y, z dan n ≥ 3. Pada sumbu koordinat nonlinier X dan Y, lingkaran seperti itu akan digambarkan dengan persamaan, menurut penampilan sangat mirip dengan bentuk standar:

kamu 2 = - (X - A)(X + B),

dimana A dan B bukan lagi variabel, melainkan bilangan tertentu yang ditentukan oleh substitusi di atas. Namun jika bilangan A dan B diberikan bentuk aslinya yang terdiri dari karakter pangkatnya, maka heterogenitas notasi faktor-faktor di sisi kanan persamaan langsung menarik perhatian. Fitur ini membantu membedakan ilusi dari kenyataan dan berpindah dari koordinat nonlinier ke linier. Sebaliknya jika kita menganggap bilangan sebagai operator ketika membandingkannya dengan variabel, seperti misalnya pada (1), maka keduanya harus merupakan besaran yang homogen, yaitu. harus mempunyai derajat yang sama.

Pemahaman tentang pangkat bilangan sebagai operator juga memungkinkan kita untuk melihat bahwa perbandingan persamaan Fermat dengan kurva elips ilusi tidaklah ambigu. Ambil contoh, salah satu faktor di ruas kanan (5) dan dekomposisi menjadi p faktor linier, masukkan bilangan kompleks r sehingga r p = 1 (lihat contoh):

p+ kamu hal = (ξ + kamu)(ξ+r kamu)(ξ + r 2 kamu)...(ξ + r hal-1 kamu) (6)

Kemudian bentuk (5) dapat direpresentasikan sebagai penguraian menjadi faktor prima dari bilangan kompleks menurut jenis identitas aljabar (6), namun keunikan penguraian tersebut dalam kasus umum dipertanyakan, seperti yang pernah ditunjukkan oleh Kummer .

2. Kesimpulan

Dari analisa sebelumnya dapat disimpulkan bahwa apa yang disebut aritmatika kurva elips tidak mampu menjelaskan di mana mencari bukti WTF. Usai karya tersebut, pernyataan Fermat yang dijadikan prasasti artikel ini mulai dianggap sebagai lelucon sejarah atau hoax. Namun kenyataannya ternyata bukan Fermat yang bercanda, melainkan para ahli yang berkumpul pada simposium matematika di Oberwolfach di Jerman pada tahun 1984, di mana G. Frey menyuarakan ide cerdasnya. Konsekuensi dari pernyataan ceroboh seperti itu membawa matematika secara keseluruhan ke jurang kehilangan kepercayaan publik, yang dijelaskan secara rinci dan tentu menimbulkan pertanyaan tentang tanggung jawab lembaga ilmiah terhadap masyarakat. Perbandingan persamaan Fermat dengan kurva Frey (1) merupakan “kunci” dari keseluruhan pembuktian Wiles mengenai teorema Fermat, dan jika tidak ada korespondensi antara kurva Fermat dan kurva elips modular, maka tidak ada pembuktian.

Baru-baru ini, berbagai laporan Internet muncul bahwa beberapa ahli matematika terkemuka akhirnya menemukan bukti Wiles tentang teorema Fermat, dengan memberikan pembenaran untuk itu dalam bentuk penghitungan ulang "minimal" titik bilangan bulat dalam ruang Euclidean. Namun, tidak ada inovasi yang dapat membatalkan hasil klasik yang telah diperoleh umat manusia dalam matematika, khususnya fakta bahwa meskipun bilangan urut mana pun bertepatan dengan analog kuantitatifnya, ia tidak dapat menggantikannya dalam operasi membandingkan bilangan satu sama lain, dan karenanya dengan kesimpulan yang tak terelakkan bahwa kurva Frey (1) awalnya tidak berbentuk elips, yaitu. bukankah itu menurut definisinya.

BIBLIOGRAFI:

Ivliev Yu.A. Rekonstruksi bukti asli Teorema Terakhir Fermat - United Scientific Journal (bagian "Matematika"). April 2006 No. 7 (167) hal. 3-9, lihat juga Akademi Informatisasi Internasional Cabang Praci Lugansk. Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Ukraina. Universitas Nasional Skhidnoukransky dinamai demikian. V.Dal. 2006 Nomor 2 (13) hal.19-25.
Ivliev Yu.A. Penipuan ilmiah terbesar abad ke-20: “bukti” Teorema Terakhir Fermat - Alami dan Ilmu teknis(bagian “Sejarah dan metodologi matematika”). Agustus 2007 No. 4 (30) hal.34-48.
Teorema terakhir Edwards G. (Edwards H.M.) Fermat. Pengenalan genetik pada teori bilangan aljabar. Per. dari bahasa Inggris diedit oleh B.F.Skubenko. M.: Mir 1980, 484 hal.
Hellegouarch Y. Poin d´ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI hal.253-263.
Wiles A. Kurva elips modular dan Teorema Terakhir Fermat - Sejarah Matematika. Mei 1995 v.141 Seri kedua No.3 hal.443-551.

Tautan bibliografi

Ivliev Yu.A. BUKTI PALSU WILLES DARI TEOREMA TERAKHIR FERMA // Penelitian dasar. – 2008. – Nomor 3. – Hal.13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (tanggal akses: 17/03/2020). Kami menyampaikan kepada Anda majalah-majalah yang diterbitkan oleh penerbit "Academy of Natural Sciences"

Dilihat dari popularitas pertanyaan "Teorema Fermat - bukti singkat" ini masalah matematika sangat menarik minat banyak orang. Teorema ini pertama kali dikemukakan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1637 di tepi salinan Aritmatika, di mana ia menyatakan bahwa ia mempunyai solusi yang terlalu besar untuk muat di tepinya.

Bukti sukses pertama diterbitkan pada tahun 1995, bukti lengkap teorema Fermat oleh Andrew Wiles. Hal ini digambarkan sebagai "kemajuan yang menakjubkan" dan membuat Wiles menerima Hadiah Abel pada tahun 2016. Meskipun dijelaskan secara relatif singkat, pembuktian teorema Fermat juga membuktikan sebagian besar teorema modularitas dan membuka pendekatan baru terhadap berbagai masalah dan masalah lain. metode yang efektif munculnya modularitas. Prestasi ini memajukan matematika 100 tahun. Pembuktian teorema kecil Fermat bukanlah sesuatu yang luar biasa saat ini.

Masalah yang belum terpecahkan tersebut mendorong berkembangnya teori bilangan aljabar pada abad ke-19 dan pencarian bukti teorema modularitas pada abad ke-20. Ini adalah salah satu teorema paling menonjol dalam sejarah matematika dan sebelum pembuktian lengkap teorema terakhir Fermat dengan metode pembagian, teorema ini masuk dalam Guinness Book of Records sebagai "masalah matematika paling sulit", salah satu ciri dari itulah yang dimilikinya jumlah terbesar bukti yang tidak berhasil.

Referensi sejarah

Persamaan Pythagoras x 2 + y 2 = z 2 memiliki solusi bilangan bulat positif yang tak terhingga untuk x, y dan z. Solusi ini dikenal sebagai trinitas Pythagoras. Sekitar tahun 1637, Fermat menulis di tepi buku bahwa persamaan yang lebih umum a n + b n = c n tidak memiliki solusi dalam bilangan asli, jika n adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 2. Meskipun Fermat sendiri mengaku mempunyai solusi untuk masalahnya, dia tidak meninggalkan rincian apapun tentang pembuktiannya. Bukti dasar teorema Fermat, yang dinyatakan oleh penciptanya, lebih merupakan penemuannya yang sombong. Buku ahli matematika besar Perancis ditemukan 30 tahun setelah kematiannya. Persamaan ini, yang disebut Teorema Terakhir Fermat, masih belum terpecahkan dalam matematika selama tiga setengah abad.

Teorema ini akhirnya menjadi salah satu masalah paling menonjol yang belum terpecahkan dalam matematika. Upaya untuk membuktikan hal ini memicu perkembangan signifikan dalam teori bilangan, dan seiring berjalannya waktu, Teorema Terakhir Fermat dikenal sebagai masalah yang belum terpecahkan dalam matematika.

Sejarah singkat bukti

Jika n = 4, seperti yang dibuktikan Fermat sendiri, cukup untuk membuktikan teorema indeks n yang merupakan bilangan prima. Selama dua abad berikutnya (1637-1839) dugaan tersebut hanya terbukti untuk bilangan prima 3, 5 dan 7, meskipun Sophie Germain memperbarui dan membuktikan pendekatan yang diterapkan pada seluruh kelas bilangan prima. Pada pertengahan abad ke-19, Ernst Kummer memperluas hal ini dan membuktikan teorema untuk semua bilangan prima beraturan, menyebabkan bilangan prima tak beraturan dianalisis satu per satu. Berdasarkan karya Kummer dan menggunakan penelitian komputer yang canggih, ahli matematika lain mampu memperluas solusi teorema tersebut, dengan tujuan mencakup semua eksponen utama hingga empat juta, namun bukti untuk semua eksponen masih belum tersedia (artinya ahli matematika umumnya mempertimbangkan solusinya dengan teorema tidak mungkin, sangat sulit, atau tidak dapat dicapai dengan pengetahuan saat ini).

Karya Shimura dan Taniyama

Pada tahun 1955, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama menduga ada hubungan antara kurva elips dan bentuk modular, dua bidang matematika yang sangat berbeda. Dikenal pada saat itu sebagai dugaan Taniyama-Shimura-Weil dan (akhirnya) sebagai teorema modularitas, teorema ini berdiri sendiri, tanpa ada hubungan yang jelas dengan teorema terakhir Fermat. Teorema ini secara luas dianggap sebagai teorema matematika yang penting, namun dianggap (seperti teorema Fermat) tidak mungkin dibuktikan. Pada saat yang sama, pembuktian teorema besar Fermat (dengan metode pembagian dan penggunaan rumus matematika yang kompleks) baru dilakukan setengah abad kemudian.

Pada tahun 1984, Gerhard Frey melihat adanya hubungan yang jelas antara dua masalah yang sebelumnya tidak berhubungan dan belum terselesaikan ini. Bukti lengkap bahwa kedua teorema tersebut berkaitan erat diterbitkan pada tahun 1986 oleh Ken Ribet, yang membangun bukti parsial oleh Jean-Pierre Serres, yang membuktikan semua kecuali satu bagian, yang dikenal sebagai "dugaan epsilon". Sederhananya, karya Frey, Serres, dan Ribe ini menunjukkan bahwa jika teorema modularitas dapat dibuktikan setidaknya untuk kelas kurva elips semistabil, maka bukti teorema terakhir Fermat juga akan ditemukan cepat atau lambat. Solusi apa pun yang bertentangan dengan teorema terakhir Fermat juga dapat digunakan untuk bertentangan dengan teorema modularitas. Oleh karena itu, jika teorema modularitas ternyata benar, maka menurut definisi tidak mungkin ada solusi yang bertentangan dengan teorema terakhir Fermat, yang berarti teorema tersebut harus segera dibuktikan.

Meskipun kedua teorema tersebut merupakan soal sulit dalam matematika, dianggap tidak dapat dipecahkan, karya kedua orang Jepang tersebut merupakan saran pertama tentang bagaimana teorema terakhir Fermat dapat diperluas dan dibuktikan untuk semua bilangan, bukan hanya sebagian. Penting bagi para peneliti yang memilih topik penelitian adalah kenyataan bahwa, tidak seperti teorema terakhir Fermat, teorema modularitas adalah bidang penelitian aktif utama yang buktinya telah dikembangkan, dan bukan hanya keanehan sejarah, sehingga waktu yang dihabiskan mengerjakannya dapat dibenarkan dari sudut pandang profesional. Namun, konsensus umum adalah bahwa penyelesaian dugaan Taniyama-Shimura tidaklah praktis.

Teorema Terakhir Fermat: Bukti Wiles

Setelah mengetahui bahwa Ribet telah membuktikan kebenaran teori Frey, matematikawan Inggris Andrew Wiles, yang telah tertarik dengan teorema terakhir Fermat sejak kecil dan memiliki pengalaman bekerja dengan kurva elips dan bidang terkait, memutuskan untuk mencoba membuktikan dugaan Taniyama-Shimura sebagai cara untuk membuktikan kebenaran teori Frey. buktikan teorema terakhir Fermat. Pada tahun 1993, enam tahun setelah mengumumkan tujuannya, saat diam-diam mengerjakan masalah penyelesaian teorema, Wiles berhasil membuktikan dugaan terkait, yang pada gilirannya akan membantunya membuktikan teorema terakhir Fermat. Dokumen Wiles sangat besar ukuran dan cakupannya.

Cacat tersebut ditemukan di salah satu bagian makalah aslinya selama tinjauan sejawat dan memerlukan satu tahun lagi kolaborasi dengan Richard Taylor untuk bersama-sama memecahkan teorema tersebut. Akibatnya, bukti akhir Wiles tentang Teorema Terakhir Fermat tidak lama lagi akan datang. Pada tahun 1995, ia diterbitkan dalam skala yang jauh lebih kecil daripada karya matematika Wiles sebelumnya, dengan jelas menunjukkan bahwa ia tidak salah dalam kesimpulan sebelumnya tentang kemungkinan pembuktian teorema tersebut. Prestasi Wiles diberitakan secara luas di media populer dan dipopulerkan dalam buku dan program televisi. Bagian sisa dugaan Taniyama-Shimura-Weil, yang kini telah dibuktikan dan dikenal sebagai teorema modularitas, kemudian dibuktikan oleh ahli matematika lain yang mengembangkan karya Wiles antara tahun 1996 dan 2001. Atas prestasinya, Wiles mendapat kehormatan dan menerima berbagai penghargaan, termasuk Abel Prize 2016.

Bukti Wiles terhadap teorema terakhir Fermat adalah kasus khusus dari solusi teorema modularitas untuk kurva elips. Namun, ini adalah kasus paling terkenal dari operasi matematika berskala besar. Bersamaan dengan penyelesaian teorema Ribet, matematikawan asal Inggris tersebut juga memperoleh bukti teorema terakhir Fermat. Teorema Terakhir Fermat dan Teorema Modularitas hampir secara universal dianggap tidak dapat dibuktikan matematikawan modern, namun Andrew Wiles mampu membuktikan semuanya dunia ilmiah bahwa bahkan orang terpelajar pun mampu melakukan kesalahan.

Wiles pertama kali mengumumkan penemuannya pada hari Rabu tanggal 23 Juni 1993 dalam kuliah di Cambridge bertajuk "Bentuk Modular, Kurva Elliptik, dan Representasi Galois". Namun, pada bulan September 1993 diketahui bahwa perhitungannya mengandung kesalahan. Setahun kemudian, pada tanggal 19 September 1994, dalam apa yang dia sebut sebagai "momen paling penting dalam kehidupan kerjanya", Wiles menemukan sebuah wahyu yang memungkinkan dia untuk memperbaiki solusi terhadap masalah tersebut hingga pada titik di mana solusi tersebut dapat memenuhi perhitungan matematika. masyarakat.

Karakteristik pekerjaan

Pembuktian teorema Fermat oleh Andrew Wiles menggunakan banyak teknik dari geometri aljabar dan teori bilangan dan memiliki banyak konsekuensi dalam bidang matematika ini. Dia juga menggunakan konstruksi standar geometri aljabar modern, seperti kategori skema dan teori Iwasawa, serta metode abad ke-20 lainnya yang tidak tersedia bagi Pierre Fermat.

Kedua pasal yang memuat bukti tersebut berjumlah 129 halaman dan ditulis selama tujuh tahun. John Coates menggambarkan penemuan ini sebagai salah satu pencapaian terbesar teori bilangan, dan John Conway menyebutnya sebagai pencapaian matematika utama abad ke-20. Wiles, untuk membuktikan teorema terakhir Fermat dengan membuktikan teorema modularitas untuk kasus khusus kurva elips semistabil, mengembangkan metode yang efektif munculnya modularitas dan membuka pendekatan baru terhadap berbagai masalah lainnya. Untuk memecahkan teorema terakhir Fermat dia dianugerahi gelar kebangsawanan dan menerima penghargaan lainnya. Ketika tersiar kabar bahwa Wiles telah memenangkan Hadiah Abel, Akademi Ilmu Pengetahuan Norwegia menggambarkan pencapaiannya sebagai "mengagumkan dan bukti dasar Teorema terakhir Fermat."

Bagaimana keadaannya

Salah satu orang yang menganalisis naskah asli solusi teorema Wiles adalah Nick Katz. Selama peninjauannya, dia menanyakan serangkaian pertanyaan klarifikasi kepada warga Inggris, yang memaksa Wiles untuk mengakui bahwa karyanya jelas-jelas mengandung celah. Ada kesalahan dalam satu bagian penting dari bukti yang memberikan perkiraan urutan kelompok tertentu: sistem Euler yang digunakan untuk memperluas metode Kolyvagin dan Flach tidak lengkap. Namun kesalahan tersebut tidak membuat karyanya tidak berguna - setiap bagian dari karya Wiles sangat signifikan dan inovatif, begitu pula banyak perkembangan dan metode yang ia ciptakan selama karyanya dan yang hanya memengaruhi satu bagian saja. naskah itu. Namun karya asli yang diterbitkan pada tahun 1993 ini sebenarnya tidak memberikan bukti Teorema Terakhir Fermat.

Wiles menghabiskan hampir satu tahun mencoba menemukan kembali solusi teorema tersebut, pertama sendirian dan kemudian bekerja sama dengan mantan muridnya Richard Taylor, tetapi semuanya tampak sia-sia. Pada akhir tahun 1993, rumor menyebar bahwa bukti Wiles telah gagal dalam pengujian, namun seberapa serius kegagalan tersebut tidak diketahui. Para ahli matematika mulai memberikan tekanan kepada Wiles untuk mengungkap detail karyanya, baik sudah selesai atau belum, sehingga komunitas matematikawan yang lebih luas dapat mengeksplorasi dan menggunakan semua yang telah ia capai. Alih-alih segera memperbaiki kesalahannya, Wiles malah menemukan kerumitan tambahan dalam pembuktian teorema terakhir Fermat, dan akhirnya menyadari betapa sulitnya hal itu.

Wiles menyatakan bahwa pada pagi hari tanggal 19 September 1994, dia berada di ambang menyerah dan menyerah, dan hampir pasrah pada kenyataan bahwa dia telah gagal. Dia bersedia mempublikasikan karyanya yang belum selesai sehingga orang lain dapat mengembangkannya dan menemukan kesalahannya. Matematikawan Inggris memutuskan untuk memberikan dirinya satu kesempatan terakhir dan menganalisis teorema tersebut untuk terakhir kalinya untuk mencoba memahami alasan utama mengapa pendekatannya tidak berhasil, ketika dia tiba-tiba menyadari bahwa pendekatan Kolyvagin-Flac tidak akan berhasil sampai dia juga memasukkan bukti dalam proses teori Iwasawa, membuatnya berhasil.

Pada tanggal 6 Oktober, Wiles meminta tiga rekannya (termasuk Faltins) untuk meninjaunya pekerjaan Baru, dan pada tanggal 24 Oktober 1994, ia menyerahkan dua manuskrip - "Kurva elips modular dan teorema terakhir Fermat" dan " Sifat teoretis cincin aljabar Hecke tertentu", yang kedua ditulis Wiles bersama Taylor dan membuktikan bahwa kondisi tertentu yang diperlukan untuk membenarkan langkah koreksi dalam makalah utama telah terpenuhi.

Kedua makalah ini ditinjau dan akhirnya diterbitkan sebagai edisi teks lengkap dalam Annals of Mathematics edisi Mei 1995. Perhitungan baru Andrew dianalisis secara luas dan akhirnya diterima oleh komunitas ilmiah. Dalam karya ini, teorema modularitas ditetapkan untuk kurva elips semistabil - langkah terakhir dengan bukti teorema terakhir Fermat, 358 tahun setelah teorema itu dibuat.

Sejarah Masalah Besar

Pemecahan teorema ini telah dianggap sebagai masalah terbesar dalam matematika selama berabad-abad. Pada tahun 1816 dan tahun 1850 Akademi Perancis Ilmu pengetahuan menawarkan hadiah untuk bukti umum Teorema Terakhir Fermat. Pada tahun 1857 Akademi memberikan 3.000 franc dan medali emas Kummer atas penelitiannya mengenai bilangan ideal, meskipun ia tidak mengajukan permohonan untuk mendapatkan hadiah tersebut. Hadiah lain ditawarkan kepadanya pada tahun 1883 oleh Akademi Brussel.

Hadiah Wolfskehl

Pada tahun 1908, industrialis dan matematikawan amatir Jerman Paul Wolfskehl mewariskan 100.000 tanda emas (jumlah yang besar pada saat itu) kepada Akademi Ilmu Pengetahuan Göttingen sebagai hadiah atas bukti lengkap teorema terakhir Fermat. Pada tanggal 27 Juni 1908, Akademi menerbitkan sembilan aturan penghargaan. Aturan-aturan ini antara lain mengharuskan publikasi bukti dalam jurnal yang ditinjau oleh rekan sejawat. Hadiah tersebut tidak akan diberikan sampai dua tahun setelah publikasi. Kompetisi ini akan berakhir pada 13 September 2007 - kira-kira satu abad setelah dimulainya. Pada tanggal 27 Juni 1997, Wiles menerima hadiah uang Wolfschel dan $50.000 lainnya. Pada bulan Maret 2016, ia menerima €600.000 dari pemerintah Norwegia sebagai bagian dari Hadiah Abel atas "bukti menakjubkan teorema terakhir Fermat menggunakan dugaan modularitas untuk kurva elips semistabil, yang mengungkapkan era baru dalam teori bilangan." Itu adalah kemenangan dunia bagi orang Inggris yang rendah hati.

Sebelum pembuktian Wiles, teorema Fermat, seperti disebutkan sebelumnya, dianggap tidak dapat dipecahkan selama berabad-abad. Ribuan bukti yang salah masuk waktu yang berbeda dipresentasikan kepada komite Wolfskehl, yang berjumlah sekitar 10 kaki (3 meter) korespondensi. Pada tahun pertama keberadaan hadiah itu saja (1907-1908), 621 lamaran diajukan dengan klaim dapat menyelesaikan teorema tersebut, meskipun pada tahun 1970-an jumlah ini menurun menjadi sekitar 3-4 lamaran per bulan. Menurut F. Schlichting, pengulas Wolfschel, sebagian besar bukti didasarkan pada metode dasar yang diajarkan di sekolah dan sering kali disajikan oleh "orang-orang dengan latar belakang teknis tetapi kariernya gagal". Menurut sejarawan matematika Howard Aves, teorema terakhir Fermat mencetak semacam rekor - teorema dengan bukti paling salah.

Kemenangan Fermat jatuh ke tangan Jepang

Seperti disebutkan sebelumnya, sekitar tahun 1955, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama menemukan kemungkinan hubungan antara dua cabang matematika yang tampaknya sangat berbeda - kurva elips dan bentuk modular. Teorema modularitas yang dihasilkan (kemudian dikenal sebagai dugaan Taniyama-Shimura) dari penelitian mereka menyatakan bahwa setiap kurva elips bersifat modular, artinya dapat dikaitkan dengan bentuk modular yang unik.

Teori ini awalnya dianggap tidak mungkin atau sangat spekulatif, namun dianggap lebih serius ketika ahli teori bilangan Andre Weyl menemukan bukti yang mendukung temuan Jepang. Oleh karena itu, dugaan tersebut sering disebut dugaan Taniyama-Shimura-Weil. Ini menjadi bagian dari program Langlands, yaitu daftar hipotesis penting yang memerlukan pembuktian di masa depan.

Bahkan setelah mendapat perhatian serius, dugaan tersebut diakui oleh ahli matematika modern sebagai hal yang sangat sulit atau mungkin mustahil untuk dibuktikan. Kini teorema inilah yang menunggu Andrew Wiles, yang mampu mengejutkan seluruh dunia dengan solusinya.

Teorema Fermat: Bukti Perelman

Terlepas dari mitos populer tersebut, matematikawan Rusia Grigory Perelman, dengan segala kejeniusannya, tidak ada hubungannya dengan teorema Fermat. Namun, hal ini sama sekali tidak mengurangi kontribusinya terhadap komunitas ilmiah.