Teorema Pythagoras menyatakan:
Pada segitiga siku-siku, jumlah kuadrat kaki-kakinya sama dengan kuadrat sisi miring:
a 2 + b 2 = c 2,
- A Dan B– kaki membentuk sudut siku-siku.
- Dengan– sisi miring segitiga.
Rumus teorema Pythagoras
- a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
- b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
- c = \sqrt (a^(2) + b^(2))
Bukti Teorema Pythagoras
Persegi segitiga siku-siku dihitung dengan rumus:
S = \frac(1)(2)ab
Untuk menghitung luas segitiga sembarang, rumus luasnya adalah:
- P– setengah keliling. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
- R– jari-jari lingkaran yang tertulis. Untuk persegi panjang r=\frac(1)(2)(a+b-c).
Kemudian kita samakan ruas kanan kedua rumus luas segitiga:
\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)
2 ab = (a+b+c) (a+b-c)
2 ab = \kiri((a+b)^(2) -c^(2) \kanan)
2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)
0=a^(2)+b^(2)-c^(2)
c^(2) = a^(2)+b^(2)
Kebalikan teorema Pythagoras:
Jika kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya, maka segitiga tersebut siku-siku. Artinya, untuk tiga bilangan positif mana pun a, b Dan C, seperti yang
a 2 + b 2 = c 2,
ada segitiga siku-siku dengan kaki A Dan B dan sisi miring C.
teori Pitagoras- salah satu teorema dasar geometri Euclidean, yang menetapkan hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku. Hal ini dibuktikan oleh ahli matematika dan filsuf terpelajar Pythagoras.
Arti dari teorema Intinya bisa digunakan untuk membuktikan teorema lain dan menyelesaikan masalah.
Material tambahan:
Menurut Van der Waerden, kemungkinan besar demikian pandangan umum sudah dikenal di Babilonia sekitar abad ke-18 SM. e.
Sekitar 400 SM. SM, menurut Proclus, Plato memberikan metode untuk menemukan kembar tiga Pythagoras, dengan menggabungkan aljabar dan geometri. Sekitar 300 SM. e. Bukti aksiomatik tertua dari teorema Pythagoras muncul dalam Elemen Euclid.
Formulasi
Rumusan dasarnya berisi operasi aljabar - pada segitiga siku-siku yang panjangnya sama a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b), dan panjang sisi miringnya adalah c (\gaya tampilan c), relasi berikut terpenuhi:
.Rumusan geometri yang setara juga dimungkinkan, dengan menggunakan konsep luas bangun: dalam segitiga siku-siku, luas persegi yang dibangun di sisi miring sama dengan jumlah luas persegi yang dibangun di sisi miring. kaki. Teorema ini dirumuskan dalam bentuk ini dalam Elemen Euclid.
Membalikkan teorema Pythagoras- pernyataan tentang persegi panjang suatu segitiga, yang panjang sisi-sisinya dihubungkan oleh relasi a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Akibatnya, untuk setiap tiga kali lipat bilangan positif a (\gaya tampilan a), b (\gaya tampilan b) Dan c (\gaya tampilan c), seperti yang a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), ada segitiga siku-siku yang kakinya a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) dan sisi miring c (\gaya tampilan c).
Bukti
DI DALAM literatur ilmiah Setidaknya 400 bukti teorema Pythagoras telah dicatat, yang dijelaskan oleh signifikansi fundamentalnya bagi geometri dan sifat dasar hasilnya. Arahan pembuktian yang utama adalah: penggunaan aljabar hubungan antar unsur-unsur segitiga (misalnya metode keserupaan yang populer), metode luas, ada juga berbagai pembuktian eksotik (misalnya menggunakan persamaan diferensial).
Melalui segitiga sebangun
Pembuktian klasik Euclid bertujuan untuk menetapkan persamaan luas antar persegi panjang yang dibentuk dengan membedah persegi di atas sisi miring dengan tinggi sudut kanan dengan kotak di atas kaki.
Konstruksi yang digunakan untuk pembuktian adalah sebagai berikut: untuk segitiga siku-siku yang sudutnya siku-siku C (\gaya tampilan C), bujur sangkar di atas kaki dan dan bujur sangkar di atas sisi miring A B I K (\displaystyle ABIK) ketinggian sedang dibangun CH dan sinar yang melanjutkannya s (\gaya tampilan s), membagi persegi di atas sisi miring menjadi dua persegi panjang dan . Pembuktiannya bertujuan untuk menetapkan persamaan luas persegi panjang A H J K (\displaystyle AHJK) dengan kotak di atas kaki AC (\gaya tampilan AC); persamaan luas persegi panjang kedua, yang merupakan persegi di atas sisi miring, dan persegi panjang di atas kaki lainnya, dibuat dengan cara yang sama.
Persamaan luas persegi panjang A H J K (\displaystyle AHJK) Dan A C E D (\displaystyle ACED) ditentukan melalui kongruensi segitiga △ A C K (\displaystyle \segitiga ACK) Dan △ A B D (\displaystyle \segitiga ABD), yang luasnya masing-masing sama dengan setengah luas persegi A H J K (\displaystyle AHJK) Dan A C E D (\displaystyle ACED) oleh karena itu, sehubungan dengan sifat-sifat berikut: luas segitiga sama dengan setengah luas persegi panjang jika bangun-bangun tersebut mempunyai sisi yang sama, dan tinggi segitiga terhadap sisi yang sama adalah sisi yang lain dari persegi panjang. Kekongruenan segitiga mengikuti persamaan dua sisi (sisi persegi) dan sudut di antara keduanya (terdiri dari sudut siku-siku dan sudut di A (\gaya tampilan A).
Dengan demikian, pembuktian menetapkan bahwa luas persegi di atas sisi miring terdiri dari persegi panjang A H J K (\displaystyle AHJK) Dan B H J I (\displaystyle BHJI), sama dengan jumlah luas persegi di atas kaki-kakinya.
Bukti Leonardo da Vinci
Metode luas juga mencakup pembuktian yang ditemukan oleh Leonardo da Vinci. Biarkan segitiga siku-siku diberikan △ A B C (\displaystyle \segitiga ABC) dengan sudut siku-siku C (\gaya tampilan C) dan kotak A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) Dan A B H J (\displaystyle ABHJ)(Lihat gambar). Dalam bukti ini di samping HJ (\gaya tampilan HJ) yang terakhir, sebuah segitiga dibangun di sisi luarnya, kongruen △ A B C (\displaystyle \segitiga ABC), terlebih lagi, tercermin baik relatif terhadap sisi miring maupun relatif terhadap ketinggiannya (yaitu, J I = B C (\displaystyle JI=BC) Dan HI = AC (\displaystyle HI=AC)). Lurus CI (\displaystyle CI) membagi persegi yang dibangun di sisi miring menjadi dua bagian yang sama, karena segitiga △ A B C (\displaystyle \segitiga ABC) Dan △ JHI (\displaystyle \segitiga JHI) setara dalam konstruksi. Buktinya membuktikan kekongruenan segi empat C A J I (\displaystyle CAJI) Dan D A B G (\displaystyle DABG), luas masing-masingnya ternyata, di satu sisi, sama dengan jumlah setengah luas persegi di kaki-kakinya dan luas segitiga aslinya, di sisi lain, setengah luasnya. luas persegi pada sisi miring ditambah luas segitiga asal. Secara total, setengah jumlah luas persegi di atas kaki sama dengan setengah luas persegi di atas sisi miring, yang setara dengan rumusan geometri teorema Pythagoras.
Buktikan dengan metode yang sangat kecil
Ada beberapa pembuktian dengan menggunakan teknik persamaan diferensial. Secara khusus, Hardy dikreditkan dengan bukti menggunakan penambahan kaki yang sangat kecil a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) dan sisi miring c (\gaya tampilan c), dan menjaga kemiripan dengan persegi panjang aslinya, yaitu memastikan terpenuhinya hubungan diferensial berikut:
d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).Dengan menggunakan metode pemisahan variabel, seseorang dapat memperolehnya persamaan diferensial c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), yang integrasinya menghasilkan relasi c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Penerapan kondisi awal a = b = c = 0 (\gaya tampilan a=b=c=0) mendefinisikan konstanta sebagai 0, yang menghasilkan pernyataan teorema.
Ketergantungan kuadrat pada rumus akhir muncul karena adanya proporsionalitas linier antara sisi-sisi segitiga dan pertambahan, sedangkan penjumlahannya dikaitkan dengan kontribusi bebas dari pertambahan kaki-kaki yang berbeda.
Variasi dan generalisasi
Bentuk geometris serupa di tiga sisi
Generalisasi geometris yang penting dari teorema Pythagoras diberikan oleh Euclid dalam Elemen, berpindah dari luas persegi di sisinya ke luas yang serupa secara sembarang. bentuk geometris: jumlah luas bangun-bangun yang dibangun di atas kaki-kakinya akan sama dengan luas bangun-bangun serupa yang dibangun di sisi miring.
Gagasan utama dari generalisasi ini adalah bahwa luas bangun geometris tersebut sebanding dengan kuadrat dari setiap dimensi liniernya dan, khususnya, dengan kuadrat panjang salah satu sisinya. Oleh karena itu, untuk angka serupa dengan luas A (\gaya tampilan A), B (\gaya tampilan B) Dan C (\gaya tampilan C), dibangun di atas kaki yang panjang a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) dan sisi miring c (\gaya tampilan c) Oleh karena itu, hubungan berikut ini berlaku:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Panah Kanan \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).Karena menurut teorema Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), lalu selesai.
Selain itu, jika dapat dibuktikan tanpa menerapkan teorema Pythagoras bahwa luas tiga bangun geometri sebangun pada sisi-sisi segitiga siku-siku memenuhi relasi A + B = C (\gaya tampilan A+B=C), kemudian dengan menggunakan kebalikan dari bukti generalisasi Euclid, seseorang dapat memperoleh bukti teorema Pythagoras. Misalnya, jika pada sisi miring kita membuat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga awal yang mempunyai luas C (\gaya tampilan C), dan di sisinya - dua segitiga siku-siku sebangun dengan luas A (\gaya tampilan A) Dan B (\gaya tampilan B), maka ternyata segitiga-segitiga pada sisi-sisinya terbentuk sebagai hasil pembagian segitiga awal dengan tingginya, yaitu jumlah dua luas segitiga yang lebih kecil sama dengan luas segitiga ketiga, jadi A + B = C (\gaya tampilan A+B=C) dan, dengan menerapkan relasi untuk angka-angka serupa, teorema Pythagoras diturunkan.
Teorema kosinus
Teorema Pythagoras adalah kasus spesial teorema kosinus yang lebih umum, yang menghubungkan panjang sisi-sisi dalam segitiga sembarang:
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),di mana sudut antara sisi-sisinya a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b). Jika sudutnya 90°, maka cos θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), dan rumusnya disederhanakan menjadi teorema Pythagoras biasa.
Segitiga Bebas
Ada generalisasi teorema Pythagoras pada segitiga sembarang, yang beroperasi hanya pada rasio panjang sisinya, diyakini pertama kali ditetapkan oleh astronom Sabian Thabit ibn Qurra. Di dalamnya, untuk segitiga sembarang yang memiliki sisi, segitiga sama kaki dengan alas di sisinya cocok ke dalamnya c (\gaya tampilan c), titik sudut yang berimpit dengan titik sudut segitiga asal, berhadapan dengan sisinya c (\gaya tampilan c) dan sudut di pangkalan, sama dengan sudutnya θ (\displaystyle \theta ), sisi yang berlawanan c (\gaya tampilan c). Hasilnya, dua segitiga terbentuk, mirip dengan aslinya: yang pertama - dengan sisi a (\gaya tampilan a), sisi terjauh dari tulisan itu segitiga sama kaki, Dan r (\gaya tampilan r)- bagian samping c (\gaya tampilan c); yang kedua - secara simetris dari samping b (\gaya tampilan b) dengan sisinya s (\gaya tampilan s)- bagian samping yang sesuai c (\gaya tampilan c). Hasilnya, hubungan berikut terpenuhi:
a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),merosot ke dalam teorema Pythagoras di θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Hubungan tersebut merupakan akibat dari kemiripan segitiga yang terbentuk:
c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Panah Kanan \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).Teorema Pappus tentang luas
Geometri non-Euclidean
Teorema Pythagoras diturunkan dari aksioma geometri Euclidean dan tidak berlaku untuk geometri non-Euclidean - pemenuhan teorema Pythagoras setara dengan postulat paralelisme Euclidian.
Dalam geometri non-Euclidean, hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku tentu bentuknya berbeda dengan teorema Pythagoras. Misalnya, dalam geometri bola, ketiga sisi segitiga siku-siku, yang membatasi oktan satuan bola, mempunyai panjang π / 2 (\displaystyle \pi /2), yang bertentangan dengan teorema Pythagoras.
Selain itu, teorema Pythagoras berlaku dalam geometri hiperbolik dan elips jika syarat segitiga berbentuk persegi panjang diganti dengan syarat jumlah dua sudut segitiga harus sama dengan sepertiga.
Geometri bola
Untuk setiap segitiga siku-siku pada bola yang berjari-jari R (\gaya tampilan R)(misalnya, jika sudut suatu segitiga siku-siku) dengan sisi-sisinya a , b , c (\gaya tampilan a,b,c) hubungan kedua belah pihak adalah:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\kanan)\cdot \cos \kiri((\frac (b)(R))\kanan)).Persamaan ini dapat diturunkan sebagai kasus khusus dari teorema kosinus bola, yang berlaku untuk semua segitiga bola:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + sin (a R) ⋅ sin (b R) ⋅ cos γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\kanan)=\cos \kiri((\frac (a)(R))\kanan)\cdot \cos \kiri((\frac (b)(R))\kanan)+\ sin \kiri((\frac (a)(R))\kanan)\cdot \sin \kiri((\frac (b)(R))\kanan)\cdot \cos \gamma ). ch c = ch a ⋅ ch b (\displaystyle \nama operator (ch) c=\nama operator (ch) a\cdot \nama operator (ch) b),Di mana ch (\displaystyle \nama operator (ch) )- kosinus hiperbolik. Rumus ini merupakan kasus khusus dari teorema kosinus hiperbolik, yang berlaku untuk semua segitiga:
ch c = ch a ⋅ ch b − sh a ⋅ sh b ⋅ cos γ (\displaystyle \nama operator (ch) c=\nama operator (ch) a\cdot \nama operator (ch) b-\nama operator (sh) a\cdot \nama operator (sh) b\cdot \cos \gamma ),Di mana γ (\displaystyle \gamma )- sudut yang titik sudutnya berhadapan dengan sisinya c (\gaya tampilan c).
Menggunakan deret Taylor untuk kosinus hiperbolik ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \nama operator (ch) x\kira-kira 1+x^(2)/2)) dapat ditunjukkan bahwa jika suatu segitiga hiperbolik mengecil (yaitu kapan a (\gaya tampilan a), b (\gaya tampilan b) Dan c (\gaya tampilan c) cenderung nol), maka relasi hiperbolik pada segitiga siku-siku mendekati relasi teorema klasik Pythagoras.
Aplikasi
Jarak dalam sistem persegi panjang dua dimensi
Penerapan teorema Pythagoras yang paling penting adalah menentukan jarak antara dua titik dalam sistem koordinat persegi panjang: jarak s (\gaya tampilan s) antar titik dengan koordinat (a , b) (\gaya tampilan (a,b)) Dan (c , d) (\gaya tampilan (c,d)) sama dengan:
s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).Untuk bilangan kompleks Teorema Pythagoras memberikan rumus alami untuk mencari modulus bilangan kompleks - untuk z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) itu sama dengan panjangnya
Sungguh luar biasa bahwa sifat-sifat yang ditentukan dalam teorema Pythagoras adalah sifat karakteristik segitiga siku-siku. Ini mengikuti kebalikan dari teorema Pythagoras.
Dalil: Jika kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya, maka segitiga tersebut siku-siku.
Rumus bangau
Mari kita turunkan rumus yang menyatakan bidang segitiga dalam panjang sisi-sisinya. Rumus ini dikaitkan dengan nama Heron dari Alexandria - seorang ahli matematika dan mekanik Yunani kuno yang mungkin hidup pada abad ke-1 Masehi. Heron menaruh banyak perhatian pada penerapan praktis geometri.
Dalil. Luas S suatu segitiga yang sisi-sisinya sama dengan a, b, c dihitung dengan rumus S=, dimana p adalah setengah keliling segitiga.
Bukti.
Diketahui: ?ABC, AB= c, BC= a, AC= b. Sudut A dan B lancip. CH - tinggi.
Membuktikan:
Bukti:
Mari kita pertimbangkan segitiga ABC, dimana AB=c, BC=a, AC=b. Setiap segitiga mempunyai paling sedikit dua sudut lancip. Misalkan A dan B menjadi sudut tajam segitiga ABC. Maka alas H dari ketinggian CH segitiga tersebut terletak pada sisi AB. Mari kita perkenalkan notasi berikut: CH = h, AH=y, HB=x. dengan teorema Pythagoras a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2, dari mana
Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, atau (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, dan karena y + x = c, maka y- x = (b2 - a2).
Menambahkan dua persamaan terakhir, kita mendapatkan:
2y = +c, dari mana
kamu=, dan, oleh karena itu, h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=
Oleh karena itu, h = .
Subjek: Dalil, kebalikan dari teorema Pythagoras.
Tujuan pelajaran: 1) pertimbangkan teorema kebalikan dari teorema Pythagoras; penerapannya dalam proses pemecahan masalah; mengkonsolidasikan teorema Pythagoras dan meningkatkan keterampilan pemecahan masalah untuk penerapannya;
2) berkembang berpikir logis, pencarian kreatif, minat kognitif;
3) menumbuhkan sikap bertanggung jawab terhadap pembelajaran dan budaya bicara matematis pada siswa.
Jenis pelajaran. Sebuah pelajaran dalam mempelajari pengetahuan baru.
Selama kelas
ІІ. Memperbarui pengetahuan
Pelajaran bagi sayaakanaku inginmulai dengan syair.
Ya, jalan ilmunya tidak mulus
Tapi kami tahu tahun sekolah,
Ada lebih banyak misteri daripada jawaban,
Dan tidak ada batasan untuk pencarian!
Jadi, pada pelajaran terakhir Anda telah mempelajari teorema Pythagoras. Pertanyaan:
Teorema Pythagoras yang benar untuk bilangan manakah?
Segitiga manakah yang disebut segitiga siku-siku?
Nyatakan teorema Pythagoras.
Bagaimana cara menulis teorema Pythagoras untuk setiap segitiga?
Segitiga manakah yang disebut sama besar?
Merumuskan kriteria persamaan segitiga?
Sekarang mari kita lakukan sedikit pekerjaan mandiri:
Memecahkan masalah dengan menggunakan gambar.
№1
(1 b.) Temukan: AB.
№2
(1 b.) Temukan: VS.
№3
( 2 B.)Temukan: AC
№4
(1 poin)Temukan: AC
№5 Diberikan oleh: ABCDbelah ketupat
(2 b.) AB = 13 cm
AC = 10 cm
Temukan diD
Tes mandiri No.1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. Mempelajari baru bahan.
Orang Mesir kuno membangun sudut siku-siku di tanah dengan cara ini: mereka membagi tali menjadi 12 simpul bagian yang sama, diikat ujungnya, setelah itu tali direntangkan di atas tanah sehingga terbentuk segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 bagian. Sudut segitiga yang berhadapan dengan sisi yang mempunyai 5 bagian itu siku-siku.
Bisakah Anda menjelaskan kebenaran penilaian ini?
Sebagai hasil dari pencarian jawaban atas pertanyaan tersebut, siswa harus memahami bahwa dari sudut pandang matematika, pertanyaan yang diajukan: apakah segitiga itu siku-siku?
Kami mengajukan masalah: bagaimana menentukan, tanpa melakukan pengukuran, apakah sebuah segitiga dengan sisi-sisi tertentu akan berbentuk persegi panjang. Memecahkan masalah ini adalah tujuan pelajaran.
Tuliskan topik pelajaran.
Dalil. Jika jumlah kuadrat dua sisi suatu segitiga sama dengan kuadrat sisi ketiganya, maka segitiga tersebut siku-siku.
Buktikan teorema secara mandiri (buat rencana pembuktian menggunakan buku teks).
Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa segitiga dengan sisi 3, 4, 5 adalah siku-siku (Mesir).
Secara umum, angka-angka yang memiliki kesetaraan , disebut kembar tiga Pythagoras. Dan segitiga yang panjang sisinya dinyatakan dengan tripel Pythagoras (6, 8, 10) adalah segitiga Pythagoras.
Konsolidasi.
Karena , maka segitiga dengan sisi 12, 13, 5 tidak siku-siku.
Karena , maka segitiga dengan sisi 1, 5, 6 adalah siku-siku.
№ 430 (a,b,c)
( - tidak)
