Jenis pelajaran: mempelajari materi baru.

Tujuan pelajaran:

  • memperluas dan memperdalam pemahaman siswa terhadap masalah yang diselesaikan dengan menggunakan perkembangan aritmatika; mengatur kegiatan pencarian siswa dalam menurunkan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika;
  • mengembangkan kemampuan untuk secara mandiri memperoleh pengetahuan baru dan menggunakan pengetahuan yang telah diperoleh untuk mencapai tugas yang diberikan;
  • mengembangkan keinginan dan kebutuhan untuk menggeneralisasi fakta yang diperoleh, mengembangkan kemandirian.

Tugas:

  • menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan yang ada tentang topik “Perkembangan Aritmatika”;
  • menurunkan rumus untuk menghitung jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika;
  • mengajarkan bagaimana menerapkan rumus yang diperoleh saat memecahkan berbagai tugas;
  • menarik perhatian siswa pada tata cara mencari nilai suatu ekspresi numerik.

Peralatan:

  • kartu dengan tugas untuk bekerja dalam kelompok dan berpasangan;
  • makalah evaluasi;
  • presentasi “Kemajuan aritmatika”.

I. Pemutakhiran pengetahuan dasar.

1. Pekerjaan mandiri berpasangan.

opsi pertama:

Definisi perkembangan aritmatika. Tuliskan rumus perulangan yang mendefinisikan barisan aritmatika. Tolong berikan contoh barisan aritmatika dan tunjukkan perbedaannya.

opsi ke-2:

Tuliskan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika. Tentukan suku ke-100 barisan aritmatika ( sebuah}: 2, 5, 8 …
Saat ini, dua siswa sisi belakang dewan sedang mempersiapkan jawaban atas pertanyaan yang sama.
Siswa mengevaluasi pekerjaan pasangannya dengan memeriksanya di papan tulis. (Lembar jawaban diserahkan.)

2. Momen permainan.

Latihan 1.

Guru. Saya memikirkan beberapa perkembangan aritmatika. Ajukan dua pertanyaan saja kepada saya sehingga setelah jawabannya Anda dapat dengan cepat menyebutkan suku ke-7 dari perkembangan ini. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pertanyaan dari siswa.

  1. Berapakah suku keenam barisan tersebut dan apa bedanya?
  2. Apa suku kedelapan dari perkembangan tersebut dan apa bedanya?

Jika tidak ada pertanyaan lagi, maka guru dapat merangsangnya - “larangan” pada d (perbedaan), yaitu tidak diperbolehkan menanyakan berapa selisihnya. Anda dapat mengajukan pertanyaan: suku ke-6 dari perkembangan itu sama dengan apa dan suku ke-8 dari perkembangan itu sama dengan apa?

Tugas 2.

Ada 20 angka yang tertulis di papan: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Guru berdiri membelakangi papan. Siswa memanggil nomor tersebut, dan guru langsung memanggil nomor itu sendiri. Jelaskan bagaimana saya bisa melakukan ini?

Guru mengingat rumus suku ke-n sebuah = 3n – 2 dan, dengan mengganti nilai yang ditentukan n, menemukan nilai yang sesuai sebuah.

II. Menetapkan tugas belajar.

Saya mengusulkan untuk memecahkan masalah kuno yang berasal dari milenium ke-2 SM, yang ditemukan dalam papirus Mesir.

Tugas: Artinya: “Maka dikatakan kepadamu: Bagilah 10 takar jelai kepada 10 orang, selisih antara setiap orang dan tetangganya adalah 1/8 takaran.”

  • Bagaimana hubungan soal ini dengan topik perkembangan aritmatika? (Setiap orang berikutnya menerima 1/8 takaran lebih banyak, artinya selisihnya d=1/8, 10 orang, artinya n=10.)
  • Menurut Anda apa arti angka 10 itu? (Jumlah semua suku perkembangan.)
  • Apa lagi yang perlu Anda ketahui agar mudah dan sederhana dalam membagi jelai sesuai dengan kondisi soal? (Perkembangan periode pertama.)

Tujuan Pelajaran– memperoleh ketergantungan jumlah suku-suku barisan pada bilangannya, suku pertama dan selisihnya, serta memeriksa apakah soal diselesaikan dengan benar pada zaman dahulu.

Sebelum kita menyimpulkan rumusnya, mari kita lihat bagaimana orang Mesir kuno memecahkan masalah tersebut.

Dan mereka menyelesaikannya sebagai berikut:

1) 10 ukuran: 10 = 1 ukuran – rata-rata pembagian;
2) 1 takaran ∙ = 2 takaran – digandakan rata-rata membagikan.
Dua kali lipat rata-rata bagian adalah penjumlahan bagian orang ke-5 dan ke-6.
3) 2 takaran – 1/8 takaran = 1 7/8 takaran – dua kali lipat bagian orang kelima.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – seperlima; dan seterusnya, Anda dapat mengetahui bagian dari setiap orang sebelumnya dan berikutnya.

Kami mendapatkan urutannya:

AKU AKU AKU. Memecahkan masalah.

1. Bekerja dalam kelompok

Grup I: Temukan jumlah 20 berturut-turut bilangan asli: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Secara umum

kelompok II: Temukan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 100 (The Legend of Little Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Kesimpulan:

kelompok III: Tentukan jumlah bilangan asli dari 1 sampai 21.

Penyelesaian: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Kesimpulan:

kelompok IV: Tentukan jumlah bilangan asli dari 1 sampai 101.

Kesimpulan:

Metode penyelesaian masalah yang dipertimbangkan ini disebut “Metode Gauss”.

2. Setiap kelompok mempresentasikan solusi permasalahan di papan tulis.

3. Generalisasi solusi yang diusulkan untuk barisan aritmatika arbitrer:

sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 ,…, sebuah n-2 , sebuah n-1 , sebuah n .
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + an.

Mari kita cari jumlah ini menggunakan alasan serupa:

4. Sudahkah kita memecahkan masalah tersebut?(Ya.)

IV. Pemahaman utama dan penerapan rumus-rumus yang diperoleh ketika menyelesaikan masalah.

1. Memeriksa penyelesaian suatu masalah kuno menggunakan rumus.

2. Penerapan rumus dalam menyelesaikan berbagai masalah.

3. Latihan untuk mengembangkan kemampuan menerapkan rumus dalam memecahkan masalah.

A) Nomor 613

Diberikan: ( sebuah) - perkembangan aritmatika;

(an): 1, 2, 3,…, 1500

Menemukan: S1500

Larutan: , a 1 = 1, dan 1500 = 1500,

B) Diberikan: ( sebuah) - perkembangan aritmatika;
(dan): 1, 2, 3, …
S n = 210

Menemukan: N
Larutan:

V. Kerja mandiri dengan saling verifikasi.

Denis mulai bekerja sebagai kurir. Pada bulan pertama gajinya 200 rubel, pada setiap bulan berikutnya meningkat sebesar 30 rubel. Berapa total penghasilannya dalam setahun?

Diberikan: ( sebuah) - perkembangan aritmatika;
a 1 = 200, d=30, n=12
Menemukan: S 12
Larutan:

Jawaban: Denis menerima 4.380 rubel untuk tahun ini.

VI. Instruksi pekerjaan rumah.

  1. Bagian 4.3 – mempelajari turunan rumus.
  2. №№ 585, 623 .
  3. Buatlah soal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika.

VII. Menyimpulkan pelajaran.

1. Lembar skor

2. Lanjutkan kalimatnya

  • Hari ini di kelas aku belajar...
  • Rumus yang dipelajari...
  • Aku percaya itu …

3. Dapatkah kamu menemukan jumlah bilangan dari 1 sampai 500? Metode apa yang akan Anda gunakan untuk mengatasi masalah ini?

Bibliografi.

1. Aljabar, kelas 9. Tutorial untuk lembaga pendidikan. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: “Pencerahan”, 2009.

Beberapa orang memperlakukan kata “perkembangan” dengan hati-hati, sebagai istilah yang sangat kompleks dari cabang matematika yang lebih tinggi. Sedangkan barisan aritmatika yang paling sederhana adalah kerja meteran taksi (yang masih ada). Dan memahami esensi (dan dalam matematika tidak ada yang lebih penting daripada "memahami esensi") dari suatu barisan aritmatika tidaklah begitu sulit, setelah menganalisis beberapa konsep dasar.

Urutan bilangan matematika

Barisan bilangan biasanya disebut barisan bilangan yang masing-masing mempunyai bilangan tersendiri.

a 1 adalah anggota pertama barisan tersebut;

dan 2 adalah suku kedua barisan tersebut;

dan 7 adalah anggota ketujuh dari barisan tersebut;

dan n adalah anggota barisan ke-n;

Namun, tidak ada kumpulan angka dan angka yang menarik minat kami. Kita akan memusatkan perhatian kita pada suatu barisan bilangan yang nilai suku ke-nnya dihubungkan dengan bilangan urutnya melalui suatu hubungan yang dapat dirumuskan dengan jelas secara matematis. Dengan kata lain: nilai numerik dari bilangan ke-n adalah suatu fungsi dari n.

a adalah nilai anggota barisan bilangan;

n - miliknya nomor seri;

f(n) adalah suatu fungsi, dimana bilangan urut dalam barisan numerik n adalah argumennya.

Definisi

Barisan aritmatika biasanya disebut barisan bilangan yang setiap suku berikutnya lebih besar (lebih kecil) dari suku sebelumnya dengan bilangan yang sama. Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

a n - nilai anggota perkembangan aritmatika saat ini;

a n+1 - rumus angka berikutnya;

d - selisih (angka tertentu).

Mudah untuk menentukan bahwa jika selisihnya positif (d>0), maka setiap anggota deret berikutnya yang ditinjau akan lebih besar dari suku sebelumnya dan barisan aritmatika tersebut akan meningkat.

Pada grafik di bawah ini mudah untuk melihat mengapa barisan bilangan disebut “bertambah”.

Dalam hal perbedaannya negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nilai anggota yang ditentukan

Kadang-kadang perlu untuk menentukan nilai suatu suku sembarang a n dari suatu barisan aritmatika. Hal ini dapat dilakukan dengan menghitung nilai seluruh anggota barisan aritmatika secara berurutan, mulai dari yang pertama hingga yang diinginkan. Namun, jalur ini tidak selalu dapat diterima jika, misalnya, perlu mencari nilai suku lima ribu atau delapan juta. Perhitungan tradisional akan memakan banyak waktu. Namun, barisan aritmatika tertentu dapat dipelajari dengan menggunakan rumus tertentu. Ada juga rumus untuk suku ke-n: nilai suatu suku suatu barisan aritmatika dapat ditentukan sebagai jumlah suku pertama barisan tersebut dengan selisih barisan tersebut, dikalikan dengan banyaknya suku yang diinginkan, dikurangi dengan satu.

Rumusnya bersifat universal untuk menaikkan dan menurunkan perkembangan.

Contoh penghitungan nilai suatu suku tertentu

Mari kita selesaikan soal mencari nilai suku ke-n suatu barisan aritmatika berikut ini.

Kondisi: terdapat barisan aritmatika dengan parameter:

Suku pertama barisan tersebut adalah 3;

Selisih deret bilangan tersebut adalah 1,2.

Tugas: Anda perlu mencari nilai 214 suku

Penyelesaian: untuk menentukan nilai suatu suku, kita menggunakan rumus:

a(n) = a1 + d(n-1)

Mengganti data dari pernyataan masalah ke dalam ekspresi, kita mendapatkan:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Jawab: Suku ke-214 barisan tersebut sama dengan 258,6.

Keuntungan dari metode penghitungan ini jelas - seluruh solusi membutuhkan tidak lebih dari 2 baris.

Jumlah sejumlah suku tertentu

Seringkali, dalam deret aritmatika tertentu, perlu untuk menentukan jumlah nilai beberapa segmennya. Untuk melakukan ini, juga tidak perlu menghitung nilai setiap suku lalu menjumlahkannya. Cara ini dapat diterapkan jika jumlah suku yang jumlah perlu dicari sedikit. Dalam kasus lain, akan lebih mudah menggunakan rumus berikut.

Jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika dari 1 ke n sama dengan jumlah suku pertama dan suku ke-n, dikalikan banyaknya suku n dan dibagi dua. Jika dalam rumus nilai suku ke-n diganti dengan ekspresi paragraf artikel sebelumnya, kita peroleh:

Contoh perhitungan

Misalnya, mari kita selesaikan masalah dengan kondisi berikut:

Suku pertama barisan tersebut adalah nol;

Perbedaannya adalah 0,5.

Soal tersebut memerlukan penentuan jumlah suku deret tersebut dari 56 hingga 101.

Larutan. Mari kita gunakan rumus untuk menentukan besarnya perkembangan:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pertama, kita menentukan jumlah nilai 101 suku perkembangan dengan mensubstitusi kondisi tertentu dari masalah kita ke dalam rumus:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Tentunya, untuk mengetahui jumlah suku-suku barisan dari ke-56 ke ke-101, S 55 perlu dikurangkan dari S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Jadi, jumlah perkembangan aritmatika untuk contoh ini adalah:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Contoh penerapan praktis perkembangan aritmatika

Di akhir artikel, mari kita kembali ke contoh barisan aritmatika yang diberikan di paragraf pertama - Argometer (meteran mobil taksi). Mari kita pertimbangkan contoh ini.

Naik taksi (yang mencakup perjalanan sejauh 3 km) dikenakan biaya 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar dengan tarif 22 rubel/km. Jarak tempuh 30 km. Hitung biaya perjalanan.

1. Ayo buang 3 km pertama yang harganya sudah termasuk biaya pendaratan.

30 - 3 = 27 km.

2. Perhitungan selanjutnya tidak lebih dari penguraian suatu deret bilangan aritmatika.

Nomor anggota - jumlah kilometer yang ditempuh (dikurangi tiga kilometer pertama).

Nilai anggota adalah penjumlahannya.

Suku pertama dalam soal ini akan sama dengan 1 = 50 rubel.

Perbedaan perkembangan d = 22 r.

bilangan yang kita minati adalah nilai suku ke (27+1) barisan aritmatika - pembacaan meter pada akhir kilometer ke 27 adalah 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Perhitungan data kalender untuk jangka waktu yang lama didasarkan pada rumus yang menjelaskan urutan numerik tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit secara geometris bergantung pada jarak benda langit ke bintang. Selain itu, berbagai deret bilangan berhasil digunakan dalam statistik dan bidang matematika terapan lainnya.

Jenis barisan bilangan lainnya adalah geometri

Perkembangan geometris ditandai dengan tingkat perubahan yang lebih besar dibandingkan dengan perkembangan aritmatika. Bukan suatu kebetulan bahwa dalam politik, sosiologi, dan kedokteran, untuk menunjukkan tingginya kecepatan penyebaran suatu fenomena tertentu, misalnya penyakit pada masa epidemi, mereka mengatakan bahwa prosesnya berkembang secara eksponensial.

Suku ke-N suatu deret bilangan geometri berbeda dengan suku sebelumnya karena dikalikan dengan suatu bilangan konstan - penyebutnya, misalnya suku pertama adalah 1, maka penyebutnya juga sama dengan 2, maka:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - nilai suku saat ini dari barisan geometri;

b n+1 - rumus suku berikutnya dari barisan geometri;

q adalah penyebut barisan geometri (bilangan konstan).

Jika grafik barisan aritmatika berbentuk garis lurus, maka barisan geometri memberikan gambaran yang sedikit berbeda:

Seperti halnya aritmatika, barisan geometri memiliki rumus untuk nilai suatu suku sembarang. Suku ke-n suatu barisan geometri sama dengan hasil kali suku pertama dan penyebut barisan tersebut pangkat n dikurangi satu:

Contoh. Kita mempunyai barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan 3 dan penyebut barisan tersebut sama dengan 1,5. Mari kita cari suku ke-5 dari perkembangan tersebut

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Jumlah sejumlah suku tertentu juga dihitung menggunakan rumus khusus. Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri sama dengan selisih antara hasil kali suku ke-n barisan tersebut dan penyebutnya dan suku pertama barisan tersebut, dibagi dengan penyebutnya dikurangi satu:

Jika b n diganti dengan rumus yang dibahas di atas, maka nilai jumlah n suku pertama deret bilangan yang ditinjau akan berbentuk:

Contoh. Perkembangan geometri dimulai dengan suku pertama sama dengan 1. Penyebutnya ditetapkan menjadi 3. Mari kita cari jumlah delapan suku pertama.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Saat mempelajari aljabar di sekolah menengah (kelas 9), salah satu topik penting adalah studi tentang barisan numerik, yang meliputi barisan - geometri dan aritmatika. Pada artikel ini kita akan melihat barisan aritmatika dan contoh solusinya.

Apa yang dimaksud dengan perkembangan aritmatika?

Untuk memahami hal tersebut, perlu didefinisikan perkembangan yang dimaksud, serta memberikan rumus-rumus dasar yang nantinya akan digunakan dalam menyelesaikan masalah.

Perkembangan aritmatika atau aljabar adalah himpunan bilangan rasional terurut, yang setiap sukunya berbeda dari suku sebelumnya dengan suatu nilai konstan. Nilai ini disebut selisih. Artinya, dengan mengetahui anggota deret bilangan terurut dan selisihnya, Anda dapat mengembalikan seluruh perkembangan aritmatika.

Mari kita beri contoh. Barisan bilangan berikut merupakan barisan aritmatika: 4, 8, 12, 16, ..., karena selisihnya dalam hal ini adalah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi himpunan bilangan 3, 5, 8, 12, 17 tidak dapat lagi diklasifikasikan sebagai jenis perkembangan yang dipertimbangkan, karena selisihnya bukan merupakan nilai konstan (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Rumus Penting

Sekarang mari kita sajikan rumus dasar yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan perkembangan aritmatika. Mari kita nyatakan dengan simbol a n anggota barisan ke-n, di mana n adalah bilangan bulat. Perbedaannya kami nyatakan dengan huruf latin d. Maka ekspresi berikut ini valid:

  1. Untuk menentukan nilai suku ke-n, rumus berikut ini cocok: a n = (n-1)*d+a 1 .
  2. Untuk menentukan jumlah n suku pertama: S n = (a n +a 1)*n/2.

Untuk memahami contoh perkembangan aritmatika dengan solusi di kelas 9, cukup mengingat kedua rumus ini, karena setiap masalah dari jenis yang dipertimbangkan didasarkan pada penggunaannya. Perlu juga diingat bahwa selisih perkembangan ditentukan dengan rumus: d = a n - a n-1.

Contoh #1: menemukan anggota yang tidak dikenal

Mari kita berikan contoh sederhana barisan aritmatika dan rumus-rumus yang perlu digunakan untuk menyelesaikannya.

Misalkan barisan 10, 8, 6, 4, ... diberikan, Anda perlu mencari lima suku di dalamnya.

Dari kondisi soal sudah diketahui 4 suku pertama. Yang kelima dapat didefinisikan dalam dua cara:

  1. Mari kita hitung dulu selisihnya. Kita mempunyai: d = 8 - 10 = -2. Demikian pula, Anda dapat mengajak dua anggota lainnya berdiri bersebelahan. Misalnya d = 4 - 6 = -2. Karena diketahui d = a n - a n-1, maka d = a 5 - a 4, sehingga diperoleh: a 5 = a 4 + d. Kami mengganti nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
  2. Cara kedua juga membutuhkan pengetahuan tentang selisih perkembangan yang dimaksud, jadi Anda perlu menentukannya terlebih dahulu seperti gambar di atas (d = -2). Mengetahui suku pertama a 1 = 10, kita menggunakan rumus n bilangan barisan tersebut. Kita mempunyai: an = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Mengganti n = 5 ke dalam ekspresi terakhir, kita mendapatkan: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Seperti yang Anda lihat, kedua solusi tersebut memberikan hasil yang sama. Perhatikan bahwa dalam contoh ini perbedaan perkembangan d adalah nilai negatif. Barisan seperti ini disebut barisan menurun, karena setiap suku berikutnya lebih kecil dari suku sebelumnya.

Contoh #2: perbedaan perkembangan

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugasnya, mari kita beri contoh caranya

Diketahui bahwa pada beberapa suku ke-1 sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Kita perlu mencari selisihnya dan mengembalikan barisan ini ke suku ke-7.

Mari kita gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Mari kita substitusikan data yang diketahui dari kondisi tersebut ke dalamnya, yaitu bilangan a 1 dan a 7, kita peroleh: 18 = 6 + 6 * d. Dari persamaan ini Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) /6 = 2. Jadi, kita telah menjawab soal bagian pertama.

Untuk mengembalikan barisan tersebut ke suku ke-7, sebaiknya menggunakan definisi barisan aljabar, yaitu a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Hasilnya, kita mengembalikan seluruh barisan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Contoh No. 3: menyusun perkembangan

Mari kita membuat masalah ini semakin rumit. Sekarang kita perlu menjawab pertanyaan bagaimana mencari barisan aritmatika. Contoh berikut dapat diberikan: diberikan dua bilangan, misalnya - 4 dan 5. Perlu dibuat barisan aljabar sehingga tiga suku lagi ditempatkan di antara keduanya.

Sebelum Anda mulai memecahkan masalah ini, Anda perlu memahami tempat apa yang akan ditempati oleh angka-angka ini dalam perkembangan di masa depan. Karena akan ada tiga suku lagi di antara keduanya, maka a 1 = -4 dan a 5 = 5. Setelah menetapkan ini, kita beralih ke soal yang mirip dengan soal sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n kita menggunakan rumus, kita mendapatkan: a 5 = a 1 + 4 * d. Dari: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Yang kita peroleh di sini bukanlah nilai bilangan bulat dari selisihnya, melainkan bilangan rasional, sehingga rumus barisan aljabarnya tetap sama.

Sekarang mari kita tambahkan perbedaan yang ditemukan ke 1 dan kembalikan suku-suku perkembangan yang hilang. Kita peroleh: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, yang bertepatan dengan kondisi permasalahannya.

Contoh No. 4: perkembangan suku pertama

Mari kita terus memberikan contoh barisan aritmatika beserta penyelesaiannya. Dalam semua soal sebelumnya, bilangan pertama dari perkembangan aljabar telah diketahui. Sekarang mari kita perhatikan jenis soal yang berbeda: misalkan diberikan dua bilangan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Kita perlu mencari bilangan mana yang memulai barisan ini.

Rumus yang digunakan sejauh ini mengasumsikan pengetahuan tentang a 1 dan d. Dalam rumusan masalah, tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini. Namun demikian, kami akan menuliskan ekspresi untuk setiap suku yang informasinya tersedia: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami menerima dua persamaan di mana ada 2 besaran yang tidak diketahui (a 1 dan d). Artinya masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linear.

Cara termudah untuk menyelesaikan sistem ini adalah dengan menyatakan angka 1 pada setiap persamaan dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, maka selisih d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (hanya diberikan 3 tempat desimal).

Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1. Misal pertama: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Jika Anda ragu dengan hasil yang diperoleh, Anda dapat memeriksanya, misalnya menentukan suku ke-43 dari perkembangan yang ditentukan dalam kondisi. Didapatkan: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Kesalahan kecil ini disebabkan oleh fakta bahwa pembulatan ke seperseribu digunakan dalam perhitungan.

Contoh No. 5: jumlah

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh solusi jumlah barisan aritmatika.

Misalkan diberikan suatu perkembangan numerik dalam bentuk berikut: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 angka-angka ini?

Berkat perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diatasi, yaitu dengan menjumlahkan semua angka secara berurutan, yang akan dilakukan komputer segera setelah seseorang menekan tombol Enter. Namun permasalahan tersebut dapat diselesaikan secara mental jika memperhatikan bahwa deret bilangan yang disajikan merupakan barisan aljabar, dan selisihnya sama dengan 1. Dengan menerapkan rumus penjumlahan, kita memperoleh: S n = n * (a 1 + dan) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Menarik untuk dicatat bahwa masalah ini disebut “Gaussian” karena pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, yang baru berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya di kepalanya dalam beberapa detik. Anak laki-laki tersebut tidak mengetahui rumus jumlah suatu barisan aljabar, tetapi ia memperhatikan bahwa jika Anda menjumlahkan bilangan-bilangan di ujung barisan secara berpasangan, Anda selalu mendapatkan hasil yang sama, yaitu 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlahnya tepat 50 (100/2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar cukup mengalikan 50 dengan 101.

Contoh No. 6: jumlah suku dari n sampai m

Contoh umum lainnya dari jumlah suatu barisan aritmatika adalah sebagai berikut: jika diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu mencari jumlah suku-sukunya dari 8 hingga 14 yang akan sama dengan .

Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan pencarian suku yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Karena istilahnya sedikit, metode ini tidak memakan banyak tenaga. Namun demikian, diusulkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan metode kedua, yang lebih universal.

Idenya adalah untuk memperoleh rumus jumlah barisan aljabar antara suku m dan n, dengan n > m adalah bilangan bulat. Untuk kedua kasus tersebut, kami menulis dua ekspresi untuk penjumlahannya:

  1. S m = m * (saya + a 1) / 2.
  2. S n = n * (an + a 1) / 2.

Karena n > m, jelaslah bahwa jumlah ke-2 termasuk jumlah pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil selisih antara jumlah-jumlah ini dan menambahkan suku a m ke dalamnya (dalam hal mengambil selisihnya, dikurangi dari jumlah S n), kita akan memperoleh jawaban yang diperlukan untuk soal tersebut. Kita mempunyai: S mn = S n - S m + am =n * (a 1 + an) / 2 - m *(a 1 + am)/2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n/2 + pagi * (1- m/2). Rumus a n dan m perlu disubstitusikan ke dalam ekspresi ini. Maka kita mendapatkan: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rumus yang dihasilkan agak rumit, namun jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kita, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Substitusikan bilangan-bilangan ini, kita peroleh: S mn = 301.

Seperti terlihat dari penyelesaian di atas, semua soal didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah himpunan suku pertama. Sebelum mulai menyelesaikan salah satu masalah ini, Anda disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang perlu Anda temukan, dan baru kemudian melanjutkan dengan solusinya.

Tip lainnya adalah mengupayakan kesederhanaan, yaitu jika Anda dapat menjawab suatu pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematis yang rumit, maka Anda perlu melakukan hal itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, pada contoh barisan aritmatika dengan solusi No. 6, kita dapat berhenti pada rumus S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, dan merusak tugas bersama menjadi subtugas terpisah (dalam hal ini, temukan dulu suku a n dan a m).

Jika Anda ragu dengan hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh yang diberikan. Kami menemukan cara menemukan perkembangan aritmatika. Jika Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit.

Matematika mempunyai keindahan tersendiri, seperti halnya lukisan dan puisi.

Ilmuwan Rusia, mekanik N.E. Zhukovsky

Tugas yang sangat umum di ujian masuk dalam matematika adalah permasalahan yang berkaitan dengan konsep barisan aritmatika. Agar berhasil menyelesaikan soal-soal tersebut, Anda harus memiliki pengetahuan yang baik tentang sifat-sifat barisan aritmatika dan memiliki keterampilan tertentu dalam penerapannya.

Mari kita mengingat kembali sifat-sifat dasar barisan aritmatika dan menyajikan rumus-rumus yang paling penting, terkait dengan konsep ini.

Definisi. Urutan nomor, di mana setiap suku berikutnya berbeda dari suku sebelumnya dengan bilangan yang sama, disebut barisan aritmatika. Dalam hal ini, nomornyadisebut perbedaan perkembangan.

Untuk perkembangan aritmatika, rumus berikut ini valid:

, (1)

Di mana . Rumus (1) disebut rumus suku umum suatu barisan aritmatika, dan rumus (2) menyatakan sifat utama suatu barisan aritmatika: setiap suku barisan tersebut bertepatan dengan rata-rata aritmatika suku-suku tetangganya dan .

Perhatikan bahwa justru karena sifat inilah perkembangan yang dipertimbangkan disebut “aritmatika”.

Rumus (1) dan (2) di atas digeneralisasikan sebagai berikut:

(3)

Untuk menghitung jumlahnya Pertama suku-suku barisan aritmatikarumus yang biasa digunakan

(5) dimana dan .

Jika kita memperhitungkan rumus (1), maka dari rumus (5) berikut ini

Jika kita menyatakan , maka

Di mana . Karena , rumus (7) dan (8) merupakan generalisasi dari rumus yang bersangkutan (5) dan (6).

Secara khusus , dari rumus (5) sebagai berikut, Apa

Yang kurang diketahui oleh sebagian besar siswa adalah sifat-sifat barisan aritmatika, yang dirumuskan melalui teorema berikut.

Dalil. Jika kemudian

Bukti. Jika kemudian

Teorema tersebut telah terbukti.

Misalnya , menggunakan teorema, dapat ditunjukkan bahwa

Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan contoh-contoh tipikal penyelesaian masalah pada topik “Perkembangan Aritmatika”.

Contoh 1. Biarlah. Menemukan .

Larutan. Menerapkan rumus (6), kita memperoleh . Sejak dan , maka atau .

Contoh 2. Misalkan tiga kali lebih besar, dan jika dibagi dengan hasil bagi, hasilnya adalah 2 dan sisanya 8. Tentukan dan .

Larutan. Dari kondisi contoh berikut sistem persamaannya

Karena , , dan , maka dari sistem persamaan (10) kita peroleh

Penyelesaian sistem persamaan ini adalah dan .

Contoh 3. Temukan jika dan .

Larutan. Menurut rumus (5) kita memiliki atau . Namun, dengan menggunakan properti (9), kita memperoleh .

Sejak dan , maka dari persamaan persamaannya berikut ini atau .

Contoh 4. Temukan jika .

Larutan.Menurut rumus (5) yang kita miliki

Namun, dengan menggunakan teorema tersebut, kita dapat menulis

Dari sini dan dari rumus (11) kita peroleh .

Contoh 5. Diberikan: . Menemukan .

Larutan. Dari dulu. Namun, oleh karena itu.

Contoh 6. Biarkan , dan . Menemukan .

Larutan. Dengan menggunakan rumus (9), kita memperoleh . Oleh karena itu, jika , maka atau .

Sejak dan maka di sini kita memiliki sistem persamaan

Memecahkan yang mana, kita mendapatkan dan .

Akar alami persamaan adalah .

Contoh 7. Temukan jika dan .

Larutan. Karena menurut rumus (3) kita mempunyai , maka sistem persamaan mengikuti kondisi masalah

Jika kita mengganti ekspresi tersebutke persamaan kedua sistem, lalu kita dapatkan atau .

Akar persamaan kuadrat adalah Dan .

Mari kita pertimbangkan dua kasus.

1. Biarkan , lalu . Sejak dan , lalu .

Dalam hal ini, menurut rumus (6), kita punya

2. Jika , maka , dan

Jawaban: dan.

Contoh 8. Diketahui bahwa dan. Menemukan .

Larutan. Dengan memperhatikan rumus (5) dan kondisi contoh, kita tulis dan .

Ini menyiratkan sistem persamaan

Jika kita mengalikan persamaan pertama sistem dengan 2 dan kemudian menambahkannya ke persamaan kedua, kita mendapatkan

Menurut rumus (9) yang kita miliki. Dalam hal ini, berikut dari (12) atau .

Sejak dan , lalu .

Menjawab: .

Contoh 9. Temukan jika dan .

Larutan. Sejak , dan dengan syarat , maka atau .

Dari rumus (5) diketahui, Apa . Dari dulu.

Karena itu , di sini kita memiliki sistem persamaan linear

Dari sini kita mendapatkan dan . Dengan mempertimbangkan rumus (8), kami menulis .

Contoh 10. Selesaikan persamaannya.

Larutan. Dari persamaan yang diberikan mengikuti itu. Mari kita berasumsi bahwa , , dan . Pada kasus ini .

Menurut rumus (1), kita dapat menulis atau .

Karena , maka persamaan (13) mempunyai satu-satunya akar yang cocok .

Contoh 11. Temukan nilai maksimum asalkan dan .

Larutan. Sejak , maka perkembangan aritmatika yang dipertimbangkan menurun. Dalam hal ini, ekspresi tersebut memperoleh nilai maksimumnya jika merupakan bilangan suku positif minimum dari perkembangan tersebut.

Mari kita gunakan rumus (1) dan faktanya, itu dan . Lalu kita mendapatkan itu atau .

Sejak , lalu atau . Namun, dalam ketimpangan inibilangan asli terbesar, Itu sebabnya.

Jika nilai , dan disubstitusikan ke dalam rumus (6), kita peroleh .

Menjawab: .

Contoh 12. Tentukan jumlah semua bilangan asli dua angka yang bila dibagi dengan bilangan 6 akan menyisakan sisa 5.

Larutan. Mari kita nyatakan dengan himpunan semua bilangan asli dua digit, yaitu. . Selanjutnya, kita akan membuat himpunan bagian yang terdiri dari unsur-unsur (bilangan) himpunan yang bila dibagi dengan bilangan 6 akan menghasilkan sisa 5.

Mudah dipasang, Apa . Jelas sekali , bahwa unsur-unsur himpunan tersebutmembentuk barisan aritmatika, di mana dan .

Untuk menetapkan kardinalitas (jumlah elemen) suatu himpunan, kita asumsikan bahwa . Karena dan , maka mengikuti rumus (1) atau . Dengan mempertimbangkan rumus (5), kita memperoleh .

Contoh pemecahan masalah di atas sama sekali tidak bisa dikatakan lengkap. Artikel ini ditulis berdasarkan analisis metode modern memecahkan masalah khas pada topik tertentu. Untuk mempelajari lebih mendalam tentang metode penyelesaian masalah yang berkaitan dengan perkembangan aritmatika, disarankan untuk merujuk pada daftar literatur yang direkomendasikan.

1. Kumpulan Soal Matematika untuk Pelamar Perguruan Tinggi / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Perdamaian dan Pendidikan, 2013. – 608 hal.

2. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: bagian tambahan kurikulum sekolah. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 hal.

3. Medinsky M.M. Tentu saja penuh matematika dasar dalam soal dan latihan. Buku 2: Urutan angka dan kemajuan. – M.: Editus, 2015. – 208 hal.

Masih ada pertanyaan?

Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.


Misalnya, barisan \(2\); \(5\); \(8\); \(sebelas\); \(14\)... merupakan barisan aritmatika karena masing-masing elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya sebanyak tiga (dapat diperoleh dari yang sebelumnya dengan menambahkan tiga):

Pada deret ini, selisih \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), sehingga setiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya. Perkembangan seperti ini disebut meningkat.

Namun, \(d\) juga bisa angka negatif. Misalnya, dalam barisan aritmatika \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... selisih perkembangan \(d\) sama dengan minus enam.

Dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari elemen sebelumnya. Kemajuan ini disebut menurun.

Notasi perkembangan aritmatika

Kemajuan ditunjukkan dengan huruf Latin kecil.

Bilangan yang membentuk barisan disebut anggota(atau elemen).

Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan barisan aritmatika, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan jumlah elemen secara berurutan.

Misalnya, barisan aritmatika \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri dari elemen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.

Dengan kata lain, untuk perkembangan \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Memecahkan masalah perkembangan aritmatika

Pada prinsipnya, informasi yang disajikan di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika (termasuk yang ditawarkan di OGE).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi \(b_1=7; d=4\). Temukan \(b_5\).
Larutan:

Menjawab: \(b_5=23\)

Contoh (OGE). Diketahui tiga suku pertama suatu barisan aritmatika: \(62; 49; 36…\) Tentukan nilai suku negatif pertama barisan tersebut..
Larutan:

Kita diberikan elemen pertama barisan tersebut dan mengetahui bahwa itu adalah barisan aritmatika. Artinya, setiap unsur berbeda satu sama lain dengan bilangan yang sama. Mari kita cari tahu yang mana dengan mengurangkan elemen sebelumnya dari elemen berikutnya: \(d=49-62=-13\).

Sekarang kita dapat mengembalikan perkembangan kita ke elemen (negatif pertama) yang kita perlukan.

Siap. Anda dapat menulis jawabannya.

Menjawab: \(-3\)

Contoh (OGE). Diberikan beberapa elemen barisan aritmatika yang berurutan: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tentukan nilai elemen yang diberi tanda huruf \(x\).
Larutan:


Untuk mencari \(x\), kita perlu mengetahui seberapa besar perbedaan elemen berikutnya dengan elemen sebelumnya, dengan kata lain, selisih perkembangannya. Mari kita cari dari dua elemen bertetangga yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\).

Dan sekarang kita dapat dengan mudah menemukan apa yang kita cari: \(x=5+2.5=7.5\).


Siap. Anda dapat menulis jawabannya.

Menjawab: \(7,5\).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tentukan jumlah enam suku pertama barisan ini.
Larutan:

Kita perlu mencari jumlah enam suku pertama dari perkembangan tersebut. Namun kita tidak mengetahui maknanya; kita hanya diberikan elemen pertama. Oleh karena itu, pertama-tama kita menghitung nilainya satu per satu, menggunakan apa yang diberikan kepada kita:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Dan setelah menghitung enam elemen yang kita butuhkan, kita menemukan jumlahnya.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Jumlah yang dibutuhkan telah ditemukan.

Menjawab: \(S_6=9\).

Contoh (OGE). Dalam perkembangan aritmatika \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Temukan perbedaan dari perkembangan ini.
Larutan:

Menjawab: \(d=7\).

Rumus penting untuk perkembangan aritmatika

Seperti yang Anda lihat, banyak masalah pada perkembangan aritmatika dapat diselesaikan hanya dengan memahami hal utama - bahwa perkembangan aritmatika adalah rantai angka, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambahkan angka yang sama ke yang sebelumnya (the perbedaan kemajuan).

Namun, terkadang ada situasi di mana sangat merepotkan untuk memutuskan “langsung”. Misalnya, bayangkan pada contoh pertama kita tidak perlu mencari elemen kelima \(b_5\), melainkan elemen ketiga ratus delapan puluh enam \(b_(386)\). Apakah kita perlu menambahkan empat \(385\) kali? Atau bayangkan dalam contoh kedua dari belakang Anda perlu mencari jumlah tujuh puluh tiga elemen pertama. Anda akan bosan menghitung...

Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu mereka tidak menyelesaikan masalah secara “langsung”, tetapi menggunakan rumus khusus yang diturunkan untuk perkembangan aritmatika. Dan yang utama adalah rumus suku ke-n barisan tersebut dan rumus jumlah suku pertama \(n\).

Rumus suku ke-\(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) adalah suku pertama dari barisan tersebut;
\(n\) – jumlah elemen yang diperlukan;
\(a_n\) – suku barisan dengan bilangan \(n\).


Rumus ini memungkinkan kita dengan cepat menemukan elemen ketiga ratus atau sejuta, hanya mengetahui elemen pertama dan perbedaan perkembangannya.

Contoh. Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Temukan \(b_(246)\).
Larutan:

Menjawab: \(b_(246)=1850\).

Rumus jumlah n suku pertama: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana



\(a_n\) – suku terakhir yang dijumlahkan;


Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi \(a_n=3.4n-0.6\). Tentukan jumlah suku \(25\) pertama dari barisan tersebut.
Larutan:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

Untuk menghitung jumlah dua puluh lima suku pertama, kita perlu mengetahui nilai suku pertama dan kedua puluh lima.
Perkembangan kita diberikan oleh rumus suku ke-n tergantung pada bilangannya (untuk lebih jelasnya lihat). Mari kita hitung elemen pertama dengan mengganti \(n\) dengan satu.

\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)

Sekarang mari kita cari suku ke dua puluh lima dengan mensubstitusikan dua puluh lima ke dalam \(n\).

\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)

Nah, sekarang kita bisa dengan mudah menghitung jumlah yang dibutuhkan.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Jawabannya sudah siap.

Menjawab: \(S_(25)=1090\).

Untuk jumlah \(n\) suku pertama, kamu bisa mendapatkan rumus lain: kamu hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) alih-alih \(a_n\) gantikan rumusnya dengan \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kita mendapatkan:

Rumus jumlah n suku pertama: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

\(S_n\) – jumlah yang diperlukan dari \(n\) elemen pertama;
\(a_1\) – suku pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbedaan perkembangan;
\(n\) – jumlah elemen dalam jumlah.

Contoh. Tentukan jumlah suku \(33\)-ex pertama dari barisan aritmetika: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Larutan:

Menjawab: \(S_(33)=-231\).

Masalah perkembangan aritmatika yang lebih kompleks

Sekarang Anda memiliki semua informasi yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika. Mari kita selesaikan topik ini dengan mempertimbangkan masalah di mana Anda tidak hanya perlu menerapkan rumus, tetapi juga berpikir sedikit (dalam matematika ini bisa berguna ☺)

Contoh (OGE). Tentukan jumlah semua suku negatif dari barisan tersebut: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Larutan:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Tugasnya sangat mirip dengan yang sebelumnya. Kita mulai menyelesaikan hal yang sama: pertama kita temukan \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)

Sekarang saya ingin mengganti \(d\) ke dalam rumus jumlah... dan di sini muncul sedikit perbedaan - kita tidak tahu \(n\). Dengan kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambahkan. Bagaimana cara mengetahuinya? Mari kita berpikir. Kami akan berhenti menambahkan elemen ketika kami mencapai elemen positif pertama. Artinya, Anda perlu mengetahui jumlah elemen ini. Bagaimana? Mari kita tuliskan rumus untuk menghitung elemen apa pun dari barisan aritmatika: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kasus kita.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)

Kita perlu \(a_n\) menjadi lebih besar dari nol. Mari kita cari tahu pada \(n\) hal ini akan terjadi.

\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)

\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)

Kita membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan \(0,3\).

\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)

Kita transfer minus satu, tak lupa ganti tandanya

\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)

Mari kita hitung...

\(n>65.333…\)

...dan ternyata unsur positif pertama mempunyai bilangan \(66\). Oleh karena itu, negatif terakhir memiliki \(n=65\). Untuk berjaga-jaga, mari kita periksa ini.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)

Jadi kita perlu menambahkan elemen \(65\) pertama.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)

Jawabannya sudah siap.

Menjawab: \(S_(65)=-630,5\).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika ditentukan oleh kondisi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Temukan jumlah dari elemen \(26\) hingga \(42\) inklusif.
Larutan:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

Dalam soal ini Anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi tidak dimulai dari yang pertama, tetapi dari \(26\). Untuk kasus seperti ini kami tidak mempunyai rumusnya. Bagaimana cara memutuskan?
Caranya mudah - untuk mendapatkan jumlah dari \(26\)th hingga \(42\)th, Anda harus terlebih dahulu mencari jumlah dari \(1\)th hingga \(42\)th, lalu menguranginya dari situ jumlah dari pertama sampai \(25\) (lihat gambar).


Untuk perkembangan kita \(a_1=-33\), dan selisih \(d=4\) (bagaimanapun juga, kita menambahkan empat ke elemen sebelumnya untuk mencari elemen berikutnya). Mengetahui hal ini, kita mencari jumlah elemen \(42\)-y pertama.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Sekarang jumlah elemen \(25\) pertama.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

Dan terakhir, kami menghitung jawabannya.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Menjawab: \(S=1683\).

Untuk perkembangan aritmatika, ada beberapa rumus lagi yang tidak kami bahas dalam artikel ini karena rendahnya kegunaan praktisnya. Namun, Anda dapat menemukannya dengan mudah.