Metode untuk memecahkan sistem persamaan logis

Anda dapat menyelesaikan suatu sistem persamaan logika, misalnya dengan menggunakan tabel kebenaran (jika jumlah variabelnya tidak terlalu banyak) atau menggunakan pohon keputusan, setelah menyederhanakan setiap persamaan terlebih dahulu.

1. Metode penggantian variabel.

Memperkenalkan variabel baru memungkinkan Anda menyederhanakan sistem persamaan, mengurangi jumlah variabel yang tidak diketahui.Variabel baru harus independen satu sama lain. Setelah menyelesaikan sistem yang disederhanakan, kita harus kembali ke variabel awal.

Mari kita pertimbangkan penerapan metode ini menggunakan contoh spesifik.

Contoh.

((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0

((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0

Larutan:

Mari kita perkenalkan variabel baru: A=(X1≡ X2); B=(X3 ≡ X4); =(X5 ≡ X6); D=(X7 ≡ X8); E=(X9 ≡ X10).

(Perhatian! Setiap variabel x1, x2, ..., x10 harus dimasukkan hanya dalam salah satu variabel baru variabel A, B, C, D, E, yaitu variabel baru tidak bergantung satu sama lain).

Maka sistem persamaannya akan terlihat seperti ini:

(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)=0

(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)=0

(C ∧ D) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0

(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0

Mari buat pohon keputusan untuk sistem yang dihasilkan:

Pertimbangkan persamaan A=0, yaitu. (X1≡ X2)=0. Ia memiliki 2 akar:

X1 ≡ X2

Dari tabel yang sama terlihat bahwa persamaan A=1 juga mempunyai 2 akar. Mari kita susun jumlah akar pada pohon keputusan:

Untuk mencari jumlah solusi pada satu cabang, Anda perlu mengalikan jumlah solusi pada setiap level. Cabang kiri memiliki 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 solusi; cabang kanan juga memiliki 32 solusi. Itu. seluruh sistem memiliki 32+32=64 solusi.

Jawaban: 64.

2. Metode penalaran.

Kesulitan dalam menyelesaikan sistem persamaan logika terletak pada rumitnya pohon keputusan yang lengkap. Metode penalaran memungkinkan Anda untuk tidak membangun keseluruhan pohon, tetapi untuk memahami berapa banyak cabang yang dimilikinya. Mari kita lihat metode ini menggunakan contoh spesifik.

Contoh 1. Berapa banyak himpunan nilai variabel logis x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 yang memenuhi semua kondisi di bawah ini?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

x1\/y1 =1

Jawabannya tidak perlu mencantumkan semua himpunan nilai yang berbeda dari variabel x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 yang mana sistem ini sama Sebagai jawabannya, Anda perlu menunjukkan jumlah set tersebut.

Solusi :

Persamaan pertama dan kedua memuat variabel bebas yang dihubungkan oleh kondisi ketiga. Mari kita buat pohon solusi untuk persamaan pertama dan kedua.

Untuk merepresentasikan pohon solusi sistem persamaan pertama dan kedua, setiap cabang pohon pertama harus dilanjutkan dengan pohon variabel pada . Pohon yang dibangun dengan cara ini akan memiliki 36 cabang. Beberapa cabang ini tidak memenuhi persamaan ketiga sistem. Mari kita tandai jumlah cabang pohon pada pohon pertama"kamu" , yang memenuhi persamaan ketiga:

Mari kita jelaskan: untuk memenuhi syarat ketiga, ketika x1=0 harus ada y1=1, yaitu semua cabang pohon"X" , dimana x1=0 dapat dilanjutkan hanya dengan satu cabang dari pohon"kamu" . Dan hanya untuk satu cabang pohon"X" (kanan) semua dahan pohon pas"kamu". Jadi, pohon lengkap dari keseluruhan sistem berisi 11 cabang. Setiap cabang mewakili satu solusi dari sistem persamaan asli. Artinya keseluruhan sistem mempunyai 11 solusi.

Jawaban: 11.

Contoh 2. Berapa banyak berbagai solusi mempunyai sistem persamaan

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10)= 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬ X10)= 1.

………………

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬ X10)= 1

(X1 ≡ X10) = 0

dimana x1, x2,…, x10 adalah variabel logika? Jawabannya tidak perlu mencantumkan semua kumpulan nilai variabel berbeda yang memiliki persamaan ini. Sebagai jawabannya, Anda perlu menunjukkan jumlah set tersebut.

Solusi : Mari kita sederhanakan sistemnya. Mari kita buat tabel kebenaran untuk bagian persamaan pertama:

X1 ∧ X10

¬X1 ∧ ¬X10

(X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10)

Perhatikan kolom terakhir, cocok dengan hasil tindakan X1 ≡ X10.

X1 ≡ X10

Setelah disederhanakan kita mendapatkan:

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ≡ X10)=1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10)=1

(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1

……

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1

(X1 ≡ X10) = 0

Perhatikan persamaan terakhir:(X1 ≡ X10) = 0, yaitu x1 tidak boleh bertepatan dengan x10. Agar persamaan pertama sama dengan 1, persamaan tersebut harus benar(X1 ≡ X2)=1, yaitu x1 harus cocok dengan x2.

Mari kita buat pohon solusi untuk persamaan pertama:

Perhatikan persamaan kedua: untuk x10=1 dan untuk x2=0 tanda kurungharus sama dengan 1 (yaitu x2 bertepatan dengan x3); untuk x10=0 dan untuk x2=1 braket(X2 ≡ X10)=0 yang artinya tanda kurung (X2 ≡ X3) harus sama dengan 1 (yaitu x2 bertepatan dengan x3):

Dengan berpikir seperti ini, kami membangun pohon solusi untuk semua persamaan:

Jadi, sistem persamaan hanya mempunyai 2 solusi.

Jawaban: 2.

Contoh 3.

Berapa banyak himpunan nilai variabel logika x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 yang memenuhi semua kondisi di bawah ini?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1

(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1

(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1

(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1

(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1

Larutan:

Mari kita buat pohon solusi untuk persamaan pertama:

Perhatikan persamaan kedua:

  • Ketika x1=0 : tanda kurung kedua dan ketiga sama dengan 0; agar tanda kurung pertama sama dengan 1, y1=1, z1=1 (yaitu dalam kasus ini - 1 solusi)
  • Ketika x1=1 : tanda kurung pertama akan sama dengan 0; Kedua atau tanda kurung ketiga harus sama dengan 1; tanda kurung siku kedua akan sama dengan 1 ketika y1=0 dan z1=1; braket ketiga akan sama dengan 1 ketika y1=1 dan z1=0 (yaitu dalam kasus ini - 2 solusi).

Demikian pula untuk persamaan lainnya. Mari kita perhatikan jumlah solusi yang dihasilkan untuk setiap simpul pohon:

Untuk mengetahui banyaknya solusi setiap cabang, kalikan angka-angka yang dihasilkan secara terpisah untuk setiap cabang (dari kiri ke kanan).

1 cabang: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 solusi

Cabang 2: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 =2 penyelesaian

Cabang ke-3: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 =4 solusi

Cabang ke-4: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =8 penyelesaian

Cabang ke-5: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 penyelesaian

Mari kita jumlahkan angka yang dihasilkan: total ada 31 solusi.

Jawaban: 31.

3. Peningkatan jumlah akar secara alami

Dalam beberapa sistem, jumlah akar persamaan berikutnya bergantung pada jumlah akar persamaan sebelumnya.

Contoh 1. Berapa banyak himpunan nilai variabel logika x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 yang memenuhi semua kondisi di bawah ini?

¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0

Mari kita sederhanakan persamaan pertama:(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). Maka sistem akan berbentuk:

¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4)= 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0

Dll.

Setiap persamaan berikutnya memiliki 2 akar lebih banyak dari persamaan sebelumnya.

4 persamaan memiliki 12 akar;

Persamaan 5 mempunyai 14 akar

Persamaan 8 mempunyai 20 akar.

Jawaban: 20 akar.

Terkadang jumlah akar bertambah menurut hukum Fibonacci.

Memecahkan sistem persamaan logika membutuhkan pendekatan kreatif.


Bagaimana menyelesaikan beberapa soal pada bagian A dan B ujian ilmu komputer

Pelajaran #3. Logika. Fungsi logika. Memecahkan persamaan

Sejumlah besar soal Ujian Negara Terpadu dikhususkan untuk logika proposisional. Untuk menyelesaikan sebagian besarnya, cukup mengetahui hukum dasar logika proposisional, pengetahuan tentang tabel kebenaran fungsi logika satu dan dua variabel. Saya akan memberikan hukum dasar logika proposisional.

  1. Komutatifitas disjungsi dan konjungsi:
    a ˅ b ≡ b ˅ a
    a^b ≡ b^a
  2. Hukum distributif mengenai disjungsi dan konjungsi:
    a ˅ (b^с) ≡ (a ˅ b) ^(a ˅ с)
    a^(b˅c) ≡(a^b)˅(a^c)
  3. Negasi dari negasi:
    ¬(¬a) ≡ a
  4. Konsistensi:
    a ^ ¬а ≡ salah
  5. Eksklusif ketiga:
    a ˅ ¬а ≡ benar
  6. Hukum De Morgan:
    ¬(a ˅ b) ≡ ¬a ˄ ¬b
    ¬(a ˄ b) ≡ ¬a ˅ ¬b
  7. Penyederhanaan:
    a ˄ a ≡ a
    a ˅ a ≡ a
    a ˄ benar ≡ a
    a ˄ salah ≡ salah
  8. Penyerapan:
    a ˄ (a ˅ b) ≡ a
    a ˅ (a ˄ b) ≡ a
  9. Penggantian implikasi
    a → b ≡ ¬a ˅ b
  10. Penggantian identitas
    a ≡ b ≡(a ˄ b) ˅ (¬a ˄ ¬b)

Representasi fungsi logis

Fungsi logis apa pun dari n variabel - F(x 1, x 2, ... x n) dapat ditentukan dengan tabel kebenaran. Tabel seperti itu berisi 2n himpunan variabel, yang masing-masingnya menentukan nilai fungsi pada himpunan ini. Metode ini bagus jika jumlah variabelnya relatif kecil. Sudah untuk n > 5 representasi menjadi kurang terlihat.

Cara lain adalah dengan mendefinisikan suatu fungsi dengan beberapa rumus menggunakan fungsi yang cukup sederhana. Suatu sistem fungsi (f 1, f 2, ... f k) disebut lengkap jika suatu fungsi logika dapat dinyatakan dengan rumus yang hanya memuat fungsi f i.

Sistem fungsi (¬, ˄, ˅) selesai. Hukum 9 dan 10 adalah contoh yang menunjukkan bagaimana implikasi dan identitas diungkapkan melalui negasi, konjungsi, dan disjungsi.

Faktanya, sistem dua fungsi – negasi dan konjungsi atau negasi dan disjungsi – juga lengkap. Hukum De Morgan mengikuti gagasan yang memungkinkan seseorang untuk menyatakan konjungsi melalui negasi dan disjungsi dan, oleh karena itu, menyatakan disjungsi melalui negasi dan konjungsi:

(a ˅ b) ≡ ¬(¬a ˄ ¬b)
(a ˄ b) ≡ ¬(¬a ˅ ¬b)

Paradoksnya, sistem yang hanya terdiri dari satu fungsi saja sudah lengkap. Ada dua fungsi biner - antikonjungsi dan antidisjungsi, yang disebut panah Peirce dan guratan Schaeffer, yang mewakili sistem berongga.

Fungsi dasar bahasa pemrograman biasanya meliputi identitas, negasi, konjungsi, dan disjungsi. DI DALAM Tugas Ujian Negara Bersatu Seiring dengan fungsi tersebut, sering ditemukan implikasi.

Mari kita lihat beberapa tugas-tugas sederhana berhubungan dengan fungsi logis.

Masalah 15:

Sebuah fragmen dari tabel kebenaran diberikan. Manakah dari tiga fungsi berikut yang sesuai dengan fragmen ini?

X 1 X 2 X 3 X 4 F
1 1 0 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
  1. (X 1 → X 2) ˄ ¬ X 3 ˅ X 4
  2. (¬ X 1 ˄ X 2) ˅ (¬ X 3 ˄ X 4)
  3. ¬ X 1 ˅ X 2 ˅ (X 3 ˄ X 4)

Fungsi nomor 3.

Untuk mengatasi masalah tersebut, Anda perlu mengetahui tabel kebenaran fungsi dasar dan mengingat prioritas operasi. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa konjungsi (perkalian logis) memiliki prioritas lebih tinggi dan dieksekusi lebih awal daripada disjungsi (penjumlahan logis). Selama penghitungan, mudah untuk melihat bahwa fungsi dengan angka 1 dan 2 pada himpunan ketiga memiliki nilai 1 dan oleh karena itu tidak sesuai dengan fragmen.

Masalah 16:

Manakah dari angka-angka berikut yang memenuhi kondisi:

(angka, mulai dari angka paling penting, berurutan menurun) → (angka - genap) ˄ (digit rendah - genap) ˄ (digit tinggi - ganjil)

Jika ada beberapa angka seperti itu, sebutkan yang terbesar.

  1. 13579
  2. 97531
  3. 24678
  4. 15386

Syaratnya dipenuhi oleh angka nomor 4.

Dua bilangan pertama tidak memenuhi syarat karena angka terendahnya ganjil. Suatu konjungsi kondisi dikatakan salah jika salah satu suku dari konjungsi tersebut salah. Untuk bilangan ketiga, syarat angka tertinggi tidak terpenuhi. Untuk bilangan keempat, syarat-syarat yang dikenakan pada angka rendah dan tinggi dari bilangan tersebut terpenuhi. Suku pertama konjungsi juga benar, karena implikasinya benar jika premisnya salah, seperti yang terjadi di sini.

Soal 17: Dua orang saksi memberikan keterangan sebagai berikut:

Saksi pertama: Kalau A bersalah, maka B lebih bersalah lagi, dan C tidak bersalah.

Saksi kedua: Dua orang bersalah. Dan salah satu yang tersisa pasti bersalah dan bersalah, tapi saya tidak bisa menyebutkan siapa sebenarnya.

Kesimpulan apa tentang kesalahan A, B dan C yang dapat diambil dari kesaksian tersebut?

Jawaban: Dari keterangan tersebut diketahui bahwa A dan B bersalah, dan C tidak bersalah.

Solusi: Tentu saja jawabannya bisa diberikan berdasarkan kewajaran. Namun mari kita lihat bagaimana hal ini dapat dilakukan secara ketat dan formal.

Hal pertama yang harus dilakukan adalah memformalkan pernyataan. Mari kita perkenalkan tiga variabel logis - A, B dan C, yang masing-masing memiliki nilai true (1) jika tersangka yang bersangkutan bersalah. Kemudian keterangan saksi pertama diberikan dengan rumus:

SEBUAH → (B ˄ ¬C)

Keterangan saksi kedua diberikan dengan rumus:

A ˄ ((B ˄ ¬C) ˅ (¬B ˄ C))

Kesaksian kedua saksi tersebut diasumsikan benar dan merupakan gabungan rumus-rumus yang bersesuaian.

Mari kita buat tabel kebenaran untuk pembacaan ini:

A B C F 1 F 2 F 1 ˄ F 2
0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0

Bukti ringkasan hanya benar dalam satu kasus, sehingga menghasilkan jawaban yang jelas - A dan B bersalah, dan C tidak bersalah.

Dari analisa tabel ini juga dapat disimpulkan bahwa keterangan saksi kedua lebih informatif. Hanya ada dua hal yang mengikuti kebenaran kesaksiannya: pilihan yang memungkinkan- A dan B bersalah, dan C tidak bersalah, atau A dan C bersalah, dan B tidak bersalah. Kesaksian saksi pertama kurang informatif - ada 5 pilihan berbeda yang sesuai dengan kesaksiannya. Secara bersama-sama, keterangan kedua saksi memberikan jawaban yang jelas tentang kesalahan para tersangka.

Persamaan logika dan sistem persamaan

Misalkan F(x 1, x 2, …x n) merupakan fungsi logika dari n variabel. Persamaan logisnya terlihat seperti:

F(x 1, x 2, …xn) = C,

Konstanta C bernilai 1 atau 0.

Persamaan logis dapat memiliki 0 hingga 2 n solusi berbeda. Jika C sama dengan 1, maka solusinya adalah semua himpunan variabel dari tabel kebenaran yang fungsi F bernilai benar (1). Himpunan sisanya adalah solusi persamaan dengan C sama dengan nol. Anda selalu dapat mempertimbangkan hanya persamaan bentuk:

F(x 1 , x 2 , …xn) = 1

Memang, biarkan persamaannya diberikan:

F(x 1, x 2, …x n) = 0

Dalam hal ini, kita dapat menuju ke persamaan ekuivalen:

¬F(x 1 , x 2 , …x n) = 1

Pertimbangkan sistem persamaan logika k:

F 1 (x 1, x 2, …xn) = 1

F 2 (x 1, x 2, …xn) = 1

F k (x 1 , x 2 , …x n) = 1

Solusi suatu sistem adalah sekumpulan variabel yang memenuhi semua persamaan sistem. Dalam kaitannya dengan fungsi logika, untuk mendapatkan solusi suatu sistem persamaan logika, kita harus mencari himpunan yang fungsi logikanya benar, yang mewakili konjungsi dari fungsi asli F:

= F 1 ˄ F 2 ˄ … Fk

Jika jumlah variabelnya kecil, misalnya kurang dari 5, maka tidak sulit untuk membuat tabel kebenaran untuk fungsi tersebut, yang memungkinkan kita mengetahui berapa banyak solusi yang dimiliki sistem dan himpunan apa yang memberikan solusi.

Dalam beberapa soal USE dalam mencari solusi sistem persamaan logika, jumlah variabel mencapai 10. Kemudian menyusun tabel kebenaran menjadi tugas yang hampir mustahil. Pemecahan masalah memerlukan pendekatan yang berbeda. Untuk sistem persamaan arbitrer, tidak ada metode umum selain enumerasi yang memungkinkan penyelesaian masalah tersebut.

Dalam soal-soal yang diajukan pada ujian, penyelesaiannya biasanya didasarkan pada memperhatikan kekhususan sistem persamaan. Saya ulangi, selain mencoba semua opsi untuk sekumpulan variabel, tidak ada cara umum untuk menyelesaikan masalah. Solusinya harus dibangun berdasarkan spesifikasi sistem. Seringkali berguna untuk melakukan penyederhanaan awal suatu sistem persamaan dengan menggunakan hukum logika yang diketahui. Teknik lain yang berguna untuk memecahkan masalah ini adalah sebagai berikut. Kami tidak tertarik pada semua himpunan, tetapi hanya himpunan yang fungsi Φ memiliki nilai 1. Daripada membangun meja penuh sebenarnya, kami akan membangun analoginya - pohon keputusan biner. Setiap cabang pohon ini berhubungan dengan satu solusi dan menentukan himpunan di mana fungsi Ф memiliki nilai 1. Jumlah cabang pada pohon keputusan bertepatan dengan jumlah solusi sistem persamaan.

Saya akan menjelaskan apa itu pohon keputusan biner dan bagaimana pohon itu dibangun dengan menggunakan contoh beberapa masalah.

Masalah 18

Berapa banyak himpunan nilai variabel logika x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 yang memenuhi sistem dua persamaan?

Jawaban: Sistem ini memiliki 36 solusi berbeda.

Penyelesaian: Sistem persamaan mencakup dua persamaan. Mari kita cari banyak solusi untuk persamaan pertama, bergantung pada 5 variabel - x 1, x 2, ...x 5. Persamaan pertama pada gilirannya dapat dianggap sebagai sistem 5 persamaan. Seperti yang telah ditunjukkan, sistem persamaan sebenarnya mewakili konjungsi fungsi logika. Kebalikannya juga benar: konjungsi kondisi dapat dianggap sebagai sistem persamaan.

Mari kita buat pohon keputusan untuk implikasinya (x1→ x2) - suku pertama konjungsi, yang dapat dianggap sebagai persamaan pertama. Seperti inilah tampilannya gambar grafis pohon ini:

Pohon itu terdiri dari dua tingkat sesuai dengan jumlahnya variabel persamaan. Tingkat pertama menggambarkan variabel pertama X 1 . Dua cabang pada tingkat ini mencerminkan nilai yang mungkin dari variabel ini - 1 dan 0. Pada tingkat kedua, cabang-cabang pohon hanya mencerminkan nilai yang mungkin dari variabel X 2 yang persamaannya benar. Karena persamaan tersebut menentukan implikasinya, maka cabang yang X 1 bernilai 1 mensyaratkan bahwa pada cabang tersebut X 2 bernilai 1. Cabang yang X 1 bernilai 0 menghasilkan dua cabang yang bernilai X 2 sama dengan 0 dan 1 Pohon yang dibangun mendefinisikan tiga solusi, yang implikasinya X 1 → X 2 mengambil nilai 1. Pada setiap cabang, sekumpulan nilai variabel yang sesuai dituliskan, memberikan solusi persamaan.

Himpunan tersebut adalah: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

Mari kita lanjutkan membangun pohon keputusan dengan menambahkan persamaan berikut, implikasi berikut X 2 → X 3 . Kekhasan sistem persamaan kita adalah setiap persamaan baru dari sistem tersebut menggunakan satu variabel dari persamaan sebelumnya, sehingga menambah satu variabel baru. Karena variabel X 2 sudah mempunyai nilai di pohon, maka pada semua cabang yang variabel X 2 bernilai 1, maka variabel X 3 juga akan bernilai 1. Untuk cabang seperti itu, konstruksi pohon berlanjut ke tingkat berikutnya, namun cabang baru tidak muncul. Cabang tunggal yang variabel X 2 bernilai 0 akan bercabang menjadi dua cabang yang variabel X 3 akan bernilai 0 dan 1. Jadi, setiap penambahan persamaan baru, mengingat kekhususannya, menambah satu solusi. Persamaan pertama yang asli:

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
memiliki 6 solusi. Berikut tampilan pohon keputusan lengkap untuk persamaan ini:

Persamaan kedua dari sistem kami mirip dengan yang pertama:

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

Perbedaannya hanya pada persamaan tersebut menggunakan variabel Y. Persamaan ini juga mempunyai 6 solusi. Karena setiap solusi untuk variabel X i dapat digabungkan dengan setiap solusi untuk variabel Y j , maka jumlah solusinya adalah 36.

Harap dicatat bahwa pohon keputusan yang dibangun tidak hanya memberikan jumlah solusi (sesuai dengan jumlah cabang), tetapi juga solusi itu sendiri yang tertulis pada setiap cabang pohon.

Soal 19

Berapa banyak himpunan nilai variabel logis x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 yang memenuhi semua kondisi di bawah ini?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
(x1→ kamu1) = 1

Tugas ini merupakan modifikasi dari tugas sebelumnya. Bedanya, ditambahkan persamaan lain yang menghubungkan variabel X dan Y.

Dari persamaan X 1 → Y 1 dapat disimpulkan bahwa jika X 1 bernilai 1 (ada satu solusi seperti itu), maka Y 1 juga bernilai 1. Jadi, ada satu himpunan yang X 1 dan Y 1 bernilai 1. Jika X 1 sama dengan 0, Y 1 dapat mempunyai nilai apa pun, baik 0 maupun 1. Oleh karena itu, setiap himpunan dengan X 1 sama dengan 0, dan ada 5 himpunan tersebut, sesuai dengan keenam himpunan dengan variabel Y. Jadi, jumlah penyelesaiannya adalah 31 .

Soal 20

(¬X 1 ˅ X 2) ˄ (¬X 2 ˅ X 3) ˄ (¬X 3 ˅ X 4) ˄ (¬X 4 ˅ X 5) ˄ (¬X 5 ˅ X 1) = 1

Solusi: Mengingat persamaan dasar, kita menulis persamaan kita sebagai:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 5) ˄ (X 5 → X 1) = 1

Implikasi rantai siklik berarti variabel-variabelnya identik, sehingga persamaan kita ekuivalen dengan persamaan:

X 1 ≡ X 2 ≡ X 3 ≡ X 4 ≡ X 5 = 1

Persamaan ini memiliki dua solusi jika semua X i bernilai 1 atau 0.

Soal 21

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 2) ˄ (X 4 → X 5) = 1

Solusi: Seperti pada soal 20, kita beralih dari implikasi siklik ke identitas, menulis ulang persamaannya dalam bentuk:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 ≡ X 3 ≡ X 4) ˄ (X 4 → X 5) = 1

Mari kita buat pohon keputusan untuk persamaan ini:

Soal 22

Berapa banyak solusi yang dimiliki sistem persamaan berikut?

((X 1 ≡X 2) (X 3 ≡X 4)) ˅(¬(X 1 ≡X 2) ˄ ¬(X 3 ≡X 4)) = 0

((X 3 ≡X 4) (X 5 ≡X 6)) ˅(¬(X 3 ≡X 4) ˄ ¬(X 5 ≡X 6)) = 0

((X 5 ≡X 6) (X 7 ≡X 8)) ˅(¬(X 5 ≡X 6) ˄ ¬(X 7 ≡X 8)) = 0

((X 7 ≡X 8) ˄ (X 9 ≡X 10)) ˅(¬(X 7 ≡X 8) ˄ ¬(X 9 ≡X 10)) = 0

Jawaban: 64

Solusi: Mari kita beralih dari 10 variabel menjadi 5 variabel dengan memasukkan perubahan variabel berikut:

Y 1 = (X 1 ≡ X 2); Y 2 = (X 3 ≡ X 4); Y 3 = (X 5 ≡ X 6); Y 4 = (X 7 ≡ X 8); Y 5 = (X 9 ≡ X 10);

Maka persamaan pertama akan berbentuk:

(Y 1 ˄ Y 2) ˅ (¬Y 1 ˄ ¬Y 2) = 0

Persamaannya dapat disederhanakan dengan menuliskannya sebagai:

(Y 1 ≡ Y 2) = 0

Pindah ke bentuk tradisional, sistemnya kita tulis setelah disederhanakan dalam bentuk:

¬(Y 1 ≡ Y 2) = 1

¬(Y 2 ≡ Y 3) = 1

¬(Y 3 ≡ Y 4) = 1

¬(Y 4 ≡ Y 5) = 1

Pohon keputusan untuk sistem ini sederhana dan terdiri dari dua cabang dengan nilai variabel bergantian:


Kembali ke variabel X semula, perhatikan bahwa untuk setiap nilai pada variabel Y terdapat 2 nilai pada variabel X, sehingga setiap solusi pada variabel Y menghasilkan 2 5 solusi pada variabel X. Kedua cabang tersebut menghasilkan 2 * 2 5 penyelesaian, jadi jumlah penyelesaiannya adalah 64.

Seperti yang Anda lihat, setiap masalah dalam menyelesaikan sistem persamaan memerlukan pendekatannya sendiri. Teknik yang umum adalah melakukan transformasi ekuivalen untuk menyederhanakan persamaan. Teknik yang umum adalah dengan membangun pohon keputusan. Pendekatan yang digunakan sebagian mengingatkan pada pembuatan tabel kebenaran dengan kekhasan bahwa tidak semua himpunan nilai yang mungkin dari variabel dikonstruksi, tetapi hanya himpunan yang fungsinya mengambil nilai 1 (benar). Seringkali dalam permasalahan yang diajukan tidak perlu membangun pohon keputusan yang lengkap, karena sudah ada tahap awal dimungkinkan untuk menetapkan pola munculnya cabang baru di setiap tingkat berikutnya, seperti yang dilakukan, misalnya, pada soal 18.

Secara umum, permasalahan yang melibatkan pencarian solusi terhadap sistem persamaan logika merupakan latihan matematika yang baik.

Jika permasalahan sulit diselesaikan secara manual, maka Anda dapat mempercayakan penyelesaiannya kepada komputer dengan menulis program yang sesuai untuk menyelesaikan persamaan dan sistem persamaan.

Tidak sulit untuk menulis program seperti itu. Program seperti itu akan dengan mudah mengatasi semua tugas yang ditawarkan dalam Ujian Negara Bersatu.

Anehnya, tugas mencari solusi sistem persamaan logika sulit dilakukan oleh komputer, dan ternyata komputer ada batasnya. Komputer dapat dengan mudah mengatasi masalah yang jumlah variabelnya 20-30, tetapi komputer akan mulai berpikir lama untuk masalah yang berukuran lebih besar. Faktanya adalah bahwa fungsi 2 n, yang menentukan jumlah himpunan, adalah eksponensial yang tumbuh dengan cepat seiring bertambahnya n. Begitu cepatnya sehingga komputer pribadi biasa tidak dapat menangani tugas yang memiliki 40 variabel dalam sehari.

Program dalam bahasa C# untuk menyelesaikan persamaan logika

Menulis program untuk menyelesaikan persamaan logika berguna karena berbagai alasan, jika hanya karena Anda dapat menggunakannya untuk memeriksa kebenaran solusi Anda sendiri terhadap soal ujian Ujian Negara Bersatu. Alasan lainnya adalah bahwa program semacam itu merupakan contoh yang sangat baik dari tugas pemrograman yang memenuhi persyaratan untuk tugas kategori C dalam Ujian Negara Bersatu.

Ide membangun sebuah program sederhana - ini didasarkan pada pencarian lengkap semua kemungkinan kumpulan nilai variabel. Karena untuk suatu persamaan logika atau sistem persamaan tertentu diketahui banyaknya variabel n, maka banyaknya himpunan juga diketahui - 2 n yang perlu diurutkan. Dengan menggunakan fungsi dasar bahasa C# - negasi, disjungsi, konjungsi, dan identitas, tidak sulit untuk menulis sebuah program yang, untuk sekumpulan variabel tertentu, menghitung nilai fungsi logika yang sesuai dengan persamaan logika atau sistem persamaan. .

Dalam program seperti itu, Anda perlu membuat perulangan berdasarkan jumlah himpunan, di badan perulangan, menggunakan jumlah himpunan, membentuk himpunan itu sendiri, menghitung nilai fungsi pada himpunan ini, dan jika ini bernilai 1, maka himpunan tersebut memberikan solusi terhadap persamaan tersebut.

Satu-satunya kesulitan yang muncul ketika mengimplementasikan program ini terkait dengan tugas menghasilkan himpunan nilai variabel itu sendiri berdasarkan nomor yang ditetapkan. Keindahan dari masalah ini adalah bahwa tugas yang tampaknya sulit ini sebenarnya bermuara pada masalah sederhana yang telah muncul berkali-kali. Memang cukup dipahami bahwa himpunan nilai variabel yang bersesuaian dengan bilangan i, terdiri dari nol dan satu, mewakili representasi biner dari bilangan i. Jadi tugas yang sulit memperoleh sekumpulan nilai variabel dengan menetapkan bilangan bermuara pada masalah terkenal yaitu mengubah bilangan ke sistem biner.

Seperti inilah fungsi di C# yang memecahkan masalah kita:

///

/// program untuk menghitung jumlah solusi

/// persamaan logis (sistem persamaan)

///

///

/// fungsi logis - metode,

/// yang tanda tangannya ditentukan oleh delegasi DF

///

/// jumlah variabel

/// sejumlah solusi

static int SolveEquations(DF menyenangkan, int n)

bool set = bool baru[n];

int m = (int)Matematika.Pow(2, n); //jumlah set

int p = 0, q = 0, k = 0;

//Selesaikan pencarian berdasarkan jumlah set

untuk (int saya = 0; saya< m; i++)

//Pembentukan set berikutnya- mengatur

//ditentukan oleh representasi biner dari bilangan i

untuk (int j = 0; j< n; j++)

k = (int)Matematika.Pow(2, j);

//Hitung nilai fungsi pada himpunan

Untuk memahami program ini, saya harap penjelasan ide program dan komentar dalam teksnya cukup. Saya hanya akan fokus menjelaskan judul fungsi yang diberikan. Fungsi SolveEquations memiliki dua parameter masukan. Parameter fun menentukan fungsi logika yang sesuai dengan persamaan atau sistem persamaan yang sedang diselesaikan. Parameter n menentukan nomornya variabel fungsi seru. Hasilnya, fungsi SolveEquations mengembalikan jumlah solusi dari fungsi logis, yaitu jumlah himpunan yang fungsi tersebut bernilai benar.

Hal yang biasa terjadi pada anak sekolah ketika beberapa fungsi F(x) memiliki parameter input x yang merupakan variabel bertipe aritmatika, string, atau logika. Dalam kasus kami, desain yang lebih kuat digunakan. Fungsi SolveEquations termasuk dalam fungsi tersebut tatanan yang lebih tinggi– fungsi bertipe F(f), yang parameternya tidak hanya berupa variabel sederhana, tetapi juga fungsi.

Kelas fungsi yang dapat diteruskan sebagai parameter ke fungsi SolveEquations ditentukan sebagai berikut:

delegasi bool DF(bool vars);

Kelas ini memiliki semua fungsi yang diteruskan sebagai parameter sekumpulan nilai variabel logis yang ditentukan oleh array vars. Hasilnya adalah nilai Boolean yang mewakili nilai fungsi pada himpunan ini.

Terakhir, berikut adalah program yang menggunakan fungsi SolveEquations untuk menyelesaikan beberapa sistem persamaan logika. Fungsi SolveEquations adalah bagian dari kelas ProgramCommon di bawah ini:

kelas ProgramUmum

delegasi bool DF(bool vars);

kekosongan statis Utama (argumen string)

Console.WriteLine("Dan Fungsi - " +

SolveEquations(FunAnd, 2));

Console.WriteLine("Fungsi ini memiliki 51 solusi - " +

SolveEquations(Fun51, 5));

Console.WriteLine("Fungsi ini memiliki 53 solusi - " +

SolveEquations(Fun53, 10));

bool statis FunAnd(bool vars)

kembalikan vars && vars;

bool statis Fun51 (bool vars)

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

bool statis Fun53 ​​(bool vars)

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && (!((vars == vars) || (vars == vars)));

Berikut hasil solusi dari program ini:

10 tugas untuk pekerjaan mandiri

  1. Manakah dari ketiga fungsi tersebut yang ekuivalen:
    1. (X → Y) ˅ ¬Y
    2. ¬(X ˅ ¬Y) ˄ (X → ¬Y)
    3. ¬X˄Y
  2. Diberikan adalah bagian dari tabel kebenaran:
X 1 X 2 X 3 X 4 F
1 0 0 1 1
0 1 1 1 1
1 0 1 0 0

Manakah dari tiga fungsi yang sesuai dengan fragmen ini:

  1. (X 1 ˅ ¬X 2) ˄ (X 3 → X 4)
  2. (X 1 → X 3) ˄ X 2 ˅ X 4
  3. X 1 ˄ X 2 ˅ (X 3 → (X 1 ˅ X 4))
  4. Juri terdiri dari tiga orang. Keputusan diambil jika ketua juri memberikan suaranya, didukung oleh setidaknya salah satu anggota juri. Jika tidak, tidak ada keputusan yang dibuat. Bangun fungsi logis yang memformalkan proses pengambilan keputusan.
  5. X menang atas Y jika empat pelemparan koin menghasilkan gambar tiga kali. Tentukan fungsi logis yang menggambarkan hasil X.
  6. Kata-kata dalam sebuah kalimat diberi nomor mulai dari satu. Sebuah kalimat dianggap dibangun dengan benar jika aturan berikut dipenuhi:
    1. Jika suatu kata genap diakhiri dengan vokal, maka kata berikutnya, jika ada, harus diawali dengan vokal.
    2. Jika suatu kata ganjil diakhiri dengan konsonan, maka kata berikutnya, jika ada, harus diawali dengan konsonan dan diakhiri dengan vokal.
      Manakah dari kalimat berikut yang dibangun dengan benar:
    3. Ibu mencuci Masha dengan sabun.
    4. Seorang pemimpin selalu menjadi teladan.
    5. Kebenaran itu baik, tapi kebahagiaan lebih baik.
  7. Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tersebut:
    (a ˄ ¬ b) ˅ (¬a ˄ b) → (c ˄ d) = 1
  8. Daftar semua solusi persamaan:
    (a → b) → c = 0
  9. Berapa banyak solusi yang dimiliki sistem persamaan berikut:
    X 0 → X 1 ˄ X 1 → X 2 = 1
    X 2 → X 3 ˄ X 3 → X 4 = 1
    X 5 → X 6 ˄ X 6 → X 7 = 1
    X 7 → X 8 ˄ X 8 → X 9 = 1
    X 0 → X 5 = 1
  10. Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tersebut:
    ((((X 0 → X 1) → X 2) → X 3) →X 4) →X 5 = 1

Jawaban atas masalah:

  1. Fungsi b dan c ekuivalen.
  2. Fragmen tersebut sesuai dengan fungsi b.
  3. Biarkan variabel logis P mengambil nilai 1 ketika ketua juri memberikan suara “untuk” keputusan tersebut. Variabel M 1 dan M 2 mewakili pendapat para juri. Fungsi logika yang menentukan pengambilan keputusan positif dapat ditulis sebagai berikut:
    P ˄ (M 1 ˅ M 2)
  4. Biarkan variabel logis P i mengambil nilai 1 ketika pelemparan koin ke-i mendarat di kepala. Fungsi logika yang menentukan payoff X dapat ditulis sebagai berikut:
    ¬((¬P 1 ˄ (¬P 2 ˅ ¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
    (¬P 2 ˄ (¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
    (¬P 3 ˄ ¬P 4))
  5. Kalimatb.
  6. Persamaan tersebut memiliki 3 solusi: (a = 1; b = 1; c = 0); (a = 0; b = 0; c = 0); (a = 0; b = 1; c = 0)

Misalkan fungsi logis dari n variabel. Persamaan logisnya terlihat seperti:

Konstanta C bernilai 1 atau 0.

Persamaan logis dapat memiliki solusi dari 0 hingga berbeda. Jika C sama dengan 1, maka solusinya adalah semua himpunan variabel dari tabel kebenaran yang fungsi F bernilai benar (1). Himpunan sisanya adalah solusi persamaan dengan C sama dengan nol. Anda selalu dapat mempertimbangkan hanya persamaan bentuk:

Memang, biarkan persamaannya diberikan:

Dalam hal ini, kita dapat menuju ke persamaan ekuivalen:

Pertimbangkan sistem persamaan logika k:

Solusi suatu sistem adalah sekumpulan variabel yang memenuhi semua persamaan sistem. Dalam kaitannya dengan fungsi logika, untuk mendapatkan solusi suatu sistem persamaan logika, kita harus mencari himpunan yang fungsi logikanya benar, yang mewakili konjungsi fungsi aslinya:

Jika jumlah variabelnya kecil, misalnya kurang dari 5, maka tidak sulit untuk membuat tabel kebenaran untuk fungsi tersebut, yang memungkinkan kita mengetahui berapa banyak solusi yang dimiliki sistem dan himpunan apa yang memberikan solusi.

Dalam beberapa soal USE dalam mencari solusi sistem persamaan logika, jumlah variabel mencapai 10. Kemudian menyusun tabel kebenaran menjadi tugas yang hampir mustahil. Pemecahan masalah memerlukan pendekatan yang berbeda. Untuk sistem persamaan arbitrer, tidak ada metode umum selain enumerasi yang memungkinkan penyelesaian masalah tersebut.

Dalam soal-soal yang diajukan pada ujian, penyelesaiannya biasanya didasarkan pada memperhatikan kekhususan sistem persamaan. Saya ulangi, selain mencoba semua opsi untuk sekumpulan variabel, tidak ada cara umum untuk menyelesaikan masalah. Solusinya harus dibangun berdasarkan spesifikasi sistem. Seringkali berguna untuk melakukan penyederhanaan awal suatu sistem persamaan dengan menggunakan hukum logika yang diketahui. Teknik lain yang berguna untuk memecahkan masalah ini adalah sebagai berikut. Kami tidak tertarik pada semua himpunan, tetapi hanya himpunan yang fungsinya memiliki nilai 1. Daripada membuat tabel kebenaran lengkap, kami akan membuat analoginya - pohon keputusan biner. Setiap cabang pohon ini berhubungan dengan satu solusi dan menentukan himpunan yang fungsinya bernilai 1. Jumlah cabang pada pohon keputusan bertepatan dengan jumlah solusi sistem persamaan.

Saya akan menjelaskan apa itu pohon keputusan biner dan bagaimana pohon itu dibangun dengan menggunakan contoh beberapa masalah.

Masalah 18

Berapa banyak himpunan nilai variabel logika x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 yang memenuhi sistem dua persamaan?

Jawaban: Sistem ini memiliki 36 solusi berbeda.

Penyelesaian: Sistem persamaan mencakup dua persamaan. Mari kita cari banyak solusi untuk persamaan pertama, bergantung pada 5 variabel - . Persamaan pertama pada gilirannya dapat dianggap sebagai sistem 5 persamaan. Seperti yang telah ditunjukkan, sistem persamaan sebenarnya mewakili konjungsi fungsi logika. Pernyataan sebaliknya juga benar - konjungsi kondisi dapat dianggap sebagai sistem persamaan.

Mari kita buat pohon keputusan untuk implikasi () - suku pertama dari konjungsi, yang dapat dianggap sebagai persamaan pertama. Seperti inilah representasi grafis dari pohon ini


Pohon tersebut terdiri dari dua tingkatan sesuai dengan jumlah variabel dalam persamaan. Tingkat pertama menggambarkan variabel pertama. Dua cabang pada tingkat ini mencerminkan nilai yang mungkin dari variabel ini - 1 dan 0. Pada tingkat kedua, cabang-cabang pohon hanya mencerminkan nilai-nilai yang mungkin dari variabel yang persamaannya dinilai benar. Karena persamaan tersebut menentukan implikasi, maka cabang yang bernilai 1 mengharuskan pada cabang tersebut terdapat nilai 1. Cabang yang bernilai 0 menghasilkan dua cabang dengan nilai sama dengan 0 dan 1. Konstruksinya pohon menentukan tiga solusi, yang implikasinya bernilai 1. Pada setiap cabang, sekumpulan nilai variabel yang sesuai dituliskan, memberikan solusi pada persamaan tersebut.

Himpunan tersebut adalah: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

Mari lanjutkan membangun pohon keputusan dengan menambahkan persamaan berikut, implikasi berikut. Kekhasan sistem persamaan kita adalah setiap persamaan baru dari sistem tersebut menggunakan satu variabel dari persamaan sebelumnya, sehingga menambah satu variabel baru. Karena variabel sudah mempunyai nilai pada pohonnya, maka pada semua cabang yang variabelnya bernilai 1, maka variabel tersebut juga akan mempunyai nilai 1. Untuk cabang yang demikian, pembangunan pohonnya dilanjutkan ke tingkat berikutnya, tapi cabang baru tidak muncul. Satu cabang yang suatu variabel bernilai 0 akan bercabang menjadi dua cabang yang variabelnya akan bernilai 0 dan 1. Jadi, setiap penambahan persamaan baru, mengingat kekhususannya, akan menambah satu solusi. Persamaan pertama yang asli:

memiliki 6 solusi. Berikut tampilan pohon keputusan lengkap untuk persamaan ini:


Persamaan kedua dari sistem kami mirip dengan yang pertama:

Perbedaannya hanya pada persamaan tersebut menggunakan variabel Y. Persamaan ini juga mempunyai 6 solusi. Karena setiap solusi variabel dapat digabungkan dengan setiap solusi variabel, maka jumlah solusinya adalah 36.

Harap dicatat bahwa pohon keputusan yang dibangun tidak hanya memberikan jumlah solusi (sesuai dengan jumlah cabang), tetapi juga solusi itu sendiri yang tertulis pada setiap cabang pohon.

Soal 19

Berapa banyak himpunan nilai variabel logis x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 yang memenuhi semua kondisi di bawah ini?

Tugas ini merupakan modifikasi dari tugas sebelumnya. Bedanya, ditambahkan persamaan lain yang menghubungkan variabel X dan Y.

Dari persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa jika bernilai 1 (ada salah satu solusi tersebut), maka bernilai 1. Jadi, ada satu himpunan yang bernilai 1. Jika sama dengan 0 maka dapat mempunyai nilai apa pun, baik 0 maupun 1. Oleh karena itu, setiap himpunan dengan , sama dengan 0, dan terdapat 5 himpunan tersebut, bersesuaian dengan keenam himpunan dengan variabel Y. Oleh karena itu, jumlah penyelesaiannya adalah 31.

Soal 20

Solusi: Mengingat persamaan dasar, kita menulis persamaan kita sebagai:

Implikasi rantai siklik berarti variabel-variabelnya identik, sehingga persamaan kita ekuivalen dengan persamaan:

Persamaan ini memiliki dua solusi jika semuanya bernilai 1 atau 0.

Soal 21

Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tersebut:

Solusi: Seperti pada soal 20, kita beralih dari implikasi siklik ke identitas, menulis ulang persamaannya dalam bentuk:

Mari kita buat pohon keputusan untuk persamaan ini:


Soal 22

Berapa banyak solusi yang dimiliki sistem persamaan berikut?

Topik pelajaran: Memecahkan Persamaan Logika

Pendidikan – mempelajari metode penyelesaian persamaan logika, mengembangkan keterampilan memecahkan persamaan logika dan menyusun ekspresi logika menggunakan tabel kebenaran;

Perkembangan - menciptakan kondisi untuk pengembangan minat kognitif siswa, mendorong perkembangan memori, perhatian, berpikir logis;

Pendidikan : meningkatkan kemampuan mendengarkan pendapat orang lain, memupuk kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran gabungan

Peralatan: komputer, proyektor multimedia, presentasi 6.

Selama kelas

    Pengulangan dan pemutakhiran pengetahuan dasar. Penyelidikan pekerjaan rumah(10 menit)

Dalam pelajaran sebelumnya, kita telah mengenal hukum dasar aljabar logika dan belajar menggunakan hukum ini untuk menyederhanakan ekspresi logika.

Mari kita periksa pekerjaan rumah kita dalam menyederhanakan ekspresi logika:

1. Manakah dari kata-kata berikut yang memenuhi kondisi logis:

(konsonan huruf pertama→konsonan huruf kedua)٨ (huruf vokal terakhir → huruf vokal kedua dari belakang)? Jika ada beberapa kata seperti itu, tunjukkan yang terkecil.

1) ANNA 2) MARIA 3) OLEG 4) STEPAN

Mari kita perkenalkan notasi berikut:

A – konsonan huruf pertama

B – konsonan huruf kedua

S – huruf vokal terakhir

D – huruf vokal kedua dari belakang

Mari kita buat ekspresi:

Mari kita buat tabelnya:

2. Tunjukkan ekspresi logis mana yang setara dengan ekspresi tersebut


Mari sederhanakan pencatatan ekspresi asli dan opsi yang diusulkan:

3. Diberikan potongan tabel kebenaran ekspresi F:

Ekspresi mana yang cocok dengan F?


Mari kita tentukan nilai ekspresi ini untuk nilai argumen yang ditentukan:

    Pengenalan topik pelajaran, penyajian materi baru (30 menit)

Kita terus mempelajari dasar-dasar logika dan topik pelajaran kita hari ini adalah “Menyelesaikan Persamaan Logika”. Setelah belajar topik ini, Anda akan mempelajari metode dasar penyelesaian persamaan logika, memperoleh keterampilan menyelesaikan persamaan tersebut dengan menggunakan bahasa aljabar logika, dan kemampuan menyusun ekspresi logika menggunakan tabel kebenaran.

1. Selesaikan persamaan logika

(¬K M) → (¬L M T) =0

Tulis jawaban Anda sebagai rangkaian empat karakter: nilai variabel K, L, M dan N (dalam urutan itu). Jadi, misalnya, baris 1101 berhubungan dengan fakta bahwa K=1, L=1, M=0, N=1.

Larutan:

Mari kita ubah ekspresinya(¬K M) → (¬L M N)

Suatu ekspresi salah jika kedua sukunya salah. Suku kedua sama dengan 0 jika M =0, N =0, L =1. Pada suku pertama K = 0, karena M = 0, dan
.

Jawaban: 0100

2. Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tersebut (sebutkan nomornya saja dalam jawaban Anda)?

Solusi: ubah ekspresi

(A +B )*(C +D )=1

A+B =1 dan C+D =1

Metode 2: menyusun tabel kebenaran

3 cara: konstruksi SDNF - bentuk normal disjungtif sempurna untuk suatu fungsi - disjungsi konjungsi dasar beraturan lengkap.

Mari kita ubah ekspresi aslinya, buka tanda kurung untuk mendapatkan disjungsi konjungsi:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

Mari kita lengkapi konjungsi menjadi konjungsi lengkap (hasil perkalian semua argumen), buka tanda kurung:

Mari kita pertimbangkan konjungsi yang sama:

Hasilnya, kami memperoleh SDNF yang berisi 9 konjungsi. Oleh karena itu, tabel kebenaran untuk fungsi ini memiliki nilai 1 dalam 9 baris yang terdiri dari 2 4 =16 kumpulan nilai variabel.

3. Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tersebut (sebutkan nomornya saja dalam jawaban Anda)?

Mari kita sederhanakan ungkapannya:

,

3 cara: pembangunan SDNF

Mari kita pertimbangkan konjungsi yang sama:

Hasilnya, kami memperoleh SDNF yang berisi 5 konjungsi. Oleh karena itu, tabel kebenaran fungsi ini memiliki nilai 1 pada 5 baris 2 4 =16 kumpulan nilai variabel.

Membangun ekspresi logis menggunakan tabel kebenaran:

untuk setiap baris tabel kebenaran yang berisi 1, kita membuat produk argumen, dan variabel sama dengan 0 dimasukkan dalam produk dengan negasi, dan variabel sama dengan 1 dimasukkan tanpa negasi. Ekspresi F yang diinginkan akan terdiri dari jumlah produk yang dihasilkan. Kemudian, jika memungkinkan, ungkapan ini harus disederhanakan.

Contoh: tabel kebenaran suatu ekspresi diberikan. Buatlah ekspresi logis.

Larutan:

3. Pekerjaan Rumah (5 menit)

    Selesaikan persamaan:

    Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tersebut (sebutkan nomornya saja dalam jawaban Anda)?

    Dengan menggunakan tabel kebenaran yang diberikan, buatlah ekspresi logis dan

menyederhanakannya.

Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Manusia menggunakan persamaan pada zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Dalam matematika, ada permasalahan tertentu yang berhubungan dengan logika proposisional. Untuk menyelesaikan persamaan semacam ini, Anda perlu memiliki sejumlah pengetahuan: pengetahuan tentang hukum logika proposisional, pengetahuan tentang tabel kebenaran fungsi logika 1 atau 2 variabel, metode untuk mengubah ekspresi logika. Selain itu, Anda perlu mengetahui sifat-sifat berikut ini operasi logis: konjungsi, disjungsi, inversi, implikasi dan kesetaraan.

Fungsi logika apa pun dari \variables - \dapat ditentukan dengan tabel kebenaran.

Mari kita selesaikan beberapa persamaan logika:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Mari kita mulai penyelesaiannya dengan \[X1\] dan tentukan nilai apa yang dapat diambil variabel ini: 0 dan 1. Selanjutnya, kita akan mempertimbangkan masing-masing nilai di atas dan melihat apa yang bisa menjadi \[X2.\].

Seperti dapat dilihat dari tabel, persamaan logika kita memiliki 11 solusi.

Di mana saya bisa menyelesaikan persamaan logika secara online?

Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https://site. Pemecah online gratis ini memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan online dengan kompleksitas apa pun dalam hitungan detik. Yang perlu Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam pemecah. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda masih memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu dengan senang hati membantu Anda.