Sekolah Menengah No.45.

kota Moskow.

Siswa kelas 10 “B” Gorokhov Evgeniy

Kursus (draf).

Pengantar teori matriks dan determinan.

1. Matriks................................................ ......... ................................................ ............... ................................... .................... ......

1.1 Konsep matriks................................................ ...................................................... ............ ...................................

1.2 Operasi dasar pada matriks.................................................. ....... ................................................... ............. .

2. Penentu................................................... ......... ................................................ ............... ................................... ........

2.1 Konsep determinan................................................ ........................................... ............. ........................

2.2 Perhitungan determinan................................................ ...................................................... ............ ...............

2.3 Sifat dasar determinan.................................................. ....... ................................................... .............

3. Sistem persamaan linear................................................ ........................................... ............ .

3.1 Definisi dasar................................................ ................................................ .......... ........................

3.2 Kondisi konsistensi sistem persamaan linear.................................. .......... ...............

3.3 Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer.................................. ....................

3.4 Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode Gaussian.................................. ............ .............

4. Matriks terbalik................................................ ...................................................... ............ ...................................

4.1 Konsep matriks invers.................................................. ....... ................................................... ............. ................

4.2 Perhitungan matriks invers............................................ ........................................... ............. ........

Daftar Pustaka................................................ . ................................................. ..... ................................

Matriks adalah tabel bilangan berbentuk persegi panjang yang mengandung besaran tertentuM garis dan nomor tertentuN kolom. AngkaM DanN disebut pesanan matriks. JikaM = N , matriksnya disebut persegi, dan bilangannyam = n -- dia dalam urutan.

Operasi aritmatika dasar pada matriks adalah mengalikan matriks dengan bilangan, menjumlahkan dan mengalikan matriks.

Mari kita lanjutkan ke pendefinisian operasi dasar matriks.

Penambahan matriks: Jumlah dua matriks, contoh:ADanB, memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, dengan kata lain urutannya samaM DanN disebut matriks C = (DENGANaku j)(saya = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n)perintah yang samaMDanN, elemenCijyang setara.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Untuk menyatakan jumlah dua matriks digunakan notasiC = SEBUAH + B.Operasi penjumlahan matriks disebut operasi mereka tambahan

Jadi menurut definisi kita memiliki:

+ =

Dari definisi jumlah matriks, atau lebih tepatnya dari rumus ( 1.2 ) maka operasi penjumlahan matriks mempunyai sifat-sifat yang sama dengan operasi penjumlahan bilangan real, yaitu:

1) properti komutatif:SEBUAH + B = B + SEBUAH

2) menggabungkan properti:(A + B) + C = SEBUAH + (B + C)

Properti ini memungkinkan untuk tidak mengkhawatirkan urutan suku matriks saat menjumlahkan dua matriks atau lebih.

Mengalikan matriks dengan angka :

Produk matriks karena bilangan real disebut matriksC = (Cij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), yang elemen-elemennya sama

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Notasi digunakan untuk menyatakan hasil kali suatu matriks dan suatu bilanganC= AatauC=A . Operasi penyusunan hasil kali suatu matriks dengan suatu bilangan disebut mengalikan matriks dengan bilangan tersebut.

Langsung dari rumus ( 1.3 ) jelas bahwa mengalikan suatu matriks dengan suatu bilangan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1) sifat distributif mengenai jumlah matriks:

(SEBUAH + B) = SEBUAH+ B

2) properti asosiatif mengenai faktor numerik:

() SEBUAH= ( A)

3) sifat distributif terhadap jumlah bilangan:

( + ) SEBUAH= A + A.

Komentar :Selisih dua matriks A DanB ordo yang identik, wajar untuk menyebut matriks seperti ituC orde yang sama, yang dijumlahkan dengan matriksB memberikan matriksA . Untuk menyatakan selisih dua matriks digunakan notasi natural:C = SEBUAH – B.

Perkalian matriks :

Produk matriksA = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), memiliki pesanan masing-masing samaM DanN , per matriksB = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p), memiliki pesanan masing-masing samaN DanP , disebut matriksC=(DENGANij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p), memiliki pesanan yang samaM DanP , dan elemenCij, ditentukan oleh rumus

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Untuk menyatakan hasil kali suatu matriksA ke matriksB menggunakan rekaman

C=AB. Operasi penyusunan produk matriksA ke matriksB ditelepon perkalian matriks ini. Dari definisi yang dirumuskan di atas maka berikut ini matriks A tidak dapat dikalikan dengan matriks apa pun B : perlu jumlah kolom matriksA dulu sama jumlah baris matriksB . Agar keduanya berfungsiAB DanB.A. tidak hanya terdefinisi, tetapi juga mempunyai ordo yang sama, maka kedua matriks tersebut perlu dan cukupA DanB adalah matriks persegi dengan ordo yang sama.

Rumus ( 1.4 ) adalah aturan untuk menyusun elemen matriksC ,

yang merupakan hasil kali matriksA ke matriksB . Aturan ini dapat dirumuskan secara lisan: Elemen Cij , berdiri di persimpangan Saya baris ke-dan J- kolom matriks ke-th C=AB , sama jumlah hasil kali berpasangan dari unsur-unsur yang bersesuaian Saya baris ke-th matriks A Dan J- kolom matriks ke-th B . Sebagai contoh penerapan aturan ini, kami sajikan rumus perkalian matriks persegi orde dua

Dari rumus ( 1.4 ) sifat-sifat hasil kali matriks berikut ini:Ake matriksB :

1) properti asosiatif: (AB)C= SEBUAH(BC);

2) sifat distributif terhadap jumlah matriks:

(A + B) C = AC + BCatauA (B + C) = AB + AC.

Masuk akal untuk mengajukan pertanyaan tentang sifat permutasi suatu produk matriks hanya untuk matriks persegi dengan orde yang sama. Contoh dasar menunjukkan bahwa hasil kali dua matriks persegi berorde sama, secara umum, tidak mempunyai sifat pergantian. Faktanya, jika kita menaruh

SEBUAH = , B =

Matriks yang sama yang produknya mempunyai sifat pergantian biasanya disebut bepergian.

Topik 1. Matriks dan determinan matriks

Apa yang kita pelajari:

Konsep dasar aljabar linier: matriks, determinan.

Apa yang akan kita pelajari:

Melakukan operasi pada matriks;

Hitung dengan determinan orde kedua dan ketiga.

Topik 1.1. Konsep matriks. Tindakan pada matriks

∆ Matriks adalah tabel berbentuk persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom, diisi dengan beberapa objek matematika.

Matriks dilambangkan dengan huruf latin kapital, tabelnya sendiri diapit tanda kurung (lebih jarang berbentuk persegi atau bentuk lainnya).

Elemen A aku j ditelepon elemen matriks . Indeks pertama Saya– nomor baris, keduaJ– nomor kolom. Paling sering elemennya adalah angka.

Entri "matriks" A memiliki ukuran M× N» berarti kita berbicara tentang matriks yang terdiri dariM garis dan N kolom.

Jika M = 1, sebuah N > 1, maka matriksnya adalahmatriks - baris . Jika M > 1, sebuah N = 1, maka matriksnya adalahmatriks - kolom .

Matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya (m= n), ditelepon persegi .

Elemen A 11 , A 22 ,…, A nn matriks persegiA (ukuran N× N) membentuk diagonal utama , elemen A 1 N , A 2 N -1 ,…, A N 1 - sisi diagonal .

Dalam matriks
elemen 5; 7 membentuk diagonal utama, elemen –5; 8 – sisi diagonal.

Matriks A Dan B disebut setara (A= B), jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan elemen-elemennya pada posisi yang sama berhimpitan, mis.A aku j = b aku j .

Matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan satu, dan elemen-elemen lainnya sama dengan nol. Matriks identitas biasanya dilambangkan dengan E.

Matriks dialihkan ke matriks A berukuranM× N, disebut matriks A ukuran T N× M, diperoleh dari matriks A, jika baris-barisnya ditulis menjadi kolom, dan kolom-kolomnya menjadi baris.

Operasi aritmatika pada matriks.

Mencari jumlah matriks A Dan B dengan dimensi yang sama, perlu menambahkan elemen dengan indeks yang sama (berdiri di tempat yang sama):

Penjumlahan matriks bersifat komutatif, yaitu A + B = B + A.

Mencari perbedaan matriks A Dan B berdimensi sama, perlu dicari selisih unsur-unsur yang indeksnya sama:

Ke perkalian matriks Aper nomor k, Setiap elemen matriks perlu dikalikan dengan angka ini:

Bekerja matriks AB hanya dapat didefinisikan untuk matriksA ukuran M× N Dan B ukuran N× P, yaitu jumlah kolom matriksA harus sama dengan jumlah baris matriksDI DALAM. Di mana A· B= C, matriks C memiliki ukuran M× P, dan elemennya C aku j ditemukan sebagai produk skalarSayath baris matriks A pada Jth kolom matriksB: ( Saya=1,2,…, M; J=1,2,…, P).

!! Sebenarnya setiap lini dibutuhkan matriks A (berdiri di sebelah kiri) kalikan secara skalar dengan setiap kolom matriks B (berdiri di sebelah kanan).

Artinya, hasil kali matriks tidak bersifat komutatifА·В ≠ В·А . ▲

☺ Penting untuk menganalisis contoh-contoh untuk mengkonsolidasikan materi teoritis.

Contoh 1. Menentukan ukuran matriks.

Contoh 2. Pengertian elemen matriks.

Dalam elemen matriks A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

Dalam elemen matriks A 21 = 2, A 13 = 0.

Contoh 3: Melakukan transposisi matriks.

Contoh 4. Melakukan operasi pada matriks.

Menemukan 2 A- B, Jika , .

Larutan. .

Contoh 5. Temukan produk matriks Dan .

Larutan. Ukuran matriksA – 3 × 2 , matriks DI DALAM – 2 × 2 . Oleh karena itu produknyaA·B kamu bisa menemukannya. Kita mendapatkan:

Bekerja VA tidak dapat ditemukan.

Contoh 6. Temukan A 3 jika A =
.

Larutan. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

Contoh 6. Temukan 2 A 2 + 3 A + 5 E pada
,
.

Larutan. ,

,
,

,
.

Tugas yang harus diselesaikan

1. Isi tabelnya.

Matriks	Ukuran	Tipe matriks	Elemen matriks
Matriks	Ukuran	Tipe matriks		sebuah 12	sebuah 23	sebuah 32	sebuah 33

2. Melakukan operasi pada matriks
Dan
:

3. Lakukan perkalian matriks:

4. Transpos matriks:

? 1. Apa yang dimaksud dengan matriks?

2. Bagaimana membedakan matriks dengan unsur aljabar linier lainnya?

3. Bagaimana cara menentukan ukuran matriks? Mengapa hal ini perlu?

4. Apa yang dimaksud dengan entri tersebut? A aku j ?

5. Berikan penjelasan tentang konsep-konsep berikut: diagonal utama, diagonal sekunder matriks.

6. Operasi apa saja yang dapat dilakukan pada matriks?

7. Jelaskan inti dari operasi perkalian matriks?

8. Apakah ada matriks yang bisa dikalikan? Mengapa?

Topik 1.2. Penentu orde kedua dan ketiga : M metode perhitungannya

∆ Jika A adalah matriks persegi N urutan -th, maka kita dapat mengasosiasikannya dengan suatu bilangan yang disebut penentu pesanan ke-n dan dilambangkan dengan |A|. Artinya, determinan ditulis sebagai matriks, tetapi bukan dalam tanda kurung, melainkan diapit dalam tanda kurung siku.

!! Terkadang determinan disebut determinan dalam bahasa Inggris = itu A.

Penentu orde pertama (penentu matriks A berukuran1 × 1 ) adalah elemen itu sendiri yang dikandung matriks A.

determinan orde ke-2 (penentu matriks Sebuah ukuran 2 × 2 ) adalah bilangan yang dapat dicari dengan menggunakan aturan:

(hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama matriks dikurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder).

Penentu orde ke-3 (penentu matriks Sebuah ukuran 3 × 3 ) adalah bilangan yang dapat dicari dengan menggunakan aturan “segitiga”:

Untuk menghitung determinan orde ke-3, Anda dapat menggunakan aturan yang lebih sederhana - aturan arah (garis sejajar).

Aturan petunjuk arah : Dengan di sebelah kanan determinan ditambahkan ke dua kolom pertama, hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal-diagonal yang sejajar dengannya diambil dengan tanda tambah; dan hasil kali elemen-elemen diagonal sekunder dan diagonal-diagonal yang sejajar dengannya diberi tanda minus.

!! Untuk menghitung determinan, Anda dapat menggunakan propertinya, yang berlaku untuk determinan orde apa pun.

Sifat-sifat determinan:

1° . Penentu matriks A tidak berubah selama transposisi, yaitu. |SEBUAH| = |SEBUAH T |. Properti ini mencirikan kesetaraan baris dan kolom.

2° . Saat menata ulang dua baris (dua kolom), determinannya tetap mempertahankan nilai sebelumnya, tetapi tandanya dibalik.

4° . Jika suatu baris atau kolom mengandung faktor persekutuan, maka dapat dikeluarkan dari tanda determinannya.

Akibat wajar 4.1. Jika semua elemen suatu deret determinan sama dengan nol, maka determinan tersebut sama dengan nol.

Akibat wajar 4.2. Jika unsur-unsur suatu deret suatu determinan sebanding dengan unsur-unsur yang bersesuaian pada suatu deret yang sejajar dengannya, maka determinannya sama dengan nol.▲

☺ Penting untuk menganalisis aturan penghitungan determinan.

Contoh 1: Perhitungandeterminan orde kedua,
.

Larutan.

Ruang metrik dan bernorma.

Ruang Euclidean dan ruang kesatuan.

Ruang Euclidean. Perkalian titik dalam ruang Euclidean dan sifat-sifatnya.

Panjang suatu vektor dalam ruang Euclidean, sudut antar vektor. Pertidaksamaan Cauchy-Bunyakovsky dan pertidaksamaan segitiga.

Sistem vektor ortogonal dan ortonormal dalam ruang Euclidean. Perkalian titik secara ortonormal.

Proses ortogonalisasi sistem vektor Sturm.

Isomorfisme ruang Euclidean.

Ruang kesatuan. Produk skalar dalam ruang kesatuan dan sifat-sifatnya.

Panjang suatu vektor dalam ruang kesatuan. Pertidaksamaan Cauchy-Bunyakovsky dan pertidaksamaan segitiga.

Sistem ortogonal dan ortonormal dalam ruang kesatuan. Perkalian titik secara ortonormal.

Komplemen ortogonal pada subruang. Sifat-sifat komplemen ortogonal.

Representasi suatu ruang sebagai penjumlahan langsung dari suatu subruang dan komplemen ortogonalnya.

Proyeksi ortogonal dan komponen ortogonal suatu vektor ke suatu subruang.

Jarak antara vektor dan subruang, vektor dan manifold.

Sudut antara vektor dan subruang ruang Euclidean, sudut antara vektor dan manifold ruang Euclidean.

Ruang metrik. Batas suatu barisan dalam ruang metrik.

Bola dalam ruang metrik. Himpunan berbatas. Batasi poin.

Kelengkapan ruang metrik. Teorema tentang bola bersarang.

Ruang yang dinormalisasi. Koneksi antara ruang bernorma dan ruang metrik.

Konvergensi koordinatif dan konvergensi norma, hubungan di antara keduanya. Kelengkapan ruang bernorma.

Fungsi linier pada ruang linier. Ruang fungsi linier.

Fungsi bilinear pada ruang linier. Fungsi bilinear simetris dan antisimetris.

Fungsi multilinear pada ruang linear. Fungsi multilinear simetris, antisimetris, simetris mutlak, dan antisimetris mutlak.

Penentu matriks persegi sebagai fungsi antisimetris mutlak multilinear. Rumus menghitung determinan orde kedua dan ketiga.

Sifat-sifat determinan.

Penguraian determinan menjadi unsur-unsur baris atau menjadi unsur-unsur kolom.

Orde minor, komplemen aljabarnya. teorema Laplace.

Metode menghitung determinan orde dengan mereduksinya menjadi bentuk segitiga.

Metode untuk mengidentifikasi faktor linier saat menghitung determinan urutan. Penentu Vandermonde.

Metode hubungan perulangan saat menghitung determinan orde.

Suatu metode yang merepresentasikan determinan sebagai jumlah dari dua determinan ketika menghitung determinan orde.

Suatu metode untuk mengubah unsur-unsur determinan ketika menghitung determinan orde.

Penentu orde kedua dan ketiga.

Bilangan m dan n dipanggil ukuran matriks.

Matriksnya disebut persegi, jika m = n. Nomor n dalam hal ini disebut dalam urutan matriks persegi.

Setiap matriks persegi dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang ditentukan secara unik dengan menggunakan semua elemen matriks. Angka ini disebut determinan.

Penentu orde kedua adalah bilangan yang diperoleh dengan menggunakan unsur-unsur matriks persegi orde 2 sebagai berikut: .

Dalam hal ini, dari hasil kali unsur-unsur yang terletak pada apa yang disebut diagonal utama matriks (dari kiri atas ke sudut kanan bawah), hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal kedua, atau sekunder, dikurangi. .

Penentu orde ketiga adalah bilangan yang ditentukan dengan menggunakan unsur-unsur matriks persegi orde 3 sebagai berikut:

Komentar. Untuk memudahkan mengingat rumus ini, Anda dapat menggunakan aturan Cramer (segitiga). Cara kerjanya sebagai berikut: unsur-unsur yang hasil kali-nya termasuk dalam determinan yang diberi tanda “+” disusun sebagai berikut:

Membentuk dua segitiga, simetris terhadap diagonal utama. Elemen-elemen yang produknya termasuk dalam determinan dengan tanda “-” terletak dengan cara yang sama relatif terhadap diagonal sekunder:

14. Penentu orde ke-th. (penentu tingkat tinggi)

Penentu n orde ke-yang sesuai dengan matriks tidak, nomor tersebut disebut:

Metode dasar untuk menghitung determinan:

1) Metode Pengurangan Pesanan Penentunya didasarkan pada hubungan: (1)

Di mana disebut komplemen aljabar dari elemen ke-th. Minor elemen ke-th disebut determinan n-1 urutan, diperoleh dari determinan asli dengan menghapus Saya-baris itu dan J kolom ke-.

Relasi (1) disebut perluasan determinan c Saya-baris itu. Demikian pula, kita dapat menulis perluasan determinan sepanjang kolom:

Dalil: Untuk matriks persegi apa pun, persamaannya berlaku ,

dimana dan merupakan simbol Kronecker

2) Metode reduksi menjadi bentuk segitiga didasarkan pada sifat ketujuh determinan.

Contoh: Hitung determinannya: Kurangi baris pertama dari baris lainnya.

3) Metode relasi perulangan memungkinkan seseorang untuk menyatakan determinan tertentu melalui determinan yang berjenis sama, tetapi ordenya lebih rendah.

Permutasi, inversi.

Susunan bilangan apa pun 1, 2, ..., N dalam urutan tertentu, disebut penyusunan kembali dari N karakter (angka).

Pandangan umum permutasi: .

Tidak ada satupun yang muncul dua kali dalam suatu permutasi.

Permutasi disebut bahkan , jika elemen-elemennya membentuk bilangan inversi genap, dan aneh jika tidak.

Bilangan k dan p pada permutasinya adalah inversi (gangguan), jika k > p, tetapi k berada sebelum p dalam permutasi ini.

Tiga sifat permutasi.

Properti 1: Banyaknya permutasi yang berbeda sama dengan ( , berbunyi : “ N faktorial").

Bukti. Banyaknya permutasi sama dengan banyaknya cara penyusunan berbagai permutasi. Saat membuat permutasi sebagai J 1 Anda dapat mengambil salah satu angka 1, 2, ..., N, apa yang memberi N peluang. Jika J 1 sudah dipilih, lalu sebagai J 2 Anda dapat mengambil salah satu yang tersisa N– 1 angka, dan banyaknya cara yang dapat Anda pilih J 1 dan J 2 akan sama, dll. Angka terakhir dalam permutasi hanya dapat dipilih dengan satu cara, yaitu memberikan cara, dan karena itu permutasi.

Properti 2: Setiap transposisi mengubah paritas permutasi.

Bukti.Kasus 1. Bilangan-bilangan yang ditransposisikan berada dalam permutasi yang bersebelahan, yaitu. sepertinya (..., k,P, ...), di sini elipsis (...) menandai angka-angka yang tetap berada di tempatnya selama transposisi. Transposisi mengubahnya menjadi permutasi bentuk (..., P, k,...). Dalam permutasi ini, masing-masing bilangan k,R membuat inversi yang sama dengan angka yang tersisa. Jika angkanya k Dan P belum pernah mengkompilasi inversi sebelumnya (mis. k < R), maka inversi lain akan muncul pada permutasi baru dan jumlah inversi akan bertambah satu; jika k Dan R merupakan inversi, maka setelah transposisi jumlah inversi akan berkurang satu. Bagaimanapun, paritas permutasi berubah.

Properti 3: Jika disusun ulang, determinannya berubah tanda.

17. Sifat-sifat determinan: determinan suatu matriks yang ditransposisikan, pertukaran baris-baris dalam determinan, determinan suatu matriks dengan baris-baris yang identik.

Properti 1. Penentunya tidak berubah selama transposisi, mis.

Bukti.

Komentar. Sifat-sifat determinan berikut akan dirumuskan hanya untuk string. Selain itu, dari properti 1 maka kolom-kolom tersebut akan memiliki properti yang sama.

Properti 6. Saat menata ulang dua baris determinan, determinannya dikalikan dengan –1.

Bukti.

Properti 4. Penentu yang memiliki dua string yang sama adalah 0:

Bukti:

18. Sifat-sifat determinan: penguraian suatu determinan menjadi suatu string.

Minor unsur determinan adalah determinan yang diperoleh dari suatu unsur tertentu dengan cara mencoret baris dan kolom tempat unsur yang dipilih itu muncul.

Penunjukan: elemen determinan yang dipilih, minornya.

Contoh. Untuk

Komplemen aljabar unsur determinan disebut minor jika jumlah indeks unsur i+j adalah bilangan genap, atau bilangan yang berlawanan dengan minor jika i+j ganjil, yaitu.

Mari kita pertimbangkan cara lain untuk menghitung determinan orde ketiga - yang disebut perluasan baris atau kolom. Untuk melakukan ini, kita buktikan teorema berikut:

Dalil: Penentunya sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen suatu baris atau kolom dan komplemen aljabarnya, yaitu: dimana saya=1,2,3.

Bukti.

Mari kita buktikan teorema untuk baris pertama determinan, karena untuk baris atau kolom lainnya seseorang dapat melakukan penalaran yang sama dan memperoleh hasil yang sama.

Mari kita cari komplemen aljabar pada elemen baris pertama:

Anda dapat membuktikan sendiri sifat ini dengan membandingkan nilai ruas kiri dan kanan persamaan yang diperoleh menggunakan Definisi 1.5.

Sekolah Menengah No.45.

kota Moskow.

Siswa kelas 10 “B” Gorokhov Evgeniy

Kursus (draf).

Pengantar teori matriks dan determinan .

1996

1. Matriks.

1.1 Konsep matriks.

Matriks adalah tabel bilangan berbentuk persegi panjang yang mengandung besaran tertentu M garis dan nomor tertentu N kolom. Angka M Dan N disebut pesanan matriks. Jika M = N , matriksnya disebut persegi, dan bilangannya m = n - dia dalam urutan .

1.2 Operasi dasar pada matriks.

Operasi aritmatika dasar pada matriks adalah mengalikan matriks dengan bilangan, menjumlahkan dan mengalikan matriks.

Mari kita lanjutkan ke pendefinisian operasi dasar matriks.

Penambahan matriks : Jumlah dua matriks, contoh: A Dan B , memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, dengan kata lain urutannya sama M Dan N disebut matriks C = ( DENGAN aku j )( saya = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) perintah yang sama M Dan N , elemen Cij yang setara.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Untuk menyatakan jumlah dua matriks digunakan notasi C = SEBUAH + B. Operasi penjumlahan matriks disebut operasi mereka tambahan

Jadi menurut definisi kita memiliki:

+ =

Dari definisi jumlah matriks, atau lebih tepatnya dari rumus ( 1.2 ) maka operasi penjumlahan matriks mempunyai sifat-sifat yang sama dengan operasi penjumlahan bilangan real, yaitu:

properti komutatif: SEBUAH + B = B + SEBUAH

menggabungkan properti: (A + B) + C = SEBUAH + (B + C)

Properti ini memungkinkan untuk tidak mengkhawatirkan urutan suku matriks saat menjumlahkan dua matriks atau lebih.

Mengalikan matriks dengan angka :

Produk matriks ke bilangan real disebut matriks C = (Cij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , yang elemen-elemennya sama

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Notasi digunakan untuk menyatakan hasil kali suatu matriks dan suatu bilangan C= A atau C=A . Operasi penyusunan hasil kali suatu matriks dengan suatu bilangan disebut mengalikan matriks dengan bilangan tersebut.

Langsung dari rumus ( 1.3 ) jelas bahwa mengalikan suatu matriks dengan suatu bilangan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

sifat distributif mengenai jumlah matriks:

( SEBUAH + B) = SEBUAH+ B

properti asosiatif mengenai faktor numerik:

( ) SEBUAH= ( A)

sifat distributif terhadap jumlah bilangan:

( + ) SEBUAH= A + A .

Komentar : Selisih dua matriks A Dan B ordo yang identik, wajar untuk menyebut matriks seperti itu C orde yang sama, yang dijumlahkan dengan matriks B memberikan matriks A . Untuk menyatakan selisih dua matriks digunakan notasi natural: C = SEBUAH – B.

Perkalian matriks :

Produk matriks A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , memiliki pesanan masing-masing sama M Dan N , per matriks B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , memiliki pesanan masing-masing sama N Dan P , disebut matriks C= (DENGAN ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , memiliki pesanan yang sama M Dan P , dan elemen Cij , ditentukan oleh rumus

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Untuk menyatakan hasil kali suatu matriks A ke matriks B menggunakan rekaman

C=AB . Operasi penyusunan produk matriks A ke matriks B ditelepon perkalian matriks ini. Dari definisi yang dirumuskan di atas maka berikut ini matriks A tidak dapat dikalikan dengan matriks apa pun B : perlu jumlah kolom matriks A dulu sama jumlah baris matriks B . Agar keduanya berfungsi AB Dan B.A. tidak hanya terdefinisi, tetapi juga mempunyai ordo yang sama, maka kedua matriks tersebut perlu dan cukup A Dan B adalah matriks persegi dengan ordo yang sama.

Rumus ( 1.4 ) adalah aturan untuk menyusun elemen matriks C ,

yang merupakan hasil kali matriks A ke matriks B . Aturan ini dapat dirumuskan secara lisan: Elemen Cij , berdiri di persimpangan Saya baris ke-dan J- kolom matriks ke-th C=AB , sama jumlah hasil kali berpasangan dari unsur-unsur yang bersesuaian Saya baris ke-th matriks A Dan J- kolom matriks ke-th B . Sebagai contoh penerapan aturan ini, kami sajikan rumus perkalian matriks persegi orde dua

Dari rumus ( 1.4 ) sifat-sifat hasil kali matriks berikut ini: A ke matriks B :

properti asosiatif: ( AB)C = SEBUAH(BC);

sifat distributif terhadap jumlah matriks:

(A + B) C = AC + BC atau A (B + C) = AB + AC.

Masuk akal untuk mengajukan pertanyaan tentang sifat permutasi suatu produk matriks hanya untuk matriks persegi dengan orde yang sama. Contoh dasar menunjukkan hal itu hasil kali dua matriks persegi berorde sama, secara umum, tidak mempunyai sifat pergantian. Faktanya, jika kita menaruh

SEBUAH= , B = , Itu AB = , A BA =

Matriks yang sama yang produknya mempunyai sifat pergantian biasanya disebut bepergian.

Di antara matriks persegi, kami memilih kelas yang disebut diagonal matriks yang masing-masing matriks mempunyai elemen-elemen yang letaknya di luar diagonal utama sama dengan nol. Di antara semua matriks diagonal dengan elemen-elemen yang berhimpitan pada diagonal utama, dua matriks memainkan peran yang sangat penting. Matriks pertama diperoleh jika semua elemen diagonal utama sama dengan satu, dan disebut matriks identitas N- E . Matriks kedua diperoleh dengan semua elemen sama dengan nol dan disebut matriks nol N- urutan dan dilambangkan dengan simbol HAI . Mari kita asumsikan bahwa ada matriks sembarang A , Kemudian

AE=EA=A , AO=OA=O .

Rumus pertama mencirikan peran khusus matriks identitas E , mirip dengan peran yang dimainkan oleh nomor tersebut 1 saat mengalikan bilangan real. Adapun peran khusus dari matriks nol TENTANG , maka hal itu diungkapkan tidak hanya oleh rumus kedua, tetapi juga oleh persamaan dasar yang dapat diverifikasi: SEBUAH+O=O+A=SEBUAH . Konsep matriks nol dapat diperkenalkan bukan untuk matriks persegi.

2. Penentu.

2.1 Konsep determinan.

Pertama-tama, perlu diingat bahwa determinan hanya ada untuk matriks bertipe persegi, karena tidak ada determinan untuk matriks bertipe lain. Dalam teori sistem persamaan linear dan dalam beberapa isu lainnya, akan lebih mudah untuk menggunakan konsep tersebut penentu , atau penentu .

2.2 Perhitungan determinan.

Misalkan ada empat bilangan yang ditulis dalam bentuk matriks dua baris dan masing-masing dua kolom , Penentu atau penentu , yang terdiri dari angka-angka dalam tabel ini, adalah angkanya iklan-bc , dilambangkan sebagai berikut: . Penentu seperti itu disebut determinan orde kedua , karena tabel dua baris dan dua kolom diambil untuk mengkompilasinya. Bilangan-bilangan yang membentuk determinan disebut nya elemen ; pada saat yang sama mereka mengatakan bahwa unsur-unsurnya A Dan D dandan diagonal utama determinan, dan elemennya B Dan C miliknya sisi diagonal . Terlihat bahwa determinannya sama dengan selisih hasil kali pasangan unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama dan diagonal sekundernya. Penentu orde ketiga dan ordo lainnya kurang lebih sama, yaitu: Misalkan kita mempunyai matriks persegi . Penentu matriks berikut adalah ekspresi berikut: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Seperti yang Anda lihat, ini dihitung dengan cukup mudah jika Anda mengingat urutan tertentu. Yang bertanda positif adalah diagonal utama dan segitiga-segitiga yang terbentuk dari unsur-unsur yang mempunyai sisi sejajar dengan diagonal utama, dalam hal ini adalah segitiga a12a23a31 , a13a21a32 .

Sisi diagonal dan segitiga yang sejajar dengannya mempunyai tanda negatif, yaitu. a11a23a32 , a12a21a33 . Dengan cara ini determinan dari ordo apa pun dapat ditemukan. Namun ada kalanya cara ini menjadi cukup rumit, misalnya ketika elemen dalam matriks banyak, dan untuk menghitung determinannya perlu menghabiskan banyak waktu dan perhatian.

Ada cara yang lebih mudah untuk menghitung determinan N- oh pesan, dimana N 2 . Mari kita sepakat untuk menyebut elemen apa pun sebagai elemen di bawah umur Aduh matriks N- determinan orde pertama yang sesuai dengan matriks yang diperoleh dari matriks hasil penghapusan Saya baris ke-dan J- kolom ke (baris itu dan kolom itu pada perpotongannya terdapat elemen Aduh ). Elemen kecil Aduh kami akan menunjukkannya dengan simbol . Dalam notasi ini, indeks atas menunjukkan nomor baris, indeks bawah menunjukkan nomor kolom, dan bilah di atasnya M berarti baris dan kolom yang ditentukan dicoret. Penentu ketertiban N , yang sesuai dengan matriksnya, kita sebut bilangannya sama dengan dan dilambangkan dengan simbol .

Teorema 1.1 Apapun nomor barisnya Saya ( saya =1, 2…, n) , untuk determinan N- rumus besaran orde pertama valid

= itu A =

ditelepon Saya- baris ke-th . Kami tekankan bahwa dalam rumus ini eksponen yang menaikkan bilangan (-1) sama dengan jumlah bilangan baris dan kolom pada perpotongan tempat elemen tersebut berada. Aduh .

Teorema 1.2 Apapun nomor kolomnya J ( j =1, 2…, n) , untuk determinan N rumus orde ke-th valid

= itu A =

ditelepon perluasan determinan ini di J- kolom ke- .

2.3 Sifat dasar determinan.

Penentu juga memiliki sifat yang memudahkan tugas menghitungnya. Jadi, di bawah ini kita akan menetapkan sejumlah properti yang dimiliki oleh determinan arbitrer N urutan -th.

1 . Properti kesetaraan baris-kolom . Transposisi matriks atau determinan apa pun adalah operasi yang mengakibatkan pertukaran baris dan kolom dengan tetap mempertahankan urutannya. Akibat transposisi matriks A matriks yang dihasilkan disebut matriks, disebut transposisi terhadap matriks A dan ditunjukkan dengan simbol A .

Sifat pertama determinan dirumuskan sebagai berikut: selama transposisi, nilai determinan dipertahankan, yaitu. = .

2 . Sifat antisimetri saat menata ulang dua baris (atau dua kolom) . Ketika dua baris (atau dua kolom) dipertukarkan, determinan tetap mempertahankan nilai absolutnya, namun berubah tanda ke arah sebaliknya. Untuk determinan orde kedua, sifat ini dapat diverifikasi secara dasar (dari rumus menghitung determinan orde kedua, langsung disimpulkan bahwa determinan hanya berbeda tandanya).

3 . Sifat linier determinan. Kami akan mengatakan bahwa beberapa string ( A) adalah kombinasi linier dari dua string lainnya ( B Dan C ) dengan koefisien Dan . Sifat linier dapat dirumuskan sebagai berikut: jika pada determinan N urutan -th beberapa Saya Baris ke-adalah kombinasi linier dua baris dengan koefisien Dan , Itu = + , Di mana

– determinan yang dimilikinya Saya Baris ke-sama dengan salah satu dari dua baris kombinasi linier, dan semua baris lainnya sama dengan , A - determinan yang memiliki Saya- string i sama dengan string kedua dari dua string, dan semua string lainnya sama .

Ketiga sifat ini merupakan sifat utama determinan yang mengungkapkan sifatnya. Lima properti berikut adalah konsekuensi logis tiga sifat utama.

Akibat wajar 1. Penentu dengan dua baris (atau kolom) identik sama dengan nol.

Akibat wajar 2. Mengalikan semua elemen suatu baris (atau kolom) suatu determinan dengan suatu bilangan A setara dengan mengalikan determinan dengan angka ini A . Dengan kata lain, faktor persekutuan semua elemen suatu baris (atau kolom) tertentu dari suatu determinan dapat dikeluarkan dari tanda determinan tersebut.

Akibat wajar 3. Jika semua elemen suatu baris (atau kolom) tertentu sama dengan nol, maka determinannya sendiri sama dengan nol.

Akibat wajar 4. Jika unsur-unsur dua baris (atau dua kolom) suatu determinan sebanding, maka determinannya sama dengan nol.

Akibat wajar 5. Jika ke elemen-elemen suatu baris (atau kolom) tertentu dari determinan kita menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris lain (kolom lain), kalikan dengan faktor sembarang , maka nilai determinannya tidak berubah. Akibat wajar 5, seperti sifat linier, memungkinkan formulasi yang lebih umum, yang akan saya berikan untuk string: jika ke elemen-elemen dari baris tertentu dari suatu determinan kita menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari sebuah string yang merupakan kombinasi linier dari beberapa baris lainnya. determinan ini (dengan koefisien berapa pun), maka nilai determinan tersebut tidak akan berubah. Akibat wajar 5 banyak digunakan dalam perhitungan determinan yang konkrit.

3. Sistem persamaan linear.

3.1 Definisi dasar.

…….

3.2 Kondisi kompatibilitas sistem persamaan linear.

…….

3.3 Penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer.

Diketahui bahwa dengan menggunakan matriks kita dapat menyelesaikan berbagai sistem persamaan, dan sistem ini dapat berukuran berapa pun dan memiliki sejumlah variabel. Dengan beberapa turunan dan rumus, menyelesaikan sistem persamaan yang besar menjadi lebih cepat dan mudah.

Secara khusus, saya akan menjelaskan metode Cramer dan Gauss. Cara termudah adalah metode Cramer (bagi saya), atau disebut juga rumus Cramer. Jadi, katakanlah kita mempunyai suatu sistem persamaan . Penentu utama, seperti yang telah Anda ketahui, adalah matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien variabel. Mereka juga muncul dalam urutan kolom, yaitu kolom pertama berisi koefisien yang ditemukan di X , di kolom kedua di kamu , dan seterusnya. Hal ini sangat penting, karena pada langkah berikut kita akan mengganti setiap kolom koefisien suatu variabel dengan kolom jawaban persamaan. Jadi seperti yang saya bilang, kolom pada variabel pertama kita ganti dengan kolom jawaban, lalu pada kolom kedua, tentu semua tergantung berapa banyak variabel yang perlu kita cari.

1 = , 2 = , 3 = .