Fakta penasaran dan menarik tentang matematika. Dari sejarah pecahan desimal Cerita matematika lucu tentang pecahan

Pecahan desimal muncul pada abad ke-3. SM. di Tiongkok kuno, di mana sistem bilangan desimal digunakan. Matematikawan Tiongkok abad ke-3. Liu Hui merekomendasikan penggunaan pecahan dengan penyebut 10, 100, dst. saat mengekstraksi akar kuadrat. Yang dia maksud adalah aturannya

yang kemudian sering digunakan oleh banyak matematikawan Arab dan Eropa. Aturan inilah, bersama dengan beberapa teknik komputasi lainnya, yang memberikan kontribusi besar terhadap pengenalan ilmu pengetahuan desimal.

Pada abad ke-15 Teori lengkap pecahan desimal dikembangkan oleh astronom Samarkand Jemshid al-Kashi dalam risalah “The Key to Arithmetic” (1427). Dia menguraikan secara rinci aturan untuk bekerja dengan pecahan desimal. Ada kemungkinan bahwa al-Kashi tidak menyadari bahwa desimal digunakan di Tiongkok. Dia sendiri menganggap mereka sebagai penemuannya. Tidak ada keraguan bahwa penggunaan pecahan desimal secara konstan dan deskripsi aturan pengoperasiannya adalah manfaat langsung dari ilmuwan. Namun risalahnya tidak diketahui oleh para ilmuwan Eropa. Mereka secara mandiri mengembangkan teori pecahan desimal.

Ide untuk membangun sistem pecahan seperti itu telah muncul dari waktu ke waktu dalam buku teks aritmatika sejak abad ke-13. Jordan Nemorarius menulis tentang hal ini dalam karyanya “Aritmatika Ditetapkan dalam Sepuluh Buku.”

Ilmuwan Perancis François Viète menerbitkan karyanya “Mathematical Canon” di Paris pada tahun 1579, di mana ia menyajikan tabel trigonometri dalam kompilasi yang ia gunakan menggunakan pecahan desimal. Saat menulis pecahan desimal, dia tidak menganut metode tertentu: kadang dia memisahkan seluruh bagian dari bagian pecahan dengan garis vertikal, kadang dia menggambarkan bilangan seluruh bagian dengan huruf tebal, kadang dia menulis bilangan bagian pecahan. dalam huruf yang lebih kecil. Jadi, berkat Vieta, pecahan desimal mulai merambah ke dalam perhitungan ilmiah, tetapi tidak memasuki praktik sehari-hari.

Ilmuwan Belanda Simon Stevin percaya bahwa pecahan desimal harus digunakan dalam semua perhitungan praktis. Dia mendedikasikan karyanya "Kesepuluh" (1585) untuk ini, di mana dia memperkenalkan pecahan desimal, mengembangkan aturan untuk operasi aritmatika dengan pecahan tersebut dan mengusulkan sistem desimal untuk satuan moneter, ukuran dan berat.

"Kesepuluh" dengan cepat menjadi terkenal di Eropa. Setelah menerbitkan buku tersebut pada tahun 1585 di Flemish, penulis menerjemahkannya ke dalam Perancis, dan pada tahun 1601 diterbitkan dalam bahasa Inggris.

Stevin menulis pecahan dengan cara yang berbeda dari yang dilakukannya sekarang. Angka 0 yang dilingkari digunakan untuk menunjukkan bagian pecahan. Koma pertama kali digunakan saat menulis pecahan pada tahun 1592. Di Inggris, titik digunakan sebagai pengganti koma, di AS masih digunakan sampai sekarang. Gunakan koma sebagai pemisah, seperti intinya, diusulkan pada 1616-1617. matematikawan Inggris terkenal John Napier. Astronom Johannes Kepler menggunakan titik desimal dalam karyanya.

Di Rusia, doktrin pecahan desimal pertama kali dikemukakan oleh L.F. Magnitsky dalam "Aritmatika" -nya.

1

Pavlikova E.V. (, sekolah menengah MAOU Dyatkovskaya No.5)

1. Anishchenko E. A. Bilangan sebagai konsep dasar matematika. Mariupol, 2002.

2. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika. kelas 5: pendidikan untuk lembaga pendidikan. – Edisi ke-26, terhapus. – M.: Mnemosyne, 2009. – 280 hal.

3. Geyser G.I. Sejarah matematika di sekolah. Panduan untuk guru. – M.: Pendidikan, 1981. – 239 hal.

4. Matematika. kelas 5: pendidikan untuk pendidikan umum. institusi / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin. edisi ke-11, direvisi. – M.: Pendidikan, 2016. – 272 hal. – (MSU – sekolah).

5. Matematika kamus ensiklopedis. – M., 1988.

6. Dragunsky V. Anda harus memiliki selera humor. – Mode akses: http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. Dari sejarah pecahan. Mode akses: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. Bahan dari Wikipedia - ensiklopedia gratis. Mode akses: http://ru.wikipedia.org/wiki.

9. Kutipan. Mode akses: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Studi tentang pecahan ditentukan oleh kehidupan itu sendiri. Kemampuan untuk melakukan berbagai perhitungan dan perhitungan diperlukan bagi setiap orang, karena kita sering menjumpai pecahan Kehidupan sehari-hari. Saya ingin tahu dari mana nama nomor-nomor ini berasal; yang mencetuskan angka-angka ini, adalah topik “Pecahan”, yang kami pelajari di sekolah, diperlukan dalam hidup saya.

Objek studi: sejarah asal usul pecahan biasa.

Subyek studi: pecahan biasa.

Hipotesa: Jika tidak ada pecahan, apakah matematika bisa berkembang?

Tujuan pekerjaan: menghiasi stand “Matematika di Sekitar Kita” di kelas matematika dengan fakta-fakta menarik tentang pecahan.

Tugas:

1. Mempelajari sejarah munculnya pecahan dalam matematika;

2. Pilih yang paling banyak Fakta Menarik tentang pecahan yang dapat digunakan untuk menyusun bagian-bagian tegakan.

3. Mendirikan stand di kelas matematika.

Hidup dikelilingi oleh pecahan, kita tidak selalu memperhatikannya dengan jelas. Namun, kita sering menjumpainya: di rumah, di jalan, di toko. Bangun di pagi hari, kita melihat jam alarm dan menemukan pecahan. Kami menggunakan pecahan saat menimbang barang di toko. Dalam pengukuran, saat menentukan volume muatan. Fraksi mengelilingi kita di mana-mana. Dengan bantuan pecahan kita dapat mengukur panjang dan membagi suatu bilangan bulat menjadi beberapa bagian. Bagaimana cara mengukur tinggi badan seseorang atau jarak antar benda tanpa mengetahui pecahan? Segala sesuatu di sekitar adalah pecahan!

Relevansi: Kehidupan modern membuat soal pecahan menjadi relevan, seiring dengan meluasnya cakupan penerapan praktis pecahan.

Metode penelitian:

1. Mencari informasi tentang pecahan di berbagai sumber: internet, fiksi, buku teks.

2. Analisis, perbandingan, sintesis dan sistematisasi informasi.

Dari sejarah pecahan biasa

Munculnya pecahan

Sejak dahulu kala, untuk mengatasi permasalahan kehidupan masalah praktis orang harus menghitung benda dan mengukur jumlahnya, yaitu menjawab pertanyaan “Berapa banyak?”: berapa banyak domba dalam kawanan, berapa takaran gabah yang dikumpulkan dari ladang, berapa mil dari pusat distrik, dll. adalah bagaimana angka muncul. Tidak selalu mungkin untuk menyatakan hasil pengukuran atau harga pokok barang bilangan asli. Ketika seseorang perlu menemukan bilangan pecahan baru, pecahan muncul. Di zaman kuno, bilangan bulat dan bilangan pecahan diperlakukan secara berbeda: preferensi berada pada bilangan bulat. “Jika Anda ingin membagi suatu unit, ahli matematika akan mengejek Anda dan tidak mengizinkan Anda melakukan ini,” tulis pendiri Akademi Athena, Plato.

Di semua peradaban, konsep pecahan muncul dari proses pemecahan keseluruhan menjadi bagian-bagian yang sama. Istilah Rusia "pecahan", seperti analoginya dalam bahasa lain, berasal dari bahasa Lat. “fractura”, yang merupakan terjemahan dari istilah Arab dengan arti yang sama: memecah, memecah. Oleh karena itu, kemungkinan besar pecahan pertama di mana pun adalah pecahan berbentuk 1/n. Perkembangan lebih lanjut secara alami bergerak ke arah mempertimbangkan pecahan ini sebagai satuan yang dapat menyusun pecahan m/n - bilangan rasional. Namun, jalan ini tidak diikuti oleh semua peradaban: misalnya, hal ini tidak pernah diwujudkan dalam matematika Mesir kuno.

Pecahan pertama yang diperkenalkan kepada orang-orang adalah setengahnya. Meskipun nama semua pecahan berikut terkait dengan nama penyebutnya (tiga adalah "ketiga", empat adalah "seperempat", dll.), tidak demikian halnya dengan setengahnya - namanya dalam semua bahasa tidak ada hubungannya dengan itu. lakukan dengan kata "dua".

Sistem pencatatan pecahan dan aturan penanganannya sangat berbeda negara yang berbeda, dan pada waktu yang berbeda di antara orang yang sama. Banyaknya peminjaman ide juga memainkan peran penting dalam kontak budaya antar peradaban yang berbeda.

Pecahan di Rus'

Dalam bahasa Rusia, kata "pecahan" muncul pada abad ke-8, berasal dari kata kerja "droblit" - pecah, pecah berkeping-keping. Notasi modern untuk pecahan berasal dari India Kuno: Orang Arab juga mulai menggunakannya.

Dalam manual lama kami menemukan nama-nama pecahan berikut dalam bahasa Rus:

Penomoran Slavia digunakan di Rusia hingga abad ke-16, kemudian sistem bilangan posisi desimal secara bertahap mulai merambah ke negara tersebut. Ini akhirnya menggantikan penomoran Slavia di bawah Peter I.

Ukuran tanah yang digunakan di Rusia adalah seperempat dan lebih kecil satu setengah seperempat, yang disebut ocmina. Ini adalah pecahan konkret, satuan untuk mengukur luas bumi, tetapi oktina tidak dapat mengukur waktu atau kecepatan, dll. Belakangan, oktina mulai berarti pecahan abstrak 1/8, yang dapat menyatakan nilai apa pun. Tentang penggunaan pecahan di Rusia XVII abad, Anda dapat membaca dalam buku V. Bellustin “Bagaimana orang secara bertahap mencapai aritmatika nyata” sebagai berikut: “Dalam sebuah manuskrip abad ke-17. “Pasal semua pecahan dalam keputusan itu” diawali langsung dengan penulisan pecahan dan penunjukan pembilang dan penyebutnya. Saat mengucapkan pecahan, ciri-ciri berikut ini menarik: bagian keempat disebut seperempat, sedangkan pecahan dengan penyebut 5 sampai 11 dinyatakan dengan kata yang diakhiri dengan “ina”, sehingga 1/7 adalah minggu, 1/5 adalah lima poin, 1/10 adalah perpuluhan; bagian yang penyebutnya lebih besar dari 10 diucapkan dengan menggunakan kata “lot”, misalnya 13/5 - lima per tiga belas lot. Penomoran pecahan dipinjam langsung dari sumber-sumber Barat. Pembilangnya disebut bilangan atas, penyebutnya disebut bilangan bawah.”

Pecahan di negara bagian kuno lainnya

Semua aturan berhitung orang Mesir kuno didasarkan pada kemampuan menjumlahkan dan mengurangi, menggandakan bilangan, dan melengkapi pecahan menjadi satu. Ada notasi khusus untuk pecahan. Orang Mesir menggunakan pecahan berbentuk 1/n, dimana n adalah bilangan asli. Pecahan seperti ini disebut alikuot. Terkadang, alih-alih membagi m:n, mereka mengalikan m. N.

Untuk tujuan ini, tabel khusus digunakan. Harus dikatakan bahwa operasi dengan pecahan adalah fitur aritmatika Mesir, yang terkadang mengubah perhitungan paling sederhana tugas yang kompleks. (Aplikasi).

Aplikasi

Stand “Matematika di Sekitar Kita”

Tabel “Penulisan pecahan di Mesir”

Tabel ini membantu melakukan perhitungan aritmatika yang rumit sesuai dengan aturan yang diterima. Rupanya para ahli kitab hafal, sama seperti anak-anak sekolah sekarang hafal tabel perkalian. Tabel ini juga digunakan untuk membagi angka. Orang Mesir juga tahu cara mengalikan dan membagi pecahan. Namun untuk mengalikannya, Anda harus mengalikan pecahan dengan pecahan, dan kemudian, mungkin, menggunakan tabel itu lagi. Situasi perpecahan menjadi lebih rumit.

Di zaman kuno, orang Mesir tahu cara membagi 2 apel menjadi tiga: mereka bahkan memiliki ikon khusus untuk nomor ini. Omong-omong, ini adalah satu-satunya pecahan yang digunakan ahli Taurat Mesir yang tidak memiliki satuan di pembilangnya - semua pecahan lainnya pasti memiliki 1 di pembilangnya (yang disebut pecahan dasar): 1/2, 1/3 , 1/17, ... dan lain-lain. Sikap terhadap pecahan ini sudah ada sejak lama. Peradaban Mesir kuno telah musnah, tanah yang dulunya hijau ditelan oleh pasir Sahara, dan pecahan-pecahan semuanya diurutkan ke dalam jumlah yang dasar - hingga Renaisans!

Di Cina, hampir semua operasi aritmatika dengan pecahan biasa dilakukan pada abad ke-2. SM e.; mereka dijelaskan dalam kumpulan dasar pengetahuan matematika Tiongkok kuno - “Matematika dalam Sembilan Buku”, edisi terakhirnya adalah milik Zhang Tsang. Dengan menghitung berdasarkan aturan yang mirip dengan algoritma Euclid (pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut), matematikawan Tiongkok mereduksi pecahan. Mengalikan pecahan dianggap sebagai mencari luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yang panjang dan lebarnya dinyatakan dalam pecahan. Pembagian dianggap menggunakan gagasan berbagi, sedangkan matematikawan Cina tidak bingung dengan kenyataan bahwa jumlah peserta pembagian bisa pecahan, misalnya 3 1/2 orang.

Awalnya, orang Cina menggunakan pecahan sederhana, yang diberi nama menggunakan hieroglif mandi:

Larangan (“setengah”) -1\2;

Larangan Shao (“setengah kecil”) -1\3;

Tai banh (“separuh besar”) -2\3.

Menariknya, orang Babilonia lebih menyukai penyebut yang konstan (sama dengan 60, tampaknya karena sistem bilangan mereka seksagesimal).

Bangsa Romawi juga hanya menggunakan satu penyebut, sama dengan 12.

Perkembangan lebih lanjut dari konsep pecahan biasa dicapai di India. Para ahli matematika negeri ini mampu dengan cepat berpindah dari pecahan satuan ke pecahan umum. Pecahan seperti itu pertama kali ditemukan dalam “Rules of the Rope” oleh Apastamba (abad VII-V SM), yang berisi konstruksi geometris dan hasil beberapa perhitungan. Di India, sistem notasi digunakan - mungkin dari Cina, dan mungkin berasal dari Yunani akhir - di mana pembilang pecahan ditulis di atas penyebut - seperti milik kita, tetapi tanpa garis pecahan, tetapi seluruh pecahan ditempatkan di a bingkai persegi panjang.

Notasi India untuk pecahan dan aturan pengoperasiannya diadopsi pada abad ke-9. di negara-negara Muslim berkat Muhammad dari Khorezm (al-Khorezmi). Dalam praktik perdagangan di negara-negara Islam, pecahan satuan banyak digunakan, dalam sains, pecahan sexagesimal dan, pada tingkat lebih rendah, pecahan biasa digunakan.

Pecahan yang menarik

“Tanpa pengetahuan tentang pecahan, tidak ada seorang pun yang dapat diakui mengetahui ilmu aritmatika!”

Setiap kali orang menggunakan uang, mereka selalu menemukan pecahan: pada Abad Pertengahan, 1 pence Inggris = 1/12 shilling; Saat ini, satu kopeck Rusia = 1/100 rubel.

Sistem pengukuran membawa pecahan: 1 sentimeter = 1/10 desimeter = 1/100 meter.

Pecahan selalu menjadi mode. Gaya lengan tiga perempat selalu relevan. Dan celana cropped 7/8 adalah detail lemari pakaian yang bagus.

Anda dapat menemukan pecahan di berbagai pelajaran. Misalnya, dalam geografi: “Selama keberadaan Uni Soviet, Rusia menempati seperenam wilayahnya. Sekarang Rusia menempati sepersembilan daratan.” Dalam seni rupa - saat menggambarkan sosok manusia. Dalam musik, ritme, meteran sebuah musik.

Seseorang menemukan kata “pecahan” dalam hidup:

Bola timah kecil untuk menembak dari senapan berburu - ditembak.

Suara yang sering dan terputus-putus - gendang.

Di angkatan laut, perintah “tembak!” - gencatan senjata.

Penomoran rumah. Nomor yang dipisahkan dengan pecahan ditempatkan pada rumah-rumah yang diberi nomor di sepanjang dua jalan yang berpotongan.

Fraksi dalam tarian. Tidak mungkin membayangkan tarian rakyat Rusia tanpa pecahan dan lari.

Hancurkan sebagian kecil dengan gigi Anda - gemeretak gigi Anda (gemetar karena kedinginan, ketakutan).

Dalam fiksi. Deniska, pahlawan dalam cerita Viktor Dragunsky “Kamu Harus Memiliki Selera Humor,” suatu kali menanyakan sebuah masalah kepada temannya Mishka: bagaimana cara membagi dua apel secara merata menjadi tiga? Dan ketika Mishka akhirnya menyerah, dia dengan penuh kemenangan mengumumkan jawabannya: “Buat kolak!” Mishka dan Denis belum mempelajari pecahan dan mengetahui pasti bahwa 2 tidak habis dibagi 3?

Sebenarnya, “memasak kolak” adalah operasi dengan pecahan. Mari kita potong apel menjadi beberapa bagian dan kita akan menambah dan mengurangi jumlah potongan-potongan ini, mengalikan dan membagi - siapa yang akan menghentikan kita?.. Penting bagi kita untuk mengingat berapa banyak potongan kecil yang membentuk satu apel utuh...

Tapi ternyata tidak satu-satunya keputusan tugas ini! Anda perlu membagi setiap apel menjadi tiga bagian dan membagikan dua bagian tersebut ke ketiganya.

Selama berabad-abad, dalam bahasa masyarakat, bilangan pecahan disebut pecahan. Misalnya, Anda perlu membagi sesuatu secara merata, misalnya permen, apel, sepotong gula, dll. Untuk melakukan ini, sepotong gula harus dibelah atau dipecah menjadi dua bagian yang sama besar. Begitu pula dengan angka, untuk mendapatkan setengahnya, Anda perlu membagi atau “memecah” satu kesatuan menjadi dua bagian. Dari sinilah nama angka “rusak” berasal.

Ada tiga jenis pecahan:

1. Satuan (aliquot) atau pecahan (misalnya 1/2, 1/3, 1/4, dst).

2. Sistematis, yaitu pecahan yang penyebutnya dinyatakan dengan pangkat suatu bilangan (misalnya pangkat 10 atau 60, dst).

3. Tipe umum, pembilang dan penyebutnya bisa berapa saja.

Ada pecahan yang “salah” - tidak beraturan dan “nyata” - benar.

Pecahan dalam matematika merupakan suatu bentuk representasi besaran matematika menggunakan operasi pembagian, yang aslinya mencerminkan konsep bukan bilangan bulat, atau pecahan. Dalam kasus yang paling sederhana, pecahan numerik adalah perbandingan dua bilangan

Pada pecahan m/n (baca: “em nths”), bilangan m yang terletak di atas garis disebut pembilang, dan bilangan n yang terletak di bawah garis disebut penyebut. Penyebutnya menunjukkan berapa banyak bagian yang sama yang dibagi, dan pembilangnya menunjukkan berapa banyak bagian yang diambil. Garis pecahan dapat dipahami sebagai tanda pembagian.

Ilmuwan Eropa pertama yang mulai menggunakan dan menyebarkan notasi pecahan modern adalah seorang pedagang dan pengelana Italia, putra pegawai kota Fibbonacci (Leonardo dari Pisa).

Pada tahun 1202 ia memperkenalkan kata "pecahan".

Nama pembilang dan penyebut diperkenalkan pada abad ke-13 oleh Maximus Planud, seorang biarawan, ilmuwan, dan ahli matematika Yunani.

Sistem penulisan pecahan modern diciptakan di India. Hanya di sana mereka menulis penyebut di atas dan pembilang di bawah, dan tidak menulis garis pecahan. Dan orang-orang Arab mulai menulis pecahan seperti yang mereka lakukan sekarang. Operasi pecahan pada Abad Pertengahan dianggap sebagai bidang matematika yang paling sulit. Sampai hari ini, orang Jerman mengatakan tentang seseorang yang berada dalam situasi sulit bahwa dia “terpecah belah”.

Pecahan biasa memainkan peran dalam musik juga. Dan sekarang dalam notasi musik tertentu, nada panjang - keseluruhan - dibagi menjadi dua bagian (setengah panjangnya), seperempat, enam belas, dan tiga puluh detik. Jadi, pola ritme suatu karya musik, betapapun rumitnya, ditentukan oleh pecahan biasa. Harmoni ternyata berkaitan erat dengan pecahan, yang menegaskan gagasan utama orang Eropa: “Angka menguasai dunia.”

“Seseorang itu seperti pecahan: pembilangnya adalah dirinya sendiri, dan penyebutnya adalah apa yang dia pikirkan tentang dirinya sendiri. Semakin besar penyebutnya, semakin kecil pecahannya" (L.N. Tolstoy).

Hasil utama penelitian

Mempelajari pecahan dianggap sebagai bagian matematika yang paling sulit sepanjang masa dan di antara semua orang. Mereka yang mengetahui pecahan dijunjung tinggi. Penulis manuskrip Slavia kuno abad ke-15. menulis: “Tidaklah mengherankan bahwa… secara keseluruhan, tetapi patut dipuji bahwa sebagian…”.

Selama bekerja, saya belajar banyak hal baru dan menarik. Saya membaca banyak buku dan bagian dari ensiklopedia. Saya mengenal pecahan pertama yang digunakan orang, dengan konsep pecahan alikuot, dan mempelajari nama-nama ilmuwan baru yang berkontribusi pada pengembangan doktrin pecahan. Dalam proses mengerjakan pekerjaan, saya belajar banyak hal baru, saya rasa ilmu ini akan berguna dalam studi saya.

Kesimpulan: Kebutuhan akan pecahan muncul pada tahap awal perkembangan manusia. Dalam kehidupan, seseorang tidak hanya harus menghitung benda, tetapi juga mengukur besaran. Orang mengukur panjang, luas tanah, volume, massa benda, waktu, dan melakukan pembayaran atas barang yang dibeli atau dijual. Tidak selalu mungkin untuk menyatakan hasil pengukuran atau harga pokok suatu produk dalam bilangan asli. Beginilah pecahan dan aturan penanganannya muncul.

Signifikansi praktis dari pekerjaan tersebut

Saya menguasai keterampilan bekerja di editor teks dan bekerja dengan sumber daya Internet. Saya memilih bahan untuk menghiasi stand “Matematika di Sekitar Kita” di kelas matematika dengan fakta menarik tentang pecahan (Lampiran). Dan merancang stand (Lampiran).

Sebagai hasil penelitian, saya membenarkan hipotesis: orang tidak dapat hidup tanpa pecahan, tanpa pecahan, matematika tidak dapat berkembang.

Tautan bibliografi

Balbutskaya A.A. MENARIK TENTANG FRAKSI // Mulai dari sains. – 2017. – No.5-2. – Hal.265-268;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=874 (tanggal akses: 29/08/2019).

Hari ini kami akan berbagi dengan Anda fakta menarik dan tidak biasa dari dunia sains yang serius ini. Ada tempat untuk hal-hal yang sembrono atau sekadar menarik, di mana pun ilmu eksakta. Yang utama adalah keinginan untuk menemukannya...

Matematikawan Inggris Abraham de Moivre, di masa tuanya, pernah menemukan bahwa durasi tidurnya bertambah 15 menit per hari. Setelah dikompilasi perkembangan aritmatika, dia menentukan tanggal mencapai 24 jam - 27 November 1754. Pada hari ini dia meninggal.
Orang-orang Yahudi yang beragama berusaha menghindari simbol-simbol Kristen dan, secara umum, tanda-tanda yang mirip dengan salib. Misalnya, siswa di beberapa sekolah Israel, alih-alih menggunakan tanda tambah, menulis tanda yang mengulangi huruf “t” terbalik.
Keaslian uang kertas euro dapat diverifikasi dari nomor seri, huruf, dan sebelas digitnya. Anda perlu mengganti surat itu dengan itu nomor seri V alfabet Inggris, jumlahkan angka ini dengan angka lainnya, lalu jumlahkan angka hasilnya hingga didapat satu angka.

Jika angkanya 8, maka uang tersebut asli. Cara pengecekannya yang lain adalah dengan menjumlahkan angka dengan cara serupa, namun tanpa huruf. Hasil satu huruf dan angka harus sesuai dengan negara tertentu, karena euro dicetak negara lain. Misalnya untuk Jerman adalah X2.
Kata “aljabar” terdengar sama di semua bahasa di dunia. Ini berasal dari Arab, dan mulai digunakan oleh ahli matematika besar Asia Tengah pada akhir abad ke-8 - awal abad ke-9, Mahammad ibn Musa al-Khwarizmi. Risalah matematikanya disebut "Aldzhebr wal muqabala", dari kata pertama yang menjadi asal nama ilmu pengetahuan internasional - aljabar.
Ada anggapan bahwa Alfred Nobel tidak memasukkan matematika dalam daftar disiplin ilmu penghargaannya karena istrinya berselingkuh dengan seorang ahli matematika. Faktanya, Nobel tidak pernah menikah. Alasan sebenarnya mengapa Nobel mengabaikan matematika tidak diketahui, namun ada beberapa asumsi. Misalnya, saat itu sudah ada hadiah matematika dari raja Swedia. Hal lainnya adalah matematikawan tidak membuat penemuan-penemuan penting bagi umat manusia, karena ilmu ini murni bersifat teoritis.
Segitiga Reuleaux adalah sosok geometris, dibentuk oleh perpotongan tiga lingkaran sama besar berjari-jari a dengan pusat di titik sudutnya segitiga sama sisi dengan sisi a. Bor yang dibuat berdasarkan segitiga Reuleaux memungkinkan Anda mengebor lubang persegi (dengan ketidakakuratan 2%).

Dalam literatur matematika Rusia, nol bukanlah bilangan asli, tetapi dalam literatur Barat, sebaliknya, ia termasuk dalam himpunan bilangan asli.

Jumlah semua angka pada roda roulette di kasino sama dengan angka setan - 666.
Pada tahun 1897, Indiana mengesahkan undang-undang yang menetapkan nilai Pi sebesar 3,2. RUU ini tidak menjadi undang-undang berkat intervensi tepat waktu dari seorang profesor universitas.
Sofya Kovalevskaya berkenalan dengan matematika pada masa kanak-kanak, ketika tidak ada cukup kertas dinding untuk kamarnya, dan sebagai gantinya ditempel lembaran kuliah Ostrogradsky tentang kalkulus diferensial dan integral.

Untuk mendapat kesempatan menekuni sains, Sofya Kovalevskaya harus menikah fiktif dan meninggalkan Rusia. Ketika Universitas Rusia mereka sama sekali tidak menerima perempuan, dan untuk beremigrasi, seorang gadis harus mendapat persetujuan dari ayah atau suaminya. Karena ayah Sophia sangat menentang hal ini, dia menikah dengan ilmuwan muda Vladimir Kovalevsky. Meski pada akhirnya pernikahan mereka menjadi de facto, dan mereka dikaruniai seorang putri.
Sistem bilangan desimal yang kita gunakan muncul karena manusia mempunyai 10 jari. Kemampuan berhitung abstrak tidak langsung muncul pada manusia, dan ternyata paling nyaman menggunakan jari untuk menghitung. Peradaban Maya dan, terlepas dari mereka, suku Chukchi secara historis menggunakan sistem bilangan dua puluh digit, menggunakan jari tidak hanya di tangan, tetapi juga di jari kaki. Sistem duodesimal dan seksagesimal yang umum di Sumeria dan Babilonia kuno juga didasarkan pada penggunaan tangan: ruas jari-jari telapak tangan lainnya, yang berjumlah 12, dihitung dengan ibu jari.
Dalam banyak sumber, seringkali dengan tujuan untuk mendorong siswa yang berprestasi buruk, terdapat pernyataan bahwa Einstein gagal dalam matematika di sekolah atau, terlebih lagi, secara umum belajar dengan sangat buruk di semua mata pelajaran. Faktanya, semuanya tidak seperti itu: Albert masih ada usia dini mulai menunjukkan bakat dalam matematika dan mengetahuinya jauh melampaui kurikulum sekolah.

Belakangan, Einstein tidak bisa masuk Sekolah Tinggi Politeknik Swiss di Zurich, menunjukkan hasil tertinggi dalam fisika dan matematika, tetapi tidak mencapai jumlah poin yang disyaratkan dalam disiplin ilmu lain. Setelah menguasai mata pelajaran tersebut, setahun kemudian, pada usia 17 tahun, ia menjadi mahasiswa di lembaga ini.
Seorang teman wanita meminta Einstein untuk meneleponnya, namun memperingatkan bahwa nomor teleponnya sangat sulit diingat: - 24-361. Apakah kamu ingat? Mengulang! Terkejut, Einstein menjawab: “Tentu saja saya ingat!” Dua lusin 19 persegi.
Setiap kali Anda mengocok setumpuk, Anda membuat rangkaian kartu yang kemungkinan besar tidak akan pernah ada di alam semesta. Jumlah kombinasi dalam dek permainan standar adalah 52!, atau 8x1067. Untuk mencapai setidaknya 50% peluang mendapatkan kombinasi untuk kedua kalinya, Anda perlu melakukan pengocokan 9x1033. Dan jika Anda secara hipotetis memaksa seluruh populasi planet ini untuk terus mengocok kartu selama 500 tahun terakhir dan mendapatkan setumpuk kartu baru setiap detik, Anda akan mendapatkan tidak lebih dari 1020 urutan berbeda.
Leonardo da Vinci menurunkan aturan yang menyatakan bahwa kuadrat diameter batang pohon sama dengan jumlah kuadrat diameter cabang yang diambil pada ketinggian tetap. Penelitian selanjutnya mengkonfirmasi hal ini hanya dengan satu perbedaan - derajat dalam rumus belum tentu sama dengan 2, tetapi terletak pada kisaran 1,8 hingga 2,3. Secara tradisional, pola ini diyakini disebabkan oleh fakta bahwa pohon dengan struktur seperti itu memiliki mekanisme optimal untuk memasok nutrisi ke cabang-cabangnya. Namun, pada tahun 2010, fisikawan Amerika Christophe Alloy menemukan penjelasan mekanis yang lebih sederhana untuk fenomena tersebut: jika kita menganggap pohon sebagai fraktal, maka hukum Leonardo meminimalkan kemungkinan patahnya cabang akibat pengaruh angin.
Semut mampu menjelaskan satu sama lain jalan menuju makanan, mereka dapat berhitung dan melakukan operasi aritmatika sederhana. Misalnya, ketika seekor semut pengintai menemukan makanan di labirin yang dirancang khusus, ia kembali dan menjelaskan cara mendapatkan makanan tersebut kepada semut lain.

Jika saat ini labirin diganti dengan yang serupa, yakni jejak feromon dihilangkan, maka kerabat pramuka tetap akan mendapatkan makanan. Dalam percobaan lain, seorang pengintai menelusuri labirin dengan banyak cabang yang identik, dan setelah penjelasannya, serangga lain segera lari ke cabang yang ditentukan. Dan jika Anda pertama kali membiasakan pramuka dengan fakta bahwa makanan lebih mungkin berada di 10, 20, dan seterusnya di cabang-cabang, semut menganggapnya sebagai makanan dasar dan mulai menavigasi dengan menambahkan atau mengurangi jumlah yang diperlukan dari mereka, yaitu, mereka menggunakan sistem yang mirip dengan angka Romawi.
Pada bulan Februari 1992, undian lotere Virginia 6/44 menghasilkan jackpot $27 juta. Jumlah semua kemungkinan kombinasi dalam lotere jenis ini hanya lebih dari 7 juta, dan setiap tiket berharga $1. Orang-orang yang giat dari Australia menciptakan dana dengan mengumpulkan $3 ribu dari 2.500 orang, membeli sejumlah formulir yang diperlukan dan mengisinya secara manual dengan berbagai kombinasi angka, menerima keuntungan tiga kali lipat setelah membayar pajak.
Stephen Hawking adalah salah satu fisikawan teoretis dan pemopuler sains terkemuka. Dalam ceritanya tentang dirinya, Hawking menyebutkan bahwa ia menjadi profesor matematika tanpa menerima pendidikan matematika apa pun sejak itu sekolah menengah atas. Ketika Hawking mulai mengajar matematika di Oxford, dia membaca buku teks tersebut dua minggu lebih awal dari murid-muridnya.

Penelitian laboratorium menunjukkan bahwa lebah mampu memilih rute yang optimal. Setelah melokalisasi bunga yang ditempatkan di tempat berbeda, lebah terbang dan kembali sedemikian rupa sehingga jalur terakhir menjadi yang terpendek. Dengan demikian, serangga ini secara efektif mengatasi “masalah penjual keliling” klasik dari ilmu komputer, yang mana komputer modern, tergantung pada jumlah poinnya, dapat menghabiskan lebih dari satu hari untuk menyelesaikannya.
Ada hukum matematika yang disebut Hukum Benford, yang menyatakan bahwa distribusi digit pertama bilangan pada kumpulan data dunia nyata tidak merata. Angka-angka dari 1 sampai 4 dalam kumpulan tersebut (yaitu, statistik kesuburan atau kematian, nomor rumah, dll.) lebih sering ditemukan di posisi pertama daripada angka dari 5 sampai 9. Penerapan praktis dari undang-undang ini adalah bahwa hal itu dapat digunakan untuk memeriksa keakuratan data akuntansi dan keuangan, hasil pemilu dan masih banyak lagi. Di beberapa negara bagian AS, ketidakkonsistenan data dengan hukum Benford bahkan menjadi bukti formal di pengadilan.
Ada banyak perumpamaan tentang bagaimana seseorang mengundang orang lain untuk membayarnya atas suatu jasa dengan cara berikut: di kotak pertama papan catur dia akan menaruh satu butir beras, di kotak kedua - dua butir, dan seterusnya: di setiap kotak berikutnya. dua kali lebih banyak dari yang sebelumnya. Alhasil, yang membayar dengan cara seperti itu pasti akan bangkrut. Hal ini tidak mengherankan: diperkirakan berat total beras akan mencapai lebih dari 460 miliar ton

Pi memiliki dua hari libur tidak resmi. Yang pertama tanggal 14 Maret, karena hari ini di Amerika ditulis 3.14. Yang kedua adalah 22 Juli, yang dalam format Eropa ditulis 22/7, dan nilai pecahan tersebut merupakan nilai perkiraan Pi yang cukup populer.
Matematikawan Amerika George Dantzig, ketika menjadi mahasiswa pascasarjana di universitas, suatu hari terlambat masuk kelas dan salah mengira persamaan yang tertulis di papan tulis sebagai pekerjaan rumah. Tampaknya lebih sulit baginya daripada biasanya, tetapi setelah beberapa hari dia dapat menyelesaikannya. Ternyata dia memecahkan dua masalah statistik yang “tidak dapat dipecahkan” yang dihadapi banyak ilmuwan.
Di antara semua bangun datar yang kelilingnya sama, maka lingkaranlah yang mempunyai luas paling besar. Sebaliknya, di antara semua bangun datar yang luasnya sama, lingkaran mempunyai keliling terkecil.
Nyatanya, momen adalah satuan waktu yang berlangsung kira-kira seperseratus detik.
Rene Descartes memperkenalkan istilah " bilangan real" dan "bilangan imajiner".
Kue dapat dipotong menjadi delapan bagian yang sama dengan tiga pukulan pisau. Selain itu, ada dua cara untuk melakukan ini.

Dalam kelompok yang terdiri dari 23 orang atau lebih, kemungkinan dua orang di antara mereka mempunyai hari ulang tahun yang sama adalah lebih dari 50 persen, dan dalam kelompok yang terdiri dari 60 orang atau lebih, kemungkinannya sekitar 99 persen.
Jika umurmu dikalikan 7, lalu dikalikan dengan 1443, maka hasilnya adalah umurmu yang ditulis tiga kali berturut-turut.
Dalam matematika ada: teori jalinan, teori permainan dan teori simpul.
Nol "0" adalah satu-satunya angka yang tidak dapat ditulis dengan angka romawi.
Angka maksimal yang dapat ditulis dalam angka romawi tanpa melanggar aturan Shvartsman (aturan penulisan angka romawi) adalah 3999 (MMMCMXCIX) - Anda tidak boleh menulis lebih dari tiga digit berturut-turut
Tanda sama dengan “=” pertama kali digunakan oleh Robert Record dari Inggris pada tahun 1557. Dia menulis bahwa tidak ada objek yang lebih identik di dunia selain dua segmen yang sama besar dan sejajar.
Jumlah semua bilangan dari satu sampai seratus adalah 5050.
Di kota Taipei, Taiwan, warga diperbolehkan menghilangkan angka empat karena Cina kata ini terdengar identik dengan kata “kematian”. Oleh karena itu, banyak bangunan di kota ini yang tidak memiliki lantai empat.

Angka tiga belas, mungkin, mulai dianggap sial karena kisah alkitabiah tentang Perjamuan Terakhir, di mana tepatnya tiga belas orang hadir. Apalagi yang ketigabelas adalah Yudas Iskariot.
Seorang matematikawan kurang dikenal dari Inggris mengabdikan sebagian besar hidupnya untuk mempelajari hukum logika. Namanya Charles Lutwidge Dodgson. Nama ini tidak diketahui jumlah yang besar orang, tetapi nama samaran yang digunakannya untuk menulis karya sastranya diketahui - Lewis Caroll.
Hepatia Yunani dianggap sebagai ahli matematika wanita pertama dalam sejarah. Dia hidup pada abad ke 4-5 di Alexandria Mesir.
Sebuah penelitian baru-baru ini menunjukkan bahwa dalam bidang yang didominasi laki-laki, jenis kelamin yang lebih lemah cenderung menyamarkan sifat-sifat feminin agar terlihat lebih meyakinkan. Misalnya, matematikawan wanita lebih suka tampil tanpa riasan.
Tahukah Anda bahwa salah satu garis lengkung tersebut diberi nama “Agnese Curl” untuk menghormati profesor matematika wanita pertama di dunia. Maria Gaetano Agnese?
Lermontov, sebagai orang yang multi-talenta, selain kreativitas sastra, adalah seorang seniman yang baik dan menyukai matematika. Elemen matematika tingkat tinggi, geometri analitik, prinsip kalkulus diferensial dan integral membuat Lermontov terpesona sepanjang hidupnya. Dia selalu membawa serta buku pelajaran matematika karya penulis Perancis Bezu.

Pada abad ke-18, mesin catur milik mekanik Hongaria menjadi populer Wolfgang von Kempelen, yang menunjukkan mobilnya di pengadilan Austria dan Rusia, dan kemudian menunjukkannya di depan umum di Paris dan London. Napoleon I Saya bermain dengan mesin ini, yakin bahwa saya sedang menguji kekuatan saya dengan mesin tersebut. Kenyataannya, tidak ada mesin catur yang beroperasi secara otomatis. Tersembunyi di dalamnya adalah seorang pemain catur hidup yang terampil yang memindahkan bidak-bidaknya. Pada pertengahan abad terakhir, senapan mesin terkenal datang ke Amerika dan mengakhiri keberadaannya di sana saat terjadi kebakaran di Philadelphia.
Dalam permainan catur yang terdiri dari 40 gerakan, jumlah pilihan untuk mengembangkan permainan dapat melebihi jumlah atom di dalamnya luar angkasa. Lagi pula, sejumlah besar opsi dimungkinkan - 1,5 kali 10 pangkat 128.
Napoleon Bonaparte menulis karya matematika. Dan satu fakta geometris disebut “Masalah Napoleon”
Daun-daun pada suatu dahan tumbuhan selalu tersusun rapi, berjarak satu sama lain pada sudut tertentu searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam. Besar sudut berbeda-beda pada setiap tumbuhan, tetapi selalu dapat digambarkan sebagai pecahan, yang pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan dari deret Fibonacci. Misalnya, untuk pohon beech sudutnya adalah 1/3, atau 120°, untuk kayu ek dan aprikot - 2/5, untuk pir dan poplar - 3/8, untuk pohon willow dan almond - 5/13, dst. Pengaturan ini memungkinkan daun menerima kelembapan dan sinar matahari dengan paling efisien.
Pada zaman kuno, di Rus, ember (sekitar 12 liter) dan shtof (sepersepuluh ember) digunakan sebagai satuan pengukuran volume. Di AS, Inggris, dan negara-negara lain, satu barel (sekitar 159 liter), satu galon (sekitar 4 liter), satu gantang (sekitar 36 liter), dan satu liter (dari 470 hingga 568 sentimeter kubik) digunakan.

Ukuran panjang kecil Rusia kuno - bentang dan hasta.
Menjangkau- ini adalah jarak antara ibu jari dan jari telunjuk yang terentang pada jarak terjauhnya (ukuran rentang berkisar antara 19 cm hingga 23 cm). Mereka mengatakan “Jangan menyerahkan satu inci pun tanah” yang berarti jangan menyerah, jangan menyerah bahkan bagian terkecil dari tanah Anda. Tentang sangat orang pintar Mereka berkata: “Tujuh jengkal di dahi.”
Siku- ini adalah jarak dari ujung jari tengah tangan yang terulur hingga lekukan siku (ukuran siku berkisar antara 38 cm hingga 46 cm dan berhubungan dengan dua bentang). Ada pepatah yang mengatakan: “Tingginya seperti kuku, tetapi janggutnya sepanjang siku.”
Persamaan kuadrat diciptakan pada abad ke-11 di India. Yang paling jumlah yang besar, yang digunakan di India, adalah 10 pangkat 53, sedangkan orang Yunani dan Romawi hanya menggunakan angka pangkat 6.
Mungkin semua orang telah memperhatikan dalam diri mereka sendiri dan orang-orang di sekitar mereka bahwa di antara angka-angka tersebut ada angka-angka favorit, yang mana kita memiliki minat khusus. Kita, misalnya, sangat menyukai “angka bulat”, yaitu angka yang berakhiran 0 atau 5. Kecenderungan terhadap angka-angka tertentu, preferensi terhadap angka-angka tersebut dibandingkan yang lain, terletak pada sifat manusia jauh lebih dalam daripada yang biasanya diperkirakan. Dalam hal ini, selera tidak hanya orang Eropa dan nenek moyang mereka, misalnya orang Romawi kuno, tetapi bahkan masyarakat primitif di belahan dunia lain pun bertemu.
Setiap sensus biasanya menunjukkan banyaknya orang yang usianya berakhir pada 5 atau 0; jumlahnya lebih banyak dari yang seharusnya. Alasannya, tentu saja, terletak pada kenyataan bahwa orang-orang tidak mengingat dengan pasti berapa usia mereka dan, dengan menunjukkan usia mereka, tanpa sadar “mengumpulkan” tahun-tahun tersebut. Sungguh luar biasa bahwa dominasi zaman “bulat” serupa diamati pada monumen makam Romawi kuno.
Kami menganggap angka negatif sebagai sesuatu yang wajar, tetapi tidak selalu demikian.
Angka negatif pertama kali disahkan di Tiongkok pada abad ke-3, tetapi hanya digunakan untuk kasus-kasus luar biasa, karena secara umum dianggap tidak ada artinya. Beberapa saat kemudian, angka negatif mulai digunakan di India untuk menunjukkan hutang, tetapi di barat angka tersebut tidak berakar - Diophantus dari Alexandria yang terkenal berpendapat bahwa persamaan 4x+20=0 tidak masuk akal.

Di Eropa, angka negatif muncul berkat Leonardo dari Pisa (Fibonacci), yang juga memperkenalkannya untuk menyelesaikan masalah keuangan dengan hutang - pada tahun 1202 ia pertama kali menggunakan angka negatif untuk menghitung kerugiannya.
Namun demikian, hingga abad ke-17, bilangan negatif masih “ada” dan bahkan pada abad ke-17, ahli matematika terkenal Blaise Pascal berpendapat bahwa 0-4 = 0 karena tidak ada bilangan yang kurang dari tidak sama sekali, dan sampai abad ke-17. Matematikawan abad ke-19 sering membuang angka negatif dalam perhitungannya, menganggapnya tidak ada artinya...
“Perangkat komputasi” pertama yang digunakan orang pada zaman dahulu adalah jari dan kerikil. Belakangan, tag dengan takik dan tali dengan simpul muncul. Di Mesir Kuno dan Yunani Kuno, jauh sebelum zaman kita, mereka menggunakan sempoa - papan dengan garis-garis tempat kerikil bergerak. Itu adalah perangkat pertama yang dirancang khusus untuk komputasi. Seiring waktu, sempoa ditingkatkan - di sempoa Romawi, kerikil atau bola dipindahkan sepanjang alur. Sempoa bertahan hingga abad ke-18, ketika digantikan oleh perhitungan tertulis. Sempoa Rusia - sempoa muncul pada abad ke-16. Mereka masih digunakan sampai sekarang. Keuntungan terbesar dari sempoa Rusia adalah bahwa ia didasarkan pada sistem bilangan desimal, dan bukan pada sistem bilangan lima digit, seperti sempoa lainnya.
Karya matematika tertua ditemukan di Swaziland - tulang babon dengan sayatan garis (tulang dari Lembobo), yang diduga merupakan hasil perhitungan. Usia tulang adalah 37 ribu tahun.

Sebuah karya matematika yang lebih kompleks ditemukan di Perancis - the
yang tulangnya, di mana garis-garisnya diukir, dikelompokkan menjadi lima kelompok. Usia tulangnya sekitar 30 ribu tahun.
Dan terakhir, tulang terkenal dari Ishango (Kongo) yang di atasnya terukir kelompok bilangan prima. Tulang tersebut diyakini berasal 18-20 ribu tahun yang lalu.
Namun tablet Babilonia dengan kode nama Plimpton 322, dibuat pada tahun 1800-1900 SM, dapat dianggap sebagai teks matematika tertua.
Orang Mesir kuno tidak memiliki tabel atau aturan perkalian. Namun demikian, mereka tahu cara mengalikan dan menggunakan metode "komputer" untuk ini - menguraikan angka menjadi deret biner. Bagaimana mereka melakukannya? Begitulah caranya:
Misalnya, Anda perlu mengalikan 22 dengan 35.
Tuliskan 22 35
Sekarang kita membagi bilangan kiri dengan 2, dan mengalikan bilangan kanan dengan 2. Kita menggarisbawahi bilangan di sebelah kanan hanya jika habis dibagi 2.
Jadi,

Sekarang tambahkan 70+140+560=770
Hasil yang benar!
Orang Mesir tidak mengenal pecahan seperti 2/3 atau 3/4. Tidak ada pembilang! Pendeta Mesir hanya mengoperasikan pecahan, yang pembilangnya selalu 1 dan pecahan ditulis seperti ini: bilangan bulat dengan oval di atasnya. Artinya, 4 dengan oval berarti 1/4.
Bagaimana dengan pecahan seperti 5/6? Matematikawan Mesir membaginya menjadi pecahan dengan pembilang 1. Artinya, 1/2 + 1/3. Artinya, 2 dan 3 dengan oval di bagian atas.
Ya, itu sederhana. 2/7 = 1/7 + 1/7. Sama sekali tidak! Aturan lain orang Mesir adalah tidak adanya pengulangan angka dalam rangkaian pecahan. Artinya, 2/7 menurut mereka adalah 1/4 + 1/28.

Lembaga pendidikan anggaran kota

sekolah menengah nomor 2

ABSTRAK

disiplin: "Matematika"

pada topik ini: "Pecahan yang tidak biasa"

Dilakukan:

siswa kelas 5

Frolova Natalya

Pengawas:

Drushchenko E.A.

guru matematika

Strezhevoy, wilayah Tomsk

	Perkenalan
	Dari sejarah pecahan biasa.
	Munculnya pecahan.
	Pecahan di Mesir Kuno.
	Pecahan di Babel Kuno.
	Pecahan di Roma Kuno.
	Pecahan di Yunani Kuno.
	Pecahan di Rus'.
	Pecahan di Tiongkok Kuno.
	Pecahan di negara bagian lain pada zaman kuno dan Abad Pertengahan.
	Penerapan pecahan biasa.
	Pecahan alikuot.
	Alih-alih lobus kecil, lobus besar.
	Perpecahan dalam keadaan sulit.
AKU AKU AKU.	Pecahan yang menarik.
	Pecahan domino.
	Sejak dahulu kala.
	Kesimpulan
	Bibliografi
	Lampiran 1. Skala alam.
	Lampiran 2. Soal kuno menggunakan pecahan biasa.
	Lampiran 3. Soal-soal seru dengan pecahan biasa.
	Lampiran 4. Pecahan domino

Perkenalan

Tahun ini kami mulai belajar tentang pecahan. Bilangan yang sangat tidak biasa, dimulai dengan notasi yang tidak biasa dan diakhiri dengan aturan yang rumit tindakan dengan mereka. Meskipun dari perkenalan pertama dengan mereka sudah jelas bahwa kita tidak dapat hidup tanpa mereka bahkan dalam kehidupan biasa, karena setiap hari kita harus menghadapi masalah membagi keseluruhan menjadi beberapa bagian, dan bahkan pada saat tertentu menurut saya kita tidak lagi dikelilingi oleh bilangan bulat, melainkan bilangan pecahan. Dengan mereka, dunia menjadi lebih kompleks, tetapi pada saat yang sama lebih menarik. Saya punya beberapa pertanyaan. Apakah pecahan diperlukan? Apakah itu penting? Saya ingin tahu dari mana pecahan berasal, siapa yang membuat aturan untuk mengerjakannya. Meskipun kata diciptakan mungkin kurang tepat, karena dalam matematika segala sesuatu harus diverifikasi, karena semua ilmu pengetahuan dan industri dalam kehidupan kita didasarkan pada hukum matematika yang jelas yang berlaku di seluruh dunia. Tidak mungkin di negara kita penjumlahan pecahan dilakukan menurut satu aturan, tetapi di suatu tempat di Inggris berbeda.

Saat mengerjakan esai, saya harus menghadapi beberapa kesulitan: dengan istilah dan konsep baru, saya harus memutar otak, memecahkan masalah dan menganalisis solusi yang diajukan oleh para ilmuwan kuno. Selain itu, saat mengetik, untuk pertama kalinya saya dihadapkan pada kebutuhan untuk mengetik pecahan dan ekspresi pecahan.

Tujuan esai saya: menelusuri sejarah perkembangan konsep pecahan biasa, menunjukkan perlunya dan pentingnya penggunaan pecahan biasa dalam penyelesaiannya masalah praktis. Tugas yang saya tetapkan sendiri: mengumpulkan materi tentang topik esai dan sistematisasinya, mempelajari masalah-masalah kuno, merangkum materi yang telah diolah, menyiapkan materi yang digeneralisasi, menyiapkan presentasi, menyajikan abstrak.

Pekerjaan saya terdiri dari tiga bab. Saya mempelajari dan mengolah materi dari 7 sumber, antara lain literatur pendidikan, ilmiah dan ensiklopedis, serta website. Saya telah merancang sebuah aplikasi yang berisi kumpulan soal-soal dari sumber kuno, beberapa soal menarik tentang pecahan biasa, dan juga menyiapkan presentasi yang dibuat di editor Power Point.

SAYA. Dari sejarah pecahan biasa

1.1 Munculnya pecahan

Banyak penelitian sejarah dan matematika menunjukkan bahwa bilangan pecahan muncul di antara berbagai bangsa di zaman kuno, segera setelah bilangan asli. Munculnya pecahan dikaitkan dengan kebutuhan praktis: tugas-tugas yang mengharuskan pembagian menjadi beberapa bagian adalah hal yang sangat umum. Selain itu, dalam kehidupan seseorang tidak hanya harus menghitung benda, tetapi juga mengukur besaran. Orang-orang menemukan pengukuran panjang, luas daratan, volume, dan massa benda. Dalam hal ini, satuan pengukuran tidak sesuai dengan bilangan bulat beberapa kali dalam nilai yang diukur. Misalnya, ketika mengukur panjang suatu bagian dalam beberapa langkah, seseorang mengalami fenomena berikut: sepuluh langkah masuk ke dalam panjangnya, dan sisanya kurang dari satu langkah. Oleh karena itu, alasan penting kedua munculnya bilangan pecahan harus dipertimbangkan pengukuran besaran menggunakan satuan pengukuran yang dipilih.

Jadi, di semua peradaban, konsep pecahan muncul dari proses pembagian keseluruhan menjadi bagian-bagian yang sama. Istilah Rusia "pecahan", seperti analoginya dalam bahasa lain, berasal dari bahasa Lat. fractura, yang selanjutnya merupakan terjemahan dari istilah Arab yang mempunyai arti yang sama: memecah, memecah. Oleh karena itu, kemungkinan besar pecahan pertama di mana pun adalah pecahan berbentuk 1/n. Perkembangan lebih lanjut secara alami bergerak ke arah mempertimbangkan pecahan ini sebagai satuan yang dapat menyusun pecahan m/n - bilangan rasional. Namun, jalan ini tidak diikuti oleh semua peradaban: misalnya, hal ini tidak pernah diwujudkan dalam matematika Mesir kuno.

Pecahan pertama yang diperkenalkan kepada orang-orang adalah setengahnya. Meskipun nama semua pecahan berikut berhubungan dengan nama penyebutnya (tiga adalah “ketiga”, empat adalah “seperempat”, dan seterusnya), hal ini tidak berlaku untuk separuhnya—namanya dalam semua bahasa tidak ada hubungannya dengan itu. lakukan dengan kata "dua".

Sistem pencatatan pecahan dan aturan penanganannya sangat berbeda antar negara, dan pada waktu berbeda di antara orang yang sama. Banyaknya peminjaman ide juga memainkan peran penting dalam kontak budaya antar peradaban yang berbeda.

1.2 Pecahan di Mesir Kuno

DI DALAM Mesir kuno mereka hanya menggunakan pecahan paling sederhana yang pembilangnya sama dengan satu (yang kita sebut “pecahan”). Matematikawan menyebut pecahan seperti itu sebagai alikuot (dari bahasa Latin aliquot - beberapa). Nama pecahan dasar atau pecahan satuan juga digunakan.

Orang Mesir menempatkan tulisan rahasia

(eh, "[satu] dari" atau ulang, mulut) di atas angka untuk menunjukkan pecahan satuan dalam notasi biasa, tetapi dalam teks suci digunakan garis. Misalnya:

sebagian besar mata

1/2 (atau 32/64)

1/8 (atau 8/64)

setetes air mata (?)

1/32 (atau ²/64)

Selain itu, orang Mesir menggunakan bentuk tulisan berdasarkan hieroglif Mata Horus (gadget). Orang dahulu dicirikan oleh jalinan citra Matahari dan mata. Dalam mitologi Mesir, dewa Horus sering disebutkan, mempersonifikasikan Matahari bersayap dan menjadi salah satu simbol suci yang paling umum. Dalam pertarungan dengan musuh Matahari, yang diwujudkan dalam gambar Set, Horus awalnya dikalahkan. Seth mengambil Mata itu darinya - mata yang indah - dan mencabik-cabiknya. Thoth - dewa pembelajaran, akal dan keadilan - kembali menyatukan bagian-bagian mata, menciptakan "mata Horus yang sehat". Gambar bagian Mata yang terpotong digunakan dalam tulisan di Mesir Kuno untuk mewakili pecahan dari 1/2 hingga 1/64.

Jumlah enam karakter yang dimasukkan dalam Wadget dan dikurangi menjadi penyebut yang sama: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Pecahan tersebut digunakan bersama dengan bentuk pecahan Mesir lainnya untuk membagi hekat, ukuran utama volume di Mesir Kuno. Pencatatan gabungan ini juga digunakan untuk mengukur volume biji-bijian, roti, dan bir. Jika setelah dicatat besaran sebagai pecahan Mata Horus masih ada sisa, maka ditulis dalam bentuk biasa sebagai kelipatan rho, satuan besaran yang sama dengan 1/320 hekat.

Misalnya seperti ini:

Dalam hal ini, “mulut” ditempatkan di depan semua hieroglif.

Hekat jelai: 1/2 + 1/4 + 1/32 (yaitu, 25/32 bejana jelai).

Hekat adalah sekitar 4.785 liter.

Orang Mesir merepresentasikan pecahan lainnya sebagai penjumlahan dari pecahan alikuot, misalnya 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 dan seterusnya.

Tulisannya seperti ini: /2 /16; /2 /4 /8.

Dalam beberapa kasus, hal ini tampaknya cukup sederhana. Misalnya, 2/7 = 1/7 + 1/7. Namun aturan lain orang Mesir adalah tidak adanya pengulangan angka dalam rangkaian pecahan. Artinya, 2/7 menurut mereka adalah 1/4 + 1/28.

Sekarang jumlah beberapa pecahan alikuot disebut pecahan Mesir. Dengan kata lain, setiap pecahan suatu penjumlahan memiliki pembilang sama dengan satu dan penyebut sama dengan bilangan asli.

Melakukan berbagai perhitungan, menyatakan semua pecahan dalam satuan, tentu saja sangat sulit dan memakan waktu. Oleh karena itu, para ilmuwan Mesir berusaha untuk mempermudah pekerjaan juru tulis. Mereka menyusun tabel khusus penguraian pecahan menjadi sederhana. Dokumen matematika Mesir kuno bukanlah risalah ilmiah tentang matematika, melainkan buku teks praktis dengan contoh-contoh yang diambil dari kehidupan. Tugas-tugas yang harus diselesaikan oleh seorang siswa sekolah juru tulis adalah menghitung kapasitas lumbung, volume keranjang, luas ladang, pembagian harta di antara ahli waris, dan lain-lain. Juru tulis harus mengingat sampel ini dan dapat dengan cepat menggunakannya untuk perhitungan.

Salah satu referensi pertama yang diketahui tentang pecahan Mesir adalah Papirus Matematika Rhind. Tiga teks tua yang menyebutkan pecahan Mesir adalah Gulungan Kulit Matematika Mesir, Papirus Matematika Moskow, dan Tablet Kayu Akhmim.

Monumen matematika Mesir yang paling kuno, yang disebut “Papirus Moskow”, adalah dokumen abad ke-19 SM. Itu diakuisisi pada tahun 1893 oleh kolektor harta karun kuno Golenishchev, dan pada tahun 1912 menjadi milik Museum Seni Rupa Moskow. Isinya 25 masalah berbeda.

Misalnya, soal membagi 37 dengan bilangan yang diberikan sebagai (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Dengan menggandakan pecahan ini secara berturut-turut dan menyatakan selisih antara 37 dan hasilnya, dan menggunakan prosedur yang pada dasarnya mirip dengan mencari penyebut yang sama, diperoleh jawabannya: hasil bagi adalah 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Dokumen matematika terbesar - sebuah papirus tentang manual perhitungan juru tulis Ahmes - ditemukan pada tahun 1858 oleh kolektor Inggris Rhind. Papirus ini disusun pada abad ke-17 SM. Panjangnya 20 meter, lebar 30 sentimeter. Ini berisi 84 soal matematika, solusi dan jawabannya, ditulis dalam pecahan Mesir.

Papirus Ahmes diawali dengan sebuah tabel yang berisi semua pecahan berbentuk 2\n dari 2/5 hingga 2/99 ditulis sebagai jumlah dari pecahan alikuot. Orang Mesir juga tahu cara mengalikan dan membagi pecahan. Namun untuk mengalikannya, Anda harus mengalikan pecahan dengan pecahan, dan kemudian, mungkin, menggunakan tabel itu lagi. Situasi perpecahan menjadi lebih rumit. Misalnya, berikut adalah cara 5 dibagi 21:

Masalah yang sering ditemui dari papirus Ahmes: “Hendaklah dikatakan kepadamu: bagilah 10 takar jelai di antara 10 orang; selisih setiap orang dengan tetangganya adalah 1/8 takaran. Bagian rata-rata adalah satu ukuran. Kurangi satu dari 10; sisanya 9. Buatlah setengah selisihnya; ini 1/16. Ambillah 9 kali. Terapkan ini pada irama tengah; kurangi 1/8 takaran untuk setiap sisi sampai Anda mencapai akhir.”

Masalah lain dari papirus Ahmes yang mendemonstrasikan penggunaan pecahan alikuot: “Bagilah 7 roti kepada 8 orang.”
Jika Anda memotong setiap roti menjadi 8 bagian, Anda harus membuat 49 potongan.
Dan di Mesir, masalah ini diselesaikan seperti ini. Pecahan 7/8 ditulis sebagai pecahan: 1/2 + 1/4 + 1/8. Artinya setiap orang harus diberi setengah roti, seperempat roti, dan seperdelapan roti; Oleh karena itu, empat roti kita potong menjadi dua, dua roti menjadi 4 bagian dan satu roti menjadi 8 bagian, setelah itu kita bagi masing-masing satu bagian.

Tabel pecahan Mesir dan berbagai tabel Babilonia adalah cara tertua yang diketahui untuk memfasilitasi penghitungan.

Pecahan Mesir terus digunakan di Yunani kuno dan selanjutnya oleh ahli matematika di seluruh dunia hingga Abad Pertengahan, meskipun ada komentar dari ahli matematika kuno tentang pecahan tersebut. Misalnya, Claudius Ptolemy berbicara tentang ketidaknyamanan penggunaan pecahan Mesir dibandingkan dengan sistem Babilonia (sistem bilangan posisional). Pekerjaan penting dalam mempelajari pecahan Mesir dilakukan oleh ahli matematika abad ke-13 Fibonacci dalam karyanya "Liber Abaci" - ini adalah perhitungan menggunakan pecahan desimal dan pecahan biasa, yang akhirnya menggantikan pecahan Mesir. Fibonacci menggunakan notasi pecahan yang kompleks, termasuk notasi basis campuran dan notasi jumlah pecahan, dan pecahan Mesir juga sering digunakan. Buku ini juga memberikan algoritma untuk mengkonversi pecahan biasa ke pecahan Mesir.

1.3 Pecahan di Babilonia Kuno.

Diketahui bahwa di Babilonia kuno mereka menggunakan sistem bilangan sexagesimal. Para ilmuwan menghubungkan fakta ini dengan fakta bahwa satuan ukuran moneter dan berat Babilonia dibagi, karena kondisi sejarah, menjadi 60 bagian yang sama: 1 talenta = 60 menit; 1 mina = 60 syikal. Tahun enam puluhan adalah hal biasa dalam kehidupan orang Babilonia. Oleh karena itu mereka menggunakan pecahan seksagesimal yang selalu mempunyai penyebut 60 atau pangkatnya: 60 2 = 3600, 60 3 = 216000, dst. Ini adalah pecahan sistematis pertama di dunia, yaitu. pecahan yang penyebutnya merupakan pangkat dari bilangan yang sama. Dengan menggunakan pecahan seperti itu, orang Babilonia harus memperkirakan banyak pecahan. Inilah kelemahan dan sekaligus kelebihan pecahan ini. Pecahan ini menjadi alat perhitungan ilmiah yang konstan bagi para ilmuwan Yunani, kemudian berbahasa Arab, dan Eropa abad pertengahan hingga abad ke-15, ketika mereka digantikan oleh pecahan desimal. Namun para ilmuwan dari semua negara menggunakan pecahan seksagesimal dalam astronomi hingga abad ke-17, menyebutnya pecahan astronomi.

Sistem bilangan sexagesimal telah menentukan peran besar dalam matematika Babilonia untuk berbagai tabel. Tabel perkalian Babilonia yang lengkap akan berisi hasil perkalian dari 1x1 hingga 59x59, yaitu 1770 angka, dan bukan 45 seperti tabel perkalian kita. Hampir mustahil untuk menghafal tabel seperti itu. Bahkan dalam bentuk tertulis pun akan sangat merepotkan. Oleh karena itu, untuk perkalian dan pembagian, terdapat banyak sekali tabel yang berbeda. Pengoperasian pembagian dalam matematika Babilonia dapat disebut “masalah nomor satu”. Orang Babilonia mereduksi pembagian bilangan m dengan bilangan n menjadi mengalikan bilangan m dengan pecahan 1\n, dan mereka bahkan tidak memiliki istilah “membagi”. Misalnya, saat menghitung apa yang akan kita tulis sebagai x = m: n, mereka selalu beralasan seperti ini: ambil kebalikan dari n, Anda akan melihat 1\ n, kalikan m dengan 1\ n, dan Anda akan melihat x. Tentu saja, alih-alih surat kami, penduduk Babilonia menyebutkan nomor tertentu. Dengan demikian, peran paling penting dalam matematika Babilonia dimainkan oleh banyak tabel timbal balik.

Selain itu, untuk perhitungan dengan pecahan, orang Babilonia menyusun tabel ekstensif yang menyatakan pecahan utama dalam pecahan seksagesimal. Misalnya:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

Penjumlahan dan pengurangan pecahan oleh orang Babilonia dilakukan dengan cara yang sama seperti operasi bersesuaian dengan bilangan bulat dan pecahan desimal dalam sistem bilangan posisional kita. Tapi bagaimana pecahan dikalikan dengan pecahan? Perkembangan pengukuran geometri yang cukup tinggi (survei tanah, pengukuran luas) menunjukkan bahwa bangsa Babilonia mengatasi kesulitan-kesulitan ini dengan bantuan geometri: perubahan skala linier sebesar 60 kali memberikan perubahan skala luas sebesar 60 60 kali. Perlu dicatat bahwa di Babilonia, perluasan bidang bilangan asli ke wilayah bilangan rasional positif akhirnya tidak terjadi, karena orang Babilonia hanya menganggap pecahan seksagesimal berhingga, yang wilayah pembagiannya tidak selalu dapat dilakukan. Selain itu, orang Babilonia menggunakan pecahan 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6, yang memiliki tanda tersendiri.

Jejak sistem bilangan seksagesimal Babilonia masih melekat dalam ilmu pengetahuan modern dalam pengukuran waktu dan sudut. Pembagian satu jam menjadi 60 menit, satu menit menjadi 60 detik, lingkaran menjadi 360 derajat, satu derajat menjadi 60 menit, satu menit menjadi 60 detik masih bertahan hingga saat ini.Menit dalam bahasa latin berarti “bagian kecil”, detik artinya "Kedua"

(bagian kecil).

1.4. Pecahan di Roma Kuno.

Bangsa Romawi umumnya hanya menggunakan pecahan konkrit, yang menggantikan bagian abstrak dengan subdivisi dari ukuran yang digunakan. Sistem pecahan ini didasarkan pada pembagian satuan berat menjadi 12 bagian, yang disebut pantat. Beginilah asal mula pecahan duodesimal Romawi, yaitu. pecahan yang penyebutnya selalu dua belas. Bagian kedua belas dari kartu as disebut ons. Alih-alih 1/12, orang Romawi mengatakan “satu ons”, 12/5 – “lima ons”, dll. Tiga ons disebut seperempat, empat ons disebut sepertiga, enam ons disebut setengah.

Dan jalur, waktu, dan besaran lainnya dibandingkan dengan benda visual - berat. Misalnya, seorang Romawi mungkin mengatakan bahwa dia berjalan tujuh ons jalan setapak atau membaca lima ons buku. Dalam hal ini, tentu saja, ini bukan tentang menimbang jalan atau bukunya. Artinya 12/7 perjalanan telah selesai atau 12/5 buku telah dibaca. Dan untuk pecahan yang diperoleh dengan cara mereduksi pecahan yang penyebutnya 12 atau membagi perdua belas menjadi lebih kecil, terdapat nama khusus. Secara total, 18 nama pecahan yang berbeda digunakan. Misalnya, nama-nama berikut digunakan:

"ketelitian" - 1/288 assa,

"semi" - setengah assa,

“sextance” adalah bagian keenamnya,

"semiounce" - setengah ons, mis. 1/24 penilaian, dst.

Untuk mengerjakan pecahan seperti itu, perlu diingat tabel penjumlahan dan tabel perkalian pecahan tersebut. Oleh karena itu, para pedagang Romawi sangat mengetahui bahwa ketika menambahkan trien (1/3 assa) dan sextan, hasilnya adalah semi, dan ketika imp (2/3 assa) dikalikan dengan sescunce (2/3 ons, yaitu 1/8 assa), hasilnya satu ons. Untuk memudahkan pekerjaan, tabel khusus disusun, beberapa di antaranya telah sampai kepada kami.

Satu ons dilambangkan dengan garis - setengah assa (6 ons) - dengan huruf S (yang pertama dalam kata Latin Semis - setengah). Kedua tanda ini berfungsi untuk mencatat pecahan duodesimal yang masing-masing memiliki namanya sendiri. Misalnya, 7\12 ditulis seperti ini: S-.

Pada abad pertama SM, orator dan penulis Romawi terkemuka, Cicero, berkata: “Tanpa pengetahuan tentang pecahan, tidak ada seorang pun yang dapat dianggap mengetahui aritmatika!”

Berikut adalah kutipan khas dari karya penyair terkenal Romawi abad ke-1 SM Horace, tentang percakapan antara seorang guru dan seorang siswa di salah satu sekolah Romawi pada masa itu:

Guru: Biarkan Putra Albin memberi tahu saya berapa banyak yang tersisa jika satu ons dikurangi dari lima ons!

Siswa: Sepertiga.

Guru: Benar, kamu mengetahui pecahan dengan baik dan akan mampu menyelamatkan harta bendamu.

1.5. Pecahan di Yunani Kuno.

Di Yunani Kuno, aritmatika - studi tentang sifat-sifat umum angka - dipisahkan dari logistik - seni perhitungan. Orang Yunani percaya bahwa pecahan hanya dapat digunakan dalam bidang logistik. Orang Yunani dengan bebas mengoperasikan semua operasi aritmatika dengan pecahan, tetapi tidak mengenalnya sebagai angka. Pecahan tidak ditemukan dalam karya Yunani tentang matematika. Ilmuwan Yunani percaya bahwa matematika seharusnya hanya berhubungan dengan bilangan bulat. Mereka menyerahkan pekerjaan pecahan kepada para pedagang, pengrajin, astronom, surveyor, mekanik, dan “orang kulit hitam” lainnya. “Jika Anda ingin membagi suatu unit, ahli matematika akan mengejek Anda dan tidak mengizinkan Anda melakukannya,” tulis pendiri Akademi Athena, Plato.

Namun tidak semua matematikawan Yunani kuno sependapat dengan Plato. Jadi, dalam risalahnya “Tentang Pengukuran Lingkaran,” Archimedes menggunakan pecahan. Heron dari Alexandria juga menangani pecahan dengan bebas. Seperti orang Mesir, ia memecah pecahan menjadi jumlah pecahan dasar. Alih-alih 12\13 ia menulis 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, alih-alih 5\12 ia menulis 1\3 + 1\12, dst. Bahkan Pythagoras, yang memperlakukan bilangan asli dengan keraguan suci, ketika menciptakan teori tangga nada musik, menghubungkan interval musik utama dengan pecahan. Benar, Pythagoras dan murid-muridnya tidak menggunakan konsep pecahan. Mereka membiarkan diri mereka berbicara hanya tentang perbandingan bilangan bulat.

Karena orang Yunani hanya mengerjakan pecahan secara sporadis, mereka menggunakan notasi yang berbeda. Heron dan Diophantus menulis pecahan dalam bentuk abjad, dengan pembilangnya ditempatkan di bawah penyebutnya. Sebutan terpisah digunakan untuk beberapa pecahan, misalnya untuk 1\2 - L′′, tetapi secara umum penomoran berdasarkan abjad menyulitkan penunjukan pecahan.

Untuk pecahan satuan digunakan notasi khusus: penyebut pecahan disertai guratan ke kanan, pembilangnya tidak ditulis. Misalnya,
dalam sistem abjad berarti 32, dan " - pecahan 1\32. Ada rekaman pecahan biasa yang pembilangnya dengan bilangan prima dan penyebutnya, diambil dua kali dengan dua bilangan prima, ditulis berdampingan dalam satu baris. Begini caranya , misalnya, Heron dari Aleksandria menuliskan pecahan 3\4 :
.

Kerugian dari notasi Yunani untuk bilangan pecahan disebabkan oleh fakta bahwa orang Yunani memahami kata "bilangan" sebagai sekumpulan satuan, jadi apa yang sekarang kita anggap sebagai satu kesatuan bilangan rasional– pecahan – orang Yunani memahaminya sebagai perbandingan dua bilangan bulat. Hal ini menjelaskan mengapa pecahan jarang ditemukan dalam aritmatika Yunani. Preferensi diberikan kepada pecahan dengan pembilang satuan atau pecahan seksagesimal. Bidang di mana perhitungan praktis paling membutuhkan pecahan eksak adalah astronomi, dan di sini tradisi Babilonia begitu kuat sehingga digunakan oleh semua bangsa, termasuk Yunani.

1.6. Pecahan di Rus'

Ahli matematika Rusia pertama, yang kita kenal dengan namanya, biksu dari biara Novgorod Kirik, menangani masalah kronologi dan kalender. Dalam buku tulisan tangannya “Mengajarnya memberi tahu seseorang angka-angka sepanjang tahun” (1136), mis. “Petunjuk bagaimana seseorang dapat mengetahui penomoran tahun” menerapkan pembagian jam menjadi seperlima, dua puluh lima, dan seterusnya. pecahan, yang disebutnya “jam pecahan” atau “chast”. Dia mencapai pecahan jam ketujuh, yang jumlahnya 937.500 dalam sehari atau malam, dan mengatakan bahwa tidak ada hasil dari pecahan jam ketujuh.

Dalam buku teks matematika pertama (abad ke-7), pecahan disebut pecahan, yang kemudian disebut “bilangan pecah”. Dalam bahasa Rusia, kata pecahan muncul pada abad ke-8, berasal dari kata kerja “droblit” yang berarti pecah, pecah berkeping-keping. Saat menulis angka, garis horizontal digunakan.

Dalam manual lama ada nama-nama pecahan dalam bahasa Rus' berikut:

1/2 - setengah, setengah

1/3 – ketiga

1/4 – genap

1/6 – setengah sepertiga

1/8 - setengah

1/12 – setengah sepertiga

1/16 - setengah setengah

1/24 – setengah setengah sepertiga (sepertiga kecil)

1/32 – setengah setengah setengah (setengah kecil)

1/5 – pyatina

1/7 - minggu

1/10 adalah perpuluhan.

Ukuran tanah seperempat atau lebih kecil digunakan di Rusia -

setengah seperempat, yang disebut oktina. Ini adalah pecahan konkret, satuan untuk mengukur luas bumi, tetapi oktina tidak dapat mengukur waktu atau kecepatan, dll. Belakangan, oktina mulai berarti pecahan abstrak 1/8, yang dapat menyatakan nilai apa pun.

Tentang penggunaan pecahan di Rusia pada abad ke-17, Anda dapat membaca berikut ini dalam buku V. Bellustin “Bagaimana orang secara bertahap mencapai aritmatika nyata”: “Dalam sebuah manuskrip abad ke-17. “Pasal bilangan tentang penetapan semua pecahan” diawali langsung dengan penulisan pecahan dan penunjukan pembilang dan penyebutnya. Saat mengucapkan pecahan, ciri-ciri berikut ini menarik: bagian keempat disebut seperempat, sedangkan pecahan dengan penyebut 5 sampai 11 dinyatakan dengan kata yang diakhiri dengan “ina”, sehingga 1/7 adalah minggu, 1/5 adalah lima, 1/10 adalah perpuluhan; bagian yang penyebutnya lebih besar dari 10 diucapkan dengan menggunakan kata “lot”, misalnya 13/5 - lima per tiga belas lot. Penomoran pecahan dipinjam langsung dari sumber-sumber Barat... Pembilangnya disebut bilangan atas, penyebutnya disebut bilangan bawah.”

Sejak abad ke-16, sempoa papan sangat populer di Rusia - perhitungan menggunakan perangkat yang merupakan prototipe sempoa Rusia. Ini memungkinkan untuk melakukan operasi aritmatika yang kompleks dengan cepat dan mudah. Perhitungan papan sangat luas di kalangan pedagang, pegawai ordo Moskow, “pengukur” - surveyor tanah, ekonom biara, dll.

Dalam bentuk aslinya, papan sempoa secara khusus disesuaikan dengan kebutuhan aritmatika tingkat lanjut. Ini adalah sistem perpajakan di Rusia pada abad ke-15-17, di mana, bersama dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan bulat, operasi yang sama harus dilakukan dengan pecahan, karena unit perpajakan konvensional - bajak - dibagi menjadi beberapa bagian.

Akun papan terdiri dari dua kotak lipat. Setiap kotak dipartisi menjadi dua (nantinya hanya di bagian bawah); kotak kedua diperlukan karena sifat rekening kas. Di dalam kotak, tulang-tulang digantung pada tali atau kabel yang diregangkan. Sesuai dengan sistem bilangan desimal, baris bilangan bulat memiliki 9 atau 10 dadu; Operasi pecahan dilakukan pada barisan tidak lengkap: deretan tiga dadu adalah tiga pertiga, deretan empat dadu adalah empat perempat (empat). Di bawah ini adalah baris-baris yang didalamnya terdapat satu dadu: masing-masing dadu mewakili setengah dari pecahan di bawahnya (misalnya, dadu yang terletak di bawah deretan tiga dadu berukuran setengah dari sepertiga, dadu di bawahnya adalah setengah dari setengah dari sepertiga, dst.). Penjumlahan dua pecahan “kohesif” yang identik menghasilkan pecahan dengan pangkat terdekat yang lebih tinggi, misalnya, 1/12+1/12=1/6, dst. Dalam sempoa, menjumlahkan dua pecahan tersebut sama dengan berpindah ke domino terdekat yang lebih tinggi.

Pecahan dijumlahkan tanpa dikurangi menjadi penyebut yang sama, misalnya “seperempat setengah sepertiga, setengah setengah” (1/4 + 1/6 + 1/16). Kadang-kadang operasi pecahan dilakukan seperti keseluruhan, dengan menyamakan keseluruhan (bajak) dengan sejumlah uang tertentu. Misalnya, jika sokha = 48 satuan moneter, maka pecahan di atas akan menjadi 12 + 8 + 3 = 23 satuan moneter.

Dalam aritmatika tingkat lanjut, kita harus berurusan dengan pecahan yang lebih kecil. Beberapa manuskrip memberikan gambar dan deskripsi “papan hitung” serupa dengan yang baru saja dibahas, tetapi dengan jumlah baris yang banyak dengan satu tulang, sehingga dapat diletakkan pecahan hingga 1/128 dan 1/96. Tidak ada keraguan bahwa instrumen terkait juga diproduksi. Untuk kenyamanan kalkulator, banyak aturan “Kode Tulang Kecil” yang diberikan, yaitu. penjumlahan pecahan yang biasa digunakan dalam perhitungan umum, seperti: tiga empat bajak dan setengah bajak dan setengah setengah bajak, dan seterusnya. sampai dengan setengah-setengah-setengah-setengah-setengah bajak adalah bajak tanpa setengah-setengah-setengah-setengah, yaitu. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128, dst.

Namun dari pecahan tersebut, hanya 1/2 dan 1/3 yang dipertimbangkan, serta pecahan yang diperoleh dengan pembagian berurutan dengan 2. “Penghitungan papan” tidak cocok untuk operasi dengan pecahan deret lain. Saat mengoperasikannya, perlu mengacu pada tabel khusus yang berisi hasil kombinasi pecahan yang berbeda.

DI DALAM 1703 Buku teks cetak Rusia pertama tentang matematika “Aritmatika” diterbitkan. Penulis Magnitsky Leonty Fillipovich. Pada bagian ke-2 buku ini, “Tentang Bilangan Pecah atau Pecahan”, kajian tentang pecahan disajikan secara rinci.

Magnitsky memiliki karakter yang hampir modern. Magnitsky membahas perhitungan saham lebih detail daripada buku teks modern. Magnitsky menganggap pecahan sebagai bilangan bernama (bukan hanya 1/2, tetapi 1/2 rubel, pood, dll.), dan mempelajari operasi dengan pecahan dalam proses penyelesaian masalah. Bahwa ada bilangan yang rusak, Magnitsky menjawab: “Bilangan yang rusak tidak lain adalah, hanya sebagian dari sesuatu yang dinyatakan sebagai bilangan, yaitu setengah rubel adalah setengah rubel, dan ditulis sebagai rubel, atau a rubel, atau satu rubel, atau dua perlima, dan segala macam hal yang merupakan bagiannya dinyatakan sebagai suatu bilangan, yaitu bilangan yang rusak." Magnitsky menyebutkan nama semua pecahan biasa dengan penyebut 2 sampai 10. Misalnya pecahan dengan penyebut 6: satu enam belas, dua enam belas, tiga enam belas, empat enam belas, lima enam belas.

Magnitsky menggunakan nama pembilang, penyebut, menghitung pecahan biasa, bilangan campuran, di samping semua tindakan, mengisolasi seluruh bagian dari pecahan biasa.

Mempelajari pecahan selalu menjadi bagian tersulit dalam aritmatika, tetapi pada saat yang sama, di era sebelumnya, orang-orang menyadari pentingnya mempelajari pecahan, dan para guru berusaha mendorong siswanya dalam puisi dan prosa. L.Magnitsky menulis:

Tapi tidak ada aritmatika

Izho adalah seluruh terdakwa,

Dan di bagian ini tidak ada apa-apa,

Jawabannya bisa saja.

Oh, tolong, tolong,

Mampu berada di beberapa bagian.

1.7. Pecahan di Tiongkok Kuno

Di Cina, hampir semua operasi aritmatika dengan pecahan biasa dilakukan pada abad ke-2. SM e.; mereka dijelaskan dalam kumpulan dasar pengetahuan matematika Tiongkok kuno - “Matematika dalam Sembilan Buku”, edisi terakhirnya adalah milik Zhang Cang. Dengan menghitung berdasarkan aturan yang mirip dengan algoritma Euclid (pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut), matematikawan Tiongkok mereduksi pecahan. Mengalikan pecahan dianggap sebagai mencari luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yang panjang dan lebarnya dinyatakan dalam pecahan. Pembagian dianggap menggunakan gagasan berbagi, sedangkan matematikawan Tiongkok tidak malu dengan kenyataan bahwa jumlah peserta pembagian bisa pecahan, misalnya 3⅓ orang.

Awalnya, orang Cina menggunakan pecahan sederhana, yang diberi nama menggunakan hieroglif mandi:

larangan (“setengah”) –1\2;

shao ban (“setengah kecil”) –1\3;

tai banh (“separuh besar”) –2\3.

Tahap selanjutnya adalah pengembangan pemahaman umum tentang pecahan dan pembentukan aturan pengoperasiannya. Jika di Mesir kuno hanya pecahan alikuot yang digunakan, maka di Cina pecahan tersebut, yang dianggap pecahan-fen, dianggap sebagai salah satu jenis pecahan, dan bukan satu-satunya yang mungkin. Matematika Tiongkok telah menangani bilangan campuran sejak zaman kuno. Teks matematika paling awal, Zhou Bi Xuan Jing (Canon of Calculation of the Zhou Gnomon/Mathematical Treatise on the Gnomon), berisi perhitungan yang menaikkan angka seperti 247 933/1460 ke pangkat.

Dalam “Jiu Zhang Xuan Shu” (“Aturan Menghitung dalam Sembilan Bagian”), pecahan dianggap sebagai bagian dari keseluruhan, yang dinyatakan dalam n-jumlah pecahannya-fen – m (n

Pada bagian pertama “Jiu Zhang Xuan Shu”, yang umumnya dikhususkan untuk pengukuran bidang, aturan pengurangan, penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian pecahan, serta perbandingan dan “persamaannya”, diberikan secara terpisah. perbandingan tiga pecahan yang perlu mencari mean aritmatikanya (aturan yang lebih sederhana untuk menghitung mean aritmatika dua bilangan tidak diberikan dalam buku).

Misalnya, untuk mendapatkan jumlah pecahan dalam esai yang ditunjukkan, instruksi berikut diberikan: “Kalikan (hu cheng) pembilang dengan penyebut secara bergantian. Tambahkan - ini adalah dividen (shi). Lipat gandakan penyebutnya - ini adalah pembagi (fa). Gabungkan dividen dan pembagi menjadi satu. Jika ada sisa, hubungkan ke pembagi.” Maksud dari instruksi ini adalah jika beberapa pecahan dijumlahkan, maka pembilang setiap pecahan harus dikalikan dengan penyebut semua pecahan lainnya. Ketika “menggabungkan” pembagian (sebagai jumlah dari hasil perkalian tersebut) dengan pembagi (hasil kali semua penyebut), diperoleh pecahan, yang harus dikurangi jika perlu dan dari mana seluruh bagian harus dipisahkan dengan pembagian. , maka “sisanya” adalah pembilangnya, dan pembagi yang dikurangi adalah penyebutnya. Jumlah himpunan pecahan merupakan hasil pembagian tersebut, yang terdiri dari bilangan bulat ditambah pecahan. Pernyataan “kalikan penyebutnya” pada dasarnya berarti mengurangkan pecahan menjadi penyebut terbesarnya.

Aturan pengurangan pecahan di Jiu Zhang Xuan Shu berisi algoritma untuk mencari pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebutnya, yang bertepatan dengan apa yang disebut algoritma Euclidean, yang dirancang untuk menentukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan. Tetapi jika yang terakhir, seperti diketahui, diberikan dalam Principia dalam formulasi geometris, maka algoritma Cina disajikan murni secara aritmatika. Algoritme Tiongkok untuk mencari pembagi persekutuan terbesar, yang disebut den shu (“bilangan yang sama”), dibuat sebagai pengurangan berurutan dari bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lebih besar. Pecahannya harus dikurangi dengan jumlah den shu ini. Misalnya, diusulkan untuk mengurangi pecahan 49\91. Kami melakukan pengurangan berurutan: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Dan shu = 7. Kurangi pecahan dengan angka ini. Kita mendapatkan: 7\13.

Pembagian pecahan di Jiu Zhang Xuan Shu berbeda dengan yang diterima saat ini. Aturan “jing fen” (“urutan pembagian”) menyatakan bahwa sebelum membagi pecahan, pecahan harus direduksi menjadi penyebut yang sama. Jadi, prosedur pembagian pecahan memiliki langkah yang tidak perlu: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Baru pada abad ke-5. Zhang Qiu-jian dalam karyanya “Zhang Qiu-jian suan jing” (“Kanon Penghitungan Zhang Qiu-jian”) menghilangkannya, membagi pecahan menurut aturan biasa: a/b: c/d = ad/ cb.

Mungkin komitmen jangka panjang para ahli matematika Tiongkok terhadap algoritma canggih untuk membagi pecahan disebabkan oleh keinginan untuk mempertahankan universalitasnya dan penggunaan papan hitung. Intinya, ini terdiri dari pengurangan pembagian pecahan menjadi pembagian bilangan bulat. Algoritma ini valid jika suatu bilangan bulat habis dibagi bilangan campuran. Dalam membagi, misalnya, 2922 dengan 182 5/8, kedua bilangan tersebut dikalikan terlebih dahulu dengan 8, sehingga bilangan bulat dapat dibagi lebih lanjut: 23376:1461= 16

1.8. Pecahan di negara bagian lain pada zaman kuno dan Abad Pertengahan.

Perkembangan lebih lanjut dari konsep pecahan biasa dicapai di India. Para ahli matematika negeri ini mampu dengan cepat berpindah dari pecahan satuan ke pecahan umum. Pecahan seperti itu pertama kali ditemukan dalam “Rules of the Rope” oleh Apastamba (abad VII-V SM), yang berisi konstruksi geometris dan hasil beberapa perhitungan. Di India, sistem notasi digunakan - mungkin dari Cina, dan mungkin berasal dari Yunani akhir - di mana pembilang pecahan ditulis di atas penyebut - seperti milik kita, tetapi tanpa garis pecahan, tetapi seluruh pecahan ditempatkan di a bingkai persegi panjang. Kadang-kadang ekspresi “tiga lantai” dengan tiga angka dalam satu bingkai juga digunakan; bergantung pada konteksnya, ini bisa berarti pecahan biasa (a + b/c) atau pembagian bilangan bulat a dengan pecahan b/c.

Misalnya pecahan dicatat sebagai

Aturan untuk mengerjakan pecahan, yang ditetapkan oleh ilmuwan India Bramagupta (abad ke-8), hampir tidak berbeda dengan aturan modern. Seperti di Cina, di India, untuk menghasilkan penyebut yang sama, penyebut semua suku dikalikan dalam waktu yang lama, tetapi sejak abad ke-9. sudah menggunakan kelipatan persekutuan terkecil.

Orang Arab Abad Pertengahan menggunakan tiga sistem untuk menulis pecahan. Pertama, dengan cara India, menulis penyebut di bawah pembilang; Garis pecahan muncul pada akhir abad ke-12 - awal abad ke-13. Kedua, pejabat, surveyor tanah, dan pedagang menggunakan kalkulus pecahan alikuot, mirip dengan perhitungan Mesir, menggunakan pecahan yang penyebutnya tidak melebihi 10 (hanya untuk pecahan tersebut bahasa Arab mempunyai istilah khusus); nilai perkiraan sering digunakan; Ilmuwan Arab berupaya memperbaiki kalkulus ini. Ketiga, para ilmuwan Arab mewarisi sistem seksagesimal Babilonia-Yunani, di mana, seperti orang Yunani, mereka menggunakan notasi alfabet, memperluasnya ke seluruh bagian.

Notasi India untuk pecahan dan aturan pengoperasiannya diadopsi pada abad ke-9. di negara-negara Muslim berkat Muhammad dari Khorezm (al-Khorezmi). Dalam praktik perdagangan di negara-negara Islam, pecahan satuan banyak digunakan, dalam sains, pecahan sexagesimal dan, pada tingkat lebih rendah, pecahan biasa digunakan. Al-Karaji (abad X-XI), al-Khassar (abad XII), al-Kalasadi (abad XV) dan ilmuwan lain dalam karyanya memaparkan aturan-aturan untuk merepresentasikan pecahan biasa dalam bentuk jumlah dan hasil kali pecahan satuan. Informasi tentang pecahan dipindahkan ke Eropa Barat oleh pedagang dan ilmuwan Italia Leonardo Fibonacci dari Pisa (abad ke-13). Ia memperkenalkan kata pecahan, mulai menggunakan garis pecahan (1202), dan memberikan rumus-rumus pembagian pecahan secara sistematis menjadi pecahan dasar. Nama pembilang dan penyebut diperkenalkan pada abad ke-13 oleh Maximus Planud, seorang biarawan, ilmuwan, dan ahli matematika Yunani. Metode untuk mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama diusulkan pada tahun 1556 oleh N. Tartaglia. Skema modern untuk menjumlahkan pecahan biasa sudah ada sejak tahun 1629. di A. Girard.

II. Penerapan pecahan biasa

2.1 Pecahan alikuot

Soal-soal yang menggunakan pecahan alikuot merupakan kelompok besar soal-soal nonstandar, termasuk soal-soal yang berasal dari zaman dahulu kala. Pecahan alikuot digunakan ketika Anda perlu membagi sesuatu menjadi beberapa bagian dengan langkah sesedikit mungkin. Penguraian pecahan berbentuk 2/n dan 2/(2n +1) menjadi dua pecahan alikuot disistematisasikan dalam bentuk rumus

Penguraian menjadi tiga, empat, lima, dst. pecahan alikuot dapat dihasilkan dengan menguraikan salah satu suku menjadi dua pecahan, suku berikutnya menjadi dua pecahan alikuot lagi, dan seterusnya.

Untuk merepresentasikan suatu bilangan sebagai penjumlahan pecahan alikuot, terkadang Anda harus menunjukkan kecerdikan yang luar biasa. Katakanlah bilangan 2/43 dinyatakan seperti ini: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Sangat merepotkan untuk melakukan operasi aritmatika pada bilangan, menguraikannya menjadi jumlah pecahan satu. Oleh karena itu, dalam proses penyelesaian masalah penguraian pecahan alikuot menjadi penjumlahan pecahan alikuot yang lebih kecil, muncul ide untuk mensistematisasikan penguraian pecahan dalam bentuk rumus. Rumus ini berlaku jika Anda perlu menguraikan pecahan alikuot menjadi dua pecahan alikuot.

Rumusnya terlihat seperti ini:

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

Contoh pemuaian pecahan:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Rumus ini dapat diubah untuk mendapatkan persamaan berguna berikut: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

Misalnya, 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

Artinya, pecahan alikuot dapat dinyatakan dengan selisih dua pecahan alikuot, atau selisih dua pecahan alikuot yang penyebutnya merupakan bilangan berurutan yang sama dengan hasil kali keduanya.

Contoh. Nyatakan angka 1 sebagai jumlah dari berbagai pecahan alikuot

a) tiga suku 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

b) empat suku

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

c) lima suku

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 Alih-alih pecahan kecil, gunakan pecahan besar

Di pabrik pembuatan mesin ada profesi yang sangat menarik, disebut penanda. Penanda menandai garis-garis pada benda kerja di mana benda kerja tersebut harus diproses untuk memberikan bentuk yang diinginkan.

Penanda harus memecahkan masalah geometri yang menarik dan terkadang sulit, melakukan perhitungan aritmatika, dll.
"Entah bagaimana perlu untuk mendistribusikan 7 piring persegi panjang yang identik dalam bagian yang sama antara 12 bagian. Mereka membawa 7 piring ini ke penanda dan memintanya, jika mungkin, untuk menandai piring-piring tersebut sehingga tidak ada satupun yang perlu dihancurkan menjadi bagian-bagian yang sangat kecil. Jadi, solusi yang paling sederhana adalah - Memotong setiap pelat menjadi 12 bagian yang sama tidaklah tepat, karena akan menghasilkan banyak bagian yang kecil.
Apakah mungkin untuk membagi pelat-pelat ini menjadi bagian-bagian yang lebih besar? Penanda berpikir, membuat beberapa perhitungan aritmatika dengan pecahan dan akhirnya menemukan cara paling ekonomis untuk membagi pelat tersebut.
Selanjutnya, ia dengan mudah menghancurkan 5 piring untuk dibagikan dalam porsi yang sama menjadi enam bagian, 13 piring menjadi 12 bagian, 13 piring menjadi 36 bagian, 26 piring menjadi 21, dst.

Ternyata penanda tersebut menampilkan pecahan 7\12 sebagai jumlah dari pecahan satuan 1\3 + 1\4. Artinya jika dari 7 pelat yang diberikan, 4 potong masing-masing menjadi tiga bagian yang sama, maka kita mendapatkan 12 pertiganya, yaitu sepertiga untuk setiap bagian. Kami memotong sisa 3 piring menjadi 4 bagian yang sama, kami mendapatkan 12 bagian, yaitu seperempat untuk setiap bagian. Demikian pula dengan menggunakan representasi pecahan dalam bentuk penjumlahan pecahan satuan 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 Perpecahan dalam keadaan sulit

Ada perumpamaan timur yang terkenal bahwa seorang ayah mewariskan 17 ekor unta kepada putranya dan memerintahkan mereka untuk membaginya di antara mereka sendiri: yang tertua separuhnya, yang tengah sepertiganya, yang bungsu sepertiganya. Tapi 17 tidak habis dibagi 2, 3, atau 9. Anak-anaknya berpaling kepada orang bijak. Orang bijak itu akrab dengan pecahan dan mampu membantu dalam situasi sulit ini.

Dia melakukan tipu muslihat. Orang bijak untuk sementara menambahkan untanya ke dalam kawanannya, lalu jumlahnya menjadi 18. Setelah membagi jumlah ini, sebagaimana tercantum dalam wasiat, orang bijak mengambil kembali untanya. Rahasianya adalah bahwa jumlah bagian anak laki-laki yang akan membagi kawanan sesuai dengan keinginannya tidak berjumlah 1. Memang benar, 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Ada banyak tugas seperti itu. Misalnya, soal dari buku teks bahasa Rusia tentang 4 teman yang menemukan dompet dengan 8 nota kredit: satu untuk satu, tiga, lima rubel, dan sisanya untuk sepuluh rubel. Berdasarkan kesepakatan bersama, yang satu menginginkan bagian ketiga, bagian kedua seperempat, bagian ketiga bagian kelima, dan bagian keempat bagian keenam. Namun, mereka tidak dapat melakukannya sendiri: seorang pejalan kaki membantu, setelah sebelumnya menambahkan rubelnya. Untuk mengatasi kesulitan ini, seorang pejalan kaki menambahkan pecahan satuan 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60, memenuhi permintaan temannya dan mendapatkan 2 rubel untuk dirinya sendiri.

AKU AKU AKU.Pecahan yang menarik

3.1 Pecahan domino

Domino adalah permainan papan yang populer di seluruh dunia. Permainan domino paling sering terdiri dari 28 ubin persegi panjang. Domino adalah ubin berbentuk persegi panjang yang bagian depannya dibagi oleh sebuah garis menjadi dua bagian persegi. Setiap bagian berisi dari nol hingga enam poin. Jika Anda menghilangkan dadu yang tidak mengandung titik pada setidaknya satu setengahnya (kosong), maka sisa dadu dapat dianggap sebagai pecahan. Dadu, yang kedua bagiannya memiliki jumlah poin yang sama (ganda), adalah pecahan biasa yang sama dengan satu. Jika Anda menghilangkan lebih banyak tulang ini, Anda akan memiliki 15 tulang. Mereka dapat diatur dengan berbagai cara dan mendapatkan hasil yang menarik.

1. Susunan dalam 3 baris yang jumlah pecahannya masing-masing adalah 2.

;
;

2. Susunlah ke-15 ubin tersebut dalam tiga baris yang masing-masing terdiri dari 5 ubin, dengan menggunakan beberapa kartu domino sebagai pecahan biasa, misalnya 4/3, 6/1, 3/2, dst, sehingga jumlah pecahan pada setiap baris sama dengan angka 10.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Susunan pecahan dalam baris-baris yang jumlahnya merupakan bilangan bulat (tetapi berbeda pada baris-baris yang berbeda).

3.2 Sejak dahulu kala.

“Dia mempelajari masalah ini dengan cermat.” Artinya persoalan tersebut telah dipelajari sampai tuntas, tidak ada ambiguitas sekecil apa pun yang tersisa. Dan kata aneh “cermat” berasal dari nama Romawi 1/288 assa – “scrupulus”.

"Menjadi pecahan." Ungkapan ini berarti menemukan diri Anda dalam situasi yang sulit.

"Ass" adalah satuan pengukuran massa dalam farmakologi (pound apoteker).

"Ounce" adalah satuan massa dalam sistem pengukuran Inggris, satuan pengukuran massa dalam farmakologi dan kimia.

IV. Kesimpulan.

Mempelajari pecahan dianggap sebagai bagian matematika yang paling sulit sepanjang masa dan di antara semua orang. Mereka yang mengetahui pecahan dijunjung tinggi. Penulis manuskrip Slavia kuno abad ke-15. menulis: “Tidaklah mengherankan bahwa… secara keseluruhan, tetapi patut dipuji bahwa sebagian…”.

Saya menyimpulkan bahwa sejarah pecahan adalah jalan yang berkelok-kelok dengan banyak rintangan dan kesulitan. Saat mengerjakan esai saya, saya belajar banyak hal baru dan menarik. Saya membaca banyak buku dan bagian dari ensiklopedia. Saya mengenal pecahan pertama yang digunakan orang, dengan konsep pecahan alikuot, dan mempelajari nama-nama ilmuwan baru yang berkontribusi pada pengembangan doktrin pecahan. Saya sendiri mencoba menyelesaikan soal-soal olimpiade dan hiburan, secara mandiri memilih contoh penguraian pecahan biasa menjadi pecahan alikuot, dan menganalisis penyelesaian contoh dan soal yang diberikan dalam teks. Jawaban atas pertanyaan yang saya tanyakan pada diri sendiri sebelum mulai mengerjakan esai: pecahan biasa itu perlu, itu penting. Mempersiapkan presentasi itu menarik, saya harus meminta bantuan guru dan teman sekelas. Selain itu, saat mengetik, untuk pertama kalinya saya dihadapkan pada kebutuhan untuk mengetikkan pecahan dan ekspresi pecahan. Saya mempresentasikan abstrak saya di konferensi sekolah. Dia juga tampil di depan teman-teman sekelasnya. Mereka mendengarkan dengan sangat cermat dan, menurut saya, mereka tertarik.

Saya yakin bahwa saya telah menyelesaikan tugas yang saya tetapkan sebelum mulai mengerjakan abstrak.

Literatur.

1.Borodin A.I. Dari sejarah aritmatika. Kepala penerbit “Vishcha School”-K., 1986

2. Glazer G.I.Sejarah matematika di sekolah: kelas IV-VI. Panduan untuk guru. – M.: Pendidikan, 1981.

3. Ignatiev E.I. Di kerajaan kecerdikan. Kantor redaksi utama literatur fisika dan matematika dari penerbit "Nauka", M., 1978.

4. Kordemskoy G.A.Kecerdasan matematika - Edisi ke-10, direvisi. Dan tambahan - M.: Unisam, MDS, 1994.

5. Stroik D.Ya. Esai singkat sejarah matematika. M.: Nauka, 1990.

6.Ensiklopedia untuk anak-anak. Jilid 11. Matematika. Moskow, Avanta+, 1998.

7. /wiki.Bahan dari Wikipedia - ensiklopedia gratis.

Lampiran 1.

Skala alami

Semua orang tahu bahwa Pythagoras adalah seorang ilmuwan dan, khususnya, penulis teorema terkenal. Namun fakta bahwa ia juga seorang musisi yang brilian tidak begitu diketahui secara luas. Kombinasi dari bakat-bakat ini memungkinkan dia menjadi orang pertama yang menebak tentang keberadaan skala alami. Saya masih harus membuktikannya. Pythagoras membuat setengah instrumen dan setengah perangkat untuk eksperimennya - sebuah "monochord". Itu adalah sebuah kotak lonjong dengan tali direntangkan di atasnya. Di bawah tali, di tutup atas kotak, Pythagoras menggambar skala untuk memudahkan membagi tali secara visual menjadi beberapa bagian. Pythagoras melakukan banyak eksperimen dengan monochord dan, pada akhirnya, secara matematis menggambarkan perilaku string yang berbunyi. Karya-karya Pythagoras menjadi dasar ilmu pengetahuan yang sekarang kita sebut akustik musik. Ternyata untuk musik, tujuh suara dalam satu oktaf sama alaminya dengan sepuluh jari dalam aritmatika. Senar busur pertama, yang berosilasi setelah tembakan, memberikan rangkaian suara musik yang masih kita gunakan hampir tidak berubah.

Dari sudut pandang fisika, tali busur dan tali busur adalah satu kesatuan. Dan lelaki itu membuat talinya, dengan memperhatikan sifat-sifat tali busur itu. Senar yang berbunyi bergetar tidak hanya secara keseluruhan, tetapi juga menjadi dua, tiga, empat, dll. Sekarang mari kita mendekati fenomena ini dari sisi aritmatika. Bagian bergetar dua kali lebih sering dari keseluruhan string, sepertiga - tiga kali, seperempat - empat kali. Singkatnya, berapa kali lebih kecil bagian dawai yang bergetar, frekuensi osilasinya juga beberapa kali lebih besar. Katakanlah seluruh dawai bergetar pada frekuensi 24 hertz. Dengan menghitung fluktuasi pecahan hingga perenam belas, kita mendapatkan rangkaian angka yang ditunjukkan pada tabel. Urutan frekuensi ini disebut alami, yaitu. alami, skala.

Lampiran 2.

Masalah kuno menggunakan pecahan biasa.

Dalam naskah kuno dan buku teks aritmatika kuno dari berbagai negara terdapat banyak permasalahan menarik yang berkaitan dengan pecahan. Menyelesaikan masing-masing masalah ini memerlukan kecerdikan, kecerdikan, dan kemampuan berpikir yang cukup besar.

1. Seorang penggembala datang dengan 70 ekor lembu jantan. Dia ditanya:

Berapa banyak yang Anda bawa dari banyak kawanan Anda?

Sang gembala menjawab:

Saya membawa dua pertiga dari sepertiga ternak. Hitung berapa banyak sapi jantan yang ada dalam kawanan tersebut?

Papirus Ahmes (Mesir, sekitar 2000 SM).

2. Seseorang mengambil 1/13 dari perbendaharaan. Dari yang tersisa, yang lain mengambil 1/17. Dia meninggalkan 192 di perbendaharaan. Kami ingin mengetahui berapa banyak yang ada di perbendaharaan pada awalnya

Papirus Akmim (abad VI)

3. Pelancong! Abu Diophanthus dimakamkan di sini. Dan angka-angka tersebut dapat menunjukkan, lihatlah, berapa lama hidupnya.

Bagian keenam dari dirinya adalah masa kecil yang indah.

Bagian kedua belas dari hidupnya telah berlalu - kemudian dagunya ditutupi bulu halus.
Diophantus menghabiskan ketujuh kalinya dalam pernikahan tanpa anak.

Lima tahun telah berlalu; dia diberkati dengan kelahiran putra sulungnya yang cantik.
Kepada siapa takdir hanya memberikan separuh dari kehidupan indah dan cerah di bumi dibandingkan dengan ayahnya.

Dan dalam kesedihan yang mendalam, lelaki tua itu menerima akhir dari nasibnya di dunia, setelah bertahan hidup selama empat tahun sejak dia kehilangan putranya.

Katakan padaku, berapa tahun hidup Diophantus menanggung kematian?

4. Seseorang, dalam keadaan sekarat, mewariskan: “Jika istriku melahirkan seorang anak laki-laki, maka biarlah dia mendapat 2/3 dari harta warisan, dan biarlah istrinya mendapat sisanya. Jika seorang anak perempuan lahir, maka 1/3nya akan diberikan kepadanya, dan 2/3nya kepada istrinya.” Anak kembar lahir - seorang putra dan seorang putri. Bagaimana cara membagi harta warisan?

Masalah Romawi Kuno (abad II)

Carilah tiga bilangan yang bilangan terbesarnya melebihi rata-rata sebesar sebagian bilangan terkecilnya, sehingga rata-ratanya melebihi bilangan terkecil sebanyak sebagian bilangan terbesarnya, dan agar bilangan terkecil melebihi bilangan 10 sebanyak sebagian rata-ratanya.

Risalah Diophantus Alexandria “Aritmatika” (abad ke-2 – ke-3 M)

5. Seekor bebek liar terbang dari Laut Selatan ke Laut Utara selama 7 hari. Seekor angsa liar terbang dari laut utara ke laut selatan selama 9 hari. Sekarang bebek dan angsa terbang bersamaan. Berapa hari lagi mereka akan bertemu?

Tiongkok (abad ke-2 M)

6. “Seorang pedagang melewati 3 kota, dan di kota pertama mereka memungut bea darinya untuk setengah sepertiga hartanya, dan di kota kedua untuk setengah sepertiga hartanya yang tersisa, dan di kota ketiga untuk setengah sepertiga dari sisa hartanya. Dan ketika dia sampai di rumah, dia punya 11 uang tersisa. Cari tahu berapa banyak uang yang dimiliki pedagang itu pada awalnya.”

Ananiy Shirakatsi. Koleksi “Tanya Jawab” (VIIabad Masehi).

Ada bunga kadamba,

Untuk satu kelopak

Seperlima lebah telah terjatuh.

Saya tumbuh di dekatnya

Semua mekar Simengda,

Dan bagian ketiga cocok untuk itu.

Temukan perbedaannya

Lipat tiga kali

Dan tanamlah lebah-lebah itu di Kutai.

Hanya dua yang tidak ditemukan

Tidak ada tempat untuk dirimu sendiri di mana pun

Semua orang terbang bolak-balik dan kemana saja

Menikmati aroma bunga.

Sekarang beritahu saya

Menghitung dalam pikiranku,

Berapa jumlah seluruh lebah?

Masalah India Kuno (abad XI).

8. “Temukan sebuah angka, ketahuilah bahwa jika kamu mengurangkan sepertiga dan seperempatnya, kamu mendapatkan 10.”

Muhammad ibn Musa al Khawarizmi “Aritmatika” (abad ke-9)

9. Seorang wanita pergi ke kebun untuk memetik apel. Untuk meninggalkan taman, dia harus melewati empat pintu yang masing-masing memiliki penjaga. Wanita itu memberikan separuh apel yang dipetiknya kepada penjaga di pintu pertama. Setelah mencapai penjaga kedua, wanita itu memberinya setengah dari sisanya. Dia melakukan hal yang sama kepada penjaga ketiga, dan ketika dia berbagi apel dengan penjaga keempat, dia mempunyai 10 apel tersisa. Berapa banyak apel yang dia petik di kebun?

"1001 malam"

10. Hanya "itu" dan "ini", dan setengah dari "itu" dan "ini" - berapa persentase dari tiga perempat dari "itu" dan "ini".

Naskah kuno Rus kuno (abad X-XI)

11. Tiga orang Cossack datang ke penggembala untuk membeli kuda.

“Oke, saya akan menjual kuda kepada Anda,” kata penggembala, “Saya akan menjual setengah kawanan dan setengah kuda lagi kepada yang pertama, setengah dari sisa kuda dan setengah kuda lagi kepada yang kedua, yang ketiga juga akan menerima setengahnya. dari sisa kuda dengan setengah kuda.

Saya hanya akan menyisakan 5 kuda untuk diri saya sendiri.”

Keluarga Cossack terkejut bagaimana penggembala membagi kudanya menjadi beberapa bagian. Namun setelah beberapa perenungan, mereka menjadi tenang dan kesepakatan pun terjadi.

Berapa banyak kuda yang dijual penggembala itu kepada masing-masing Cossack?

12. Seseorang bertanya kepada guru: “Beri tahu saya berapa banyak siswa di kelas Anda, karena saya ingin mendaftarkan anak saya bersama Anda.” Gurunya menjawab: “Jika jumlah siswa yang datang sama dengan jumlah siswa saya, dan setengah jumlah siswa, dan seperempat jumlah siswa, serta putra Anda, maka saya akan mempunyai 100 siswa.” Pertanyaannya, berapa jumlah siswa yang dimiliki guru tersebut?

L. F. Magnitsky “Aritmatika” (1703)

13. Pengelana itu, setelah berhasil menyusul orang lain, bertanya kepadanya: “Berapa jauh jarak ke desa di depan?” Pelancong yang lain menjawab: “Jarak dari desa asalmu sama dengan sepertiga total jarak antar desa. Dan jika Anda berjalan dua mil lagi, Anda akan berada tepat di tengah-tengah desa. Berapa mil lagi yang harus ditempuh oleh pengembara pertama?

L. F. Magnitsky “Aritmatika” (1703)

14. Seorang perempuan petani sedang menjual telur di pasar. Pelanggan pertama membeli separuh telurnya dan separuh telur lainnya, separuh kedua sisanya dan separuh telur lainnya, dan pelanggan ketiga membeli 10 butir telur terakhir.

Berapa banyak telur yang dibawa petani perempuan itu ke pasar?

L. F. Magnitsky “Aritmatika” (1703)

15. Sepasang suami istri mengambil uang dari peti yang sama, dan tidak ada yang tersisa. Sang suami mengambil 7/10 dari seluruh uang, dan sang istri mengambil 690 rubel. Berapa seluruh uangnya?

L. N. Tolstoy “Aritmatika”

16. Seperdelapan dari bilangan tersebut

Ambil dan tambahkan apa saja

Setengah dari tiga ratus

Dan yang delapan akan melampauinya

Tidak sedikit - lima puluh

Tiga perempat. saya akan senang,

Jika orang yang mengetahui skornya

Dia akan memberitahuku nomornya.

Johann Hemeling, guru matematika (1800)

17. Tiga orang memenangkan sejumlah uang. Yang pertama menyumbang 1/4 dari jumlah ini, yang kedua -1/7, dan yang ketiga - 17 florin. Berapa besar total kemenangannya?

Adam Riese (Jerman, abad ke-16) 18. Setelah memutuskan untuk membagi seluruh tabungannya secara merata kepada semua putranya, seseorang membuat surat wasiat. “Putra tertua saya harus menerima 1.000 rubel dan seperdelapan sisanya; yang berikutnya - 2000 rubel dan seperdelapan dari saldo baru; putra ketiga - 3.000 rubel dan seperdelapan dari saldo berikutnya, dll.” Tentukan jumlah anak laki-laki dan jumlah tabungan yang diwariskan.

Leonhard Euler (1780)

19. Tiga orang ingin membeli rumah seharga 24.000 jiwa. Mereka sepakat bahwa yang pertama akan memberikan setengahnya, yang kedua akan memberikan sepertiga, dan yang ketiga akan memberikan sisanya. Berapa banyak uang yang akan diberikan orang ketiga?

Pecahan ", " Biasa pecahan" Game “Apa yang bisa mereka bicarakan... untuk aritmatika mental.” Tugas untuk topik " Biasa pecahan dan tindakan terhadapnya" 1. U... filsuf, penulis. B.Pascal adalah luar biasa berbakat dan serba bisa, hidupnya...

" artikel "". Artikel ini merupakan jawaban atas pertanyaan pembaca kami: “Anak kami tertarik pada matematika. Apa yang bisa Anda tawarkan tentang topik “pecahan” yang menarik, bermanfaat, tidak biasa, dan mendidik? Kami tidak suka kue dipotong-potong.”

Simetri visual pecahan adalah jawaban kami. Secara umum, matematika adalah suatu ilmu. Ini pada awalnya dikembangkan sebagai ilmu di tingkatan tertinggi konkrit, nyata. Subyeknya adalah benda nyata, benda, benda. Namun kemudian, dimulai dengan Pythagoras dan kuadratnya yang terkenal, matematika mulai berpindah ke ranah abstrak. Artinya, tidak berkaitan dengan kenyataan yang sebenarnya ada.

Tentu saja hal ini dapat berguna ketika menghitung berbagai hal yang lebih tinggi. Tetapi sambil mempelajari dasar-dasarnya matematika sebaiknya digunakan sebanyak mungkin bahan contoh.

Artinya, minimal tindakan dalam pikiran, maksimal tindakan bersama massa.

Ini berhasil bahkan jika siswa tersebut berusia 18 tahun dan sangat perlu meningkatkan matematikanya. Luangkan sedikit waktu untuk memberikan massa dan materialitas suatu objek - dan pembelajaran akan berjalan lebih cepat.

Dari sudut pandang ini, kue adalah hal yang tepat (hanya saja kue tersebut mungkin tidak begitu baik untuk gigi Anda :) Namun jauh lebih sederhana dan lebih murah jika menggunakan ranting dan batang. Yang mana anak-anak dapat secara mandiri membaginya menjadi bagian-bagian yang diperlukan.

Tentu saja, pada awalnya itu hanya semak belukar. Namun secara bertahap, secara bertahap, Anda bisa langsung ke intinya. Misalnya saja pada simetri pecahan.

Jadi berdasarkan materialitas dan memperhatikan pertanyaannya, kami uraikan materi yang biasanya tidak diperhitungkan di sekolah.

Simetri visual pecahan adalah ilmu pengetahuan, estetika, dan perkembangan.

Masalah metodologis

Gambar menyusul. Tanpa pertanyaan sedikit pun, memperlihatkan gambar kepada anak-anak hampir TIDAK BERGUNA. Paling-paling, mereka akan dengan sopan mengatakan “wow…” dan bermain di komputer.

Alih-alih gambar, seharusnya ada benda nyata dan padat. Misalnya, cabang-cabangnya ia patahkan menjadi bagian-bagian yang diperlukan. Harap diperhatikan: sejak ini pecahan(dari kata “menghancurkan”), maka sebaiknya jangan memberikan korek api, dsb. dan meminta untuk mengeluarkannya. Itu harus menjadi sesuatu yang utuh yang dibagi menjadi bagian-bagian yang diperlukan.

Jika Anda mendudukkan anak Anda dan meletakkan ranting di depannya seperti yang disarankan di bawah ini, dia mungkin akan tertarik. Tapi tidak lebih. Dan jika Anda memintanya mengulangi apa yang dilihatnya dalam lima hari, dia tidak akan bisa. Artinya, dia hanya terkejut, sebagaimana orang dikejutkan oleh fakta-fakta yang tidak berguna namun menarik (seperti “jika Anda meletakkan semua pembuluh darah dalam satu garis, Anda dapat membungkus seluruh kawanan gajah dalam kepompong yang tebal”).

Jika ingin manfaat bagi anak, maka dia Anda harus memecahkannya dan mempostingnya sendiri pola yang diusulkan di bawah ini. Tentu saja, Anda tidak perlu melakukan semuanya sekaligus.

1. Secara bertahap, tempel demi tempel, gambar sudah selesai.
2. Silakan mencari polanya.
3. Waktu untuk “berpikir” mungkin sehari, atau mungkin seminggu.
4. Silakan tuliskan pola yang Anda temukan.
5. Silakan periksa polanya dalam praktik.

Setelah ini, Anda dapat melanjutkan ke kelompok pola berikutnya.

Sebenarnya simetri pecahan.

Perhatikan gambarnya.

Ada simetri yang dibentuk oleh bagian-bagian pecahan dari keseluruhan. Simetri hadir dalam dua bentuk:

• visual, figuratif
• visual, numerik.

Jadi, hasilnya bukan sekadar lekukan mulus yang indah. Pola numerik: pertama pecahan di atas ada satu, dan di bawah jumlahnya berkurang satu. Dan setelah 1/2 ada pola lain - angka atas dan bawah bertambah satu.

Sebenarnya, pertanyaan filosofis: mengapa menambah satu penyebut (atau pembilang dan penyebut) menghasilkan kurva mulus yang indah?

Mungkin anak-anak dapat menemukan jawaban dari pertanyaan tersebut :)

Terutama jika mereka mengikuti langkah 1-5 pedoman tersebut.

Sekarang kita beralih ke titik simetri pecahan lainnya. Gambar yang sama, tetapi dengan sedikit tambahan:

Seperti yang Anda lihat, pola yang ditemukan tentang perubahan pembilang dan penyebut sebanyak satu adalah simetris cermin.

Sekarang untuk momen simetri berikutnya. Mari kita potong diagram menjadi 4 bagian dan cerminkan sudut kiri atas. Anda akan mendapatkan gambar ini:

Setuju, ada lebih banyak simetri. Tapi kita hanya mendapatkan bagian tengah yang putih dan tidak terisi. Simetris... Mungkin ada semacam pola di dalamnya? Mari kita periksa:

Ya ya! Pembilang dan penyebutnya dikurangi satu. Namun selisih pembilang dan penyebutnya berbeda - 2 satuan.

Sekaranglah waktunya untuk mengingat bahwa pecahan dapat direduksi:

Menariknya, ada juga simetri di sini - pembilang dan penyebutnya dikurangi satu. Dan perbedaan diantara keduanya adalah satu.

Tapi kita masih punya sel kosong... Yang mungkin juga alami:

Dan sekali lagi to the point! Pola yang sama - berkurang satu dan selisih satu.

Berikut beberapa hal menarik tentang simetri pecahan. Setelah Anda mengetahui polanya, Anda akan dapat menemukan simetri dari pecahan apa pun dengan cara apa pun.

Tip untuk orang tua (atau sesuatu yang sebaiknya dipahami oleh anak):

Perubahan alami memberikan pola simetris.

Dalam kasus kami, pecahan berubah secara alami. Namun hal ini juga berlaku untuk fenomena lain di dunia sekitar.

Tidak percaya padaku? Coba lihat! 🙂

Tulis ulasan dan tips Anda di komentar!