Lobachevsky pada garis paralel. Nikolai Lobachevsky: garis paralel masih berpotongan! Geometri baru adalah masalah lama

Sama sekali tidak. Menurut definisinya, garis sejajar tidak memiliki titik potong.

Sekarang mari kita bicara tentang geometri dan kesalahpahaman. “Pesawat” akan dipertimbangkan secara menyeluruh, apa pun maksudnya.

Geometri Euclid. Apa yang diajarkan di sekolah adalah apa yang lebih familiar dan hampir persis dilakukan dalam kehidupan sehari-hari. Saya akan menyoroti dua fakta yang penting nanti. Pertama: dalam geometri ini terdapat jarak; antara dua titik mana pun terdapat jalur terpendek, dan hanya satu (segmen garis lurus). Kedua: melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, dapat ditarik suatu garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu, dan hanya satu saja.

Ini sesuai dengan beberapa aksioma dari buku teks Pogorelov, jadi akan lebih mudah bagi saya untuk mengandalkan ini.

Geometri Lobachevsky. Semuanya baik-baik saja dengan jarak, tetapi sulit bagi kita untuk membayangkannya karena kelengkungan negatif yang konstan (jika kita tidak memahaminya, itu tidak menakutkan). Paralelisme lebih sulit. Melalui suatu titik di luar suatu garis, kita selalu dapat menggambar tidak hanya satu, tetapi banyak garis sejajar yang tak terhingga.

Geometri bola. Pertama, apa yang kita anggap “lurus”. Garis lurus pada bola - lingkaran besar = lingkaran yang dipotong pada bola oleh bidang yang melalui pusatnya = lingkaran yang jari-jarinya sama dengan jari-jari bola. Ini adalah garis lurus dalam artian ini adalah jalur terpendek antara titik-titik yang tidak terlalu jauh (nanti akan jelas yang mana). Beberapa orang mungkin telah memperhatikan bahwa jika kota-kota berada pada paralel yang sama, maka pesawat tidak terbang sepanjang paralel ini, tetapi sepanjang lintasan cembung ke utara di belahan bumi utara. Jika Anda menggambar, Anda akan melihat bahwa lingkaran besar yang menghubungkan kedua titik tersebut berada di utara garis paralel.

Mengapa jarak pada sebuah bola buruk? Mari kita ambil titik-titik yang berlawanan secara diametris pada bola; bagi titik-titik tersebut terdapat banyak sekali jalur terpendek. Lebih jelasnya: Saya akan melihat kutub utara dan selatan. Semua Merilian melewatinya, semuanya memiliki panjang yang sama, jalur lainnya akan lebih panjang.

Tidak ada garis sejajar sama sekali; dua garis mana pun berpotongan pada titik yang berlawanan secara diametral.

Bidang proyektif. Perbedaan terpenting dan pertama: tidak ada jarak dan tidak mungkin ada. Pada prinsipnya, ia tidak dapat diperkenalkan sedemikian rupa sehingga memenuhi kondisi alam tertentu (diawetkan selama “pergerakan” pesawat). Jadi, geometri itu sendiri tidak mengenal "garis lurus yang jaraknya tak terhingga"; semua ini diciptakan oleh manusia untuk memahami bidang proyektif. Cara yang “paling sederhana”: bayangkan bidang yang biasa kita lihat (yang disebut “peta affine”) dan tambahkan ke dalamnya sebuah garis yang “jaraknya tak terhingga”, dan semua garis yang sejajar dengan garis tersebut pada bidang yang disajikan akan berpotongan di satu titik pada garis “yang jauhnya tak terhingga”. Deskripsi ini cukup sederhana: Saya menulis sesuatu dalam dua kalimat, dan seseorang telah mengirimkan sesuatu. Namun hal ini menyesatkan; tidak ada garis lurus yang dapat dibedakan dalam geometri proyektif. Namun uraian ini sudah menunjukkan garis sejajar itu

Baru-baru ini, dalam sebuah postingan tentang topik pseudo-ilmiah, salah satu komentator memulai percakapan tentang geometri Lobachevsky (yang dia tidak memahaminya) dan bahkan sepertinya meminta penjelasan. Saya kemudian membatasi diri untuk menyatakan bahwa saya mengerti. Tampaknya mustahil bagi saya untuk menjelaskan teori ini dalam kerangka terbatas sebuah komentar dan satu teks (tanpa gambar).

Namun, setelah memikirkannya, saya tetap memutuskan untuk mencoba memberikan penjelasan singkat yang populer tentang teori ini.

Sedikit latar belakang. Sejak zaman Euclid, geometri telah menjadi teori aksiomatik yang sebagian besar pernyataannya dibuktikan berdasarkan beberapa postulat (aksioma). Diyakini bahwa aksioma-aksioma ini “jelas”, yaitu. mencerminkan sifat-sifat ruang nyata (fisik).

Salah satu aksioma ini menimbulkan kecurigaan di kalangan ilmuwan: tidak bisakah aksioma tersebut disimpulkan dari postulat lain? Rumusan modern dari aksioma ini adalah sebagai berikut:

“Melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, paling banyak dapat ditarik satu garis yang sejajar dengannya.” Fakta bahwa satu garis lurus dapat ditarik bukanlah sebuah aksioma, melainkan sebuah teorema.

Dalam hal ini, garis yang tidak memotong garis tertentu disebut “paralel”. Jadi, inti dari aksioma tersebut adalah hanya ada satu garis lurus seperti itu!

(Pernyataan yang tersebar luas “Lobachevsky membuktikan bahwa garis sejajar dapat berpotongan”, tentu saja, jelas-jelas tidak benar! Bagaimanapun, ini akan bertentangan dengan definisi mereka!)

Lobachevsky, seperti banyak orang sebelumnya, memutuskan untuk membuktikan bahwa pernyataan ini dapat disimpulkan dari aksioma lain. Untuk melakukan hal ini, seperti yang sering dilakukan dalam matematika, ia memilih metode “dengan kontradiksi”, yaitu. berasumsi bahwa ada lebih dari satu garis yang tidak memotong garis tertentu dan mencoba menyimpulkan kontradiksi dengan fakta lain. Namun semakin jauh dia mengembangkan teorinya, semakin dia yakin bahwa tidak ada kontradiksi yang diperkirakan! Itu. ternyata teori yang postulatnya “salah” juga berhak ada!

Tentu saja, pada awalnya mereka tidak mengetahui perhitungannya dan menertawakannya. Itulah sebabnya Gauss yang agung (yang sampai pada kesimpulan yang sama) tidak berani mempublikasikan hasilnya. Namun seiring berjalannya waktu, saya harus mengakui bahwa secara LOGIS, teori Lobachevsky tidak lebih buruk dari teori Euclidean.

Salah satu cara cerdik untuk memverifikasi hal ini adalah dengan menghasilkan “cara langsung” yang berperilaku seperti “cara langsung” Lobachevsky. Dan para ahli matematika menemukan contoh seperti itu, dan lebih dari satu.

Mungkin yang paling sederhana adalah model Poincaré. Anda bisa membuatnya sendiri dengan menggunakan peralatan sederhana.

Gambarlah garis lurus pada selembar kertas. Ambil kompas dan, letakkan jarumnya pada garis lurus ini, gambarlah setengah lingkaran yang terletak di salah satu sisi garis lurus. Sekarang hapus garis lurus (dan dengan itu titik akhir setengah lingkaran). Jadi, setengah lingkaran “tanpa ujung” ini akan berperilaku seperti garis lurus dalam geometri Lobachevsky!

Memang, mari kita pilih satu setengah lingkaran dan satu titik di luarnya. Cukup banyak setengah lingkaran yang tidak berpotongan dengan aslinya dan semuanya melewati titik ini. Di antara mereka, ada dua yang menonjol: mereka menyentuh "garis lurus" asli kita di titik akhir (yang, seperti yang Anda ingat, kami hapus) yaitu. tidak ada persimpangan nyata yang terjadi. Kedua lingkaran ini menentukan “batas” di mana terdapat semua garis yang tidak berpotongan dengan lingkaran tersebut. Jumlahnya tidak terbatas.

Anda dapat memperhatikan bahwa segitiga-segitiga pada model ini tidak sama dengan pada bidang datar (Euclidean): jumlah sudutnya kurang dari 180 derajat! Namun, semakin kecil suatu segitiga, semakin besar jumlah sudutnya. Dalam "kecil", pada jarak pendek, geometri Lobachevsky secara praktis bertepatan dengan geometri Euclid. Oleh karena itu, secara umum, kita tidak akan dapat “secara eksperimental” membedakan satu sama lain jika ternyata jarak (kosmik) yang tersedia bagi kita kecil untuk tujuan ini.

Namun, di zaman kita, baik fisikawan, maupun, khususnya, matematikawan, tidak mencoba memahami geometri Lobachevsky sebagai model ruang fisik “nyata”. Para matematikawan menyadari bahwa yang bisa mereka katakan hanyalah: jika aksioma ini dan itu benar, maka teorema ini dan itu juga benar. Nah, apa itu “himpunan”, “titik”, “garis lurus”, “sudut”, “jarak”, dll. – kami tidak mengetahui hal ini! Sama seperti Stanislaw Lem: “Sepulques adalah objek yang harus dipisahkan”

“Bertrand Russell dikatakan telah mendefinisikan matematika sebagai ilmu yang kita tidak pernah tahu apa yang kita bicarakan atau apakah yang kita katakan itu benar. Diketahui bahwa matematika banyak digunakan di banyak bidang ilmu lainnya. [...] Jadi, salah satu fungsi utama pembuktian matematis adalah untuk memberikan dasar yang dapat diandalkan untuk memahami esensi suatu benda.”

(dari buku “Fisikawan Bercanda”)

Informasi menarik tentang hubungan antara matematika dan empiris dapat diperoleh

Sejarah terciptanya geometri Lobachevsky sekaligus sejarah upaya pembuktian postulat kelima Euclid. Postulat ini adalah salah satu aksioma yang ditetapkan oleh Euclid sebagai dasar presentasinya tentang geometri (lihat Euclid dan “Elemen”). Postulat kelima adalah proposisi terakhir dan paling kompleks yang dimasukkan oleh Euclid dalam aksioma geometrinya. Mari kita ingat kembali rumusan postulat kelima: jika dua garis lurus berpotongan dengan garis ketiga sehingga pada salah satu sisinya jumlah sudut dalam kurang dari dua sudut siku-siku, maka pada sisi yang sama garis lurus asal berpotongan. Misalnya, jika pada Gambar. 1 sudutnya adalah sudut siku-siku, dan sudutnya sedikit lebih kecil dari sudut siku-siku, maka garis lurus tersebut pasti akan berpotongan, dan di sebelah kanan garis lurus tersebut. Banyak teorema Euclid (misalnya, "dalam segitiga sama kaki, sudut alasnya sama besar") mengungkapkan fakta yang jauh lebih sederhana daripada postulat kelima. Selain itu, cukup sulit untuk memverifikasi postulat kelima secara eksperimental. Cukuplah untuk mengatakan bahwa jika pada Gambar. 1 jarak dianggap sama dengan 1 m, dan sudutnya berbeda dengan garis lurus sebesar satu detik busur, maka kita dapat menghitung bahwa garis lurus tersebut berpotongan pada jarak lebih dari 200 km dari garis lurus.

Banyak ahli matematika yang hidup setelah Euclid mencoba membuktikan bahwa aksioma (postulat kelima) ini berlebihan, yaitu. itu dapat dibuktikan sebagai teorema berdasarkan aksioma yang tersisa. Jadi, pada abad ke-5. Ahli matematika Proclus (komentator pertama karya Euclid) melakukan upaya seperti itu. Namun, dalam pembuktiannya, Proclus, tanpa disadari, menggunakan pernyataan berikut: dua garis tegak lurus terhadap satu garis di sepanjang panjangnya berada pada jarak terbatas satu sama lain (yaitu, dua garis yang tegak lurus terhadap garis ketiga tidak dapat saling menjauh tanpa batas waktu). , seperti garis pada Gambar 2). Namun terlepas dari semua “kejelasan” visual yang tampak, pernyataan ini memerlukan pembenaran dalam presentasi geometri aksiomatik yang ketat. Faktanya, pernyataan yang digunakan Proclus setara dengan postulat kelima; dengan kata lain, jika ditambahkan ke sisa aksioma Euclid sebagai aksioma baru lainnya, maka postulat kelima dapat dibuktikan (seperti yang dilakukan Proclus), dan jika postulat kelima diterima, maka pernyataan yang dirumuskan Proclus dapat menjadi terbukti.

Analisis kritis terhadap upaya lebih lanjut untuk membuktikan postulat kelima mengungkapkan sejumlah besar pernyataan “jelas” serupa yang dapat menggantikan postulat kelima dalam aksiomatik Euclid. Berikut adalah beberapa contoh yang setara dengan postulat kelima.

1) Melalui suatu titik di dalam sudut yang lebih kecil dari sudut terbuka, Anda selalu dapat menggambar garis lurus yang memotong sisi-sisinya, yaitu. garis lurus pada suatu bidang tidak dapat ditentukan letaknya seperti ditunjukkan pada Gambar. 3. 2) Ada dua segitiga sebangun yang tidak sama besar. 3) Tiga titik yang terletak pada salah satu sisi suatu garis yang berjarak sama darinya (Gbr. 4) terletak pada garis yang sama. 4) Setiap segitiga mempunyai lingkaran yang dibatasi.

Lambat laun, “bukti” menjadi semakin canggih, dan persamaan halus dari postulat kelima tersembunyi semakin dalam di dalamnya. Dengan mengakui bahwa postulat kelima salah, para ahli matematika mencoba sampai pada kontradiksi logis. Mereka sampai pada pernyataan yang sangat bertentangan dengan intuisi geometris kita, namun tidak ada kontradiksi logis yang tercapai. Atau mungkin kita tidak akan pernah menemui kontradiksi di jalan ini? Mungkinkah dengan mengganti postulat kelima Euclid dengan negasinya (sambil mempertahankan aksioma Euclid lainnya), kita akan sampai pada geometri non-Euclidean baru, yang dalam banyak hal tidak sesuai dengan representasi visual kita yang biasa, namun demikian tidak mengandung kontradiksi logis? Matematikawan tidak dapat bertahan dengan ide sederhana namun sangat berani ini selama dua ribu tahun setelah munculnya Elemen Euclid.

Orang pertama yang mengakui kemungkinan adanya geometri non-Euclidean, di mana postulat kelima digantikan dengan negasinya, adalah K. F. Gauss. Fakta bahwa Gauss memiliki gagasan geometri non-Euclidean ditemukan hanya setelah kematian ilmuwan tersebut, ketika arsipnya mulai dipelajari. Gauss yang brilian, yang pendapatnya didengarkan semua orang, tidak berani mempublikasikan hasilnya tentang geometri non-Euclidean, karena takut disalahpahami dan menimbulkan kontroversi.

abad XIX membawa solusi terhadap teka-teki postulat kelima. Rekan senegaranya, profesor Universitas Kazan N.I.Lobachevsky, juga sampai pada penemuan ini secara independen dari Gauss. Seperti para pendahulunya, Lobachevsky pada awalnya mencoba menarik berbagai konsekuensi dari penolakan postulat kelima, dengan harapan cepat atau lambat ia akan menemui kontradiksi. Namun, ia membuktikan lusinan teorema tanpa mengungkapkan kontradiksi logis. Dan kemudian Lobachevsky menebak tentang konsistensi geometri, di mana postulat kelima digantikan oleh negasinya. Lobachevsky menyebut geometri ini imajiner. Lobachevsky menguraikan penelitiannya dalam sejumlah karya, dimulai pada tahun 1829. Namun dunia matematika tidak menerima gagasan Lobachevsky. Para ilmuwan tidak siap dengan gagasan bahwa mungkin ada geometri selain Euclidean. Dan hanya Gauss yang mengungkapkan sikapnya terhadap prestasi ilmiah ilmuwan Rusia: ia berhasil terpilihnya N. I. Lobachevsky sebagai anggota yang sesuai dari Masyarakat Ilmiah Kerajaan Göttingen pada tahun 1842. Ini adalah satu-satunya kehormatan ilmiah yang jatuh ke tangan Lobachevsky selama hidupnya. Dia meninggal tanpa mendapatkan pengakuan atas ide-idenya.

Berbicara tentang geometri Lobachevsky, tidak mungkin untuk tidak menyebutkan ilmuwan lain yang, bersama dengan Gauss dan Lobachevsky, berbagi manfaat dalam penemuan geometri non-Euclidean. Dia adalah ahli matematika Hongaria J. Bolyai (1802-1860). Ayahnya, ahli matematika terkenal F. Bolyai, yang sepanjang hidupnya bekerja pada teori paralel, percaya bahwa solusi untuk masalah ini berada di luar kekuatan manusia, dan ingin melindungi putranya dari kegagalan dan kekecewaan. Dalam salah satu suratnya, dia menulis kepadanya: “Saya melewati semua kegelapan tanpa harapan pada malam ini dan mengubur setiap cahaya, setiap kegembiraan hidup di dalamnya... hal itu dapat menghilangkan seluruh waktu, kesehatan, kedamaian, semua kebahagiaan dalam hidupmu…” Namun Janos tidak mengindahkan peringatan ayahnya. Segera ilmuwan muda itu, terlepas dari Gauss dan Lobachevsky, mempunyai ide yang sama. Dalam lampiran buku ayahnya yang diterbitkan pada tahun 1832, J. Bolyai memberikan presentasi independen tentang geometri non-Euclidean.

Geometri Lobachevsky (atau geometri Lobachevsky Bolyai, demikian kadang-kadang disebut) mempertahankan semua teorema yang dalam geometri Euclidean dapat dibuktikan tanpa menggunakan postulat kelima (atau aksioma paralel dari salah satu yang setara dengan postulat kelima - termasuk dalam buku teks sekolah ini hari). Misalnya: sudut vertikal sama besar; sudut-sudut pada alas segitiga sama kaki adalah sama besar; dari suatu titik tertentu hanya satu garis tegak lurus yang dapat diturunkan ke suatu garis tertentu; tanda-tanda persamaan segitiga, dll juga dipertahankan, namun teorema yang digunakan untuk membuktikan aksioma paralelisme telah dimodifikasi. Teorema jumlah sudut suatu segitiga merupakan teorema pertama mata pelajaran sekolah yang pembuktiannya menggunakan aksioma paralelisme. Di sini “kejutan” pertama menanti kita: dalam geometri Lobachevsky, jumlah sudut segitiga mana pun kurang dari 180°.

Jika dua sudut suatu segitiga masing-masing sama dengan dua sudut segitiga lainnya, maka dalam geometri Euclidean sudut ketiga juga sama besar (segitiga tersebut sebangun). Tidak ada segitiga seperti itu dalam geometri Lobachevsky. Terlebih lagi, dalam geometri Lobachevsky terdapat kriteria keempat untuk persamaan segitiga: jika sudut-sudut suatu segitiga sama besar dengan sudut-sudut segitiga lainnya, maka segitiga-segitiga tersebut juga sama besar.

Selisih antara 180° dan jumlah sudut segitiga dalam geometri Lobachevsky adalah positif; itu disebut cacat segitiga ini. Ternyata dalam geometri ini luas segitiga sangat berhubungan dengan cacatnya: , dimana dan berarti luas dan cacat segitiga, dan jumlahnya tergantung pada pilihan satuan pengukuran luas dan sudut.

Misalkan sekarang ada sudut lancip (Gbr. 5). Dalam geometri Lobachevsky, Anda dapat memilih titik pada sisi sedemikian rupa sehingga tegak lurus sisi tersebut tidak berpotongan dengan sisi sudut lainnya. Fakta ini hanya menegaskan bahwa postulat kelima tidak terpenuhi: jumlah sudut dan lebih kecil dari sudut terbuka, tetapi garis lurus tidak berpotongan. Jika Anda mulai mendekatkan titik tersebut ke , maka akan terdapat titik “kritis” sehingga garis tegak lurus terhadap sisi tetap tidak berpotongan dengan sisi tersebut, tetapi untuk setiap titik yang terletak di antara dan , garis tegak lurus tersebut berpotongan dengan sisi. Mereka lurus dan semakin dekat satu sama lain, tetapi tidak memiliki kesamaan. Pada Gambar. 6 garis-garis ini ditampilkan secara terpisah; Lobachevsky menyebut garis lurus yang mendekati satu sama lain tanpa batas sebagai paralel dalam geometrinya. Dan Lobachevsky menyebut dua garis tegak lurus terhadap satu garis lurus (yang bergerak menjauhi satu sama lain tanpa batas waktu, seperti pada Gambar 2) sebagai garis lurus yang berbeda. Ternyata hal ini membatasi semua kemungkinan susunan dua garis pada bidang Lobachevsky: dua garis yang berbeda berpotongan di satu titik, atau sejajar (Gbr. 6), atau berbeda (dalam hal ini keduanya memiliki satu kesamaan tegak lurus, Gambar 2).

Pada Gambar. 7, garis tegak lurus sisi sudut tidak berpotongan dengan sisi, dan garis lurus simetris terhadap garis lurus relatif terhadap . Selanjutnya, , tegak lurus terhadap ruas di tengahnya dan demikian pula tegak lurus terhadap ruas di tengahnya. Garis tegak lurus ini tidak berpotongan, dan oleh karena itu tidak ada titik yang sama jauhnya dari titik-titik tersebut, yaitu. segitiga tidak mempunyai lingkaran.

Pada Gambar. Gambar 8 menunjukkan varian menarik dari susunan tiga garis lurus pada bidang Lobachevsky: masing-masing dua garis sejajar (hanya dalam arah yang berbeda). Dan pada Gambar. 9 semua garis sejajar satu sama lain dalam arah yang sama (seikat garis sejajar). Garis merah pada gambar. 9 adalah “tegak lurus” terhadap semua garis lurus yang ditarik (yaitu, garis singgung garis ini di titik mana pun tegak lurus terhadap garis lurus yang melalui ). Garis ini disebut lingkaran batas, atau horocycle. Garis lurus dari balok yang ditinjau seolah-olah merupakan “jari-jarinya”, dan “pusat” lingkaran pembatas terletak di tak terhingga, karena “jari-jari” tersebut sejajar. Pada saat yang sama, lingkaran pembatas bukanlah garis lurus, melainkan “melengkung”. Dan sifat-sifat lain yang dimiliki suatu garis lurus dalam geometri Euclidean, dalam geometri Lobachevsky ternyata melekat pada garis-garis lain. Misalnya, sekumpulan titik yang terletak di satu sisi garis tertentu pada jarak tertentu darinya, dalam geometri Lobachevsky, adalah garis lengkung (disebut berjarak sama).

Kami hanya menyinggung secara singkat beberapa fakta geometri Lobachevsky, tanpa menyebutkan banyak teorema lain yang sangat menarik dan bermakna (misalnya, keliling dan luas lingkaran berjari-jari di sini bertambah bergantung pada hukum eksponensial). Ada keyakinan bahwa teori yang kaya akan fakta-fakta yang sangat menarik dan bermakna ini ternyata konsisten. Namun keyakinan ini (yang dianut oleh ketiga pencipta geometri non-Euclidean) tidak menggantikan bukti konsistensi.

Untuk memperoleh bukti tersebut, perlu dibangun suatu model. Dan Lobachevsky memahami hal ini dengan baik dan mencoba menemukannya.

Tapi Lobachevsky sendiri tidak bisa lagi melakukan ini. Konstruksi model seperti itu (yaitu, bukti konsistensi geometri Lobachevsky) jatuh ke tangan ahli matematika generasi berikutnya.

Pada tahun 1868, ahli matematika Italia E. Beltrami memeriksa permukaan cekung yang disebut pseudosphere (Gbr. 10) dan membuktikan bahwa geometri Lobachevsky beroperasi pada permukaan ini! Jika kita menggambar garis terpendek (“geodesik”) pada permukaan ini dan mengukur jarak sepanjang garis tersebut, membuat segitiga dari busur garis tersebut, dll., maka ternyata semua rumus geometri Lobachevsky diterapkan dengan tepat (khususnya , jumlah sudut suatu segitiga yang kurang dari 180°). Benar, tidak seluruh bidang Lobachevsky diwujudkan di pseudosphere, tetapi hanya sebagian kecil saja, tetapi tetap saja ini adalah terobosan pertama dalam dinding kosong yang tidak mengenali Lobachevsky. Dan dua tahun kemudian, ahli matematika Jerman F. Klein (1849-1925) mengusulkan model lain dari bidang Lobachevsky.

Klein mengambil sebuah lingkaran dan mempertimbangkan transformasi proyektif pada bidang tersebut (lihat Geometri proyektif) yang memetakan lingkaran itu ke dirinya sendiri. Klein menyebut bagian dalam lingkaran sebagai “bidang”, dan menganggap transformasi proyektif yang ditunjukkan sebagai “gerakan” dari “bidang” ini. Lebih lanjut, Klein menganggap setiap tali busur lingkaran (tanpa ujung, karena hanya titik dalam lingkaran yang diambil) sebagai “garis lurus”. Karena “gerakan” adalah transformasi proyektif, maka transformasi “langsung” berubah menjadi “langsung” selama “gerakan” ini. Sekarang di “bidang” ini kita dapat mempertimbangkan segmen, segitiga, dll. Dua bangun disebut “sama” jika salah satunya dapat berpindah ke bangun yang lain melalui suatu “gerakan”. Dengan demikian, semua konsep yang disebutkan dalam aksioma geometri diperkenalkan, dan pemenuhan aksioma dalam model ini dapat diperiksa. Misalnya, jelas bahwa hanya ada satu “garis lurus” yang melalui dua titik mana pun (Gbr. 11). Dapat juga dilihat bahwa melalui suatu titik yang bukan merupakan suatu “garis” dilewatkan “garis” dalam jumlah tak terhingga yang tidak berpotongan. Verifikasi lebih lanjut menunjukkan bahwa dalam model Klein semua aksioma geometri Lobachevsky lainnya juga terpenuhi. Secara khusus, untuk setiap “garis lurus” (yaitu tali busur lingkaran) dan setiap titik dari “garis lurus” ini terdapat “gerakan” yang memindahkannya ke garis lurus lain yang diberi tanda titik di atasnya. Hal ini memungkinkan kita untuk memeriksa pemenuhan semua aksioma geometri Lobachevsky.

Model geometri Lobachevsky lainnya dikemukakan oleh ahli matematika Prancis A. Poincaré (1854-1912). Ia juga mempertimbangkan interior lingkaran tertentu; Ia menganggap busur lingkaran “lurus” yang menyentuh jari-jari pada titik perpotongan dengan batas lingkaran (Gbr. 12). Tanpa berbicara secara rinci tentang "gerakan" dalam model Poincaré (gerakan tersebut akan berupa transformasi melingkar, khususnya inversi terhadap "garis lurus", mengubah lingkaran menjadi dirinya sendiri), kami akan membatasi diri untuk menunjukkan Gambar. 13, menunjukkan bahwa dalam model ini aksioma paralelisme Euclidean tidak memiliki tempat. Menariknya, dalam model ini sebuah lingkaran (Euclidean) yang terletak di dalam lingkaran ternyata adalah “lingkaran” dalam pengertian geometri Lobachevsky; lingkaran menyentuh batas. Kemudian cahaya akan (sesuai dengan prinsip Fermat tentang waktu minimum pergerakan sepanjang lintasan cahaya) merambat tepat di sepanjang “garis lurus” model yang dipertimbangkan. Cahaya tidak dapat mencapai batas dalam waktu yang terbatas (karena kecepatannya berkurang menjadi nol di sana), dan oleh karena itu dunia ini akan dianggap oleh “penghuninya” sebagai tak terbatas, dan dalam metrik dan propertinya bertepatan dengan bidang Lobachevsky.

Selanjutnya, model geometri Lobachevsky lainnya diusulkan. Model-model ini akhirnya membentuk konsistensi geometri Lobachevsky. Dengan demikian, ditunjukkan bahwa geometri Euclid bukanlah satu-satunya geometri yang mungkin. Hal ini mempunyai dampak progresif yang besar terhadap perkembangan lebih lanjut geometri dan matematika secara umum.

Dan di abad ke-20. ditemukan bahwa geometri Lobachevsky tidak hanya penting untuk matematika abstrak, sebagai salah satu kemungkinan geometri, tetapi juga berhubungan langsung dengan penerapan matematika pada fisika. Ternyata hubungan antara ruang dan waktu, yang ditemukan dalam karya H. Lorentz, A. Poincaré, A. Einstein, G. Minkowski dan dijelaskan dalam kerangka teori relativitas khusus, berkaitan langsung dengan geometri Lobachevsky. Misalnya, dalam perhitungan sinkrofasotron modern, rumus geometri Lobachevsky digunakan.

Tanda-tanda kesejajaran dua garis

Teorema 1. Jika, ketika dua garis berpotongan dengan garis potong:

sudut bersilangan sama besar, atau

sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau

jumlah sudut satu sisinya adalah 180°

garis sejajar(Gbr. 1).

Bukti. Kami membatasi diri untuk membuktikan kasus 1.

Misalkan garis potong a dan b bersilangan dan sudut AB sama besar. Misalnya, ∠ 4 = ∠ 6. Mari kita buktikan bahwa a || B.

Misalkan garis a dan b tidak sejajar. Kemudian keduanya berpotongan di suatu titik M dan oleh karena itu, salah satu sudut 4 atau 6 adalah sudut luar segitiga ABM. Agar lebih pasti, misalkan ∠ 4 adalah sudut luar segitiga ABM, dan ∠ 6 adalah sudut dalam. Dari teorema sudut luar suatu segitiga diperoleh bahwa ∠ 4 lebih besar dari ∠ 6, dan hal ini bertentangan dengan syarat, yaitu garis a dan 6 tidak dapat berpotongan sehingga sejajar.

Akibat wajar 1. Dua garis berbeda pada suatu bidang yang tegak lurus terhadap garis yang sama adalah sejajar(Gbr. 2).

Komentar. Cara kita membuktikan kasus 1 Teorema 1 tadi disebut metode pembuktian dengan kontradiksi atau reduksi ke absurditas. Metode ini mendapat nama depannya karena pada awal argumentasi dibuat asumsi yang bertentangan (berlawanan) dengan apa yang perlu dibuktikan. Disebut mengarah pada absurditas karena dengan menalar berdasarkan asumsi yang dibuat, kita sampai pada suatu kesimpulan yang absurd (to the absurd). Menerima kesimpulan seperti itu memaksa kita untuk menolak asumsi yang dibuat di awal dan menerima asumsi yang perlu dibuktikan.

Tugas 1. Buatlah garis yang melalui titik M dan sejajar dengan garis a, tidak melalui titik M.

Larutan. Kita tarik garis lurus p melalui titik M yang tegak lurus terhadap garis lurus a (Gbr. 3).

Kemudian kita tarik garis b melalui titik M yang tegak lurus garis p. Garis b sejajar dengan garis a menurut akibat wajar Teorema 1.

Kesimpulan penting berikut dari masalah yang dipertimbangkan:
melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, selalu mungkin untuk menggambar garis yang sejajar dengan garis tersebut.

Sifat utama garis sejajar adalah sebagai berikut.

Aksioma garis sejajar. Melalui suatu titik tertentu yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis tersebut.

Mari kita perhatikan beberapa sifat garis sejajar yang mengikuti aksioma ini.

1) Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga memotong garis lainnya (Gbr. 4).

2) Jika dua garis berbeda sejajar dengan garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar (Gbr. 5).

Teorema berikut juga benar.

Teorema 2. Jika dua garis sejajar berpotongan dengan garis transversal, maka:

sudut-sudut melintangnya sama besar;

sudut-sudut yang bersesuaian sama besar;

jumlah sudut satu sisi adalah 180°.

Akibat wajar 2. Jika suatu garis tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis lainnya(lihat Gambar 2).

Komentar. Teorema 2 disebut invers dari Teorema 1. Kesimpulan dari Teorema 1 merupakan syarat dari Teorema 2. Dan syarat dari Teorema 1 adalah kesimpulan dari Teorema 2. Tidak semua teorema mempunyai invers, yaitu jika suatu teorema tertentu adalah benar, maka teorema invers mungkin salah.

Mari kita jelaskan dengan menggunakan contoh teorema sudut vertikal. Teorema ini dapat dirumuskan sebagai berikut: jika dua sudut tegak lurus, maka keduanya sama besar. Teorema kebalikannya adalah: jika dua sudut sama besar, maka keduanya vertikal. Dan ini tentu saja tidak benar. Dua sudut yang sama besar tidak harus vertikal.

Contoh 1. Dua garis sejajar berpotongan sepertiga. Diketahui selisih dua sudut sepihak dalam adalah 30°. Temukan sudut-sudut ini.

Larutan. Biarkan Gambar 6 memenuhi kondisi tersebut.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.