Penelitian pendidikan bekerja pada logika matematika. Contoh topik untuk kursus dalam disiplin “Logika Matematika. Masalah terpecahkan dari akhir

Untuk melihat file PDF ini dengan format dan markup, unduh dan buka di komputer Anda.
Kementerian Pendidikan Wilayah Orenburg

Lembaga Pendidikan Profesi Otonomi Negara
"Perguruan Tinggi Teknik Mesin Orsk"

Orsk, wilayah Orenburg

Riset

matematika

«
MATEMATIKA TANPA
FORMULA, PERSAMAAN DAN
KETIMPANGAN
»

Siap
:
Thorik Ekaterina
,

siswa kelompok
15LP

Pengawas:
Marchenko O.V.
.,

guru matematika
matiki

Matematika
–

ini adalah dunia khusus di mana formula memainkan peran utama,
simbol dan objek geometris. Dalam penelitian
Di tempat kerja kami memutuskan
cari tahu apa yang terjadi jika Anda menghapus rumus, persamaan, dan
ketidaksamaan?

Relevansi penelitian ini adalah

dari tahun ke tahun
Kehilangan minat pada matematika. Mereka tidak menyukai matematika, terutama karena
-
untuk formula.
Di dalam

Dalam pekerjaan kami, kami tidak hanya ingin menunjukkan keindahan matematika, tetapi juga
mengatasi gagasan yang muncul tentang “kekeringan” di benak siswa,
karakter formal, isolasi ilmu ini dari kehidupan dan praktik.

Tujuan pekerjaan: membuktikan bahwa matematika akan tetap lengkap
ilmu pengetahuan maju, dengan
ini menarik dan beragam, jika Anda menghapus rumus, persamaan, dan
kesenjangan.

Tujuan pekerjaan:
tunjukkan ahli matematika itu
A

tanpa rumus, persamaan dan
kesenjangan
adalah ilmu yang lengkap
; melakukan survei
keduanya
cha
Yu
bekerja; belajar
informatif
sumber-sumber; berkenalan dengan solusi utama
masalah logis.

Dengan asumsi rumus matematika
-

hanya bahasa yang nyaman
untuk menyajikan gagasan-gagasan dan metode-metode matematika, maka gagasan-gagasan itu sendiri dapat dideskripsikan,
menggunakan gambar familiar dan visual dari
kehidupan di sekitarnya.

Objek penelitian kami adalah metode penyelesaian matematika
masalah tanpa rumus, persamaan dan pertidaksamaan.

Mahasiswa kami diminta menjawab pertanyaan: apa
apa yang akan terjadi pada matematika jika rumus, persamaan dan lainnya
persamaan?
dengan memilih satu jawaban dari pilihan berikut:

a) angka, angka, huruf akan tetap b) hanya teori yang tersisa

c) teorema dan bukti akan tetap ada d) grafik akan tetap ada

e) matematika akan menjadi sastra g) tidak ada yang tersisa

Hasil dari ini
survei menunjukkan bahwa mayoritas siswa percaya diri tanpa
rumus, persamaan dan pertidaksamaan, matematika akan menjadi sastra. Kami memutuskan
membantah pendapat ini. Tanpa rumus, persamaan dan pertidaksamaan dalam matematika, in
pertama-tama, akan ada tugas logis itu
e paling sering merupakan
sebagian besar tugas di Olimpiade Matematika. Berbagai logis
tugasnya sangat besar. Ada juga banyak cara untuk mengatasinya. Tapi yang terhebat
Berikut ini yang tersebar luas: metode penalaran, metode tabel, metode
grafik, lingkaran Hei
Lera, metode blok
-
skema

Metode penalaran

cara yang paling primitif. Dengan cara ini
masalah logis yang paling sederhana terpecahkan. Idenya adalah kita
melakukan penalaran dengan menggunakan seluruh kondisi masalah secara berurutan, dan
kami sampai pada kesimpulan bahwa
akan menjadi jawaban atas permasalahan tersebut.
Dengan cara ini
biasanya memecahkan masalah logika sederhana.

Teknik utama yang digunakan saat menyelesaikan logika teks
tugas adalah
meja bangunan
. Tabel tidak hanya memungkinkan Anda melakukan visualisasi
kondisi sekarang h
masalah atau jawabannya, tapi itu banyak membantu
membuat kesimpulan logis yang benar ketika memecahkan suatu masalah.

Metode grafik.
Grafik
-

itu adalah kumpulan objek dengan koneksi di antara mereka.
Objek direpresentasikan sebagai simpul, atau simpul, dari suatu grafik (dinotasikan dengan
Itu
kacamata), dan koneksi
-

seperti busur atau tulang rusuk. Jika sambungannya searah
ditunjukkan pada diagram dengan garis dengan panah, jika hubungan antar objek
dua sisi ditunjukkan dalam diagram dengan garis tanpa panah.

Metode lingkaran Euler.
Diagram Euler digunakan dalam penyelesaian

sekelompok besar masalah logis. Secara konvensional, semua tugas ini dapat dibagi menjadi tiga
jenis. Dalam masalah tipe pertama, banyak yang perlu diungkapkan secara simbolis
gerak tubuh,
diarsir pada diagram Euler menggunakan tanda
ki operasi persimpangan,
kombinasi dan tambahan.
Dalam soal tipe kedua, diagram Euler
digunakan untuk menganalisis situasi yang berkaitan dengan definisi kelas. Tipe ketiga
masalah yang menggunakan diagram Euler,
-

tugas untuk
akun logis.

Metode blok
-
skema
.
Jenis pemecahan masalah yang logis
termasuk dalam kursus
mengajar siswa lembaga pendidikan umum kursus ilmu komputer.
Pemrograman dalam bahasa tersebut
Pascal
.

Selain masalah logika dalam matematika,
ory untuk memecahkan sederhana
masalah matematika Anda harus melakukan hal-hal absurd yang melampauinya
ra
keterbatasan logika kita, pemikiran kita.
Absurd
–

dalam matematika dan logika,
artinya apa
-
maka elemen tersebut tidak mempunyai arti di dalam yang diberikan
teori,

sistem atau

bidang, pada dasarnya tidak sesuai dengan mereka, meskipun merupakan elemen
yang tidak masuk akal dalam sistem ini
mungkin masuk akal jika dilihat dari sudut pandang lain.

Dalam matematika, sofisme (keterampilan, keterampilan) diklasifikasikan ke dalam kelompok tersendiri.
-

sebuah kesimpulan yang rumit, namun demikian, setelah diperiksa secara dangkal
sepertinya benar.

Tanpa rumus dalam matematika, situasi mungkin muncul dimana
yang lain bisa
ada dalam kenyataan, tetapi tidak memiliki penjelasan logis. Situasi seperti itu
disebut paradoks. Munculnya paradoks bukanlah sesuatu
-
Itu
tidak teratur, tidak terduga, kebetulan dalam sejarah perkembangan ilmu pengetahuan
pemikiran. Kemunculan mereka menandakan
berbicara tentang perlunya merevisi sebelumnya
ide-ide teoritis, mengedepankan konsep, prinsip yang lebih memadai
dan metode penelitian.

Dunia sains seperti matematika tidak terbatas pada penyelesaian saja
jenis tugas khusus. Terlepas dari semua kesulitan itu,

ia memiliki sesuatu yang indah dan menarik,
bahkan terkadang lucu. Humor matematika, serta dunia matematika,
canggih dan istimewa.

Jadi, tanpa rumus, persamaan dan pertidaksamaan, matematika akan tetap ada
ilmu yang lengkap, sekaligus menarik dan beragam.

Daftar bibliografi.

Agafonova, I. G. Belajar berpikir: Menghibur tugas-tugas logis,
tes dan latihan untuk anak-anak. Tutorial [Teks] /
I.G.Agafonova

Sankt Peterburg
IKF MiM
–

ekspres, 1996.
–

Balayan E.N. Olimpiade 1001 dan masalah menghibur
dan oleh
matematika
[teks]

/ E.N. Balayan.
-

3
-
e ed.
-

Rostov tidak ada: Phoenix, 2008.
-

Farkov, A.V.Olimpiade Matematika di sekolah. 5
-
kelas 11.
[Teks]/

A.V.Farkov.
-

8
-
e ed., putaran. dan tambahan
-

M.: Iris
-
pers, 2009.
-

http://www.arhimedes.org/

Turnamen dinamai menurut namanya M.V. Lomonosova (Moskow)
http://olympiads.mccme.ru/turlom/

File-file terlampir

KONFERENSI ILMIAH DAN PRAKTIS DAERAH XI “BACAAN KOLMOGOROV”

Bagian "Matematika"

Subjek

"Memecahkan Masalah Logis"

Pendidikan umum anggaran kota

sekolah No.2 st. Arkhonskaya,

kelas 7.

Direktur Ilmiah

guru matematika sekolah menengah MBOU No.2 st. Arkhonskaya

Trimasova N.I.

"Memecahkan Masalah Logis"

kelas 7

lembaga pendidikan menengah

sekolah No.2, st. Arkhonskaya.

anotasi

Karya ini membahas berbagai cara untuk memecahkan masalah logis dan berbagai teknik. Masing-masing dari mereka memiliki cakupannya sendiri. Selain itu, dalam karya ini Anda dapat mengenal konsep dasar arah "matematika tanpa rumus" - logika matematika, dan belajar tentang pencipta ilmu ini. Anda juga dapat melihat hasil diagnostik “pemecahan masalah logika di kalangan siswa tingkat menengah”.

Isi

1. Perkenalan_____________________________________________________ 4

2. Para pendiri ilmu “logika”___________________________ 6

3.Bagaimana cara belajar memecahkan masalah logika?________ _8

4. Jenis dan metode penyelesaian masalah logika________ 9

4.1 Masalah tipe “Siapa Siapa?” 9

a) Metode grafik______________________________ 9

b) Metode tabel____________________________ 11

4.2 Tugas taktis________________________________________________ 13

a) metode penalaran________________________________________________ 13

4.3 Soal mencari perpotongan atau penyatuan himpunan_________________________________________________ 14

a) Lingkaran Euler________________________________ 14

4.5 Masalah kebenaran________________________________ 17

4.6 Soal jenis “Topi”_____________________________________________ 18

5. Bagian praktik____________________________________________ 19

5.1 Kajian tingkat berpikir logis siswa tingkat menengah____________________________________________ 19

6. Kesimpulan_________________________________________________________ 23

7. Sastra__________________________________________________________ 24

"Memecahkan Masalah Logis"

Krutogolova Diana Aleksandrovna

kelas 7

Pendidikan umum anggaran kota

lembaga pendidikan menengah

sekolah No.2, st. Arkhonskaya.

1. Perkenalan

Pengembangan aktivitas kreatif, inisiatif, rasa ingin tahu, dan kecerdikan difasilitasi dengan pemecahan masalah yang tidak baku.Terlepas dari kenyataan bahwa kursus matematika sekolah berisi banyak soal menarik, banyak soal berguna yang tidak tercakup. Tugas-tugas ini termasuk tugas-tugas logis.

Memecahkan masalah logika sangatlah mengasyikkan. Tampaknya tidak ada matematika di dalamnya - tidak ada angka, tidak ada fungsi, tidak ada segitiga, tidak ada vektor, tetapi yang ada hanyalah pembohong dan orang bijak, kebenaran dan kebohongan. Pada saat yang sama, semangat matematika paling jelas dirasakan di dalamnya - setengah dari solusi untuk setiap masalah matematika (dan terkadang lebih dari setengahnya) adalah dengan memahami kondisi dengan benar, untuk mengungkap semua hubungan antara objek yang berpartisipasi.

Suatu permasalahan matematika selalu membantu mengembangkan konsep matematika yang benar, memahami lebih baik berbagai aspek hubungan dalam kehidupan sekitar, dan memungkinkan penerapan prinsip-prinsip teoritis yang dipelajari. Pada saat yang sama, pemecahan masalah berkontribusi pada pengembangan pemikiran logis.

Saat mempersiapkan pekerjaan ini, saya mengaturtarget - kembangkan kemampuan Anda untuk bernalar dan menarik kesimpulan yang benar. Hanya penyelesaian masalah yang sulit dan tidak standar yang membawa kegembiraan kemenangan. Saat memecahkan masalah logis, Anda mempunyai kesempatan untuk memikirkan kondisi dan alasan yang tidak biasa. Hal ini membangkitkan dan mempertahankan minat saya terhadap matematika. Keputusan yang logis adalah cara terbaik untuk mengeluarkan kreativitas Anda.

Relevansi. Saat ini, seringkali kesuksesan seseorang bergantung pada kemampuannya berpikir jernih, bernalar logis, dan mengutarakan pikirannya dengan jelas.

Tugas: 1) pengenalan konsep “logika” dan “logika matematika”; 2) mempelajari metode dasar untuk memecahkan masalah logika; 3) melakukan diagnosa untuk mengetahui tingkat berpikir logis siswa kelas 5-8.

Metode penelitian: pengumpulan, kajian, generalisasi materi eksperimen dan teori

2. Para pendiri ilmu “logika”

Pendiri logika sebagai ilmu adalah filsuf dan ilmuwan Yunani kuno Aristoteles (384-322 SM). Ia pertama kali mengembangkan teori deduksi, yaitu teori inferensi logis. Dialah yang menarik perhatian pada fakta bahwa dalam penalaran kita menyimpulkan orang lain dari beberapa pernyataan, tidak berdasarkan pada isi spesifik dari pernyataan tersebut, tetapi pada hubungan tertentu antara bentuk dan strukturnya.

Bahkan kemudian, sekolah-sekolah diciptakan di Yunani Kuno di mana orang belajar berdebat. Para siswa di sekolah-sekolah ini belajar seni mencari kebenaran dan meyakinkan orang lain bahwa mereka benar. Mereka belajar memilih yang diperlukan dari berbagai fakta, membangun rantai penalaran yang menghubungkan fakta-fakta individu satu sama lain, dan menarik kesimpulan yang tepat.
Sejak saat itu, secara umum diterima bahwa logika adalah ilmu tentang pemikiran, dan bukan tentang objek kebenaran objektif.

Matematikawan Yunani kuno Euclid (330-275 SM) adalah orang pertama yang mencoba mengorganisasikan informasi ekstensif tentang geometri yang telah terkumpul pada saat itu. Dia meletakkan dasar bagi pemahaman geometri sebagai teori aksiomatik, dan semua matematika sebagai seperangkat teori aksiomatik.
Selama berabad-abad, berbagai filsuf dan seluruh aliran filsafat melengkapi, meningkatkan, dan mengubah logika Aristoteles. Ini adalah tahap pertama, pra-matematika, dalam pengembangan logika formal. Tahap kedua dikaitkan dengan penggunaan metode matematika dalam logika, yang dimulai oleh filsuf dan matematikawan Jerman G.W. Leibniz (1646-1716). Dia mencoba membangun bahasa universal yang dapat digunakan untuk menyelesaikan perselisihan antar manusia, dan kemudian sepenuhnya “mengganti semua ide dengan perhitungan.”
Periode penting dalam pembentukan logika matematika dimulai dengan karya matematikawan dan ahli logika Inggris George Boole (1815-1864) “Analisis Matematika Logika” (1847) dan “Investigasi ke dalam Hukum Pemikiran” (1854). Dia menerapkan logika metode aljabar kontemporer - bahasa simbol dan rumus, komposisi dan solusi persamaan. Dia menciptakan semacam aljabar – aljabar logika. Selama periode ini, ia terbentuk sebagai aljabar proposisional dan dikembangkan secara signifikan dalam karya ahli logika Skotlandia A. de Morgan (1806-1871), ahli logika Inggris - W. Jevons (1835-1882), ahli logika Amerika - C. Pierce dan lain-lain Penciptaan aljabar logika merupakan mata rantai terakhir dalam perkembangan logika formal.

Dorongan yang signifikan terhadap periode baru dalam perkembangan logika matematika diberikan oleh penciptaan pada paruh pertama abad ke-19 oleh ahli matematika besar Rusia N. I. Lobachevsky (1792-1856) dan secara independen oleh ahli matematika Hongaria J. Bolyai (1802- 1860) geometri non-Euclidean. Selain itu, penciptaan analisis bilangan sangat kecil menyebabkan perlunya pembuktian konsep bilangan sebagai konsep dasar semua matematika. Paradoks yang ditemukan pada akhir abad ke-19 dalam teori himpunan melengkapi gambarannya: paradoks tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa kesulitan dalam membuktikan matematika adalah kesulitan yang bersifat logis dan metodologis. Dengan demikian, logika matematika dihadapkan pada permasalahan yang tidak muncul sebelum logika Aristoteles. Dalam perkembangan logika matematika, terbentuklah tiga arah pembuktian matematika, dimana para penciptanya berusaha dengan berbagai cara untuk mengatasi kesulitan-kesulitan yang timbul.

3. Bagaimana cara belajar memecahkan masalah logika?

Banyak orang hanya memikirkan apa yang mereka pikirkan.

Mereka menganggap proses berpikir itu tidak menyenangkan:

ini membutuhkan keterampilan dan sejumlah usaha,

Mengapa repot-repot jika Anda bisa melakukannya tanpa itu.

Ogden Nash

Logis ataunon-numerik masalah merupakan kelas besar masalah non-standar. Ini termasuk, pertama-tama, soal cerita di mana perlu untuk mengenali objek atau menyusunnya dalam urutan tertentu sesuai dengan properti yang ada. Dalam hal ini, beberapa pernyataan kondisi masalah mungkin mempunyai nilai kebenaran yang berbeda (benar atau salah).

Masalah logika teks dapat dibagi menjadi beberapa jenis berikut:

Dianjurkan untuk berlatih menyelesaikan setiap jenis masalah secara bertahap, selangkah demi selangkah.

Jadi, kita akan belajar bagaimana masalah logika dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Ternyata teknik tersebut ada beberapa, bermacam-macam dan masing-masing memiliki cakupannya masing-masing. Setelah berkenalan secara detail, kami akan mencari tahu dalam kasus apa lebih nyaman menggunakan metode ini atau itu.

4. Jenis dan metode pemecahan masalah logika

4.1 Masalah tipe “Siapa adalah siapa?”

Masalah seperti “Siapa adalah siapa?” sangat beragam dalam kompleksitas, isi dan kemampuan pemecahannya. Tentu saja mereka menarik.

a) Metode grafik

Salah satu caranya adalah menyelesaikannya dengan menggunakan grafik. Grafik adalah beberapa titik, beberapa di antaranya dihubungkan satu sama lain oleh segmen atau panah (dalam hal ini grafik disebut berorientasi). Mari kita perlu membuat korespondensi antara dua jenis objek (himpunan). Titik-titik menunjukkan elemen-elemen himpunan, dan korespondensi di antara mereka - segmen. Garis putus-putus akan menggabungkan dua elemen yang tidak bersesuaian satu sama lain.

Masalah 1 . Tiga teman Belova, Krasnova dan Chernova bertemu. Salah satunya mengenakan gaun hitam, yang lain mengenakan gaun merah, dan yang ketiga mengenakan gaun putih. Seorang gadis berpakaian putih berkata kepada Chernova: "Kita perlu mengganti gaun, jika tidak, warna gaun kita tidak akan cocok dengan nama keluarga kita." Siapa yang memakai gaun apa?

Larutan. Memecahkan masalah itu sederhana jika Anda mempertimbangkan bahwa:

Setiap elemen dari satu himpunan harus bersesuaian dengan elemen dari himpunan lain, tetapi hanya satu

Jika suatu elemen dari setiap himpunan dihubungkan ke semua elemen (kecuali satu) dari himpunan lain dengan segmen putus-putus, maka elemen tersebut dihubungkan ke elemen terakhir dengan segmen padat.

Alih-alih segmen garis padat, Anda dapat menggunakan segmen berwarna, sehingga solusinya lebih berwarna,

Mari kita tunjukkan nama keluarga gadis-gadis di gambar dengan huruf B, Ch, K, dan hubungkan huruf B dan gaun putih dengan garis putus-putus, yang artinya: “Belova tidak mengenakan gaun putih.” Selanjutnya kita mendapatkan tiga garis putus-putus lagi yang sesuai dengan minus pada tabel. Gaun putih hanya bisa dikenakan oleh Krasnova - kita akan menghubungkan huruf K dan gaun putih dengan garis padat, yang berarti “Krasnova dalam gaun putih”, dll.

Dengan cara yang sama, Anda dapat menemukan korespondensi antara tiga himpunan.

Tugas 2. Tiga orang teman bertemu di sebuah kafe: pematung Belov, pemain biola Chernov, dan artis Ryzhov. “Sungguh menakjubkan bahwa salah satu dari kami berambut putih, yang lain berkulit hitam, dan yang ketiga berambut merah, tapi tidak ada warna rambut yang cocok dengan nama keluarga kami,” kata pria berambut hitam itu. “Kamu benar,” kata Belov. Apa warna rambut artisnya?

Larutan. Pertama, semua kondisi diplot pada diagram. Solusinya adalah dengan menemukan tiga segitiga padat dengan titik sudut pada himpunan berbeda (Gbr. 2.).

Belov Chernov Ryzhov

seniman pemain biola pematung

putih hitam merah

Artis itu berambut hitam

Saat menyelesaikannya, kita bisa mendapatkan tiga jenis segitiga:

a) semua sisi merupakan segmen yang berkesinambungan (solusi masalah);

b) satu sisi berupa ruas padat, dan sisi lainnya putus-putus;

c) semua sisinya merupakan ruas putus-putus.

Dengan demikian, tidak mungkin diperoleh segitiga yang dua sisinya berupa ruas padat dan sisi ketiga berupa ruas putus-putus.

Tugas 3. Siapa di mana?

Ek,maple, pinus, birch, tunggul!

Bersembunyi di belakang mereka, mereka mengintai

Berang-berang, kelinci, tupai, lynx, rusa.

Siapa di mana? Cobalah untuk mencari tahu."

Di mana lynx, bukan kelinci atau berang-berang

Baik di kiri maupun di kanan - jelas.

DANdi sebelah tupai - itu licik -

Jangan mencarinya dengan sia-sia juga.

Tidak ada lynx di sebelah rusa.

Dan tidak ada kelinci di kanan dan kiri.

Dan tupai di sebelah kanan adalah tempat rusa berada!

Sekarang mulailah pencarian Anda dengan percaya diri.

Dan ingin memberimu nasihat

Tunggul tinggi yang ditutupi lumut:

- Siapa di mana? Temukan jalan yang benar

Seekor tupai dan rusa akan membantu.

Larutan. Mari kita cari jawabannya menggunakan grafik, yang menunjukkan setiap hewan dengan titik dan penempatannya dengan panah. Yang tersisa hanyalah menghitung anak panah (Gbr.)

Kelinci Lynx

Tupai Kelinci Berang-berang Rusa Tupai Lynx

Tunggul Birch Pinus Maple Ek Rusa

berang-berang

b) Metode tabel

Cara kedua untuk menyelesaikan masalah logika - menggunakan tabel - juga sederhana dan intuitif, tetapi hanya dapat digunakan jika diperlukan untuk membuat korespondensi antara dua himpunan. Akan lebih mudah jika himpunan memiliki lima atau enam elemen.

Tugas 4. Suatu hari, tujuh pasangan suami istri berkumpul di sebuah perayaan keluarga. Nama keluarga laki-laki: Vladimirov, Fedorov, Nazarov, Viktorov, Stepanov, Matveev dan Tarasov. Nama-nama wanita tersebut adalah: Tonya, Lyusya, Lena, Sveta, Masha, Olya dan Galya.

Larutan. Saat menyelesaikan masalah, kita mengetahui bahwa setiap pria memiliki satu nama belakang dan satu istri.

Aturan 1: Setiap baris dan setiap kolom tabel hanya boleh berisi satu tanda yang cocok (misalnya, “+”).

Aturan 2: Jika dalam satu baris (atau kolom) semua “tempat”, kecuali satu, ditempati oleh larangan dasar (tanda ketidaksesuaian, misalnya “-”), maka Anda perlu memberi tanda “+” pada ruang kosong; jika pada suatu baris (atau kolom) sudah terdapat tanda “+”, maka sisanya harus diisi dengan tanda “-”.

Setelah menggambar tabel, Anda perlu menempatkan larangan yang diketahui di dalamnya berdasarkan kondisi masalahnya. Setelah mengisi tabel sesuai dengan kondisi permasalahan, kita langsung memperoleh solusi: (Gbr. 3).

Tonya

Lucy

Lena

cahaya

mas

Olya

Galya

Vladimirov

Fedorov

Nazarov

Viktorov

Stepanov

Matveev

Tarasov

4.2 Tugas taktis

Pemecahan masalah taktis dan teori himpunan melibatkan penyusunan rencana tindakan yang mengarah pada jawaban yang benar. Kesulitannya adalah pilihan harus dibuat dari sejumlah besar pilihan, yaitu. kemungkinan-kemungkinan ini tidak diketahui, namun perlu ditemukan.

a) Masalah memindahkan atau menempatkan bidak dengan benar dapat diselesaikan dengan dua cara: praktis (tindakan memindahkan bidak, memilih) dan mental (memikirkan suatu gerakan, memprediksi hasil, menebak solusi -metode penalaran ).

Dalam metode penalaran, bantuan berikut dalam penyelesaiannya: diagram, gambar, catatan singkat, kemampuan memilih informasi, kemampuan menggunakan aturan enumerasi.

Metode ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan logika sederhana.

Masalah 5 . Lena, Olya, Tanya mengikuti lomba lari 100 m, Lena berlari 2 detik lebih awal dari Olya, Olya berlari 1 detik lebih lambat dari Tanya. Siapa yang datang lebih awal: Tanya atau Lena dan berapa detik?

Larutan. Mari kita buat diagramnya:

Lena Olya Tanya

Menjawab. Sebelumnya, Lena tiba di posisi pertama.

Mari kita pertimbangkan masalah sederhana.

Masalah 6 . Mengingat salib musim gugur, Tupai berdebat selama dua jam:

Kelinci memenangkan perlombaan.Ayang kedua adalah rubah!

- Tidak, kata tupai yang lain,

- Kamu bagikucandaan

Yang pertama, saya ingat, adalah seekor rusa besar!

- “Aku,” kata burung hantu yang penting itu,

- Saya tidak akan terlibat dalam perselisihan orang lain.

Tapi dalam setiap kata-katamu

Ada satu kesalahan.

Tupai-tupai itu mendengus marah.

Ini menjadi tidak menyenangkan bagi mereka.

Setelah mempertimbangkan semuanya, Anda memutuskan

Siapa yang pertama, siapa yang kedua.

Larutan.

Kelinci - 1 2

Rubah - 2

Rusa - 1

Jika kita berasumsi bahwa pernyataan yang benar adalah kelinci datang 1, maka rubah 2 tidak benar, yaitu. pada pernyataan kelompok kedua, kedua pilihan tetap salah, tetapi hal ini bertentangan dengan kondisi. Jawaban: Rusa - 1, Rubah - 2, Kelinci - 3.

4.3 Soal mencari perpotongan atau gabungan himpunan (lingkaran Euler)

Jenis soal lainnya adalah soal yang perlu mencari perpotongan himpunan atau gabungannya, dengan memperhatikan kondisi soal.

Mari kita selesaikan masalah 7:

Dari 52 anak sekolah, 23 orang mengoleksi lencana, 35 orang mengoleksi prangko, dan 16 orang mengoleksi lencana dan prangko. Sisanya tidak tertarik mengoleksi. Berapa banyak anak sekolah yang tidak tertarik mengoleksi?

Larutan. Kondisi permasalahan ini tidak begitu mudah untuk dipahami. Jika dijumlahkan 23 dan 35, didapat lebih dari 52. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa kami menghitung dua kali di sini beberapa anak sekolah, yaitu mereka yang mengoleksi lencana dan stempel.Untuk mempermudah pembahasannya, mari kita gunakan lingkaran Euler

Ada lingkaran besar di gambarmenunjukkan 52 siswa yang bersangkutan; lingkaran 3 menggambarkan anak sekolah mengumpulkan lencana, dan lingkaran M menggambarkan anak sekolah mengumpulkan prangko.

Lingkaran besar tersebut dibagi oleh lingkaran 3 dan M menjadi beberapa area. Perpotongan lingkaran 3 dan M berhubungan dengan anak sekolah yang mengumpulkan lencana dan stempel (Gbr.). Bagian lingkaran 3 yang bukan milik lingkaran M berarti anak sekolah yang hanya mengumpulkan lencana, dan bagian lingkaran M yang tidak termasuk lingkaran 3 berarti anak sekolah yang hanya mengumpulkan prangko. Bagian bebas lingkaran besar melambangkan anak sekolah yang tidak berminat mengoleksi.

Kami akan mengisi diagram kami secara berurutan, memasukkan nomor yang sesuai di setiap area. Sesuai syaratnya, baik lencana maupun stempel dikumpulkan oleh 16 orang, maka pada perpotongan lingkaran 3 dan M kita tuliskan angka 16 (Gbr.).

Karena 23 anak sekolah mengumpulkan lencana, dan 16 anak sekolah mengumpulkan lencana dan prangko, maka 23 - 16 = 7 orang mengumpulkan lencana saja. Begitu pula prangko yang dikumpulkan hanya oleh 35 - 16 = 19 orang. Mari kita tuliskan angka 7 dan 19 pada area yang sesuai pada diagram.

Dari gambar tersebut terlihat jelas berapa banyak orang yang terlibat dalam pengumpulan. Untuk mengetahui hal iniAnda perlu menambahkan angka 7, 9 dan 16. Kami mendapatkan 42 orang. Artinya 52 - 42 = 10 anak sekolah tetap tidak berminat mengoleksi. Ini adalah jawaban dari soal, dapat dimasukkan ke dalam bidang bebas lingkaran besar.

Metode Euler sangat diperlukan untuk memecahkan beberapa masalah, dan juga sangat menyederhanakan penalaran.

4.4 Teka-teki huruf dan soal dengan tanda bintang

Teka-teki huruf dan contoh dengan tanda bintang diselesaikan dengan memilih dan mempertimbangkan berbagai pilihan.

Permasalahan tersebut bervariasi dalam kompleksitas dan skema penyelesaiannya. Mari kita lihat salah satu contohnya.

Masalah 8 Pecahkan teka-teki angka

CIS

KSI

APAKAH K

Larutan. Jumlah DAN+ C (di tempat puluhan) diakhiri dengan C, tetapi I ≠ 0 (lihat tempat satuan). Artinya I = 9 dan 1 sepuluh dalam satuan tempat diingat. Sekarang mudah mencari K di tempat ratusan: K = 4. Untuk C hanya tersisa satu kemungkinan: C = 5.

4.5 Masalah kebenaran

Kami akan menyebut masalah di mana perlu untuk menetapkan kebenaran atau kesalahan pernyataan sebagai masalah kebenaran.

Masalah 9 . Tiga sahabat Kolya, Oleg dan Petya sedang bermain di halaman, dan salah satu dari mereka secara tidak sengaja memecahkan kaca jendela dengan bola. Kolya berkata, “Bukan saya yang memecahkan kaca itu.” Oleg berkata: "Petya memecahkan kacanya." Belakangan diketahui bahwa salah satu pernyataan ini benar dan yang lainnya salah. Anak laki-laki mana yang memecahkan kacanya?

Larutan. Misalkan Oleg mengatakan yang sebenarnya, maka Kolya juga mengatakan yang sebenarnya, dan ini bertentangan dengan kondisi permasalahan. Akibatnya, Oleg berbohong, dan Kolya mengatakan yang sebenarnya. Dari pernyataan mereka dapat disimpulkan bahwa Oleg memecahkan kaca.

Masalah 10 Empat siswa - Vitya, Petya, Yura dan Sergei - menempati empat tempat pertama di Olimpiade Matematika. Ketika ditanya tempat apa yang mereka ambil, jawaban yang diberikan adalah sebagai berikut:

a) Petya - kedua, Vitya - ketiga;

b) Sergey - kedua, Petya - pertama;

c) Yura - kedua, Vitya - keempat.

Tunjukkan siapa yang mengambil tempat jika hanya satu bagian dari setiap jawaban yang benar.

Larutan. Misalkan pernyataan “Petrus - II” benar, maka kedua pernyataan orang kedua tersebut salah, dan hal ini bertentangan dengan kondisi permasalahan.

Misalkan pernyataan “Sergey - II” benar, maka kedua pernyataan orang pertama tersebut salah, dan hal ini bertentangan dengan kondisi permasalahan.

Misalkan pernyataan “Jura – II” benar, maka pernyataan orang pertama salah, dan pernyataan orang kedua benar. Dan pernyataan orang kedua yang pertama salah, tetapi pernyataan orang kedua benar.

Jawaban: tempat pertama - Petya, tempat kedua - Yura, tempat ketiga - Vitya, tempat keempat Sergey.

4.6 Masalah jenis “Topi”.

Masalah yang paling terkenal adalah tentang orang bijak yang perlu menentukan warna topi di kepalanya. Untuk mengatasi masalah seperti itu, Anda perlu memulihkan rantai penalaran logis.

Masalah 11 . “Apa warna baretnya?”

Tiga sahabat, Anya, Shura dan Sonya, duduk satu demi satu di amfiteater tanpa biret. Sonya dan Shura tidak bisa melihat ke belakang. Shura hanya melihat kepala Sonya yang duduk di bawahnya, dan Anya melihat kepala kedua temannya. Dari sebuah kotak yang berisi 2 buah baret putih dan 3 buah baret hitam (ketiga temannya mengetahui hal ini), mereka mengeluarkan tiga buah baret dan menaruhnya di kepala, belum lagi apa warna baret tersebut; dua baret tersisa di dalam kotak. Saat ditanya tentang warna baret yang mereka kenakan, Anya tidak bisa menjawab. Shura mendengar jawaban Anya dan mengatakan bahwa ia juga tidak bisa menentukan warna baretnya. Berdasarkan jawaban teman-temannya, apakah Sonya bisa menentukan warna baretnya?

Larutan. Anda bisa beralasan seperti ini. Dari jawaban Anya, kedua pacarnya menyimpulkan bahwa mereka berdua tidak boleh memiliki dua baret putih di kepala. (Kalau tidak, Anya akan langsung mengatakan bahwa dia memakai baret hitam di kepalanya). Mereka memiliki dua warna hitam, atau putih dan hitam. Namun jika Sonya memiliki baret putih di kepalanya, maka Shura juga mengatakan bahwa dia tidak mengetahui baret mana yang ada di kepalanya, maka dari itu Sonya memiliki baret hitam di kepalanya.

5. Bagian praktis

1. Kajian tingkat berpikir logis siswa sekolah menengah.

Di bagian praktis dari pekerjaan penelitian, saya memilih masalah logis seperti:Siapa siapa?

Tugas-tugas tersebut masing-masing sesuai dengan tingkat pengetahuan kelas 5 dan 6, 7 dan 8. Para siswa memecahkan masalah ini, dan saya menganalisis hasilnya. Mari kita perhatikan hasil yang diperoleh lebih detail.

Tugas-tugas berikut diusulkan untuk kelas 5 dan 6:

Masalah 1. Mengingat salib musim gugur, Tupai berdebat selama dua jam:

Kelinci memenangkan perlombaan.Ayang kedua adalah rubah!

- Tidak, kata tupai yang lain,

- Kamu bagikucandaanbuang ini. Tentu saja, kelinci berada di urutan kedua,

Yang pertama, saya ingat, adalah seekor rusa besar!

- “Aku,” kata burung hantu yang penting itu,

- Saya tidak akan terlibat dalam perselisihan orang lain.

Tapi dalam setiap kata-katamu

Ada satu kesalahan.

Tupai-tupai itu mendengus marah.

Ini menjadi tidak menyenangkan bagi mereka.

Setelah mempertimbangkan semuanya, Anda memutuskan

Siapa yang pertama, siapa yang kedua.

Tugas 2. Tiga teman Belova, Krasnova dan Chernova bertemu. Salah satunya mengenakan gaun hitam, yang lain mengenakan gaun merah, dan yang ketiga mengenakan gaun putih. Seorang gadis berpakaian putih berkata kepada Chernova: "Kita perlu mengganti gaun, jika tidak, warna gaun kita tidak akan cocok dengan nama keluarga kita." Siapa yang memakai gaun apa?

Di antara siswa kelas 5 dan 6, ada 25 orang yang mengajukan tugas seperti “Siapa itu siapa?” 11 orang menyelesaikannya, termasuk 5 perempuan dan 6 laki-laki. Hasil penyelesaian masalah logika siswa kelas 5 dan 6 disajikan pada gambar:

Angka tersebut menunjukkan bahwa 44% berhasil menyelesaikan permasalahan “Siapa adalah siapa?”. Hampir semua siswa mengatasi tugas pertama, tugas kedua dengan menggunakan grafik atau tabel menimbulkan kesulitan bagi anak.

Ringkasnya, kita dapat menyimpulkan bahwa, secara umum, siswa kelas 5 dan 6 mengatasi tugas-tugas yang lebih sederhana, tetapi jika lebih banyak elemen ditambahkan dalam penalaran, maka tidak semuanya dapat mengatasi tugas-tugas tersebut.

Tugas-tugas berikut diusulkan untuk kelas 7 dan 8:

Soal 1. Lena, Olya, Tanya mengikuti lomba lari 100 m Lena berlari 2 detik lebih awal dari Olya, Olya berlari 1 detik lebih lambat dari Tanya. Siapa yang datang lebih awal: Tanya atau Lena dan berapa detik?

Soal 2. Tiga orang teman bertemu di sebuah kafe: pematung Belov, pemain biola Chernov, dan artis Ryzhov. “Sungguh menakjubkan bahwa salah satu dari kami berambut putih, yang lain berkulit hitam, dan yang ketiga berambut merah, tapi tidak ada warna rambut yang cocok dengan nama keluarga kami,” kata pria berambut hitam itu. “Kamu benar,” kata Belov. Apa warna rambut artisnya?

Soal 3. Suatu ketika, tujuh pasangan suami istri berkumpul di sebuah liburan keluarga. Nama keluarga laki-laki: Vladimirov, Fedorov, Nazarov, Viktorov, Stepanov, Matveev dan Tarasov. Nama-nama wanita tersebut adalah: Tonya, Lyusya, Lena, Sveta, Masha, Olya dan Galya.Di malam hari, Vladimirov berdansa dengan Lena dan Sveta, Nazarov - dengan Masha dan Sveta, Tarasov - dengan Lena dan Olya, Viktorov - dengan Lena, Stepanov - dengan Sveta, Matveev - dengan Olya. Kemudian mereka mulai bermain kartu. Pertama, Viktorov dan Vladimirov bermain dengan Olya dan Galya, kemudian Stepanov dan Nazarov menggantikan putra, dan putri melanjutkan permainan. Dan terakhir, Stepanov dan Nazarov memainkan satu pertandingan dengan Tonya dan Lena.

Cobalah untuk menentukan siapa yang menikah dengan siapa, jika diketahui bahwa pada malam hari tidak ada satupun laki-laki yang berdansa dengan istrinya dan tidak ada satupun pasangan suami istri yang duduk bersamaan di meja selama pertandingan.

Di kelas 7 dan 8 diantara 33 orang dengan semua masalah seperti “Siapa itu siapa?” 18 orang menyelesaikannya, termasuk 8 perempuan dan 10 laki-laki.

Hasil penyelesaian masalah logika siswa kelas 7 dan 8 disajikan pada gambar:

Gambar tersebut menunjukkan bahwa 55% siswa menyelesaikan semua tugas, 91% menyelesaikan tugas pertama, 67% berhasil menyelesaikan tugas kedua, dan tugas terakhir ternyata paling sulit bagi anak-anak dan hanya 58% yang menyelesaikannya.

Menganalisis hasil yang diperoleh, secara umum dapat dikatakan bahwa siswa kelas 7 dan 8 mampu mengatasi masalah logika dengan lebih baik. Siswa kelas 5 dan 6 menunjukkan hasil yang lebih buruk, mungkin karena penyelesaian masalah jenis ini memerlukan pengetahuan matematika yang baik, siswa kelas 5 belum memiliki pengalaman dalam menyelesaikan masalah tersebut.

Saya juga melakukan sosial. survei di kalangan siswa di kelas 5-8. Saya mengajukan pertanyaan kepada semua orang: “Masalah mana yang lebih mudah dipecahkan: matematika atau logika? 15 orang mengikuti survei. 10 orang menjawab - matematis, 3 logis, 2 - tidak dapat menyelesaikan apa pun. Hasil survei ditunjukkan pada gambar:

Gambar tersebut menunjukkan bahwa masalah matematika lebih mudah diselesaikan oleh 67% responden, masalah logika oleh 20%, dan 13% tidak akan mampu menyelesaikan masalah apa pun.

6. Kesimpulan

Dalam karya ini Anda berkenalan dengan masalah logika. Dengan apa logikanya. Kami telah menyampaikan kepada Anda berbagai tugas logis yang membantu mengembangkan pemikiran logis dan imajinatif.

Setiap anak normal memiliki keinginan akan ilmu, keinginan untuk menguji dirinya sendiri. Seringkali kemampuan anak sekolah masih belum terungkap sendiri, mereka tidak percaya diri dengan kemampuannya, dan acuh terhadap matematika.

Untuk siswa seperti itu, saya mengusulkan untuk menggunakan tugas logika. Tugas-tugas ini dapat dipertimbangkan di klub dan kelas pilihan.

Mereka harus mudah diakses, membangkitkan kecerdasan, menarik perhatian mereka, mengejutkan, membangunkan mereka pada imajinasi aktif dan keputusan mandiri.

Saya juga percaya bahwa logika membantu kita mengatasi kesulitan apa pun dalam hidup kita, dan segala sesuatu yang kita lakukan harus dipahami dan terstruktur secara logis.

Masalah logika dan logika kita jumpai tidak hanya di sekolah pada saat pelajaran matematika, tetapi juga pada mata pelajaran lainnya.

7. literatur

Dorofeev G.V. Matematika kelas 6.-Pencerahan,: 2013.

Matveeva G. Masalah logika // Matematika. - 1999. No. 25. - Hal. 4-8.

Orlova E. Metode solusi soal logika dan soal bilangan //

Matematika. - 1999. No. 26. - Hal. 27-29.

4. Sharygin I.F. , Shevkin E.A. Tugas untuk kecerdikan.-Moskow,: Pendidikan, 1996.-65 hal.

Perhatian siswa! Kursus diselesaikan secara mandiri sesuai dengan topik yang dipilih. Topik duplikat tidak diperbolehkan! Anda diminta dengan hormat untuk memberi tahu guru tentang topik yang dipilih dengan cara apa pun yang nyaman, baik secara individu atau dalam daftar yang menunjukkan nama lengkap Anda, nomor kelompok dan judul tugas kursus.

Contoh topik untuk kursus dalam disiplin ilmu
"Logika Matematika"

1. Metode resolusi dan penerapannya pada aljabar proposisional dan aljabar predikat.

2. Sistem aksiomatik.

3. CNF dan DNF minimal dan terpendek.

4. Penerapan metode logika matematika dalam teori bahasa formal.

5. Tata bahasa formal sebagai kalkulasi logika.

6. Metode penyelesaian masalah logika teks.

7. Sistem pemrograman logika.

8. Permainan logika.

9. Ketidakpastian logika tingkat pertama.

10. Model aritmatika nonstandar.

11. Metode diagonalisasi dalam logika matematika.

12. Mesin Turing dan tesis Church.

13. Komputasi pada fungsi sempoa dan rekursif.

14. Keterwakilan fungsi rekursif dan hasil negatif logika matematika.

15. Solvabilitas aritmatika penjumlahan.

16. Logika orde kedua dan definabilitas dalam aritmatika.

17. Metode ultraproduk dalam teori model.

18. Teorema Gödel tentang ketidaklengkapan aritmatika formal.

19. Teori aksiomatik yang dapat dipecahkan dan tidak dapat diputuskan.

20. Lemma interpolasi Craig dan penerapannya.

21. Pengonversi informasi paling sederhana.

22. Peralihan sirkuit.

24. Struktur kontak.

25. Penerapan fungsi Boolean pada rangkaian kontak relai.

26. Penerapan fungsi Boolean dalam teori pengenalan pola.

27. Logika matematika dan sistem kecerdasan buatan.

Pekerjaan kursus harus terdiri dari 2 bagian: isi teoritis topik dan serangkaian masalah pada topik (minimal 10) dengan solusi. Diperbolehkan juga menulis makalah yang berjenis penelitian, mengganti bagian kedua (pemecahan masalah) dengan pengembangan mandiri (misalnya algoritma kerja, program, sampel, dll) yang dibuat berdasarkan materi teori yang dibahas. di bagian pertama pekerjaan.

1) Barwise J. (ed.) Buku referensi logika matematika. - M.: Nauka, 1982.

2) Saudara bahasa pemrograman. - M.: Nauka, 1975.

3) Boulos J., komputasi dan logika. - M.: Mir, 1994.

4) Logika Hindikin dalam permasalahan. - M., 1972.

5), logika Palyutin. - M.: Nauka, 1979.

6) Solvabilitas Ershov dan model konstruktif. - M.: Nauka, 1980.

7), teori Taitslin // Uspekhi Mat. Nauk, 1965, 20, No.4, hal. 37-108.

8) Igoshin - lokakarya logika matematika. - M.: Pendidikan, 1986.

9) Logika Igoshin dan teori algoritma. - Saratov: Rumah penerbitan Sarat. Universitas, 1991.

10) Di Ts., menggunakan Turbo Prolog. - M.: Mir, 1993.

11) pengenalan metamathematika. - M., 1957.

12) logika athematik. - M.: Mir, 1973.

13) logika dalam pemecahan masalah. - M.: Nauka, 1990.

14) Logika Kolmogorov: buku teks matematika untuk universitas. spesialisasi /, - M.: Penerbitan URSS, 2004. - 238 hal.

15) cerita dengan simpul / Terjemahan. dari bahasa Inggris - M., 1973.

16) permainan logika / Trans. dari bahasa Inggris - M., 1991.

17), Maksimov tentang teori himpunan, logika matematika dan teori algoritma. - edisi ke-4. - M., 2001.

18), logika Sukacheva. Kursus kuliah. Buku soal praktis dan solusinya: Panduan belajar. edisi ke-3, putaran. - Sankt Peterburg.

19) Penerbitan "Lan", 2008. - 288 hal.

20) Lyskova dalam ilmu komputer / , . - M.: Laboratorium Pengetahuan Dasar, 2001. - 160 hal.

21) Logika matematika / Di bawah redaksi umum dan lain-lain - Minsk: Higher School, 1991.

22) pengenalan logika matematika. - M.: Nauka, 1984.

23) Moshchensky tentang logika matematika. - Minsk, 1973.

24) Nikolskaya dengan logika matematika. - M.: Institut Psikologi dan Sosial Moskow: Flint, 1998. - 128 hal.

25) Logika Nikolskaya. - M., 1981.

26) Logika matematika Novikov. - M.: Nauka, 1973.

27) Teori Rabin. Dalam buku: Buku Referensi Logika Matematika, bagian 3. Teori rekursi. - M.: Nauka, 1982. - hal. 77-111.

28) Tey A., Gribomon P. dkk Pendekatan logis terhadap kecerdasan buatan. T.1.-M.: Mir, 1990.

29) Tey A., Gribomon P. dkk Pendekatan logis terhadap kecerdasan buatan. T.2.-M.: Mir, 1998.

30) Chen Ch., Li R. Logika matematika dan pembuktian teorema otomatis. - M.: Nauka, 1983.

31) pengenalan logika matematika. - M.: Mir, 1960.

32) Logika Shabunin. Logika proposisional dan logika predikat: buku teks /, rep. ed. ; negara bagian Chuvash Universitas dinamai menurut namanya . - Cheboksary: Rumah Penerbitan Chuvash. Universitas, 2003. - 56 hal.

Perkenalan. 3

1. Logika matematis (logika tak bermakna) dan logika “akal sehat” 4

2. Penilaian dan kesimpulan matematis. 6

3. Logika matematika dan “Akal Sehat” di abad ke-21. sebelas

4. Logika yang tidak wajar dalam dasar-dasar matematika. 12

Kesimpulan. 17

Referensi… 18

Perluasan wilayah kepentingan logis dikaitkan dengan tren umum dalam perkembangan ilmu pengetahuan. Dengan demikian, kemunculan logika matematika pada pertengahan abad ke-19 merupakan hasil dari aspirasi berabad-abad para ahli matematika dan ahli logika untuk membangun bahasa simbolik universal, bebas dari “kekurangan” bahasa alami (terutama polisemi, yaitu polisemi) .

Perkembangan logika selanjutnya dikaitkan dengan kombinasi penggunaan logika klasik dan matematika dalam bidang terapan. Logika non-klasik (logika deontik, relevan, logika hukum, logika pengambilan keputusan, dll) sering kali berhubungan dengan ketidakpastian dan ketidakjelasan objek yang diteliti, dengan sifat perkembangannya yang nonlinier. Jadi, ketika menganalisis masalah yang agak kompleks dalam sistem kecerdasan buatan, muncul masalah sinergi antara berbagai jenis penalaran ketika memecahkan masalah yang sama. Prospek pengembangan logika sejalan dengan konvergensi dengan ilmu komputer dikaitkan dengan penciptaan hierarki tertentu dari kemungkinan model penalaran, termasuk penalaran dalam bahasa alami, penalaran yang masuk akal, dan kesimpulan deduktif yang diformalkan. Hal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan logika klasik, matematika dan non-klasik. Jadi, kita tidak berbicara tentang “logika” yang berbeda, tetapi tentang derajat formalisasi pemikiran yang berbeda dan “dimensi” makna logis (logika dua nilai, multinilai, dll.).

Identifikasi arah utama logika modern:

1. logika umum atau klasik;

2. logika simbolik atau matematis;

3. logika non-klasik.

Logika matematika adalah konsep yang agak kabur, karena fakta bahwa logika matematika juga jumlahnya tak terhingga banyaknya. Di sini kita akan membahas beberapa di antaranya, dengan lebih mengutamakan tradisi daripada akal sehat. Karena, sangat mungkin, ini adalah akal sehat... Logis?

Logika matematika mengajarkan Anda untuk berpikir secara logis tidak lebih dari cabang matematika lainnya. Hal ini disebabkan karena “logika” penalaran dalam logika ditentukan oleh logika itu sendiri dan hanya dapat digunakan dengan benar dalam logika itu sendiri. Dalam kehidupan, ketika berpikir secara logis, sebagai suatu peraturan, kita menggunakan logika yang berbeda dan metode penalaran logis yang berbeda, tanpa malu-malu mencampurkan deduksi dengan induksi... Terlebih lagi, dalam hidup kita membangun penalaran kita berdasarkan premis-premis yang kontradiktif, misalnya, “Don 'jangan tunda sampai besok apa yang bisa dilakukan hari ini" dan "Kamu akan segera membuat orang tertawa." Seringkali kesimpulan logis yang tidak kita sukai mengarah pada revisi premis awal (aksioma).

Mungkin sudah tiba waktunya untuk mengatakan tentang logika, mungkin hal yang paling penting: logika klasik tidak mementingkan makna. Tidak sehat atau yang lainnya! Untuk mempelajari akal sehat, ada psikiatri. Namun dalam psikiatri, logika agak berbahaya.

Tentu saja, ketika kita membedakan logika dari akal, yang pertama-tama kita maksud adalah logika klasik dan pemahaman akal sehat sehari-hari. Tidak ada arah terlarang dalam matematika, oleh karena itu kajian makna dengan logika, begitu pula sebaliknya, dalam berbagai bentuk hadir di sejumlah cabang ilmu logika modern.

(Kalimat terakhir berhasil dengan baik, meskipun saya tidak akan mencoba mendefinisikan istilah "ilmu logika" secara kasar). Makna, atau semantik jika Anda mau, dibahas, misalnya, dengan teori model. Dan secara umum istilah semantik sering digantikan dengan istilah interpretasi. Dan jika kita setuju dengan para filsuf bahwa interpretasi (tampilan!) suatu objek adalah pemahamannya dalam beberapa aspek tertentu, maka batasan bidang matematika, yang dapat digunakan untuk menyerang makna dalam logika, menjadi tidak dapat dipahami!

Dalam istilah praktis, pemrograman teoretis dipaksa untuk menaruh minat pada semantik. Dan di dalamnya selain sekedar semantik, ada juga operasional, denotasi, prosedural, dan sebagainya. dan seterusnya. semantik...

Mari kita sebutkan saja pendewaan - TEORI KATEGORI, yang membawa semantik ke sintaksis yang formal dan tidak jelas, di mana maknanya sudah begitu sederhana - diletakkan di rak-rak sehingga mustahil bagi manusia biasa untuk memahaminya. ... Ini untuk kaum elit.

Jadi, apa gunanya logika? Setidaknya di bagian paling klasiknya? Logika hanya melakukan apa yang dilakukannya. (Dan dia mendefinisikannya dengan sangat ketat). Hal utama dalam logika adalah mendefinisikannya dengan tegas! Tetapkan aksiomatiknya. Dan kemudian kesimpulan logisnya seharusnya (!) sebagian besar otomatis...

Memikirkan kesimpulan ini adalah soal lain! Namun argumen ini sudah di luar logika! Oleh karena itu, mereka memerlukan pemahaman matematis yang ketat!

Tampaknya ini adalah tindakan penyeimbangan verbal yang sederhana. TIDAK! Sebagai contoh sistem logika (aksiomatik) tertentu, mari kita ambil permainan terkenal 15. Mari kita atur (campur) susunan awal keping persegi. Kemudian permainan (kesimpulan logis!), dan khususnya pergerakan chip ke ruang kosong, dapat ditangani oleh beberapa perangkat mekanis, dan Anda dapat dengan sabar menonton dan bersukacita ketika, sebagai hasil dari kemungkinan pergerakan, urutan dari 1 hingga 15 terbentuk di dalam kotak, namun tidak ada yang melarang pengendalian alat mekanis dan mendorongnya, BERDASARKAN Akal Sehat, dengan pergerakan chip yang benar untuk mempercepat proses. Atau bahkan mungkin membuktikan, dengan menggunakan penalaran logis, misalnya, cabang matematika seperti KOMBINATORIK, bahwa dengan susunan awal chip tertentu, tidak mungkin mendapatkan kombinasi akhir yang diperlukan sama sekali!

Tidak ada lagi akal sehat pada bagian logika yang disebut ALJABAR LOGIS. Di sini OPERASI LOGIS diperkenalkan dan propertinya ditentukan. Seperti yang telah diperlihatkan oleh praktik, dalam beberapa kasus hukum aljabar ini mungkin sesuai dengan logika kehidupan, namun dalam kasus lain tidak. Karena ketidakkekalan tersebut, hukum logika tidak dapat dianggap sebagai hukum dari sudut pandang praktik kehidupan. Pengetahuan dan penggunaan mekanis mereka tidak hanya membantu, tetapi juga membahayakan. Terutama psikolog dan pengacara. Situasi ini diperumit oleh fakta bahwa, bersama dengan hukum aljabar logika, yang terkadang sesuai atau tidak sesuai dengan penalaran kehidupan, terdapat hukum logis yang tidak diakui oleh beberapa ahli logika. Hal ini terutama berlaku pada apa yang disebut hukum KETIGA EKSKLUSIF dan KONTRADIKSI.

2. Penilaian dan kesimpulan matematis

Dalam berpikir, konsep-konsep tidak muncul secara terpisah, melainkan saling berhubungan satu sama lain dengan cara tertentu. Bentuk keterkaitan konsep satu sama lain adalah penilaian. Dalam setiap penilaian, terjalin hubungan atau hubungan tertentu antar konsep, dan dengan demikian menegaskan adanya hubungan atau hubungan antara objek-objek yang dicakup oleh konsep-konsep yang bersangkutan. Jika penilaian dengan benar mencerminkan ketergantungan yang ada secara objektif antara berbagai hal, maka kita menyebut penilaian tersebut benar, jika tidak, penilaian tersebut akan salah. Jadi, misalnya, proposisi “setiap belah ketupat adalah jajar genjang” adalah proposisi yang benar; proposisi “setiap jajar genjang adalah belah ketupat” adalah proposisi yang salah.

Dengan demikian, penilaian adalah suatu bentuk pemikiran yang mencerminkan ada tidaknya objek itu sendiri (ada tidaknya ciri-ciri dan hubungannya).

Berpikir berarti membuat penilaian. Dengan bantuan penilaian, pemikiran dan konsep dikembangkan lebih lanjut.

Karena setiap konsep mencerminkan kelas objek, fenomena, atau hubungan tertentu di antara mereka, penilaian apa pun dapat dianggap sebagai dimasukkan atau tidaknya (sebagian atau seluruhnya) suatu konsep ke dalam kelas konsep lain. Misalnya dalil “setiap persegi adalah belah ketupat” menunjukkan bahwa konsep “persegi” termasuk dalam konsep “belah ketupat”; dalil “garis-garis yang berpotongan tidak sejajar” menunjukkan bahwa garis-garis yang berpotongan tidak termasuk dalam himpunan garis yang disebut sejajar.

Suatu penilaian memiliki cangkang linguistiknya sendiri - sebuah kalimat, tetapi tidak setiap kalimat adalah sebuah penilaian.

Ciri khas suatu penilaian adalah wajib adanya kebenaran atau kepalsuan dalam kalimat yang mengungkapkannya.

Misalnya, kalimat “segitiga ABC sama kaki” mengungkapkan beberapa penilaian; kalimat “Akankah ABC berbentuk sama kaki?” tidak mengungkapkan penilaian.

Setiap ilmu pada hakikatnya mewakili suatu sistem penilaian tertentu terhadap objek-objek yang menjadi pokok kajiannya. Setiap penilaian diformalkan dalam bentuk usulan tertentu, dinyatakan dalam istilah dan simbol yang melekat pada ilmu ini. Matematika juga mewakili sistem penilaian tertentu yang diungkapkan dalam kalimat matematika melalui istilah matematika atau logika atau simbol yang sesuai. Istilah (atau simbol) matematika menunjukkan konsep-konsep yang membentuk isi teori matematika, istilah logis (atau simbol) menunjukkan operasi logis yang dengannya proposisi matematika lain dibangun dari beberapa proposisi matematika, penilaian lain dibentuk dari beberapa penilaian. , yang keseluruhannya menjadikan matematika sebagai ilmu.

Secara umum, penilaian dibentuk dalam berpikir melalui dua cara utama: langsung dan tidak langsung. Dalam kasus pertama, hasil persepsi dinyatakan dengan bantuan penilaian, misalnya, “gambar ini adalah lingkaran”. Dalam kasus kedua, penilaian muncul sebagai akibat dari aktivitas mental khusus yang disebut inferensi. Misalnya, “kumpulan titik-titik tertentu pada suatu bidang sedemikian rupa sehingga jaraknya dari satu titik adalah sama; Artinya bangun tersebut berbentuk lingkaran.”

Dalam proses aktivitas mental ini biasanya terjadi peralihan dari satu atau lebih penilaian yang saling berhubungan ke penilaian baru, yang memuat pengetahuan baru tentang objek kajian. Transisi ini adalah inferensi, yang mewakili bentuk pemikiran tertinggi.

Jadi, inferensi adalah proses memperoleh kesimpulan baru dari satu atau lebih penilaian yang diberikan. Misalnya, diagonal suatu jajar genjang membaginya menjadi dua segitiga yang kongruen (proposisi pertama).

Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 2d (proposisi kedua).

Jumlah sudut dalam jajar genjang sama dengan 4d (kesimpulan baru).

Nilai kognitif dari inferensi matematis sangatlah luar biasa. Mereka memperluas batas-batas pengetahuan kita tentang objek dan fenomena dunia nyata karena fakta bahwa sebagian besar proposisi matematika merupakan kesimpulan dari sejumlah kecil penilaian dasar, yang biasanya diperoleh melalui pengalaman langsung dan mencerminkan kita. pengetahuan paling sederhana dan paling umum tentang objeknya.

Inferensi berbeda (sebagai bentuk pemikiran) dari konsep dan penilaian karena merupakan operasi logis pada pemikiran individu.

Tidak setiap kombinasi penilaian satu sama lain merupakan suatu kesimpulan: harus ada hubungan logis tertentu antara penilaian tersebut, yang mencerminkan hubungan objektif yang ada dalam kenyataan.

Misalnya, seseorang tidak dapat menarik kesimpulan dari proposisi “jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 2d” dan “2*2=4”.

Jelas betapa pentingnya kemampuan menyusun berbagai kalimat matematika dengan benar atau menarik kesimpulan dalam proses penalaran dalam sistem pengetahuan matematika kita. Bahasa lisan kurang cocok untuk mengungkapkan penilaian tertentu, apalagi untuk mengidentifikasi struktur logika penalaran. Oleh karena itu, wajar jika ada kebutuhan untuk memperbaiki bahasa yang digunakan dalam proses penalaran. Bahasa matematika (atau lebih tepatnya, simbolik) ternyata paling cocok untuk ini. Bidang ilmu khusus yang muncul pada abad ke-19, logika matematika, tidak hanya menyelesaikan secara tuntas masalah penciptaan teori pembuktian matematis, tetapi juga mempunyai pengaruh yang besar terhadap perkembangan matematika secara keseluruhan.

Logika formal (yang muncul pada zaman dahulu dalam karya Aristoteles) tidak diidentikkan dengan logika matematika (yang muncul pada abad ke-19 dalam karya matematikawan Inggris J. Boole). Subyek logika formal adalah studi tentang hukum hubungan penilaian dan konsep dalam kesimpulan dan aturan pembuktian. Logika matematika berbeda dari logika formal karena, berdasarkan hukum dasar logika formal, ia mengeksplorasi pola proses logis berdasarkan penggunaan metode matematika: “Hubungan logis yang ada antara penilaian, konsep, dll., dinyatakan dalam rumusan yang penafsirannya bebas dari ambiguitas yang mudah timbul dari ekspresi verbal. Dengan demikian, logika matematika dicirikan oleh formalisasi operasi logika, abstraksi yang lebih lengkap dari isi kalimat yang spesifik (mengungkapkan penilaian apa pun).

Mari kita ilustrasikan hal ini dengan satu contoh. Perhatikan kesimpulan berikut: “Jika semua tumbuhan berwarna merah dan semua anjing adalah tumbuhan, maka semua anjing berwarna merah.”

Masing-masing penilaian yang digunakan di sini dan penilaian yang kami terima sebagai hasil dari kesimpulan yang terkendali tampaknya benar-benar tidak masuk akal. Namun, dari sudut pandang logika matematika, di sini kita berhadapan dengan kalimat yang benar, karena dalam logika matematika, benar atau salahnya suatu kesimpulan hanya bergantung pada benar atau salahnya premis-premis penyusunnya, dan bukan pada konten spesifiknya. Oleh karena itu, jika salah satu konsep dasar logika formal adalah penilaian, maka konsep analogi logika matematika adalah konsep pernyataan-pernyataan, yang hanya masuk akal untuk mengatakan benar atau salah. Kita tidak boleh berpikir bahwa setiap pernyataan ditandai dengan kurangnya “akal sehat” dalam isinya. Hanya saja bagian makna kalimat yang membentuk pernyataan ini atau itu memudar ke latar belakang logika matematika dan tidak penting untuk konstruksi logis atau analisis kesimpulan ini atau itu. (Meskipun, tentu saja, penting untuk memahami isi dari apa yang sedang dibahas ketika mempertimbangkan masalah ini.)

Jelas bahwa dalam matematika itu sendiri pernyataan-pernyataan yang bermakna dipertimbangkan. Dengan membangun berbagai hubungan dan hubungan antar konsep, penilaian matematis menegaskan atau menyangkal adanya hubungan antara objek dan fenomena realitas.

3. Logika matematika dan “Akal Sehat” di abad ke-21.

Logika bukan hanya ilmu matematika murni, tetapi juga ilmu filsafat. Pada abad ke-20, kedua hipotesa logika yang saling berhubungan ini ternyata terpisah ke arah yang berbeda. Di satu sisi, logika dipahami sebagai ilmu tentang hukum-hukum pemikiran yang benar, dan di sisi lain, logika disajikan sebagai seperangkat bahasa buatan yang terhubung secara longgar, yang disebut sistem logika formal.

Jelas bagi banyak orang bahwa berpikir adalah proses kompleks yang dengannya masalah-masalah sehari-hari, ilmiah atau filosofis dipecahkan dan ide-ide cemerlang atau delusi fatal lahir. Bahasa dipahami oleh banyak orang hanya sebagai alat yang dengannya hasil pemikiran dapat diwariskan kepada orang-orang sezaman atau diwariskan kepada keturunannya. Namun, setelah menghubungkan pemikiran dalam kesadaran kita dengan konsep “proses”, dan bahasa dengan konsep “sarana”, kita pada dasarnya berhenti memperhatikan fakta yang tidak dapat diubah bahwa dalam hal ini “sarana” tidak sepenuhnya tunduk pada “proses”. , tetapi tergantung pada pilihan klise tertentu atau verbal yang disengaja atau tidak disadari, memiliki pengaruh yang kuat pada jalannya dan hasil dari "proses" itu sendiri. Selain itu, ada banyak kasus di mana “pengaruh terbalik” tersebut ternyata tidak hanya menjadi hambatan bagi pemikiran yang benar, tetapi terkadang bahkan menjadi perusaknya.

Dari sudut pandang filosofis, tugas yang diajukan dalam kerangka positivisme logis tidak pernah selesai. Secara khusus, dalam studi selanjutnya, salah satu pendiri tren ini, Ludwig Wittgenstein, sampai pada kesimpulan bahwa bahasa alami tidak dapat direformasi sesuai dengan program yang dikembangkan oleh kaum positivis. Bahkan bahasa matematika secara keseluruhan menolak tekanan kuat “logisisme”, meskipun banyak istilah dan struktur bahasa yang diusulkan oleh kaum positivis memasuki beberapa bagian matematika diskrit dan secara signifikan melengkapinya. Popularitas positivisme logis sebagai tren filosofis pada paruh kedua abad ke-20 menurun drastis - banyak filsuf sampai pada kesimpulan bahwa penolakan terhadap banyak “ketidaklogisan” bahasa alami, upaya untuk memasukkannya ke dalam kerangka prinsip-prinsip dasar Positivisme logis memerlukan dehumanisasi proses kognisi, dan pada saat yang sama, dehumanisasi budaya manusia secara keseluruhan.

Banyak metode penalaran yang digunakan dalam bahasa alami seringkali sangat sulit untuk dipetakan secara jelas ke dalam bahasa logika matematika. Dalam beberapa kasus, pemetaan seperti itu menyebabkan distorsi yang signifikan terhadap esensi penalaran alamiah. Dan ada alasan untuk percaya bahwa masalah-masalah ini adalah konsekuensi dari posisi metodologis awal filsafat analitis dan positivisme tentang ketidaklogisan bahasa alami dan perlunya reformasi radikal. Pengaturan metodologis positivisme yang sangat orisinal juga tidak tahan terhadap kritik. Menuduh bahasa lisan tidak logis adalah hal yang tidak masuk akal. Faktanya, ketidaklogisan tidak menjadi ciri bahasa itu sendiri, tetapi banyak pengguna bahasa ini yang tidak mengetahui atau tidak ingin menggunakan logika dan mengkompensasi kekurangan ini dengan teknik psikologis atau retoris untuk mempengaruhi publik, atau dalam penalarannya mereka menggunakan sebagai logika suatu sistem yang disebut logika hanya karena kesalahpahaman. Pada saat yang sama, ada banyak orang yang ucapannya jelas dan logis, dan kualitas-kualitas ini tidak ditentukan oleh pengetahuan atau ketidaktahuan tentang dasar-dasar logika matematika.

Dalam penalaran mereka yang dapat digolongkan sebagai pembuat undang-undang atau pengikut bahasa formal logika matematika, sering terungkap semacam “kebutaan” dalam kaitannya dengan kesalahan logika dasar. Salah satu ahli matematika besar, Henri Poincaré, menarik perhatian pada kebutaan ini dalam karya fundamental G. Cantor, D. Hilbert, B. Russell, J. Peano dan lain-lain di awal abad kita.

Salah satu contoh pendekatan penalaran yang tidak logis adalah rumusan paradoks Russell yang terkenal, di mana dua konsep “elemen” dan “himpunan” yang murni heterogen dikacaukan secara tidak masuk akal. Dalam banyak karya modern tentang logika dan matematika, di mana pengaruh program Hilbert terlihat, banyak pernyataan yang jelas-jelas tidak masuk akal dari sudut pandang logika natural tidak dijelaskan. Hubungan antara “elemen” dan “himpunan” adalah contoh paling sederhana dari jenis ini. Banyak karya dalam arah ini menyatakan bahwa suatu himpunan tertentu (sebut saja A) dapat menjadi elemen dari himpunan lain (sebut saja B).

Misalnya, dalam manual terkenal tentang logika matematika kita akan menemukan ungkapan berikut: “Himpunan itu sendiri dapat menjadi elemen dari himpunan, jadi, misalnya, himpunan semua himpunan bilangan bulat memiliki himpunan sebagai elemennya.” Perlu diingat bahwa pernyataan ini bukan sekadar penafian. Ini terkandung sebagai aksioma "tersembunyi" dalam teori himpunan formal, yang dianggap oleh banyak ahli sebagai dasar matematika modern, serta dalam sistem formal yang dibangun oleh ahli matematika K. Gödel ketika membuktikan teorema terkenalnya tentang ketidaklengkapan sistem formal. Teorema ini mengacu pada kelas sistem formal yang agak sempit (termasuk teori himpunan formal dan aritmatika formal), yang struktur logisnya jelas tidak sesuai dengan struktur logis penalaran dan pembenaran alami.

Namun, selama lebih dari setengah abad hal ini telah menjadi bahan diskusi hangat di kalangan ahli logika dan filsuf dalam konteks teori umum pengetahuan. Dengan generalisasi teorema ini yang begitu luas, ternyata banyak konsep dasar yang pada dasarnya tidak dapat diketahui. Namun dengan pendekatan yang lebih bijaksana, ternyata teorema Gödel hanya menunjukkan inkonsistensi program pembenaran formal matematika yang dikemukakan oleh D. Hilbert dan dianut oleh banyak matematikawan, ahli logika, dan filsuf. Aspek metodologis yang lebih luas dari teorema Gödel hampir tidak dapat dianggap dapat diterima sampai pertanyaan berikut terjawab: apakah program Hilbert untuk membenarkan matematika adalah satu-satunya program yang mungkin? Untuk memahami ambiguitas pernyataan “himpunan A adalah salah satu anggota himpunan B”, cukup dengan mengajukan pertanyaan sederhana: “Dari unsur manakah himpunan B terbentuk dalam kasus ini?” Dari sudut pandang logika natural, hanya ada dua penjelasan yang mungkin saling eksklusif. Penjelasan satu. Unsur-unsur himpunan B adalah nama-nama beberapa himpunan dan, khususnya, nama atau sebutan dari himpunan A. Misalnya, himpunan semua bilangan genap dimasukkan sebagai elemen dalam himpunan semua nama (atau sebutan) himpunan yang dipisahkan oleh beberapa ciri dari himpunan semua bilangan bulat. Untuk memberikan contoh yang lebih jelas: himpunan semua jerapah terkandung sebagai elemen dalam himpunan semua spesies hewan yang diketahui. Dalam konteks yang lebih luas, himpunan B juga dapat dibentuk dari definisi konseptual himpunan atau acuan himpunan. Penjelasan dua. Unsur-unsur himpunan B adalah unsur-unsur himpunan lain dan, khususnya, semua unsur himpunan A. Misalnya, setiap bilangan genap merupakan unsur himpunan semua bilangan bulat, atau setiap jerapah merupakan unsur himpunan kumpulan semua hewan. Namun ternyata dalam kedua kasus tersebut ungkapan “himpunan A adalah elemen dari himpunan B” tidak masuk akal. Pada kasus pertama, ternyata anggota himpunan B bukanlah himpunan A itu sendiri, melainkan namanya (atau sebutan, atau rujukannya). Dalam hal ini, hubungan ekuivalen secara implisit terbentuk antara himpunan dan peruntukannya, yang tidak dapat diterima baik dari sudut pandang akal sehat biasa, maupun dari sudut pandang intuisi matematis, yang tidak sesuai dengan formalisme berlebihan. Pada kasus kedua, ternyata himpunan A termasuk dalam himpunan B, yaitu. adalah bagian darinya, tetapi bukan sebuah elemen. Di sini juga terdapat substitusi konsep yang jelas, karena hubungan penyertaan himpunan dan hubungan keanggotaan (menjadi elemen suatu himpunan) dalam matematika memiliki arti yang berbeda secara mendasar. Paradoks Russell yang terkenal, yang melemahkan kepercayaan para ahli logika terhadap konsep himpunan, didasarkan pada absurditas ini - paradoks ini didasarkan pada premis ambigu bahwa suatu himpunan dapat menjadi elemen dari himpunan lain.

Penjelasan lain yang mungkin adalah mungkin. Misalkan himpunan A didefinisikan dengan pencacahan sederhana elemen-elemennya, misalnya A = (a, b). Himpunan B, selanjutnya, ditentukan dengan menyebutkan beberapa himpunan, misalnya B = ((a, b), (a, c)). Dalam hal ini tampak jelas bahwa unsur B bukanlah nama himpunan A, melainkan himpunan A itu sendiri.Tetapi meskipun demikian, unsur-unsur himpunan A bukanlah anggota himpunan B, melainkan himpunan A di sini dianggap sebagai suatu koleksi yang tidak dapat dipisahkan, yang dapat dengan mudah diganti namanya. Tetapi jika kita menganggap semua anggota himpunan yang terdapat di dalamnya adalah anggota B, maka dalam hal ini himpunan B sama dengan himpunan (a, b, c), dan himpunan A dalam hal ini bukan merupakan himpunan elemen dari B, tetapi merupakan bagian darinya. Jadi, ternyata versi penjelasan ini, tergantung pilihan kita, bermuara pada opsi-opsi yang disebutkan sebelumnya. Dan jika tidak ada pilihan yang ditawarkan, maka timbullah ambiguitas mendasar, yang sering kali mengarah pada paradoks yang “tidak dapat dijelaskan”.

Dimungkinkan untuk tidak memberikan perhatian khusus pada nuansa terminologis ini jika bukan karena satu keadaan. Ternyata banyak paradoks dan inkonsistensi logika modern dan matematika diskrit merupakan konsekuensi langsung atau tiruan dari ambiguitas ini.

Misalnya, dalam penalaran matematika modern, konsep “penerapan diri” sering digunakan, yang mendasari paradoks Russell. Dalam rumusan paradoks ini, penerapan diri menyiratkan adanya himpunan yang merupakan elemen dari dirinya sendiri. Pernyataan ini langsung menimbulkan paradoks. Jika kita mempertimbangkan himpunan dari semua himpunan yang “tidak dapat diterapkan sendiri”, ternyata himpunan tersebut “dapat diterapkan sendiri” dan “tidak dapat diterapkan sendiri”.

Logika matematika memberikan kontribusi besar terhadap pesatnya perkembangan teknologi informasi di abad ke-20, namun konsep “penilaian”, yang muncul dalam logika pada zaman Aristoteles dan yang menjadi landasannya, bertumpu pada dasar logis dari bahasa alami. , jatuh dari pandangannya. Kelalaian seperti itu sama sekali tidak berkontribusi pada berkembangnya budaya logis di masyarakat dan bahkan menimbulkan ilusi di antara banyak orang bahwa komputer mampu berpikir tidak lebih buruk dari manusia itu sendiri. Banyak yang bahkan tidak malu dengan kenyataan bahwa dengan latar belakang komputerisasi umum menjelang milenium ketiga, absurditas logis dalam sains itu sendiri (belum lagi politik, pembuatan undang-undang, dan pseudosains) bahkan lebih umum terjadi dibandingkan pada akhir abad ke-19. . Dan untuk memahami esensi dari absurditas ini, tidak perlu beralih ke struktur matematika kompleks dengan hubungan multi-tempat dan fungsi rekursif yang digunakan dalam logika matematika. Ternyata untuk memahami dan menganalisis absurditas ini, cukup menerapkan struktur penilaian matematis yang lebih sederhana, yang tidak hanya tidak bertentangan dengan landasan matematika logika modern, tetapi dalam beberapa hal melengkapi dan memperluasnya.

Bibliografi

1. Vasiliev N. A. Logika imajiner. Karya terpilih. - M.: Sains. 1989; - hal.94-123.

2. Kulik B.A. Prinsip dasar filsafat akal sehat (aspek kognitif) // Artificial Intelligence News, 1996, No.3, p. 7-92.

3. Kulik B.A. Landasan logis dari akal sehat / Diedit oleh D.A. Pospelov. - St. Petersburg, Politeknik, 1997. 131 hal.

4. Kulik B.A. Logika akal sehat. - Akal Sehat, 1997, No. 1(5), hal. 44 - 48.

5. Styazhkin N.I.Pembentukan logika matematika. M.: Nauka, 1967.

6. Soloviev A. Matematika diskrit tanpa rumus. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html

Mengirimkan karya bagus Anda ke basis pengetahuan itu sederhana. Gunakan formulir di bawah ini

Pelajar, mahasiswa pascasarjana, ilmuwan muda yang menggunakan basis pengetahuan dalam studi dan pekerjaan mereka akan sangat berterima kasih kepada Anda.

Diposting pada http://www.allbest.ru/

PEKERJAAN LULUSAN

Topik tesis

“Penggunaan unsur logika matematika dalam pembelajaran matematika di sekolah dasar”

logika matematika dasar

Perkenalan

Bab 1. Landasan Teori Pembelajaran Unsur Logika Matematika di Sekolah Dasar

1.1 Memahami struktur logis konsep dan kalimat matematika

1.2 Kajian logika sebagai salah satu cabang matematika

1.3 Penalaran logis

Kesimpulan pada bab 1

Bab 2. Penggunaan unsur logika matematika dalam pembelajaran matematika di sekolah dasar

2.1 Menggunakan unsur logika dalam mata kuliah matematika awal

2.2 Landasan psikologis dan pedagogi penggunaan unsur logika matematika menurut kompleks pendidikan “Calon Sekolah Dasar”

2.3 Sistem tugas yang bertujuan untuk mengembangkan konsep “elemen logika matematika” pada siswa setelah menyelesaikan sekolah dasar

Kesimpulan pada Bab 2

Kesimpulan

Bibliografi

Aplikasi

Perkenalan

Saat ini, negara ini secara aktif mencari cara untuk meningkatkan pendidikan matematika. Berdasarkan Standar Pendidikan Negara Federal Pendidikan Umum Baru, siswa sekolah dasar harus mematuhi persyaratan hasil penguasaan program pendidikan dasar pendidikan umum dasar pada mata pelajaran matematika:

1) menggunakan pengetahuan dasar matematika untuk mendeskripsikan dan menjelaskan objek, proses, fenomena di sekitarnya, serta menilai hubungan kuantitatif dan spasialnya;

2) menguasai dasar-dasar berpikir logis dan algoritmik, imajinasi spasial dan ucapan matematika, pengukuran, perhitungan ulang, estimasi dan evaluasi, representasi visual data dan proses, pencatatan dan pelaksanaan algoritma;

3) mampu melakukan operasi aritmatika lisan dan tertulis dengan bilangan dan ekspresi numerik, memecahkan masalah cerita, kemampuan bertindak sesuai dengan algoritma dan membangun algoritma sederhana, mengeksplorasi, mengenali dan menggambarkan bentuk geometris, bekerja dengan tabel, diagram, grafik dan diagram, rantai, agregat, menyajikan, menganalisis, dan menafsirkan data.

Saat ini, pendidikan matematika merupakan bagian dari sistem pendidikan menengah dan sekaligus merupakan tahap pendidikan yang mandiri. Muatan baru pendidikan matematika difokuskan terutama pada pembentukan budaya dan kemandirian berpikir anak sekolah dasar, unsur kegiatan pendidikan melalui sarana dan metode matematika. Selama pelatihan, anak-anak harus mempelajari metode tindakan umum, melakukan kontrol langkah demi langkah dan evaluasi diri terhadap kegiatan yang telah diselesaikan untuk menetapkan kepatuhan tindakan mereka dengan rencana yang dimaksudkan.

Oleh karena itu, bukan suatu kebetulan bahwa dalam program matematika, perhatian khusus diberikan pada pembentukan garis algoritmik, logika, dan kombinatorial, yang dikembangkan dalam proses mempelajari bagian aritmatika, aljabar, dan geometris dari program tersebut.

Dalam karya matematikawan A.N. Kolmogorov, A.I. Markushevich A.S. Stolyara, A.M. Pyshkalo, P.M. Erdnieva dan lain-lain menyoroti isu-isu mendasar dalam peningkatan pendidikan matematika sekolah, khususnya isu-isu yang berkaitan dengan penguatan landasan logika mata pelajaran sekolah, termasuk unsur logika matematika di dalamnya.

Dalam dekade terakhir, ketika sekolah memasuki proses modernisasi, standar, teknologi, metode, dan berbagai alat bantu pengajaran baru diperkenalkan ke dalam praktik, isu kesinambungan pendidikan antara tingkat dasar dan dasar menjadi yang paling penting. Kehadiran seperangkat buku ajar merupakan komponen penting kesinambungan antar tingkatan tersebut. Menurut A.A. Stolyar “diperlukan program mental dan logis yang harus diterapkan di kelas dasar dan menengah sekolah.”

Penelitian oleh psikolog dan guru V.V. Vygotsky, L.V. Zankov, V.V. Davydova, N.M. Skatkina dan lain-lain menunjukkan bahwa dalam kondisi tertentu dimungkinkan untuk mencapai tidak hanya pengetahuan, keterampilan dan kemampuan tingkat tinggi, tetapi juga perkembangan umum. Dalam pengajaran tradisional, perkembangan tampak sebagai sesuatu yang diinginkan, namun jauh dari hasil pembelajaran yang dapat diprediksi.

Menurut hemat kami, dalam literatur psikologi dan metodologi, masalah pembentukan unsur logika matematika pada siswa sebagian dipertimbangkan dalam kaitannya dengan pengajaran matematika di sekolah menengah.

Dengan demikian, himpunan numerik, mulai dari kelas satu sekolah pendidikan umum, mewakili laboratorium di mana dimungkinkan untuk mengembangkan keterampilan penalaran siswa dengan lebih jelas, yang merupakan dasar untuk menentukan benar atau salahnya suatu pendekatan tertentu, a rumusan masalah tertentu. Timbul pertanyaan: “Apakah tugas seperti itu merupakan tujuan utama proses pengajaran matematika di sekolah dan seberapa besar masalah ini terjadi di sekolah dasar?” Jawaban atas pertanyaan ini hanya dapat diperoleh setelah dilakukan analisis menyeluruh terhadap program dan buku teks matematika untuk kelas I-IV.

Urgensi permasalahannya adalah untuk meningkatkan konten pengajaran matematika di sekolah dasar dengan tujuan membentuk unsur logika matematika pada anak sekolah dasar.

Tujuan penelitian mempertimbangkan studi tentang unsur-unsur logika matematika dalam kerangka kursus matematika ketika mengajar matematika di kelas 1-4 dan mengembangkan alat pendidikan dan metodologi untuk implementasinya.

Objek studi- proses mempelajari unsur logika matematika pada saat pembelajaran matematika di sekolah dasar.

Barang- metode dan sarana pembentukan unsur logika matematika pada siswa kelas 1-4.

Hipotesis penelitian adalah memungkinkan untuk mengatur proses pengajaran matematika, yang seiring dengan penyiapan pengetahuan dan keterampilan matematika, kita akan secara sadar dan sistematis mengembangkan keterampilan logis.

Untuk mencapai tujuan dan melaksanakan hipotesis, diidentifikasi hal-hal berikut: tujuan penelitian:

1. Memberikan konsep struktur logika konsep dan kalimat matematika;

2. Mempelajari logika sebagai ilmu dan salah satu cabang matematika;

3. Mengetahui apa yang dimaksud dengan penalaran logis dan memberikan definisinya;

4. Menganalisis standar pendidikan, kurikulum dan buku pelajaran matematika sekolah terkini dari sudut pandang perkembangan logika siswa;

5. Mengidentifikasi landasan psikologis, pedagogis, dan metodologis pembentukan unsur logika matematika pada anak dalam proses pembelajaran matematika di sekolah dasar;

6. Melakukan studi eksperimental untuk menguji keefektifan metode yang dikembangkan di lingkungan sekolah dasar.

Landasan teori dan metodologi penelitian terdiri dari: prinsip-prinsip dasar filsafat dialektis-materialis dan doktrin pendekatan pembelajaran aktif-pribadi yang dikembangkan atas dasar mereka (A.S. Vygotsky, A.N. Leontiev, S.L. Rubinstein, dll.); titik tolak teori pembelajaran perkembangan (V.V. Davydov, L.V. Zankov, N.A. Menchinskaya, D.B. Elkonin, N.V. Yakimanskaya, dll.); ide-ide mendasar ahli matematika metodologis (A.M. Pyshkalo, P.M. Erdniev).

Bab 1. Landasan Teori Pembelajaran Unsur Logika Matematika di Sekolah Dasar

1.1 Memahami struktur logis konsep dan kalimat matematika

Ketika mempelajari matematika di sekolah perlu menguasai suatu sistem konsep, proposisi dan pembuktian tertentu, namun untuk menguasai sistem tersebut dan kemudian berhasil menerapkan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh, mengajar anak-anak sekolah yang lebih muda dan memecahkan masalah perkembangannya dengan menggunakan matematika. , Anda perlu memahami apa saja ciri-ciri konsep matematika, bagaimana definisi terstruktur, kalimat yang mengungkapkan sifat-sifat konsep, dan bukti.

Seorang guru sekolah dasar membutuhkan ilmu tersebut karena dialah orang pertama yang mengenalkan anak pada dunia ilmu matematika, dan sikap anak terhadap pembelajaran matematika di masa depan tergantung pada seberapa kompeten dan suksesnya dia melakukannya.

Mempelajari materi ini dikaitkan dengan penguasaan bahasa teori himpunan, yang akan digunakan tidak hanya ketika mempertimbangkan struktur logis konsep matematika, proposisi dan pembuktian, tetapi juga dalam membangun keseluruhan mata kuliah.

Konsep-konsep yang diajarkan dalam mata kuliah pengantar matematika biasanya disajikan dalam empat kelompok. Yang pertama mencakup konsep yang berkaitan dengan bilangan dan operasinya: bilangan, penjumlahan, suku, lebih besar, dll. Ini termasuk konsep aljabar: ekspresi, persamaan, persamaan, dll. Kelompok ketiga terdiri dari konsep-konsep geometri: garis lurus, ruas, segitiga, dll. Kelompok keempat terdiri dari konsep-konsep yang berkaitan dengan besaran dan pengukurannya.

Untuk mempelajari begitu banyak konsep yang sangat berbeda, perlu memiliki gagasan tentang konsep sebagai kategori logis dan ciri-ciri konsep matematika.

Dalam logika, konsep dianggap sebagai suatu bentuk pemikiran yang mencerminkan objek (objek atau fenomena) dalam sifat-sifat esensial dan umum. Bentuk kebahasaan suatu konsep adalah kata atau kelompok kata.

Memikirkan suatu benda berarti mampu membedakannya dengan benda lain yang sejenis. Konsep matematika memiliki sejumlah ciri. Hal utama adalah bahwa objek matematika yang berhubungan dengan konsep yang dibentuk sebenarnya tidak ada. Semua objek matematika diciptakan oleh pikiran manusia. Ideal untuk objek yang mencerminkan objek atau fenomena nyata.

Misalnya, dalam geometri mereka mempelajari bentuk dan ukuran benda tanpa memperhitungkan sifat-sifat lain: warna, massa, kekerasan, dll. Mereka teralihkan dari semua ini, diabstraksikan. Oleh karena itu, dalam geometri, alih-alih menggunakan kata “benda” mereka mengatakan “bangunan geometris”.

Hasil abstraksi adalah konsep matematika seperti “bilangan” dan “besar”.

Secara umum objek matematika hanya ada dalam pemikiran manusia dan dalam tanda dan simbol yang membentuk bahasa matematika.

Dengan mempelajari bentuk spasial dan hubungan kuantitatif dunia material, matematika tidak hanya menggunakan berbagai teknik abstraksi, namun abstraksi itu sendiri bertindak sebagai proses multi-tahap.

Munculnya konsep-konsep baru dalam matematika, dan oleh karena itu istilah-istilah baru yang menunjukkan konsep-konsep ini, mengandaikan definisinya.

Definisi biasanya berupa kalimat yang menjelaskan esensi istilah (atau sebutan) baru. Biasanya, ini dilakukan berdasarkan konsep yang telah diperkenalkan sebelumnya.

Karena definisi suatu konsep melalui genus dan perbedaan spesifik pada dasarnya adalah kesepakatan bersyarat untuk memperkenalkan istilah baru atau mengganti sekumpulan istilah yang diketahui, definisi tersebut tidak dapat dikatakan benar atau salah; itu tidak terbukti atau disangkal. Namun ketika merumuskan definisi, mereka mematuhi sejumlah aturan:

· Penetapannya harus proporsional. Ini berarti bahwa ruang lingkup konsep yang didefinisikan dan yang mendefinisikan harus bertepatan. Aturan ini mengikuti fakta bahwa konsep yang didefinisikan dan yang mendefinisikan dapat dipertukarkan;

· Tidak boleh ada lingkaran setan dalam definisi (atau sistemnya). Ini berarti bahwa Anda tidak dapat mendefinisikan suatu konsep melalui konsep itu sendiri (istilah yang mendefinisikan tidak boleh mengandung istilah yang sedang didefinisikan) atau mendefinisikannya melalui konsep lain, yang, pada gilirannya, mendefinisikan melalui konsep tersebut. Karena dalam matematika mereka tidak hanya mempertimbangkan konsep-konsep individual. Dan sistem mereka, maka aturan ini melarang adanya lingkaran setan dalam sistem definisi;

· Definisinya harus jelas. Sekilas ini bukanlah aturan yang jelas, tetapi ini sangat berarti. Pertama-tama, makna istilah-istilah yang termasuk dalam konsep pendefinisian harus diketahui pada saat definisi konsep baru diperkenalkan. Kondisi untuk kejelasan definisi juga mencakup rekomendasi untuk memasukkan dalam perbedaan spesifik hanya sebanyak mungkin properti yang diperlukan dan cukup untuk mengisolasi objek yang ditentukan dari ruang lingkup konsep umum.

Ketika mempelajari matematika di sekolah dasar, definisi melalui pembedaan genus dan spesies jarang digunakan. Ada banyak sekali konsep dalam mata kuliah matematika awal.

Ketika mempelajari matematika di sekolah dasar, apa yang disebut definisi implisit paling sering digunakan. Dalam strukturnya tidak mungkin membedakan antara yang ditentukan dan yang menentukan. Diantaranya adalah kontekstual dan ostensive.

Dalam definisi kontekstual, isi suatu konsep baru terungkap melalui suatu bagian teks, melalui konteks, melalui analisis terhadap situasi tertentu. Menjelaskan makna konsep yang diperkenalkan. Melalui konteks, hubungan antara konsep yang didefinisikan dan konsep-konsep lain yang diketahui terjalin, dan dengan demikian isinya terungkap secara tidak langsung. Contoh definisi kontekstual adalah definisi persamaan dan penyelesaiannya.

Definisi yang mencolok adalah definisi dengan demonstrasi. Mereka digunakan untuk memperkenalkan istilah dengan menunjukkan objek yang dirujuk oleh istilah tersebut. Misalnya, dengan cara ini konsep kesetaraan dan kesenjangan dapat didefinisikan di sekolah dasar.

Studi tentang proses nyata, deskripsi matematis, digunakan sebagai bahasa verbal alami dan makna simbolis. Deskripsi dibangun menggunakan kalimat. Namun agar pengetahuan matematika menjadi cerminan yang akurat dan memadai terhadap realitas di sekitar kita, usulan ini harus benar. Setiap tesis matematika dicirikan oleh isi dan bentuk logis (struktur), dan isi terkait erat dengan bentuk, dan tidak mungkin memahami yang pertama tanpa memahami yang kedua.

1) Angka 12 genap;

Kita melihat bahwa kalimat yang digunakan dalam matematika dapat ditulis baik dalam bahasa alami (Rusia) maupun dalam bahasa matematika, dengan menggunakan simbol. Tentang kalimat 1,4,5 dan 6 kita dapat mengatakan bahwa mereka membawa informasi yang benar, dan tentang kalimat 2 - salah. Mengenai kalimat x +5 = 8, secara umum tidak mungkin untuk mengatakan apakah kalimat tersebut benar atau salah. Melihat suatu kalimat dari sudut pandang benar atau salah memunculkan konsep pernyataan.

1.2 Mempelajari logika sebagai salah satu cabang matematika

Logika adalah salah satu ilmu paling kuno. Saat ini tidak mungkin untuk menentukan secara pasti siapa, kapan dan di mana pertama kali beralih ke aspek pemikiran yang merupakan pokok bahasan logika. Seperti yang ditunjukkan oleh Ivin A.A. , beberapa asal muasal ajaran logika dapat ditemukan di India, pada akhir milenium ke-2 SM. Namun, jika kita berbicara tentang munculnya logika sebagai suatu ilmu, yaitu kumpulan pengetahuan yang kurang lebih sistematis, maka wajar jika kita menganggap peradaban besar Yunani Kuno sebagai tempat lahirnya logika. Itu terjadi di sini pada abad ke 5 - 4 SM. Selama periode perkembangan pesat demokrasi dan kebangkitan kehidupan sosial-politik yang belum pernah terjadi sebelumnya, dasar-dasar ilmu ini diletakkan oleh karya-karya Democritus, Plato dan Socrates. Nenek moyang, “bapak” logika, dianggap sebagai pemikir terbesar di zaman kuno. Murid Plato adalah Aristoteles (384-322 SM). Dialah yang dalam karya-karyanya disatukan dengan judul umum “Organon” (alat kognisi), untuk pertama kalinya menganalisis dan menguraikan secara menyeluruh bentuk-bentuk dasar logika dan kaidah penalaran, yaitu: bentuk-bentuk kesimpulan dari apa yang ada. disebut penilaian kategoris - silogisme kategoris (“Analisis Pertama”), merumuskan prinsip-prinsip dasar bukti ilmiah (“Analisis Kedua”), memberikan analisis tentang makna jenis pernyataan tertentu (“Tentang Interpretasi”), dan menguraikan hal-hal utama pendekatan pengembangan doktrin konsep (“Kategori”). Aristoteles juga memberikan perhatian serius untuk mengungkap berbagai macam kesalahan logika dan teknik canggih dalam perselisihan (“On Sophistic Refutations”).

Logika memiliki sejarah yang panjang dan kaya, terkait erat dengan sejarah perkembangan masyarakat secara keseluruhan.

Munculnya logika sebagai sebuah teori didahului oleh praktik berpikir sejak ribuan tahun yang lalu. Dengan berkembangnya aktivitas tenaga kerja, material dan produksi manusia, secara bertahap terjadi peningkatan dan pengembangan kemampuan berpikirnya, terutama kemampuan abstraksi dan inferensi. Dan hal ini, cepat atau lambat, namun mau tidak mau akan mengarah pada fakta bahwa objek penelitiannya adalah pemikiran itu sendiri dengan bentuk dan hukumnya.

Seperti yang ditunjukkan oleh Ivin A.A. , sejarah menunjukkan bahwa masalah logika individu muncul di hadapan pikiran manusia lebih dari 2,5 ribu tahun yang lalu - pertama di India Kuno dan Tiongkok Kuno. Mereka kemudian menerima perkembangan yang lebih lengkap di Yunani Kuno dan Roma. Hanya secara bertahap sistem pengetahuan logis yang kurang lebih koheren terbentuk dan ilmu pengetahuan yang mandiri terbentuk.

Apa penyebab munculnya logika? Ivin A.A. percaya bahwa ada dua yang utama. Salah satunya adalah asal usul dan awal perkembangan ilmu pengetahuan khususnya matematika. Proses ini dimulai pada abad ke-6. SM. dan menerima perkembangan terlengkap di Yunani Kuno. Lahir dari perjuangan melawan mitologi dan agama, sains didasarkan pada pemikiran teoretis, yang melibatkan kesimpulan dan bukti. Oleh karena itu perlunya mengkaji hakikat berpikir itu sendiri sebagai sarana kognisi.

Menurut Kurbatov V.I. , logika muncul, pertama-tama, sebagai upaya untuk mengidentifikasi dan membenarkan persyaratan yang harus dipenuhi oleh pemikiran ilmiah agar hasilnya sesuai dengan kenyataan.

Alasan lain yang mungkin lebih penting adalah perkembangan pidato, termasuk seni peradilan, yang berkembang dalam kondisi demokrasi Yunani kuno. Orator dan ilmuwan Romawi terbesar Cicero (106-43 SM), berbicara tentang kekuatan orator, pemilik “karunia ilahi” kefasihan, menekankan: “Dia dapat dengan aman tetap berada di antara musuh bersenjata, tidak terlalu dilindungi oleh stafnya, berapa gelar pembicaranya; dia dapat, dengan kata-katanya, membangkitkan kemarahan sesama warganya dan menjatuhkan hukuman bagi mereka yang bersalah atas kejahatan dan penipuan, dan menyelamatkan orang yang tidak bersalah dari cobaan dan hukuman dengan kekuatan bakatnya; ia mampu memotivasi orang-orang yang penakut dan ragu-ragu untuk melakukan kepahlawanan, mampu memimpin mereka keluar dari kesalahan, mampu mengobarkan amarah mereka terhadap para bajingan dan meredakan sungut-sungut terhadap orang-orang baik; dia tahu bagaimana, akhirnya, dengan satu kata dia bisa menggairahkan sekaligus menenangkan nafsu manusia mana pun ketika keadaan mengharuskannya.”

Menurut Ivin A.A., pendiri logika - atau, seperti yang kadang-kadang dikatakan, "bapak logika" - dianggap sebagai filsuf dan ensiklopedis Yunani kuno terbesar, Aristoteles (384-322 SM). Namun, harus diingat bahwa penyajian masalah logis pertama yang cukup rinci dan sistematis sebenarnya diberikan oleh filsuf dan naturalis Yunani kuno sebelumnya, Democritus (460 - sekitar 370 SM). Di antara banyak karyanya terdapat risalah ekstensif dalam tiga buku, “On Logical, or On the Canons.” Di sini tidak hanya hakikat pengetahuan, bentuk-bentuk utama dan kriteria kebenarannya yang terungkap, tetapi peran besar penalaran logis dalam pengetahuan juga diperlihatkan, dan klasifikasi penilaian diberikan. Beberapa jenis pengetahuan inferensial mendapat kritik keras dan upaya dilakukan untuk mengembangkan logika induktif – logika pengetahuan eksperimental. Sayangnya, risalah Democritus ini, seperti risalah lainnya, belum sampai kepada kita.

Tahap baru yang lebih tinggi dalam perkembangan logika dimulai pada abad ke-17. Tahap ini secara organik terhubung dengan penciptaan dalam kerangkanya, bersama dengan logika deduktif, logika induktif. Hal ini mencerminkan beragamnya proses memperoleh pengetahuan umum berdasarkan materi empiris yang semakin terakumulasi. Kebutuhan untuk memperoleh pengetahuan tersebut sepenuhnya disadari dan diungkapkan dalam karya-karyanya oleh filsuf dan ilmuwan alam Inggris terkemuka F. Bacon (1561-1626). Ia menjadi pendiri logika induktif. “…logika yang ada sekarang tidak berguna untuk penemuan pengetahuan,” dia mengucapkan keputusan kerasnya. Oleh karena itu, seolah-olah berbeda dengan “Organon” lama Aristoteles, Bacon menulis “The New Organon…”, di mana ia menguraikan logika induktif. Dia menaruh perhatian utamanya pada pengembangan metode induktif untuk menentukan ketergantungan sebab akibat suatu fenomena. Ini adalah kelebihan besar Bacon. Namun ironisnya, doktrin induksi yang ia ciptakan ternyata tidak mengingkari logika sebelumnya. Dan pengayaan dan pengembangan lebih lanjut. Ini berkontribusi pada penciptaan teori inferensi umum. Dan hal ini wajar, karena seperti yang akan ditunjukkan di bawah ini, induksi dan deduksi tidak mengecualikan, tetapi saling mengandaikan dan berada dalam kesatuan organik.

Ilmuwan Rusia memberikan kontribusi yang terkenal terhadap pengembangan logika formal tradisional. Demikian, sudah ada dalam risalah pertama tentang logika, dimulai sekitar abad ke-10. upaya dilakukan untuk mengomentari karya Aristoteles dan ilmuwan lain secara independen. Konsep logika asli di Rusia dikembangkan pada abad ke-18. dan dikaitkan terutama dengan nama M. Lomonosov (1711-1765) dan A. Radishchev (1749-1802). Masa kejayaan penelitian logika di negara kita dimulai pada akhir abad ke-19.

Upaya besar-besaran untuk mengembangkan sistem integral logika dialektis baru dilakukan oleh filsuf Jerman G. Hegel (1770-1831). Dalam karya fundamentalnya “The Science of Logic,” ia pertama-tama mengungkapkan kontradiksi mendasar antara teori logika yang ada dan praktik berpikir aktual, yang pada saat itu telah mencapai tingkat yang signifikan.

Seperti yang ditunjukkan oleh Kurbatov VI, Hegel mengkaji kembali hakikat pemikiran, hukum dan bentuknya. Dalam hal ini, ia sampai pada kesimpulan bahwa “dialektika merupakan hakikat pemikiran itu sendiri, yang sebagai akal budi harus jatuh ke dalam penyangkalan diri, ke dalam kontradiksi.” Pemikir melihat tugasnya sebagai menemukan cara untuk menyelesaikan kontradiksi ini. Hegel mengkritik keras logika lama dan biasa karena hubungannya dengan metode pengetahuan metafisik. Namun dalam kritiknya ia melangkah lebih jauh dengan menolak prinsip-prinsip yang didasarkan pada hukum identitas dan hukum kontradiksi.

Ivin A.A. mengatakan bahwa permasalahan logika dialektis, hubungannya dengan logika formal dikonkretisasi dan dikembangkan lebih lanjut dalam karya-karya filsuf dan ilmuwan Jerman K. Marx) (1818-1883) dan F. Engels (1820-1895). Dengan menggunakan materi intelektual terkaya yang dikumpulkan oleh filsafat, ilmu alam dan ilmu sosial, mereka menciptakan sistem materialis dialektis baru yang kualitatif, yang diwujudkan dalam karya-karya seperti “Capital” oleh K. Marx, “Anti-Dühring” dan “Dialectics of Nature” ” oleh F.Engels. Dari posisi filosofis umum ini, Marx dan Engels menilai “pengajaran pemikiran dan hukum-hukumnya” khusus – logika dan dialektika. Mereka tidak mengingkari pentingnya logika formal, tidak menganggapnya “omong kosong”, namun menekankan sifat historisnya. Dengan demikian, Engels mencatat bahwa pemikiran teoretis setiap zaman merupakan produk sejarah, yang pada waktu berbeda mengambil bentuk yang sangat berbeda dan sekaligus isinya sangat berbeda. Oleh karena itu, ilmu berpikir, seperti ilmu lainnya, adalah ilmu sejarah, ilmu tentang sejarah perkembangan pemikiran manusia.”

Dalam beberapa dekade terakhir, banyak upaya yang bermanfaat telah dilakukan di negara kita untuk menyajikan logika dialektis secara sistematis. Perkembangan berjalan dalam dua arah utama. Di satu sisi, pengungkapan pola-pola refleksi realitas yang berkembang dalam pemikiran manusia, kontradiksi-kontradiksi obyektifnya, dan di sisi lain, pengungkapan pola-pola perkembangan pemikiran itu sendiri, dialektikanya sendiri.

Dalam kondisi revolusi ilmu pengetahuan dan teknologi, ketika ilmu pengetahuan berpindah ke tingkat pengetahuan baru yang lebih dalam dan ketika peran pemikiran dialektis meningkat, kebutuhan akan logika dialektis semakin meningkat. Ia menerima insentif baru untuk pengembangan lebih lanjut.

Revolusi nyata dalam penelitian logika disebabkan oleh terciptanya logika matematika pada paruh kedua abad ke-19, yang disebut juga simbolik dan menandai tahap baru yang modern dalam perkembangan logika.

Awal mula logika ini sudah dapat ditelusuri pada Aristoteles, serta pada pengikutnya, kaum Stoa, berupa unsur logika predikat dan teori inferensi modal, serta logika proposisional. Namun, perkembangan sistematis permasalahannya sudah ada sejak lama.

Seperti yang ditunjukkan oleh Ivin A.A., meningkatnya keberhasilan dalam pengembangan matematika dan penetrasi metode matematika ke dalam ilmu-ilmu lain pada paruh kedua abad ke-17 segera menimbulkan dua masalah mendasar. Di satu sisi, ini adalah penggunaan logika untuk mengembangkan landasan teori matematika, dan di sisi lain, matematisasi logika itu sendiri sebagai suatu ilmu. Upaya paling mendalam dan bermanfaat untuk memecahkan masalah yang muncul dilakukan oleh filsuf dan matematikawan terbesar Jerman G. Leibniz (1646-1416). Dengan demikian, ia pada dasarnya menjadi pendiri logika matematika. Leibniz memimpikan suatu masa ketika para ilmuwan tidak akan terlibat dalam penelitian empiris, tetapi dalam kalkulus dengan pensil di tangan. Untuk tujuan ini, dia berusaha menciptakan bahasa simbolik universal yang melaluinya ilmu empiris apa pun dapat dirasionalisasi. Pengetahuan baru, menurutnya, akan menjadi hasil perhitungan logis - kalkulus.

Menurut VI Kurbatov, gagasan Leibniz mendapat perkembangan pada abad ke-18 dan paruh pertama abad ke-19. Namun, kondisi yang paling menguntungkan bagi perkembangan logika simbolik yang kuat baru muncul pada paruh kedua abad ke-19. Pada saat ini, matematisasi ilmu pengetahuan telah mencapai kemajuan yang sangat signifikan, dan masalah mendasar baru dalam pembenarannya muncul dalam matematika itu sendiri. Ilmuwan Inggris, ahli matematika dan ahli logika Kereta Api. Boole (1815-1864) terutama menerapkan matematika pada logika dalam karyanya. Dia memberikan analisis matematis terhadap teori inferensi dan mengembangkan kalkulus logis (“aljabar Boolean”). Ahli logika dan matematika Jerman G. Frege (1848-1925) menerapkan logika dalam studi matematika. Melalui kalkulus predikat yang diperluas ia membangun sistem aritmatika yang diformalkan.

Dengan demikian terbukalah tahap baru yang modern dalam pengembangan penelitian logis. Mungkin ciri pembeda yang paling penting pada tahap ini adalah pengembangan dan penggunaan metode baru untuk memecahkan masalah logika tradisional. Ini adalah pengembangan dan penggunaan bahasa buatan, yang disebut bahasa formal - bahasa simbol, yaitu. tanda-tanda alfabet dan lainnya (karenanya nama paling umum untuk logika modern - "simbolis").

Seperti yang ditunjukkan oleh Ivin A.A. , ada dua jenis kalkulus logika: kalkulus proposisional dan kalkulus predikat. Dengan yang pertama, abstraksi dari struktur penilaian internal dan konseptual diperbolehkan, dan dengan yang kedua, struktur ini diperhitungkan dan, karenanya, bahasa simbolik diperkaya dan dilengkapi dengan tanda-tanda baru.

Pentingnya bahasa simbolik dalam logika sulit ditaksir terlalu tinggi. G. Frege membandingkannya dengan pengertian teleskop dan mikroskop. Dan filsuf Jerman G. Klaus (1912-1974) percaya bahwa penciptaan bahasa formal memiliki arti yang sama bagi teknologi inferensi logis seperti transisi dari kerja manual ke kerja mesin di bidang produksi. Muncul atas dasar logika formal tradisional, logika simbolik di satu sisi memperjelas, memperdalam dan menggeneralisasi gagasan-gagasan sebelumnya tentang hukum dan bentuk logika, terutama dalam teori inferensi, dan di sisi lain semakin memperluas dan memperkaya masalah-masalah logika. . Logika modern adalah sistem pengetahuan yang kompleks dan sangat berkembang. Ini mencakup banyak arah, “logika” yang terpisah dan relatif independen, yang semakin mengungkapkan kebutuhan praktik dan pada akhirnya mencerminkan keragaman kompleksitas dunia sekitarnya, kesatuan dan keragaman pemikiran tentang dunia itu sendiri.

Logika simbolik semakin banyak digunakan dalam ilmu-ilmu lain - tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam fisika, biologi, sibernetika, ekonomi, dan linguistik. Hal ini menyebabkan munculnya cabang ilmu baru (matematika). Peran logika dalam bidang produksi sangatlah mengesankan dan jelas. Terbukanya kemungkinan untuk mengotomatisasi proses penalaran, memungkinkan untuk mentransfer beberapa fungsi berpikir ke perangkat teknis. Hasilnya semakin banyak digunakan dalam teknologi: dalam pembuatan sirkuit kontak relai, komputer, sistem logika informasi, dll. Menurut ungkapan kiasan salah satu ilmuwan, logika modern bukan hanya “alat” pemikiran presisi, tetapi juga “pemikiran” instrumen presisi, robot elektronik. Prestasi logika modern juga digunakan dalam bidang hukum. Jadi, dalam ilmu forensik, pada berbagai tahap penelitian, pemrosesan logis dan matematis dari informasi yang dikumpulkan dilakukan.

Meningkatnya kebutuhan kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi menentukan semakin intensifnya perkembangan logika modern.

Perlu dikatakan bahwa para ilmuwan Rusia memberikan kontribusi penting terhadap pengembangan sistem logika simbolik. Di antara mereka, P. Poretsky (1846-1907) sangat menonjol. Dia adalah orang pertama di Rusia yang mulai memberikan kuliah tentang logika matematika. Logika matematika terus berkembang hingga saat ini.

Menurut VI Kurbatov, studi tentang logika matematika mendisiplinkan pikiran. Mengingat pepatah terkenal M.V. Lomonosov tentang matematika, kita dapat mengatakan bahwa logika matematika, lebih dari ilmu matematika lainnya, “menertibkan pikiran”.

Bahasa aljabar apa pun terdiri dari sekumpulan tanda yang disebut alfabet bahasa tersebut.

Tanda-tanda abjad, jika dianalogikan dengan tanda-tanda abjad bahasa alami, disebut huruf.

Tentu timbul pertanyaan: huruf apa saja yang harus terdapat dalam alfabet bahasa aljabar numerik?

Pertama-tama, tentunya kita harus memiliki huruf untuk menyatakan unsur-unsur suatu himpunan - pembawa aljabar, dalam hal ini untuk menyatakan bilangan, dan variabel untuk unsur-unsur himpunan tersebut.

Dengan menggunakan sistem bilangan desimal untuk menyatakan bilangan, kita harus memasukkan sepuluh huruf dalam alfabet aljabar numerik yang disebut bilangan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, yang dengannya, menurut dengan aturan tertentu, nama nomor apa pun.

Sebagai variabel numerik (variabel untuk bilangan sembarang himpunan N, N0, Z, Q atau R) digunakan huruf alfabet Latin a, b, c, x, y, z atau salah satu huruf berikut dengan indeks, untuk contoh X1, X2, Xn.

Kadang-kadang huruf alfabet Latin juga digunakan sebagai konstanta numerik, yaitu sebagai nama angka (jika kita berbicara tentang suatu angka tertentu, tetapi tidak masalah angka spesifiknya). Dalam hal ini huruf awal abjad latin a, b, c biasanya digunakan sebagai konstanta, dan huruf terakhir x, y, z digunakan sebagai variabel.

Kami juga membutuhkan huruf untuk mewakili operasi. Untuk penjumlahan dan perkalian, digunakan tanda (huruf) + dan * yang terkenal.

Selain itu, peran tanda baca dalam bahasa aljabar dimainkan oleh tanda kurung (kiri dan kanan).

Jadi, alfabet suatu bahasa di mana aljabar numerik apa pun dijelaskan harus mencakup kumpulan yang terdiri dari empat kelas huruf: I - angka yang menjadi dasar pembuatan nama angka; II - huruf alfabet Latin - variabel atau konstanta numerik; III - tanda operasi; IV -- tanda kurung.

Tanda pengurangan (--) dan pembagian (:) dapat diperkenalkan dengan definisi operasi terkait.

Secara bertahap, alfabet aljabar numerik dilengkapi dengan “huruf” lainnya, khususnya, tanda-tanda hubungan biner “sama”, “kurang dari”, “lebih besar” diperkenalkan.

Semua tanda yang tercantum termasuk dalam alfabet bahasa matematika, bahasa buatan yang muncul sehubungan dengan kebutuhan akan rumusan hukum, aturan, dan pembuktian matematika yang tepat, ringkas, dan jelas.

Secara historis, simbolisme matematika diciptakan selama berabad-abad dengan partisipasi banyak ilmuwan terkemuka. Dengan demikian, diyakini bahwa penunjukan besaran yang tidak diketahui dengan huruf digunakan oleh Diophantus (abad ke-3), dan meluasnya penggunaan huruf kapital alfabet Latin dalam aljabar dimulai dengan Vieta (abad ke-16). huruf kecil alfabet ini diperkenalkan untuk penunjukan oleh R. Descartes (abad XVII). tanda sama dengan (=) pertama kali muncul dalam karya ilmuwan Inggris R. Record (abad XVI), tetapi baru digunakan secara luas pada abad XVIII. Tanda pertidaksamaan (< , >) muncul pada awal abad ke-17, diperkenalkan oleh ahli matematika Inggris Gariot. Dan meskipun tanda “=”, “>”, “<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .

Pernyataan dalam matematika adalah kalimat yang pertanyaannya bermakna: benar atau salah.

Berbagai penilaian dapat dibuat mengenai konsep dan hubungan di antara mereka. Bentuk penilaian linguistik adalah kalimat naratif. Misalnya. Dalam kursus matematika dasar Anda dapat menemukan kalimat berikut:

1) Angka 12 genap;

4) Angka 15 berisi satu sepuluh dan 5 satuan;

5) Produknya tidak berubah akibat penataan ulang faktor-faktornya;

6) Beberapa bilangan habis dibagi 3.

Jika pernyataan A dan B diberikan, maka pernyataan baru dapat dibuat dari pernyataan tersebut dengan menggunakan kata penghubung “dan”, “atau”, “jika… maka…”, “salah satu… atau…”, “jika dan hanya jika”, serta partikel “tidak”. Misalnya, A berarti pernyataan “Sekarang cerah”, dan B berarti pernyataan “Sekarang berangin”. Maka pernyataan “A dan B” artinya : “Sekarang cerah dan berangin”, pernyataan “Kalau bukan A, maka bukan B” artinya “Kalau sekarang tidak cerah, maka tidak berangin”.

Pernyataan seperti itu disebut pernyataan majemuk, dan pernyataan A dan B yang termasuk di dalamnya disebut pernyataan dasar. Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan setara jika keduanya benar dan sekaligus salah berdasarkan asumsi apa pun tentang kebenaran pernyataan dasar yang termasuk di dalamnya. Dalam hal ini mereka menulis: A=B.

Sejak pelajaran matematika pertama, siswa sekolah dasar menemukan pernyataan-pernyataan yang sebagian besar benar. Mereka menjadi akrab dengan pernyataan berikut: 2 > 1, 1< 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.

Jika A adalah suatu pernyataan, maka dengan menyatakan bahwa pernyataan tersebut salah, kita memperoleh pernyataan baru, yang disebut penolakan terhadap pernyataan tersebut A dan dilambangkan dengan simbol B.

Jadi, jika suatu pernyataan benar, maka negasinya salah, dan sebaliknya. Kesimpulan tersebut dapat dituliskan dengan menggunakan tabel dimana “I” berarti pernyataan benar, dan “L” berarti pernyataan salah. Tabel jenis ini disebut tabel kebenaran (lihat Lampiran 2, Gambar 1).

Misalkan A dan B adalah dua pernyataan dasar. Menghubungkannya dengan konjungsi “dan”, kita mendapatkan pernyataan baru yang disebut konjungsi data pernyataan dan ditunjuk A? B.Masuk A? B dibaca: “A dan B.”

Menurut definisinya, konjungsi dua pernyataan benar jika dan hanya jika kedua pernyataan tersebut benar. Jika setidaknya salah satu diantaranya salah, maka konjungsinya salah (lihat Lampiran 2, Gambar 2).

Perhatikan pernyataan “7 - 4 = 3 dan 4 bilangan genap”. Merupakan gabungan dua pernyataan: “7 - 4 = 3” dan “4 bilangan genap”. Karena kedua pernyataan tersebut benar, maka konjungsinya juga benar.

Jika bersamaan dengan A? Jika kita menukar pernyataan A dan B, maka diperoleh konjungsi berbentuk B? A. Dari tabel kebenaran terlihat jelas rumus A? B dan b? Dan untuk arti yang berbeda, pernyataan A dan B bisa benar sekaligus salah.

Akibatnya, keduanya ekuivalen, dan untuk setiap pernyataan A dan B kita mempunyai: A? B = B? A

Notasi ini mengungkapkan sifat komutatif suatu konjungsi, yang memungkinkan anggota konjungsi ditukar.

Telah menyusun tabel kebenaran untuk (A? B)? S dan A? (B?C), kita peroleh bahwa untuk sembarang nilai kebenaran pernyataan A, B, C, nilai kebenaran pernyataan (A?B) ? S dan A? (B?C) pertandingan.

Jadi, (A?B) ? C = SEBUAH? (B?C).

Kesetaraan ini mengungkapkan sifat asosiatif suatu konjungsi. Konjungsi tersebut benar jika dan hanya jika semua pernyataan yang ada di dalamnya benar.

Dengan menghubungkan dua pernyataan dasar A dan B dengan konjungsi “atau”, kita memperoleh pernyataan baru yang disebut pemisahan data pernyataan . Disjungsi pernyataan A dan B dilambangkan dengan A?B dan dibaca “A atau B”. Suatu disjungsi salah hanya jika kedua pernyataan yang membentuknya salah; dalam semua kasus lain disjungsinya benar. Tabel kebenaran disjungsi berbentuk (lihat Lampiran 2, Gambar 3).

Untuk disjungsi, dan juga konjungsi, sejumlah persamaan dapat ditunjukkan. Untuk setiap A, B, dan C kita mempunyai:

A? B = B? A (disjungsi komutatif);

(Hah? B) ? C = SEBUAH? (B?C) (asosiasi disjungsi).

Sifat asosiatif disjungsi memungkinkan kita menghilangkan tanda kurung dan menulis A? DI DALAM? C bukannya (A? B) ? DENGAN.

Dengan menggunakan tabel kebenaran, mudah untuk menetapkannya

(Hah? B) ? C = (A?C) ? (B?C)

Persamaan pertama menyatakan hukum distributif konjungsi terhadap disjungsi, dan persamaan kedua menyatakan hukum distributif disjungsi terhadap konjungsi.

Operasi konjungsi, disjungsi, dan negasi dihubungkan oleh relasi berikut, yang validitasnya dapat ditentukan dengan menggunakan tabel kebenaran:

Hubungan ini disebut rumus de Morgan.

Mari kita perhatikan pernyataan majemuk, yang dibentuk dari dua pernyataan dasar dengan menggunakan kata “jika…maka…”.

Misalnya, diberikan pernyataan A: “Kemarin adalah hari Minggu” dan B: “Saya tidak bekerja.” Maka pernyataan majemuk “Jika kemarin hari Minggu, maka saya tidak masuk kerja” mempunyai rumus “Jika A, maka B”.

Pernyataan “Jika A, maka B” disebut implikasi pernyataan A, B dan dengan bantuan simbol ditulis seperti ini: A => B. Pernyataan A yang termasuk dalam implikasi A => B disebut kondisi implikasi, dan pernyataan B adalah kesimpulannya.

Oleh karena itu, tabel kebenaran implikasi “Jika A, maka B” terlihat seperti (lihat Lampiran 2, Gambar 4).

Dari dua pernyataan A dan B, dapat dibuat pernyataan baru yang berbunyi seperti ini: “Dan jika dan hanya jika B.” Pernyataan ini disebut pernyataan yang setara A dan B dan menyatakan: A B. Pernyataan A B dianggap benar jika kedua pernyataan A dan B benar atau kedua pernyataan A dan B salah. Dalam kasus lain (yaitu, jika satu pernyataan benar dan pernyataan lainnya salah), kesetaraan dianggap salah. Dengan demikian, tabel kebenaran kesetaraan A dan B memiliki bentuk (lihat Lampiran 2, Gambar 5).

1.3 Alasan logis

Setiap penalaran terdiri dari rangkaian pernyataan yang mengikuti satu sama lain menurut aturan tertentu. Kemampuan untuk bernalar dan membuktikan kesimpulan dengan benar diperlukan bagi orang-orang dari profesi apa pun. Seseorang belajar bernalar sejak dia mulai berbicara, tetapi pelatihan yang ditargetkan dalam logika penalaran dimulai di sekolah. Kursus matematika awal sudah melibatkan pengembangan keterampilan siswa dalam membuat perbandingan, mengklasifikasikan benda, menganalisis fakta, dan membuktikan pernyataan paling sederhana. Penalaran logis diperlukan tidak hanya untuk memecahkan masalah matematika, tetapi juga untuk analisis tata bahasa, menguasai prinsip-prinsip sejarah alam, dll. Oleh karena itu, seorang guru sekolah dasar harus menguasai logika, yaitu. dengan ilmu tentang hukum-hukum dan bentuk-bentuk berpikir, tentang pola-pola penalaran yang umum.

Jenis penilaian dan kesimpulan utama dipertimbangkan dalam logika klasik, yang diciptakan oleh filsuf Yunani kuno Aristoteles (384-322 SM).

Secara logika, penalaran dibagi menjadi:

1. benar;

2. salah.

Penalaran yang benar adalah penalaran yang mematuhi semua aturan dan hukum logika. Penalaran yang salah adalah penalaran yang kesalahan logikanya terjadi karena pelanggaran aturan atau hukum logika.

Ada dua jenis kesalahan logis:

1. paralogisme;

2. menyesatkan.

Paralogisme adalah kesalahan logika yang dilakukan secara tidak sengaja (karena ketidaktahuan) dalam proses penalaran.

Sofisme adalah kesalahan logika yang dilakukan dalam proses penalaran dengan sengaja dengan tujuan menyesatkan lawan, membenarkan pernyataan yang salah, omong kosong, dan sebagainya.

Sofisme sudah dikenal sejak zaman dahulu. Kaum sofis banyak menggunakan pertimbangan seperti itu dalam praktik mereka. Dari merekalah nama “sofisme” berasal.Banyak contoh penalaran yang digunakan kaum sofis dalam berbagai perselisihan masih bertahan hingga saat ini. Mari kita daftar beberapa di antaranya.

Sofisme kuno yang paling terkenal adalah penalaran yang disebut “Bertanduk”.

Bayangkan sebuah situasi: seseorang ingin meyakinkan orang lain bahwa dia bertanduk. Pembenaran untuk hal ini diberikan: “Apa yang tidak hilang dari Anda, Anda miliki. Anda tidak kehilangan tanduk Anda. Jadi kamu punya tanduk."

Sekilas pemikiran ini tampaknya benar. Tapi itu mengandung kesalahan logis yang kemungkinan besar tidak akan bisa segera ditemukan oleh orang yang tidak mengerti logika.

Mari kita beri contoh lain. Protagoras (pendiri aliran sofis) adalah murid Euathlus. Guru dan siswa menandatangani perjanjian yang menyatakan Evatl akan membayar uang sekolah hanya setelah dia memenangkan gugatan pertamanya. Namun, setelah menyelesaikan studinya, Evatl tidak terburu-buru untuk hadir di pengadilan. Kesabaran sang guru habis, dan dia mengajukan gugatan terhadap muridnya, “Bagaimanapun, Euathlus harus membayar saya,” pikir Protagoras. - Dia akan memenangkan persidangan ini atau kalah. Jika dia menang, bayar sesuai kesepakatan; jika kalah, dia akan membayar sesuai putusan pengadilan.” “Tidak ada yang seperti itu,” bantah Evatl. - Memang, saya akan memenangkan persidangan atau kalah.

Jika saya menang, maka keputusan pengadilan membebaskan saya dari pembayaran, tetapi jika saya kalah, saya tidak akan membayar sesuai kesepakatan kita*.

Ada juga kekeliruan logika dalam contoh ini. Dan yang mana sebenarnya - kita akan mencari tahu lebih lanjut.

Tugas utama logika adalah menganalisis pertimbangan yang benar. Para ahli logika berusaha untuk mengidentifikasi dan mengeksplorasi pola-pola pertimbangan tersebut, mendefinisikan tipe-tipe yang berbeda, dan sebagainya. Penalaran yang salah dalam logika dianalisis hanya dari sudut pandang kesalahan yang dibuat di dalamnya.

Perlu diperhatikan bahwa kebenaran suatu penalaran tidak berarti kebenaran premis dan kesimpulannya. Secara umum, logika tidak berkaitan dengan penentuan benar atau salahnya premis dan kesimpulan suatu pertimbangan. Namun dalam logika ada kaidahnya: jika pertimbangan dikonstruksikan dengan benar (sesuai dengan kaidah dan hukum logika) dan sekaligus didasarkan pada premis-premis yang benar, maka kesimpulan dari penalaran tersebut akan selalu benar tanpa syarat. Dalam kasus lain, kebenaran kesimpulan tidak dapat dijamin.

Jadi, jika suatu penalaran dikonstruksi secara salah, meskipun premis-premisnya benar, kesimpulan dari penalaran tersebut mungkin benar dalam satu kasus, dan salah dalam kasus kedua.

Mari kita perhatikan, misalnya, dua pertimbangan berikut, yang dibangun menurut skema yang sama dan salah:

(1) Logika adalah ilmu.

Alkimia bukanlah logika.

Alkimia bukanlah ilmu.

(2) Logika adalah ilmu.

Hukum bukanlah logika.

Hukum bukanlah ilmu.

Jelas bahwa dalam penalaran pertama kesimpulannya benar, tetapi dalam penalaran kedua kesimpulannya salah, meskipun premis-premis dalam kedua kasus tersebut adalah pernyataan-pernyataan yang benar.

Juga tidak mungkin menjamin kebenaran kesimpulan suatu argumen jika setidaknya salah satu premisnya salah, meskipun alasannya benar.

Penalaran yang benar adalah penalaran yang suatu pemikiran (kesimpulan) tentu mengikuti pendapat (premis) yang lain.

Contoh penalaran yang benar adalah kesimpulan berikut: “Setiap warga negara Ukraina harus mengakui Konstitusinya. Semua wakil rakyat Ukraina adalah warga negara Ukraina. Jadi, masing-masing dari mereka harus mengakui Konstitusi negaranya,” dan contoh pemikiran yang benar adalah penilaian: “Ada warga negara Ukraina yang tidak mengakui setidaknya beberapa pasal dalam Konstitusi negara mereka.”

Alasan berikut harus dianggap salah: “Karena krisis ekonomi di Ukraina jelas terasa setelah proklamasi kemerdekaannya, maka krisis ini adalah penyebab krisis ini.” Jenis kesalahan logika ini disebut “setelah ini – karena ini”. Hal ini terletak pada kenyataan bahwa urutan temporal peristiwa dalam kasus-kasus seperti itu diidentifikasikan dengan kausalitas. Contoh pendapat yang tidak benar dapat berupa posisi apa pun yang tidak sesuai dengan kenyataan, misalnya pernyataan bahwa bangsa Ukraina tidak ada sama sekali.

Tujuan ilmu adalah untuk memperoleh ilmu yang hakiki. Untuk memperoleh pengetahuan tersebut melalui penalaran, pertama-tama perlu memiliki premis-premis yang benar, dan kedua, menggabungkannya dengan benar, bernalar menurut hukum logika. Ketika menggunakan premis yang salah, mereka membuat kesalahan faktual, dan ketika mereka melanggar hukum logika, aturan untuk membangun pertimbangan, mereka membuat kesalahan logis. Tentu saja, kesalahan faktual harus dihindari, yang tidak selalu memungkinkan. Adapun yang logis, seseorang yang berbudaya intelektual tinggi dapat menghindari kesalahan-kesalahan tersebut, karena hukum-hukum dasar berpikir yang benar secara logis, kaidah-kaidah membangun penalaran, dan bahkan kesalahan-kesalahan khas yang bermakna dalam penalaran telah lama dirumuskan.

Logika mengajarkan Anda untuk bernalar dengan benar, menghindari kesalahan logika, dan membedakan penalaran yang benar dari penalaran yang salah. Ini mengklasifikasikan pertimbangan yang benar untuk memahaminya secara sistematis. Dalam konteks ini, mungkin timbul pertanyaan: karena ada banyak pertimbangan, mungkinkah, dalam kata-kata Kozma Prutkov, merangkul hal yang tidak terbatas? Ya, bisa saja, karena logika mengajarkan seseorang untuk bernalar, tidak memusatkan perhatian pada isi spesifik pemikiran yang menjadi bagian dari penalaran, tetapi pada skema, struktur penalaran, bentuk penggabungan pemikiran tersebut. Katakanlah suatu bentuk penalaran seperti “Setiap x adalah y, dan z ini adalah x; Akibatnya, r yang diberikan benar, dan pengetahuan tentang kebenarannya mencakup informasi yang jauh lebih kaya daripada pengetahuan tentang kebenaran argumen bermakna terpisah yang bentuknya serupa. Dan bentuk penalarannya menurut skema “Setiap x adalah y, dan z juga y; oleh karena itu, z adalah x" mengacu pada yang salah. Sebagaimana tata bahasa mempelajari bentuk-bentuk kata dan kombinasinya dalam sebuah kalimat, mengabstraksi dari isi spesifik ekspresi linguistik, demikian pula logika mempelajari bentuk-bentuk pendapat dan kombinasinya, mengabstraksi dari isi spesifik pemikiran-pemikiran tersebut.

Untuk mengungkapkan bentuk suatu pemikiran atau pertimbangan, maka harus diformalkan.

Kesimpulan pada bab 1

Berdasarkan uraian di atas, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Logika muncul sebagai salah satu cabang ilmu filsafat. Penyebab utama terjadinya adalah perkembangan ilmu pengetahuan dan pidato. Karena sains didasarkan pada pemikiran teoretis, yang melibatkan konstruksi kesimpulan dan bukti, maka terdapat kebutuhan untuk mempelajari pemikiran itu sendiri sebagai suatu bentuk kognisi.

2. Dalam ilmu pengetahuan modern, pentingnya logika simbolik sangatlah besar. Ia menemukan penerapannya dalam sibernetika, neurofisiologi, dan linguistik. Logika simbolik merupakan tahapan modern dalam perkembangan logika formal. Ia mempelajari proses penalaran dan pembuktian melalui representasinya dalam sistem logis. Jadi, ilmu ini dalam pokok bahasannya adalah logika, dan dalam metodenya adalah matematika.

Setelah mempelajari materi, kami memperjelas gagasan kami tentang konsep matematika:

Ini adalah konsep objek ideal;

Setiap konsep matematika memiliki istilah, ruang lingkup dan isi;

Konsep diberi definisi; mereka bisa eksplisit atau implisit. Definisi implisit mencakup definisi kontekstual dan ostensive;

Pembelajaran konsep terjadi dari kelas ke kelas dengan eksplorasi topik yang diperluas.

Saat mempelajari materi, kami berkenalan dengan konsep-konsep yang dengannya kami memperjelas arti dari kata sambung “dan”, “atau”, partikel “tidak”, kata “setiap”, “ada”, “oleh karena itu” dan "setara" digunakan dalam matematika. Ini adalah konsep-konsepnya:

Penyataan;

Pernyataan dasar;

Penghubung logis;

Pernyataan majemuk;

Konjungsi pernyataan;

Disjungsi pernyataan;

Penolakan pernyataan.

Meninjau aturan:

Menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk;

Konstruksi negasi kalimat berbagai struktur.

Bab 2. Penggunaan unsur logika matematika dalam pembelajaran matematika di sekolah dasar

2.1 Penggunaanunsur logika pada mata kuliah awal matematika

Matematika memberikan prasyarat nyata bagi perkembangan pemikiran logis; tugas guru adalah memanfaatkan peluang ini semaksimal mungkin ketika mengajar matematika kepada anak-anak. Namun demikian, belum ada program khusus pengembangan teknik berpikir logis yang harus dirumuskan dalam mempelajari mata kuliah ini. Akibatnya, pengembangan pemikiran logis berlangsung tanpa pengetahuan tentang sistem teknik yang diperlukan, tanpa pengetahuan tentang konten dan urutan pembentukannya.

Barakina V.T. menyoroti persyaratan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan siswa pada pembelajaran unsur logika di sekolah dasar sebagai berikut:

1. Elemen teori himpunan:

Mengenal himpunan yang sifatnya berbeda-beda dengan menggunakan contoh spesifik dan cara penulisannya (dengan enumerasi);

Belajar mengidentifikasi elemen-elemen suatu himpunan;

Kenali jenis-jenis utama hubungan antar himpunan dan cara representasinya menggunakan lingkaran Euler-Venn;

Belajar melakukan beberapa operasi pada himpunan (gabungan, perpotongan).

2. Unsur-unsur teori proposisional:

Mengenal pernyataan pada tataran ide;

Belajar membedakan pernyataan dari kalimat lain;

Kenali jenis-jenis pernyataan utama;

Belajar melakukan beberapa operasi pada pernyataan (negasi, konjungsi, disjungsi).

3. Elemen kombinatorik:

Kenali konsep ini pada tingkat ide;

Belajar membedakan soal kombinatorial dengan jenis soal cerita lain yang tercakup dalam pelajaran matematika;

Belajar menyelesaikan soal menentukan banyaknya penempatan n elemen kali m elemen.

Unsur logika di sekolah dasar tercakup dalam pelajaran matematika dan ilmu komputer. Pada saat yang sama, tingkat persyaratan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan siswa, serta isi pelatihan pada bagian ini, agak berbeda dalam program yang berbeda. Hal ini terutama disebabkan oleh fakta bahwa saat ini Standar Pendidikan Negara Bagian Federal untuk Pendidikan Umum Dasar tidak memerlukan pertimbangan wajib topik ini di kelas 1-4.

Saat ini, semua mata kuliah matematika ditujukan untuk pengembangan siswa. Misalnya saja kursus Istomina N.B. tujuan utamanya adalah pengembangan metode aktivitas mental siswa, operasi mental: analisis, sintesis, perbandingan, klasifikasi, analogi, generalisasi.

...

Dokumen serupa

Mempelajari mata kuliah logika matematika. Landasan logika adalah kesadaran akan struktur ilmu matematika dan konsep-konsep fundamentalnya. Sketsa sejarah. Kesetaraan kalimat. Penolakan pernyataan. Tindak lanjut yang logis.

tesis, ditambahkan 08/08/2007

Kegiatan ekstrakurikuler sebagai salah satu bentuk pekerjaan. Landasan pedagogis pembelajaran logika matematika di sekolah menengah sebagai bagian dari kegiatan ekstrakurikuler. Analisis metode yang ada untuk mengembangkan keterampilan logika dan logika umum pada anak sekolah.

tugas kursus, ditambahkan 19/11/2012

Dasar-dasar metode mempelajari konsep matematika. Konsep matematika, isi dan ruang lingkupnya, klasifikasi konsep. Fitur psikologis dan pedagogis pengajaran matematika di kelas 5-6. Aspek psikologis pembentukan konsep.

tesis, ditambahkan 08/08/2007

Landasan linguistik pembelajaran kata sifat di sekolah dasar. Landasan psikologis dan pedagogis pembelajaran kata sifat di sekolah dasar. Metodologi pengerjaan kata sifat menurut sistem pendidikan perkembangan L.V. Zankova.

tesis, ditambahkan 04/03/2007

Landasan teori mempersiapkan anak untuk belajar matematika di sekolah. Masalah mempersiapkan anak-anak untuk sekolah dalam literatur psikologis, pedagogis dan metodologis. Konsep, Hakikat, Makna Kesiapan Matematika untuk Pembelajaran di Sekolah. Program penelitian.

tugas kursus, ditambahkan 23/10/2008

Fitur pembelajaran matematika di sekolah dasar menurut Standar Pendidikan Negara Bagian Federal untuk Pendidikan Umum Dasar. Konten kursus. Analisis konsep dasar matematika. Hakikat pendekatan individual dalam didaktik.

tugas kursus, ditambahkan 29/09/2016

Landasan psikologis dan pedagogis untuk pengembangan pemikiran logis pada anak sekolah dasar. Pengembangan metodologi pemecahan masalah pengembangan literasi logika siswa pada pembelajaran matematika di sekolah dasar, contoh penyelesaian masalah aritmatika nonstandar.

tesis, ditambahkan 31/03/2012

Landasan teoretis dan metodologis tugas tes dan jenisnya. Landasan psikologis dan pedagogis. Tes dalam pelajaran matematika. Analisis pengalaman guru dalam menggunakan soal tes. Penjelasan singkat tentang keuntungan menggunakan bentuk tes pengendalian.

tugas kursus, ditambahkan 17/04/2017

Ciri-ciri psikologis anak sekolah menengah pertama. Teknik dan metode penggunaan unsur analisis etimologis dalam pembelajaran sekolah dasar. Ciri-ciri pengajaran menulis kompeten kepada anak sekolah menengah pertama. Analisis kompleks pendidikan "bahasa Rusia" di kelas dasar.

tesis, ditambahkan 24/03/2015

Perkembangan bicara siswa dalam pelajaran matematika. Teknik untuk mengembangkan pidato matematika. Hubungan antara ucapan, pemikiran dan bahasa. Pengembangan logika, ekspresif, bukti dan keakuratan pidato matematika. Meningkatkan tingkat budaya bicara siswa.