Peringkat matriks
Definisi 1
Suatu sistem baris/kolom suatu matriks dikatakan bebas linier apabila tidak satupun dari baris-baris tersebut (tidak satu pun dari kolom-kolom tersebut) yang dinyatakan secara linier dalam baris/kolom yang lain.
Pangkat suatu sistem baris/kolom suatu matriks $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ adalah jumlah baris/kolom bebas linier terbesar.
Pangkat sistem kolom selalu sama dengan pangkat sistem baris. Rangking inilah yang disebut dengan rangking matriks yang bersangkutan.
Pangkat suatu matriks adalah orde minor maksimum suatu matriks tertentu yang determinannya bukan nol.
Notasi berikut digunakan untuk menunjukkan peringkat suatu matriks: $rangA$, $rgA$, $rankA$.
Pangkat suatu matriks mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
- Untuk matriks nol, pangkat matriksnya adalah nol, selebihnya pangkatnya adalah suatu bilangan positif.
- Pangkat suatu matriks persegi panjang berorde $m\kali n$ tidak lebih besar dari jumlah baris atau kolom matriks tersebut, yaitu. $0\le peringkat\le \min (m,n)$.
- Untuk matriks persegi tak tunggal yang mempunyai orde tertentu, pangkat matriks tersebut sama dengan orde matriks tersebut.
- Penentu matriks persegi berorde tertentu, yang mempunyai pangkat lebih kecil dari orde matriks, sama dengan nol.
Ada dua cara untuk mencari rank suatu matriks:
- perbatasan menggunakan determiner dan minor (metode tepi);
- melalui transformasi dasar.
Algoritma metode tepi meliputi yang berikut:
- Dalam kasus ketika semua minor orde pertama sama dengan nol, pangkat matriks yang dipertimbangkan sama dengan nol.
- Dalam hal paling sedikit salah satu minor orde pertama tidak sama dengan nol, dan semua minor orde kedua sama dengan nol, pangkat matriksnya sama dengan 1.
- Dalam hal sekurang-kurangnya salah satu minor orde kedua tidak sama dengan nol, minor orde ketiga diperiksa. Hasilnya, minor berorde $k$ ditemukan dan diperiksa apakah minor berorde $k+1$ sama dengan nol. Jika semua minor berorde $k+1$ sama dengan nol, maka rank matriks tersebut sama dengan $k$.
Cara menentukan pangkat suatu matriks: contoh
Contoh 1
Larutan:
Perhatikan bahwa pangkat matriks asli tidak boleh lebih dari 3.
Di antara minor orde pertama terdapat minor yang tidak sama dengan nol, misalnya $M_(1) =\left|-2\right|=-2$. Mari kita pertimbangkan anak di bawah umur urutan kedua.
$M_(2) =\left|\begin(array)(cc) (-2) & (1) \\ (1) & (0) \end(array)\right|=-2\cdot 0-1 \cdot 1=0-1=-1\ne 0$
$M_(3) =\kiri|\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2 ) & (3) \end(array)\kanan|=-2\cdot 0\cdot 3+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 4-1\cdot 0\cdot 4-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 3\cdot (-2)=3+8-0-3+12=20\ne 0$
Jadi, rank matriks yang dimaksud adalah 3.
Contoh 2
Tentukan pangkat matriks $A=\left(\begin(array)(ccccc) (1) & (2) & (3) & (0) & (1) \\ (0) & (1) & ( 2) & (3) & (4) \\ (2) & (3) & (1) & (4) & (5) \\ (0) & (0) & (0) & (0) & ( 0) \end(array)\kanan)$.
Larutan:
Perhatikan bahwa pangkat matriks asli tidak boleh lebih dari 4 (4 baris, 5 kolom).
Di antara anak di bawah umur orde pertama ada yang bukan nol, misalnya $M_(1) =\left|1\right|=1$. Mari kita pertimbangkan anak di bawah umur urutan kedua.
$M_(2) =\left|\begin(array)(cc) (1) & (2) \\ (0) & (1) \end(array)\right|=1\cdot 1-0\cdot 2=1-0=1\ne 0$
Mari kita lakukan pembatas pada minor orde kedua dan dapatkan minor orde ketiga.
$M_(3) =\kiri|\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (1) & (2) \\ (2) & (3) & (1) \end(array)\right|=1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2+0\cdot 3\cdot 3-2\cdot 1\cdot 3-0\cdot 1\ cdot 2-2\cdot 3\cdot 1=1+8+0-6-0-6=-3\ne 0$
Mari kita lakukan tepi minor orde ketiga dan dapatkan minor orde keempat.
$M_(4) =\kiri|\begin(array)(cccc) (1) & (2) & (3) & (0) \\ (0) & (1) & (2) & (3) \ \ (2) & (3) & (1) & (4) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \end(array)\right|=0$ (berisi string nol)
$M_(5) =\kiri|\begin(array)(cccc) (1) & (2) & (3) & (1) \\ (0) & (1) & (2) & (4) \ \ (2) & (3) & (1) & (5) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \end(array)\right|=0$ (berisi string nol)
Semua minor orde keempat matriks tersebut sama dengan nol, sehingga rank matriks yang dimaksud adalah 3.
Mencari pangkat suatu matriks melalui transformasi dasar direduksi menjadi mereduksi matriks menjadi bentuk diagonal (bertingkat). Pangkat matriks yang diperoleh dari transformasi sama dengan jumlah elemen diagonal yang bukan nol.
Contoh 3
Tentukan pangkat matriks $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2 ) & (3) \end(array)\kanan)$.
Larutan:
Mari kita tukar baris pertama dan kedua matriks A:
$A=\kiri(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2) & ( 3) \end(array)\kanan)\sim \kiri(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (2) & (3) \end(array)\kanan)$
Kalikan baris pertama matriks B dengan angka 2 dan tambahkan ke baris kedua:
$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (2) & (3) \end(array)\kanan)\sim \kiri(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (1) & (2) & (3) \end(array)\kanan)$
Kalikan baris pertama matriks C dengan angka -1 dan tambahkan ke baris ketiga:
$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (1) & (2) & (3) \ akhir(array)\kanan)\sim \kiri(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (2) & (0) \end(array)\kanan)$
Kalikan baris kedua matriks D dengan angka -2 dan tambahkan ke baris ketiga:
$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (2) & (0) \ akhir(array)\kanan)\sim \kiri(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (-20) \end(array)\kanan)$
$\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (-20) \end(array)\right)$ - matriks eselon
Banyaknya elemen diagonal bukan nol adalah 3, maka $rang=3$.
Matriks apa pun A memesan m×n dapat dianggap sebagai koleksi M vektor string atau N vektor kolom.
Pangkat matriks A memesan m×n adalah jumlah maksimum vektor kolom atau vektor baris yang bebas linier.
Jika pangkat matriks A sama R, maka tertulis:
Mencari rank suatu matriks
Membiarkan A matriks urutan sewenang-wenang M× N. Untuk mencari rank suatu matriks A Kami menerapkan metode eliminasi Gaussian padanya.
Perhatikan bahwa jika pada tahap eliminasi tertentu elemen utamanya sama dengan nol, maka kita menukar garis ini dengan garis yang elemen utamanya berbeda dari nol. Jika ternyata tidak ada garis seperti itu, lanjutkan ke kolom berikutnya, dst.
Setelah proses eliminasi Gaussian maju, diperoleh matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya sama dengan nol. Selain itu, mungkin terdapat vektor baris nol.
Banyaknya vektor baris bukan nol akan menjadi pangkat matriks A.
Mari kita lihat semua ini dengan contoh sederhana.
Contoh 1.
Mengalikan baris pertama dengan 4 dan menambahkan baris kedua dan mengalikan baris pertama dengan 2 dan menambahkan baris ketiga kita mendapatkan:
Kalikan baris kedua dengan -1 dan tambahkan ke baris ketiga:
Kami menerima dua baris bukan nol dan, oleh karena itu, peringkat matriksnya adalah 2.
Contoh 2.
Carilah rank matriks berikut:
Kalikan baris pertama dengan -2 dan tambahkan ke baris kedua. Demikian pula, kami mengatur ulang elemen baris ketiga dan keempat dari kolom pertama:
Mari kita atur ulang elemen baris ketiga dan keempat kolom kedua dengan menambahkan baris yang sesuai ke baris kedua dikalikan angka -1.
Yang kami maksud dengan transformasi dasar baris (kolom) suatu matriks adalah tindakan berikut:
- Mengubah posisi dua baris (kolom).
- Mengalikan semua elemen suatu baris (kolom) dengan bilangan tertentu $a\neq 0$.
- Jumlah semua elemen suatu baris (kolom) dengan elemen-elemen yang bersesuaian pada baris (kolom) lainnya, dikalikan dengan bilangan real tertentu.
Jika kita menerapkan beberapa transformasi dasar pada baris atau kolom matriks $A$, kita memperoleh matriks baru $B$. Dalam hal ini $\rang(A)=\rang(B)$, mis. transformasi dasar tidak mengubah pangkat matriks.
Jika $\rang A=\rang B$, maka matriks $A$ dan $B$ dipanggil setara. Fakta bahwa matriks $A$ ekuivalen dengan matriks $B$ ditulis sebagai berikut: $A\sim B$.
Notasi berikut juga sering digunakan: $A\rightarrow B$, yang berarti matriks $B$ diperoleh dari matriks $A$ dengan menggunakan beberapa transformasi dasar.
Saat mencari peringkat menggunakan metode Gaussian, Anda dapat bekerja dengan baris dan kolom. Lebih mudah bekerja dengan baris, jadi pada contoh di halaman ini transformasi dilakukan secara khusus pada baris matriks.
Perhatikan bahwa transposisi tidak mengubah peringkat matriks, mis. $\rang(A)=\rang(A^T)$. Dalam beberapa kasus, properti ini mudah digunakan (lihat contoh No. 3), karena, jika perlu, baris dapat dengan mudah diubah menjadi kolom dan sebaliknya.
Deskripsi singkat tentang algoritma
Mari kita perkenalkan beberapa istilah. Garis nol- string yang semua elemennya nol. String bukan nol- sebuah string, setidaknya satu elemennya berbeda dari nol. Elemen terdepan String bukan nol adalah elemen bukan nol pertama (dihitung dari kiri ke kanan). Misalnya, dalam string $(0;0;5;-9;0)$ elemen utama akan menjadi elemen ketiga (sama dengan 5).
Rank dari setiap matriks nol adalah 0, jadi kita akan mempertimbangkan matriks selain nol. Tujuan akhir dari transformasi matriks adalah menjadikannya eselon. Pangkat suatu matriks eselon sama dengan banyaknya baris yang bukan nol.
Metode yang dipertimbangkan untuk mencari rank suatu matriks terdiri dari beberapa langkah. Langkah pertama menggunakan baris pertama, langkah kedua menggunakan baris kedua, dan seterusnya. Ketika di bawah baris yang kita gunakan pada langkah saat ini hanya tersisa nol baris, atau tidak ada baris tersisa sama sekali, algoritma berhenti, karena matriks yang dihasilkan akan bertahap.
Sekarang mari kita beralih ke transformasi string yang dilakukan pada setiap langkah algoritma. Misalkan ada garis bukan nol di bawah garis saat ini yang perlu kita gunakan pada langkah ini, dan $k$ adalah bilangan elemen terdepan dari baris saat ini, dan $k_(\min)$ adalah bilangan terkecil dari elemen utama dari garis-garis yang terletak di bawah garis saat ini.
- Jika $k\lt(k_(\min))$, lanjutkan ke langkah algoritme berikutnya, yaitu. untuk menggunakan baris berikut.
- Jika $k=k_(\min)$, maka kita menyetel ulang elemen utama dari baris yang mendasarinya yang nomor elemen utamanya sama dengan $k_(\min)$. Jika baris nol muncul, kita pindahkan baris tersebut ke bagian bawah matriks. Kemudian kita melanjutkan ke langkah algoritma berikutnya.
- Jika $k\gt(k_(\min))$, maka kita menukar baris saat ini dengan salah satu baris dasar yang nomor elemen utamanya adalah $k_(\min)$. Setelah ini, kita menyetel ulang elemen utama dari baris dasar yang nomor elemen utamanya adalah $k_(\min)$. Jika tidak ada garis seperti itu, lanjutkan ke langkah algoritma berikutnya. Jika baris nol muncul, kita pindahkan baris tersebut ke bagian bawah matriks.
Mari kita pertimbangkan dalam praktiknya bagaimana tepatnya elemen-elemen utama disetel ulang ke nol. Mari kita gunakan huruf $r$ (dari kata "baris") untuk menyatakan baris: $r_1$ adalah baris pertama, $r_2$ adalah baris kedua, dan seterusnya. Mari kita gunakan huruf $c$ (dari kata "kolom") untuk menunjukkan kolom: $c_1$ adalah kolom pertama, $c_2$ adalah kolom kedua, dan seterusnya.
Pada contoh di halaman ini, saya akan menggunakan huruf $k$ untuk menunjukkan jumlah elemen terdepan dari baris saat ini, dan notasi $k_(\min)$ akan digunakan untuk menunjukkan jumlah terkecil dari elemen utama dari garis yang terletak di bawah garis saat ini.
Contoh No.1
Carilah pangkat matriks $A=\left(\begin(array)(ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \end(array) \kanan)$.
Langkah pertama
Pada langkah pertama kita bekerja dengan baris pertama. Pada baris pertama matriks yang diberikan kepada kita, elemen utamanya adalah elemen pertama, yaitu. nomor elemen utama baris pertama $k=1$. Mari kita lihat baris di bawah baris pertama. Elemen terdepan pada baris ini diberi nomor 4, 1, 1 dan 1. Angka terkecil adalah $k_(\min)=1$. Karena $k=k_(\min)$, kami menyetel ulang elemen utama dari baris yang mendasarinya yang nomor elemen utamanya sama dengan $k_(\min)$. Dengan kata lain, Anda perlu mengatur ulang elemen utama dari baris ketiga, keempat dan kelima.
Pada prinsipnya, Anda dapat melanjutkan ke nol elemen di atas, namun, untuk transformasi yang dilakukan ke nol, akan lebih mudah jika elemen utama dari string yang digunakan adalah satu. Ini tidak perlu, tetapi ini sangat menyederhanakan perhitungan. Elemen utama kita pada baris pertama adalah angka -2. Untuk mengganti nomor yang “merepotkan” dengan satu (atau nomor (-1)) ada beberapa pilihan. Misalnya, Anda dapat mengalikan baris pertama dengan 2, lalu mengurangi baris kelima dari baris pertama. Atau Anda cukup menukar kolom pertama dan ketiga. Setelah menata ulang kolom No. 1 dan No. 3, kita memperoleh matriks baru yang ekuivalen dengan matriks $A$ yang diberikan:
$$ \kiri(\begin(array)(ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \end(array)\kanan)\overset(c_1\leftrightarrow(c_3))(\sim) \left(\ mulai(array)(ccccc) \tebal(1) & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \normblue(-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ \normgreen(1) & 5 & -5 & 1 & 1 \end(array)\kanan) $$
Elemen utama dari baris pertama adalah satu. Jumlah elemen terdepan pada baris pertama tidak berubah: $k=1$. Banyaknya elemen terdepan pada garis yang terletak di bawah garis pertama adalah sebagai berikut: 4, 1, 2, 1. Bilangan terkecil adalah $k_(\min)=1$. Karena $k=k_(\min)$, kami menyetel ulang elemen utama dari baris yang mendasarinya yang nomor elemen utamanya sama dengan $k_(\min)$. Ini berarti Anda perlu mengatur ulang elemen utama baris ketiga dan kelima. Elemen-elemen ini disorot dengan warna biru dan hijau.
Untuk mengatur ulang elemen yang diperlukan, kami akan melakukan operasi dengan baris matriks. Saya akan menuliskan operasi ini secara terpisah:
$$ \begin(sejajar) &r_3-\frac(\normblue(-5))(\boldred(1))\cdot(r_1)=r_3+5r_1;\\ &r_5-\frac(\normgreen(1))( \tebal(1))\cdot(r_1)=r_5-r_1. \end(sejajar) $$
Notasi $r_3+5r_1$ berarti bahwa elemen-elemen yang bersesuaian pada baris pertama, dikalikan lima, ditambahkan ke elemen-elemen pada baris ketiga. Hasilnya dituliskan pada baris ketiga matriks baru. Jika timbul kesulitan dalam melakukan operasi tersebut secara lisan, maka tindakan ini dapat dilakukan secara terpisah:
$$ r_3+5r_1 =(-5;\;-11;\;4;\;12;\;18)+5\cdot(1;\;3;\;-2;\;0;\;- 4)=\\ =(-5;\;-11;\;4;\;12;\;18)+(5;\;15;\;-10;\;0;\;-20) = (0;\;4;\;-6;\;12;\;-2). $$
Tindakan $r_5-r_1$ dilakukan dengan cara yang sama. Sebagai hasil transformasi baris, diperoleh matriks berikut:
$$ \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \end(array)\kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom( 0)\\ r_3+5r_1 \\ \phantom(0) \\ r_5-r_1 \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end (array)\kanan)$$
Pada titik ini langkah pertama bisa dianggap selesai. Karena masih ada garis bukan nol yang tersisa di bawah baris pertama, kita perlu terus bekerja. Satu-satunya peringatan: pada baris ketiga matriks yang dihasilkan, semua elemen habis dibagi 2. Untuk mengurangi angka dan menyederhanakan penghitungan, kalikan elemen baris ketiga dengan $\frac(1)(2)$, lalu lanjutkan ke langkah kedua:
$$ \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end(array)\kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom( 0)\\ 1/2\cdot(r_3) \\ \phantom(0) \\ \phantom(0) \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 & 1 & 5 \end(array)\kanan) $$
Tahap kedua
Pada langkah kedua kita bekerja dengan baris kedua. Pada baris kedua matriks, elemen terdepan adalah elemen keempat, yaitu. nomor elemen utama baris kedua $k=4$. Mari kita lihat garis di bawah baris kedua. Elemen terdepan pada baris ini diberi nomor 2, 2 dan 2. Angka terkecil adalah $k_(\min)=2$. Karena $k\gt(k_(\min))$, Anda perlu menukar baris kedua saat ini dengan salah satu baris yang nomor elemen utamanya adalah $k_(\min)$. Dengan kata lain, Anda perlu mengganti baris kedua dengan baris ketiga, keempat, atau kelima. Saya akan memilih baris kelima (ini akan menghindari munculnya pecahan), mis. Saya akan menukar baris kelima dan kedua:
$$ \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end(array)\kanan) \overset(r_2\leftrightarrow(r_5))(\sim) \left(\ mulai(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \tebal(2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \normblue(2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 & \normgreen(6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end(array)\kanan) $$
Mari kita lihat baris kedua lagi. Sekarang elemen utama di dalamnya adalah elemen kedua (disorot dengan warna merah), yaitu. $k=2$. Bilangan terkecil dari elemen terdepan dari garis di bawahnya (yaitu, dari angka 2, 2, dan 4) adalah $k_(\min)=2$. Karena $k=k_(\min)$, kami menyetel ulang elemen utama dari baris yang mendasarinya yang nomor elemen utamanya sama dengan $k_(\min)$. Ini berarti Anda perlu mengatur ulang elemen utama baris ketiga dan keempat. Elemen-elemen ini disorot dengan warna biru dan hijau.
Saya perhatikan bahwa pada langkah sebelumnya, elemen utama dari baris saat ini dibuat dengan mengatur ulang kolom. Hal ini dilakukan untuk menghindari bekerja dengan pecahan. Di sini juga, Anda dapat menempatkan satu sebagai pengganti elemen utama baris kedua: misalnya, dengan menukar kolom kedua dan keempat. Namun, kami tidak akan melakukan ini, karena pecahan tetap tidak akan muncul. Tindakan dengan string akan menjadi seperti ini:
$$ \begin(selaras) &r_3-\frac(\normblue(2))(\boldred(2))\cdot(r_2)=r_3-r_2;\\ &r_4-\frac(\normgreen(6))(\ tebal(2))\cdot(r_2)=r_4-3r_2. \end(sejajar) $$
Dengan melakukan operasi ini, kita sampai pada matriks berikut:
$$ \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end(array)\kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom( 0)\\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \phantom(0) \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end(array )\kanan)$$
Langkah kedua selesai. Karena masih ada garis bukan nol yang tersisa di bawah baris kedua, kita lanjutkan ke langkah ketiga.
Langkah ketiga
Pada langkah ketiga kita bekerja dengan baris ketiga. Pada baris ketiga matriks, elemen terdepan adalah elemen keempat, yaitu. nomor elemen utama baris ketiga $k=4$. Mari kita lihat garis di bawah baris ketiga. Elemen terdepan pada baris ini diberi nomor 4 dan 4, yang terkecil adalah $k_(\min)=4$. Karena $k=k_(\min)$, kami menyetel ulang elemen utama dari baris yang mendasarinya yang nomor elemen utamanya sama dengan $k_(\min)$. Artinya elemen terdepan pada baris keempat dan kelima perlu diatur ulang. Transformasi yang dilakukan untuk tujuan ini sangat mirip dengan transformasi yang dilakukan sebelumnya:
$$ \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end(array)\kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom(0) \\ r_4+r_3 \\ r_5-r_3 \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\kanan) $$
Di bawah baris ketiga hanya tersisa garis nol. Artinya transformasi telah selesai. Kami telah mereduksi matriks menjadi bentuk bertahap. Karena matriks yang diberikan memuat tiga baris bukan nol, maka pangkatnya adalah 3. Oleh karena itu, pangkat matriks asal adalah tiga, yaitu. $\rang A=3$. Solusi lengkap tanpa penjelasan adalah:
$$ \kiri(\begin(array)(ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \end(array)\kanan)\overset(c_1\leftrightarrow(c_3))(\sim) \left(\ mulai(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & - 9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \end(array)\kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3+ 5r_1 \\ \phantom(0) \\ r_5-r_1 \end(array)\sim $$ $$ \sim\left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end ( array)\kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ 1/2\cdot(r_3) \\ \phantom(0) \\ \phantom(0) \ akhir(array)\sim \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end(array)\kanan) \overset(r_2\leftrightarrow(r_5))(\sim ) \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end(array)\kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0 ) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \phantom(0) \end(array)\sim $$ $$ \sim\left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & - 6 \end(array)\kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ r_4+r_3 \\ r_5-r_3 \end(array ) \sim \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\kanan) $$
Menjawab: $\rang A=3$.
Contoh No.2
Carilah pangkat matriks $A=\left(\begin(array)(ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end(array) \kanan)$.
Matriks ini tidak nol, artinya ranknya lebih besar dari nol. Mari beralih ke langkah pertama algoritme.
Langkah pertama
Pada langkah pertama kita bekerja dengan baris pertama. Pada baris pertama matriks yang diberikan kepada kita, elemen utamanya adalah elemen pertama, yaitu. nomor elemen utama baris pertama $k=1$. Mari kita lihat baris di bawah baris pertama. Elemen utama pada baris ini diberi nomor 1, yaitu. bilangan terkecil dari elemen utama baris di bawahnya adalah $k_(\min)=1$. Karena $k=k_(\min)$, maka perlu untuk mengatur ulang elemen utama dari garis dasar yang nomor elemen utamanya sama dengan $k_(\min)$. Dengan kata lain, Anda perlu mengatur ulang elemen utama baris kedua, ketiga, dan keempat.
Untuk memudahkan perhitungan, kita akan membuat elemen utama pada baris pertama menjadi satu. Pada contoh sebelumnya, untuk melakukan ini, kita menukar kolom, tetapi dengan matriks ini tindakan seperti itu tidak akan berhasil - dalam matriks ini tidak ada elemen yang sama dengan satu. Mari kita lakukan satu tindakan tambahan: $r_1-5r_2$. Maka elemen utama baris pertama akan sama dengan 1.
$$ \kiri(\begin(array)(ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end(array) \kanan) \begin(array) (l) r_1-5r_2\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom (0) \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end(array) \kanan) $$
Elemen utama dari baris pertama adalah satu. Mari kita atur ulang elemen utama dari baris yang mendasarinya:
$$ \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end(array) \kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1\\ r_3+3r_1 \\ r_4-4r_1 \ akhir(array)\sim \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 1 & - 2 & 0\\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \end(array) \kanan) $$
Langkah pertama selesai. Karena masih ada garis bukan nol yang tersisa di bawah baris pertama, kita perlu terus bekerja.
Tahap kedua
Pada langkah kedua kita bekerja dengan baris kedua. Pada baris kedua matriks, elemen terdepan adalah elemen kedua, yaitu. nomor elemen utama baris kedua $k=2$. Elemen utama pada baris di bawahnya memiliki angka 2 yang sama, jadi $k_(\min)=2$. Karena $k=k_(\min)$, kami menyetel ulang elemen utama dari baris yang mendasarinya yang nomor elemen utamanya sama dengan $k_(\min)$. Ini berarti Anda perlu mengatur ulang elemen utama baris ketiga dan keempat.
$$ \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0\ \ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \end(array) \kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3+r_2 \\ r_4-3r_2 \ akhir(array)\sim \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \end(array) \kanan) $$
Garis nol muncul. Mari kita turunkan ke bagian bawah matriks:
$$ \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \end(array) \kanan) \overset(r_3\leftrightarrow(r_4))(\sim) \left(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \kanan) $$
Langkah kedua selesai. Perhatikan bahwa kita telah memperoleh matriks langkah. Namun, kami dapat menyelesaikan algoritme kami secara formal. Karena masih ada garis bukan nol yang tersisa di bawah baris kedua, Anda harus melanjutkan ke langkah ketiga dan mengerjakan baris ketiga, tetapi tidak ada garis bukan nol di bawah baris ketiga. Oleh karena itu, transformasi telah selesai.
Omong-omong, matriks yang kita peroleh berbentuk trapesium. Matriks trapesium merupakan kasus khusus dari matriks berundak.
Karena matriks ini memuat tiga baris bukan nol, maka pangkatnya adalah 3. Oleh karena itu, pangkat matriks asal adalah tiga, yaitu. $\rang(A)=3$. Solusi lengkap tanpa penjelasan adalah:
$$ \kiri(\begin(array)(ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end(array) \kanan) \begin(array) (l) r_1-5r_2\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom (0) \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end(array) \kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1\ \ r_3 +3r_1 \\ r_4-4r_1 \end(array)\sim $$ $$ \left(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \end(array) \kanan) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ r_3+r_2 \\ r_4-3r_2 \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \end(array)\kanan)\overset(r_3\leftrightarrow(r_4))( \sim ) \kiri(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4\ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \kanan) $$
Menjawab: $\rang A=3$.
Contoh No.3
Carilah pangkat matriks $A=\left(\begin(array)(ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \end(array) \kanan)$.
Terkadang lebih mudah untuk mengubah urutan matriks selama proses penyelesaian. Karena pangkat matriks yang ditransposisi sama dengan pangkat matriks asal, operasi ini cukup diperbolehkan. Contoh ini akan mempertimbangkan kasus seperti itu. Selama transformasi, dua baris identik $(0;\;1;\;-2)$ akan muncul (yang pertama dan keempat). Pada prinsipnya, Anda dapat melakukan tindakan $r_4-r_1$, maka baris keempat akan direset, tetapi ini hanya akan memperluas solusi dengan satu record, jadi kami tidak akan melakukan reset pada baris keempat.
$$ \kiri(\begin(array)(ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \end(array) \kanan) \begin(array) (l) 1/2\cdot(r_1)\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ 1/5\cdot(r_4) \\ \phantom(0) \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccc) 0 & 1 & -2 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \end(array) \kanan)\sim $$ $$ \sim\left(\begin(array)(ccccc) 0&-1&3&0&2\\ 1&-4&1&1&3\\ -2&5&7&- 2&0 \end(array) \kanan) \overset(r_1\leftrightarrow(r_2))(\sim) \left(\begin(array)(ccccc) 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ -2&5&7&-2&0 \end (array) \kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3+2r_1 \end(array)\sim $$ $$ \kiri(\begin(array) (ccccc) 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ 0&-3&9&0&6 \end(array) \kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3-3r_2 \ end(array)\sim \kiri(\begin(array)(ccccc) 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ 0&0&0&0&0 \end(array) \kanan) $$
Rank matriks yang ditransformasi adalah 2, maka rank matriks asal adalah $\rang(A)=2$. Pada prinsipnya, peringkat dapat ditemukan tanpa mengubah urutan matriks: tukar baris pertama dengan baris kedua, ketiga, atau kelima dan lanjutkan transformasi biasa dengan baris tersebut. Metode mereduksi matriks menjadi bentuk bertahap memungkinkan adanya variasi dalam proses penyelesaian.
Menjawab: $\rang A=2$.
Contoh No.4
Carilah pangkat matriks $A=\left(\begin(array)(cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 10 & 0& -4&1 \end(array) \kanan)$.
Matriks ini bukan nol, mis. peringkatnya lebih besar dari nol. Mari beralih ke langkah pertama algoritme.
Langkah pertama
Pada langkah pertama kita bekerja dengan baris pertama. Pada baris pertama matriks yang diberikan kepada kita, elemen utama adalah elemen kedua, yaitu. nomor elemen utama baris pertama $k=2$. Mari kita lihat baris di bawah baris pertama. Elemen utama pada baris ini diberi nomor 3, yaitu. bilangan terkecil dari elemen utama baris di bawahnya adalah $k_(\min)=3$. Sejak $k\lt(k_(\min))$, kita melanjutkan ke langkah algoritma berikutnya.
Tahap kedua
Pada langkah kedua kita bekerja dengan baris kedua. Pada baris kedua, elemen terdepan adalah elemen ketiga, yaitu. nomor elemen utama baris kedua $k=3$. Di bawah baris kedua hanya ada satu baris ketiga, jumlah elemen utamanya adalah 3, jadi $k_(\min)=3$. Karena $k=k_(\min)$, kami menyetel ulang elemen utama baris ketiga:
$$ \kiri(\begin(array)(cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 10 & 0& -4&1 \end(array ) \kanan) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(array)\sim \left(\begin(array)(cccccc) 0 & - 1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 0 & 0& -8&-5 \end(array) \kanan) $$
Matriks langkah diperoleh. Pangkat matriks yang ditransformasi dan pangkat matriks asal adalah 3.
Menjawab: $\rang A=3$.
Contoh No.5
Carilah pangkat matriks $A=\left(\begin(array)(ccccc) 0&0&0&0&6\\ 9&0&0&0&-11\\ 5&2&0&0&-5.\end(array) \right)$.
Terkadang Anda dapat mereduksi matriks menjadi matriks langkah hanya dengan menata ulang baris atau kolom. Hal ini tentu saja sangat jarang terjadi, namun penataan ulang yang berhasil dapat menyederhanakan solusi secara signifikan.
$$ \kiri(\begin(array)(ccccc) 0&0&0&0&6\\ 9&0&0&0&-11\\ 5&2&0&0&-5 \end(array) \kanan) \overset(r_1\leftrightarrow(r_3))(\sim) \left(\ mulai(array)(ccccc) 5&2&0&0&-5\\ 9&0&0&0&-11\\ 0&0&0&0&6 \end(array) \kanan) \overset(с_1\leftrightarrow(с_4))(\sim) \left(\begin(array)(ccccc) ) 0&2&0&5&-5\\ 0&0&0&9&-11\\ 0&0&0&0&6 \end(array) \kanan) $$
Matriksnya direduksi menjadi eselon, $\rang(A)=3$.
Menjawab: $\rang A=3$.
Definisi. Peringkat matriks adalah jumlah maksimum baris bebas linier yang dianggap sebagai vektor.
Teorema 1 tentang pangkat matriks. Peringkat matriks disebut orde maksimum minor bukan nol suatu matriks.
Konsep minor sudah kita bahas pada pelajaran determinan, dan sekarang kita akan menggeneralisasikannya. Mari kita ambil sejumlah baris dan sejumlah kolom tertentu dalam matriks, dan “berapa banyak” ini harus lebih kecil dari jumlah baris dan kolom matriks, dan untuk baris dan kolom “berapa banyak” ini seharusnya menjadi nomor yang sama. Kemudian pada perpotongan berapa baris dan berapa kolom akan terdapat matriks yang ordenya lebih rendah dari matriks asli kita. Penentunya adalah matriks dan akan menjadi minor orde ke-k jika “beberapa” (banyaknya baris dan kolom) tersebut dilambangkan dengan k.
Definisi. Minor ( R+1)urutan ke-1, di mana anak di bawah umur yang dipilih berada R Urutan -th disebut berbatasan dengan anak di bawah umur tertentu.
Dua metode yang paling umum digunakan adalah mencari rank matriks. Ini cara membatasi anak di bawah umur Dan metode transformasi dasar(Metode Gauss).
Saat menggunakan metode bordering minor, teorema berikut digunakan.
Teorema 2 tentang pangkat matriks. Jika minor dapat disusun dari unsur-unsur matriks R orde ke-th, tidak sama dengan nol, maka rank matriksnya sama dengan R.
Saat menggunakan metode transformasi dasar, properti berikut digunakan:
Jika melalui transformasi elementer diperoleh matriks trapesium yang ekuivalen dengan matriks aslinya, maka peringkat matriks ini adalah banyaknya garis di dalamnya selain garis yang seluruhnya terdiri dari angka nol.
Mencari rank suatu matriks menggunakan metode border minor
Anak di bawah umur terlampir adalah anak di bawah umur dari tingkat yang lebih tinggi relatif terhadap anak di bawah umur tertentu jika anak di bawah umur dari tingkat yang lebih tinggi ini berisi anak di bawah umur yang diberikan.
Misalnya, diberi matriks
Mari kita ambil yang di bawah umur
Anak di bawah umur yang berbatasan adalah:
Algoritma untuk mencari rank suatu matriks Berikutnya.
1. Temukan anak di bawah umur orde kedua yang tidak sama dengan nol. Jika semua minor orde kedua sama dengan nol, maka rank matriks tersebut akan sama dengan satu ( R =1 ).
2. Jika paling sedikit ada satu minor orde kedua yang tidak sama dengan nol, maka kita buat minor pembatas orde ketiga. Jika semua anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, maka pangkat matriks tersebut sama dengan dua ( R =2 ).
3. Jika paling sedikit salah satu anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga tidak sama dengan nol, maka kita buatlah anak di bawah umur yang berbatasan tersebut. Jika semua minor yang berbatasan dengan orde keempat sama dengan nol, maka pangkat matriks tersebut sama dengan tiga ( R =2 ).
4. Lanjutkan cara ini selama ukuran matriks memungkinkan.
Contoh 1. Temukan pangkat suatu matriks
.
Larutan. Kecil dari urutan kedua 
.
Mari kita batasi itu. Akan ada empat anak di bawah umur yang berbatasan:
,
,
Jadi, semua anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, oleh karena itu, pangkat matriks ini sama dengan dua ( R =2 ).
Contoh 2. Temukan pangkat suatu matriks
Larutan. Pangkat matriks ini sama dengan 1, karena semua minor orde kedua dari matriks ini sama dengan nol (dalam hal ini, seperti dalam kasus minor yang berbatasan pada dua contoh berikut, siswa yang terhormat diundang untuk memverifikasi untuk sendiri, mungkin menggunakan aturan untuk menghitung determinan), dan di antara minor orde pertama , yaitu, di antara elemen-elemen matriks, ada yang bukan nol.
Contoh 3. Temukan pangkat suatu matriks
Larutan. Minor orde kedua matriks ini adalah, dan semua minor orde ketiga matriks ini sama dengan nol. Oleh karena itu, pangkat matriks ini adalah dua.
Contoh 4. Temukan pangkat suatu matriks
Larutan. Pangkat matriks ini adalah 3, karena satu-satunya minor orde ketiga dari matriks ini adalah 3.
Mencari rank suatu matriks menggunakan metode transformasi elementer (metode Gauss)
Pada contoh 1 sudah jelas bahwa tugas menentukan rank suatu matriks dengan metode border minor memerlukan perhitungan determinan dalam jumlah besar. Namun, ada cara untuk mengurangi jumlah komputasi seminimal mungkin. Metode ini didasarkan pada penggunaan transformasi matriks dasar dan disebut juga metode Gauss.
Operasi berikut dipahami sebagai transformasi matriks dasar:
1) mengalikan setiap baris atau kolom suatu matriks dengan bilangan selain nol;
2) menambahkan elemen-elemen pada setiap baris atau kolom matriks dengan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris atau kolom lain, dikalikan dengan angka yang sama;
3) menukar dua baris atau kolom matriks;
4) menghapus baris “null”, yaitu baris yang semua elemennya sama dengan nol;
5) menghapus semua garis proporsional kecuali satu.
Dalil. Selama transformasi dasar, pangkat matriks tidak berubah. Dengan kata lain, jika kita menggunakan transformasi elementer dari matriks A pergi ke matriks B, Itu .
Sebelumnya untuk matriks persegi 
urutan ke-10 konsep minor diperkenalkan 
elemen 
. Ingatlah bahwa ini adalah nama yang diberikan untuk determinan keteraturan 
, diperoleh dari determinan 
dengan mencoret 
baris ke-dan 
kolom ke-.
Sekarang mari kita perkenalkan konsep umum minor. Mari kita pertimbangkan beberapa belum tentu persegi matriks 
. Ayo pilih beberapa 
nomor baris 
Dan 
nomor kolom 
.
Definisi.
Pesanan kecil 
matriks 
(sesuai dengan baris dan kolom yang dipilih) disebut determinan urutan 
, dibentuk oleh elemen-elemen yang terletak di perpotongan baris dan kolom yang dipilih, mis. nomor
.
Setiap matriks mempunyai banyak minor dengan orde tertentu 
, berapa banyak cara Anda dapat memilih nomor baris 
dan kolom 
.
Definisi. Dalam matriks 
ukuran 
pesanan kecil 
ditelepon dasar, jika bukan nol dan semua anak di bawah umur berada dalam urutan 
sama dengan nol atau orde kecil 
pada matriks 
sama sekali tidak.
Jelas bahwa suatu matriks dapat memiliki beberapa basis minor yang berbeda, tetapi semua basis minor memiliki ordo yang sama. Memang kalau semua anak di bawah umur tertib 
sama dengan nol, maka semua minor pada orde tersebut sama dengan nol 
, dan, akibatnya, semua tatanan yang lebih tinggi.
Definisi. Peringkat matriks Urutan basis minor disebut, atau, dengan kata lain, urutan terbesar yang memiliki minor selain nol. Jika semua elemen suatu matriks sama dengan nol, maka pangkat matriks tersebut, menurut definisi, dianggap nol.
Peringkat matriks 
kami akan menunjukkannya dengan simbol 
. Dari definisi rank maka untuk matriks 
ukuran 
rasionya benar.
Dua cara untuk menghitung pangkat suatu matriks
A) Berbatasan dengan metode minor
Biarkan anak di bawah umur ditemukan dalam matriks 
-urutan ke-, berbeda dari nol. Mari kita pertimbangkan hanya anak di bawah umur itu 
Urutan -th, yang berisi (tepi) minor 
: jika semuanya sama dengan nol, maka rank matriksnya adalah 
. Jika tidak, di antara anak di bawah umur yang berbatasan ada anak di bawah umur yang bukan nol 
-urutan, dan seluruh prosedur diulangi.
Contoh 9
. Temukan pangkat suatu matriks 
dengan metode berbatasan dengan anak di bawah umur.
Mari kita pilih minor orde kedua 
. Hanya ada satu anak di bawah umur tingkat ketiga, yang berbatasan dengan anak di bawah umur yang dipilih 
. Mari kita hitung.
Jadi itu kecil 
dasar, dan pangkat matriks sama dengan ordonya, yaitu. 
Jelas bahwa mengulangi minor dengan cara ini untuk mencari basis adalah tugas yang terkait dengan perhitungan besar, jika dimensi matriks tidak terlalu kecil. Namun, ada cara yang lebih sederhana untuk mencari pangkat suatu matriks - menggunakan transformasi dasar.
B) Metode transformasi dasar
Definisi. Transformasi matriks dasar Transformasi berikut disebut:
mengalikan string dengan angka selain nol;
menambahkan baris lain ke satu baris;
penataan ulang garis;
transformasi kolom yang sama.
Transformasi 1 dan 2 dilakukan elemen demi elemen.
Dengan menggabungkan transformasi tipe pertama dan kedua, kita dapat menambahkan kombinasi linier dari string yang tersisa ke string mana pun.
Dalil. Transformasi dasar tidak mengubah pangkat matriks.
(Tidak ada bukti)
Gagasan tentang metode praktis untuk menghitung pangkat suatu matriks
adalah dengan bantuan transformasi dasar matriks ini 
menyebabkan munculnya
,
(5)
di mana elemen "diagonal". 
berbeda dari nol, dan elemen-elemen yang terletak di bawah elemen “diagonal” sama dengan nol. Mari kita sepakat untuk memanggil matriks 
jenis segitiga ini (jika tidak disebut diagonal, trapesium, atau tangga). Setelah reduksi matriks 
ke bentuk segitiga kita bisa langsung menuliskannya 
.
Memang, 
(karena transformasi dasar tidak mengubah pangkat). Tapi matriksnya 
ada pesanan kecil yang bukan nol 
:
,
dan pesanan kecil apa pun 
berisi string nol dan karenanya sama dengan nol.
Sekarang mari kita rumuskan praktiknya aturan perhitungan peringkat matriks 
menggunakan transformasi dasar: untuk mencari pangkat matriks 
itu harus dibawa ke bentuk segitiga menggunakan transformasi dasar 
. Kemudian pangkat matriksnya 
akan sama dengan jumlah baris bukan nol pada matriks yang dihasilkan 
.
Contoh 10.
Temukan pangkat suatu matriks 
dengan metode transformasi elementer
Larutan.
Mari kita tukar baris pertama dan kedua (karena elemen pertama dari baris kedua adalah −1 dan akan lebih mudah untuk melakukan transformasi dengannya). Hasilnya, kita memperoleh matriks yang ekuivalen dengan matriks ini.
Mari kita tunjukkan 
-baris matriks itu – 
. Kita perlu mereduksi matriks asli menjadi bentuk segitiga. Kami akan menganggap lini pertama sebagai lini terdepan, yang akan berpartisipasi dalam semua transformasi, namun tetap tidak berubah.
Pada tahap pertama, kita akan melakukan transformasi yang memungkinkan kita mendapatkan angka nol di kolom pertama, kecuali elemen pertama. Caranya, kurangi baris pertama dari baris kedua, kalikan dengan 2 
, tambahkan baris pertama ke baris ketiga 
, dan dari yang ketiga kita kurangi yang pertama, dikalikan 3 
Kita memperoleh matriks yang pangkatnya sama dengan pangkat matriks tersebut. Mari kita nyatakan dengan huruf yang sama 
:
.
Karena kita perlu mereduksi matriks menjadi bentuk (5), kita kurangi baris kedua dari baris keempat. Dalam hal ini kita memiliki:
.
Diperoleh matriks berbentuk segitiga, dan kita dapat menyimpulkan bahwa 
, yaitu jumlah garis bukan nol. Secara singkat pemecahan masalah tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
