KETIMPANGAN LOGARITMA DALAM PENGGUNAAN
Sechin Mikhail Alexandrovich
Akademi Kecil sains untuk pelajar Republik Kazakhstan "Iskatel"
MBOU "Sekolah Menengah Sovetskaya No. 1", kelas 11, kota. Distrik Sovetsky Sovetsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, guru dari Lembaga Pendidikan Anggaran Kota “Sekolah Menengah Sovetskaya No.1”
Distrik Soviet
Tujuan pekerjaan: mempelajari mekanisme penyelesaian pertidaksamaan logaritmik C3 menggunakan metode non-standar, mengidentifikasi fakta Menarik logaritma
Subyek studi:
3) Belajar menyelesaikan pertidaksamaan logaritma spesifik C3 dengan menggunakan metode nonstandar.
Hasil:
Isi
Pendahuluan………………………………………………………………………………….4
Bab 1. Sejarah Masalah…………………………………………………...5
Bab 2. Kumpulan pertidaksamaan logaritma…………………………7
2.1. Transisi yang setara dan digeneralisasi metode interval…………… 7
2.2. Metode rasionalisasi................................................................................................ 15
2.3. Substitusi non-standar………................................................ ............ ..... 22
2.4. Tugas dengan jebakan………………………………………………27
Kesimpulan………………………………………………………………………………… 30
Literatur……………………………………………………………………. 31
Perkenalan
Saya duduk di kelas 11 dan berencana masuk universitas yang mata pelajaran intinya adalah matematika. Itu sebabnya saya banyak mengerjakan soal di bagian C. Dalam tugas C3, saya perlu menyelesaikan pertidaksamaan non-standar atau sistem pertidaksamaan, biasanya terkait dengan logaritma. Saat mempersiapkan ujian, saya dihadapkan pada masalah kurangnya metode dan teknik untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma ujian yang ditawarkan di C3. Metode yang dipelajari di kurikulum sekolah pada topik ini, jangan memberikan dasar untuk menyelesaikan tugas C3. Guru matematika menyarankan agar saya mengerjakan tugas C3 secara mandiri di bawah bimbingannya. Selain itu, saya tertarik dengan pertanyaan: apakah kita menemukan logaritma dalam hidup kita?
Berdasarkan hal tersebut, topik yang dipilih adalah:
“Ketidaksetaraan logaritmik dalam Ujian Negara Bersatu”
Tujuan pekerjaan: mempelajari mekanisme penyelesaian masalah C3 dengan menggunakan metode non-standar, mengidentifikasi fakta menarik tentang logaritma.
Subyek studi:
1) Temukan informasi yang diperlukan tentang metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma.
2) Temukan informasi tambahan tentang logaritma.
3) Belajar memecahkan masalah C3 tertentu dengan menggunakan metode non-standar.
Hasil:
Signifikansi praktis terdiri dari perluasan peralatan untuk memecahkan masalah C3. Materi ini dapat digunakan dalam beberapa pelajaran, untuk klub, dan kelas pilihan matematika.
Produk proyeknya adalah kumpulan “Ketidaksetaraan Logaritma C3 dengan Solusi.”
Bab 1. Latar Belakang
Sepanjang abad ke-16, jumlah perhitungan perkiraan meningkat pesat, terutama di bidang astronomi. Memperbaiki instrumen, mempelajari pergerakan planet, dan pekerjaan lainnya membutuhkan perhitungan yang sangat besar, terkadang bertahun-tahun. Astronomi berada dalam bahaya tenggelam dalam perhitungan yang tidak terpenuhi. Kesulitan juga muncul di bidang lain, misalnya di bidang ini bisnis asuransi Tabel bunga majemuk diperlukan untuk berbagai nilai persentase. Kesulitan utama adalah perkalian dan pembagian bilangan multidigit, khususnya besaran trigonometri.
Penemuan logaritma didasarkan pada sifat-sifat barisan yang terkenal pada akhir abad ke-16. Tentang hubungan antar anggota perkembangan geometri q, q2, q3, ... dan perkembangan aritmatika indikatornya adalah 1, 2, 3,... Archimedes berbicara dalam “Psalmitis” -nya. Prasyarat lainnya adalah perluasan konsep derajat menjadi eksponen negatif dan pecahan. Banyak penulis telah menunjukkan bahwa perkalian, pembagian, eksponensial, dan ekstraksi akar dalam deret geometri bersesuaian dalam aritmatika - dalam urutan yang sama - penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Inilah gagasan logaritma sebagai eksponen.
Dalam sejarah perkembangan doktrin logaritma telah melewati beberapa tahapan.
Tahap 1
Logaritma ditemukan paling lambat tahun 1594 secara independen oleh Baron Napier dari Skotlandia (1550-1617) dan sepuluh tahun kemudian oleh mekanik Swiss Bürgi (1552-1632). Keduanya ingin menyediakan cara perhitungan aritmatika yang baru dan mudah digunakan, meskipun mereka mendekati masalah ini dengan cara yang berbeda. Napier secara kinematis menyatakan fungsi logaritmik dan dengan demikian memasuki bidang teori fungsi baru. Bürgi tetap berdasarkan pertimbangan perkembangan yang terpisah. Namun definisi logaritma keduanya tidak sama dengan definisi modern. Istilah "logaritma" (logaritmus) milik Napier. Itu muncul dari kombinasi kata-kata Yunani: logos - “hubungan” dan ariqmo - “angka”, yang berarti “jumlah hubungan”. Awalnya, Napier menggunakan istilah yang berbeda: numeri artifisial - "bilangan buatan", sebagai lawan dari numeri naturalts - "bilangan asli".
Pada tahun 1615, dalam percakapan dengan Henry Briggs (1561-1631), seorang profesor matematika di Gresh College di London, Napier mengusulkan untuk mengambil nol sebagai logaritma satu, dan 100 sebagai logaritma sepuluh, atau, berapakah jumlah yang sama? hal, cukup 1. Ini adalah bagaimana mereka muncul logaritma desimal dan tabel logaritma pertama dicetak. Belakangan, tabel Briggs dilengkapi oleh penjual buku Belanda dan penggila matematika Adrian Flaccus (1600-1667). Napier dan Briggs, meskipun mereka sampai pada logaritma lebih awal dari orang lain, menerbitkan tabel mereka lebih lambat dari yang lain - pada tahun 1620. Tanda log dan Log diperkenalkan pada tahun 1624 oleh I. Kepler. Istilah "logaritma natural" diperkenalkan oleh Mengoli pada tahun 1659 dan diikuti oleh N. Mercator pada tahun 1668, dan guru London John Speidel menerbitkan tabel logaritma natural angka dari 1 hingga 1000 dengan nama "Logaritma Baru".
Tabel logaritma pertama diterbitkan dalam bahasa Rusia pada tahun 1703. Namun pada semua tabel logaritma terdapat kesalahan perhitungan. Tabel bebas kesalahan pertama diterbitkan pada tahun 1857 di Berlin, diproses oleh ahli matematika Jerman K. Bremiker (1804-1877).
Tahap 2
Perkembangan lebih lanjut dari teori logaritma dikaitkan dengan penerapan geometri analitik dan kalkulus yang sangat kecil. Pada saat itu, hubungan antara kuadrat hiperbola sama sisi dan logaritma natural. Teori logaritma periode ini dikaitkan dengan nama sejumlah ahli matematika.
Matematikawan, astronom, dan insinyur Jerman Nikolaus Mercator dalam sebuah esai
"Logarithmotechnics" (1668) memberikan deret yang memberikan perluasan ln(x+1) dalam
pangkat x:
Ungkapan ini persis sesuai dengan alur pemikirannya, meskipun tentu saja ia tidak menggunakan tanda d, ..., melainkan simbolisme yang lebih rumit. Dengan ditemukannya deret logaritma, teknik penghitungan logaritma berubah: deret tersebut mulai ditentukan menggunakan deret tak hingga. Dalam perkuliahannya “Matematika Dasar dengan titik tertinggi vision", dibaca pada tahun 1907-1908, F. Klein mengusulkan penggunaan rumus tersebut sebagai titik awal untuk membangun teori logaritma.
Tahap 3
Definisi fungsi logaritmik sebagai fungsi invers
eksponensial, logaritma sebagai eksponen dari basis tertentu
tidak segera dirumuskan. Esai oleh Leonhard Euler (1707-1783)
"Pengantar Analisis Infinitesimals" (1748) berfungsi lebih jauh
pengembangan teori fungsi logaritma. Dengan demikian,
134 tahun telah berlalu sejak logaritma pertama kali diperkenalkan
(dihitung dari tahun 1614), sebelum ahli matematika sampai pada definisinya
konsep logaritma yang kini menjadi dasar mata pelajaran sekolah.
Bab 2. Kumpulan pertidaksamaan logaritma
2.1. Transisi yang setara dan metode interval yang digeneralisasi.
Transisi yang setara
, jika > 1
, jika 0 <
а <
1
Metode interval umum
Metode ini paling universal untuk menyelesaikan hampir semua jenis kesenjangan. Diagram solusinya terlihat seperti ini:
1. Bawalah pertidaksamaan tersebut ke bentuk fungsi di ruas kiri 
, dan di sebelah kanan 0.
2. Temukan domain dari fungsi tersebut .
3. Temukan nol dari fungsi tersebut , yaitu menyelesaikan persamaannya 
(dan menyelesaikan persamaan biasanya lebih mudah daripada menyelesaikan pertidaksamaan).
4. Gambarkan domain definisi dan nol fungsi pada garis bilangan.
5. Tentukan tanda-tanda fungsi tersebut pada interval yang diperoleh.
6. Pilih interval di mana fungsi tersebut mengambil nilai yang diperlukan dan tuliskan jawabannya.
Contoh 1.
Larutan:
Mari terapkan metode interval
Di mana
Untuk nilai-nilai ini, semua ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif.
Menjawab:
Contoh 2.
Larutan:
1 jalan . ADL ditentukan oleh ketimpangan X> 3. Mengambil logaritma untuk itu X di basis 10, kita dapatkan
Ketimpangan terakhir dapat diatasi dengan menerapkan aturan perluasan, yaitu. membandingkan faktor dengan nol. Namun, dalam kasus ini mudah untuk menentukan interval tanda konstan dari fungsi tersebut
oleh karena itu, metode interval dapat diterapkan.
Fungsi F(X) = 2X(X- 3.5)lg X- 3ǀ kontinu di X> 3 dan menghilang pada titik tertentu X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Jadi, kita menentukan interval tanda konstan dari fungsi tersebut F(X):
Menjawab:
metode ke-2 . Mari kita terapkan langsung gagasan metode interval pada pertidaksamaan awal.
Untuk melakukan ini, ingatlah ekspresi itu A B- A c dan ( A - 1)(B- 1) memiliki satu tanda. Kemudian ketimpangan kita di X> 3 setara dengan ketimpangan
atau
Pertidaksamaan terakhir diselesaikan dengan menggunakan metode interval
Menjawab:
Contoh 3.
Larutan:
Mari terapkan metode interval
Menjawab:
Contoh 4.
Larutan:
Sejak 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 untuk semua nyata X, Itu
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kedua kita menggunakan metode interval
Pada pertidaksamaan pertama kita melakukan penggantian
lalu kita sampai pada pertidaksamaan 2y 2 - kamu - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те kamu, yang memenuhi pertidaksamaan -0,5< kamu < 1.
Dari mana, karena
kita mendapatkan ketidaksetaraan
yang dilakukan kapan X, untuk yang 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Sekarang, dengan mempertimbangkan solusi pertidaksamaan kedua dari sistem tersebut, kita akhirnya memperolehnya
Menjawab:
Contoh 5.
Larutan:
Ketimpangan setara dengan kumpulan sistem
atau
Mari kita gunakan metode interval atau
Menjawab:
Contoh 6.
Larutan:
Ketimpangan sama dengan sistem
Membiarkan
Kemudian kamu > 0,
dan ketimpangan pertama
sistem mengambil bentuk
atau, sedang berlangsung
trinomial kuadrat oleh faktor,
Menerapkan metode interval pada pertidaksamaan terakhir,
kami melihat bahwa solusinya memenuhi kondisi tersebut kamu> 0 akan menjadi segalanya kamu > 4.
Jadi, pertidaksamaan awal ekuivalen dengan sistem:
Jadi, solusi terhadap ketimpangan itu adalah segalanya
2.2. Metode rasionalisasi.
Sebelumnya, ketimpangan tidak dapat diselesaikan dengan metode rasionalisasi, hal ini tidak diketahui. Ini adalah "modern baru" metode yang efektif penyelesaian pertidaksamaan eksponensial dan logaritma" (kutipan dari buku karya S.I. Kolesnikova)
Dan bahkan jika gurunya mengenalnya, ada ketakutan - apakah dia mengenalnya? Pakar Ujian Negara Bersatu, kenapa mereka tidak memberikannya di sekolah? Ada situasi ketika guru berkata kepada siswanya: "Di mana kamu mendapatkannya? Duduk - 2."
Sekarang metode ini sedang dipromosikan dimana-mana. Dan bagi para ahli ada pedoman, terkait dengan metode ini, dan dalam solusi "Edisi Opsi Model Paling Lengkap..." C3 menggunakan metode ini.
METODE INDAH!
"Meja Ajaib"
Di sumber lain
Jika a >1 dan b >1, lalu log a b >0 dan (a -1)(b -1)>0;
Jika a >1 dan 0 jika 0<A<1 и b
>1, lalu log ab<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jika 0<A<1 и 00 dan (a -1)(b -1)>0. Penalaran yang dilakukan sederhana, namun sangat menyederhanakan penyelesaian pertidaksamaan logaritmik. Contoh 4.
catatan x (x 2 -3)<0
Larutan:
Contoh 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Larutan: Contoh 6.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, sebagai ganti penyebutnya, kita tulis (x-1-1)(x-1), dan sebagai ganti pembilangnya, kita tuliskan hasil kali (x-1)(x-3-9 + x). Contoh 7.
Contoh 8.
2.3. Substitusi non-standar. Contoh 1.
Contoh 2.
Contoh 3.
Contoh 4.
Contoh 5.
Contoh 6.
Contoh 7.
catatan 4 (3 x -1)catatan 0,25 Mari kita lakukan penggantian y=3 x -1; maka ketimpangan ini akan terwujud Log 4 log 0,25 Karena mencatat 0,25 Mari kita lakukan penggantian t =log 4 y dan dapatkan pertidaksamaan t 2 -2t +≥0 yang penyelesaiannya adalah interval - Jadi, untuk mencari nilai y kita mempunyai himpunan dua pertidaksamaan sederhana Oleh karena itu, pertidaksamaan asal setara dengan himpunan dua pertidaksamaan eksponensial, Penyelesaian pertidaksamaan pertama himpunan ini adalah interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Contoh 8.
Larutan:
Ketimpangan sama dengan sistem Penyelesaian pertidaksamaan kedua yang menentukan ODZ adalah himpunan pertidaksamaan tersebut X,
untuk itu X > 0.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama kita melakukan substitusi Lalu kita mendapatkan ketidaksetaraan atau Himpunan penyelesaian pertidaksamaan terakhir dicari dengan metode interval: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, kita mendapatkan atau Banyak sekali X, yang memenuhi pertidaksamaan terakhir milik ODZ ( X> 0), oleh karena itu, merupakan solusi sistem, dan karenanya ketidaksetaraan aslinya. Menjawab: 2.4. Tugas dengan jebakan. Contoh 1.
Larutan. ODZ pertidaksamaan tersebut adalah semua x yang memenuhi kondisi 0 Contoh 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Menjawab. (0; 0,5)kamu.
Menjawab :
(3;6)
.
= -catatan 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , maka pertidaksamaan terakhir kita tulis ulang menjadi 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Penyelesaian himpunan ini adalah interval 0<у≤2 и 8≤у<+.
yaitu agregat 
. Jadi, pertidaksamaan awal terpenuhi untuk semua nilai x dari interval 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Oleh karena itu, semua x berasal dari interval 0
Kesimpulan
Tidak mudah untuk menemukan metode khusus untuk memecahkan masalah C3 dari berbagai sumber pendidikan. Selama pekerjaan yang dilakukan, saya dapat mempelajari metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma yang kompleks. Ini adalah: transisi setara dan metode interval umum, metode rasionalisasi , substitusi non-standar , tugas dengan jebakan di ODZ. Metode-metode ini tidak termasuk dalam kurikulum sekolah.
Dengan menggunakan metode yang berbeda, saya menyelesaikan 27 pertidaksamaan yang diajukan pada Unified State Examination bagian C, yaitu C3. Pertidaksamaan dengan solusi dengan metode ini menjadi dasar kumpulan “Ketidaksetaraan Logaritmik C3 dengan Solusi”, yang menjadi produk proyek kegiatan saya. Hipotesis yang saya ajukan di awal proyek terbukti: Masalah C3 dapat diselesaikan secara efektif jika Anda mengetahui metode ini.
Selain itu, saya menemukan fakta menarik tentang logaritma. Menarik bagi saya untuk melakukan ini. Produk proyek saya akan bermanfaat bagi siswa dan guru.
Kesimpulan:
Dengan demikian, tujuan proyek telah tercapai dan masalah telah terpecahkan. Dan saya mendapatkan pengalaman kegiatan proyek yang paling lengkap dan beragam di semua tahapan pekerjaan. Saat mengerjakan proyek, dampak perkembangan utama saya adalah pada kompetensi mental, aktivitas yang berkaitan dengan operasi mental logis, pengembangan kompetensi kreatif, inisiatif pribadi, tanggung jawab, ketekunan, dan aktivitas.
Jaminan keberhasilan saat membuat proyek penelitian untuk Saya memperoleh: pengalaman sekolah yang signifikan, kemampuan memperoleh informasi dari berbagai sumber, memeriksa keandalannya, dan mengurutkannya berdasarkan kepentingan.
Selain pengetahuan mata pelajaran langsung matematika, saya memperluas keterampilan praktis saya di bidang ilmu komputer, memperoleh pengetahuan dan pengalaman baru di bidang psikologi, menjalin kontak dengan teman sekelas, dan belajar bekerja sama dengan orang dewasa. Selama kegiatan proyek, keterampilan pendidikan umum organisasi, intelektual dan komunikatif dikembangkan.
literatur
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistem pertidaksamaan dengan satu variabel (tugas standar C3).
2. Malkova A. G. Persiapan Ujian Negara Terpadu Matematika.
3. Samarova S. S. Menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik.
4. Matematika. Kumpulan karya pendidikan yang diedit oleh A.L. Semenov dan I.V. Yaschenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 hal.-
Artikel ini dikhususkan untuk analisis tugas 15 dari profil Unified State Examination matematika tahun 2017. Dalam tugas ini, anak sekolah diminta untuk menyelesaikan pertidaksamaan, paling sering pertidaksamaan logaritmik. Meskipun mungkin ada yang indikatif. Artikel ini memberikan analisis contoh pertidaksamaan logaritma, termasuk pertidaksamaan yang memuat variabel pada basis logaritma. Semua contoh diambil dari bank terbuka tugas-tugas Ujian Negara Bersatu dalam matematika (profil), sehingga ketidaksetaraan seperti itu kemungkinan besar akan muncul dalam ujian sebagai tugas 15. Ideal bagi mereka yang ingin mempelajari cara menyelesaikan tugas 15 dari bagian kedua dari profil Ujian Negara Bersatu dalam waktu singkat dalam matematika untuk mendapatkan nilai lebih dalam ujian.
Analisis tugas 15 dari profil Unified State Examination dalam matematika
| Contoh 1. Selesaikan pertidaksamaan: |
Pada tugas 15 Unified State Examination matematika (profil), sering dijumpai pertidaksamaan logaritma. Penyelesaian pertidaksamaan logaritmik dimulai dengan menentukan kisaran nilai yang dapat diterima. Dalam hal ini, tidak ada variabel pada basis kedua logaritma, yang ada hanya angka 11, yang sangat menyederhanakan masalah. Jadi satu-satunya batasan yang kita miliki di sini adalah kedua ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Pertidaksamaan pertama dalam sistem ini adalah pertidaksamaan kuadrat. Untuk menyelesaikannya, kita ingin memfaktorkan ruas kiri. Saya rasa Anda tahu bahwa bentuk trinomial kuadrat apa pun 
difaktorkan sebagai berikut:
di mana dan merupakan akar-akar persamaan. Dalam hal ini, koefisiennya adalah 1 (ini adalah koefisien numerik di depan ). Koefisiennya juga sama dengan 1, dan koefisiennya adalah suku tiruannya, sama dengan -20. Akar trinomial paling mudah ditentukan dengan menggunakan teorema Vieta. Persamaan yang kita berikan berarti jumlah akar-akarnya akan sama dengan koefisien yang berlawanan tanda, yaitu -1, dan hasil kali akar-akar tersebut akan sama dengan koefisiennya, yaitu -20. Mudah ditebak bahwa akarnya adalah -5 dan 4.
Sekarang ruas kiri pertidaksamaan dapat difaktorkan: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X di titik -5 dan 4. Artinya penyelesaian pertidaksamaan yang diperlukan adalah interval . Bagi yang belum paham dengan apa yang tertulis di sini, bisa simak selengkapnya di video mulai detik ini. Di sana Anda juga akan menemukan penjelasan rinci tentang bagaimana pertidaksamaan kedua dari sistem tersebut diselesaikan. Hal ini sedang diselesaikan. Selain itu, jawabannya persis sama dengan pertidaksamaan pertama sistem tersebut. Artinya, himpunan yang tertulis di atas merupakan daerah nilai pertidaksamaan yang diperbolehkan.
Jadi, dengan memperhitungkan faktorisasi, pertidaksamaan awal berbentuk:
Dengan menggunakan rumus, kita menambahkan 11 ke pangkat ekspresi di bawah tanda logaritma pertama, dan memindahkan logaritma kedua ke sisi kiri pertidaksamaan, mengubah tandanya menjadi kebalikannya:
Setelah reduksi kita peroleh:
Ketimpangan terakhir akibat kenaikan fungsi setara dengan ketimpangan 
, yang solusinya adalah intervalnya 
. Yang tersisa hanyalah memotongnya dengan wilayah nilai ketimpangan yang dapat diterima, dan ini akan menjadi jawaban untuk keseluruhan tugas.
Jadi, jawaban yang diperlukan untuk tugas tersebut terlihat seperti:
Tugas ini sudah kita selesaikan, sekarang kita lanjutkan ke contoh tugas 15 Ujian Negara Terpadu Matematika berikutnya (profil).
| Contoh 2. Selesaikan pertidaksamaan:
|
Kami memulai penyelesaiannya dengan menentukan kisaran nilai yang dapat diterima dari pertidaksamaan ini. Di dasar setiap logaritma harus ada bilangan positif yang tidak sama dengan 1. Semua ekspresi di bawah tanda logaritma harus positif. Penyebut pecahan tidak boleh mengandung nol. Kondisi terakhir setara dengan fakta bahwa , karena hanya jika tidak, kedua logaritma penyebutnya hilang. Semua kondisi ini menentukan kisaran nilai yang diperbolehkan dari pertidaksamaan ini, yang diberikan oleh sistem pertidaksamaan berikut:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Dalam kisaran nilai yang dapat diterima, kita dapat menggunakan rumus konversi logaritma untuk menyederhanakan ruas kiri pertidaksamaan. Menggunakan rumus 
kita menghilangkan penyebutnya:
Sekarang kita hanya memiliki logaritma dengan basis. Ini sudah lebih nyaman. Selanjutnya, kita menggunakan rumus tersebut, dan juga rumus tersebut untuk membawa ekspresi yang layak dimuliakan ke dalam bentuk berikut:
Dalam perhitungannya, kami menggunakan nilai yang berada dalam kisaran nilai yang dapat diterima. Dengan menggunakan substitusi kita sampai pada persamaan:
Mari kita gunakan satu pengganti lagi: . Hasilnya, kami sampai pada hasil berikut:
Jadi, secara bertahap kita kembali ke variabel awal. Pertama ke variabel:
Bagian: Matematika
Seringkali, ketika menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, ada masalah dengan basis logaritma variabel. Jadi, terjadi ketimpangan bentuk
adalah ketimpangan sekolah standar. Sebagai aturan, untuk mengatasinya, transisi ke serangkaian sistem yang setara digunakan:
Kerugian dari metode ini adalah perlunya menyelesaikan tujuh kesenjangan, tidak termasuk dua sistem dan satu populasi. Dengan fungsi kuadrat ini, penyelesaian populasi bisa memakan banyak waktu.
Ada kemungkinan untuk mengusulkan cara alternatif yang tidak memakan banyak waktu untuk mengatasi ketimpangan standar ini. Untuk melakukan ini, kita memperhitungkan teorema berikut.
Teorema 1. Misalkan ada fungsi yang terus meningkat pada himpunan X. Maka pada himpunan ini tanda kenaikan fungsi tersebut akan bertepatan dengan tanda kenaikan argumen, yaitu. , Di mana 
.
Catatan: jika fungsi menurun terus menerus pada himpunan X, maka .
Mari kita kembali ke ketimpangan. Mari beralih ke logaritma desimal (Anda dapat beralih ke logaritma apa pun yang basis konstannya lebih besar dari satu).
Sekarang Anda dapat menggunakan teorema tersebut, dengan memperhatikan pertambahan fungsi pada pembilangnya 
dan di penyebutnya. Jadi itu benar
Hasilnya, jumlah penghitungan yang menghasilkan jawaban berkurang sekitar setengahnya, sehingga tidak hanya menghemat waktu, namun juga memungkinkan Anda berpotensi membuat lebih sedikit kesalahan aritmatika dan kecerobohan.
Contoh 1.
Bandingkan dengan (1) kita temukan 
, 
, .
Pindah ke (2) kita akan memiliki:
Contoh 2.
Bandingkan dengan (1) kita temukan , , .
Pindah ke (2) kita akan memiliki:
Contoh 3.
Karena ruas kiri pertidaksamaan merupakan fungsi meningkat sebagai dan 
, maka jawabannya akan banyak.
Banyaknya contoh penerapan Tema 1 dapat dengan mudah diperluas dengan mempertimbangkan Tema 2.
Biarkan di lokasi syuting X fungsi , , , didefinisikan, dan pada himpunan ini tanda-tandanya bertepatan, yaitu. , maka itu akan adil.
Contoh 4.
Contoh 5.
Dengan pendekatan standar, contoh diselesaikan menurut skema berikut: hasil kali kurang dari nol jika faktor-faktornya berbeda tanda. Itu. sekumpulan dua sistem ketidaksetaraan dipertimbangkan, di mana, seperti yang ditunjukkan di awal, setiap ketidaksetaraan dipecah menjadi tujuh sistem ketidaksetaraan lainnya.
Jika kita memperhatikan teorema 2, maka masing-masing faktor dengan memperhitungkan (2) dapat digantikan oleh fungsi lain yang bertanda sama dalam contoh ini O.D.Z.
Metode mengganti pertambahan suatu fungsi dengan pertambahan argumen, dengan memperhatikan Teorema 2, ternyata sangat berguna ketika menyelesaikan soal standar C3 Unified State Examination.
Contoh 6.
Contoh 7.
. Mari kita nyatakan . Kita mendapatkan
. Perhatikan bahwa penggantian menyiratkan: . Kembali ke persamaan, kita dapatkan
.
Contoh 8.
Dalam teorema yang kami gunakan tidak ada batasan kelas fungsi. Dalam artikel ini, sebagai contoh, teorema diterapkan untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik. Beberapa contoh berikut ini akan menunjukkan manfaat dari metode penyelesaian jenis kesenjangan lainnya.
