Diskriminan sama dengan apa? Akar persamaan kuadrat. Apa itu persamaan kuadrat?

Kami terus mempelajari topik " menyelesaikan persamaan" Kita telah mengenal persamaan linear dan melanjutkan ke pengenalannya persamaan kuadrat.

Pertama, kita akan melihat apa itu persamaan kuadrat, cara penulisannya dalam bentuk umum, dan memberikan definisi terkait. Setelah ini, kita akan menggunakan contoh untuk memeriksa secara rinci bagaimana persamaan kuadrat tidak lengkap diselesaikan. Selanjutnya, mari kita lanjutkan menyelesaikan persamaan lengkap, mendapatkan rumus akar, dan mengenal diskriminan persamaan kuadrat dan pertimbangkan solusi untuk contoh-contoh umum. Terakhir, mari kita telusuri hubungan antara akar dan koefisien.

Navigasi halaman.

Apa itu persamaan kuadrat? Tipe mereka

Pertama, Anda perlu memahami dengan jelas apa itu persamaan kuadrat. Oleh karena itu, masuk akal jika kita memulai pembicaraan tentang persamaan kuadrat dengan pengertian persamaan kuadrat, serta definisi-definisi yang terkait. Setelah ini, Anda dapat mempertimbangkan jenis utama persamaan kuadrat: persamaan tereduksi dan tidak tereduksi, serta persamaan lengkap dan tidak lengkap.

Pengertian dan contoh persamaan kuadrat

Definisi.

Persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk a x 2 +b x+c=0, di mana x adalah variabel, a, b, dan c adalah beberapa bilangan, dan a bukan nol.

Katakanlah segera persamaan kuadrat sering disebut persamaan derajat kedua. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar tingkat dua.

Definisi yang disebutkan memungkinkan kita untuk memberikan contoh persamaan kuadrat. Jadi 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, dst. Ini adalah persamaan kuadrat.

Definisi.

Angka a, b dan c disebut koefisien persamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c=0, dan koefisien a disebut koefisien pertama, atau tertinggi, atau koefisien x 2, b adalah koefisien kedua, atau koefisien x, dan c adalah suku bebas .

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat berbentuk 5 x 2 −2 x−3=0, dengan koefisien utamanya adalah 5, koefisien kedua adalah −2, dan anggota bebas sama dengan −3. Perlu diketahui bahwa jika koefisien b dan/atau c negatif, seperti pada contoh yang baru saja diberikan, bentuk singkat persamaan kuadratnya adalah 5 x 2 −2 x−3=0 , bukan 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Perlu dicatat bahwa jika koefisien a dan/atau b sama dengan 1 atau −1, maka koefisien tersebut biasanya tidak secara eksplisit terdapat dalam persamaan kuadrat, karena kekhasan penulisannya. Misalnya, dalam persamaan kuadrat y 2 −y+3=0 koefisien utamanya adalah satu, dan koefisien y sama dengan −1.

Persamaan kuadrat tereduksi dan tidak tereduksi

Tergantung pada nilai koefisien terdepan, persamaan kuadrat tereduksi dan tidak tereduksi dibedakan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan kuadrat yang koefisien utamanya adalah 1 disebut persamaan kuadrat yang diberikan. Kalau tidak, persamaan kuadratnya adalah tidak tersentuh.

Berdasarkan definisi ini, persamaan kuadrat x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, dst. – diberikan, di masing-masing koefisien pertama sama dengan satu. A 5 x 2 −x−1=0, dst. - persamaan kuadrat tak tereduksi, koefisien utamanya berbeda dari 1.

Dari persamaan kuadrat tak tereduksi, dengan membagi kedua ruas dengan koefisien utama, Anda dapat beralih ke persamaan tereduksi. Tindakan ini merupakan transformasi ekuivalen, yaitu persamaan kuadrat tereduksi yang diperoleh dengan cara ini mempunyai akar-akar yang sama dengan persamaan kuadrat asli yang tidak tereduksi, atau seperti persamaan tersebut, tidak mempunyai akar-akar.

Mari kita lihat contoh bagaimana transisi dari persamaan kuadrat tak tereduksi ke persamaan kuadrat tereduksi dilakukan.

Contoh.

Dari persamaan 3 x 2 +12 x−7=0, lanjutkan ke persamaan kuadrat tereduksi yang bersangkutan.

Larutan.

Kita hanya perlu membagi kedua ruas persamaan awal dengan koefisien utama 3, yang bukan nol, sehingga kita dapat melakukan tindakan ini. Kita punya (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, yang sama, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, lalu (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, dari mana . Ini adalah bagaimana kami memperoleh persamaan kuadrat tereduksi, yang setara dengan persamaan aslinya.

Menjawab:

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Pengertian persamaan kuadrat mengandung syarat a≠0. Kondisi ini diperlukan agar persamaan a x 2 + b x + c = 0 bersifat kuadrat, karena jika a = 0 maka persamaan tersebut menjadi persamaan linier berbentuk b x + c = 0.

Adapun koefisien b dan c bisa sama dengan nol, baik secara sendiri-sendiri maupun bersama-sama. Dalam kasus ini, persamaan kuadrat disebut tidak lengkap.

Definisi.

Persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0 disebut tidak lengkap, jika paling sedikit salah satu koefisien b, c sama dengan nol.

Pada gilirannya

Definisi.

Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan yang semua koefisiennya berbeda dari nol.

Nama-nama seperti itu tidak diberikan secara kebetulan. Hal ini akan menjadi jelas dari diskusi berikut.

Jika koefisien b sama dengan nol, maka persamaan kuadratnya berbentuk a·x 2 +0·x+c=0, dan ekuivalen dengan persamaan a·x 2 +c=0. Jika c=0, yaitu persamaan kuadrat berbentuk a·x 2 +b·x+0=0, maka persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi a·x 2 +b·x=0. Dan dengan b=0 dan c=0 kita mendapatkan persamaan kuadrat a·x 2 =0. Persamaan yang dihasilkan berbeda dari persamaan kuadrat lengkap karena ruas kirinya tidak memuat suku dengan variabel x, atau suku bebas, atau keduanya. Oleh karena itu namanya - persamaan kuadrat tidak lengkap.

Jadi persamaan x 2 +x+1=0 dan −2 x 2 −5 x+0.2=0 adalah contoh persamaan kuadrat lengkap, dan x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 adalah persamaan kuadrat tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap

Dari informasi pada paragraf sebelumnya maka ada tiga jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:

a·x 2 =0, koefisien b=0 dan c=0 sesuai dengannya;
a x 2 +c=0 ketika b=0 ;
dan a·x 2 +b·x=0 ketika c=0.

Mari kita periksa bagaimana persamaan kuadrat tidak lengkap dari masing-masing jenis ini diselesaikan.

sebuah x 2 =0

Mari kita mulai dengan menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap yang koefisien b dan c sama dengan nol, yaitu dengan persamaan bentuk a x 2 =0. Persamaan a·x 2 =0 ekuivalen dengan persamaan x 2 =0, yang diperoleh dari persamaan asli dengan membagi kedua bagian dengan bilangan bukan nol a. Jelasnya, akar persamaan x 2 =0 adalah nol, karena 0 2 =0. Persamaan ini tidak memiliki akar lain, hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa untuk sembarang bilangan bukan nol p pertidaksamaan p 2 >0 berlaku, yang berarti bahwa untuk p≠0 persamaan p 2 =0 tidak pernah tercapai.

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a·x 2 =0 mempunyai akar tunggal x=0.

Sebagai contoh, kami memberikan solusi persamaan kuadrat tidak lengkap −4 x 2 =0. Ini setara dengan persamaan x 2 =0, satu-satunya akarnya adalah x=0, oleh karena itu, persamaan aslinya memiliki satu akar nol.

Solusi singkat dalam hal ini dapat ditulis sebagai berikut:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

ax 2 +c=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan kuadrat tidak lengkap diselesaikan yang koefisien b adalah nol dan c≠0, yaitu persamaan berbentuk ax 2 +c=0. Kita tahu bahwa memindahkan suku dari satu ruas persamaan ke ruas lain yang bertanda berlawanan, serta membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol, akan menghasilkan persamaan ekuivalen. Oleh karena itu, kita dapat melakukan hal berikut transformasi yang setara persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 +c=0 :

pindahkan c ke ruas kanan, sehingga diperoleh persamaan a x 2 =−c,
dan bagi kedua ruasnya dengan a, kita peroleh .

Persamaan yang dihasilkan memungkinkan kita menarik kesimpulan tentang akar-akarnya. Bergantung pada nilai a dan c, nilai ekspresi bisa negatif (misalnya, jika a=1 dan c=2, maka ) atau positif (misalnya, jika a=−2 dan c=6, maka ), bukan nol , karena dengan kondisi c≠0. Mari kita lihat kasusnya secara terpisah.

Jika , maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar. Pernyataan ini mengikuti fakta bahwa kuadrat suatu bilangan adalah bilangan non-negatif. Oleh karena itu, ketika , maka untuk sembarang bilangan p persamaan tersebut tidak mungkin benar.

Jika , maka situasi dengan akar-akar persamaannya berbeda. Dalam hal ini, jika kita mengingat tentang , maka akar persamaan akan segera menjadi jelas; yaitu bilangan, karena . Mudah untuk ditebak bahwa bilangan tersebut juga merupakan akar persamaan, . Persamaan ini tidak mempunyai akar-akar lain, yang dapat ditunjukkan, misalnya dengan kontradiksi. Ayo lakukan.

Mari kita nyatakan akar-akar persamaan yang baru saja diumumkan sebagai x 1 dan −x 1 . Misalkan persamaan tersebut memiliki satu akar lagi x 2, berbeda dari akar-akar yang ditunjukkan x 1 dan −x 1. Diketahui bahwa mengganti akar-akarnya ke dalam persamaan dan bukan x akan mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan numerik yang benar. Untuk x 1 dan −x 1 kita punya , dan untuk x 2 kita punya . Sifat-sifat persamaan numerik memungkinkan kita melakukan pengurangan suku demi suku dari persamaan numerik yang benar, sehingga mengurangkan bagian persamaan yang bersesuaian menghasilkan x 1 2 −x 2 2 =0. Sifat-sifat operasi bilangan memungkinkan kita menulis ulang persamaan yang dihasilkan sebagai (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Kita tahu bahwa hasil kali dua bilangan sama dengan nol jika dan hanya jika paling sedikit salah satu bilangan tersebut sama dengan nol. Oleh karena itu, dari persamaan yang dihasilkan diperoleh x 1 −x 2 =0 dan/atau x 1 +x 2 =0, yang sama, x 2 =x 1 dan/atau x 2 =−x 1. Jadi kita sampai pada suatu kontradiksi, karena pada awalnya kita mengatakan bahwa akar persamaan x 2 berbeda dengan x 1 dan −x 1. Hal ini membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai akar selain dan .

Mari kita rangkum informasi dalam paragraf ini. Persamaan kuadrat tidak lengkap ax 2 +c=0 ekuivalen dengan persamaan itu

tidak mempunyai akar jika ,
memiliki dua akar dan , jika .

Mari kita perhatikan contoh penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk a·x 2 +c=0.

Mari kita mulai dengan persamaan kuadrat 9 x 2 +7=0. Setelah suku bebas dipindahkan ke ruas kanan persamaan, maka persamaan tersebut akan berbentuk 9 x 2 =−7. Membagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan 9, kita mendapatkan . Karena ternyata di sisi kanan angka negatif, maka persamaan ini tidak mempunyai akar, oleh karena itu persamaan kuadrat tidak lengkap asli 9 x 2 +7=0 tidak mempunyai akar.

Mari kita selesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap lainnya −x 2 +9=0. Kita pindahkan sembilan ke sisi kanan: −x 2 =−9. Sekarang kita membagi kedua ruas dengan −1, kita mendapatkan x 2 =9. Di sisi kanan ada bilangan positif, dari situ kita simpulkan atau . Kemudian kita tuliskan jawaban akhirnya: persamaan kuadrat tidak lengkap −x 2 +9=0 memiliki dua akar x=3 atau x=−3.

a x 2 +b x=0

Masih membahas penyelesaian jenis persamaan kuadrat tidak lengkap yang terakhir untuk c=0. Persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk a x 2 + b x = 0 memungkinkan Anda menyelesaikannya metode faktorisasi. Jelasnya, kita bisa, terletak di sisi kiri persamaan, yang cukup dengan mengeluarkan faktor persekutuan x dari tanda kurung. Hal ini memungkinkan kita untuk berpindah dari persamaan kuadrat tidak lengkap yang asli ke persamaan setara dari bentuk x·(a·x+b)=0. Dan persamaan ini ekuivalen dengan himpunan dua persamaan x=0 dan a·x+b=0, persamaan terakhir adalah linier dan mempunyai akar x=−b/a.

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a·x 2 +b·x=0 memiliki dua akar x=0 dan x=−b/a.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis solusi menggunakan contoh spesifik.

Contoh.

Selesaikan persamaannya.

Larutan.

Mengambil x dari tanda kurung menghasilkan persamaan. Ini setara dengan dua persamaan x=0 dan . Kami menyelesaikan persamaan linier yang dihasilkan: , dan membagi bilangan campuran dengan pecahan biasa, kami menemukan. Oleh karena itu, akar-akar persamaan aslinya adalah x=0 dan .

Setelah mendapatkan latihan yang diperlukan, solusi persamaan tersebut dapat ditulis secara singkat:

Menjawab:

x=0 , .

Diskriminan, rumus akar-akar persamaan kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, ada rumus akar. Mari kita tuliskan rumus akar-akar persamaan kuadrat: , Di mana D=b 2 −4 a c- disebut diskriminan persamaan kuadrat. Entri tersebut pada dasarnya berarti bahwa.

Penting untuk mengetahui bagaimana rumus akar diturunkan dan bagaimana rumus tersebut digunakan dalam mencari akar persamaan kuadrat. Mari kita cari tahu.

Penurunan rumus akar-akar persamaan kuadrat

Mari kita selesaikan persamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c=0. Mari lakukan beberapa transformasi yang setara:

Kita dapat membagi kedua ruas persamaan ini dengan bilangan bukan nol a, sehingga menghasilkan persamaan kuadrat berikut.
Sekarang mari kita soroti persegi sempurna di sisi kirinya: . Setelah itu, persamaannya akan berbentuk .
Pada tahap ini, dua suku terakhir dapat dipindahkan ke ruas kanan dengan tanda kebalikannya, yang kita miliki.
Dan mari kita ubah juga ekspresi di sisi kanan: .

Hasilnya, kita mendapatkan persamaan yang ekuivalen dengan persamaan kuadrat awal a·x 2 +b·x+c=0.

Kita telah menyelesaikan persamaan yang bentuknya serupa di paragraf sebelumnya, ketika kita memeriksanya. Hal ini memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan berikut mengenai akar persamaan:

jika , maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi real;
jika , maka persamaannya berbentuk , oleh karena itu, , yang akarnya hanya terlihat;
jika , maka atau , yang sama dengan atau , yaitu persamaan mempunyai dua akar.

Jadi, ada tidaknya akar-akar persamaan, dan oleh karena itu persamaan kuadrat aslinya, bergantung pada tanda ekspresi di ruas kanan. Pada gilirannya, tanda dari ekspresi ini ditentukan oleh tanda pembilangnya, karena penyebut 4·a 2 selalu positif, yaitu dengan tanda dari ekspresi b 2 −4·a·c. Ekspresi b 2 −4 a c ini disebut diskriminan persamaan kuadrat dan ditunjuk dengan surat itu D. Oleh karena itu esensi diskriminan menjadi jelas - berdasarkan nilai dan tandanya, mereka menyimpulkan apakah persamaan kuadrat memiliki akar real, dan jika ya, berapa bilangannya - satu atau dua.

Mari kembali ke persamaan dan menulis ulang menggunakan notasi diskriminan: . Dan kami menarik kesimpulan:

jika D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
jika D=0, maka persamaan ini mempunyai akar tunggal;
akhirnya, jika D>0, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar atau, yang dapat ditulis ulang menjadi atau, dan setelah memperluas dan membawa pecahan ke penyebut yang sama kita peroleh.

Jadi kita mendapatkan rumus akar-akar persamaan kuadrat, bentuknya seperti , dimana diskriminan D dihitung dengan rumus D=b 2 −4·a·c.

Dengan bantuan mereka, dengan diskriminan positif, Anda dapat menghitung kedua akar real persamaan kuadrat. Ketika diskriminan sama dengan nol, kedua rumus memberikan nilai akar yang sama, sesuai dengan solusi unik persamaan kuadrat. Dan dengan diskriminan negatif, ketika mencoba menggunakan rumus akar persamaan kuadrat, kita dihadapkan pada ekstraksi akar kuadrat dari bilangan negatif, yang membawa kita melampaui cakupan dan kurikulum sekolah. Dengan diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real, tetapi mempunyai pasangan konjugat kompleks akar, yang dapat ditemukan menggunakan rumus akar yang sama dengan yang kita peroleh.

Algoritma penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan rumus akar

Dalam praktiknya, saat menyelesaikan persamaan kuadrat, Anda dapat langsung menggunakan rumus akar untuk menghitung nilainya. Tapi ini lebih berkaitan dengan menemukan akar yang kompleks.

Namun, di kursus sekolah Aljabar biasanya tidak membahas akar persamaan kuadrat yang kompleks, melainkan akar real. Dalam hal ini, sebaiknya sebelum menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, cari dulu diskriminannya, pastikan non-negatifnya (jika tidak, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar real), dan baru kemudian menghitung nilai akar-akarnya.

Alasan di atas memungkinkan kita untuk menulis algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0, Anda perlu:

menggunakan rumus diskriminan D=b 2 −4·a·c, hitung nilainya;
menyimpulkan bahwa suatu persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real jika diskriminannya negatif;
hitung satu-satunya akar persamaan menggunakan rumus jika D=0;
temukan dua akar real persamaan kuadrat menggunakan rumus akar jika diskriminannya positif.

Di sini kita hanya mencatat bahwa jika diskriminan sama dengan nol, Anda juga dapat menggunakan rumus; rumus tersebut akan memberikan nilai yang sama dengan .

Anda dapat melanjutkan ke contoh penggunaan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat

Mari kita pertimbangkan penyelesaian tiga persamaan kuadrat dengan diskriminan positif, negatif, dan nol. Setelah mengetahui solusinya, dengan analogi, persamaan kuadrat lainnya dapat diselesaikan. Mari kita mulai.

Contoh.

Temukan akar-akar persamaan x 2 +2·x−6=0.

Larutan.

Dalam hal ini, kita memiliki koefisien persamaan kuadrat berikut: a=1, b=2 dan c=−6. Menurut algoritme, pertama-tama Anda harus menghitung diskriminan; untuk melakukan ini, kita substitusikan a, b, dan c yang ditunjukkan ke dalam rumus diskriminan, kita punya D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Karena 28>0, yaitu diskriminan lebih besar dari nol, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real. Mari kita temukan menggunakan rumus akar, kita dapatkan, di sini Anda dapat menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan dengan melakukan memindahkan pengali melampaui tanda akar diikuti dengan pengurangan pecahan:

Menjawab:

Mari beralih ke contoh tipikal berikutnya.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadrat −4 x 2 +28 x−49=0 .

Larutan.

Kita mulai dengan mencari diskriminannya: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Oleh karena itu, persamaan kuadrat ini mempunyai akar tunggal, yang kita temukan sebagai , yaitu,

Menjawab:

x=3,5.

Masih mempertimbangkan penyelesaian persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif.

Contoh.

Selesaikan persamaan 5·y 2 +6·y+2=0.

Larutan.

Berikut koefisien persamaan kuadratnya: a=5, b=6 dan c=2. Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus diskriminan yang kami miliki D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminannya negatif, oleh karena itu persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real.

Jika Anda perlu menunjukkan akar kompleks, maka kami menerapkan rumus terkenal untuk akar persamaan kuadrat, dan lakukan tindakan dengan bilangan kompleks :

Menjawab:

tidak ada akar real, akar kompleks adalah: .

Mari kita perhatikan sekali lagi bahwa jika diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah negatif, maka di sekolah biasanya mereka langsung menuliskan jawaban yang menunjukkan bahwa tidak ada akar real, dan akar kompleks tidak ditemukan.

Rumus akar untuk koefisien kedua genap

Rumus akar-akar persamaan kuadrat, di mana D=b 2 −4·a·c memungkinkan Anda memperoleh rumus dengan bentuk yang lebih ringkas, memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien genap untuk x (atau cukup dengan a koefisien yang berbentuk 2·n, misalnya, atau 14· ln5=2·7·ln5 ). Ayo keluarkan dia.

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat berbentuk a x 2 +2 n x+c=0. Mari kita cari akarnya menggunakan rumus yang kita ketahui. Untuk melakukan ini, kami menghitung diskriminannya D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), lalu kita menggunakan rumus root:

Mari kita nyatakan ekspresi n 2 −a c sebagai D 1 (kadang-kadang dilambangkan D "). Maka rumus akar-akar persamaan kuadrat yang ditinjau dengan koefisien kedua 2 n akan berbentuk , dimana D 1 =n 2 −a·c.

Sangat mudah untuk melihat bahwa D=4·D 1, atau D 1 =D/4. Dengan kata lain, D 1 adalah bagian keempat dari diskriminan. Jelas tanda D 1 sama dengan tanda D . Artinya, tanda D 1 juga merupakan indikator ada tidaknya akar-akar persamaan kuadrat.

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien kedua 2·n, Anda memerlukan

Hitung D 1 =n 2 −a·c ;
Jika D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Jika D 1 =0, maka hitung satu-satunya akar persamaan menggunakan rumus;
Jika D 1 >0, carilah dua akar real menggunakan rumus tersebut.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian contoh menggunakan rumus akar yang diperoleh di paragraf ini.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadrat 5 x 2 −6 x −32=0 .

Larutan.

Koefisien kedua persamaan ini dapat direpresentasikan sebagai 2·(−3) . Artinya, Anda dapat menulis ulang persamaan kuadrat asli dalam bentuk 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, di sini a=5, n=−3 dan c=−32, dan menghitung bagian keempat dari persamaan kuadrat tersebut diskriminan: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Karena nilainya positif, persamaan tersebut mempunyai dua akar real. Mari kita temukan menggunakan rumus akar yang sesuai:

Perhatikan bahwa rumus biasa untuk akar-akar persamaan kuadrat dapat digunakan, tetapi dalam kasus ini, lebih banyak pekerjaan komputasi yang harus dilakukan.

Menjawab:

Menyederhanakan bentuk persamaan kuadrat

Terkadang, sebelum mulai menghitung akar-akar persamaan kuadrat menggunakan rumus, tidak ada salahnya untuk bertanya pada diri sendiri: “Apakah bentuk persamaan ini bisa disederhanakan?” Setuju bahwa dalam perhitungan akan lebih mudah menyelesaikan persamaan kuadrat 11 x 2 −4 x−6=0 daripada 1100 x 2 −400 x−600=0.

Biasanya, penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat dilakukan dengan mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan tertentu. Misalnya, pada paragraf sebelumnya persamaan 1100 x 2 −400 x −600=0 dapat disederhanakan dengan membagi kedua ruasnya dengan 100.

Transformasi serupa dilakukan dengan persamaan kuadrat, yang koefisiennya bukan . Dalam hal ini, kita biasanya membagi kedua ruas persamaan dengan nilai absolut koefisiennya. Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat 12 x 2 −42 x+48=0. nilai mutlak koefisiennya: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Membagi kedua ruas persamaan kuadrat asli dengan 6, kita mendapatkan persamaan kuadrat ekuivalen 2 x 2 −7 x+8=0.

Dan mengalikan kedua ruas persamaan kuadrat biasanya dilakukan untuk menghilangkan koefisien pecahan. Dalam hal ini perkalian dilakukan dengan penyebut koefisiennya. Misalnya, jika kedua ruas persamaan kuadrat dikalikan dengan KPK(6, 3, 1)=6, maka persamaan tersebut akan berbentuk x 2 +4·x−18=0 yang lebih sederhana.

Sebagai kesimpulan dari poin ini, kami mencatat bahwa mereka hampir selalu menghilangkan minus pada koefisien tertinggi persamaan kuadrat dengan mengubah tanda semua suku, yang setara dengan mengalikan (atau membagi) kedua ruas dengan −1. Misalnya, biasanya seseorang berpindah dari persamaan kuadrat −2 x 2 −3 x+7=0 ke solusi 2 x 2 +3 x−7=0 .

Hubungan antara akar dan koefisien persamaan kuadrat

Rumus akar-akar persamaan kuadrat menyatakan akar-akar persamaan melalui koefisiennya. Berdasarkan rumus akar, Anda dapat memperoleh hubungan lain antara akar dan koefisien.

Rumus yang paling terkenal dan dapat diterapkan dari teorema Vieta adalah bentuk dan . Khususnya, untuk persamaan kuadrat tertentu, jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien kedua yang berlawanan tanda, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebasnya. Misalnya dengan melihat bentuk persamaan kuadrat 3 x 2 −7 x + 22 = 0, kita dapat langsung mengatakan bahwa jumlah akar-akarnya sama dengan 7/3, dan hasil kali akar-akarnya adalah 22 /3.

Dengan menggunakan rumus yang sudah tertulis, Anda bisa mendapatkan sejumlah hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Misalnya, Anda dapat menyatakan jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat melalui koefisiennya: .

Bibliografi.

Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 14.00 Bagian 1. Buku Ajar untuk Siswa lembaga pendidikan/ A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

Saya berharap setelah mempelajari artikel ini Anda dapat mempelajari cara mencari akar-akar persamaan kuadrat lengkap.

Dengan menggunakan diskriminan, hanya persamaan kuadrat lengkap yang diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap, digunakan metode lain, yang dapat Anda temukan di artikel “Menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap.”

Persamaan kuadrat apa yang disebut lengkap? Ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, dimana koefisien a, b dan c tidak sama dengan nol. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, kita perlu menghitung diskriminan D.

D = b 2 – 4ac.

Tergantung pada nilai diskriminannya, kami akan menuliskan jawabannya.

Jika diskriminannya adalah bilangan negatif (D< 0),то корней нет.

Jika diskriminannya nol, maka x = (-b)/2a. Jika diskriminannya adalah bilangan positif (D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Misalnya. Selesaikan persamaannya x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawaban: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jawaban: tidak ada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jawaban: – 3,5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadrat lengkap menggunakan diagram pada Gambar 1.

Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun. Anda hanya perlu berhati-hati persamaan ditulis sebagai polinomial dari bentuk standar

A x 2 + bx + c, jika tidak, Anda mungkin membuat kesalahan. Misalnya, saat menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, Anda mungkin salah menentukannya

a = 1, b = 3 dan c = 2. Maka

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan persamaan tersebut mempunyai dua akar. Dan ini tidak benar. (Lihat solusi contoh 2 di atas).

Oleh karena itu, jika persamaan tersebut tidak ditulis sebagai polinomial berbentuk standar, maka persamaan kuadrat lengkap tersebut harus ditulis terlebih dahulu sebagai polinomial berbentuk standar (monomial dengan eksponen terbesar harus didahulukan, yaitu A x 2 , lalu dengan lebih sedikit – bx dan kemudian menjadi anggota gratis Dengan.

Saat menyelesaikan persamaan kuadrat tereduksi dan persamaan kuadrat dengan koefisien genap pada suku kedua, Anda dapat menggunakan rumus lain. Mari berkenalan dengan rumus-rumus ini. Jika dalam persamaan kuadrat lengkap suku kedua memiliki koefisien genap (b = 2k), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram pada Gambar 2.

Persamaan kuadrat lengkap disebut tereduksi jika koefisiennya di x 2 sama dengan satu dan persamaannya berbentuk x 2 + piksel + q = 0. Persamaan seperti itu dapat diberikan untuk penyelesaian, atau dapat diperoleh dengan membagi semua koefisien persamaan dengan koefisiennya A, berdiri di x 2 .

Gambar 3 menunjukkan diagram penyelesaian kuadrat tereduksi
persamaan. Mari kita lihat contoh penerapan rumus yang dibahas pada artikel ini.

Contoh. Selesaikan persamaannya

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Mari selesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram di Gambar 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3

Anda dapat melihat koefisien x dalam persamaan ini bilangan genap, yaitu b = 6 atau b = 2k, maka k = 3. Maka mari kita coba menyelesaikan persamaan tersebut menggunakan rumus yang diberikan pada diagram gambar D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3. Perhatikan bahwa semua koefisien dalam persamaan kuadrat ini habis dibagi 3 dan dengan melakukan pembagian tersebut, kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi x 2 + 2x – 2 = 0 Selesaikan persamaan ini menggunakan rumus kuadrat tereduksi
persamaan gambar 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3.

Seperti yang Anda lihat, saat menyelesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang berbeda, kami mendapatkan jawaban yang sama. Oleh karena itu, setelah menguasai rumus-rumus yang ditunjukkan pada diagram pada Gambar 1 secara menyeluruh, Anda akan selalu dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Rumus akar-akar persamaan kuadrat. Kasus-kasus akar nyata, ganda dan kompleks dipertimbangkan. Faktorisasi trinomial kuadrat. Interpretasi geometris. Contoh penentuan akar dan pemfaktoran.

Isi

Lihat juga: Memecahkan persamaan kuadrat secara online

Rumus dasar

Perhatikan persamaan kuadrat:
(1) .
Akar persamaan kuadrat(1) ditentukan dengan rumus:
; .
Rumus ini dapat digabungkan seperti ini:
.
Jika akar-akar persamaan kuadrat diketahui, maka polinomial derajat kedua dapat direpresentasikan sebagai hasil kali faktor-faktor (difaktorkan):
.

Kami selanjutnya berasumsi bahwa - bilangan real.
Mari kita pertimbangkan diskriminan persamaan kuadrat:
.
Jika diskriminannya positif, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar real yang berbeda:
; .
Maka faktorisasi trinomial kuadrat berbentuk:
.
Jika diskriminan sama dengan nol, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar real kelipatan (sama):
.
Faktorisasi:
.
Jika diskriminannya negatif, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar konjugasi kompleks:
;
.
Berikut adalah satuan imajinernya, ;
dan merupakan bagian akar nyata dan imajiner:
; .
Kemudian

.

Interpretasi grafis

Jika Anda membangun grafik suatu fungsi
,
yang merupakan parabola, maka titik potong grafik tersebut dengan sumbunya adalah akar-akar persamaannya
.
Kapan , grafik tersebut memotong sumbu x (sumbu) di dua titik ().
Ketika , grafik menyentuh sumbu x di satu titik ().
Jika , grafik tersebut tidak memotong sumbu x ().

Rumus berguna terkait persamaan kuadrat

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Penurunan rumus akar-akar persamaan kuadrat

Kami melakukan transformasi dan menerapkan rumus (f.1) dan (f.3):

,
Di mana
; .

Jadi, kita mendapatkan rumus polinomial derajat kedua dalam bentuk:
.
Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut

dilakukan di
Dan .
Artinya, dan merupakan akar persamaan kuadrat
.

Contoh menentukan akar-akar persamaan kuadrat

Contoh 1

(1.1) .

.
Dibandingkan dengan persamaan kita (1.1), kita menemukan nilai koefisien:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Karena diskriminannya positif, persamaan tersebut mempunyai dua akar real:
;
;
.

Dari sini kita memperoleh faktorisasi trinomial kuadrat:

.

Grafik fungsi y = 2x2+7x+3 memotong sumbu x di dua titik.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini adalah parabola. Ia melintasi sumbu absis (sumbu) di dua titik:
Dan .
Titik-titik ini adalah akar-akar persamaan awal (1.1).

;
;
.

Contoh 2

Temukan akar persamaan kuadrat:
(2.1) .

Mari kita tulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
.
Dibandingkan dengan persamaan awal (2.1), kita menemukan nilai koefisiennya:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Karena diskriminannya nol, persamaan tersebut mempunyai dua akar kelipatan (sama):
;
.

Maka faktorisasi trinomialnya berbentuk:
.

Grafik fungsi y = x 2 - 4x+4 menyentuh sumbu x di satu titik.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini adalah parabola. Menyentuh sumbu x (sumbu) di satu titik:
.
Titik ini merupakan akar persamaan awal (2.1). Karena akar ini difaktorkan dua kali:
,
maka akar seperti itu biasanya disebut kelipatan. Artinya, mereka percaya bahwa ada dua akar yang sama:
.

;
.

Contoh 3

Temukan akar persamaan kuadrat:
(3.1) .

Mari kita tulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
(1) .
Mari kita tulis ulang persamaan awal (3.1):
.
Dibandingkan dengan (1), kita menemukan nilai koefisien:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Diskriminannya negatif, . Oleh karena itu tidak ada akar yang sebenarnya.

Anda dapat menemukan akar kompleks:
;
;
.

Kemudian

.

Grafik fungsi tidak memotong sumbu x. Tidak ada akar yang nyata.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini adalah parabola. Tidak memotong sumbu x (sumbu). Oleh karena itu tidak ada akar yang sebenarnya.

Tidak ada akar yang nyata. Akar kompleks:
;
;
.

Lihat juga:

", yaitu persamaan derajat pertama. Dalam pelajaran ini kita akan melihat apa yang disebut persamaan kuadrat dan bagaimana cara mengatasinya.

Apa itu persamaan kuadrat?

Penting!

Derajat suatu persamaan ditentukan oleh derajat tertinggi persamaan yang tidak diketahui itu.

Jika daya maksimum yang tidak diketahui adalah “2”, maka Anda mempunyai persamaan kuadrat.

Contoh persamaan kuadrat

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Penting! Bentuk umum persamaan kuadrat terlihat seperti ini:

Ax 2 + bx + c = 0

“a”, “b” dan “c” diberi nomor.

“a” adalah koefisien pertama atau tertinggi;
“b” adalah koefisien kedua;
"c" adalah istilah bebas.

Untuk mencari “a”, “b”, dan “c” Anda perlu membandingkan persamaan Anda dengan bentuk umum persamaan kuadrat “ax 2 + bx + c = 0”.

Mari kita berlatih menentukan koefisien “a”, “b” dan “c” dalam persamaan kuadrat.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Persamaannya	Kemungkinan
sebuah = 5 b = −14 c = 17
Sebuah = −7 b = −13 c = 8

= 0

Sebuah = −1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0,25x = 0

sebuah = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 − 8 = 0

sebuah = 1
b = 0
c = −8

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Berbeda dengan persamaan linear untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yang khusus rumus mencari akar.

Ingat!

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang Anda butuhkan:

jadikan persamaan kuadrat tersebut ke bentuk umum “ax 2 + bx + c = 0”. Artinya, hanya “0” yang harus tetap berada di sisi kanan;
gunakan rumus untuk akar:

Mari kita lihat contoh cara menggunakan rumus untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Mari kita selesaikan persamaan kuadrat.

X 2 − 3x − 4 = 0

Persamaan “x 2 − 3x − 4 = 0” telah direduksi menjadi bentuk umum “ax 2 + bx + c = 0” dan tidak memerlukan penyederhanaan tambahan. Untuk mengatasinya, kita hanya perlu menerapkannya rumus mencari akar-akar persamaan kuadrat.

Mari kita tentukan koefisien “a”, “b” dan “c” untuk persamaan ini.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun.

Dalam rumus “x 1;2 = ” ekspresi radikal sering diganti
“b 2 − 4ac” untuk huruf “D” dan disebut diskriminan. Konsep diskriminan dibahas lebih rinci dalam pelajaran “Apa itu diskriminan”.

Mari kita lihat contoh persamaan kuadrat lainnya.

x 2 + 9 + x = 7x

Dalam bentuk ini cukup sulit untuk menentukan koefisien “a”, “b” dan “c”. Mari kita turunkan dulu persamaan tersebut ke bentuk umum “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sekarang Anda bisa menggunakan rumus untuk akarnya.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3
Jawaban: x = 3

Ada kalanya persamaan kuadrat tidak mempunyai akar. Situasi ini terjadi ketika rumus mengandung bilangan negatif di bawah akar.

Pertama, apa itu persamaan kuadrat? Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax^2+bx+c=0, dimana x adalah variabel, a, b, dan c adalah suatu bilangan, dan a tidak sama dengan nol.

Langkah 2

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, kita perlu mengetahui rumus akar-akarnya, yaitu rumus diskriminan persamaan kuadrat terlebih dahulu. Tampilannya seperti ini: D=b^2-4ac. Anda bisa menurunkannya sendiri, tapi biasanya ini tidak wajib, ingat saja rumusnya (!) Anda akan sangat membutuhkannya di kemudian hari. Ada juga rumus diskriminan triwulanan, akan dijelaskan lebih lanjut nanti.

Langkah 3

Mari kita ambil contoh persamaan 3x^2-24x+21=0. Saya akan menyelesaikannya dengan dua cara.

Langkah 4

Metode 1. Diskriminan.
3x^2-24x+21=0
a=3, b=-24, c=21
D=b^2-4ac
D=576-4*63=576-252=324=18^2
D>
x1.2= (-b 18)/6=42/6=7
x2=(-(-24)-18)/6=6/6=1

Langkah 5

Saatnya mengingat rumus diskriminan seperempat, yang bisa sangat memudahkan penyelesaian persamaan kita =) jadi, begini tampilannya: D1=k^2-ac (k=1/2b)
Metode 2. Diskriminan Seperempat.
3x^2-24x+21=0
a=3, b=-24, c=21
k=-12
D1=k^2 – ac
D1=144-63=81=9^2
D1>0 yang berarti persamaan mempunyai 2 akar
x1,2=k+/ Akar pangkat dua dari D1)/a
x1= (-(-12) +9)/3=21/3=7
x2= (-(-12) -9)/3=3/3=1

Apakah Anda menilai seberapa mudah solusinya? ;)
Terima kasih atas perhatiannya, semoga sukses dalam studinya =)

Dalam kasus kita, persamaan D dan D1 >0 dan kita mendapatkan masing-masing 2 akar. Jika ada D=0 dan D1=0, maka kita akan mendapatkan masing-masing satu akar, dan jika ada D<0 и D1<0 соответственно, то у уравнений корней бы не было вовсе.
Melalui akar diskriminan (D1) kita hanya dapat menyelesaikan persamaan yang suku bnya genap(!)