Kuliah nomor 7

Pesawat dan garis di luar angkasa

Prof. Dymkov M.P.

1. Persamaan parametrik suatu garis

Misalkan sebuah titik M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) diberikan pada sebuah garis dan sebuah vektor s = (l ,m ,n ) terletak pada

garis ini (atau sejajar dengannya). Vektor s disebut juga vektor arah lurus.

Kondisi tersebut secara unik menentukan garis lurus dalam ruang. Mari kita temukan dia

persamaannya. Mari kita ambil titik sembarang M (x, y, z) pada sebuah garis. Jelas bahwa vektor

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) dan s adalah segaris.

Oleh karena itu, M 0 M = t s − adalah persamaan vektor garis lurus.

Dalam notasi koordinat, persamaan terakhir memiliki representasi parametrik sebagai berikut

x = x0 + tl ,

kamu = kamu0 + tm,

z = z0 + tn,

−∞ < t < +∞,

dimana t – “berjalan”

interval (−∞ ,∞ ) ,

(karena titik M (x, y, z) harus

"berlari"

seluruh garis lurus).

2. Persamaan garis kanonik

Menghilangkan parameter t dari persamaan sebelumnya, kita punya

x−x

kamu−kamu

z−z

T−

persamaan kanonik lurus.

3. Sudut antar garis lurus. Kondisi "" dan "" dari dua baris

Biarkan dua garis lurus diberikan

x−xi

kamu−yi

z−zi

saya = 1,2.

Definisi.

Sudut antara garis lurus L 1 dan L 2

sebut saja sudut mana pun

dua sudut yang dibentuk oleh dua garis lurus, masing-masing sejajar dengan garis tertentu dan melalui satu titik (yang mungkin memerlukan translasi paralel salah satu garis lurus).

Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa salah satu sudut sama dengan sudut antara

mengarahkan vektor garis lurus

= (l 1 ,m 1 ,n 1 )

= (l 2 ,m 2 ,n 2 ) , [dan sudut kedua

maka akan sama dengan (π − φ )]. Kemudian sudut ditentukan dari relasinya

cosφ =

aku 1 2 + m 1 2 + n 1 2

aku 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Garis sejajar, jika s dan s

segaris

Garis-garis tersebut tegak lurus terhadap s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0.

4. Sudut antara garis lurus dan bidang. Kondisi "" dan "" langsung dan

pesawat

Misalkan garis lurus L didefinisikan dengan persamaan kanoniknya x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

dan bidang P – dengan persamaan

Kapak + Oleh + Cz + D = 0.

Definisi. Sudut antara garis lurus L

dan bidang p disebut sudut tajam antara garis lurus L dan proyeksinya pada bidang.

Dari definisi (dan gambar) berikut bahwa sudut yang diinginkan ϕ saling melengkapi (hingga sudut kanan) dengan sudut antara vektor normal n (A, B, C) dan

vektor arah s (l ,m ,n ) .

Al + Bm + Cn

−φ

Dosa φ =

A 2 + B 2 + C 2 aku 2 + m 2 + n 2

(.diambil untuk mendapatkan sudut lancip).

Jika L , maka s n (s,n) = 0

Al + Bm + Cn = 0 −			kondisi " ".
Jika L Р, maka s segaris ke n
		C−	kondisi " ".


5. Titik potong garis dan bidang
L: x = x0 + aku, t,			y = y0 + m t , z = z0 + n t ;
P: Kapak + Oleh + Cz + D = 0.
Mengganti ekspresi x, y, z ke dalam persamaan bidang dan mentransformasikannya,
	t = − Kapak 0 + Oleh 0 + Cz 0 + D .
		Al + Bm + Cn

Sekarang, jika kita mengganti “t” yang ditemukan ke dalam persamaan parametrik garis, kita akan menemukan titik potong yang diinginkan

Kuliah No.8-9

Dasar-dasar analisis matematika

Prof. Dymkov M.P.

Salah satu operasi utama analisis matematis adalah operasi melewati batas, yang ditemukan dalam kursus di berbagai bentuk. Kita akan mulai dengan bentuk operasi pembatas yang paling sederhana, berdasarkan konsep limit, yang disebut urutan nomor. Ini akan memudahkan kami untuk memperkenalkan dan lainnya bentuk penting operasi peralihan ke limit – limit suatu fungsi. Selanjutnya, konstruksi lintasan batas akan digunakan dalam konstruksi kalkulus diferensial dan integral.



 Urutan yang sangat kecil dan sangat besar

 Hubungan antara barisan yang sangat besar dan sangat kecil.

 Sifat paling sederhana dari barisan yang sangat kecil

 Batas konsistensi.

 Sifat-sifat barisan konvergen

 Operasi aritmatika pada barisan konvergen

 Urutan monoton

 Kriteria konvergensi Cauchy

 Angka e dan ilustrasi ekonominya.

 Penerapan batasan dalam perhitungan ekonomi

§ 1. Urutan bilangan dan sifat-sifat sederhana

1. Konsep barisan bilangan. Operasi aritmatika pada barisan

Barisan bilangan adalah kumpulan bilangan yang tak terhingga. Contoh barisan yang diketahui dari sekolah:

1) barisan semua suku suatu barisan aritmatika dan geometri tak hingga;

2) barisan keliling beraturan n-gon tertulis dalam lingkaran tertentu;

	3) urutan angka							mendekati nomor tersebut

kami akan menyebutnya urutan nomor (atau hanya urutan).

Bilangan individu x 3 , x 5 , x n disebut unsur atau anggota barisan (1). Simbol xn disebut suku persekutuan atau suku ke-n suatu barisan tertentu. Memberikan nilai n = 1, 2, ... dalam istilah umum x n kita memperoleh masing-masing x 1 pertama, x 2 kedua, dan seterusnya. anggota.

Suatu barisan dianggap diberikan (lihat Definisi) jika suatu metode untuk memperoleh salah satu elemennya ditentukan. Seringkali suatu barisan diberikan dengan rumus suku umum barisan tersebut.

Untuk mempersingkat notasi, barisan (1) kadang-kadang ditulis sebagai

( x n ) . Misalnya,			berarti urutan 1,
( x n ) . Misalnya,			berarti urutan 1,

( 1+ (− 1)n ) kita punya			0, 2, 0, 2, … .

Struktur istilah umum (rumusnya) bisa jadi rumit. Misalnya,


		n n.
x n =	n-aneh	n n.

Terkadang urutannya ditentukan oleh apa yang disebut rumus yang berulang, yaitu rumus yang memungkinkan Anda mencari suku-suku berikutnya dari barisan tersebut menggunakan suku-suku yang diketahui sebelumnya.

Contoh (angka Fibonacci). Misalkan x 1 = x 2 = 1 dan diberikan rumus kekambuhan x n = x n − 1 + x n − 2 untuk n = 3, 4, … . Maka kita memiliki barisan 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (bilangan Leonardo dari Pisa, dijuluki Fibonacci). Secara geometris barisan bilangan dapat digambarkan pada suatu bilangan

sumbu berupa barisan titik-titik yang koordinatnya sama

anggota barisan yang sesuai. Misalnya, ( x n ) = 1 n .

Kuliah No.8-9 Dasar-dasar Analisis Matematika Prof. Dymkov M.P. 66

Mari kita perhatikan, bersama dengan barisan ( x n ), barisan lainnya ( yn ): y 1, y 2, y,n (2).

Definisi. Jumlah (selisih, hasil kali, hasil bagi) barisan tersebut

dari ( xn ) dan ( yn ) adalah barisan ( zn ) yang anggotanya

dididik menurut

z n = x n + yn

X−y

≠ 0

Hasil kali barisan (xn) dengan bilangan c R adalah barisan (c xn).

Definisi. Barisan (xn) disebut berbatas

dari atas (dari bawah), jika ada bilangan real M (m) sedemikian rupa sehingga setiap elemen barisan xn memenuhi pertidaksamaan

xn ≤ M (xn ≥ m) . Suatu barisan disebut terbatas jika dibatasi di atas dan di bawah m ≤ xn ≤ M . Urutan xn disebut

tidak terbatas jika untuk bilangan positif A (sebesar yang diinginkan) setidaknya ada salah satu elemen barisan xn, memuaskan

memenuhi pertidaksamaan xn > A.

( x n ) = ( 1n ) – terbatas, karena 0 ≤ xn ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − dibatasi di bawah oleh 1, tetapi tidak dibatasi.

( x n ) = ( − n ) − dibatasi dari atas (–1), tetapi juga tidak dibatasi.

Definisi. Barisan ( x n ) disebut kecil sekali,

jika untuk sembarang bilangan real positif ε (sekecil apapun bilangan tersebut) terdapat bilangan N, yang secara umum bergantung pada ε, (N = N (ε)) sehingga untuk semua n ≥ N pertidaksamaan x n berlaku< ε .

Contoh. ( x n ) = 1 n .

Definisi. Barisan (xn) disebut menyakitkan tanpa henti

baik jika untuk bilangan real positif A (berapa pun besarnya) terdapat bilangan N (N = N(A)) sehingga untuk semua n ≥ N

diperoleh pertidaksamaan xn > A.

Garis lurus dan titiknya adalah elemen penting geometri, dengan bantuan banyak figur yang dibangun di ruang dan di pesawat. Artikel ini membahas secara rinci tentang parametrik serta hubungannya dengan jenis persamaan lain untuk elemen geometris ini.

Garis lurus dan persamaan untuk menggambarkannya

Garis lurus dalam geometri adalah kumpulan titik-titik yang menghubungkan dua titik sembarang dalam ruang dengan segmen yang panjangnya terpendek. Ruas ini merupakan bagian dari garis lurus. Kurva lain yang menghubungkan dua titik tetap dalam ruang akan lebih panjang sehingga tidak lurus.

Gambar di atas menunjukkan dua titik hitam. Garis biru yang menghubungkan keduanya lurus, dan garis merah melengkung. Jelas terlihat bahwa panjang garis merah di antara titik-titik hitam lebih panjang daripada garis biru.

Ada beberapa jenis persamaan garis yang dapat digunakan untuk menggambarkan suatu garis dalam ruang tiga dimensi atau ruang dua dimensi. Di bawah ini adalah nama-nama persamaan tersebut:

vektor;
parametrik;
di segmen;
simetris atau kanonik;
tipe umum.

Pada artikel ini kita akan membahas persamaan parametrik garis lurus, tetapi kita akan menurunkannya dari persamaan vektor. Kami juga akan menunjukkan hubungan antara persamaan parametrik dan persamaan simetris atau kanonik.

Persamaan vektor

Jelas bahwa semua jenis persamaan untuk elemen geometri yang dipertimbangkan saling berhubungan. Akan tetapi, persamaan vektor merupakan dasar dari semuanya, karena persamaan tersebut mengikuti langsung definisi garis lurus. Mari kita pertimbangkan bagaimana hal itu diperkenalkan ke dalam geometri.

Misalkan kita diberi sebuah titik di ruang P(x 0 ; y 0 ; z 0). Diketahui bahwa titik tersebut termasuk dalam garis. Berapa banyak garis yang dapat ditarik melaluinya? Banyaknya yang tak terbatas. Oleh karena itu, untuk menggambar satu garis lurus, perlu ditentukan arah garis lurus tersebut. Arahnya diketahui ditentukan oleh vektor. Mari kita nyatakan v¯(a; b; c), dengan simbol dalam tanda kurung adalah koordinatnya. Untuk setiap titik Q(x; y; z) yang terletak pada garis yang ditinjau, kita dapat menulis persamaannya:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c)

Di sini simbol α adalah parameter yang benar-benar bernilai real apa pun (mengalikan suatu vektor dengan suatu bilangan hanya dapat mengubah besar atau arahnya ke arah sebaliknya). Persamaan ini disebut persamaan vektor untuk suatu garis dalam ruang tiga dimensi. Dengan mengubah parameter α, kita mendapatkan semua titik (x; y; z) yang membentuk garis ini.

Vektor v¯(a; b; c) dalam persamaan tersebut disebut vektor pengarah. Garis lurus tidak mempunyai arah tertentu, dan panjangnya tidak terhingga. Fakta-fakta ini berarti bahwa setiap vektor diperoleh dari v¯ dengan mengalikannya dengan bilangan real, juga akan menjadi panduan untuk garis lurus.

Sedangkan untuk intinya P(x 0 ; y 0 ; z 0), maka sebagai gantinya Anda dapat mengganti titik sembarang yang terletak pada garis lurus ke dalam persamaan, dan titik tersebut tidak akan berubah.

Gambar di atas menunjukkan garis lurus (garis biru) yang didefinisikan dalam ruang melalui vektor arah (segmen berarah merah).

Tidak sulit untuk mendapatkan persamaan serupa untuk kasus dua dimensi. Dengan menggunakan alasan serupa kita sampai pada ungkapan:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Kita melihat bahwa ini sepenuhnya sama dengan yang sebelumnya, hanya dua koordinat yang digunakan, bukan tiga, untuk menentukan titik dan vektor.

Persamaan parametrik

Pertama, kita memperoleh persamaan parametrik garis lurus dalam ruang. Di atas, ketika persamaan vektor ditulis, kami telah menyebutkan parameter yang ada di dalamnya. Untuk mendapatkan persamaan parametrik, cukup dengan memperluas vektornya. Kita mendapatkan:

x = x 0 + α × a;
kamu = kamu 0 + α × b;
z = z 0 + α × c
Himpunan ketiga persamaan linier yang masing-masing mempunyai satu koordinat variabel dan parameter α, biasa disebut persamaan parametrik suatu garis dalam ruang. Faktanya, kami tidak melakukan sesuatu yang baru, tetapi hanya secara eksplisit mencatat arti dari ekspresi vektor yang sesuai. Mari kita perhatikan satu hal saja: bilangan α, meskipun sembarang, tetap sama untuk ketiga persamaan. Misalnya, jika α = -1,5 untuk persamaan pertama, maka nilai yang sama harus disubstitusikan ke persamaan kedua dan ketiga saat menentukan koordinat titik.
Persamaan parametrik suatu garis pada suatu bidang serupa dengan persamaan parametrik untuk kasus spasial. Itu ditulis sebagai:

x = x 0 + α × a;
kamu = kamu 0 + α × b

Jadi, untuk membuat persamaan parametrik suatu garis, persamaan vektornya harus dituliskan secara eksplisit.

Memperoleh persamaan kanonik

Seperti disebutkan di atas, semua persamaan yang menentukan garis dalam ruang dan bidang diperoleh dari satu sama lain. Kami akan menunjukkan cara mendapatkan garis lurus kanonik dari persamaan parametrik. Untuk kasus spasial kita mempunyai:

x = x 0 + α × a;
kamu = kamu 0 + α × b;
z = z 0 + α × c

Mari kita nyatakan parameter dalam setiap persamaan:

= (x - x 0) / a;
= (y - y 0) / b;
= (z - z 0) / c

Karena ruas kirinya sama, maka ruas kanan persamaannya juga sama:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c

Ini adalah persamaan kanonik untuk sebuah garis dalam ruang. Nilai penyebut pada setiap ekspresi adalah koordinat yang bersesuaian.Nilai pada pembilang yang dikurangkan dari setiap variabel adalah koordinat suatu titik pada garis tersebut.
Persamaan yang sesuai untuk kasus di pesawat berbentuk:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b

Persamaan garis yang melalui 2 titik

Diketahui bahwa dua titik tetap baik pada bidang maupun ruang secara unik menentukan suatu garis lurus. Misalkan terdapat dua titik berikut pada bidang tersebut:

Bagaimana cara menulis persamaan garis lurus yang melaluinya? Pertama, Anda perlu menentukan vektor arah. Koordinatnya mempunyai arti sebagai berikut:

PQ¯(x 2 - x 1 ; kamu 2 - kamu 1)

Sekarang Anda dapat menulis persamaan dalam salah satu dari tiga bentuk yang telah dibahas pada paragraf di atas. Misalnya, persamaan parametrik garis lurus berbentuk:

x = x 1 + α × (x 2 - x 1);
kamu = kamu 1 + α × (kamu 2 - kamu 1)

Dalam bentuk kanonik Anda dapat menulis ulang seperti ini:

(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)

Terlihat bahwa persamaan kanonik memuat koordinat kedua titik, dan titik-titik tersebut dapat diubah pembilangnya. Jadi, persamaan terakhir dapat ditulis ulang sebagai berikut:

(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)

Semua ekspresi tertulis disebut persamaan garis lurus yang melalui 2 titik.

Masalah tiga poin

Diberikan koordinat tiga titik berikut:

Penting untuk menentukan apakah titik-titik ini terletak pada garis yang sama atau tidak.
Masalah ini harus diselesaikan dengan cara ini: pertama, buat persamaan garis lurus untuk dua titik mana pun, lalu substitusikan koordinat titik ketiga ke dalamnya dan periksa apakah keduanya memenuhi persamaan yang dihasilkan.
Kami menyusun persamaan dalam M dan N dalam bentuk parametrik. Untuk melakukan ini, kami menerapkan rumus yang diperoleh pada paragraf di atas, yang kami generalisasikan ke kasus tiga dimensi. Kita punya:

x = 5 + α × (-3);
kamu = 3 + α × (-1);
z = -1 + α × 1

Sekarang mari kita substitusikan koordinat titik K ke dalam ekspresi ini dan temukan nilai parameter alpha yang sesuai dengannya. Kita mendapatkan:

1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;
1 = 3 + α × (-1) => α = 4;
5 = -1 + α × 1 => α = -4

Kami menemukan bahwa ketiga persamaan akan valid jika masing-masing persamaan mengambil nilai berbeda untuk parameter α. Fakta terakhir bertentangan dengan syarat persamaan parametrik garis lurus, dimana α harus sama untuk semua persamaan. Artinya titik K tidak termasuk dalam garis MN, artinya ketiga titik tersebut tidak terletak pada garis yang sama.

Masalah paralelisme

Diberikan dua persamaan garis masuk bentuk parametrik. Mereka disajikan di bawah ini:

x = -1 + 5 × ;
x = 2 - 6 ×λ;
kamu = 4 - 3,6 × λ

Penting untuk menentukan apakah garis-garisnya sejajar. Cara termudah untuk menentukan kesejajaran dua garis adalah dengan menggunakan koordinat vektor arah. Beralih ke rumus umum persamaan parametrik dalam ruang dua dimensi, kita menemukan bahwa vektor arah setiap garis lurus akan memiliki koordinat:

Dua buah vektor dikatakan sejajar jika salah satu vektor dapat diperoleh dengan mengalikan vektor yang lain dengan suatu bilangan. Mari kita bagi koordinat vektor secara berpasangan, kita mendapatkan:

Artinya:

v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯

Arah vektor v 2 ¯ dan v 1 ¯ sejajar, artinya garis-garis pada rumusan masalah juga sejajar.
Mari kita periksa apakah barisnya sama. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengganti koordinat titik mana pun ke dalam persamaan titik lain. Mari kita ambil titik (-1; 3) dan substitusikan ke persamaan baris kedua:

1 = 2 - 6 × λ => λ = 1/2;
3 = 4 - 3,6 × λ => λ ≈ 0,28

Artinya, garis lurus itu berbeda.

Masalah tegak lurus garis

Diberikan persamaan dua garis lurus:

x = 2 + 6 ×λ;
kamu = -2 - 4 × λ

Apakah garis-garis ini tegak lurus?
Dua garis akan tegak lurus jika hasil kali skalar vektor arahnya sama dengan nol. Mari kita tuliskan vektor-vektor ini:

Mari kita cari produk skalarnya:

(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0

Jadi, kami menemukan bahwa garis-garis yang dianggap tegak lurus. Mereka ditunjukkan pada gambar di atas.

Menyamakan setiap pecahan dengan parameter tertentu dalam persamaan kanonik garis lurus T:

Kami memperoleh persamaan yang menyatakan koordinat saat ini dari setiap titik pada garis melalui parameter T.

Jadi, persamaan parametrik garis tersebut berbentuk:

Persamaan garis yang melalui dua titik tertentu.

Biarkan dua poin M 1 diberikan (x 1 ,kamu 1 ,z 1) dan M 2 (x 2 ,kamu 2 ,z 2). Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu diperoleh dengan cara yang sama seperti persamaan serupa pada bidang. Oleh karena itu, kami segera menyajikan bentuk persamaan ini.

Garis lurus pada perpotongan dua bidang. Persamaan umum suatu garis dalam ruang.

Jika kita perhatikan dua bidang yang tidak sejajar, maka perpotongannya adalah garis lurus.

Jika vektor normal Dan non-kolinear.

Di bawah ini, ketika mempertimbangkan contoh, kami akan menunjukkan cara untuk mengubah persamaan garis tersebut menjadi persamaan kanonik.

5.4 Sudut antara dua garis lurus. Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua garis lurus.

Sudut antara dua garis lurus dalam ruang adalah salah satu sudut yang dibentuk oleh dua garis lurus yang melalui suatu titik sembarang yang sejajar dengan data.

Biarkan dua garis ditentukan oleh persamaan kanoniknya.

Mari kita ambil sudut antara vektor arah sebagai sudut antara dua garis lurus.

DAN

Kondisi tegak lurus dua garis lurus direduksi menjadi kondisi tegak lurus vektor arahnya dan , yaitu persamaan hasil kali skalar dengan nol: atau dalam bentuk koordinat: .

Kondisi paralelisme dua garis lurus direduksi menjadi kondisi paralelisme vektor arahnya dan

5.5 Pengaturan bersama lurus dan datar.

Biarkan persamaan garis lurus diberikan:

dan pesawat. Sudut antara garis lurus dan bidang disebut salah satu dari dua sudut berdekatan yang dibentuk oleh garis lurus dan proyeksinya pada bidang (Gambar 5.5).

Gambar 5.5

Jika garis tegak lurus bidang, maka vektor arah garis dan vektor normal bidang adalah segaris. Dengan demikian, kondisi tegak lurus garis lurus dan bidang direduksi menjadi kondisi kolinearitas vektor

Jika sebuah garis lurus dan sebuah bidang sejajar, vektor-vektornya di atas saling tegak lurus. Oleh karena itu, syarat kesejajaran garis dan bidang direduksi menjadi syarat tegak lurus vektor; itu. produk skalarnya nol atau dalam bentuk koordinat: .

Di bawah ini adalah contoh penyelesaian masalah yang berkaitan dengan topik Bab 5.

Contoh 1:

Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik A (1,2,4) tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan:

Larutan:

Mari kita gunakan persamaan bidang yang melewatinya titik tertentu tegak lurus terhadap vektor tertentu.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Sebagai titik kita ambil titik A (1,2,4) yang dilalui pesawat sesuai dengan kondisi.

Dengan mengetahui persamaan kanonik garis, kita mengetahui vektor yang sejajar dengan garis.

Karena dengan syarat garis lurus tegak lurus terhadap bidang yang diinginkan, maka vektor arah dapat diambil sebagai vektor normal bidang tersebut.

Jadi, kita memperoleh persamaan bidang dalam bentuk:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Contoh 2:

Temukan di pesawat 4х-7у+5z-20=0 titik P yang OR membentuk sudut yang sama besar dengan sumbu koordinat.

Larutan:

Mari kita membuat gambar skema. (Gbr. 5.6)

pada

Gambar 5.6

Titik kosong P mempunyai koordinat . Karena vektor membentuk sudut yang sama dengan sumbu koordinat, kosinus arah vektor ini juga sama

Mari kita cari proyeksi vektornya:

maka cosinus arah vektor ini dapat dengan mudah dicari.

Dari persamaan arah cosinus persamaannya sebagai berikut:

xp =yp =zp

karena titik P terletak pada bidang, maka mensubstitusikan koordinat titik tersebut ke dalam persamaan bidang akan mengubahnya menjadi suatu identitas.

4x p -7х p +5х p -20=0

2x p = 20

x p = 10

Masing-masing: kamu r=10; z r=10.

Jadi, titik P yang diinginkan memiliki koordinat P(10;10;10)

Contoh 3:

Diberikan dua titik A (2,-1,-2) dan B (8,-7,5). Tentukan persamaan bidang yang melalui titik B tegak lurus segmen AB.

Larutan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita menggunakan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap vektor tertentu.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Kita menggunakan titik B (8,-7,5) sebagai titik, dan vektor yang tegak lurus bidang sebagai vektor. Mari kita cari proyeksi vektornya:

maka kita peroleh persamaan bidangnya berupa:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6х-48-6у-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Contoh 4:

Tentukan persamaan bidang yang sejajar sumbu OY dan melalui titik K(1,-5,1) dan M(3,2,-2).

Larutan:

Karena bidang sejajar dengan sumbu OY, kita akan menggunakan persamaan bidang yang tidak lengkap.

Kapak+Cz+D=0

Karena titik K dan M terletak pada bidang, kita memperoleh dua kondisi.

Mari kita nyatakan koefisien A dan C dari kondisi ini dalam bentuk D.

Mari kita substitusikan koefisien yang ditemukan ke dalam persamaan yang tidak lengkap pesawat:

karena , maka kita kurangi D:

Contoh 5:

Tentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Larutan:

Mari kita gunakan persamaan bidang yang melalui 3 titik tertentu.

mengganti koordinat poin M,K,R sebagai yang pertama, kedua dan ketiga kita dapatkan:

Mari kita perluas determinannya pada baris pertama.

Contoh 6:

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) dan tegak lurus bidang 3х+5у-7z-21=0

Larutan:

Mari kita membuat gambar skema (Gambar 5.7)

Gambar 5.7

Mari kita nyatakan bidang tertentu P 2 dan bidang yang diinginkan P 2. . Dari Persamaan. pesawat yang diberikan P 1 kita tentukan proyeksi vektor yang tegak lurus bidang P 1.

Vektor dapat dipindahkan ke bidang P2 dengan perpindahan paralel, karena menurut kondisi soal, bidang P2 tegak lurus bidang P1, artinya vektor tersebut sejajar dengan bidang P2.

Mari kita cari proyeksi vektor yang terletak pada bidang P2:

sekarang kita mempunyai dua vektor dan terletak pada bidang P 2. jelas sebuah vektor , sama dengan hasil kali vektor dari vektor-vektor dan akan tegak lurus terhadap bidang P 2, karena tegak lurus terhadap dan, oleh karena itu, vektor normalnya terhadap bidang P 2.

Oleh karena itu, vektor dan ditentukan oleh proyeksinya:

Selanjutnya, kita menggunakan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap vektor. Sebagai sebuah titik, Anda dapat mengambil salah satu titik M 1 atau M 2, misalnya M 1 (8,-3,1); Kita ambil sebagai vektor normal pada bidang P2.

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Contoh 7:

Garis lurus ditentukan oleh perpotongan dua bidang. Temukan persamaan kanonik garis tersebut.

Larutan:

Kami memiliki persamaan dalam bentuk:

Kita perlu menemukan intinya ( x 0,kamu 0,z 0), yang dilalui oleh garis lurus dan vektor arah.

Mari kita pilih salah satu koordinat secara sembarang. Misalnya, z=1, maka kita mendapatkan sistem dua persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui:

Jadi, kita telah menemukan sebuah titik yang terletak pada garis yang diinginkan (2,0,1).

Sebagai vektor arah dari garis lurus yang diinginkan kita ambil karya seni vektor vektor dan , yang merupakan vektor normal karena , dan karena itu sejajar dengan garis yang diinginkan.

Jadi, vektor arah garis mempunyai proyeksi. Menggunakan persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu yang sejajar dengan suatu vektor tertentu:

Jadi persamaan kanonik yang diperlukan berbentuk:

Contoh 8:

Temukan koordinat titik potong garis dan bidang 2x+3y+3z-8=0

Larutan:

Mari kita tulis persamaan garis lurus yang diberikan dalam bentuk parametrik.

x=3t-2; kamu=-t+2; z=2t-1

setiap titik pada garis berhubungan dengan satu nilai parameter T. Untuk menemukan parameternya T sesuai dengan titik potong garis dan bidang, kita substitusikan persamaan tersebut ke dalam persamaan bidang x, kamu, z melalui parameter T.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

lalu koordinat titik yang diinginkan

titik potong yang diinginkan mempunyai koordinat (1;1;1).

Contoh 9:

Temukan persamaan bidang yang melalui garis sejajar.

Mari kita membuat gambar skema (Gambar 5.9)

Gambar 5.9

Dari persamaan yang diberikan garis lurus dan tentukan proyeksi vektor arah garis lurus tersebut. Mari kita cari proyeksi vektor yang terletak pada bidang P, dan ambil titik-titik dari persamaan kanonik garis lurus M 1 (1,-1,2) dan M 2 (0,1,-2).

Persamaan yang selain besaran yang tidak diketahui, juga memuat besaran tambahan lain yang dapat mempunyai nilai berbeda dari suatu daerah tertentu disebut parametrik. Kuantitas tambahan dalam persamaan ini disebut parameter. Faktanya, banyak persamaan yang dapat ditulis dengan setiap persamaan parametrik. Kita akan melihat modul persamaan parametrik dan menyelesaikan persamaan parametrik sederhana.

Masalah 1 Selesaikan persamaan yang berhubungan dengan $x$
SEBUAH) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $kapak = 5$
E) $a – x = x + b$
F) $kapak = 3a$

Larutan:

A) $x + a = 7 \Panah kiri kanan x = 7 – a$, yaitu solusi persamaan ini telah ditemukan.
Untuk nilai parameter yang berbeda, solusinya adalah $x = 7 – a$

B) $2x + 8a = 4 \Panah Kanan Kiri 2x = 4 - 8a \Panah Kanan Kiri x = 2 – 4a$

C) $x + a = 2a – x \Panah Kanan Kiri x + x = 2a – a \Panah Kiri Kanan 2x = a \Panah Kiri Kanan x = \frac(a)(2)$

D) $ax = 5$, jika a berbeda dari 0 kita dapat membagi kedua ruas dengan a dan kita mendapatkan $x = 5$
Jika $a = 0$, kita mendapatkan persamaan seperti $0.x = 5$, yang tidak memiliki solusi;

E) $a – x = x + b \Panah Kiri Kanan a – b = x + x \Panah Kiri Kanan 2x = a – b \Panah Kiri Kanan x = \frac(a-b)(2)$

F) Bila a = 0 persamaan ax = 3a adalah 0.x = 0
Oleh karena itu, sembarang x adalah solusi. Jika a berbeda dari 0 maka
$ax = 3a \Panah Kanan Kiri x = \frac(3a)(a) \Panah Kanan Kiri x = 3$

Masalah 2 Jika a adalah parameter, selesaikan persamaan:
SEBUAH) $(Sebuah + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = kapak + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$

Larutan:

A) Jika $a + 1$ berbeda dengan 0, yaitu.. $a \neq -1$,
maka $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
jika $a + 1 = 0$, mis. $a = - 1$
persamaannya menjadi $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 1$, yang tidak memiliki solusi;

B) $2a + x = kapak + 4 \Panah Kanan Kiri$
$x – ax = 4 - 2a \Panah Kiri$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Jika $(1 – a) \neq 0$, maka $\neq 1$; solusinya adalah
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
Jika $a = 1$ persamaannya menjadi $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 2$, yang tidak memiliki solusi

C) $a^2x – x = a \Panah Kiri$
$x(a^2 -1) = a\Panah Kanan Kiri$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Jika $a - 1 \neq 0$ dan $a + 1 \neq 0$ maka $a \neq 1, -1$,
solusinya adalah $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
Jika $a = 1$ atau $a = -1$, persamaannya menjadi $0\cdot x = \pm 1$, yang tidak ada penyelesaiannya

D) $a^2x + x = a\Panah Kanan Kiri$
$(a^2 + 1)x = a$
Dalam hal ini, $a^2 + 1 \neq 0$ untuk $a$ apa pun, karena merupakan jumlah dari bilangan positif (1) dan satu bilangan negatif
$(a^2 \geq 0)$ maka $x = \frac(a)(a^2 + 1)$

Masalah 3 Jika a dan b adalah parameter, selesaikan persamaan:
A) $kapak + b = 0$
B) $kapak + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 – a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Larutan:

A) $ax + b = 0 \Kapak panah kiri-kanan = -b$
Jika $a \neq 0$, maka penyelesaiannya adalah $x = -\frac(b)(a)$.
Jika $a = 0, b\neq 0$, persamaannya berbentuk $0\cdot x = -b$ dan tidak mempunyai penyelesaian.
Jika $a = 0$ dan $b = 0$, persamaannya menjadi $0\cdot x = 0$ dan $x$ apa pun adalah solusi;

B) $ax + 2b = x \Kapak panah kiri-kanan – x = -2b \Panah kanan-kiri (a - 1)x = -2b$
Jika $a - 1 \neq 0$, mis. $a \neq 1$, solusinya adalah $x = -\frac(2b)(a-1)$
Jika $a - 1 = 0$, yaitu $a = 1$, dan $b \neq 0$, persamaannya berbentuk $0\cdot x = - 2b$ dan tidak mempunyai penyelesaian

C) Jika $b - 1 \neq 0$, yaitu $b \neq 1$,
solusinya adalah $y = \frac(1-a)(b-1)$
Jika $b - 1 = 0$, yaitu $b = 1$, tetapi $1 – a \neq 0$,
yaitu $a \neq 1$, persamaannya berbentuk $0\cdot y = 1 – a$ dan tidak mempunyai penyelesaian.
Jika $b = 1$ dan $a = 1$ persamaannya berbentuk $0\cdot y = 0$ dan $y$ apa pun adalah solusinya

D) $b^2 + 1 \neq 0$ untuk $b$ apa pun (mengapa?), jadi
$y = \frac(a+2)(b^2)$ adalah solusi dari persamaan tersebut.

Masalah $4$ Untuk nilai $x$ berapa ekspresi berikut memiliki arti yang sama:
A) $5x + a$ dan $3ax + 4$
B) $2x - 2$ dan $4x + 5a$

Larutan:

Untuk mendapatkan nilai yang sama kita harus mencari solusi persamaannya
$5x + a = 3ax + 4$ dan $2x – 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 \Panah Kanan Kiri$
$5x - 3ax = 4 – a \Panah Kiri$
$(5 - 3a)x = 4 – a$
Jika $5 - 3a \neq 0$, mis. $a \neq \frac(5)(3)$, solusinya adalah $x = \frac(4-a)(5-3a)$
Jika $5 - 3a = 0$, mis. $a = \frac(5)(3)$, persamaannya menjadi $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, yang tidak memiliki solusi

B) $2x - 2 = 4x + 5a \Panah Kanan Kiri$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Panah Kanan Kiri$
$2x = - 2 - 5a \Panah Kanan Kiri$
$x = -\frac(2+5a)(2)$

Masalah 5
A) $|kapak + 2| = $4
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|kapak + 2a| = $3

Larutan:

A) $|kapak + 2| = 4 \Kapak panah kiri-kanan + 2 = 4$ atau $kapak + 2 = -4 \Panah kanan-kiri$
$kapak = 2$ atau $kapak = - 6$
Jika $a \neq 0$, persamaannya berbentuk $x = \frac(2)(a)$ atau $x = -\frac(6)(a)$
Jika $a = 0$, persamaan tersebut tidak memiliki solusi

B) Jika $a Jika $a > 0$, ini setara dengan $2x + 1 = 3a$
atau $2x + 1 = -3a \Panah Kanan Kiri 2x = 3a - 1 \Panah Kiri Kanan x = \frac(3a-1)(2)$ atau
$2x = -3a - 1 \Panah Kanan Kiri x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$

C) $|kapak + 2a| = 3 \Kapak panah kiri-kanan + 2a = 3$ atau $kapak + 2a = - 3$,
dan kita temukan $ax = 3 - 2a$ atau $ax = -3 - 2a$
Jika a = 0, maka tidak ada solusi jika $a \neq 0$
solusinya adalah: $x = \frac(3-2a)(a)$ dan $x = -\frac(3+2a)(a)$

Masalah 6 Selesaikan persamaan $2 – x = 2b – 2ax$, dengan a dan b adalah parameter nyata. Temukan nilai a yang dimiliki persamaan tersebut sebagai solusinya bilangan asli, jika $b = 7$

Larutan:

Mari kita nyatakan persamaan ini dalam bentuk berikut: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Opsi berikut ini dimungkinkan:
Jika $2a - 1 \neq 0$, mis. $a \neq \frac(1)(2)$, persamaan tersebut memiliki solusi unik
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
Jika $a = \frac(1)(2)$ dan $b = 1$, persamaannya menjadi $0\cdot x = 0$ dan sembarang $x$ adalah solusinya
Jika $a = \frac(1)(2)$ dan $b \neq 1$, kita mendapatkan $0\cdot x = 2(b - 1)$, dimana $2(b - 1) \neq 0$
Dalam hal ini, persamaan tersebut tidak memiliki solusi.
Jika $b = 7$ dan $a \neq \frac(1)(2)$ adalah satu-satunya solusi
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
Jika a bilangan bulat, maka $2a - 1$ juga bilangan bulat dan solusinya adalah
$x = \frac(12)(2a-1)$ adalah bilangan asli kapan
$2a - 1$ adalah pembagi positif untuk bilangan $12$.
Agar a menjadi bilangan bulat, pembagi $12$ harus ganjil. Namun hanya $1$ dan $3$ yang merupakan bilangan ganjil positif yang habis dibagi 12
Jadi $2a - 1 = 3 \Panah Kiri Kanan a = 2$ atau $2a - 1 = 1 \Panah Kanan Kiri$
$a = 1 a = 2$ atau $2a - 1 = 1 \Panah Kanan Kiri a = 1$

Masalah 7 Selesaikan persamaan $|ax - 2 – a| = 4$, dengan a adalah parameter. Temukan nilai a yang akar-akar persamaannya merupakan bilangan bulat negatif.

Larutan:

Dari definisi modul yang kita dapatkan
$|kapak - 2 – x| = 4 \Kapak panah kiri-kanan - 2 – x = 4$ atau $kapak - 2 – x = - 4$
Dari persamaan pertama kita mendapatkan $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Panah Kiri Kanan (a - 1)x = 6$
Dari persamaan kedua kita mendapatkan $(a - 1)x = -2$
Jika $a - 1 = 0$, mis. $a = 1$, persamaan terakhir tidak memiliki solusi.
Jika $a \neq 1$ kita temukan bahwa $x = \frac(6)(a-1)$ atau $x = -\frac(2)(a-1)$
Agar akar tersebut tetap utuh angka negatif, hal berikut harus dilakukan:
Untuk persamaan pertama, persamaan $a - 1$ harus berupa pembagi negatif 6, dan untuk persamaan kedua, harus berupa pembagi positif 2
Maka $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ atau $a - 1 = 1; $2
Kita mendapatkan $a - 1 = -1 \Panah Kiri Kanan a = 0; a - 1 = -2 \Panah Kanan Kiri$
$a = -1; a - 1 = -3 \Panah kiri-kanan a = -2; a - 1 = -6 \Panah kiri-kanan a = -5$
atau $a - 1 = 1 \Panah Kiri Kanan a = 2; a - 1 = 2 \Panah kiri-kanan a = 3$
Maka $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3$ adalah solusi untuk masalah ini.

Masalah 8 Selesaikan persamaan:
A) $3ax – a = 1 – x$, dimana a adalah parameter;
B) $2ax + b = 2 + x$, dengan a dan b adalah parameter

Larutan:

A) $3ax + x = 1 + a \Panah kiri-kanan (3a + 1)x = 1 + a$.
Jika $3a + 1 \neq 0$, mis. $a \neq -11 /3 /3$ , ada solusinya
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
Jika $a = -\frac(1)(3)$ persamaannya berbentuk $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$, yang tidak memiliki solusi.

B) $2ax – x = 2 – b \Panah kiri-kanan (2a - 1)x = 2 – b$
Jika $2a - 1 \neq 0$, mis. $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ adalah solusinya.
Jika $a = \frac(1)(2)$ persamaannya menjadi $0.x = 2 – b$
Lalu, jika $b = 2$, sembarang x adalah solusi, jika $b \neq 2$, persamaan tersebut tidak mempunyai solusi.

Masalah 9 Diketahui persamaan $6(kx - 6) + 24 = 5kx$ , di mana k adalah bilangan bulat. Temukan berapa nilai k persamaannya:
A) memiliki akar $-\frac(4)(3)$
B) tidak memiliki solusi;
C) memiliki akar sebagai bilangan asli.

Larutan:

Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk $6kx - 36 + 24 = 5kx \Panah Kanan Kiri kx = 12$

A) Jika $x = -\frac(4)(3)$, untuk k kita mendapatkan persamaan $-\frac(4)(3k) = 12 \Panah kiri kanan k = - 9$

B) Persamaan $kx = 12$ tidak memiliki solusi jika $k = 0$

C) Jika $k \neq 0$ adalah akar dari $x = \frac(12)(k)$ dan merupakan bilangan asli, jika k adalah bilangan bulat positif yang habis dibagi 12, yaitu $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

Masalah 10 Selesaikan persamaan:
A) $2ax + 1 = x + a$, dimana a adalah parameter;
B) $2ax + 1 = x + b$, dengan a dan b adalah parameter.

Larutan:

A) $2ax + 1 = x + a \Panah Kanan Kiri 2ax – x = a - 1 \Panah Kanan Kiri$
$(2a - 1)x = a - 1$
Jika $2a - 1 \neq 0$, mis. $a \neq \frac(1)(2)$, satu-satunya solusi persamaan tersebut adalah
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
Jika $2a - 1 = 0$, mis. $a = \frac(1)(2)$, persamaannya berbentuk
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, yang tidak memiliki solusi

B) $2ax + 1 = x + b \Panah Kiri$
$2ax – x = b - 1 \Panah Kanan Kiri$
$(2a - 1)x = b - 1$
Jika $2a - 1 \neq 0$, mis. $a \neq \frac(1)(2)$, solusinya adalah
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
Jika $a = \frac(1)(2)$, persamaannya setara dengan $0.x = b - 1$
Jika b = 1 sembarang x merupakan solusi, jika $b \neq 1$ maka tidak ada solusi.

Masalah 11 Diketahui persamaan $3(ax - 4) + 4 = 2ax$, dimana parameternya adalah bilangan bulat. Temukan nilai a yang dimiliki persamaan tersebut sebagai akar-akarnya:
A) $\kiri(-\frac(2)(3)\kanan)$
B) bilangan bulat
C) bilangan asli

Larutan:

A) Jika $x = -\frac(2)(3)$ adalah solusi persamaan, maka persamaan tersebut pasti benar
$3\kiri + 4 = 2a\kiri(-\frac(2)(3)\kanan) \Panah Kanan Kiri$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \Panah Kanan Kiri$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Panah Kanan Kiri \frac(4a-6a)(3) = 8 \Panah Kiri$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Panah Kiri Kanan a = -12$

B) $3(kapak - 4) + 4 = 2ax \Panah kiri-kanan 3ax - 2ax = 12 - 4 \Kapak panah kanan-kiri = 8$
Jika $a \neq 0$ solusinya adalah $x = \frac(8)(a)$, maka bilangan bulat jika a adalah pembagi $8$.
Itu sebabnya; $±2; ±4; ±8$
Jika $a=0$, persamaan tersebut tidak memiliki solusi

C) Untuk mendapatkan bilangan asli (bilangan bulat positif) untuk solusi ini $x=\frac(8)(a)$ bilangan tersebut harus sama dengan: $a=1, 2, 4, 8$

Masalah 12 Persamaan $2 – x = 2b – 2ax$ diberikan, di mana $a$ dan $b$ adalah parameter. Carilah nilai a yang persamaannya mempunyai solusi berupa bilangan asli jika $b = 7$

Larutan:

Kita substitusikan $b = 7$ ke dalam persamaan dan dapatkan $2 – x = 2.7 - 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Panah kiri-kanan (2a - 1)x = 12$
Jika $2a -1 \neq 0$, mis. $a \neq \frac(1)(2)$, persamaannya berbentuk
$x = \frac(12)(2a-1)$ dan ini akan menjadi bilangan asli jika penyebut $2a - 1$ adalah dividen positif dari $12$ dan, sebagai tambahan, agar menjadi bilangan bulat, maka adalah diperlukan $2a - 1$ adalah bilangan ganjil.
Jadi $2a - 1$ bisa menjadi $1$ atau $3$
Dari $2a - 1 = 1 \Panah Kanan Kiri 2a = 2 \Panah Kiri Kanan a = 1$ dan $2a - 1 = 3$
$\Panah Kanan Kiri 2a = 4 \Panah Kiri Kanan a = 2$

Masalah 13 Diberikan fungsi $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, dengan a adalah parameter. Temukan berapa nilai a grafik fungsinya:
A) melintasi sumbu x;
B) melintasi sumbu x

Larutan:

Agar grafik suatu fungsi memotong sumbu x, diperlukan hal tersebut
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ mempunyai solusi dan tidak mempunyai solusi untuk titik potong sumbu x.
Dari persamaan tersebut kita memperoleh $(3a - 1)x = 2a - 1$
Jika $3a - 1 \neq 0$, mis. $a \neq \frac(1)(3)$, persamaan tersebut mempunyai solusi
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, sehingga grafik fungsi tersebut memotong sumbu x.
Jika $a = \frac(1)(3)$, kita mendapatkan $0,x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0,x = -\frac(1)(3)$, dan tidak punya solusi.
Oleh karena itu, jika $a = \frac(1)(3)$, grafik fungsinya tidak memotong sumbu x.

Masalah 14 Selesaikan persamaan parametrik:
SEBUAH) $|x -2| =a$
B) $|kapak -1| = $3
C) $|kapak - 1| = a - 2$

Larutan:

A) Jika $a 0$ kita mendapatkan:
$|x - 2| = a \Panah Kanan Kiri x - 2 = a$ atau $x - 2 = -a$
Dari $x - 2 = a \Panah Kanan x = a + 2$, dan dari
$x - 2 = -a \Panah kanan x = 2 – a$
Jika $a = 0$ maka $x - 2 = 0$ atau $x = 2$

B) $|kapak - 1| = 3 \Kapak panah kiri-kanan - 1 = 3$ atau $kapak - 1 = -3$
maka $ax = 4$ atau $ax = - 2$
Jika $a \neq 0$ solusi: $x = \frac(4)(a)$ atau $x = -\frac(2)(a)$
Jika $a = 0$, tidak ada solusi di sini

C) Jika $a - 2 Jika $a - 2 > 0$, mis. $a > 2$ kita dapatkan
$|kapak - 1| = a - 2 \Kapak panah kiri-kanan - 1 = a - 2$ atau $ax - 1 = 2 – a$
Jadi kita mendapatkan $ax = a - 1$ atau $ax = 3 – a$
Karena $a > 2, maka a\neq 0$
$x = \frac(a-1)(a)$ atau $x = \frac(3-a)(a)$.
Jika $a = 2$, persamaannya ekuivalen
$2x - 1 = 0 \Panah Kiri Kanan 2x = 1 \Panah Kiri Kanan x = \frac(1)(2)$

Masalah 15 Temukan berapa nilai parameter m (a) yang ekuivalen dengan kedua persamaan tersebut:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ dan $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ dan $\frac(x-m)(3) = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ dan $ax + 2a = 1 + x$ jika $x > 3$

Larutan:

A) Mari kita selesaikan persamaan kedua. Mari kita tuliskan dalam bentuk:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Panah Kanan Kiri$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Panah Kanan Kiri$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 \Panah Kanan Kiri$
$2x = 0 \Panah kiri-kanan x = 0$
Untuk yang pertama kita dapatkan
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \Panah Kanan Kiri x + m = 2 - 2m \Panah Kanan Kiri x = 2 - 3m$
Kedua persamaan tersebut ekuivalen jika mempunyai akar-akar yang sama, yaitu.
$2 - 3m = 0 \Panah Kiri$$m = \frac(2)(3)$

B) Untuk persamaan pertama solusinya adalah $x = 2 - 3m$ dan untuk persamaan kedua kita peroleh
$x – m = 3 - 6m \Panah kiri-kanan$ $x = 3 – 5m$
Mereka mempunyai akar yang sama ketika
$2 - 3m = 3 - 5m \Panah Kanan Kiri 5m - 3m = 3 - 2 \Panah Kiri Kanan 2m = 1 \Panah Kanan Kiri m = \frac(1)(2)$

C) Karena $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 – x) = x - 3$
Persamaan pertama akan terlihat seperti ini: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 - 4x – 0 \Panah Kanan Kiri x(x - 4) = 0 \Panah Kanan Kiri$
$x = 0$ atau $x = 4$
Dengan syarat $x > 3$, maka hanya $x = 4$ yang merupakan solusi. Untuk persamaan kedua kita dapatkan
$ax – x = 1 - 2a \Panah kiri-kanan (a - 1)x = 1 - 2a$
Jika $a - 1 = 0$, tidak ada solusi (Mengapa?), jika $a - 1 \neq 0$, mis. $a \neq 1$, solusinya adalah
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ Kedua persamaan ini akan sama jika $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \Panah Kanan Kiri 4a + 2a = 1 + 4 \Panah Kiri Kanan 6a = 5 \Panah Kanan Kiri a = \frac(5)(6)$

Salah satu subpoin topik “Persamaan garis pada bidang” adalah masalah penyusunan persamaan parametrik garis pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang. Artikel di bawah ini membahas prinsip penyusunan persamaan tersebut dengan data tertentu yang diketahui. Kami akan menunjukkan cara berpindah dari persamaan parametrik ke persamaan tipe lain; Mari kita lihat pemecahan masalah yang umum.

Garis tertentu dapat didefinisikan dengan menentukan titik milik garis tersebut dan vektor arah garis tersebut.

Katakanlah kita diberikan sistem koordinat persegi panjang O x y. Dan juga diberikan garis lurus a, yang menunjukkan titik M 1 yang terletak di atasnya (x 1, y 1) dan vektor arah dari garis lurus tersebut a → = (ax , ay) . Mari kita berikan gambaran tentang garis lurus a yang diberikan menggunakan persamaan.

Kami menggunakan titik sembarang M (x, y) dan mendapatkan vektor M 1 M → ; Mari kita hitung koordinatnya dari koordinat titik awal dan akhir: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1). Mari kita uraikan apa yang kita peroleh: garis lurus didefinisikan oleh himpunan titik M (x, y), melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan mempunyai vektor arah a → = (ax , ay) . Himpunan ini mendefinisikan garis lurus hanya jika vektor M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) dan a → = (ax, a y) segaris.

Terdapat syarat perlu dan cukup untuk kolinearitas suatu vektor, yang dalam hal ini untuk vektor M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) dan a → = (ax, a y) dapat dituliskan sebagai persamaan:

M 1 M → = λ · a → , dimana λ adalah suatu bilangan real.

Definisi 1

Persamaan M 1 M → = λ · a → disebut persamaan vektor-parametrik garis.

Dalam bentuk koordinatnya terlihat seperti:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Persamaan sistem yang dihasilkan x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ disebut persamaan parametrik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang. Inti dari namanya adalah sebagai berikut: koordinat semua titik pada suatu garis lurus dapat ditentukan dengan persamaan parametrik pada bidang berbentuk x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ dengan menjumlahkan semua real nilai parameter λ

Berdasarkan persamaan parametrik garis lurus pada bidang x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ mendefinisikan garis lurus yang ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan memiliki vektor panduan a → = (ax , ay) . Oleh karena itu, jika koordinat suatu titik pada suatu garis dan koordinat vektor arahnya diberikan, maka persamaan parametrik suatu garis tertentu dapat segera dituliskan.

Contoh 1

Persamaan parametrik garis lurus pada suatu bidang dalam sistem koordinat persegi panjang perlu dibuat jika titik M 1 (2, 3) miliknya dan vektor arahnya diberikan sebuah → = (3 , 1) .

Larutan

Berdasarkan data awal diperoleh: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Persamaan parametriknya akan terlihat seperti:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Mari kita ilustrasikan dengan jelas:

Jawaban: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Perlu diperhatikan: jika vektor a → = (ax , a y) berfungsi sebagai vektor arah garis a, dan titik M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2) termasuk dalam garis tersebut, maka dapat ditentukan dengan menentukan persamaan parametrik berbentuk: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , serta opsi ini: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

Misalnya, kita diberikan vektor pengarah suatu garis lurus a → = (2, - 1), serta titik M 1 (1, - 2) dan M 2 (3, - 3) yang termasuk dalam garis tersebut. Maka garis lurus ditentukan dengan persamaan parametrik: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ atau x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.

Anda juga harus memperhatikan fakta berikut: jika a → = (ax , ay) adalah vektor arah garis a, maka salah satu vektor tersebut akan menjadi vektor arahnya μ · a → = (μ · a x , μ · a y) , di mana μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Jadi, garis lurus a pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dapat ditentukan dengan persamaan parametrik: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ untuk nilai μ selain nol.

Katakanlah garis lurus a diberikan oleh persamaan parametrik x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ. Kemudian sebuah → = (2 , - 5) - vektor arah garis lurus ini. Dan juga salah satu vektor μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 akan menjadi vektor pemandu untuk suatu garis lurus tertentu. Untuk lebih jelasnya, perhatikan vektor tertentu - 2 · a → = (- 4, 10), yang sesuai dengan nilai μ = - 2. Dalam hal ini, garis lurus tertentu juga dapat ditentukan dengan persamaan parametrik x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ.

Transisi dari persamaan parametrik suatu garis pada suatu bidang ke persamaan lain dari suatu garis tertentu dan sebaliknya

Dalam menyelesaikan beberapa permasalahan, penggunaan persamaan parametrik bukanlah pilihan yang paling optimal, maka perlu dilakukan penerjemahan persamaan parametrik garis lurus menjadi persamaan garis lurus yang jenisnya berbeda. Mari kita lihat bagaimana melakukan ini.

Persamaan parametrik garis lurus berbentuk x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ akan sesuai dengan persamaan kanonik garis lurus pada bidang x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Mari kita selesaikan setiap persamaan parametrik terhadap parameter λ, samakan ruas kanan persamaan yang dihasilkan dan dapatkan persamaan kanonik dari garis lurus yang diberikan:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Dalam hal ini, tidak akan membingungkan jika x atau y sama dengan nol.

Contoh 2

Perlu dilakukan transisi dari persamaan parametrik garis lurus x = 3 y = - 2 - 4 · λ ke persamaan kanonik.

Larutan

Mari kita tuliskan persamaan parametrik yang diberikan dalam bentuk berikut: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ

Mari kita nyatakan parameter λ pada setiap persamaan: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Mari kita samakan ruas kanan sistem persamaan dan dapatkan persamaan kanonik garis lurus pada bidang yang diperlukan:

x - 3 0 = kamu + 2 - 4

Menjawab: x - 3 0 = kamu + 2 - 4

Dalam hal perlu untuk menulis persamaan garis berbentuk A x + B y + C = 0, dan persamaan parametrik garis pada bidang diberikan, pertama-tama perlu melakukan transisi ke kanonik persamaan, dan kemudian ke persamaan umum garis. Mari kita tuliskan seluruh rangkaian tindakannya:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Contoh 3

Harus ditulis persamaan umum garis lurus jika persamaan parametrik yang mendefinisikannya diberikan: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ

Larutan

Pertama, mari kita beralih ke persamaan kanonik:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Proporsi yang dihasilkan identik dengan persamaan - 3 · (x + 1) = 2 · y. Mari kita buka tanda kurung dan dapatkan persamaan umum garisnya: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.

Jawaban: 3 x + 2 y + 3 = 0

Mengikuti logika tindakan di atas, untuk memperoleh persamaan garis dengan koefisien sudut, persamaan garis dalam ruas atau persamaan biasa garis lurus, perlu diperoleh persamaan umum garis lurus, dan dari situ dilakukan transisi lebih lanjut.

Sekarang perhatikan tindakan sebaliknya: menulis persamaan parametrik suatu garis dengan bentuk persamaan garis yang berbeda.

Transisi paling sederhana: dari persamaan kanonik ke persamaan parametrik. Misalkan persamaan kanonik berbentuk: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Mari kita ambil setiap relasi persamaan ini sama dengan parameter λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Mari kita selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk variabel x dan y:

x = x 1 + ax · λ y = y 1 + a y · λ

Contoh 4

Persamaan parametrik garis perlu dituliskan jika persamaan kanonik garis pada bidang diketahui: x - 2 5 = y - 2 2

Larutan

Mari kita samakan bagian-bagian persamaan yang diketahui dengan parameter λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. Dari persamaan yang dihasilkan diperoleh persamaan parametrik garis: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Jawaban: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Jika perlu melakukan transisi ke persamaan parametrik dari persamaan umum suatu garis, persamaan garis dengan koefisien sudut, atau persamaan garis dalam ruas, maka persamaan aslinya perlu dibawa ke persamaan kanonik. satu, dan kemudian melakukan transisi ke persamaan parametrik.

Contoh 5

Persamaan parametrik suatu garis perlu ditulis dengan persamaan umum garis ini yang diketahui: 4 x - 3 y - 3 = 0.

Larutan

Mari kita ubah persamaan umum yang diberikan menjadi persamaan bentuk kanonik:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Mari kita samakan kedua ruas persamaan dengan parameter dan peroleh persamaan parametrik garis lurus yang diperlukan:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Menjawab: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Contoh dan soal persamaan parametrik garis pada bidang

Mari kita pertimbangkan jenis soal yang paling umum menggunakan persamaan parametrik garis pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang.

Dalam soal tipe pertama, koordinat titik-titik diberikan, apakah titik-titik tersebut termasuk dalam garis atau tidak, yang dijelaskan oleh persamaan parametrik.

Penyelesaian masalah tersebut didasarkan pada fakta berikut: bilangan (x, y), ditentukan dari persamaan parametrik x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ untuk suatu nilai riil λ, adalah koordinatnya dari suatu titik milik garis yang dijelaskan persamaan parametrik ini.

Contoh 6

Koordinat suatu titik yang terletak pada garis yang ditentukan oleh persamaan parametrik x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ untuk λ = 3 perlu ditentukan.

Larutan

Mari kita substitusikan nilai yang diketahui λ = 3 ke dalam persamaan parametrik yang diberikan dan hitung koordinat yang diperlukan: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Menjawab: 1 1 2 , 5

Tugas berikut juga dapat dilakukan: misalkan suatu titik M 0 (x 0 , y 0) diberikan pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dan Anda perlu menentukan apakah titik ini termasuk dalam garis yang dijelaskan oleh persamaan parametrik x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

Untuk menyelesaikan masalah seperti itu, koordinat suatu titik perlu disubstitusikan ke dalam persamaan parametrik garis lurus yang diketahui. Jika ditentukan bahwa nilai parameter λ = λ 0 dimungkinkan dimana kedua persamaan parametriknya benar, maka titik tertentu termasuk dalam garis lurus tertentu.

Contoh 7

Poin M 0 (4, - 2) dan N 0 (- 2, 1) diberikan. Penting untuk menentukan apakah mereka termasuk dalam garis yang ditentukan oleh persamaan parametrik x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Larutan

Mari kita substitusikan koordinat titik M 0 (4, - 2) ke dalam persamaan parametrik yang diberikan:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Kita simpulkan bahwa titik M 0 termasuk dalam garis tertentu, karena sesuai dengan nilai λ = 2.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Jelasnya, tidak ada parameter λ yang sesuai dengan titik N 0. Dengan kata lain garis lurus tertentu tidak melalui titik N 0 (- 2, 1).

Menjawab: titik M 0 termasuk dalam garis tertentu; titik N 0 tidak termasuk dalam garis yang diberikan.

Pada soal jenis kedua, diperlukan penyusunan persamaan parametrik suatu garis pada suatu bidang dalam sistem koordinat persegi panjang. Contoh paling sederhana dari masalah seperti itu (dengan koordinat titik garis dan vektor arah yang diketahui) telah dibahas di atas. Sekarang mari kita lihat contoh di mana pertama-tama kita perlu mencari koordinat vektor pemandu dan kemudian menuliskan persamaan parametriknya.

Contoh 8

Diberikan titik M 1 1 2 , 2 3 . Perlu dibuat persamaan parametrik suatu garis yang melalui titik ini dan sejajar dengan garis x 2 = y - 3 - 1.

Larutan

Sesuai dengan kondisi soal, garis lurus yang persamaannya harus kita kemukakan adalah sejajar dengan garis lurus x 2 = y - 3 - 1. Maka sebagai vektor arah suatu garis yang melalui suatu titik tertentu, dapat digunakan vektor arah suatu garis x 2 = y - 3 - 1, yang kita tulis dalam bentuk: a → = (2, - 1 ) . Sekarang semua data yang diperlukan diketahui untuk menyusun persamaan parametrik yang diperlukan:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ

Menjawab: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ .

Contoh 9

Poin M 1 (0, - 7) diberikan. Persamaan parametrik suatu garis yang melalui titik ini tegak lurus terhadap garis 3 x – 2 y – 5 = 0 harus dituliskan.

Larutan

Sebagai vektor arah garis lurus yang persamaannya harus dibuat, dapat diambil vektor normal garis lurus 3 x – 2 y – 5 = 0. Koordinatnya adalah (3, - 2). Mari kita tuliskan persamaan parametrik garis lurus yang diperlukan:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ

Menjawab: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Dalam soal tipe ketiga, perlu dilakukan transisi dari persamaan parametrik suatu garis tertentu ke jenis persamaan lain yang menentukannya. Kami membahas solusi untuk contoh serupa di atas; kami akan memberikan satu lagi.

Contoh 10

Diberikan garis lurus pada suatu bidang dalam sistem koordinat persegi panjang, ditentukan oleh persamaan parametrik x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ. Kita perlu mencari koordinat vektor normal apa pun pada garis ini.

Larutan

Untuk menentukan koordinat vektor normal yang diperlukan, kita akan melakukan transisi dari persamaan parametrik ke persamaan umum:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Koefisien variabel x dan y memberi kita koordinat vektor normal yang diperlukan. Jadi, vektor normal garis x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ mempunyai koordinat 1, 3 4.

Menjawab: 1 , 3 4 .

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter